Ekuacionet janë një nga tema të vështira për asimilim, por në të njëjtën kohë janë të mjaftueshme mjet i fuqishëm për zgjidhjen e shumicës së problemeve.
Ekuacionet përdoren për të përshkruar procese të ndryshme, që ndodhin në natyrë. Ekuacionet përdoren gjerësisht në shkencat e tjera: ekonomi, fizikë, biologji dhe kimi.
NË këtë mësim Ne do të përpiqemi të kuptojmë thelbin e ekuacioneve më të thjeshta, të mësojmë të shprehim të panjohura dhe të zgjidhim disa ekuacione. Ndërsa mësoni materiale të reja, ekuacionet do të bëhen më komplekse, kështu që kuptimi i bazave është shumë i rëndësishëm.
Aftësitë paraprake Përmbajtja e mësimitÇfarë është një ekuacion?
Një ekuacion është një barazi që përmban një variabël vlerën e së cilës dëshironi ta gjeni. Kjo vlerë duhet të jetë e tillë që kur të zëvendësohet në ekuacioni origjinalështë marrë barazia e saktë numerike.
Për shembull, shprehja 2 + 2 = 4 është një barazi. Gjatë llogaritjes së anës së majtë, merret barazia e saktë numerike 4 = 4.
Por barazia është 2 + x= 4 është një ekuacion sepse përmban një ndryshore x, vlera e së cilës mund të gjendet. Vlera duhet të jetë e tillë që kur zëvendësohet kjo vlerë në ekuacionin origjinal, të merret barazia e saktë numerike.
Me fjalë të tjera, ne duhet të gjejmë një vlerë në të cilën shenja e barabartë do të justifikonte vendndodhjen e saj - ana e majtë duhet të jetë e barabartë me anën e djathtë.
Ekuacioni 2 + x= 4 është elementare. Vlera e ndryshueshme xështë e barabartë me numrin 2. Për asnjë vlerë tjetër nuk do të respektohet barazi
Ata thonë se numri 2 është rrënjë ose zgjidhja e ekuacionit 2 + x = 4
Rrënja ose zgjidhje e ekuacionit- kjo është vlera e ndryshores në të cilën ekuacioni kthehet në një barazi të vërtetë numerike.
Mund të ketë disa rrënjë ose fare. Zgjidhe ekuacionin do të thotë të gjesh rrënjët e tij ose të provosh se nuk ka rrënjë.
Ndryshorja e përfshirë në ekuacion quhet ndryshe i panjohur. Ju keni të drejtë ta quani atë siç preferoni. Këto janë sinonime.
shënim. Fraza "zgjidh një ekuacion" flet vetë. Zgjidhja e një ekuacioni do të thotë "barazimi" i ekuacionit - duke e bërë atë të balancuar në mënyrë që ana e majtë të jetë e barabartë me anën e djathtë.
Shpreh një gjë përmes tjetrës
Studimi i ekuacioneve tradicionalisht fillon me të mësuarit për të shprehur një numër të përfshirë në një barazi përmes një numri të tjerëve. Le të mos e thyejmë këtë traditë dhe të bëjmë të njëjtën gjë.
Merrni parasysh shprehjen e mëposhtme:
8 + 2
Kjo shprehje është shuma e numrave 8 dhe 2. Kuptimi shprehje e dhënëështë e barabartë me 10
8 + 2 = 10
Ne morëm barazi. Tani mund të shprehni çdo numër nga kjo barazi përmes numrave të tjerë të përfshirë në të njëjtën barazi. Për shembull, le të shprehim numrin 2.
Për të shprehur numrin 2, duhet të bëni pyetjen: "çfarë duhet bërë me numrat 10 dhe 8 për të marrë numrin 2". Është e qartë se për të marrë numrin 2, duhet të zbritni numrin 8 nga numri 10.
Kjo është ajo që ne bëjmë. Shkruajmë numrin 2 dhe përmes shenjës së barazimit themi se për të marrë këtë numër 2 kemi zbritur numrin 8 nga numri 10:
2 = 10 − 8
Ne shprehëm numrin 2 nga barazia 8 + 2 = 10. Siç mund të shihet nga shembulli, nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me këtë.
Kur zgjidhni ekuacione, veçanërisht kur shprehni një numër në terma të të tjerëve, është e përshtatshme të zëvendësoni shenjën e barabartë me fjalën " ka" . Kjo duhet bërë mendërisht, dhe jo në vetë shprehjen.
Pra, duke shprehur numrin 2 nga barazia 8 + 2 = 10, kemi marrë barazinë 2 = 10 − 8. Kjo barazi mund të lexohet si më poshtë:
2 ka 10 − 8
Kjo është një shenjë = zëvendësohet me fjalën "është". Për më tepër, barazia 2 = 10 − 8 mund të përkthehet nga gjuha matematikore të plotë gjuha njerëzore. Pastaj mund të lexohet si më poshtë:
Numri 2 ka ndryshimi midis numrit 10 dhe numrit 8
Numri 2 ka ndryshimi midis numrit 10 dhe numrit 8.
Por ne do të kufizohemi vetëm në zëvendësimin e shenjës së barazisë me fjalën "është", dhe ne nuk do ta bëjmë gjithmonë këtë. Shprehjet elementare mund të kuptohen pa e përkthyer gjuhën matematikore në gjuhën njerëzore.
Le ta kthejmë barazinë që rezulton 2 = 10 − 8 në gjendjen e tij origjinale:
8 + 2 = 10
Le të shprehim numrin 8 këtë herë Çfarë duhet bërë me numrat e mbetur për të marrë numrin 8? Kjo është e drejtë, ju duhet të zbrisni 2 nga numri 10
8 = 10 − 2
Le ta kthejmë barazinë që rezulton 8 = 10 − 2 në gjendjen e tij origjinale:
8 + 2 = 10
Këtë herë do të shprehim numrin 10. Por rezulton se nuk ka nevojë të shprehet dhjetëshja, pasi tashmë është shprehur. Mjafton të ndërrojmë pjesët e majta dhe të djathta, atëherë marrim atë që na nevojitet:
10 = 8 + 2
Shembulli 2. Merrni parasysh barazinë 8 − 2 = 6
Le të shprehim numrin 8 nga kjo barazi për të shprehur numrin 8, duhet të shtohen dy numrat e mbetur:
8 = 6 + 2
Le ta kthejmë barazinë që rezulton 8 = 6 + 2 në gjendjen e tij origjinale:
8 − 2 = 6
Le të shprehim numrin 2 nga kjo barazi Për të shprehur numrin 2, duhet të zbrisni 6 nga 8
2 = 8 − 6
Shembulli 3. Konsideroni barazinë 3 × 2 = 6
Le të shprehim numrin 3. Për të shprehur numrin 3, duhet 6 pjesëtuar me 2
Le ta kthejmë barazinë që rezulton në gjendjen e tij origjinale:
3 × 2 = 6
Le të shprehim numrin 2 nga kjo barazi për të shprehur numrin 2, ju duhet 6 pjesëtuar me 3
Shembulli 4. Merrni parasysh barazinë
Le të shprehim numrin 15 nga kjo barazi për të shprehur numrin 15, duhet të shumëzoni numrat 3 dhe 5
15 = 3 × 5
Le ta kthejmë barazinë që rezulton 15 = 3 × 5 në gjendjen e tij origjinale:
Le të shprehim numrin 5 nga kjo barazi për të shprehur numrin 5, ju duhet 15 pjesëtuar me 3
Rregullat për gjetjen e të panjohurave
Le të shqyrtojmë disa rregulla për gjetjen e të panjohurave. Ato mund të jenë të njohura për ju, por nuk është e dëmshme t'i përsërisni përsëri. Në të ardhmen, ato mund të harrohen, pasi mësojmë të zgjidhim ekuacione pa zbatuar këto rregulla.
Le të kthehemi te shembulli i parë, të cilin e pamë në temën e mëparshme, ku në barazinë 8 + 2 = 10 na duhej të shprehnim numrin 2.
Në barazinë 8 + 2 = 10, numrat 8 dhe 2 janë termat, dhe numri 10 është shuma.
Për të shprehur numrin 2, bëmë si më poshtë:
2 = 10 − 8
Kjo do të thotë, nga shuma prej 10 ne zbritëm termin 8.
Tani imagjinoni që në barazinë 8 + 2 = 10, në vend të numrit 2, ka një ndryshore x
8 + x = 10
Në këtë rast, barazia 8 + 2 = 10 bëhet ekuacioni 8 + x= 10 dhe ndryshorja x term i panjohur
Detyra jonë është ta gjejmë atë term i panjohur, pra, zgjidhni ekuacionin 8 + x= 10 . Për të gjetur një term të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma.
Kjo është në thelb ajo që bëmë kur shprehëm dy në barazinë 8 + 2 = 10. Për të shprehur termin 2, ne zbritëm një term tjetër 8 nga shuma 10
2 = 10 − 8
Tani, për të gjetur termin e panjohur x, duhet të zbresim termin e njohur 8 nga shuma 10:
x = 10 − 8
Nëse llogaritni anën e djathtë të barazisë që rezulton, mund të zbuloni se me çfarë është e barabartë ndryshorja x
x = 2
Ne e kemi zgjidhur ekuacionin. Vlera e ndryshueshme xështë e barabartë me 2. Për të kontrolluar vlerën e një ndryshoreje x dërguar në ekuacionin origjinal 8 + x= 10 dhe zëvendësues x. Këshillohet ta bëni këtë me çdo ekuacion të zgjidhur, pasi nuk mund të jeni absolutisht i sigurt se ekuacioni është zgjidhur saktë:
Si rezultat
I njëjti rregull do të zbatohej nëse termi i panjohur ishte numri i parë 8.
x + 2 = 10
Në këtë ekuacion xështë termi i panjohur, 2 është termi i njohur, 10 është shuma. Për të gjetur një term të panjohur x, ju duhet të zbritni termin e njohur 2 nga shuma 10
x = 10 − 2
x = 8
Le të kthehemi te shembulli i dytë nga tema e mëparshme, ku në barazinë 8 − 2 = 6 ishte e nevojshme të shprehej numri 8.
Në barazinë 8 − 2 = 6, numri 8 është minuend, numri 2 është nëntrahni dhe numri 6 është diferenca
Për të shprehur numrin 8, bëmë si më poshtë:
8 = 6 + 2
Kjo do të thotë, ne kemi shtuar diferencën e 6 dhe kemi zbritur 2.
Tani imagjinoni që në barazinë 8 − 2 = 6, në vend të numrit 8, ka një ndryshore x
x − 2 = 6
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin e të ashtuquajturit minuend i panjohur
Për të gjetur një minuend të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.
Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 8 në barazinë 8 − 2 = 6. Për të shprehur minuend-in e 8-së, ne i shtuam subtrahend-in e 2 diferencës së 6-së.
Tani, për të gjetur minuendin e panjohur x, ne duhet të shtojmë subtrahend 2 në diferencën 6
x = 6 + 2
Nëse llogaritni anën e djathtë, mund të zbuloni se me çfarë është e barabartë ndryshorja x
x = 8
Tani imagjinoni që në barazinë 8 − 2 = 6, në vend të numrit 2, ka një ndryshore x
8 − x = 6
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin nëntreg i panjohur
Për të gjetur një nëntokë të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.
Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 2 në barazinë 8 − 2 = 6. Për të shprehur numrin 2, zbritëm ndryshimin 6 nga minuend 8.
Tani, për të gjetur nëntokën e panjohur x, përsëri duhet të zbritni diferencën 6 nga minuend 8
x = 8 − 6
Ne llogarisim anën e djathtë dhe gjejmë vlerën x
x = 2
Le të kthehemi te shembulli i tretë nga tema e mëparshme, ku në barazinë 3 × 2 = 6 u përpoqëm të shprehim numrin 3.
Në barazinë 3 × 2 = 6, numri 3 është shumëzuesi, numri 2 është shumëzuesi, numri 6 është prodhimi
Për të shprehur numrin 3 bëmë si më poshtë:
Kjo do të thotë, ne e ndajmë prodhimin e 6 me faktorin 2.
Tani imagjinoni që në barazinë 3 × 2 = 6, në vend të numrit 3 ka një ndryshore x
x× 2 = 6
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin shumëzues i panjohur.
Për të gjetur një shumëzues të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur një shumëzues të panjohur, duhet të ndani produktin me faktorin.
Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 3 nga barazia 3 × 2 = 6. Ne e ndajmë produktin 6 me faktorin 2.
Tani për të gjetur shumëzuesin e panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 6 me faktorin 2.
Llogaritja e anës së djathtë na lejon të gjejmë vlerën e një ndryshoreje x
x = 3
I njëjti rregull zbatohet nëse ndryshorja x ndodhet në vend të shumëzuesit, jo të shumëzuesit. Le të imagjinojmë që në barazinë 3 × 2 = 6, në vend të numrit 2 ka një ndryshore x.
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin shumëzues i panjohur. Për të gjetur një faktor të panjohur, parashikohet e njëjta procedurë si për gjetjen e një shumëzuesi të panjohur, përkatësisht, pjesëtimi i produktit me një faktor të njohur:
Per te gjetur shumëzues i panjohur, ju duhet ta ndani produktin me shumëzuesin e tij.
Kjo është ajo që bëmë kur shprehëm numrin 2 nga barazia 3 × 2 = 6. Më pas për të marrë numrin 2 ne e ndajmë prodhimin e 6 me shumëzuesin e tij 3.
Tani për të gjetur faktorin e panjohur x Ne e ndajmë prodhimin e 6 me shumëzuesin e 3.
Llogaritja e anës së djathtë të barazisë ju lejon të zbuloni se me çfarë është x
x = 2
Shumëzuesi dhe shumëzuesi së bashku quhen faktorë. Meqenëse rregullat për gjetjen e një shumëzuesi dhe një shumëzuesi janë të njëjta, ne mund të formulojmë rregull i përgjithshëm Gjetja e një faktori të panjohur:
Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.
Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin 9 × x= 18. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur këtë faktor të panjohur, duhet të ndani produktin 18 me faktorin e njohur 9
Le të zgjidhim ekuacionin x× 3 = 27. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur këtë faktor të panjohur, duhet të ndani produktin 27 me faktorin e njohur 3
Kthehemi te shembulli i katërt nga tema e mëparshme, ku në një barazi na duhej të shprehnim numrin 15. Në këtë barazi, numri 15 është dividenti, numri 5 është pjesëtuesi dhe numri 3 është herësi.
Për të shprehur numrin 15 bëmë si më poshtë:
15 = 3 × 5
Kjo do të thotë, ne shumëzuam herësin e 3 me pjesëtuesin e 5.
Tani imagjinoni që në barazi, në vend të numrit 15, ka një ndryshore x
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin divident i panjohur.
Për të gjetur një dividend të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Për të gjetur dividentin e panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.
Kështu bëmë kur shprehëm numrin 15 nga barazia. Për të shprehur numrin 15, shumëzojmë herësin e 3 me pjesëtuesin e 5.
Tani, për të gjetur dividentin e panjohur x, ju duhet të shumëzoni herësin 3 me pjesëtuesin 5
x= 3 × 5
x .
x = 15
Tani imagjinoni që në barazi, në vend të numrit 5, ka një ndryshore x .
Në këtë rast ndryshorja x merr rolin pjesëtues i panjohur.
Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, jepet rregulli i mëposhtëm:
Kështu bëmë kur shprehëm numrin 5 nga barazia. Për të shprehur numrin 5, pjesëtojmë dividentin 15 me herësin 3.
Tani për të gjetur pjesëtuesin e panjohur x, ju duhet të pjesëtoni dividentin 15 me herësin 3
Le të llogarisim anën e djathtë të barazisë që rezulton. Në këtë mënyrë zbulojmë se me çfarë është e barabartë ndryshorja x .
x = 5
Pra, për të gjetur të panjohurat, ne studiuam rregullat e mëposhtme:
- Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma;
- Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni diferencës subtrahend;
- Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend;
- Për të gjetur një shumëzues të panjohur, duhet të ndani produktin me faktorin;
- Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet të ndani produktin me shumëzuesin;
- Për të gjetur një dividend të panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin;
- Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.
Komponentët
Ne do t'i quajmë komponentë numrat dhe variablat e përfshirë në barazi
Pra, përbërësit e shtimit janë kushtet Dhe shuma
Komponentët e zbritjes janë minuend, nëntrup Dhe ndryshim
Komponentët e shumëzimit janë shumëfishues, faktor Dhe puna
Përbërësit e pjesëtimit janë dividenti, pjesëtuesi dhe herësi.
Varësisht se me cilët komponentë kemi të bëjmë, do të zbatohen rregullat përkatëse për gjetjen e të panjohurave. Këto rregulla i kemi studiuar në temën e mëparshme. Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve, këshillohet që këto rregulla të njihen përmendësh.
Shembulli 1. Gjeni rrënjën e ekuacionit 45 + x = 60
45 - afati, x- term i panjohur, 60 - shuma. Kemi të bëjmë me komponentët e shtimit. Kujtojmë se për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma:
x = 60 − 45
Le të llogarisim anën e duhur dhe të marrim vlerën x e barabartë me 15
x = 15
Pra, rrënja e ekuacionit është 45 + x= 60 është e barabartë me 15.
Më shpesh, një term i panjohur duhet të reduktohet në një formë në të cilën mund të shprehet.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Këtu, ndryshe nga shembulli i mëparshëm, termi i panjohur nuk mund të shprehet menjëherë, pasi përmban një koeficient prej 2. Detyra jonë është ta sjellim këtë ekuacion në një formë në të cilën mund të shprehet x
Në këtë shembull, kemi të bëjmë me përbërësit e mbledhjes - termat dhe shumën. 2 xështë termi i parë, 4 është termi i dytë, 8 është shuma.
Në këtë rast, termi 2 x përmban një variabël x. Pas gjetjes së vlerës së ndryshores x termi 2 x do të marrë një pamje tjetër. Prandaj, termi 2 x mund të merret plotësisht si një term i panjohur:
Tani zbatojmë rregullin për gjetjen e termit të panjohur. Zbrisni termin e njohur nga shuma:
Le të llogarisim anën e djathtë të ekuacionit që rezulton:
Kemi një ekuacion të ri. Tani kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit: shumëzuesin, shumëzuesin dhe produktin. 2 - shumëzues, x- shumëzues, 4 - produkt
Në këtë rast, ndryshorja x nuk është thjesht një shumëzues, por një shumëzues i panjohur
Për të gjetur këtë faktor të panjohur, ju duhet ta ndani produktin me shumëzuesin:
Le të llogarisim anën e djathtë dhe të marrim vlerën e ndryshores x
Për të kontrolluar, dërgoni rrënjën e gjetur në ekuacionin origjinal dhe zëvendësojeni x
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56
Shprehni menjëherë të panjohurën xështë e ndaluar. Së pari ju duhet ta sillni këtë ekuacion në një formë në të cilën mund të shprehet.
Paraqesim në anën e majtë ekuacioni i dhënë:
Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. 28 - shumëzues, x- shumëzues, 56 - produkt. Ku xështë një faktor i panjohur. Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me shumëzuesin:
Nga këtu xështë e barabartë me 2
Ekuacionet ekuivalente
Në shembullin e mëparshëm, kur zgjidhet ekuacioni 3x + 9x + 16x = 56 , kemi sjellë terma të ngjashëm në anën e majtë të ekuacionit. Si rezultat, ne morëm një ekuacion të ri 28 x= 56 . Ekuacioni i vjetër 3x + 9x + 16x = 56 dhe ekuacioni i ri që rezulton 28 x= 56 quhet ekuacionet ekuivalente, pasi rrënjët e tyre përkojnë.
Ekuacionet quhen ekuivalente nëse rrënjët e tyre përkojnë.
Le ta kontrollojmë. Për ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56 gjetëm rrënjën e barabartë me 2. Së pari, le ta zëvendësojmë këtë rrënjë në ekuacion 3x+ 9x+ 16x= 56 , dhe më pas në ekuacionin 28 x= 56, e cila u përftua duke sjellë terma të ngjashëm në anën e majtë të ekuacionit të mëparshëm. Duhet të marrim barazitë e sakta numerike
Sipas rendit të veprimeve, së pari kryhet shumëzimi:
Le të zëvendësojmë rrënjën 2 në ekuacionin e dytë 28 x= 56
Shohim që të dy ekuacionet kanë të njëjtat rrënjë. Pra ekuacionet 3x+ 9x+ 16x= 6 dhe 28 x= 56 janë me të vërtetë ekuivalente.
Për të zgjidhur ekuacionin 3x+ 9x+ 16x= 56 Ne përdorëm njërën prej tyre - reduktimin e termave të ngjashëm. Transformimi i saktë i identitetit të ekuacionit na lejoi të marrim ekuacionin ekuivalent 28 x= 56, e cila është më e lehtë për t'u zgjidhur.
Nga transformimet e identitetit në ky moment ne dimë vetëm të zvogëlojmë thyesat, të shtojmë terma të ngjashëm, të nxjerrim jashtë shumëzues i përbashkët përtej kllapave, dhe gjithashtu hapni kllapat. Ka konvertime të tjera për të cilat duhet të jeni të vetëdijshëm. Por për ide e pergjithshme për transformimet identike të ekuacioneve, temat që kemi studiuar janë mjaft të mjaftueshme.
Le të shqyrtojmë disa transformime që na lejojnë të marrim ekuacionin ekuivalent
Nëse shtoni të njëjtin numër në të dy anët e ekuacionit, merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
dhe në mënyrë të ngjashme:
Nëse zbrisni të njëjtin numër nga të dy anët e një ekuacioni, ju merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
Me fjalë të tjera, rrënja e ekuacionit nuk do të ndryshojë nëse i njëjti numër i shtohet (ose i zbritet nga të dyja anët) të njëjtit numër.
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin 
Zbrisni 10 nga të dyja anët e ekuacionit
Ne kemi ekuacionin 5 x= 10 . Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Për të gjetur një faktor të panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 10 me faktorin e njohur 5.
dhe zëvendësues x vlera e gjetur 2
Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Zgjidhja e ekuacionit ne zbritëm numrin 10 nga të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, kemi marrë një ekuacion ekuivalent. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni është gjithashtu e barabartë me 2
Shembulli 2. Zgjidh ekuacionin 4( x+ 3) = 16
Zbrisni numrin 12 nga të dyja anët e ekuacionit
Do të mbeten 4 në anën e majtë x, dhe në anën e djathtë numri 4
Ne kemi ekuacionin 4 x= 4. Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Për të gjetur një faktor të panjohur x, ju duhet ta ndani produktin 4 me faktorin e njohur 4
Le të kthehemi në ekuacionin origjinal 4 ( x+ 3) = 16 dhe zëvendësim x vlera e gjetur 1
Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Zgjidhja e ekuacionit 4 ( x+ 3) = 16 kemi zbritur numrin 12 nga të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, kemi marrë ekuacionin ekuivalent 4 x= 4. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni 4 ( x+ 3) = 16 është gjithashtu e barabartë me 1
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin 
Le të zgjerojmë kllapat në anën e majtë të ekuacionit:
Shtoni numrin 8 në të dy anët e ekuacionit
Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dy anët e ekuacionit:
Do të mbeten 2 në anën e majtë x, dhe në anën e djathtë numri 9
Në ekuacionin që rezulton 2 x= 9 shprehim termin e panjohur x
Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 4.5
Ne morëm barazinë e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Zgjidhja e ekuacionit ne shtuam numrin 8 në të dy anët e ekuacionit. Si rezultat, morëm një ekuacion të barabartë. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni gjithashtu e barabartë me 4.5
Rregulli tjetër që na lejon të marrim një ekuacion ekuivalent është si më poshtë
Nëse zhvendosni një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, do të merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
Kjo do të thotë, rrënja e ekuacionit nuk do të ndryshojë nëse kalojmë një term nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin, duke ndryshuar shenjën e tij. Kjo veti është një nga më të rëndësishmet dhe nga ato që përdoret shpesh gjatë zgjidhjes së ekuacioneve.
Merrni parasysh ekuacionin e mëposhtëm:
Rrënja e këtij ekuacioni është e barabartë me 2. Le ta zëvendësojmë x këtë rrënjë dhe kontrolloni nëse barazia numerike është e saktë
Rezultati është një barazi e saktë. Kjo do të thotë se numri 2 është me të vërtetë rrënja e ekuacionit.
Tani le të përpiqemi të eksperimentojmë me termat e këtij ekuacioni, duke i zhvendosur ato nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjat.
Për shembull, termi 3 x ndodhet në anën e majtë të ekuacionit. Le ta zhvendosim atë në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën:
Rezultati është një ekuacion 12 = 9x − 3x . në anën e djathtë të këtij ekuacioni:
xështë një faktor i panjohur. Le të gjejmë këtë faktor të njohur:
Nga këtu x= 2. Siç mund ta shihni, rrënja e ekuacionit nuk ka ndryshuar. Pra, ekuacionet janë 12 + 3 x = 9x Dhe 12 = 9x − 3x janë ekuivalente.
Në fakt, ky transformim është një metodë e thjeshtuar e transformimit të mëparshëm, ku i njëjti numër shtohet (ose zbritet) në të dy anët e ekuacionit.
Ne thamë se në ekuacionin 12 + 3 x = 9x termi 3 x u zhvendos në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Në realitet, ndodhi si vijon: termi 3 u zbrit nga të dy anët e ekuacionit x
Më pas janë dhënë terma të ngjashëm në anën e majtë dhe është marrë ekuacioni 12 = 9x − 3x. Pastaj u dhanë përsëri terma të ngjashëm, por në anën e djathtë, dhe u mor ekuacioni 12 = 6 x.
Por i ashtuquajturi "transferim" është më i përshtatshëm për ekuacione të tilla, prandaj është bërë kaq i përhapur. Kur zgjidhim ekuacione, ne shpesh do të përdorim këtë transformim të veçantë.
Ekuacionet 12 + 3 janë gjithashtu ekuivalente x= 9x Dhe 3x− 9x= −12 . Këtë herë ekuacioni është 12 + 3 x= 9x termi 12 u zhvendos në anën e djathtë, dhe termi 9 x në të majtë. Nuk duhet të harrojmë se shenjat e këtyre kushteve u ndryshuan gjatë transferimit
Rregulli tjetër që na lejon të marrim një ekuacion ekuivalent është si më poshtë:
Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër, jo të barabartë me zero, ju merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
Me fjalë të tjera, rrënjët e një ekuacioni nuk do të ndryshojnë nëse të dyja palët shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër. Ky veprim përdoret shpesh kur duhet të zgjidhni një ekuacion që përmban shprehjet thyesore.
Së pari, le të shohim shembuj në të cilët të dy anët e ekuacionit do të shumëzohen me të njëjtin numër.
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin
Kur zgjidhen ekuacionet që përmbajnë shprehje thyesore, është zakon që fillimisht të thjeshtohet ekuacioni.
NË në këtë rast kemi të bëjmë pikërisht me një ekuacion të tillë. Për të thjeshtuar këtë ekuacion, të dyja anët mund të shumëzohen me 8:
Kujtojmë se për , duhet të shumëzojmë numëruesin e një thyese të dhënë me këtë numër. Kemi dy thyesa dhe secila prej tyre shumëzohet me numrin 8. Detyra jonë është të shumëzojmë numëruesit e thyesave me këtë numër 8
Tani ndodh pjesa interesante. Numëruesit dhe emëruesit e të dy thyesave përmbajnë një faktor 8, i cili mund të reduktohet me 8. Kjo do të na lejojë të heqim qafe shprehjen thyesore:
Si rezultat, ekuacioni më i thjeshtë mbetet
Epo, nuk është e vështirë të merret me mend se rrënja e këtij ekuacioni është 4
x vlera e gjetur 4
Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni, ne i shumëzuam të dyja anët me 8. Si rezultat, morëm ekuacionin. Rrënja e këtij ekuacioni, ashtu si ekuacioni, është 4. Kjo do të thotë se këto ekuacione janë ekuivalente.
Faktori me të cilin shumëzohen të dyja anët e ekuacionit zakonisht shkruhet para pjesës së ekuacionit, dhe jo pas saj. Pra, duke zgjidhur ekuacionin, ne shumëzuam të dy anët me një faktor 8 dhe morëm hyrjen e mëposhtme:
Kjo nuk e ndryshoi rrënjën e ekuacionit, por nëse do ta kishim bërë këtë në shkollë, do të ishim qortuar, pasi në algjebër është zakon të shkruhet faktori para shprehjes me të cilën shumëzohet. Prandaj, është e këshillueshme që të rishkruhet shumëzimi i të dy anëve të ekuacionit me një faktor 8 si më poshtë:
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin 
Në anën e majtë, faktorët e 15 mund të zvogëlohen me 15, dhe në anën e djathtë, faktorët e 15 dhe 5 mund të zvogëlohen me 5.
Le të hapim kllapat në anën e djathtë të ekuacionit:
Le të lëvizim termin x nga ana e majtë e ekuacionit në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Dhe ne zhvendosim termin 15 nga ana e djathtë e ekuacionit në anën e majtë, duke ndryshuar përsëri shenjën:
Ne paraqesim terma të ngjashëm në të dyja anët, marrim
Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. E ndryshueshme x
Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 5
Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë. Gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni, ne i shumëzuam të dyja anët me 15. Duke kryer më tej transformime identike, kemi marrë ekuacionin 10 = 2 x. Rrënja e këtij ekuacioni, si ekuacioni është e barabartë me 5. Kjo do të thotë se këto ekuacione janë ekuivalente.
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin
Në anën e majtë mund të zvogëloni dy trefisha, dhe pjesa e djathtë do të jetë e barabartë me 18
Ekuacioni më i thjeshtë mbetet. Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. E ndryshueshme xështë një faktor i panjohur. Le të gjejmë këtë faktor të njohur:
Le të kthehemi në ekuacionin origjinal dhe të zëvendësojmë x vlera e gjetur 9
Rezultati është një barazi e saktë numerike. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Shembulli 4. Zgjidhe ekuacionin 
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me 6
Le të hapim kllapat në anën e majtë të ekuacionit. Në anën e djathtë, faktori 6 mund të ngrihet në numërues:
Le të zvogëlojmë atë që mund të reduktohet në të dy anët e ekuacioneve:
Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Le të përdorim transferimin e termave. Termat që përmbajnë të panjohurën x, ne grupojmë në anën e majtë të ekuacionit, dhe termat pa të panjohura - në të djathtë:
Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dyja pjesët:
Tani le të gjejmë vlerën e ndryshores x. Për ta bërë këtë, ndani produktin 28 me faktorin e njohur 7
Nga këtu x= 4.
Le të kthehemi te ekuacioni origjinal dhe zëvendësues x vlera e gjetur 4
Rezultati është një ekuacion numerik i saktë. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin 
Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit ku është e mundur:
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me 15
Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit:
Le të zvogëlojmë atë që mund të reduktohet në të dy anët e ekuacionit:
Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Le të zgjerojmë kllapat ku është e mundur:
Le të përdorim transferimin e termave. Ne grupojmë termat që përmbajnë të panjohurën në anën e majtë të ekuacionit dhe termat pa të panjohura në të djathtë. Mos harroni se gjatë transferimit, kushtet ndryshojnë shenjat e tyre në të kundërtën:
Le të paraqesim terma të ngjashëm në të dy anët e ekuacionit:
Le të gjejmë vlerën x
Përgjigja që rezulton mund të ndahet në një pjesë të tërë:
Le të kthehemi në ekuacionin origjinal dhe të zëvendësojmë x vlerë të gjetur
Ajo rezulton të jetë një shprehje mjaft e rëndë. Le të përdorim variablat. Ana e majte vendosni barazitë në një ndryshore A, dhe anën e djathtë të barazisë në një ndryshore B
Detyra jonë është të sigurohemi nëse ana e majtë është e barabartë me të djathtën. Me fjalë të tjera, provoni barazinë A = B
Le të gjejmë vlerën e shprehjes në ndryshoren A.
Vlera e ndryshueshme A barazohet . Tani le të gjejmë vlerën e ndryshores B. Kjo është vlera e anës së djathtë të barazisë sonë. Nëse është gjithashtu i barabartë, atëherë ekuacioni do të zgjidhet saktë
Shohim se vlera e ndryshores B, si dhe vlera e ndryshores A është . Kjo do të thotë që ana e majtë është e barabartë me anën e djathtë. Nga kjo arrijmë në përfundimin se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Tani le të përpiqemi të mos shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me të njëjtin numër, por të pjesëtojmë.
Merrni parasysh ekuacionin 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Le ta zgjidhim metoda e zakonshme: termat që përmbajnë të panjohura grupohen në anën e majtë të ekuacionit dhe termat pa të panjohura grupohen në të djathtë. Më pas, duke kryer transformimet e identitetit të njohur, gjejmë vlerën x
Në vend të kësaj, le të zëvendësojmë vlerën e gjetur 2 x në ekuacionin origjinal:
Tani le të përpiqemi të ndajmë të gjitha termat e ekuacionit 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 me një numër Vërejmë se të gjithë termat e këtij ekuacioni kanë një faktor të përbashkët prej 2. Ne e ndajmë secilin term me të.
Le të bëjmë një reduktim në çdo term:
Le të rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur transformimet e njohura të identitetit:
Ne morëm rrënjën 2. Pra ekuacionet 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Dhe 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 janë ekuivalente.
Pjestimi i të dy anëve të ekuacionit me të njëjtin numër ju lejon të hiqni të panjohurën nga koeficienti. Në shembullin e mëparshëm kur morëm ekuacionin 7 x= 14, na duhej të pjesëtonim prodhimin 14 me faktorin e njohur 7. Por nëse do ta kishim çliruar të panjohurën nga faktori 7 në anën e majtë, rrënja do të ishte gjetur menjëherë. Për ta bërë këtë, mjaftonte të ndani të dyja palët me 7
Ne gjithashtu do ta përdorim këtë metodë shpesh.
Shumëzimi me minus një
Nëse të dyja anët e ekuacionit shumëzohen me minus një, ju merrni një ekuacion të barabartë me këtë.
Ky rregull rrjedh nga fakti që shumëzimi (ose pjesëtimi) i të dyja anëve të një ekuacioni me të njëjtin numër nuk e ndryshon rrënjën e ekuacionit të dhënë. Kjo do të thotë se rrënja nuk do të ndryshojë nëse të dyja pjesët e saj shumëzohen me -1.
Ky rregull ju lejon të ndryshoni shenjat e të gjithë komponentëve të përfshirë në ekuacion. Për çfarë është? Përsëri, për të marrë një ekuacion ekuivalent që është më i lehtë për t'u zgjidhur.
Merrni parasysh ekuacionin. Pse e barabartë me rrënjën ky ekuacion?
Shtoni numrin 5 në të dy anët e ekuacionit
Le të shohim terma të ngjashëm:
Tani le të kujtojmë për. Cila është ana e majtë e ekuacionit? Ky është prodhimi i minus një dhe një ndryshoreje x
Kjo do të thotë, shenja minus përballë ndryshores x nuk i referohet vetë ndryshores x, por në një, të cilën nuk e shohim, pasi koeficienti 1 zakonisht nuk shkruhet. Kjo do të thotë që ekuacioni në fakt duket kështu:
Kemi të bëjmë me komponentët e shumëzimit. Per te gjetur X, ju duhet ta ndani produktin −5 me faktorin e njohur −1.
ose pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me -1, që është edhe më e thjeshtë
Pra, rrënja e ekuacionit është 5. Për të kontrolluar, le ta zëvendësojmë atë në ekuacionin origjinal. Mos harroni se në ekuacionin origjinal minusi është përpara ndryshores x i referohet një njësie të padukshme
Rezultati është një ekuacion numerik i saktë. Kjo do të thotë se ekuacioni është zgjidhur saktë.
Tani le të përpiqemi të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me minus një:
Pas hapjes së kllapave, shprehja formohet në anën e majtë, dhe ana e djathtë do të jetë e barabartë me 10
Rrënja e këtij ekuacioni, ashtu si ekuacioni, është 5
Kjo do të thotë që ekuacionet janë ekuivalente.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Në këtë ekuacion, të gjithë komponentët janë negativë. Është më i përshtatshëm të punosh me komponentë pozitivë sesa me negativë, kështu që le të ndryshojmë shenjat e të gjithë komponentëve të përfshirë në ekuacion. Për ta bërë këtë, shumëzojini të dyja anët e këtij ekuacioni me -1.
Është e qartë se kur shumëzohet me -1, çdo numër do të ndryshojë shenjën e tij në të kundërtën. Prandaj, procedura e shumëzimit me -1 dhe hapja e kllapave nuk përshkruhet në detaje, por përbërësit e ekuacionit me shenja të kundërta shënohen menjëherë.
Kështu, shumëzimi i një ekuacioni me -1 mund të shkruhet në detaje si më poshtë:
ose thjesht mund të ndryshoni shenjat e të gjithë komponentëve:
Rezultati do të jetë i njëjtë, por ndryshimi do të jetë se ne do të kursejmë kohë.
Pra, duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me -1, marrim ekuacionin. Le ta zgjidhim këtë ekuacion. Zbrisni 4 nga të dyja anët dhe ndani të dyja anët me 3
Kur gjendet rrënja, ndryshorja zakonisht shkruhet në anën e majtë, dhe vlera e saj në të djathtë, që është ajo që bëmë.
Shembulli 3. Zgjidhe ekuacionin
Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me −1. Atëherë të gjithë përbërësit do të ndryshojnë shenjat e tyre në ato të kundërta:
Zbrisni 2 nga të dy anët e ekuacionit që rezulton x dhe jepni terma të ngjashëm:
Le të shtojmë një në të dy anët e ekuacionit dhe të japim terma të ngjashëm: 
Barazohet me zero
Kohët e fundit mësuam se nëse zhvendosim një term në një ekuacion nga një pjesë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e tij, do të marrim një ekuacion të barabartë me atë të dhënë.
Çfarë ndodh nëse kaloni nga një pjesë në tjetrën jo vetëm një term, por të gjithë termat? Ashtu është, në pjesën ku janë hequr të gjitha termat do të mbetet zero. Me fjalë të tjera, nuk do të mbetet asgjë.
Si shembull, merrni parasysh ekuacionin. Le ta zgjidhim këtë ekuacion si zakonisht - ne do të grupojmë termat që përmbajnë të panjohura në një pjesë, dhe do t'i lëmë termat numerikë të lirë nga të panjohurat në tjetrën. Më pas, duke kryer transformimet e identitetit të njohur, gjejmë vlerën e ndryshores x
Tani le të përpiqemi të zgjidhim të njëjtin ekuacion duke barazuar të gjithë përbërësit e tij me zero. Për ta bërë këtë, ne lëvizim të gjitha termat nga ana e djathtë në të majtë, duke ndryshuar shenjat:
Le të paraqesim terma të ngjashëm në anën e majtë:
Shtoni 77 në të dyja anët dhe ndani të dyja anët me 7
Një alternativë ndaj rregullave për gjetjen e të panjohurave
Natyrisht, duke ditur për transformimet identike të ekuacioneve, nuk duhet të mësoni përmendësh rregullat për gjetjen e të panjohurave.
Për shembull, për të gjetur të panjohurën në një ekuacion, ne e ndajmë produktin 10 me faktorin e njohur 2
Por nëse i ndani të dyja anët e ekuacionit me 2, rrënja do të gjendet menjëherë. Në anën e majtë të ekuacionit në numërues faktori 2 dhe në emërues faktori 2 do të zvogëlohet me 2. Dhe ana e djathtë do të jetë e barabartë me 5
Ekuacionet e formës i zgjidhëm duke shprehur termin e panjohur:
Por ju mund të përdorni transformimet identike që kemi studiuar sot. Në ekuacion, termi 4 mund të zhvendoset në anën e djathtë duke ndryshuar shenjën:
Në anën e majtë të ekuacionit, dy dyshe do të anulohen. Ana e djathtë do të jetë e barabartë me 2. Prandaj .
Ose mund të zbrisni 4 nga të dy anët e ekuacionit, atëherë do të merrnit sa vijon.
Në rastin e ekuacioneve të formës, është më e përshtatshme të ndahet produkti me një faktor të njohur. Le të krahasojmë të dyja zgjidhjet:
Zgjidhja e parë është shumë më e shkurtër dhe më e rregullt. Zgjidhja e dytë mund të shkurtohet ndjeshëm nëse e bëni ndarjen në kokën tuaj.
Megjithatë, është e nevojshme të njihni të dyja metodat dhe vetëm atëherë të përdorni atë që preferoni.
Kur ka disa rrënjë
Një ekuacion mund të ketë shumë rrënjë. Për shembull ekuacioni x(x+ 9) = 0 ka dy rrënjë: 0 dhe −9.
Në barazimin. x(x+ 9) = 0 ishte e nevojshme për të gjetur një vlerë të tillë x në të cilën ana e majtë do të ishte e barabartë me zero. Ana e majtë e këtij ekuacioni përmban shprehjet x Dhe (x+9), të cilët janë faktorë. Nga ligjet e produktit ne e dimë se një produkt është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero (ose faktori i parë ose i dyti).
Kjo është, në barazimin. x(x+ 9) = 0 barazia do të arrihet nëse x do të jetë e barabartë me zero ose (x+9) do të jetë e barabartë me zero.
x= 0 ose x + 9 = 0
Duke vendosur të dyja këto shprehje në zero, ne mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit x(x+ 9) = 0. Rrënja e parë, siç shihet nga shembulli, u gjet menjëherë. Për të gjetur rrënjën e dytë ju duhet të zgjidhni ekuacioni elementar x+ 9 = 0. Është e lehtë të merret me mend se rrënja e këtij ekuacioni është −9. Kontrollimi tregon se rrënja është e saktë:
−9 + 9 = 0
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Ky ekuacion ka dy rrënjë: 1 dhe 2. Ana e majtë e ekuacionit është prodhim i shprehjeve ( x− 1) dhe ( x− 2) . Dhe produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero (ose faktori ( x− 1) ose faktori ( x − 2) ).
Le të gjejmë diçka të tillë x nën të cilat shprehjet ( x− 1) ose ( x− 2) bëhet zero:
Ne i zëvendësojmë vlerat e gjetura një nga një në ekuacionin origjinal dhe sigurohemi që për këto vlera ana e majtë të jetë e barabartë me zero:
Kur ka pafundësisht shumë rrënjë
Një ekuacion mund të ketë pafundësisht shumë rrënjë. Kjo do të thotë, duke zëvendësuar çdo numër në një ekuacion të tillë, marrim barazinë e saktë numerike.
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin 
Rrënja e këtij ekuacioni është çdo numër. Nëse hapni kllapat në anën e majtë të ekuacionit dhe shtoni terma të ngjashëm, merrni barazinë 14 = 14. Kjo barazi do të merret për çdo x
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Rrënja e këtij ekuacioni është çdo numër. Nëse hapni kllapat në anën e majtë të ekuacionit, merrni barazinë 10x + 12 = 10x + 12. Kjo barazi do të merret për çdo x
Kur nuk ka rrënjë
Ndodh gjithashtu që ekuacioni të mos ketë fare zgjidhje, domethënë të mos ketë rrënjë. Për shembull, ekuacioni nuk ka rrënjë, pasi për ndonjë vlerë x, ana e majtë e ekuacionit nuk do të jetë e barabartë me anën e djathtë. Për shembull, le . Atëherë ekuacioni do të marrë formën e mëposhtme
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin
Le të zgjerojmë kllapat në anën e majtë të ekuacionit:
Le të shohim terma të ngjashëm:
Shohim që ana e majtë nuk është e barabartë me anën e djathtë. Dhe kjo do të jetë rasti për çdo vlerë. y. Për shembull, le y = 3 .
Ekuacionet e shkronjave
Një ekuacion mund të përmbajë jo vetëm numra me ndryshore, por edhe shkronja.
Për shembull, formula për gjetjen e shpejtësisë është një ekuacion i mirëfilltë:
Ky ekuacion përshkruan shpejtësinë e një trupi gjatë lëvizjes së përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme.
Një aftësi e dobishme është aftësia për të shprehur çdo komponent të përfshirë në një ekuacion shkronjash. Për shembull, për të përcaktuar distancën nga një ekuacion, duhet të shprehni variablin s .
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me t
Variablat në anën e djathtë t le ta shkurtojmë t
Në ekuacionin që rezulton, ne shkëmbejmë anën e majtë dhe të djathtë:
Ne kemi një formulë për gjetjen e distancës, të cilën e kemi studiuar më parë.
Le të përpiqemi të përcaktojmë kohën nga ekuacioni. Për ta bërë këtë ju duhet të shprehni variablin t .
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me t
Variablat në anën e djathtë t le ta shkurtojmë t dhe rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Në ekuacionin që rezulton v×t = s ndani të dyja pjesët me v
Variablat në të majtë v le ta shkurtojmë v dhe rishkruajmë atë që na ka mbetur:
Ne kemi formulën për përcaktimin e kohës, të cilën e kemi studiuar më herët.
Supozoni se shpejtësia e trenit është 50 km/h
v= 50 km/h
Dhe distanca është 100 km
s= 100 km
Pastaj letra do të marrë formën e mëposhtme
Nga ky ekuacion mund të gjendet koha. Për ta bërë këtë ju duhet të jeni në gjendje të shprehni variablin t. Ju mund të përdorni rregullin për gjetjen e një pjesëtuesi të panjohur duke pjesëtuar dividentin me herësin dhe duke përcaktuar kështu vlerën e ndryshores t
ose mund të përdorni transformime identike. Së pari shumëzojini të dyja anët e ekuacionit me t
Më pas ndajmë të dyja anët me 50
Shembulli 2 x
Zbrit nga të dyja anët e ekuacionit a
Le t'i ndajmë të dyja anët e ekuacionit me b
a + bx = c, atëherë do të kemi zgjidhje e gatshme. Do të jetë e mjaftueshme për ta zëvendësuar atë vlerat e kërkuara. Ato vlera që do të zëvendësohen me shkronjat a, b, c zakonisht quhet parametrave. Dhe ekuacionet e formës a + bx = c thirrur ekuacioni me parametra. Në varësi të parametrave, rrënja do të ndryshojë.
Le të zgjidhim ekuacionin 2 + 4 x= 10 . Duket si një ekuacion shkronjash a + bx = c. Në vend që të kryejmë transformime identike, mund të përdorim një zgjidhje të gatshme. Le të krahasojmë të dyja zgjidhjet:
Ne shohim se zgjidhja e dytë është shumë më e thjeshtë dhe më e shkurtër.
Për një zgjidhje të gatshme duhet të bëni shënim i vogël. Parametri b nuk duhet të jetë e barabartë me zero (b ≠ 0), meqë lejohet pjesëtimi me zero me.
Shembulli 3. Jepet një ekuacion fjalë për fjalë. Shprehuni nga ky barazim x
Le të hapim kllapat në të dy anët e ekuacionit
Le të përdorim transferimin e termave. Parametrat që përmbajnë një ndryshore x, ne grupojmë në anën e majtë të ekuacionit, dhe parametrat e lirë nga kjo ndryshore - në të djathtë.
Në anën e majtë nxjerrim faktorin nga kllapat x
Le t'i ndajmë të dyja anët sipas shprehjes a − b
Në anën e majtë, numëruesi dhe emëruesi mund të reduktohen me a − b. Kështu shprehet përfundimisht ndryshorja x
Tani, nëse hasim një ekuacion të formës a(x − c) = b(x + d), atëherë do të kemi një zgjidhje të gatshme. Do të jetë e mjaftueshme për të zëvendësuar vlerat e kërkuara në të.
Le të themi se na është dhënë ekuacioni 4(x− 3) = 2(x+ 4) . Duket si një ekuacion a(x − c) = b(x + d). Le ta zgjidhim në dy mënyra: duke përdorur transformime identike dhe duke përdorur një zgjidhje të gatshme:
Për lehtësi, le ta heqim atë nga ekuacioni 4(x− 3) = 2(x+ 4) vlerat e parametrave a, b, c, d . Kjo do të na lejojë të mos bëjmë një gabim kur zëvendësojmë:
Ashtu si në shembullin e mëparshëm, emëruesi këtu nuk duhet të jetë i barabartë me zero ( a − b ≠ 0) . Nëse hasim një ekuacion të formës a(x − c) = b(x + d) në të cilat parametrat a Dhe b do të jetë i njëjtë, mund të themi pa e zgjidhur se ky ekuacion nuk ka rrënjë, pasi diferenca numra të njëjtë e barabartë me zero.
Për shembull, ekuacioni 2(x − 3) = 2(x + 4)është një ekuacion i formës a(x − c) = b(x + d). Në barazimin. 2(x − 3) = 2(x + 4) opsione a Dhe b e njëjta. Nëse fillojmë ta zgjidhim, do të arrijmë në përfundimin se ana e majtë nuk do të jetë e barabartë me anën e djathtë:
Shembulli 4. Jepet një ekuacion fjalë për fjalë. Shprehuni nga ky barazim x
Le të sjellim anën e majtë të ekuacionit në një emërues të përbashkët:
Shumëzojini të dyja anët me a
Në anën e majtë x le ta vendosim jashtë kllapave
Ndani të dyja anët me shprehjen (1 − a)
Ekuacione lineare me një të panjohur
Quhen ekuacionet e diskutuara në këtë mësim ekuacionet lineare të shkallës së parë me një të panjohur.
Nëse ekuacioni jepet në shkallën e parë, nuk përmban ndarje me të panjohurën, dhe gjithashtu nuk përmban rrënjë nga e panjohura, atëherë mund të quhet linear. Ne nuk i kemi studiuar ende fuqitë dhe rrënjët, kështu që për të mos e komplikuar jetën tonë, fjalën "lineare" do ta kuptojmë si "të thjeshtë".
Shumica e ekuacioneve të zgjidhura në këtë mësim përfundimisht rezultuan në një ekuacion të thjeshtë në të cilin ju duhej ta ndanit produktin me një faktor të njohur. Për shembull, ky është ekuacioni 2 ( x+ 3) = 16 . Le ta zgjidhim.
Le të hapim kllapat në anën e majtë të ekuacionit, marrim 2 x+ 6 = 16. Le të zhvendosim termin 6 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën. Pastaj marrim 2 x= 16 − 6. Llogaritni anën e djathtë, marrim 2 x= 10. Për të gjetur x, pjestojeni produktin 10 me faktorin e njohur 2. Prandaj x = 5.
Ekuacioni 2 ( x+ 3) = 16 është lineare. Zbret në ekuacionin 2 x= 10, për të gjetur rrënjën e së cilës ishte e nevojshme të ndahej produkti me një faktor të njohur. Ky ekuacion më i thjeshtë quhet ekuacioni linear i shkallës së parë me një të panjohur in formë kanonike . Fjala "kanonike" është sinonim me fjalët "e thjeshtë" ose "normale".
Një ekuacion linear i shkallës së parë me një të panjohur në formë kanonike quhet ekuacion i formës sëpatë = b.
Ekuacioni ynë që rezulton 2 x= 10 është një ekuacion linear i shkallës së parë me një të panjohur në formë kanonike. Ky ekuacion ka shkallën e parë, një të panjohur, nuk përmban pjesëtim me të panjohurën dhe nuk përmban rrënjë nga e panjohura dhe paraqitet në formë kanonike, pra në formën më të thjeshtë në të cilën vlera mund të përcaktohet lehtësisht. x. Në vend të parametrave a Dhe b ekuacioni ynë përmban numrat 2 dhe 10. Por një ekuacion i tillë mund të përmbajë edhe numra të tjerë: pozitiv, negativ ose të barabartë me zero.
Nëse në një ekuacion linear a= 0 dhe b= 0, atëherë ekuacioni ka pafundësisht shumë rrënjë. Në të vërtetë, nëse a e barabartë me zero dhe b barazohet me zero, pastaj ekuacioni linear sëpatë= b do të marrë formën 0 x= 0. Për çdo vlerë x ana e majtë do të jetë e barabartë me anën e djathtë.
Nëse në një ekuacion linear a= 0 dhe b≠ 0, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë. Në të vërtetë, nëse a e barabartë me zero dhe bështë e barabartë me një numër që nuk është i barabartë me zero, le të themi numri 5, pastaj ekuacioni sëpatë = b do të marrë formën 0 x= 5. Ana e majtë do të jetë zero, dhe ana e djathtë do të jetë pesë. Dhe zero nuk është e barabartë me pesë.
Nëse në një ekuacion linear a≠ 0, dhe b barazohet me çdo numër, atëherë ekuacioni ka një rrënjë. Përcaktohet duke ndarë parametrin b për parametër a
Në të vërtetë, nëse a i barabartë me një numër që nuk është zero, le të themi numrin 3, dhe b i barabartë me një numër, le të themi numrin 6, atëherë ekuacioni do të marrë formën .
Nga këtu.
Ekziston një formë tjetër regjistrimi ekuacioni linear shkalla e parë me një të panjohur. Duket kështu: sëpatë−b= 0. Ky është i njëjti ekuacion si sëpatë = b
A ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me tonën grup i ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja
Një barazi me një numër të panjohur quhet ekuacion.
Për shembull: x + 23 = 45; 65 x = 13; 12 -dg = 48;45:x=3.
Zgjidhja e një ekuacioni nënkupton gjetjen e një vlere të një numri të panjohur në mënyrë që barazia të jetë e vërtetë.
Ky numër quhet rrënja e ekuacionit.
Për shembull:
x+ 23 = 45; x = 22, pasi 22 + 23 = 45.
Kështu, ky përkufizim specifikon gjithashtu një mënyrë për të testuar një ekuacion: zëvendësimi i vlerës së gjetur të një numri të panjohur në një shprehje, llogaritja e vlerës së tij dhe krahasimi i rezultatit me një numër të caktuar (përgjigje).
Nëse vlera e numrit të panjohur gjendet saktë, atëherë fitohet barazia e saktë.
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve.
Studimi i ekuacioneve dhe metodave më të thjeshta për zgjidhjen e tyre është vendosur fort në sistemin e trajnimit fillestar matematikor. Ekuacionet janë një nga mjetet e modelimit të fragmenteve të realitetit që studiohen, dhe njohja me to është një pjesë thelbësore e edukimit matematikor. Në të njëjtën kohë, njohja e nxënësve të shkollave fillore me ekuacionet i përgatit ata për të studiuar matematikën në shkollën fillore.
Në matematikë, një ekuacion zakonisht kuptohet si "një paraqitje analitike e problemit të gjetjes së vlerave të argumenteve për të cilat vlerat e dy funksioneve të dhëna janë të barabarta. Argumentet nga të cilat varen këto funksione thirren i panjohur, dhe vlerat e të panjohurave në të cilat vlerat e funksioneve janë të barabarta janë zgjidhjet - rrënjët e ekuacionit." Kjo do të thotë se koncepti i një ekuacioni, së pari, shoqërohet me shprehje analitike(në rastin tonë me aritmetikë), dhe së dyti, - Me koncepti i një ndryshoreje që merr vlera nga një grup i caktuar.
Në shkollën fillore diskutohen dy mënyra për të zgjidhur një ekuacion.
Metoda e përzgjedhjes
Një vlerë e përshtatshme e numrit të panjohur zgjidhet ose nga vendos vlerat, ose nga një grup arbitrar numrash.
Numri i zgjedhur, kur zëvendësohet në shprehje, duhet ta kthejë atë në një barazi të vërtetë. Për shembull:
Nga numrat 7, 10, 5, 4, 1, 3, zgjidhni për çdo ekuacion një vlerë prej x që do të japë barazinë e saktë: 9 + x=14 7-x=2 x-1 = 9 x+5 = b.
Secili nga numrat e propozuar kontrollohet duke zëvendësuar në shprehje dhe duke krahasuar vlerën që rezulton me përgjigjen.
Me një numër të madh vlerash të propozuara, kjo metodë kërkon shumë kohë dhe përpjekje. Kur zgjedh në mënyrë të pavarur kuptimet e shprehjeve, fëmija mund të mos gjejë në mënyrë të pavarur kuptimin e mundshëm të së panjohurës.
Një mënyrë për të përdorur marrëdhënien midis komponentëve të veprimit.
Përdoren rregullat për ndërlidhjen e komponentëve të veprimit.
Për shembull:
Zgjidheni ekuacionin: 9 + x=14
Termi është i panjohur. Për të gjetur termin e panjohur, duhet të zbritni termin e njohur nga shuma. Kjo do të thotë x = 14 - 9; x = 5.
Zgjidheni ekuacionin: 7 -x=2
Nëntokë e panjohur. Për të gjetur subtrahendin e panjohur, duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend. Kjo do të thotë x = 1 - 2; x = 5.
Zgjidheni ekuacionin: x-1 = 9
Minuend i panjohur. Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend. Pra x = 9 + 1; x = 10.
Për zgjidhjen e ekuacioneve me veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit, përdoren rregullat e varësisë së përbërësve të shumëzimit dhe pjesëtimit.
Për shembull:
Zgjidheni ekuacionin: 96:x=24
Pjesëtues i panjohur. Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin. Kjo do të thotë x = 96: 24; x = 4. Le të kontrollojmë zgjidhjen: 24 4 = 96.
Zgjidheni ekuacionin: x:23 = 4
Divident i panjohur. Për të gjetur dividendin e panjohur, duhet të shumëzoni pjesëtuesin me herësin. Kjo do të thotë x = 23 4; x = 92. Le të kontrollojmë zgjidhjen: 92: 23 = 4.
Zgjidheni ekuacionin: o:- 14 = 84
Shumëzuesi i panjohur. Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur. Kjo do të thotë x = 84:14 x = 6. Le të kontrollojmë zgjidhjen: x 14 = 84.
Përdorimi i këtyre rregullave siguron një mënyrë më të shpejtë për të zgjidhur ekuacionet. Vështirësia është se shumë fëmijë ngatërrojnë rregullat për marrëdhënien e komponentëve të veprimit dhe emrat e përbërësve (duhet të dini mirë 6 rregulla dhe emrat e 10 komponentëve).
Për ekuacione më të vështira, përdoret një metodë e përshtatjes, për shembull:
35 + x + x + x = 35 - është e qartë se e panjohura mund të marrë vetëm një vlerë zero;
78-x-x = 76 - padyshim x = 1, pasi 78 - 1 - 1 = 76.
Për ekuacionet me kllapa të formës (6 + x) - 5 = 38, përdoret rregulli për marrëdhënien e komponentëve të veprimit. Ana e majtë e ekuacionit konsiderohet së pari si një ndryshim, duke e konsideruar shprehjen në kllapa si një përbërës të vetëm të panjohur. Ky komponent i vetëm i panjohur është minuend. Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet të shtoni subtrahendin në ndryshim:
Kështu, ekuacioni merr formën e tij të zakonshme. Në këtë ekuacion ju duhet të gjeni termin e panjohur: x = 43-6 x = 37;
Le të kontrollojmë zgjidhjen (zëvendësojmë vlerën e gjetur të së panjohurës në shprehjen origjinale): (6 + 37) - 5 = (6 - 5) + 37 = 1 + 37 = 38.
Një sërë tekstesh alternative të matematikës për klasat fillore praktikojnë njohjen e fëmijëve me më shumë ekuacionet komplekse(I.I. Arginskaya, L.G. Peterson), për zgjidhjen e të cilave rekomandohet të zbatohen në mënyrë të përsëritur rregullat për marrëdhëniet e komponentëve të veprimit.
Për shembull:
Zgjidheni ekuacionin: (y-3)-5-875 = 210
Le të shohim anën e majtë të ekuacionit dhe të përcaktojmë rendin e veprimeve.
(y-3)- 5 -875 = 210
Lloji i shprehjes në anën e majtë përcaktohet nga veprimi i fundit: veprimi i fundit është zbritja, që do të thotë se ne fillojmë ta konsiderojmë shprehjen si një ndryshim.
Minuend (y - 3) 5, zbrit 875, vlera e diferencës 210.
E panjohura përmbahet në të reduktuar. Le të gjejmë minuend-in (e konsiderojmë të gjithë këtë shprehje si një minuend të vetëm): për të gjetur minuend-in e panjohur, duhet t'i shtoni diferencës subtrahend-in.
(y- 3)- 5 = 210 + 875;
(y - 3) 5 = 1085: y
Le të përcaktojmë përsëri procedurën: (y - 3) 5 = 1085.
Bazuar në veprimin e fundit, shprehjen në anën e majtë e konsiderojmë produkt. Faktori i parë është (y - 3), faktori i dytë është 5, vlera e produktit është 1085. E panjohura gjendet në faktorin e parë. Le ta gjejmë atë (e konsiderojmë të panjohur shprehjen y - 3). Për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.
y - 3 = 1085: 5;
Ne kemi marrë një ekuacion në të cilin minuend është i panjohur. Le ta gjejmë:
Le të kontrollojmë zgjidhjen duke zëvendësuar vlerën e gjetur të së panjohurës në ekuacionin origjinal:
(218-3)-5-875 = 210.
Pasi kemi llogaritur vlerën e anës së majtë, jemi të bindur se është marrë barazia e saktë. Kjo do të thotë që ekuacioni është zgjidhur saktë.
Analiza e metodës së mësipërme të zgjidhjes tregon se ky është një proces i gjatë dhe intensiv i punës që kërkon që fëmija të ketë një njohuri të qartë të të gjitha rregullave, një nivel të lartë analize dhe aftësinë për të perceptuar strukturën komplekse të një variabli të marrë nëpërmjet një zgjidhje hap pas hapi si një tërësi e vetme (niveli i lartë i sintezës dhe i abstraksionit).
Një i rritur që është i njohur me metodën universale të zgjidhjes së ekuacioneve të ngjashme të përdorura në shkollën e mesme (hapja e kllapave, lëvizja e përbërësve të ekuacionit nga e majta në të djathtë) sheh qartë papërsosmëritë dhe intensitetin e tepërt të punës së kësaj metode. Në këtë drejtim, një numër metodologësh shprehin me të drejtë dyshime për këshillimin e futjes aktive të ekuacioneve të një strukture kaq komplekse në kurset e matematikës së shkollës fillore. Kjo metodë zgjidhjeje është irracionale nga pikëpamja matematikore dhe do të harrohet dhe do të hidhet poshtë sapo mësuesi i matematikës në klasat 5-7 të njohë fëmijën me teknikat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji.
Një rrugë e gjatë për të zhvilluar aftësitë zgjidhjen e ekuacioneve fillon me vendimin e të parës dhe relativisht ekuacione të thjeshta. Me ekuacione të tilla nënkuptojmë ekuacione në të cilat ana e majtë përmban shumën, ndryshimin, produktin ose herësin e dy numrave, njëri prej të cilëve është i panjohur dhe ana e djathtë përmban një numër. Kjo do të thotë, këto ekuacione përmbajnë një mbledhje të panjohur, minuend, subtrahend, shumëzues, dividend ose pjesëtues. Zgjidhja e ekuacioneve të tilla do të diskutohet në këtë artikull.
Këtu do të japim rregulla që ju lejojnë të gjeni një term, faktor të panjohur, etj. Për më tepër, ne do të shqyrtojmë menjëherë zbatimin e këtyre rregullave në praktikë, duke zgjidhur ekuacionet karakteristike.
Navigimi i faqes.
Pra, ne e zëvendësojmë numrin 5 në vend të x në ekuacionin origjinal 3+x=8, marrim 3+5=8 - kjo barazi është e saktë, prandaj, ne kemi gjetur saktë termin e panjohur. Nëse, gjatë kontrollimit, kemi marrë një barazi numerike të pasaktë, kjo do të na tregonte se e kemi zgjidhur gabimisht ekuacionin. Arsyet kryesore për këtë mund të jenë ose zbatimi i rregullit të gabuar ose gabime llogaritëse.
Si të gjeni një minuend ose nëntreg të panjohur?
Lidhja midis mbledhjes dhe zbritjes së numrave, të cilën e kemi përmendur tashmë në paragrafin e mëparshëm, na lejon të marrim një rregull për gjetjen e një minuend të panjohur përmes një nëntrupi të njohur dhe një ndryshimi, si dhe një rregull për gjetjen e një nëntrupi të panjohur përmes një të njohur. minuend dhe një ndryshim. Do t'i formulojmë ato një nga një dhe menjëherë do t'ua paraqesim zgjidhjen ekuacioneve përkatëse.
Për të gjetur minuendin e panjohur, duhet t'i shtoni ndryshimit subtrahend.
Për shembull, merrni parasysh ekuacionin x−2=5. Ai përmban një minuend të panjohur. Rregulli i mësipërm na thotë se për ta gjetur atë duhet t'i shtojmë diferencës së njohur 5 nëntrupin e njohur 2, kemi 5+2=7. Kështu, minuend i kërkuar është i barabartë me shtatë.
Nëse i lëmë shpjegimet, zgjidhja shkruhet si më poshtë:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.
Për vetëkontroll, le të bëjmë një kontroll. Zëvendësojmë minuendin e gjetur në ekuacionin origjinal dhe marrim barazinë numerike 7−2=5. Është e saktë, prandaj, mund të jemi të sigurt se e kemi përcaktuar saktë vlerën e minuendit të panjohur.
Ju mund të vazhdoni me gjetjen e nënshtresës së panjohur. Gjendet duke shtuar rregulli tjetër: për të gjetur subtrahendin e panjohur, ju duhet të zbrisni ndryshimin nga minuend.
Le të zgjidhim një ekuacion të formës 9−x=4 duke përdorur rregullën e shkruar. Në këtë ekuacion, e panjohura është subtrahend. Për ta gjetur atë, duhet të zbresim ndryshimin e njohur 4 nga minuend-i i njohur 9, kemi 9−4=5. Kështu, subtrahendi i kërkuar është i barabartë me pesë.
Le të japim version i shkurtër zgjidhjet e këtij ekuacioni:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.
E tëra që mbetet është të kontrolloni korrektësinë e nënshtresës së gjetur. Le të bëjmë një kontroll duke zëvendësuar vlerën e gjetur 5 në ekuacionin origjinal në vend të x, dhe marrim barazinë numerike 9−5=4. Është e saktë, kështu që vlera e subtrahendit që gjetëm është e saktë.
Dhe para se të kalojmë në rregullin tjetër, vërejmë se në klasën 6 merret parasysh rregulli për zgjidhjen e ekuacioneve, i cili ju lejon të transferoni çdo term nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin me shenjë e kundërt. Pra, të gjitha rregullat e diskutuara më sipër për gjetjen e një përmbledhjeje, minuend dhe subtrahend të panjohur janë plotësisht në përputhje me të.
Për të gjetur një faktor të panjohur, ju duhet...
Le të hedhim një vështrim në ekuacionet x·3=12 dhe 2·y=6. Në to numër i panjohurështë një faktor në anën e majtë, dhe produkti dhe faktori i dytë janë të njohur. Për të gjetur një faktor të panjohur, mund të përdorni rregullin e mëposhtëm: për të gjetur një faktor të panjohur, duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.
Baza e këtij rregulli është se pjesëtimit të numrave i kemi dhënë kuptimin e kundërt me kuptimin e shumëzimit. Kjo do të thotë, ekziston një lidhje midis shumëzimit dhe pjesëtimit: nga barazia a·b=c, në të cilën a≠0 dhe b≠0 rrjedh se c:a=b dhe c:b=c, dhe anasjelltas.
Për shembull, le të gjejmë faktorin e panjohur të ekuacionit x·3=12. Sipas rregullit, ne duhet të ndajmë vepër e famshme 12 nga faktori i njohur 3. Le të realizojmë: 12:3=4. Kështu, faktori i panjohur është 4.
Shkurtimisht, zgjidhja e ekuacionit shkruhet si një sekuencë barazish:
x·3=12,
x=12:3,
x=4.
Këshillohet gjithashtu të kontrolloni rezultatin: ne zëvendësojmë vlerën e gjetur në ekuacionin origjinal në vend të shkronjës, marrim 4 3 = 12 - një barazi numerike e saktë, prandaj kemi gjetur saktë vlerën e faktorit të panjohur.
Dhe një pikë tjetër: duke vepruar sipas rregullit të mësuar, ne në fakt ndajmë të dyja anët e ekuacionit me një faktor të njohur të ndryshëm nga zero. Në klasën e 6-të do të thuhet se të dy anët e një ekuacioni mund të shumëzohen dhe pjesëtohen me të njëjtin numër jozero, kjo nuk ndikon në rrënjët e ekuacionit.
Si të gjeni një dividend ose pjesëtues të panjohur?
Brenda kuadrit të temës sonë, mbetet të kuptojmë se si të gjejmë dividentin e panjohur me një pjesëtues dhe koeficient të njohur, si dhe si të gjejmë pjesëtuesin e panjohur me një dividend dhe koeficient të njohur. Lidhja midis shumëzimit dhe pjesëtimit të përmendur tashmë në paragrafin e mëparshëm na lejon t'u përgjigjemi këtyre pyetjeve.
Për të gjetur dividentin e panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.
Le të shohim aplikimin e tij duke përdorur një shembull. Le të zgjidhim ekuacionin x:5=9. Për të gjetur dividendën e panjohur të këtij ekuacioni, sipas rregullit, duhet të shumëzoni herësin e njohur 9 me pjesëtuesin e njohur 5, domethënë, ne kryejmë shumëzimin numrat natyrorë: 9·5=45. Kështu, dividenti i kërkuar është 45.
Ne do t'ju tregojmë shënim i shkurtër Zgjidhjet:
x: 5 = 9,
x=9·5,
x=45 .
Kontrolli konfirmon që vlera e dividentit të panjohur është gjetur saktë. Në të vërtetë, kur zëvendësohet numri 45 në ekuacionin origjinal në vend të ndryshores x, ai kthehet në barazinë numerike të saktë 45:5=9.
Vini re se rregulli i analizuar mund të interpretohet si shumëzim i të dy anëve të ekuacionit me një pjesëtues të njohur. Ky transformim nuk ndikon në rrënjët e ekuacionit.
Le të kalojmë te rregulli për gjetjen e një pjesëtuesi të panjohur: për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.
Le të shohim një shembull. Le të gjejmë pjesëtuesin e panjohur nga ekuacioni 18:x=3. Për ta bërë këtë, duhet të pjesëtojmë dividendën e njohur 18 me herësin e njohur 3, kemi 18:3=6. Kështu, pjesëtuesi i kërkuar është gjashtë.
Zgjidhja mund të shkruhet si kjo:
18:x=3,
x=18:3,
x=6.
Le të kontrollojmë këtë rezultat për besueshmëri: 18:6=3 është një barazi numerike e saktë, prandaj, rrënja e ekuacionit u gjet saktë.
Është e qartë se këtë rregull mund të përdoret vetëm kur herësi është jo zero, në mënyrë që të mos haset pjesëtimi me zero. Kur herësi është i barabartë me zero, atëherë janë të mundshme dy raste. Nëse dividenti është i barabartë me zero, domethënë ekuacioni ka formën 0:x=0, atëherë çdo vlerë jozero e pjesëtuesit e plotëson këtë ekuacion. Me fjalë të tjera, rrënjët e një ekuacioni të tillë janë çdo numër që nuk është i barabartë me zero. Nëse në e barabartë me zero Nëse dividenti është i ndryshëm nga zero, atëherë për asnjë vlerë të pjesëtuesit ekuacioni origjinal kthehet në një barazi numerike të saktë, domethënë, ekuacioni nuk ka rrënjë. Për ilustrim paraqesim ekuacionin 5:x=0, ai nuk ka zgjidhje.
Rregullat e Ndarjes
Zbatimi konsistent i rregullave për gjetjen e shumës së panjohur, minuend, subtrahend, shumëzues, dividend dhe pjesëtues ju lejon të zgjidhni ekuacionet me një ndryshore të vetme më shumë lloj kompleks. Le ta kuptojmë këtë me një shembull.
Merrni parasysh ekuacionin 3 x+1=7. Së pari, ne mund të gjejmë termin e panjohur 3 x, për ta bërë këtë duhet të zbresim termin e njohur 1 nga shuma 7, marrim 3 x = 7−1 dhe pastaj 3 x = 6. Tani mbetet të gjejmë faktorin e panjohur duke pjesëtuar prodhimin 6 me faktorin e njohur 3, kemi x=6:3, prej nga x=2. Kështu gjendet rrënja e ekuacionit origjinal.
Për të konsoliduar materialin, ne paraqesim zgjidhje e shkurtër një ekuacion tjetër (2 x−7):3−5=2.
(2 x−7):3−5=2,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7,
2 x−7=7 3 ,
2 x−7=21,
2 x=21+7,
2 x=28,
x=28:2,
x=14 .
Bibliografi.
- Matematika.. klasën e 4-të. Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm institucionet. Në orën 14:00 Pjesa 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etj.] - botimi i 8-të. - M.: Arsimi, 2011. - 112 f.: ill. - (Shkolla e Rusisë). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
