Ndërtimi i ekuacioneve trigonometrike. Ekuacionet trigonometrike

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Ekuacionet trigonometrike. Si pjesë e provimit të matematikës në pjesën e parë ka një detyrë që lidhet me zgjidhjen e një ekuacioni - kjo ekuacione të thjeshta, të cilat zgjidhen në minuta, shumë lloje mund të zgjidhen me gojë. Përfshin: ekuacione lineare, kuadratike, racionale, irracionale, eksponenciale, logaritmike dhe trigonometrike.

Në këtë artikull do të shikojmë ekuacionet trigonometrike. Zgjidhja e tyre ndryshon si për nga vëllimi i llogaritjeve ashtu edhe për nga kompleksiteti nga problemet e tjera në këtë pjesë. Mos u shqetësoni, fjala "vështirësi" i referohet vështirësisë së tyre relative në krahasim me detyrat e tjera.

Përveç gjetjes së vetë rrënjëve të ekuacionit, është e nevojshme të përcaktohet negativi më i madh ose më i vogli rrënjë pozitive. Mundësia që ju të merrni një ekuacion trigonometrik në provim është, natyrisht, i vogël.

Në këtë pjesë të Provimit të Unifikuar të Shtetit janë më pak se 7% e tyre. Por kjo nuk do të thotë se ato duhet të injorohen. Në Pjesën C, ju gjithashtu duhet të zgjidhni një ekuacion trigonometrik, kështu që një kuptim i mirë i teknikës së zgjidhjes dhe kuptimi i teorisë është thjesht i nevojshëm.

Kuptimi i seksionit të trigonometrisë së matematikës do të përcaktojë shumë suksesin tuaj në zgjidhjen e shumë problemeve. Ju kujtoj se përgjigja është një numër i plotë ose një numër i kufizuar dhjetore. Pasi të keni marrë rrënjët e ekuacionit, sigurohuni që të kontrolloni. Nuk do të marrë shumë kohë dhe do t'ju shpëtojë nga gabimet.

Ne do të shikojmë edhe ekuacione të tjera në të ardhmen, mos e humbisni! Le të kujtojmë formulat rrënjësore ekuacionet trigonometrike, ju duhet t'i njihni ato:

Njohja e këtyre vlerave është e nevojshme; E shkëlqyeshme, nëse kujtesa juaj është e mirë, i keni mësuar dhe kujtuar lehtësisht këto vlera. Çfarë duhet të bëni nëse nuk mund ta bëni këtë, ka konfuzion në kokën tuaj, por thjesht u hutuat kur merrni provimin. Do të ishte turp të humbisni një pikë sepse keni shkruar vlerën e gabuar në llogaritjet tuaja.

Këto vlera janë të thjeshta, jepet edhe në teorinë që keni marrë në letrën e dytë pas abonimit në buletinin. Nëse nuk jeni abonuar ende, bëjeni këtë! Në të ardhmen do të shqyrtojmë gjithashtu se si mund të përcaktohen këto vlera rrethi trigonometrik. Nuk është më kot që quhet "Zemra e Artë e Trigonometrisë".

Më lejoni të shpjegoj menjëherë, për të shmangur konfuzionin, se në ekuacionet e shqyrtuara më poshtë, jepen përkufizimet e arksinës, arkkosinës, arktangjentit duke përdorur këndin. X për ekuacionet përkatëse: cosx=a, sinx=a, tgx=a, ku X mund të jetë edhe shprehje. Në shembujt e mëposhtëm, argumenti ynë jepet pikërisht nga një shprehje.

Pra, le të shqyrtojmë detyrat e mëposhtme:

Gjeni rrënjën e ekuacionit:

Shkruani rrënjën më të madhe negative në përgjigjen tuaj.

Zgjidhja e ekuacionit cos x = a është dy rrënjë:

Përkufizimi: Le të mos kalojë numri a në modul një. Kosinusi i harkut të një numri është këndi x që shtrihet në intervalin nga 0 në Pi, kosinusi i të cilit është i barabartë me a.

Mjetet

Le të shprehemi x:

Le të gjejmë rrënjën më të madhe negative. Si ta bëni këtë? Le të zëvendësojmë kuptime të ndryshme n në rrënjët që rezultojnë, llogaritni dhe zgjidhni negativin më të madh.

Ne llogarisim:

Me n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

Me n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

Me n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

Me n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

Me n = 2 x 1 = 3∙2 - 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 - 5,5 = 0,5

Ne zbuluam se rrënja negative më e madhe është –1.5

Përgjigje: -1.5

Vendosni vetë:

Zgjidhe ekuacionin:

Zgjidhja e ekuacionit sin x = a është dy rrënjë:

Ose (ai kombinon të dyja sa më sipër):

Përkufizimi: Le të ketë numri a një modul që nuk e kalon një. Sinusi i harkut të një numri është këndi x që shtrihet në intervalin nga – 90° deri në 90°, sinusi i të cilit është i barabartë me a.

Mjetet

Shprehni x (shumezoni të dyja anët e ekuacionit me 4 dhe pjesëtoni me Pi):

Le të gjejmë rrënjën më të vogël pozitive. Këtu është menjëherë e qartë se kur zëvendësohet vlerat negative n do marrim rrënjë negative. Prandaj, ne do të zëvendësojmë n = 0,1,2...

Kur n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Kur n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Kur n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Le të kontrollojmë me n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Pra, rrënja më e vogël pozitive është 4.

Përgjigje: 4

Vendosni vetë:

Zgjidhe ekuacionin:

Shkruani rrënjën më të vogël pozitive në përgjigjen tuaj.

Ju mund të porositni zgjidhje e detajuar detyra juaj!!!

Barazi që përmban të panjohurën nën shenjën funksioni trigonometrik(`sin x, cos x, tan x` ose `ctg x`) quhet ekuacion trigonometrik, dhe janë formulat e tyre që do të shqyrtojmë më tej.

Ekuacionet më të thjeshta quhen `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ku `x` është këndi që duhet gjetur, `a` është çdo numër. Le të shkruajmë formulat rrënjësore për secilën prej tyre.

1. Ekuacioni `sin x=a`.

Për `|a|>1` nuk ka zgjidhje.

Kur `|a| \leq 1` ka numër i pafund vendimet.

Formula e rrënjës: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ekuacioni `cos x=a`

Për `|a|>1` - si në rastin e sinusit, zgjidhjet ndërmjet numra realë nuk ka.

Kur `|a| \leq 1` ka grup i pafund vendimet.

Formula e rrënjës: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Raste të veçanta për sinusin dhe kosinusin në grafikë.

3. Ekuacioni `tg x=a`

Ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.

Formula e rrënjës: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ekuacioni `ctg x=a`

Gjithashtu ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.

Formula e rrënjës: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formulat për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike në tabelë

Për sinusin:
Për kosinusin:
Për tangjenten dhe kotangjenten:
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë funksione trigonometrike të anasjellta:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike

Zgjidhja e çdo ekuacioni trigonometrik përbëhet nga dy faza:

me ndihmën e shndërrimit të tij në më të thjeshtën;
zgjidhni ekuacionin më të thjeshtë të marrë duke përdorur formulat rrënjësore dhe tabelat e shkruara më sipër.

Le të shohim metodat kryesore të zgjidhjes duke përdorur shembuj.

Metoda algjebrike.

Kjo metodë përfshin zëvendësimin e një ndryshoreje dhe zëvendësimin e saj në një barazi.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

bëni një zëvendësim: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pastaj `2y^2-3y+1=0`,

gjejmë rrënjët: `y_1=1, y_2=1/2`, nga të cilat pasojnë dy raste:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Përgjigje: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizimi.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `sin x+cos x=1`.

Zgjidhje. Le t'i zhvendosim majtas të gjitha termat e barazisë: `sin x+cos x-1=0`. Duke përdorur , ne transformojmë dhe faktorizojmë anën e majtë:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Përgjigje: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduktimi në një ekuacion homogjen

Së pari, ju duhet ta zvogëloni këtë ekuacion trigonometrik në një nga dy format:

"a mëkat x+b cos x=0" ( ekuacioni homogjen shkalla e parë) ose `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).

Më pas ndani të dyja pjesët me `cos x \ne 0` - për rastin e parë, dhe me `cos^2 x \ne 0` - për të dytën. Ne marrim ekuacione për `tg x`: `a tg x+b=0` dhe `a tg^2 x + b tg x +c =0`, të cilat duhet të zgjidhen duke përdorur metoda të njohura.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Zgjidhje. Le ta shkruajmë anën e djathtë si `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ky është një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë, e ndajmë anën e majtë dhe të djathtë me 'cos^2 x \ne 0', marrim:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Le të prezantojmë zëvendësimin `tg x=t`, duke rezultuar në `t^2 + t - 2=0`. Rrënjët e këtij ekuacioni janë `t_1=-2` dhe `t_2=1`. Pastaj:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \në Z`.

Përgjigju. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \në Z`.

Kalimi në gjysmë kënd

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Zgjidhje. Le të zbatojmë formulat kënd i dyfishtë, që rezulton në: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Duke zbatuar sa më sipër metodë algjebrike, marrim:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \në Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.

Përgjigju. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \në Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.

Futja e këndit ndihmës

Në ekuacionin trigonometrik `a sin x + b cos x =c`, ku a,b,c janë koeficientë dhe x është një variabël, ndani të dyja anët me `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Koeficientët në anën e majtë kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë shuma e katrorëve të tyre është e barabartë me 1 dhe modulet e tyre nuk janë më të mëdha se 1. Le t'i shënojmë si më poshtë: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, atëherë:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin e mëposhtëm:

Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `3 sin x+4 cos x=2`.

Zgjidhje. Ndani të dyja anët e barazisë me `sqrt (3^2+4^2)`, marrim:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Le të shënojmë `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Meqenëse `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, pastaj si kënd ndihmës le të marrim `\varphi=arcsin 4/5`. Pastaj shkruajmë barazinë tonë në formën:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Duke zbatuar formulën për shumën e këndeve për sinusin, ne shkruajmë barazinë tonë në formën e mëposhtme:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n hark 2/5+ \pi n`, `n \në Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Përgjigju. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ekuacionet racionale trigonometrike thyesore

Këto janë barazime me thyesa, numëruesit dhe emëruesit e të cilave përmbajnë funksione trigonometrike.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Zgjidhje. Shumëzoni dhe pjesëtoni anën e djathtë të barazisë me `(1+cos x)`. Si rezultat marrim:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Duke marrë parasysh që emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero, marrim `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \në Z`.

Le të barazojmë numëruesin e thyesës me zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pastaj `sin x=0` ose `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \në Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \në Z`.

Duke pasur parasysh se `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, zgjidhjet janë `x=2\pi n, n \në Z` dhe `x=\pi /2+2\pi n` , `n \në Z`.

Përgjigju. `x=2\pi n`, `n \në Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \në Z`.

Trigonometria, dhe ekuacionet trigonometrike në veçanti, përdoren pothuajse në të gjitha fushat e gjeometrisë, fizikës dhe inxhinierisë. Mësimi fillon në klasën e 10-të, ka gjithmonë detyra për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kështu që përpiquni të mbani mend të gjitha formulat e ekuacioneve trigonometrike - ato patjetër do t'ju jenë të dobishme!

Sidoqoftë, as nuk keni nevojë t'i mësoni përmendësh, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe të jeni në gjendje ta nxirrni atë. Nuk është aq e vështirë sa duket. Shiheni vetë duke shikuar videon.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta trigonometrike.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike të çdo niveli kompleksiteti përfundimisht zbret në zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike. Dhe në këtë ndihmësi më i mirë përsëri rezulton të jetë një rreth trigonometrik.

Le të kujtojmë përkufizimet e kosinusit dhe sinusit.

Kosinusi i një këndi është abshisa (d.m.th., koordinata përgjatë boshtit) të një pike në rrethi njësi, që korrespondon me rrotullimin nëpër një kënd të caktuar.

Sinusi i një këndi është ordinata (d.m.th., koordinata përgjatë boshtit) e një pike në rrethin e njësisë që korrespondon me një rrotullim përmes një këndi të caktuar.

Drejtimi pozitiv i lëvizjes përgjatë rrethi trigonometrik Lëvizja në drejtim të kundërt të akrepave të orës konsiderohet. Një rrotullim prej 0 gradë (ose 0 radian) korrespondon me një pikë me koordinata (1;0)

Ne i përdorim këto përkufizime për të zgjidhur ekuacione të thjeshta trigonometrike.

1. Zgjidheni ekuacionin

Ky ekuacion plotësohet nga të gjitha vlerat e këndit të rrotullimit që korrespondojnë me pikat në rreth, ordinata e të cilit është e barabartë me .

Le të shënojmë një pikë me ordinatë në boshtin e ordinatës:

Le të kryejmë vijë horizontale paralel me boshtin x derisa të kryqëzohet me rrethin. Ne marrim dy pikë duke u shtrirë në rreth dhe duke pasur një ordinate. Këto pika korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian:

Nëse ne, duke lënë pikën që korrespondon me këndin e rrotullimit me radian, shkojmë përreth rrethi i plotë, atëherë do të arrijmë në një pikë që i përgjigjet këndit të rrotullimit për radian dhe që ka të njëjtën ordinatë. Kjo do të thotë, ky kënd i rrotullimit plotëson gjithashtu ekuacionin tonë. Ne mund të bëjmë sa më shumë rrotullime "boshe" sa të duam, duke u kthyer në të njëjtën pikë dhe të gjitha këto vlera të këndit do të kënaqin ekuacionin tonë. Numri i revolucioneve "boshe" do të shënohet me shkronjën (ose). Meqenëse ne mund t'i bëjmë këto revolucione si në pozitive ashtu edhe në drejtim negativ, (ose ) mund të marrë çdo vlerë të plotë.

Kjo është, seria e parë e zgjidhjeve ekuacioni origjinal ka formën:

, , - grup i numrave të plotë (1)

Në mënyrë të ngjashme, seria e dytë e zgjidhjeve ka formën:

, Ku , . (2)

Siç mund ta keni marrë me mend, kjo seri zgjidhjesh bazohet në pikën në rreth që korrespondon me këndin e rrotullimit me .

Këto dy seri zgjidhjesh mund të kombinohen në një hyrje:

Nëse marrim (d.m.th., çift) në këtë hyrje, atëherë do të marrim serinë e parë të zgjidhjeve.

Nëse marrim (d.m.th., tek) në këtë hyrje, atëherë marrim serinë e dytë të zgjidhjeve.

2. Tani le të zgjidhim ekuacionin

Meqenëse kjo është abshisa e një pike në rrethin e njësisë që fitohet duke rrotulluar një kënd, ne shënojmë pikën me abshisën në bosht:

Le të kryejmë vijë vertikale paralel me boshtin derisa të kryqëzohet me rrethin. Do të marrim dy pikë duke u shtrirë në rreth dhe duke pasur një abshisë. Këto pika korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian. Kujtojmë se kur lëvizim në drejtim të akrepave të orës marrim kënd negativ rrotullimi:

Le të shkruajmë dy seri zgjidhjesh:

(Ne arrijmë në pikën e dëshiruar duke shkuar nga rrethi kryesor i plotë, d.m.th.

Le t'i kombinojmë këto dy seri në një hyrje:

3. Zgjidhe ekuacionin

Drejtëza tangjente kalon nëpër pikën me koordinata (1,0) të rrethit njësi paralel me boshtin OY

Le të shënojmë një pikë në të me një ordinatë të barabartë me 1 (ne kërkojmë tangjentën e të cilave kënde është e barabartë me 1):

Le ta lidhim këtë pikë me origjinën e koordinatave me një vijë të drejtë dhe të shënojmë pikat e kryqëzimit të drejtëzës me rrethin njësi. Pikat e kryqëzimit të vijës së drejtë dhe rrethit korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe :

Meqenëse pikat që korrespondojnë me këndet e rrotullimit që plotësojnë ekuacionin tonë qëndrojnë në një distancë prej radianësh nga njëra-tjetra, ne mund ta shkruajmë zgjidhjen në këtë mënyrë:

4. Zgjidheni ekuacionin

Vija e kotangjentave kalon nëpër pikën me koordinatat e rrethit të njësisë paralele me boshtin.

Le të shënojmë një pikë me abshisë -1 në vijën e kotangjenteve:

Le ta lidhim këtë pikë me origjinën e drejtëzës dhe ta vazhdojmë derisa të kryqëzohet me rrethin. Kjo vijë e drejtë do të presë rrethin në pikat që korrespondojnë me këndet e rrotullimit në dhe radian:

Meqenëse këto pika janë të ndara nga njëra-tjetra me një distancë të barabartë me , atëherë zgjidhje e përgjithshme Këtë ekuacion mund ta shkruajmë kështu:

Në shembujt e dhënë që ilustrojnë zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike, janë përdorur vlerat tabelare të funksioneve trigonometrike.

Megjithatë, nëse në anën e djathtë të ekuacionit nuk ka vlera e tabelës, atëherë ne e zëvendësojmë vlerën në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit:

ZGJIDHJE SPECIALE:

Le të shënojmë pikat në rreth, ordinata e të cilit është 0:

Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, ordinata e të cilit është 1:

Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, ordinata e të cilit është e barabartë me -1:

Meqenëse është zakon të tregojmë vlerat më afër zeros, ne e shkruajmë zgjidhjen si më poshtë:

Le të shënojmë pikat në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me 0:

5.
Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me 1:

Le të shënojmë një pikë të vetme në rreth, abshisa e të cilit është e barabartë me -1:

Dhe shembuj pak më kompleks:

Sinus e barabartë me një, nëse argumenti është i barabartë

Argumenti i sinusit tonë është i barabartë, kështu që marrim:

Le të ndajmë të dyja anët e barazisë me 3:

Përgjigje:

Kosinusi e barabartë me zero, nëse argumenti kosinus është i barabartë me

Argumenti i kosinusit tonë është i barabartë me , kështu që marrim:

Le të shprehemi, për ta bërë këtë, së pari lëvizim djathtas me shenjën e kundërt:

Le të thjeshtojmë anën e djathtë:

Ndani të dyja anët me -2:

Vini re se shenja përpara termit nuk ndryshon, pasi k mund të marrë çdo vlerë të plotë.