Bir yamuğun içine bir daire sığdırabiliyorsanız, o zaman... Yamuk

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin amacı:

• eğitici- yamuk kavramını tanıtmak, yamuk türlerini tanımak, yamuğun özelliklerini incelemek, öğrencilere edinilen bilgiyi problem çözme sürecinde uygulamayı öğretmek;
• gelişen– öğrencilerin iletişimsel niteliklerinin geliştirilmesi, deney yapma, genelleme, sonuç çıkarma, konuya olan ilginin geliştirilmesi.
• eğitici– Dikkati geliştirin, bir başarı durumu yaratın, bağımsızlıktan keyif alın zorlukların üstesinden gelmekÖğrencilerin kendilerini ifade etme ihtiyacını geliştirmek, çeşitli türlerçalışır

Çalışma biçimleri:ön, buhar odası, grup.

Çocuk etkinlikleri düzenleme şekli: dinleme, tartışma oluşturma, düşünceyi ifade etme, soru sorma, ekleme becerisi.

Teçhizat: bilgisayar, multimedya projektörü, ekran. Öğrenci sıralarında: her öğrencinin masasında yamuk yapmak için malzemeyi kesin; görevleri olan kartlar (çizimlerin çıktıları ve ders notlarındaki görevler).

DERSİN İLERLEMESİ

I. Organizasyon anı

Selamlama, işyerinin derse hazır olup olmadığının kontrol edilmesi.

II. Bilgiyi güncelleme

• nesneleri sınıflandırma becerilerinin geliştirilmesi;
• sınıflandırma sırasında ana ve ikincil özelliklerin belirlenmesi.

1 numaralı çizimi düşünün.

Daha sonra çizimin tartışılması geliyor.
– Bu geometrik şekil neden yapılmıştır? Çocuklar cevabı resimlerde buluyorlar: [dikdörtgen ve üçgenlerden].
– Yamuğu oluşturan üçgenler nasıl olmalıdır?
Tüm görüşler dinlenir ve tartışılır, bir seçenek seçilir: [üçgenler dikdörtgen olmalıdır].
– Üçgenler ve dikdörtgen nasıl oluşur? [Böylece dikdörtgenin karşıt kenarları üçgenlerin her birinin ayağıyla çakışacak şekilde].
– Dikdörtgenin karşıt kenarları hakkında ne biliyorsunuz? [Paraleldirler].
- Peki bu dörtgenin kenarları paralel mi olacak? [Evet].
- Kaç tane var? [İki].
Tartışmanın ardından öğretmen “dersin kraliçesi” olan yamuğu gösterir.

III. Yeni malzemenin açıklaması

1. Yamuğun tanımı, yamuğun elemanları

• öğrencilere yamuk tanımlamayı öğretin;
• elemanlarını adlandırın;
• ilişkisel hafızanın gelişimi.

– Şimdi yamuğun tam bir tanımını vermeye çalışın. Her öğrenci sorunun cevabını düşünür. Çiftler halinde görüş alışverişinde bulunurlar ve soruya tek bir cevap hazırlarlar. 2-3 çiftten bir öğrenciye sözlü cevap verilir.
[Yamuk, iki kenarı paralel, diğer iki kenarı paralel olmayan bir dörtgendir].

– Yamuğun kenarlarına ne denir? [ Paralel kenarlar yamuğun tabanları, diğer ikisine ise yan taraflar denir.

Öğretmen kesilen şekilleri yamuk şeklinde katlamayı önerir. Öğrenciler çiftler halinde çalışırlar ve rakamları toplarlar. Öğrenci çiftlerinin farklı seviyelerde olması iyidir, o zaman öğrencilerden biri danışman olur ve zorluk durumunda bir arkadaşına yardım eder.

– Defterlerinize bir yamuk oluşturunuz, yamuğun kenarlarının isimlerini yazınız. Komşunuza çizimle ilgili sorular sorun, cevaplarını dinleyin ve ona cevap seçeneklerinizi söyleyin.

Tarihsel arka plan

"Yamuk"- eski zamanlarda “masa” anlamına gelen Yunanca bir kelime (Yunancada “trapedzion” masa, yemek masası anlamına gelir. Geometrik şekil, küçük bir masaya dışsal benzerliğinden dolayı bu şekilde adlandırılmıştır.
Elementlerde (Yunanca Στοιχεῖα, Latin Elementa) - Öklid'in MÖ 300 civarında yazılmış ana eseri. e. ve geometrinin sistematik inşasına adanmıştır) "yamuk" terimi modern anlamda değil, farklı bir anlamda kullanılır: herhangi bir dörtgen (paralelkenar değil). Bizim anladığımız anlamda “Trapezyum”a ilk kez antik Yunan matematikçi Posidonius'ta (1. yüzyıl) rastlanmaktadır. Orta Çağ'da Öklid'e göre herhangi bir dörtgen (paralelkenar değil) yamuk olarak adlandırılıyordu; sadece 18. yüzyılda. bu kelime modern bir anlam kazanıyor.

Verilen elemanlardan bir yamuk oluşturmak. Adamlar 1 numaralı karttaki görevleri tamamlıyorlar.

Öğrencilerin çeşitli düzenleme ve şekillerde yamuk oluşturmaları gerekir. 1. noktada inşa etmek gerekiyor dikdörtgen yamuk. 2. noktada inşa etmek mümkün hale gelir ikizkenar yamuk. 3. noktada yamuk "yan tarafı üzerinde duruyor" olacaktır. 4. paragrafta çizim, tabanlardan birinin alışılmadık derecede küçük olduğu bir yamuk inşa etmeyi içeriyor.
Öğrenciler aynı kıyafeti giyen farklı figürlerle öğretmeni “şaşırtıyor” ortak ad– yamuk. Öğretmen gösterir olası seçenekler yamuk inşa etmek.

Sorun 1. Tabanlardan biri ve ikisi sırasıyla eşitse iki yamuk da eşit olur mu? taraflar?
Sorunun çözümünü gruplar halinde tartışın ve akıl yürütmenin doğruluğunu kanıtlayın.
Gruptan bir öğrenci tahtaya bir çizim çizer ve nedenini açıklar.

2. Yamuk Çeşitleri

• gelişim motorlu hafıza bir yamuğu kırma becerileri ünlü figürler, sorunları çözmek için gerekli;
• genelleme, karşılaştırma, benzetmeyle tanımlama ve hipotez ileri sürme becerilerinin geliştirilmesi.

Resme bakalım:

– Resimde gösterilen yamukların farkı nedir?
Adamlar yamuk tipinin solda bulunan üçgenin tipine bağlı olduğunu fark ettiler.
– Cümleyi tamamlayın:

Bir yamuğa dikdörtgen denir, eğer ...
Bir yamuğa ikizkenar denir, eğer ...

3. Yamuğun özellikleri. İkizkenar yamuğun özellikleri.

• ikizkenar üçgene benzetilerek ikizkenar yamuğun özelliği hakkında bir hipotez ileri sürmek;
• Analitik becerilerin geliştirilmesi (karşılaştırma, hipotez kurma, kanıtlama, inşa etme).

• Köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçası tabanlar farkının yarısına eşittir.
• Bir ikizkenar yamuk herhangi bir tabanda eşit açılara sahiptir.
• İkizkenar yamuk eşit köşegenlere sahiptir.
• Bir ikizkenar yamuğun tepe noktasından aşağıya doğru bir yüksekliği vardır. daha büyük taban, biri tabanların toplamının yarısına, diğeri tabanların farkının yarısına eşit olan iki parçaya böler.

Görev 2. Bir ikizkenar yamukta: a) her tabandaki açıların eşit olduğunu; b) köşegenler eşittir. İkizkenar yamuğun bu özelliklerini kanıtlamak için üçgenlerin eşitlik işaretlerini hatırlıyoruz. Öğrenciler görevi gruplar halinde tamamlarlar, tartışırlar ve çözümü not defterlerine yazarlar.
Gruptan bir öğrenci tahtada bir ispat yapar.

4. Dikkat egzersizi

5. Günlük yaşamda yamuk şekillerin kullanımına örnekler:

• iç mekanlarda (kanepeler, duvarlar, asma tavanlar);
• peyzaj tasarımında (çimler, yapay göletler, taşların sınırları);
• moda endüstrisinde (giyim, ayakkabı, aksesuar);
• gündelik eşyaların tasarımında (lambalar, tabaklar, yamuk şekillerin kullanılması);
• mimaride.

Pratik çalışma(seçeneklere göre).

– Bir koordinat sisteminde, verilen üç köşeye göre ikizkenar yamuklar oluşturun.

Seçenek 1: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) ve (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…; …).
Seçenek 2: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) ve (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …;

– Dördüncü köşenin koordinatlarını belirleyin.
Çözüm tüm sınıf tarafından kontrol edilir ve yorumlanır. Öğrenciler bulunan dördüncü noktanın koordinatlarını belirtir ve nedenini sözlü olarak açıklamaya çalışırlar. verilen koşullar yalnızca bir nokta tanımlayın.

İlginç bir görev. Bir yamuğu aşağıdakilerden katlayın: a) dört dik üçgen; b) üç dik üçgenden; c) iki dik üçgenden.

IV. Ev ödevi

• yetiştirme doğru özgüven;
• Her öğrenci için bir “başarı” durumu yaratmak.

s.44, yamuğun tanımını, elemanlarını, çeşitlerini bilir, yamuğun özelliklerini bilir, ispat edebilir, No. 388, No. 390.

V. Ders özeti. Dersin sonunda çocuklara verilir. anket, kendi kendine analiz yapmanıza, dersin niteliksel ve niceliksel bir değerlendirmesini yapmanıza olanak tanır .

- (Yunan trapezi). 1) geometride, iki kenarı paralel ve iki tarafı paralel olmayan bir dörtgen. 2) jimnastik egzersizlerine uyarlanmış bir figür. Sözlük yabancı kelimeler, Rus diline dahil. Chudinov A.N., 1910. TRAPEZ... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

Yamuk- Yamuk. TRAPEZ (Yunanca trapezden, kelimenin tam anlamıyla masadan), dışbükey dörtgen iki tarafın paralel olduğu (yamuğun tabanları). Bir yamuğun alanı, tabanların (orta çizgi) ve yüksekliğin toplamının yarısının çarpımına eşittir. ... Resimli Ansiklopedik Sözlük

yamuk- dörtgen, mermi, çapraz çubuk Rusça eşanlamlılar sözlüğü. yamuk isim, eşanlamlıların sayısı: 3 çapraz çubuk (21) ... Eşanlamlılar sözlüğü

TRAPEZ- (Yunanca trapezden, kelimenin tam anlamıyla masa), iki tarafın paralel olduğu dışbükey bir dörtgen (bir yamuğun tabanları). Bir yamuğun alanı, tabanların (orta çizgi) ve yüksekliğin toplamının yarısının çarpımına eşittir... Modern ansiklopedi

TRAPEZ- (Yunan trapez ışıklı masasından), içinde iki kişinin olduğu bir dörtgen zıt taraflar Yamuğun tabanları adı verilen paraleldir (Şekil AD ve BC'de) ve diğer ikisi paralel değildir. Tabanlar arasındaki mesafeye yamuğun yüksekliği denir (... ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

TRAPEZ- TRAPEZOID, dörtgen düz şekil, karşılıklı iki kenarın paralel olduğu. Bir yamuğun alanı, paralel kenarların toplamının yarısı ile aralarındaki dik uzunluğun çarpımına eşittir. Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

TRAPEZ- TRAPEZ, yamuk, kadın. (Yunan trapez tablosundan). 1. İki paralel ve iki paralel olmayan kenarı olan dörtgen (mat.). 2. İki halat (spor) üzerine asılan bir çapraz çubuktan oluşan bir jimnastik aleti. Akrobatik... ... Sözlük Uşakova

TRAPEZ- TRAPEZ ve dişi. 1. İki paralel ve iki paralel olmayan kenarı olan bir dörtgen. Yamuğun tabanları (paralel kenarları). 2. Bir sirk veya jimnastik aleti, iki kabloya asılan bir çapraz çubuktur. Ozhegov'un açıklayıcı sözlüğü. İLE … Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü

TRAPEZ- dişi, geom. ikisi paralel (paralel) olan, kenarları eşit olmayan bir dörtgen. Yamuk, tüm kenarları birbirinden ayrılan benzer bir dörtgen. Trapezohedron, yamuklarla çevrili bir vücut. Dahl'ın Açıklayıcı Sözlüğü. V.I. Dahl. 1863 1866… Dahl'ın Açıklayıcı Sözlüğü

TRAPEZ- (Trapez), ABD, 1956, 105 dk. Melodram. Akrobat adayı Tino Orsini, ünlü eski trapez sanatçısı Mike Ribble'ın çalıştığı bir sirk grubuna katılır. Mike bir zamanlar Tino'nun babasıyla sahneye çıkmıştı. Genç Orsini Mike'ı istiyor... Sinema Ansiklopedisi

Yamuk-iki tarafı paralel, diğer iki tarafı paralel olmayan dörtgen. Paralel kenarlar arasındaki mesafeye denir. yükseklik T. Paralel kenarlar ve yükseklik a, b ve h metreleri içeriyorsa, T alanı şunları içerir: metrekare … Brockhaus ve Efron Ansiklopedisi

Bir yamuğun elemanlarını belirlemek için özel bir terminoloji vardır. Bunun paralel kenarları geometrik şekilüsleri denir. Kural olarak birbirlerine eşit değillerdir. Ancak paralel olmayan kenarlar hakkında hiçbir şey söylemeyen bir tane var. Bu nedenle bazı matematikçiler paralelkenarı yamuğun özel bir durumu olarak görürler. Bununla birlikte, ders kitaplarının büyük çoğunluğu hala yanal olarak adlandırılan ikinci kenar çiftinin paralel olmadığından bahsetmektedir.

Birkaç çeşit yamuk vardır. Kenarları birbirine eşitse, yamuğa ikizkenar veya ikizkenar denir. Kenarlardan biri tabanlara dik olabilir. Buna göre bu durumda şekil dikdörtgen olacaktır.

Yamukları tanımlayan ve diğer parametrelerin hesaplanmasına yardımcı olan birkaç çizgi daha vardır. Kenarları ikiye bölün ve ortaya çıkan noktalardan düz bir çizgi çizin. Yamuğun orta hattını alacaksınız. Tabanlara ve bunların yarım toplamlarına paraleldir. n=(a+b)/2 formülüyle ifade edilebilir; burada n uzunluk, a ve b taban uzunluklarıdır. Orta çizgi çok önemli parametre. Örneğin, orta çizginin uzunluğunun yükseklikle çarpımına eşit olan bir yamuğun alanını, yani S=nh'yi ifade etmek için kullanabilirsiniz.

Yan ile kısa taban arasındaki köşeden uzun tabana dik bir çizgi çizin. Yamuğun yüksekliğini elde edeceksiniz. Herhangi bir dikey gibi, yükseklik - en kısa mesafe Verilen satırlar arasında.

Bilmeniz gereken ek özellikler var. Kenarlar ile taban arasındaki açılar birbiriyle uyumludur. Ayrıca köşegenleri eşittir, bu da oluşturdukları üçgenleri karşılaştırarak kolaydır.

Bazları ikiye bölün. Köşegenlerin kesişme noktasını bulun. Kenarlar kesişene kadar devam edin. Düz bir çizgi çizebileceğiniz 4 puan alacaksınız ve yalnızca bir tane.

Bir tanesi önemli özellikler Herhangi bir dörtgenin özelliği, yazılı veya çevrelenmiş bir daire oluşturma yeteneğidir. Trapezde bu her zaman işe yaramaz. Yazılı bir daire ancak tabanların toplamı kenarların toplamına eşitse oluşacaktır. Bir daire yalnızca ikizkenar yamuk etrafında tanımlanabilir.

Sirk yamuğu sabit veya hareketli olabilir. Birincisi küçük yuvarlak bir çapraz çubuktur. Sirk kubbesine iki taraftan demir çubuklarla tutturulmuştur. Hareketli yamuk kablolar veya halatlarla bağlanır; serbestçe sallanabilir. Çift ve hatta üçlü yamuklar vardır. Aynı terim sirk akrobasi türünü de ifade eder.

"Yamuk" terimi

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızdan toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

\[(\Büyük(\text(Serbest yamuk)))\]

Tanımlar

Yamuk, iki tarafı paralel ve diğer iki tarafı paralel olmayan dışbükey bir dörtgendir.

Bir yamuğun paralel kenarlarına tabanlar, diğer iki kenarlarına da kenarları denir.

Bir yamuğun yüksekliği, bir tabanın herhangi bir noktasından diğer tabanına inen dik bir çizgidir.

Teoremler: yamuğun özellikleri

1) Kenardaki açıların toplamı \(180^\circ\)'dir.

2) Köşegenler yamuğu, ikisi benzer, diğer ikisi eşit büyüklükte dört üçgene böler.

Kanıt

1) Çünkü \(AD\paralel BC\), bu durumda \(\angle BAD\) ve \(\angle ABC\) açıları bu çizgiler ve enine \(AB\) için tek taraflıdır, dolayısıyla, \(\açı KÖTÜ +\açı ABC=180^\circ\).

2) Çünkü \(AD\paralel BC\) ve \(BD\) bir kesen ise, \(\angle DBC=\angle BDA\) çapraz olarak uzanır.
Ayrıca \(\angle BOC=\angle AOD\) dikey olarak.
Bu nedenle iki açıdan \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Hadi bunu kanıtlayalım \(S_(\üçgen AOB)=S_(\üçgen COD)\). Yamuğun yüksekliği \(h\) olsun. Daha sonra \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Daha sonra: \

Tanım

Yamuğun orta çizgisi, kenarların orta noktalarını birleştiren bir bölümdür.

Teorem

Yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.

Kanıt*

1) Paralelliği kanıtlayalım.

\(M\) noktasından \(MN"\paralel AD\) (\(N"\in CD\) ) düz çizgisini çizelim. O halde Thales teoremine göre (çünkü \(MN"\paralel AD\paralel BC, AM=MB\)) \(N"\) noktası \(CD\) doğru parçasının ortasıdır. Bu, \(N\) ve \(N"\) noktalarının çakışacağı anlamına gelir.

2) Formülü kanıtlayalım.

Hadi \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) yapalım. İzin vermek \(BB"\başlık MN=M", CC"\başlık MN=N"\).

O halde, Thales teoremine göre, \(M"\) ve \(N"\) sırasıyla \(BB"\) ve \(CC"\) parçalarının orta noktalarıdır. Yani, \(MM"\) – orta hat\(\triangle ABB"\) , \(NN"\) orta çizgidir \(\triangle DCC"\). Bu nedenle: \

Çünkü \(MN\paralel AD\paralel BC\) ve \(BB", CC"\perp AD\), bu durumda \(B"M"N"C"\) ve \(BM"N"C\) dikdörtgenlerdir. Thales teoremine göre \(MN\paralel AD\) ve \(AM=MB\)'den \(B"M"=M"B\) sonucu çıkar. Dolayısıyla \(B"M"N"C) olur "\) ve \(BM"N"C\) – eşit dikdörtgenler, dolayısıyla \(M"N"=B"C"=BC\) .

Böylece:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Teorem: özellik serbest yamuk

Tabanların orta noktaları, yamuğun köşegenlerinin kesişme noktası ve yan kenarların uzantılarının kesişme noktası aynı düz çizgi üzerinde yer alır.

Kanıt*
“Üçgenlerin benzerliği” konusunu inceledikten sonra ispata alışmanız tavsiye edilir.

1) \(P\) , \(N\) ve \(M\) noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlayalım.

Düz bir çizgi çizelim \(PN\) (\(P\) yan kenarların uzantılarının kesişme noktasıdır, \(N\) \(BC\)'nin ortasıdır). \(AD\) kenarını \(M\) noktasında kessin. \(M\)'nin \(AD\)'nin orta noktası olduğunu kanıtlayalım.

\(\triangle BPN\) ve \(\triangle APM\) 'yi düşünün. İki açıda benzerdirler (\(\açı APM\) - genel, \(\açı PAM=\açı PBN\), \(AD\paralel BC\) ve \(AB\) sekantına karşılık gelir). Araç: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\triangle CPN\) ve \(\triangle DPM\) 'yi düşünün. İki açıda benzerdirler (\(\angle DPM\) – genel, \(\angle PDM=\angle PCN\), \(AD\paralel BC\) ve \(CD\) sekantında karşılık gelir). Araç: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Buradan \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ancak \(BN=NC\) dolayısıyla \(AM=DM\) .

2) \(N, O, M\) noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlayalım.

\(N\) \(BC\)'nin orta noktası ve \(O\) köşegenlerin kesişme noktası olsun. \(NO\) düz bir çizgi çizelim, \(AD\) kenarını \(M\) noktasında kesecektir. \(M\)'nin \(AD\)'nin orta noktası olduğunu kanıtlayalım.

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) iki açı boyunca (\(\angle OBN=\angle ODM\) \(BC\parallel AD\) ve \(BD\) sekantında çapraz olarak uzanır; \(\angle BON=\angle DOM\) dikey olarak). Araç: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Aynı şekilde \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Araç: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Buradan \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ancak \(BN=CN\) dolayısıyla \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(İkizkenar yamuk)))\]

Tanımlar

Bir yamuk, açılarından biri dik ise dikdörtgen olarak adlandırılır.

Kenarları eşit olan bir yamuğa ikizkenar denir.

Teoremler: ikizkenar yamuğun özellikleri

1) İkizkenar yamuğun taban açıları birbirine eşittir.

2) İkizkenar yamuğun köşegenleri eşittir.

3) Köşegenler ve bir tabandan oluşan iki üçgen ikizkenardır.

Kanıt

1) İkizkenar yamuğu \(ABCD\) düşünün.

\(B\) ve \(C\) köşelerinden, sırasıyla \(BM\) ve \(CN\) dikmelerini \(AD\) kenarına bırakıyoruz. \(BM\perp AD\) ve \(CN\perp AD\) olduğundan, \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) ise \(MBCN\) bir paralelkenardır, dolayısıyla \(BM = CN\) .

düşünelim dik üçgenler\(ABM\) ve \(CDN\) . Hipotenüsleri eşit olduğundan ve \(BM\) kenarı \(CN\) kenarına eşit olduğundan, bu üçgenler eşittir, dolayısıyla \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Çünkü \(AB=CD, \açı A=\açı D, AD\)- genel, sonra ilk işarete göre. Bu nedenle \(AC=BD\) .

3) Çünkü \(\üçgen ABD=\üçgen ACD\), ardından \(\angle BDA=\angle CAD\) . Bu nedenle, \(\üçgen AOD\) üçgeni ikizkenardır. Benzer şekilde, \(\üçgen BOC\)'nin ikizkenar olduğu kanıtlanmıştır.

Teoremler: ikizkenar yamuğun işaretleri

1)Yamuğun taban açıları eşitse ikizkenardır.

2) Yamuğun köşegenleri eşitse ikizkenardır.

Kanıt

\(ABCD\) yamuğunu \(\angle A = \angle D\) olacak şekilde düşünün.

Trapezoidi şekilde gösterildiği gibi \(AED\) üçgenine tamamlayalım. \(\angle 1 = \angle 2\) olduğundan, \(AED\) üçgeni ikizkenardır ve \(AE = ED\) . \(1\) ve \(3\) açıları, paralel çizgiler \(AD\) ve \(BC\) ve çapraz \(AB\) için karşılık gelen açılara eşittir. Benzer şekilde, \(2\) ve \(4\) açıları eşittir, ancak \(\angle 1 = \angle 2\), o zaman \(\açı 3 = \açı 1 = \açı 2 = \açı 4\) dolayısıyla \(BEC\) üçgeni de ikizkenardır ve \(BE = EC\) .

Sonunda \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\) yani \(AB = CD\) kanıtlanması gereken şeydi.

2) \(AC=BD\) olsun. Çünkü \(\üçgen AOD\sim \üçgen BOC\) ise benzerlik katsayılarını \(k\) olarak gösteririz. Sonra eğer \(BO=x\) ise \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)'ye benzer.

Çünkü \(AC=BD\) , ardından \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Bu, \(\triangle AOD\)'nin ikizkenar olduğu ve \(\angle OAD=\angle ODA\) olduğu anlamına gelir.

Yani ilk işarete göre \(\üçgen ABD=\üçgen ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- genel). Peki, \(AB=CD\) neden.