y = f(x) düz çizgisi şekilde gösterilen grafiğe x0 noktasından geçmek şartıyla teğet olacaktır. bu nokta(x0; f(x0)) koordinatlarıyla ve eğim f"(x0). Teğetin özelliklerini dikkate alarak bu katsayıyı bulmak zor değildir.
İhtiyacın olacak
- - matematiksel referans kitabı;
- - not defteri;
- - basit bir kalem;
- - dolma kalem;
- - iletki;
- - pusula.
Talimatlar
- Türevlenebilir f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki grafiğinin teğet parçadan farklı olmadığını lütfen unutmayın. Dolayısıyla (x0; f(x0)) ve (x0+Δx; f(x0 + Δx)) noktalarından geçerek l doğru parçasına oldukça yakındır. A noktasından geçen (x0; f(x0)) katsayılı bir doğruyu belirtmek için eğimini belirtin. Ayrıca, Δy/Δx sekant tanjantına (Δх→0) eşittir ve aynı zamanda f'(x0) sayısına da yönelir.
- Eğer f'(x0) için herhangi bir değer yoksa, o zaman belki de teğet yoktur veya belki de dikey olarak uzanır. Buna göre fonksiyonun x0 noktasında türevinin varlığı, (x0, f(x0)) noktasında fonksiyonun grafiğiyle temas halinde olan dikey olmayan bir tanjantın varlığıyla açıklanmaktadır. İÇİNDE bu durumda tanjantın açısal katsayısı f"(x0)'a eşittir. geometrik anlamı türev, yani tanjantın eğiminin hesaplanması.
- Yani teğetin eğimini bulmak için fonksiyonun teğet noktasındaki türevinin değerini bulmanız gerekir. Örnek: y = x³ fonksiyonunun grafiğine apsis X0 = 1 olan noktada teğetin açısal katsayısını bulun. Çözüm: Bu fonksiyonun y΄(x) = 3x² türevini bulun; X0 = 1 noktasındaki türevin değerini bulunuz. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Teğetin X0 = 1 noktasındaki açı katsayısı 3'tür.
- Şekilde fonksiyonun grafiğine şu noktalara değecek şekilde ek teğetler çizin: x1, x2 ve x3. Bu teğetlerin oluşturduğu açıları apsis ekseni ile işaretleyin (açı pozitif yönde - eksenden teğet çizgisine kadar sayılır). Örneğin, çizilen teğet çizgisi OX eksenine paralel olduğundan, birinci açı α1 dar, ikinci açı (α2) geniş ve üçüncü açı (α3) sıfıra eşit olacaktır. Bu durumda teğet geniş açı Orada negatif değer ve teğet dar açı– pozitif, tg0'da ve sonuç sıfırdır.
Bir fonksiyonun grafiğine teğet kavramına zaten aşinasınız. x 0 yakınındaki x 0 noktasında diferansiyellenebilir f fonksiyonunun grafiği, pratik olarak teğet segmentinden farklı değildir; bu, (x 0 ; f (x 0)) ve ( noktalarından geçen l sekant segmentine yakın olduğu anlamına gelir. x 0 + Δx; f ( x 0 + Δx)). Bu kesenlerden herhangi biri grafiğin A (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçer (Şekil 1). Belirli bir A noktasından geçen bir çizgiyi benzersiz bir şekilde tanımlamak için eğimini belirtmek yeterlidir. Sekantın Δх→0 açısal katsayısı Δy/Δx, f '(x 0) sayısına yönelir (bunu teğetin açısal katsayısı olarak alacağız) derler ki teğet, sekantın Δх→0'daki sınırlayıcı konumudur.
Eğer f'(x 0) mevcut değilse, o zaman teğet ya mevcut değildir ((0; 0 noktasındaki y = |x| fonksiyonu gibi), bkz. şekil) ya da dikeydir (fonksiyonun grafiğindeki gibi) (0; 0), Şekil 2).
Dolayısıyla f fonksiyonunun xo noktasında bir türevinin varlığı, grafiğin (x 0, f (x 0)) noktasında (dikey olmayan) bir teğetin varlığına eşdeğerdir, oysa teğet eğim f" (x 0)'a eşittir. Bu Türevin geometrik anlamı
Xo noktasında türevlenebilir bir f fonksiyonunun grafiğine teğet, (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçen ve f '(x 0) açısal katsayısına sahip olan düz bir çizgidir.
f fonksiyonunun grafiğine x 1, x 2, x 3 noktalarında teğetler çizelim (Şekil 3) ve apsis ekseniyle oluşturdukları açılara dikkat edelim. (Bu, eksenin pozitif yönünden düz çizgiye pozitif yönde ölçülen açıdır.) l düz çizgisi olduğundan α 1 açısının dar, α 3 açısının geniş ve α 2 açısının sıfır olduğunu görüyoruz. Ox eksenine paralel. Dar açının tanjantı pozitif, geniş açının tanjantı negatiftir, tan 0 = 0'dır. Bu nedenle
F"(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
Bireysel noktalarda teğetler oluşturmak, grafikleri daha doğru bir şekilde çizmenize olanak tanır. Yani, örneğin sinüs fonksiyonunun bir grafiğinin taslağını oluşturmak için önce bunu 0 noktalarında buluruz; π/2 ve π sinüsünün türevi 1'e eşittir; Sırasıyla 0 ve -1. Açısal katsayıları sırasıyla 1, 0 ve -1 olan (0; 0), (π/2,1) ve (π, 0) noktalarından geçen düz çizgiler oluşturalım (Şekil 4). Bu düz çizgiler ve Ox düz çizgisi tarafından oluşturulan sonuçta ortaya çıkan yamuk, sinüs grafiği böylece x'in 0'a eşit olması, π/2 ve π için karşılık gelen düz çizgilere değmesidir.
Sıfır yakınındaki sinüs grafiğinin pratik olarak y = x düz çizgisinden ayırt edilemez olduğuna dikkat edin. Örneğin eksenler boyunca ölçekler, bir birim 1 cm'lik bir parçaya karşılık gelecek şekilde seçilsin. Günahımız 0,5 ≈ 0,479425, yani |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02 ve seçilen ölçekte bu, 0,2 mm uzunluğunda bir parçaya karşılık gelir. Bu nedenle, y = sin x fonksiyonunun (-0,5; 0,5) aralığındaki grafiği, y = x düz çizgisinden (dikey yönde) 0,2 mm'den fazla sapmayacaktır; bu, yaklaşık olarak kalınlığına karşılık gelir. çizilmiş çizgi.
Teğet düz bir çizgidir fonksiyonun grafiğine bir noktada dokunan ve tüm noktaları fonksiyonun grafiğinden en kısa mesafede olan . Bu nedenle teğet, fonksiyonun grafiğine belirli bir açıda teğet geçer ve belirli bir açıdaki birden fazla teğet, teğet noktasından geçemez. farklı açılar. Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemler ve normal denklemler türev kullanılarak oluşturulur.
Teğet denklemi çizgi denkleminden türetilir .
Fonksiyonun grafiğine önce teğet denklemini, sonra da normal denklemini çıkaralım.
sen = kx + B .
İçinde k- açısal katsayı.
Buradan aşağıdaki girişi elde ederiz:
sen - sen 0 = k(X - X 0 ) .
Türev değeri F "(X 0 ) işlevler sen = F(X) bu noktada X0 eğime eşit k= tg φ bir noktadan çizilen bir fonksiyonun grafiğine teğet M0 (X 0 , sen 0 ) , Nerede sen0 = F(X 0 ) . Bu Türevin geometrik anlamı .
Böylece değiştirebiliriz k Açık F "(X 0 ) ve aşağıdakileri alın bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi :
sen - sen 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .
Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi oluşturmayı içeren problemlerde (ki bunlara yakında geçeceğiz), yukarıdaki formülden elde edilen denklemin şu şekilde azaltılması gerekir: genel formda düz bir çizginin denklemi. Bunu yapmak için tüm harfleri ve sayıları aktarmanız gerekir. sol taraf Denklem ve sağ tarafta sıfır bırakın.
Şimdi normal denklem hakkında. Normal - bu, teğete dik fonksiyonun grafiğine teğet noktasından geçen düz bir çizgidir. Normal denklem :
(X - X 0 ) + F "(X 0 )(sen - sen 0 ) = 0
Isınmak için ilk örneği kendiniz çözmeniz ve ardından çözüme bakmanız istenir. Bu görevin okuyucularımız için “soğuk bir duş” olmayacağını ummak için her türlü neden var.
Örnek 0. Bir fonksiyonun grafiği için bir noktadaki teğet denklemi ve normal denklemi oluşturun M (1, 1) .
Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiği için bir teğet denklem ve normal bir denklem yazın 
apsis teğet ise .
Fonksiyonun türevini bulalım:
Artık teğet denklemini elde etmek için teorik yardımda verilen girişin yerine koymamız gereken her şeye sahibiz. Aldık
Bu örnekte şanslıydık: eğimin şu olduğu ortaya çıktı: sıfıra eşit bu nedenle denklemi ayrı ayrı genel bir forma getirmeye gerek yoktu. Artık normal denklemi oluşturabiliriz:
Aşağıdaki şekilde: bordo renkli, teğet bir fonksiyonun grafiği yeşil, turuncu normal.
Bir sonraki örnek de karmaşık değil: fonksiyon, öncekinde olduğu gibi, aynı zamanda bir polinomdur, ancak eğim sıfıra eşit olmayacaktır, bu nedenle denklemi genel bir forma getirmek için bir adım daha eklenecektir.
Örnek 2.
Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:
Fonksiyonun türevini bulalım:
.
Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:
Elde edilen tüm verileri "boş formüle" koyarız ve teğet denklemi elde ederiz:
Denklemi genel şekline getiriyoruz (sıfır dışındaki tüm harf ve rakamları sol tarafta topluyoruz ve sıfırı sağ tarafta bırakıyoruz):
Normal denklemi oluşturuyoruz:
Örnek 3. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.
Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:
Fonksiyonun türevini bulalım:
.
Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:
.
Teğet denklemini buluyoruz:
Denklemi genel formuna getirmeden önce biraz “taramanız” gerekiyor: terimi terimle 4 ile çarpın. Bunu yapıp denklemi genel formuna getiriyoruz:
Normal denklemi oluşturuyoruz:
Örnek 4. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.
Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:
.
Fonksiyonun türevini bulalım:
Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:
.
Teğet denklemini elde ederiz:
Denklemi genel formuna getiriyoruz:
Normal denklemi oluşturuyoruz:
Teğet ve normal denklemleri yazarken sık karşılaşılan bir hata, örnekte verilen fonksiyonun karmaşık olduğunu fark etmemek ve türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak hesaplamaktır. Aşağıdaki örnekler- o zamandan beri karmaşık işlevler(ilgili ders yeni bir pencerede açılacaktır).
Örnek 5. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.
Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:
Dikkat! Bu işlev- karmaşık, teğet argümanından bu yana (2 X) kendisi bir fonksiyondur. Dolayısıyla bir fonksiyonun türevini karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak buluyoruz.
Matematikte bir çizginin konumunu tanımlayan parametrelerden biri Kartezyen düzlem koordinatlar bu doğrunun eğimidir. Bu parametre, düz çizginin apsis eksenine olan eğimini karakterize eder. Eğimin nasıl bulunacağını anlamak için önce XY koordinat sistemindeki düz çizgi denkleminin genel formunu hatırlayın.
İÇİNDE genel görünüm herhangi bir düz çizgi a, b ve c'nin keyfi olduğu ax+by=c ifadesiyle temsil edilebilir gerçek sayılar, ancak mutlaka a 2 + b 2 ≠ 0 olmalıdır.
Basit dönüşümler kullanılarak böyle bir denklem, k ve d'nin gerçel sayılar olduğu y=kx+d formuna getirilebilir. K sayısı eğimdir ve bu tür bir doğrunun denklemine eğimli denklem denir. Açısal katsayıyı bulmak için sadece getirmeniz gerektiği ortaya çıktı orijinal denklem yukarıdaki türe. Daha kapsamlı bir anlayış için belirli bir örneği düşünün:
Problem: 36x - 18y = 108 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun
Çözüm: Orijinal denklemi dönüştürelim.
Cevap: Bu doğrunun gerekli eğimi 2'dir.
Denklemin dönüşümü sırasında x = const gibi bir ifade elde ettiysek ve sonuç olarak y'yi x'in bir fonksiyonu olarak temsil edemiyorsak, X eksenine paralel bir doğru ile karşı karşıyayız demektir. düz bir çizgi sonsuza eşittir.
Y = const gibi bir denklemle ifade edilen çizgiler için eğim sıfırdır. Bu, apsis eksenine paralel düz çizgiler için tipiktir. Örneğin:
Problem: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun
Çözüm: Orijinal denklemi genel formuna getirelim
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Ortaya çıkan ifadeden y'yi ifade etmek imkansızdır, bu nedenle bu çizginin açısal katsayısı sonsuza eşittir ve çizginin kendisi Y eksenine paralel olacaktır.
Geometrik anlam
Daha iyi anlamak için resme bakalım:
Şekilde y = kx gibi bir fonksiyonun grafiğini görüyoruz. Basitleştirmek için c = 0 katsayısını alalım. OAB üçgeninde BA kenarının AO kenarına oranı k açısal katsayısına eşit olacaktır. Aynı zamanda VA/AO oranı, α dar açısının tanjantıdır. dik üçgen OAV. Düz çizginin açısal katsayısının, bu düz çizginin koordinat ızgarasının apsis ekseniyle yaptığı açının tanjantına eşit olduğu ortaya çıktı.
Düz bir çizginin açısal katsayısının nasıl bulunacağı problemini çözerek, onunla koordinat ızgarasının X ekseni arasındaki açının tanjantını buluruz. Sınır durumları, söz konusu çizginin koordinat eksenlerine paralel olduğu durumlarda yukarıdakileri doğrular. Gerçekte, y=sabit denklemiyle tanımlanan bir düz çizgi için, onunla apsis ekseni arasındaki açı sıfırdır. Sıfır açının tanjantı da sıfırdır ve eğim de sıfırdır.
X eksenine dik olan ve x=const denklemiyle tanımlanan düz çizgiler için, bunlarla X ekseni arasındaki açı 90 derecedir. Teğet dik açı sonsuza eşittir ve benzer düz çizgilerin açısal katsayısı da sonsuza eşittir, bu da yukarıda yazılanları doğrular.
Teğet eğim
Uygulamada sıklıkla karşılaşılan ortak bir görev de, bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadaki teğetin eğimini bulmaktır. Teğet düz bir çizgidir, bu nedenle eğim kavramı ona da uygulanabilir.
Bir teğetin eğimini nasıl bulacağımızı bulmak için türev kavramını hatırlamamız gerekecek. Herhangi bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi sayısal olarak sabittir teğete eşit bu fonksiyonun grafiğinin belirli bir noktasındaki teğeti ile apsis ekseni arasında oluşan açı. x 0 noktasındaki tanjantın açısal katsayısını belirlemek için, orijinal fonksiyonun k = f"(x 0) noktasındaki türevinin değerini hesaplamamız gerektiği ortaya çıktı. Bir örneğe bakalım:
Problem: y = 12x 2 + 2xe x fonksiyonuna x = 0,1'de teğet olan doğrunun eğimini bulun.
Çözüm: Orijinal fonksiyonun türevini genel formda bulun
y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1
Cevap: x = 0,1 noktasında gerekli eğim 4,831'dir.
Bir x 0 noktasında sonlu türevi f (x 0) olan bir f fonksiyonu verilsin. Daha sonra f '(x 0) açısal katsayısına sahip olan (x 0 ; f (x 0)) noktasından geçen düz çizgiye teğet denir.
Türev x 0 noktasında mevcut değilse ne olur? İki seçenek var:
- Grafiğe teğet de yoktur. Klasik örnek- fonksiyon y = |x | (0; 0) noktasında.
- Teğet dikey hale gelir. Bu, örneğin (1; π /2) noktasındaki y = arcsin x fonksiyonu için doğrudur.
Teğet denklem
Dikey olmayan herhangi bir düz çizgi, k'nin eğim olduğu y = kx + b formundaki bir denklemle verilir. Teğet bir istisna değildir ve denklemini x 0 noktasında oluşturmak için fonksiyonun değerini ve bu noktadaki türevini bilmek yeterlidir.
O halde parça üzerinde türevi y = f '(x) olan bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Daha sonra herhangi bir x 0 ∈ (a ; b) noktasında bu fonksiyonun grafiğine aşağıdaki denklemle verilen bir teğet çizilebilir:
y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)
Burada f '(x 0) x 0 noktasındaki türevin değeridir ve f (x 0) fonksiyonun kendisinin değeridir.
Görev. y = x 3 fonksiyonu verildiğinde. Bu fonksiyonun grafiğine x 0 = 2 noktasındaki teğet için bir denklem yazınız.
Teğet denklemi: y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Bize x 0 = 2 noktası verilmiştir, ancak f (x 0) ve f '(x 0) değerlerinin hesaplanması gerekecektir.
Öncelikle fonksiyonun değerini bulalım. Burada her şey kolay: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Şimdi türevini bulalım: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Türevde x 0 = 2'yi yerine koyarız: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Toplamda şunu elde ederiz: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Bu teğet denklemidir.
Görev. f (x) = 2sin x + 5 fonksiyonunun grafiğine x 0 = π /2 noktasındaki teğet için bir denklem yazın.
Bu sefer her eylemi ayrıntılı olarak açıklamayacağız - yalnızca temel adımları göstereceğiz. Sahibiz:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f'(x 0) = f'(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Teğet denklemi:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
İÇİNDE ikinci durum düz çizginin yatay olduğu ortaya çıktı, çünkü açısal katsayısı k = 0. Bunda yanlış bir şey yok - sadece bir uç noktaya rastladık.
