Lema e Chebyshev. Nëse ndryshorja e rastit X, për të cilat ka një pritshmëri matematikore M[x], mund të marrë vetëm vlera jo negative, pastaj për ndonjë numër pozitiv a ka një pabarazi

Pabarazia e Chebyshev. Nëse X– ndryshore e rastësishme me pritshmëri matematikore M[x] dhe varianca D[x], atëherë për çdo e pozitive vlen pabarazia

. (2)

Teorema e Chebyshev.(ligj numra të mëdhenj). Le X 1 , X 2 , …, x n,… - sekuencë e pavarur variabla të rastit me të njëjtën pritshmëri matematikore m dhe variancat e kufizuara nga e njëjta konstante Me

. (3)

Vërtetimi i teoremës bazohet në pabarazinë

, (4)

pasuar nga pabarazia e Chebyshev. Nga teorema e Chebyshev, si përfundim, mund të marrim

Teorema e Bernulit. Le të prodhohet n eksperimente të pavarura, në secilën prej të cilave me probabilitet R mund të ndodhë ndonjë ngjarje A, le të shkojë vn- vlera e rastësishme, e barabartë me numrin dukuritë e ngjarjes A në këto n eksperimente. Atëherë për çdo e > 0 vlen barazia kufitare

. (5)

Vini re se pabarazia (4) në lidhje me kushtet e teoremës së Bernulit jep:

. (6)

Teorema e Chebyshev mund të formulohet pak më shumë pamje e përgjithshme:

Teorema e përgjithësuar e Chebyshev. Le x 1, x 2, …, x n,… - sekuenca e variablave të rastësishme të pavarura me pritshmëri matematikore M[x 1 ] = m 1, M[x 2] = m 2,… dhe dispersionet e kufizuara në të njëjtën konstante Me. Atëherë për çdo numër pozitiv e vlen barazia kufitare

. (7)

Le të jetë x numri i shfaqjes së 6 pikëve në 3600 hedhje zare. Pastaj M [ x] = 3600 = 600. Le të përdorim tani pabarazinë (1) për a = 900: .

Ne përdorim pabarazinë (6) për n = 10000, р = , q = . Pastaj

Shembull.

Probabiliteti që ngjarja A të ndodhë në secilin prej 1000 eksperimenteve të pavarura është 0,8. Gjeni probabilitetin që numri i ndodhive të ngjarjes A në këto 1000 eksperimente do të devijojë nga pritshmëria e tij matematikore sipas vlere absolute më pak se 50.

Le të jetë x numri i ndodhive të ngjarjes A në 1000 eksperimentet e treguara. Pastaj M[ x] = 1000 × 0,8 = 800 dhe D [ x] = 1000 × 0,8 × 0,2 = 160. Tani pabarazia (2) jep:

Shembull.

Varianca e secilës prej 1000 ndryshoreve të rastësishme të pavarura x k (k = 1, 2,..., 1000) është e barabartë me 4. Vlerësoni probabilitetin që devijimi i mesatares aritmetike të këtyre vlerave nga mesatarja aritmetike e mesatares së tyre matematikore pritjet në vlerë absolute nuk do të kalojnë 0.1.

Sipas mosbarazimit (4) me c = 4 dhe e = 0.1 kemi.

Ligji i numrave të mëdhenj është ligji qendror teoria e probabilitetit për faktin se formulon një lidhje themelore midis rregullsisë dhe rastësisë. Gjegjësisht, ai argumenton se një numër i madh i aksidenteve çon në një model, i cili bën të mundur parashikimin e rrjedhës së ngjarjeve. Në shumicën formë e përgjithshme shprehet ai Teorema e Chebyshev:

le ( Χ 1; X2; … X n; ...) ndryshore të pavarura të rastësishme (supozohen të jenë numër i pafund). Dhe le të kufizohen në mënyrë të njëtrajtshme variancat e tyre (d.m.th., variancat e të gjitha këtyre ndryshoreve të rastësishme nuk kalojnë një konstante ME):

Atëherë, sado i vogël të jetë numri pozitiv, relacioni i probabilitetit kufizues plotësohet:

nëse numri i variablave të rastësishëm është mjaft i madh. Ose, çfarë është e njëjta gjë, probabiliteti

Kështu, teorema e Chebyshev thotë se nëse marrim parasysh një numër mjaft të madh n variabla të rastësishme të pavarura ( Χ 1; X2; … X n), atëherë ngjarja mund të konsiderohet pothuajse e besueshme (me një probabilitet afër unitetit) që devijimi i mesatares aritmetike të këtyre ndryshoreve të rastit nga mesatarja aritmetike e pritjeve të tyre matematikore do të jetë arbitrarisht i vogël në vlerë absolute.

Dëshmi. Χ 1; X2; … X n):

(4)

; (5)

Duke marrë parasysh kushtet (1), ne konstatojmë se

(6)

Kështu, kur varianca është . Kjo do të thotë, kur përhapja e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore zvogëlohet pa kufi. Dhe kjo do të thotë se kur vlera, domethënë, . Ose, për të qenë më të saktë, probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të paktën të devijojë disi nga pritshmëria e saj matematikore - një konstante - priret në zero. Domethënë, për çdo numër pozitiv arbitrarisht të vogël

Pra, sipas teoremës së provuar të Chebyshev, mesatarja aritmetike numer i madh variabla të rastësishme të pavarura ( Χ 1; X2; … X n), duke qenë një ndryshore e rastësishme, në fakt humbet karakterin e rastësisë, duke u bërë, në fakt, një konstante e pandryshueshme. Kjo konstante është e barabartë me mesataren aritmetike të pritjeve matematikore të vlerave ( Χ 1; X2; … X n). Ky është ligji i numrave të mëdhenj.

Mund të jepet një tjetër provë e teoremës së Chebyshev. Për ta bërë këtë, ne përdorim pabarazinë e Chebyshev. Është i vlefshëm si për ndryshoret e rastësishme diskrete ashtu edhe për ato të vazhdueshme dhe ka vlerë në vetvete. Pabarazia e Chebyshev na lejon të vlerësojmë probabilitetin që devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e tij matematikore të mos kalojë një numër pozitiv në vlerë absolute. Le të paraqesim një provë të pabarazisë së Chebyshev për ndryshoret diskrete të rastësishme.

Pabarazia e Chebyshev: Probabiliteti që devijimi i një ndryshoreje të rastësishme X nga pritshmëria e tij matematikore në vlerë absolute është më e vogël se një numër pozitiv, jo më pak se:

.

Dëshmi: Që nga ngjarjet që konsistojnë në zbatimin e pabarazive Dhe , janë të kundërta, atëherë shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1, d.m.th. . Prandaj probabiliteti që na intereson. (*)

Ne do të gjejmë . Për këtë le të gjejmë variancën ndryshore e rastësishme X.

Të gjitha kushtet e kësaj shume janë jonegative. Le t'i hedhim poshtë ato kushte për të cilat (për kushtet e mbetura ), si rezultat i së cilës shuma mund të ulet vetëm. Le të pajtohemi të supozojmë, për saktësi, se k termat e parë (do të supozojmë se në tabelën e shpërndarjes vlerat e mundshme numëruar në atë rend). Kështu,

Meqenëse të dyja anët e pabarazisë janë pozitive, prandaj, duke i kuadruar ato, marrim pabarazinë ekuivalente . Le të përdorim këtë vërejtje, duke zëvendësuar secilin prej faktorëve në shumën e mbetur numri (në këtë rast pabarazia mund të rritet vetëm), marrim. (**)

Sipas teoremës së mbledhjes, shuma e probabiliteteve është probabiliteti që X do të marrë një, pavarësisht se cila, nga vlerat , dhe për cilindo prej tyre devijimi plotëson pabarazinë . Nga kjo rezulton se shuma shpreh probabilitetin . Kjo na lejon të rishkruajmë pabarazinë (**) si më poshtë: . (***).

Le të zëvendësojmë (***) V (*) dhe marrim , që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Vërtetimi i Teoremës 2 të Chebyshev:

Le të prezantojmë një ndryshore të re të rastësishme në konsideratë - mesataren aritmetike të ndryshoreve të rastësishme ( Χ 1; X2; … X n):

Duke përdorur vetitë e pritjes dhe shpërndarjes matematikore, marrim:

; . (*)

Duke aplikuar pabarazinë e Chebyshev në sasi, ne kemi.

Duke marrë parasysh raportin (*),

Me kusht, do të thotë . (***) Zëvendësimi i anës së djathtë (***) me pabarazi (**) kemi

Nga këtu, duke kaluar në kufirin në , marrim

Meqenëse probabiliteti nuk mund të kalojë një, më në fund marrim:

Kjo është ajo që na duhej të vërtetonim.

Le të ndalemi në një rast të veçantë të rëndësishëm të teoremës së Chebyshev. Gjegjësisht, merrni parasysh rastin kur ndryshoret e pavarura të rastësishme ( Χ 1; X2; … X n) kanë të njëjtat ligje shpërndarjet, dhe, për rrjedhojë, identike karakteristikat numerike:

(8)

Pastaj për ndryshoren e rastësishme , sipas (5), kemi:

(9)

Lidhja e probabilitetit kufizues (7) në këtë rast do të marrë formën:

(10)

Përfundimi që vjen nga (10) ka rëndësi të madhe për të luftuar gabimet e rastësishme gjatë kryerjes së llojeve të ndryshme të matjeve.

Le të, për shembull, duhet të matni një sasi të caktuar A. Ne do të prodhojmë jo një, por disa ( n) matje të pavarura të përsëritura të vlerës së kësaj sasie. Çdo matje është e natyrshme në një gabim të rastësishëm që lidhet me papërsosmërinë e pajisjes matëse, të gjitha llojet e ndërhyrjeve të rastësishme në matje, etj. Prandaj rezultatet ( Χ 1; X2; … X n) matjet sekuenciale individuale të vlerës së dëshiruar A, në përgjithësi, nuk do të jepen - ato do të jenë variabla të rastësishme. Për më tepër, me sasitë që kanë shpërndarje identike, sepse matjet bëhen në mënyrë të përsëritur, pra në konstante kushtet e jashtme. Pastaj për sasinë - mesatarja aritmetike e rezultateve të të gjithave n matjet - do të përmbushet relacioni i probabilitetit kufizues (10). Kjo do të thotë se kjo mesatare aritmetike humbet karakterin e rastësisë, duke u shndërruar në A– vlera e vërtetë e sasisë së matur. Kjo, nga rruga, dëshmohet nga formula (9), sipas të cilave:

(11)

Kjo do të thotë, pasi të keni kryer një numër mjaft të madh të matjeve të përsëritura të sasisë së dëshiruar A, në secilën prej të cilave është i mundur një gabim i rastësishëm i matjes, dhe më pas duke gjetur mesataren aritmetike të rezultateve të këtyre matjeve, përdorim formulën

A(12)

ne mund të marrim vlerën dhe praktikisht pa gabime të rastësishme.

Ky përfundim është pasojë e ligjit të numrave të mëdhenj. NË në këtë rast ky ligj manifestohet në faktin se gjatë përmbledhjes së matjeve rezulton në (4) gabime të rastësishme dimensionet individuale, që ndodhin në parim njëlloj shpesh me një shenjë plus dhe një minus, në përgjithësi do të anulojnë njëra-tjetrën. Dhe gabimi i mbetur do të ndahet akoma në P, domethënë do të ulet më tej me P një herë. Pra, për vlera të mëdha n vlera do të jetë pothuajse saktësisht e barabartë me vlerën e matur A. Ky përfundim natyrshëm përdoret gjerësisht në praktikë.

shënim. Në madhësi ato anulojnë vetëm njëra-tjetrën gabime të rastësishme matjet, domethënë gabimet që lidhen me veprimin e faktorëve të rastësishëm (ndërhyrje). Por gabimet sistematike (të përhershme), domethënë gabimet e natyrshme në secilën matje, natyrisht mbeten në . Për shembull, një shigjetë e rrëzuar (jo e rregulluar) në një pajisje shkakton një gabim konstant (sistematik) në çdo matje, dhe për këtë arsye e shkakton atë në mesataren aritmetike të rezultateve të këtyre matjeve. Gabimet sistematike duhet të eliminohen edhe përpara se të bëhen matjet dhe të mos lejohen gjatë procesit të matjes.

Atëherë, nëse α është vlera e ndarjes së pajisjes matëse, atëherë të gjitha matjet e përsëritura bëhen me një saktësi prej α. Por atëherë, natyrisht, mesatarja aritmetike e rezultateve të të gjitha matjeve mund të tregohet vetëm me një saktësi prej α, domethënë me një saktësi të përcaktuar nga saktësia e pajisjes.

Prandaj, nuk duhet menduar se, pasi të ketë bërë një numër mjaft të madh të matjeve të përsëritura të sasisë A dhe më pas duke gjetur mesataren aritmetike të rezultateve të këtyre matjeve, marrim saktë kuptimi A. Ne do ta marrim atë vetëm brenda saktësisë së pajisjes matëse. Dhe edhe atëherë, nëse përjashtojmë gabimin sistematik të matjes.

Këtu është një tjetër e rëndësishme rast i veçantë ligji i numrave të mëdhenj. Le X=k– numri i dukurive të ndonjë ngjarjeje A V P teste të përsëritura ( X- vlera e rastësishme). Dhe le dhe – probabiliteti i ndodhjes dhe mosngjarjes së një ngjarjeje A në një provë. Konsideroni një ndryshore të rastësishme - frekuencën relative të shfaqjes së një ngjarjeje A V P testet. Le të prezantojmë gjithashtu n variablat e rastit ( X 1, X 2, …X n), të cilat përfaqësojnë numrin e dukurive të ngjarjes A ne te paren, te dyten,... P-th teste. Pastaj k = X 1 + X 2 +…+ X f, dhe ndodhja e një ngjarjeje A praktikisht përkon me probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes A në një provë. Ky përfundim bazohet në gjetjen e probabiliteteve të shumë ngjarje të rastësishme, probabilitetet e të cilit nuk mund të gjenden në ndonjë mënyrë tjetër (teorikisht).

Për shembull, le të jetë testi hedhja e një monedhe të deformuar (asimetrike) dhe ngjarja A për këtë sfidë, është një rënie e kreshtës. Probabiliteti i ngjarjes A Nga formula klasike ose ndonjë mënyrë tjetër formulë teorikeështë e vështirë të gjendet, sepse një formulë e tillë duhet të pasqyrojë disi karakteristikat e deformimit të monedhës. Prandaj, rruga e vërtetë që çon drejt qëllimit është një: hidhni monedhën në mënyrë të përsëritur (sa më i madh të jetë numri i hedhjeve n, aq më mirë) dhe të përcaktojë në mënyrë empirike shpeshtësinë relative të paraqitjes së stemës. Nëse nështë i madh, atëherë në përputhje me ligjin e numrave të mëdhenj është e mundur me probabilitet të lartë pohojnë se .

Ligji i numrave të mëdhenj manifestohet në shumë dukuri natyrore dhe shoqërore.

Shembulli 1. Siç dihet, gazi i vendosur në një enë të mbyllur ushtron presion në muret e enës. Sipas ligjeve të gjendjes së gazit, në një temperaturë konstante të gazit, ky presion është konstant. Presioni i gazit shkaktohet nga ndikimet kaotike të molekulave individuale në muret e enës. Shpejtësitë dhe drejtimet e lëvizjes së të gjitha molekulave janë të ndryshme, prandaj edhe forcat e ndikimeve të molekulave të ndryshme në muret e enës janë të ndryshme. Sidoqoftë, presioni i gazit në muret e enës përcaktohet jo nga forca e ndikimit të molekulave individuale, por nga mesatare me forcë. Por ajo është si mesatarja numër i madh pavarësisht forcat aktive, sipas ligjit të numrave të mëdhenj, do të mbetet praktikisht i pandryshuar. Prandaj, presioni i gazit në muret e anijes mbetet praktikisht i pandryshuar.

Shembulli 2. Një kompani sigurimesh që merret, për shembull, me sigurimin e automjeteve, paguan shuma të ndryshme sigurimi për ngjarje të ndryshme të siguruara (aksidente automobilistike dhe aksidente trafiku rrugor). Megjithatë, vlera mesatare e kësaj shume sigurimi, si mesatare e shumë të ndryshme n shumat e pavarura të sigurimit, sipas ligjit të numrave të mëdhenj, praktikisht do të jenë të pandryshuara. Mund të përcaktohet duke shqyrtuar statistikat aktuale të dëmeve nga sigurimet. Në mënyrë që një kompani sigurimi të shmangë humbjet, primi mesatar i sigurimit i ngarkuar për klientët e saj duhet të jetë më i lartë se primi mesatar i paguar nga kompania për klientët e saj. Por ky premi nuk duhet të jetë shumë i lartë që kompania të jetë konkurruese (për të konkurruar në atraktivitet me kompanitë e tjera të sigurimit).

Ne e kryejmë këtë provë në dy faza. Së pari, supozoni se ekziston dhe vini re se në këtë rast D(S„) nga teorema e shpërndarjes së shumës. Sipas pabarazisë së Chebyshev, për çdo t > 0

Për t > n ana e majte më pak se, dhe vlera e fundit tenton në zero. Kjo plotëson pjesën e parë të provës.

Tani le të hedhim poshtë kushtin kufizues për ekzistencën e D(). Ky rast reduktohet në atë të mëparshëm me metodën e shkurtimit.

Le të përcaktojmë dy grupe të reja të ndryshoreve të rastësishme në varësi të, si më poshtë:

U k =, V k = 0, nëse (2.2)

U k =0, V k =, nëse

Këtu k=1,… , n dhe është fikse. Pastaj

për të gjithë k.

Le të jetë (f(j)) shpërndarja e probabilitetit të ndryshoreve të rastësishme (e njëjtë për të gjitha j). Supozuam se = M() ekziston, pra shuma

të fundme. Pastaj ka edhe

ku përmbledhja kryhet mbi të gjitha ato j për të cilat. Vini re se megjithëse varet nga n, është e njëjtë për

U 1, U 2, ..., U n. Përveç kësaj, për, dhe prandaj për arbitrare > 0 dhe të gjitha n mjaft të mëdha

U k janë reciprokisht të pavarura, dhe shuma e tyre U 1 +U 2 +…+U n mund të trajtohet saktësisht në të njëjtën mënyrë si me X k në rastin e dispersionit të fundëm, duke zbatuar pabarazinë e Chebyshev, marrim në mënyrë të ngjashme me (2.1)

Për shkak të (2.6), rrjedh se

Meqenëse seria (2.4) konvergon, shuma e fundit tenton në zero ndërsa n rritet. Kështu, për një n mjaft të madhe

dhe për këtë arsye

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Por, nga të dyja (2.9) dhe (2.12) marrim

Meqenëse janë arbitrare, pjesa e djathtë mund të bëhet sa më e vogël që të dëshirohet, gjë që plotëson provën.

Teoria e lojërave "të padëmshme".

Në analizën e mëtejshme të thelbit të ligjit të numrave të mëdhenj, ne do të përdorim terminologjinë tradicionale të lojtarëve, megjithëse konsideratat tona lejojnë në mënyrë të barabartë dhe aplikime më serioze, dhe dy supozimet tona bazë janë më realiste në statistikë dhe fizikë sesa në fizikë lojërat e fatit. Së pari, le të supozojmë se lojtari ka kapital të pakufizuar, në mënyrë që asnjë humbje të mos shkaktojë përfundimin e lojës. (Refuzimi i këtij supozimi çon në problemin e rrënimit të lojtarit, i cili gjithmonë intrigon studentët e teorisë së probabilitetit.) Së dyti, supozoni se lojtari nuk ka temperamentin për të ndërprerë lojën sa herë që dëshiron: numri n i provave duhet të fiksohet paraprakisht dhe nuk duhet të varet nga lojërat me lëvizje. Përndryshe, lojtari i bekuar me kapital të pakufizuar, do të priste një sërë suksesesh dhe në momentin e duhur do të ndalonte lojën. Një lojtar i tillë nuk është i interesuar për luhatjen e mundshme në një moment të caktuar, por për luhatjet maksimale në një seri të gjatë lojërash, të cilat përshkruhen më shumë nga ligji i logaritmit të përsëritur sesa nga ligji i numrave të mëdhenj.

Le të prezantojmë variablin e rastësishëm k si fitim (pozitiv ose negativ) për kth përsëritje lojëra. Atëherë shuma S n = 1 +…+ k është fitimet totale pas n përsëritjeve të lojës. Nëse para çdo përsëritje lojtari paguan një kontribut (jo domosdoshmërisht pozitiv) për të drejtën për të marrë pjesë në lojë, atëherë n përfaqëson kontributin total të paguar prej tij, dhe S n është fitimet totale neto. Ligji i numrave të mëdhenj zbatohet nëse ekziston p=M(k). Përafërsisht, për n të mëdha është mjaft e besueshme që diferenca S n - do të duket e vogël në krahasim me n. Prandaj, nëse është më e vogël se p, atëherë për n e madhe lojtari ndoshta do të ketë një fitim të rendit të madhësisë. Në të njëjtën mënyrë, një kontribut pothuajse me siguri rezulton në një humbje. Shkurtimisht, shansi është i favorshëm për lojtarin, dhe shansi është i pafavorshëm.

Vini re se ende nuk kemi thënë asgjë për rastin. Në këtë rast, përfundimi i vetëm i mundshëm është se nëse dhe është mjaft i madh, fitimi ose humbja totale S n - n do të jetë me një probabilitet shumë të lartë në krahasim me n-në, por nuk dihet nëse S n - n do të dalë të jetë pozitive apo negative, d.m.th., nëse loja do të jetë fitimprurëse apo shkatërruese. Kjo nuk u mor parasysh teoria klasike, e cila e quajti një çmim të padëmshëm, dhe një lojë me "të padëmshme". Ju duhet të kuptoni se një lojë "e padëmshme" në të vërtetë mund të jetë qartësisht fitimprurëse dhe shkatërruese.

Është e qartë se në "rastin normal" ekziston jo vetëm M(k), por edhe D(k). Në këtë rast, ligji i numrave të mëdhenj plotësohet nga teorema e kufirit qendror, dhe kjo e fundit thotë se është shumë e besueshme që në një lojë "të padëmshme" fitimi neto si rezultat i një loje të gjatë S n - n të jetë prej renditja e n 1/2 dhe se për n mjaftueshëm të madhe ky fitim do të jetë afërsisht shanse të barabarta pozitive apo negative. Kështu, nëse qendrore teorema e kufirit, atëherë termi lojë “e padëmshme” rezulton i justifikuar, megjithëse edhe në këtë rast kemi të bëjmë me një teoremë limit, e cila theksohet me fjalët “si rezultat i një loje të gjatë”. Analizë e plotë tregon se konvergjenca në (1.3) përkeqësohet me rritjen e dispersionit. Nëse është i madh, atëherë përafrim normal do të jetë efektive vetëm për n jashtëzakonisht të mëdha.

Për të qenë specifik, le të imagjinojmë një makinë në të cilën, kur vendos një rubla në të, lojtari mund të fitojë (10--1) rubla me një probabilitet prej 10, dhe në raste të tjera humbet rubla e ulur. Këtu kemi testet e Bernoulli dhe loja është e “padëmshme”. Pasi të ketë përfunduar një milion teste, lojtari do të paguajë një milion rubla për të. Gjatë kësaj kohe ai mund të fitojë 0, 1,2,... herë. Sipas përafrimit Poisson për shpërndarja binomiale, i saktë deri në disa shifra dhjetore, probabiliteti për të fituar saktësisht k herë është i barabartë me e -1 /k!. Kështu, me një probabilitet prej 0.368. . . lojtari do të humbasë një milion, dhe me të njëjtën probabilitet ai do të kompensojë vetëm shpenzimet e tij; ai ka një probabilitet prej 0,184... për të përvetësuar saktësisht një milion, etj. Këtu, 10 6 prova janë ekuivalente me një provë të vetme në një lojë me një fitim që ka një shpërndarje Poisson.

Natyrisht, nuk ka kuptim të zbatohet ligji i numrave të mëdhenj në këto lloj situatash. Kjo skemë përfshin sigurimin nga zjarri, aksidentet automobilistike etj. Një sasi e madhe është e ekspozuar ndaj rrezikut, por probabiliteti përkatës është shumë i vogël. Megjithatë, këtu zakonisht ka vetëm një test në vit, kështu që numri n i testeve nuk bëhet kurrë i madh. Për të siguruarit, loja nuk është domosdoshmërisht "e padëmshme", megjithëse mund të jetë mjaft fitimprurëse ekonomikisht. Ligji i numrave të mëdhenj nuk ka të bëjë me të. Sa i përket shoqërisë së sigurimeve, ajo merret me një numër të madh lojërash, por për shkak të variancës së madhe, ende shfaqen luhatje të rastësishme. Primet e sigurimit duhet të vendosen për të parandaluar humbje të mëdha në vite të caktuara, dhe për këtë arsye kompania është e interesuar për problemin e rrënimit dhe jo për ligjin e numrave të mëdhenj.

Kur varianca është e pafundme, termi lojë "të padëmshme" bëhet i pakuptimtë; nuk ka asnjë arsye për të besuar se fitimi total neto S n - n luhatet rreth zeros. Vërtet. Ka shembuj të lojërave "të padëmshme" në të cilat probabiliteti që lojtari të pësojë një humbje neto si rezultat priret në një. Ligji i numrave të mëdhenj thotë vetëm se kjo humbje do të jetë e një rendi më të vogël se n. Megjithatë, asgjë më shumë nuk mund të thuhet. Nëse një n formon një sekuencë arbitrare dhe një n / 0, atëherë është e mundur të organizohet një lojë "e padëmshme" në të cilën probabiliteti që humbja totale neto si rezultat i n përsëritjeve të lojës të kalojë një n tenton në një.

Teoria e probabilitetit studion modelet e natyrshme në dukuritë e rastësishme masive. Ashtu si çdo shkencë tjetër, teoria e probabilitetit synon të parashikojë sa më saktë rezultatin e një fenomeni ose eksperimenti të caktuar. Nëse fenomeni është i izoluar në natyrë, atëherë teoria e probabilitetit mund të parashikojë probabilitetin e rezultatit vetëm brenda kufijve shumë të gjerë. Modelet shfaqen vetëm me një numër të madh dukuritë e rastësishme, që ndodh në kushte homogjene.

Një grup teoremash që vendosin korrespondencë midis karakteristikave teorike dhe eksperimentale të ndryshoreve të rastësishme dhe ngjarjeve të rastësishme me një numër të madh testesh mbi to, si dhe ato që kanë të bëjnë me ligjet e shpërndarjes së kufirit, kombinohen në emer i perbashket teoremat kufitare të teorisë së probabilitetit.

Ekzistojnë dy lloje teoremash kufitare: ligji i numrave të mëdhenj dhe teorema e kufirit qendror.

Ligji i numrave të mëdhenj e zënë vendi më i rëndësishëm në teorinë e probabilitetit, është lidhja ndërmjet teorisë së probabilitetit si shkenca matematikore dhe modelet e dukurive të rastësishme gjatë vëzhgimeve masive të tyre.

Ligji luan shumë rol i rendesishem V aplikime praktike teoria e probabilitetit ndaj dukurive natyrore dhe proceset teknike lidhur me prodhimin masiv.

Ligjet kufitare të shpërndarjes formojnë subjektin e një grupi teoremash - formë sasiore ligji i numrave të mëdhenj. ato. ligji i numrave të mëdhenj është një seri teoremash, secila prej të cilave vërteton faktin se karakteristikat mesatare të një numri të madh testesh i afrohen konstanteve të caktuara, d.m.th. vërtetoni faktin e konvergjencës në probabilitetin e disa ndryshoreve të rastësishme me konstante. Këto janë teorema të Bernoulli, Poisson, Lyapunov, Markov, Chebyshev.

1. A) Teorema e Bernulit – ligji i numrave të mëdhenj ( u formulua dhe u vërtetua më herët në paragrafin 3 të § 6 kur merret parasysh teorema integrale kufitare e Moivre-Laplace.)

Me një rritje të pakufizuar në numrin e eksperimenteve homogjene të pavarura, frekuenca e një ngjarjeje do të ndryshojë aq pak sa të dëshirohet nga probabiliteti i një ngjarjeje në një eksperiment të veçantë. Përndryshe, probabiliteti që devijimi frekuencë relative ndodhja e një ngjarjeje A nga probabilitet konstant R ngjarjet A shumë pak kur priret në 1 për çdo: .

b) Teorema e Chebyshev.

Me një rritje të pakufizuar të numrit teste të pavarura mesatarja aritmetike e vlerave të vëzhguara të një ndryshoreje të rastësishme me variancë të fundme konvergjon në probabilitet me pritshmërinë e saj matematikore, përndryshe, nëse variabla të rastësishme të pavarura shpërndahen në mënyrë identike me pritshmëri matematikore dhe variancë të kufizuar, atëherë për secilën prej tyre është e vërtetë: .

Teorema e Chebyshev (e përgjithësuar). Nëse variablat e rastësishëm në sekuencë janë të pavarura në çift dhe variancat e tyre plotësojnë kushtin , atëherë për çdo ε > 0 pozitiv pohimi i mëposhtëm është i vërtetë:

ose çfarë është e njëjta gjë .

c) Teorema e Markovit. (ligji i numrave të mëdhenj në formulimin e përgjithshëm)

Nëse variancat e variablave të rastësishme arbitrare në sekuencë plotësojnë kushtin: , atëherë për çdo ε> 0 pozitiv pohimi i teoremës së Chebyshev vlen: .

d) Teorema e Puasonit.

Me një rritje të pakufizuar të numrit të eksperimenteve të pavarura në kushte të ndryshueshme frekuenca e ngjarjeve A konvergon në probabilitet me mesataren aritmetike të probabiliteteve të tij për testet e dhëna.

Komentoni. Në asnjë nga format e ligjit të numrave të mëdhenj nuk kemi të bëjmë me ligjet e shpërndarjes së ndryshoreve të rastit. Pyetje në lidhje me gjetjen ligji kufizues shpërndarja e shumës kur numri i termave rritet pafundësisht konsiderohet nga teorema e kufirit qendror. shpërndahet në mënyrë identike, atëherë arrijmë në teorema integrale De Moivre-Laplace (Seksioni 3 i § 6), i cili është rasti më i thjeshtë i veçantë i teoremës së kufirit qendror.

Kuptimi i ligjit Chebyshev të numrave të mëdhenj është si më poshtë. Ndërsa një ndryshore e rastësishme individuale mund të marrë vlera shumë larg pritshmërisë së saj matematikore, mesatarja aritmetike e një numri të madh ndryshoresh të rastësishme, me një probabilitet afër unitetit, merr një vlerë që ndryshon pak nga mesatarja aritmetike e pritjeve të tyre matematikore.
Një rast i veçantë i ligjit Chebyshev të numrave të mëdhenj. Le - një sekuencë e variablave të rastësishme të pavarura në çift që kanë varianca të kufizuara së bashku, d.m.th. dhe identike pritjet matematikore . Pastaj, çfarëdo që të jetë , relacioni është i vlefshëm

Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga formula (), pasi

Komentoni. Ata thonë se një ndryshore e rastësishme konvergon në probabilitet tek numri A, nëse për një probabilitet të vogël arbitrarisht të pabarazisë me rritje n i afrohet unitetit pa kufi. Konvergjenca në probabilitet nuk do të thotë se . Në të vërtetë, në rastin e fundit pabarazia vlen për të gjithë mjaftueshëm vlera të mëdha n. Në rastin e konvergjencës në probabilitet, kjo pabarazi për vlerat individuale arbitrarisht të mëdha n Ndoshta nuk ekzekutohet. Megjithatë, dështimi për të kënaqur pabarazinë për vlera të mëdha n Ka një ngjarje shumë të rrallë (të pamundur). Duke marrë parasysh këtë, një rast i veçantë i ligjit Chebyshev të numrave të mëdhenj mund të formulohet si më poshtë.
Mesatarja aritmetike variabla të rastësishme të pavarura në çift , duke pasur së bashku varianca të kufizuara dhe pritshmëri matematikore identike , konvergjon në probabilitet në a.
Le të shpjegojmë kuptimin e një rasti të veçantë të ligjit të numrave të mëdhenj të Chebyshev. Supozoni se duam të gjejmë vlerën e vërtetë A disa sasi fizike(për shembull, madhësia e një pjese). Për ta bërë këtë, ne do të bëjmë një sërë matjesh të pavarura nga njëra-tjetra. Çdo matje shoqërohet me ndonjë gabim (). Prandaj, çdo rezultat i mundshëm i matjes është një ndryshore e rastësishme (indeks i- numri i matjes). Le të supozojmë se në çdo dimension nuk ka gabim sistematik, pra devijimet nga kuptimin e vërtetë A të sasisë së matur në të dy drejtimet janë njësoj të mundshme. Në këtë rast, pritshmëritë matematikore të të gjitha variablave të rastit janë të njëjta dhe të barabarta me vlerën e matur A, d.m.th.
Së fundi, le të supozojmë se matjet janë bërë me njëfarë saktësie të garantuar. Kjo do të thotë se për të gjitha matjet. Kështu, ne jemi në kushtet e ligjit të Chebyshev të numrave të mëdhenj, dhe për këtë arsye, nëse numri i dimensioneve është mjaft i madh, atëherë me siguri praktike mund të themi se sido që të jetë, mesatarja rezultatet aritmetike matja ndryshon nga vlera e vërtetë A më pak se