Simetrik bir şeklin ağırlık merkezi formülle belirlenir. Düzlem figürlerin ağırlık merkezinin koordinatlarının belirlenmesi

Sistemin bir diyagramını çizin ve ağırlık merkezini üzerine işaretleyin. Bulunan ağırlık merkezi nesne sisteminin dışındaysa yanlış cevap aldınız. mesafeleri ölçmüş olabilirsiniz. farklı noktalar geri sayım. Ölçümleri tekrarlayın.

• Örneğin çocuklar salıncakta oturuyorsa ağırlık merkezi salıncağın sağında veya solunda değil, çocukların arasında bir yerde olacaktır. Ayrıca ağırlık merkezi asla çocuğun oturduğu nokta ile çakışmayacaktır.
• Bu argümanlar iki boyutlu uzayda geçerlidir. Sistemin tüm nesnelerini içerecek bir kare çizin. Ağırlık merkezi bu karenin içinde olmalıdır.

Kontrol etmek Matematiksel hesaplamalar, eğer küçük bir sonuç alırsanız. Referans noktası sistemin bir ucundaysa, küçük bir sonuç ağırlık merkezini sistemin sonuna yakın bir yere yerleştirir. Bu doğru cevap olabilir ancak çoğu durumda bu sonuç bir hataya işaret eder. Momentleri hesaplarken karşılık gelen ağırlıkları ve mesafeleri çarptınız mı? Çarpmak yerine ağırlıkları ve mesafeleri ekleseydiniz çok daha küçük bir sonuç elde ederdiniz.

Birden fazla ağırlık merkezi bulduysanız hatayı düzeltin. Her sistemin yalnızca bir ağırlık merkezi vardır. Birden fazla ağırlık merkezi bulduysanız büyük ihtimalle tüm anları toplamamışsınızdır. Ağırlık merkezi orana eşit"toplam" momentin "toplam" ağırlığa oranı. "Her" anı "her" ağırlığa bölmeye gerek yok: bu şekilde her nesnenin konumunu bulacaksınız.

İşin amacı – Karmaşık bir şeklin ağırlık merkezini analitik ve deneysel olarak belirler.

Teorik arka plan. Maddi gövdeler şunlardan oluşur: temel parçacıklar Uzaydaki konumları koordinatlarına göre belirlenir. Her parçacığın Dünya'ya olan çekim kuvvetleri bir sistem olarak düşünülebilir. paralel kuvvetler Bu kuvvetlerin bileşkesine cismin yer çekimi kuvveti veya cismin ağırlığı denir. Bir cismin ağırlık merkezi, yerçekiminin uygulandığı noktadır.

Ağırlık merkezi geometrik nokta gövdenin dışına yerleştirilebilen (örneğin, delikli bir disk, içi boş bir top vb.). Büyük pratik önemi ince düz homojen plakaların ağırlık merkezi tanımına sahiptir. Kalınlıkları genellikle ihmal edilebilir ve ağırlık merkezinin bir düzlemde olduğu varsayılabilir. Eğer koordinat uçağı xOy şeklin düzlemiyle hizalanırsa ağırlık merkezinin konumu iki koordinatla belirlenir:

şeklin bir kısmının alanı nerede, ();

– şeklin parçalarının ağırlık merkezinin koordinatları, mm (cm).

Bir şeklin kesiti	bir, mm2	X c ,mm	Yc, mm
	dostum	b/2	saat/2
	bh/2	b/3	saat/3
	R2a
2α'da = π πR 2 /2

Çalışma prosedürü.

Bir şekil çiz karmaşık şekil 3-4'ten oluşan basit rakamlar(dikdörtgen, üçgen, daire vb.) 1:1 ölçeğinde gösteriniz ve boyutlarını belirtiniz.

Koordinat eksenlerini, şeklin tamamını kaplayacak şekilde çizin, karmaşık şekli basit parçalara ayırın, seçilen koordinat sistemine göre her basit şeklin ağırlık merkezinin alanını ve koordinatlarını belirleyin.

Tüm şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını analitik olarak hesaplayın. Kesmek bu figür ince karton veya kontrplaktan. İki delik açın, deliklerin kenarları düzgün olmalı ve deliklerin çapı, şekli asmak için iğnenin çapından biraz daha büyük olmalıdır.

İlk önce şekli bir noktaya (deliğe) asın, kalemle çekül çizgisine denk gelen bir çizgi çizin. Figürü başka bir noktaya asarken de aynı işlemi tekrarlayın. Deneysel olarak bulunan şeklin ağırlık merkezi çakışmalıdır.

İnce homojen bir plakanın ağırlık merkezinin koordinatlarını analitik olarak belirleyin. Deneysel olarak kontrol edin

Çözüm algoritması

1. Analitik metod.

a) Çizimi 1:1 ölçeğinde çizin.

b) Karmaşık bir şekli basit parçalara ayırın

c) Koordinat eksenlerini seçin ve çizin (şekil simetrikse simetri ekseni boyunca, aksi halde şeklin konturu boyunca)

d) Basit şekillerin ve şeklin tamamının alanını hesaplayın

e) Çizimdeki her basit şeklin ağırlık merkezinin konumunu işaretleyin

f) Her şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayın

(x ve y ekseni boyunca)

g) Formülü kullanarak tüm şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayın

h) Çizim C'de ağırlık merkezinin konumunu işaretleyin (

2. Deneysel belirleme.

Sorunun çözümünün doğruluğu deneysel olarak doğrulanabilir. Bu rakamı ince karton veya kontrplaktan kesin. Üç delik açın, deliklerin kenarları pürüzsüz olmalı ve deliklerin çapı, şekli asmak için iğnenin çapından biraz daha büyük olmalıdır.

İlk önce şekli bir noktaya (deliğe) asın, kalemle çekül çizgisine denk gelen bir çizgi çizin. Figürü başka noktalara asarken de aynı işlemi tekrarlayın. Şeklin iki noktaya asılması sırasında bulunan şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarının değeri: . Deneysel olarak bulunan şeklin ağırlık merkezi çakışmalıdır.

3. Analitik ve deneysel belirleme sırasında ağırlık merkezinin konumuna ilişkin sonuç.

Egzersiz yapmak

Düz bir kesitin ağırlık merkezini analitik ve deneysel olarak belirleyin.

Yürütme örneği

Görev

İnce homojen bir plakanın ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleyin.

Analitik yöntem

1. Çizim ölçekli olarak çizilir (boyutlar genellikle mm cinsinden verilir)

2. Karmaşık bir figürü basit olanlara ayırıyoruz.

1- Dikdörtgen

2- Üçgen (dikdörtgen)

3- Yarım dairenin alanı (yoktur, eksi işareti).

Basit nokta figürlerinin ağırlık merkezinin konumunu buluruz ve

3. Koordinat eksenlerini uygun şekilde çizin ve koordinatların başlangıç ​​noktasını işaretleyin.

4. Basit şekillerin alanlarını ve şeklin tamamının alanını hesaplayın. [cm cinsinden boyut]

(3. hayır, işaret -).

Tüm şeklin alanı

5. Merkezi noktanın koordinatını bulun. ve çizimde.

6. C 1, C 2 ve C 3 noktalarının koordinatlarını hesaplayın

7. C noktasının koordinatlarını hesaplayın

8. Çizimde bir nokta işaretleyin

II Tecrübeli

Ağırlık merkezinin deneysel olarak koordinatları.

Kontrol soruları.

1. Bir cismin yer çekimi kuvvetini paralel kuvvetlerin bileşkesi olarak düşünmek mümkün müdür?

2. Tüm vücudun ağırlık merkezi belirlenebilir mi?

3. Özü nedir deneysel belirleme düz bir figürün ağırlık merkezi?

4. Birkaç basit figürden oluşan karmaşık bir figürün ağırlık merkezi nasıl belirlenir?

5. Tüm şeklin ağırlık merkezini belirlerken karmaşık şekilli bir şekil rasyonel olarak basit şekillere nasıl bölünmelidir?

6. Ağırlık merkezini belirleme formülünde deliklerin alanı hangi işarete sahiptir?

7. Ağırlık merkezi üçgenin hangi çizgilerinin kesişimindedir?

8. Bir şeklin az sayıda basit şekle bölünmesi zorsa, ağırlık merkezini belirlemenin hangi yöntemi en hızlı cevabı sağlayabilir?

Pratik iş №6

“Karmaşık sorunları çözmek”

Çalışmanın amacı: Karmaşık problemleri çözebilme (kinematik, dinamik)

Teorik arka plan: Hız, bir noktanın hareketinin kinematik bir ölçüsüdür ve konumundaki değişimin hızını karakterize eder. Bir noktanın hızı, bir noktanın hareket hızını ve yönünü karakterize eden bir vektördür. şu an zaman. Eksen üzerindeki hızın projeksiyonu için bir noktanın hareketini denklemlerle belirlerken Kartezyen koordinatları eşittir:

Bir noktanın hız modülü aşağıdaki formülle belirlenir:

Hızın yönü yön kosinüsleri tarafından belirlenir:

Hız değişim hızının özelliği ivmedir a. Bir noktanın ivmesi hız vektörünün zamana göre türevine eşittir:

Bir noktanın hareketini belirlerken, ivmenin koordinat eksenlerine izdüşümüne ilişkin denklemler şuna eşittir:

Hızlandırma modülü:

Modül tam hızlanma

Teğetsel ivme modülü aşağıdaki formülle belirlenir

Normal ivme modülü aşağıdaki formülle belirlenir

belirli bir noktada yörüngenin eğrilik yarıçapı nerede.

İvmenin yönü kosinüs yönü tarafından belirlenir

Denklem dönme hareketi sağlam etrafında sabit eksen benziyor

Vücudun açısal hızı:

Bazen açısal hız, dakikadaki devir sayısıyla karakterize edilir ve harfle gösterilir. ve arasındaki bağımlılık şu şekildedir:

Vücudun açısal ivmesi:

Belirli bir noktanın kütlesinin ivmesi ve noktanın ivmesinin tam tersi yöndeki çarpımına eşit bir kuvvete eylemsizlik kuvveti denir.

Güç, bir kuvvetin birim zamanda yaptığı iştir.

Dönme hareketi için temel dinamik denklem

– dönme eksenine göre cismin eylemsizlik momenti, malzeme noktalarının kütlelerinin çarpımlarının bu eksene olan uzaklıklarının karesiyle toplamıdır.

Egzersiz yapmak

Kütlesi m olan bir cisim, çapı d olan bir tambur üzerine sarılan bir kablo yardımıyla yukarı veya aşağı doğru hareket etmektedir. eğik düzlem eğim açısı α ile. Gövde hareketi denklemi S=f(t), tambur dönüş denklemi, burada S metre cinsindendir; φ - radyan cinsinden; t – saniyeler içinde. P ve ω sırasıyla hızlanmanın bittiği veya frenlemenin başladığı anda tambur mili üzerindeki güç ve açısal hızdır. Zaman t 1 – hızlanma süresi (durmadan belirli bir hıza kadar) veya frenleme (belirli bir hızdan durmaya kadar). Cisim ile düzlem arasındaki kayma sürtünme katsayısı –f’dir. Tamburun kütlesinin yanı sıra tamburdaki sürtünme kayıplarını da ihmal edin. Problemleri çözerken g=10 m/s 2 alın

Yürütme örneği

Sorun 1(resim 1).

Çözüm 1. Doğrusal hareket (Şekil 1, a). Alınan zamanın bir noktasında düzgün hareket eden bir nokta yeni yasa hareket etti ve belli bir süre sonra durdu. Her şeyi tanımlayın kinematik özellikler iki durum için nokta hareketleri; a) birlikte hareket etmek düz yol; b) birlikte hareket etmek eğrisel yörünge sabit eğrilik yarıçapı r=100cm

Şekil 1(a).

Nokta hızının değişimi kanunu

Noktanın başlangıç ​​hızını şu durumdan buluruz:

Durdurmak için frenleme süresini şu durumdan buluyoruz:

şuradan, buradan.

Bir noktanın düzgün hareket periyodu sırasında hareket kanunu

Frenleme süresi boyunca noktanın yörünge boyunca kat ettiği mesafe,

Bir noktanın teğetsel ivmesindeki değişim yasası

Buradan, teğetsel ivme negatif ve değer olarak sabit olduğundan, frenleme süresi boyunca noktanın eşit derecede yavaş hareket ettiği sonucu çıkar.

Düz bir yörünge üzerindeki bir noktanın normal ivmesi sıfırdır; .

Çözüm 2. Eğrisel hareket (Şekil 1, b).

Şekil 1(b)

Bu durumda durumla karşılaştırıldığında doğrusal hareket Normal hızlanma dışında tüm kinematik özellikler değişmeden kalır.

Bir noktanın normal ivmesindeki değişim yasası

Bir noktanın normal ivmesi başlangıç ​​anı frenleme

Çizimde kabul edilen yörünge üzerindeki nokta konumlarının numaralandırılması: 1 – şu anki pozisyon frenleme başlamadan önce düzgün hareket eden noktalar; 2 – frenleme anında noktanın konumu; 3 – frenleme süresi boyunca noktanın mevcut konumu; 4 – noktanın son konumu.

Görev 2.

Yük (Şekil 2, a) tamburlu bir vinç kullanılarak kaldırılır. Tamburun çapı d=0,3m ve dönme kanunu ise .

Tamburun hızlanması şu ana kadar sürdü: açısal hız. Tamburun ve yükün hareketinin tüm kinematik özelliklerini belirleyin.

Çözüm. Tambur açısal hızındaki değişim kanunu. Başlangıç ​​açısal hızını şu koşuldan buluruz: ; bu nedenle hızlanma dinlenme durumundan başladı. Hızlanma süresini şu koşuldan bulacağız: . Hızlanma süresi boyunca tambur dönüş açısı.

Değişim Yasası açısal ivme tambur, hızlanma süresi boyunca tamburun eşit şekilde hızlanarak döndüğünü takip eder.

Yükün kinematik özellikleri, çekiş halatının herhangi bir noktasının karşılık gelen özelliklerine eşittir ve bu nedenle A noktası, tamburun kenarında yer alır (Şekil 2, b). Bilindiği gibi dönen bir cismin bir noktasının doğrusal özellikleri açısal özellikleriyle belirlenir.

Hızlanma süresi boyunca yükün kat ettiği mesafe, . Hızlanmanın sonunda yükün hızı.

Kargonun hızlandırılması.

Kargo hareketi kanunu.

Yükün mesafesi, hızı ve ivmesi, yükün bulunan hareket kanunu aracılığıyla farklı şekilde belirlenebilir:

Görev 3. Eğimli bir destek düzlemi boyunca düzgün bir şekilde yukarıya doğru hareket eden yük, bir noktada yeni hareket yasasına uygun olarak frenlendi. s metre cinsinden ve t saniye cinsindendir. Yükün kütlesi m = 100 kg, yük ile düzlem arasındaki kayma sürtünme katsayısı f = 0,25. Zaman içinde iki an için çekme halatı üzerindeki F kuvvetini ve gücü belirleyin: a) düzenli hareket frenleme başlamadan önce;

b) frenlemenin ilk anı. Hesaplarken g=10 m/ alın.

Çözüm. Yükün hareketinin kinematik özelliklerini belirleriz.

Yük hızındaki değişim kanunu

başlangıç ​​hızı yük (t=0'da)

Kargo hızlandırma

İvme negatif olduğundan hareket yavaştır.

1. Yükün düzgün hareketi.

Belirlemek için itici güç F, yakınsak kuvvetler sisteminin etki ettiği yükün dengesini göz önünde bulunduruyoruz: kablo üzerindeki kuvvet F, yükün yerçekimi kuvveti G=mg, normal reaksiyon destek yüzeyi N ve gövdenin hareketine yönelik sürtünme kuvveti. Sürtünme kanununa göre, . Bir yön seçmek koordinat eksenleriçizimde gösterildiği gibi yük için iki denge denklemi oluşturun:

Frenleme başlamadan önce kablodaki güç şu şekilde belirlenir: bilinen formül

m/s nerede?

2. Kargonun yavaş hareketi.

Bilindiği gibi düzensiz ileri hareket vücut, hareket yönünde ona etki eden kuvvetler sistemi dengeli değildir. D'Alembert ilkesine göre (kinetostatik yöntem), bu durumda vücudun, üzerine etki eden tüm kuvvetlere, vektörü ivme vektörünün tersi yönde olan bir atalet kuvveti eklersek, koşullu dengede olduğu düşünülebilir. Bizim durumumuzda ivme vektörü, yük yavaş hareket ettiğinden hız vektörünün tersi yönündedir. Yük için iki denge denklemi oluşturuyoruz:

Frenleme başlangıcında kabloyu açın

Kontrol soruları.

1. Nasıl belirlenir Sayısal değer ve noktanın o andaki hızının yönü?

2. Toplam ivmenin normal ve teğetsel bileşenlerini karakterize eden nedir?

3. Açısal hızı min -1 cinsinden ifade etmekten rad/s cinsinden ifade etmeye nasıl geçilir?

4. Vücut ağırlığına ne denir? Kütlenin ölçü birimini adlandırın

5. Hangi harekette maddi nokta eylemsizlik kuvveti ortaya çıkıyor mu? Sayısal değeri nedir ve yönü nedir?

6. State d'Alembert ilkesi

7. Atalet kuvveti düzgün bir şekilde ortaya çıkar mı? eğrisel hareket maddi nokta?

8. Tork nedir?

9. Belirli bir iletilen güç için tork ve açısal hız arasındaki ilişki nasıl ifade edilir?

10. Dönme hareketi için temel dinamik denklem.

Pratik çalışma No. 7

"Yapıların mukavemet açısından hesaplanması"

Çalışmanın amacı: mukavemeti, kesit boyutlarını ve izin verilen yükü belirleyin

Teorik arka plan.

Çekme (basınç) deformasyonu sırasında kesitin kuvvet faktörlerini ve geometrik özelliklerini bilerek, formülleri kullanarak gerilimi belirleyebiliriz. Ve parçamızın (mil, dişli vb.) dış yüke dayanıp dayanamayacağını anlamak. Bu değeri izin verilen voltajla karşılaştırmak gerekir.

Yani, statik mukavemet denklemi

Buna dayanarak 3 tür problem çözüldü:

1) güç testi

2) kesit boyutlarının belirlenmesi

3) izin verilen yükün belirlenmesi

Yani statik sertlik denklemi

Buna dayanarak 3 tür problem de çözüldü

Statik çekme (basınç) mukavemeti denklemi

1) Birinci tip - mukavemet testi

,

yani biz karar veririz Sol Taraf ve izin verilen voltajla karşılaştırın.

2) İkinci tip – kesit boyutlarının belirlenmesi

sağ taraftaki kesit alanından

Bölüm dairesi

dolayısıyla çap d

Dikdörtgen bölüm

Bölüm karesi

A = a² (mm²)

Yarım daire bölümü

Bölümler: kanal, I-kiriş, açı vb.

Alan değerleri - GOST'a göre kabul edilen tablodan

3) Üçüncü tip ise izin verilen yükün belirlenmesidir;

küçük tarafa alınırsa tamsayı

EGZERSİZ YAPMAK

Görev

A) Mukavemet kontrolü (test hesaplaması)

Belirli bir kiriş için boyuna kuvvetlerin bir diyagramını oluşturun ve her iki bölümdeki dayanımı kontrol edin. Ahşap malzeme için (çelik St3) kabul edilir

B) Kesit seçimi (tasarım hesaplaması)

Belirli bir kiriş için boyuna kuvvetlerin diyagramını oluşturun ve her iki kesitteki kesit boyutlarını belirleyin. Ahşap malzeme için (çelik St3) kabul edilir

B) İzin verilen boyuna kuvvetin belirlenmesi

Belirli bir kiriş için izin verilen yük değerlerini belirleyin ve

Boyuna kuvvetlerin bir diyagramını oluşturun. Ahşap malzeme için (çelik St3) kabul edilir. Problemi çözerken kirişin her iki bölümündeki yükleme tipinin aynı olduğunu varsayalım.

Bir görevi tamamlama örneği

Sorun 1(resim 1).

Belirli bir boyuttaki I profillerinden oluşan bir sütunun gücünü kontrol edin. Kolon malzemesi için (çelik St3), izin verilen çekme gerilmelerini kabul edin ve sıkıştırma sırasında . Aşırı yükleme veya önemli derecede düşük yükleme durumunda, optimum kolon mukavemetini sağlayan I-kiriş boyutlarını seçin.

Çözüm.

Belirli bir kirişin 1, 2 numaralı iki bölümü vardır. Bölümlerin sınırları, dış kuvvetler. Kirişi yükleyen kuvvetler, merkezi uzunlamasına ekseni boyunca yerleştirildiğinden, kesitlerde yalnızca bir iç kuvvet faktörü ortaya çıkar - boyuna kuvvet, yani. kirişin gerilimi (sıkışması) vardır.

Boyuna kuvveti belirlemek için kesit yöntemini kullanırız. Her bölümün içinde zihinsel olarak bir bölüm çizerek kirişin alt sabit kısmını atacağız ve değerlendirmeye bırakacağız. Üst kısmı. Bölüm 1'de boyuna kuvvet sabittir ve eşittir

Eksi işareti kirişin her iki bölümde de sıkıştırıldığını gösterir.

Boyuna kuvvetlerin bir diyagramını oluşturuyoruz. Diyagramın taban (sıfır) çizgisini kirişin eksenine paralel olarak çizdikten sonra, elde edilen değerleri ona dik olarak isteğe bağlı bir ölçekte çizeriz. Gördüğünüz gibi, diyagramın taban çizgisine paralel düz çizgilerle ana hatları çizildiği ortaya çıktı.

Kerestenin gücünü kontrol ediyoruz, yani. Tasarım stresini belirleriz (her bölüm için ayrı ayrı) ve izin verilenle karşılaştırırız. Bunu yapmak için basınç dayanımı koşulunu kullanıyoruz

burada alan, kesitin mukavemetinin geometrik bir özelliğidir. Haddelenmiş çelik tablosundan şunları alıyoruz:

I-kiriş için
I-kiriş için

Güç testi:

Boyuna kuvvetlerin değerleri mutlak değer olarak alınır.

Kerestenin sağlamlığı sağlanır, ancak aşırı malzeme tüketimi nedeniyle kabul edilemez olan önemli (% 25'ten fazla) bir düşük yük vardır.

Mukavemet koşulundan, kirişin her bir bölümü için I-kirişin yeni boyutlarını belirleriz:
Bu nedenle gerekli alan

GOST tablosuna göre 16 numaralı I-kirişini seçiyoruz;

Bu nedenle gerekli alan

GOST tablosuna göre 24 numaralı I-kirişini seçiyoruz;

Seçilen I-kiriş boyutlarında düşük yük de meydana gelir, ancak bu önemsizdir (%5'ten az)

Görev No.2.

Verilen kesit boyutlarına sahip bir kiriş için izin verilen yük değerlerini ve . Ahşap malzeme (çelik St3) için izin verilen çekme gerilmelerini kabul edin ve sıkıştırma sırasında .

Çözüm.

Verilen kirişin 1, 2 olmak üzere iki bölümü vardır. Kirişte gerginlik (sıkışma) vardır.

Bölüm yöntemini kullanarak boyuna kuvveti belirleriz ve onu gerekli kuvvetler cinsinden ifade ederiz. Her bölüm içinde bir bölüm gerçekleştirerek kirişin sol kısmını atıp değerlendirmeye bırakacağız. Sağ Taraf. Bölüm 1'de boyuna kuvvet sabittir ve eşittir

Bölüm 2'de boylamasına kuvvet de sabit ve eşittir

Artı işareti kirişin her iki bölümde de gerildiğini gösterir.

Boyuna kuvvetlerin bir diyagramını oluşturuyoruz. Diyagram, tabana paralel düz çizgilerle özetlenmiştir.

Çekme mukavemeti durumundan izin verilen yük değerlerini belirleriz ve verilen alanları önceden hesaplayarak kesitler:

Kontrol soruları.

1. Çekme ve basma sırasında kirişin kesitinde hangi iç kuvvet faktörleri ortaya çıkar?

2. Çekme ve basınç dayanımı koşullarını yazın.

3. Boyuna kuvvet ve normal gerilme işaretleri nasıl atanır?

4. Kesit alanı 4 kat artarsa ​​gerilim nasıl değişir?

5. Çekme ve basınç hesaplarında dayanım koşulları farklı mıdır?

6. Gerilim hangi birimlerde ölçülür?

7. Hangisi mekanik karakteristiği Sünek ve kırılgan malzemeler için nihai gerilim olarak mı seçildi?

8. Sınırlayıcı ve izin verilen stres arasındaki fark nedir?

Pratik çalışma No. 8

“Düz cisimlerin ana merkezi atalet momentlerini belirlemeye yönelik problemlerin çözümü geometrik şekiller»

Çalışmanın amacı: Atalet momentlerini analitik olarak belirlemek düz gövdeler karmaşık şekil

Teorik arka plan. Kesitin ağırlık merkezinin koordinatları statik moment ile ifade edilebilir:

Öküz eksenine göre nerede

Oy eksenine göre

Bir şeklin alanının aynı düzlemde bulunan bir eksene göre statik momenti, ürüne eşit bir şeklin alanı, ağırlık merkezinin bu eksene olan uzaklığına göre. Statik anın bir boyutu vardır. Statik moment pozitif, negatif veya sıfıra eşit(herhangi bir merkezi eksene göre).

Bir bölümün eksenel atalet momenti, söz konusu bölümün düzleminde yer alan belirli bir eksene olan mesafelerinin kareleri ile tüm bölüm boyunca alınan temel alanların çarpımlarının veya integralinin toplamıdır.

Eksenel atalet momenti birimlerle ifade edilir - . Eksenel atalet momenti her zaman pozitif olan ve sıfıra eşit olmayan bir niceliktir.

Şeklin ağırlık merkezinden geçen eksenlere merkezi denir. Merkezi eksene göre eylemsizlik momentine denir Merkez nokta eylemsizlik.

Herhangi bir eksene göre eylemsizlik momenti merkeze eşittir

6.1. Genel bilgi

Paralel Kuvvetlerin Merkezi
Bir yöne yönlendirilmiş ve cisme belirli noktalarda uygulanan iki paralel kuvveti ele alalım. A 1 ve A 2 (Şek.6.1). Bu kuvvetler sisteminin, etki çizgisi belirli bir noktadan geçen bir bileşkesi vardır. İLE. Nokta konumu İLE Varignon teoremi kullanılarak bulunabilir:

Eğer kuvvetleri çevirirseniz ve noktaların yakınına giderseniz A 1 ve A 2'yi bir yönde ve aynı açıda elde ederiz yeni sistem aynı modüllere sahip paralel salas. Bu durumda sonuçları da bu noktadan geçecektir. İLE. Bu noktaya paralel kuvvetlerin merkezi denir.
Katı bir cisme noktalarda uygulanan paralel ve aynı yönlendirilmiş kuvvetlerden oluşan bir sistemi düşünelim. Bu sistemin bir sonucu var.
Sistemin her kuvveti, uygulama noktalarının yakınında aynı yönde ve aynı açıda döndürülürse, aynı modüllere ve uygulama noktalarına sahip, aynı yönlendirilmiş paralel kuvvetlerden oluşan yeni sistemler elde edilecektir. Bu tür sistemlerin sonucu aynı modüle sahip olacaktır. R, ama her seferinde farklı bir yöne. Gücümü katladıktan F 1 ve F 2 sonuçlarının olduğunu görüyoruz R 1, her zaman noktadan geçecek İLE 1, konumu eşitlikle belirlenir. Daha fazla katlama R 1 ve F 3, her zaman noktadan geçecek olan sonuçlarını buluyoruz İLE 2 düz bir çizgi üzerinde uzanmak A 3 İLE 2. Kuvvetlerin eklenmesi işlemini sona erdirdikten sonra, tüm kuvvetlerin bileşkesinin aslında her zaman aynı noktadan geçeceği sonucuna varacağız. İLE, noktalara göre konumu değişmeyecektir.
Nokta İLE sonuçta ortaya çıkan paralel kuvvetler sisteminin etki çizgisinin, bu kuvvetlerin uygulanma noktalarının yakınında aynı yönde aynı açıda herhangi bir dönüşü için geçtiği paralel kuvvetlerin merkezi denir (Şekil 6.2).

Şekil 6.2

Paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatlarını belirleyelim. Noktanın konumundan bu yana İLE vücuda göre değişmezse, koordinatları koordinat sistemi seçimine bağlı değildir. Uygulamaları etrafındaki tüm kuvvetleri eksene paralel olacak şekilde çevirelim. kuruluş birimi ve Varignon teoremini döndürülen kuvvetlere uygulayın. Çünkü R" bu kuvvetlerin bileşkesi ise Varignon teoremine göre elimizde , Çünkü , , alıyoruz

Buradan paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatını buluruz zc:

Koordinatları belirlemek için xc Eksen etrafındaki kuvvetlerin momenti için bir ifade oluşturalım Oz.

Koordinatları belirlemek için yc tüm kuvvetleri eksene paralel olacak şekilde çevirelim Oz.

Paralel kuvvetlerin merkezinin orijine göre konumu (Şekil 6.2), yarıçap vektörü ile belirlenebilir:

6.2. Katı bir cismin ağırlık merkezi

Ağırlık merkezi Katı bir cismin her zaman bu cisimle ilişkili bir noktası vardır İLE Belirli bir cismin uzaydaki herhangi bir konumu için bileşke yerçekimi kuvvetlerinin etki çizgisinin geçtiği yer.
Ağırlık merkezi, cisimlerin denge konumlarının stabilitesini incelemek için kullanılır ve süreklilik yerçekiminin etkisi altında ve diğer bazı durumlarda, yani: malzemelerin direncinde ve yapısal mekanik- Vereshchagin kuralını kullanırken.
Bir cismin ağırlık merkezini belirlemenin iki yolu vardır: analitik ve deneysel. Ağırlık merkezini belirlemeye yönelik analitik yöntem doğrudan paralel kuvvetlerin merkezi kavramından kaynaklanır.
Paralel kuvvetlerin merkezi olarak ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede R- tüm vücut ağırlığı; pk- vücut parçacıklarının ağırlığı; xk, yk, zk- vücut parçacıklarının koordinatları.
Homojen bir vücut için vücudun tamamının veya herhangi bir kısmının ağırlığı hacimle orantılıdır. P=Vγ, pk =vk γ, Nerede γ - birim hacim ağırlığı, V- vücut hacmi. İfadeleri değiştirme P, pk Ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek ve azaltmak için formüle ortak çarpan γ , şunu elde ederiz:

Nokta İLE Koordinatları elde edilen formüllerle belirlenen şeye denir hacmin ağırlık merkezi.
Gövde ince homojen bir plaka ise ağırlık merkezi aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede S- tüm plakanın alanı; Sk- kendi kısmının alanı; xk, yk- plaka parçalarının ağırlık merkezinin koordinatları.
Nokta İLE V bu durumda denir ağırlık merkezi alanı.
Ağırlık merkezinin koordinatlarını tanımlayan ifadelerin payları düz rakamlar, ile çağrılır alanın statik momentleri eksenlere göre en Ve X:

Daha sonra alanın ağırlık merkezi aşağıdaki formüllerle belirlenebilir:

Uzunluğu kesit boyutundan birçok kez daha büyük olan cisimler için çizginin ağırlık merkezini belirleyin. Hattın ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Nerede L- hat uzunluğu; lk- parçalarının uzunluğu; xk, yk, zk- hattın bazı kısımlarının ağırlık merkezinin koordinatı.

6.3. Vücutların ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirleme yöntemleri

Elde edilen formüllere dayanarak şunları önerebiliriz: pratik yollar cisimlerin ağırlık merkezlerinin belirlenmesi.
1. Simetri. Bir cismin bir simetri merkezi varsa ağırlık merkezi de simetri merkezindedir.
Vücudun bir simetri düzlemi varsa. Örneğin XOU düzleminde ağırlık merkezi bu düzlemde yer alır.
2. Bölme. Basit şekilli gövdelerden oluşan gövdeler için bölme yöntemi kullanılır. Vücut, ağırlık merkezi simetri yöntemiyle belirlenen parçalara bölünmüştür. Tüm vücudun ağırlık merkezi, hacim (alan) ağırlık merkezi formülleri ile belirlenir.

Örnek. Aşağıdaki şekilde gösterilen plakanın ağırlık merkezini belirleyin (Şekil 6.3). Plaka dikdörtgenlere bölünebilir farklı yollarla ve her dikdörtgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını ve alanlarını belirleyin.

Şekil 6.3

Cevap: XC=17.0cm; senC=18.0cm.

3. Ek. Bu yöntem, bölümleme yönteminin özel bir durumudur. Gövdede kesikler, kesikler vb. olduğunda, kesiksiz gövdenin ağırlık merkezinin koordinatları biliniyorsa kullanılır.

Örnek. Kesme yarıçapına sahip dairesel bir plakanın ağırlık merkezini belirleyin R = 0,6 R(Şekil 6.4).

Şekil 6.4

Yuvarlak plakanın bir simetri merkezi vardır. Koordinatların başlangıç ​​noktasını plakanın merkezine yerleştirelim. Kesimsiz plaka alanı, kesme alanı. Kesikli kare plaka; .
Kesikli plakanın simetri ekseni vardır О1 x, buradan, yc=0.

4. Entegrasyon. Eğer vücut bölünemiyorsa son sayı Ağırlık merkezlerinin konumu bilinen parçalar, gövde, bölme yöntemini kullanan formülün şu şekli aldığı keyfi küçük hacimlere bölünür: .
Daha sonra temel hacimleri sıfıra yönlendirerek sınıra giderler, yani. hacimleri noktalara daraltıyoruz. Toplamlar, vücudun tüm hacmine yayılan integrallerle değiştirilir, ardından hacmin ağırlık merkezinin koordinatlarını belirleme formülleri şu şekli alır:

Bir alanın ağırlık merkezinin koordinatlarını belirlemek için formüller:

Plakaların dengesi incelenirken, yapı mekaniğinde Mohr integrali hesaplanırken alanın ağırlık merkezinin koordinatları belirlenmelidir.

Örnek. Yarıçaplı dairesel bir yayın ağırlık merkezini belirleyin Rİle merkez açı AOB= 2α (Şekil 6.5).

Pirinç. 6.5

Bir dairenin yayı eksene simetriktir Ah dolayısıyla yayın ağırlık merkezi eksen üzerinde yer alır Ah, yс = 0.
Bir çizginin ağırlık merkezi formülüne göre:

6.Deneysel yöntem. Karmaşık konfigürasyondaki homojen olmayan cisimlerin ağırlık merkezleri deneysel olarak belirlenebilir: asma ve tartma yöntemiyle. İlk yöntem gövdeyi çeşitli noktalardan bir kabloya asmaktır. Vücudun asılı olduğu kablonun yönü yerçekimi yönünü verecektir. Bu yönlerin kesiştiği nokta cismin ağırlık merkezini belirler.
Tartma yöntemi, öncelikle araba gibi bir cismin ağırlığının belirlenmesini içerir. Daha sonra aracın arka aksının desteğe uyguladığı basınç terazi üzerinde belirlenir. Örneğin ön tekerleklerin ekseni gibi bir noktaya göre bir denge denklemi çizerek, bu eksenden arabanın ağırlık merkezine olan mesafeyi hesaplayabilirsiniz (Şekil 6.6).

Şekil 6.6

Bazen problemleri çözerken aynı anda kullanmalısınız farklı yöntemler ağırlık merkezinin koordinatlarının belirlenmesi.

6.4. Bazı basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri

Sıklıkla ortaya çıkan şekillerdeki (üçgen, dairesel yay, sektör, segment) cisimlerin ağırlık merkezlerini belirlemek için referans verilerinin kullanılması uygundur (Tablo 6.1).

Tablo 6.1

Bazı homojen cisimlerin ağırlık merkezinin koordinatları

İÇİNDE mühendislik uygulaması Ağırlık merkezinin konumu bilinen basit elemanlardan oluşan karmaşık bir düz şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplamak gerekli hale gelir. Bu görev, belirleme görevinin bir parçasıdır...

Kiriş ve çubukların kompozit kesitlerinin geometrik özellikleri. Çoğunlukla benzer sorular Kesme kalıplarının tasarım mühendisleri, basınç merkezinin koordinatlarını belirlerken ve yükleme şeması geliştiricileriyle uğraşmak zorundadır. çeşitli ulaşım yükleri yerleştirirken, metal yapı tasarımcıları için elemanların bölümlerini seçerken ve tabii ki öğrenciler için disiplinleri incelerken " Teorik mekanik" ve "Malzemelerin gücü".

Temel figürler kütüphanesi.

Simetrik düzlemsel şekiller için ağırlık merkezi simetri merkeziyle çakışır. Temel nesnelerin simetrik grubu şunları içerir: daire, dikdörtgen (kare dahil), paralelkenar (eşkenar dörtgen dahil), normal çokgen.

Yukarıdaki şekilde sunulan on rakamdan sadece ikisi temeldir. Yani, üçgenleri ve daire sektörlerini kullanarak pratik açıdan ilgi çekici hemen hemen her şekli birleştirebilirsiniz. Herhangi bir rastgele eğri bölümlere ayrılabilir ve dairesel yaylarla değiştirilebilir.

Geriye kalan sekiz rakam en yaygın olanlardır ve bu nedenle bu eşsiz kütüphaneye dahil edilmişlerdir. Bizim sınıflandırmamızda bu unsurlar temel değildir. İki üçgenden bir dikdörtgen, paralelkenar ve yamuk oluşturulabilir. Altıgen dört üçgenin toplamıdır. Bir daire parçası, bir dairenin sektörü ile bir üçgen arasındaki farktır. Bir dairenin halkasal sektörü iki sektör arasındaki farktır. Daire, açısı α=2*π=360˚ olan bir dairenin sektörüdür. Buna göre yarım daire, açısı α=π=180˚ olan bir dairenin dilimidir.

Bileşik bir şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarının Excel'de hesaplanması.

Bir konuyu örnek alarak aktarmak ve algılamak, konuyu tamamen teorik hesaplamalarla incelemekten her zaman daha kolaydır. “Ağırlık merkezi nasıl bulunur?” Sorununun çözümünü düşünelim. bu metnin altındaki şekilde gösterilen bileşik şekil örneğini kullanarak.

Bileşik bölüm bir dikdörtgendir (boyutları A1 =80mm, B1 =40 mm), sol üst tarafa eklenmiştir ikizkenar üçgen(taban boyutuyla A2 =24 mm ve yükseklik H2 =42 mm) ve sağ üst taraftan bir yarım daire kesilmiştir (ortası koordinatların olduğu noktada olacak şekilde) X03 =50 mm ve sen03 =40 mm, yarıçap R3 =26 mm).

Hesaplamaları yapmanıza yardımcı olacak bir program kullanacağız Microsoft Excel veya program OOo Hesaplama . Bunlardan herhangi biri görevimizle kolayca başa çıkacak!

olan hücrelerde sarı onu dolduracağız yardımcı ön hazırlık hesaplamalar .

Sonuçları açık sarı dolgulu hücrelerde hesaplıyoruz.

Mavi yazı tipi ilk veri .

Siyah yazı tipi orta seviye hesaplama sonuçları .

Kırmızı yazı tipi son hesaplama sonuçları .

Sorunu çözmeye başlıyoruz - bölümün ağırlık merkezinin koordinatlarını aramaya başlıyoruz.

İlk veri:

1. Bileşik bir bölüm oluşturan temel figürlerin adlarını buna göre yazacağız.

D3 hücresine: Dikdörtgen

E3 hücresine: Üçgen

F3 hücresine: Yarım daire

2. Bu makalede sunulan “Temel Şekiller Kütüphanesi”ni kullanarak kompozit bölümün elemanlarının ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirleyeceğiz. xci Ve yci keyfi olarak seçilen 0x ve 0y eksenlerine göre mm cinsinden yazın ve yazın

D4 hücresine: =80/2 = 40,000

xc 1 = A 1 /2

D5 hücresine: =40/2 =20,000

yc 1 = B 1 /2

E4 hücresine: =24/2 =12,000

xc 2 = A 2 /2

E5 hücresine: =40+42/3 =54,000

yc 2 = B 1 + H 2 /3

F4 hücresine: =50 =50,000

xc 3 = X03

F5 hücresine: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = sen 03 -4* r3 /3/ π

3. Elementlerin alanlarını hesaplayalım F 1 , F 2 , F3 mm2 cinsinden, yine “Temel Rakamlar Kütüphanesi” bölümündeki formülleri kullanarak

D6 hücresinde: =40*80 =3200

F1 = A 1 * B1

E6 hücresinde: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

F6 hücresinde: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Üçüncü elemanın alanı - yarım daire - negatiftir çünkü bu bir kesiktir - boş bir alandır!

Ağırlık merkezi koordinatlarının hesaplanması:

4. Hadi tanımlayalım Toplam alanı son rakam F0 mm2 cinsinden

birleştirilmiş D8E8F8 hücresinde: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Bileşik bir şeklin statik momentlerini hesaplayalım Sx Ve Sy seçilen 0x ve 0y eksenlerine göre mm3 cinsinden

birleştirilmiş D9E9F9 hücresinde: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

birleştirilmiş D10E10F10 hücresinde: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Son olarak kompozit kesitin ağırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayalım. Xc Ve Yc seçilen koordinat sisteminde mm cinsinden 0x - 0y

birleştirilmiş D11E11F11 hücresinde: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

birleştirilmiş D12E12F12 hücresinde: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Sorun çözüldü, Excel'deki hesaplama tamamlandı - üç basit öğe kullanılarak derlenen bölümün ağırlık merkezinin koordinatları bulundu!

Çözüm.

Makaledeki örnek, karmaşık bir bölümün ağırlık merkezini hesaplama metodolojisinin anlaşılmasını kolaylaştırmak amacıyla çok basit olacak şekilde seçilmiştir. Yöntem, herhangi bir karmaşık şeklin aşağıdakilere bölünmesi gerektiğidir: basit elemanlarİle ünlü yerler ağırlık merkezlerinin konumu ve tüm bölüm için son hesaplamaların yapılması.

Bölüm haddelenmiş profillerden - açılardan ve kanallardan oluşuyorsa, bunları dairesel "π/2" sektörlerle kesilmiş dikdörtgenlere ve karelere bölmeye gerek yoktur. Bu profillerin ağırlık merkezlerinin koordinatları GOST tablolarında verilmiştir, yani kompozit kesit hesaplamalarınızda hem açı hem de kanal temel olacaktır. temel elementler(I-kirişler, borular, çubuklar ve altıgenler hakkında konuşmanın bir anlamı yok - bunlar merkezi olarak simetrik bölümlerdir).

Koordinat eksenlerinin konumu elbette şeklin ağırlık merkezinin konumunu etkilemez! Bu nedenle hesaplamalarınızı kolaylaştıracak bir koordinat sistemi seçin. Mesela örneğimizde koordinat sistemini saat yönünde 45˚ döndürseydim, dikdörtgen, üçgen ve yarım dairenin ağırlık merkezlerinin koordinatlarını hesaplamak, yapılamayan ayrı ve hantal bir hesaplama aşamasına dönüşürdü. Kafada".

Aşağıda gösterilen hesaplama Excel dosyası bu durumda bu bir program değildir. Daha ziyade, bir hesap makinesinin, bir algoritmanın, her özel durumda takip edilen bir şablonun taslağıdır. parlak sarı dolgulu hücreler için kendi formül dizinizi oluşturun.

Artık herhangi bir bölümün ağırlık merkezini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz! Rastgele karmaşık kompozit bölümlerin tüm geometrik özelliklerinin tam olarak hesaplanması, “” bölümünde gelecek makalelerden birinde ele alınacaktır. Blogdan haberleri takip edin.

İçin alma yeni makalelerin yayınlanması hakkında bilgi ve için çalışan program dosyalarını indirme Yazının sonunda yer alan pencerede veya sayfanın üst kısmında yer alan pencerede duyurulara abone olmanızı rica ediyorum.

Adresinizi girdikten sonra E-posta ve “Makale duyurularını al” butonuna tıklayarak UNUTMA ABONELİĞİNİZİ ONAYLAYIN linke tıklayarak Belirtilen postada size hemen gelecek bir mektupta (bazen klasörde) « İstenmeyen e-posta » )!

Yazının en başında yer alan “resim ikonu”nda tasvir edilen bardak, madeni para ve iki çatal hakkında birkaç söz. Birçoğunuz, çocukların ve deneyimsiz yetişkinlerin hayranlık dolu bakışlarını uyandıran bu "numaraya" kesinlikle aşinasınız. Bu makalenin konusu ağırlık merkezidir. Aklımızı kandıran, bilincimiz ve deneyimimizle oynayan o ve dayanak noktasıdır!

“Çatal+para” sisteminin ağırlık merkezi her zaman sabit mesafe dikey olarak aşağı madalyonun kenarından, bu da dayanak noktasıdır. Bu pozisyon istikrarlı denge! Çatalları sallarsanız sistemin önceki sabit pozisyonunu almaya çalıştığı hemen anlaşılıyor! Bir sarkaç hayal edin - bir sabitleme noktası (= bir camın kenarındaki bir madalyonun destek noktası), bir çubuk - sarkacın ekseni (= bizim durumumuzda eksen sanaldır, çünkü iki çatalın kütlesi tarafından ayrılır farklı taraflar boşluk) ve aksın altındaki yük (= tüm "çatal + bozuk para" sisteminin ağırlık merkezi). Sarkaçları dikeyden herhangi bir yönde (ileri, geri, sol, sağ) saptırmaya başlarsanız, yerçekiminin etkisi altında kaçınılmaz olarak orijinal konumuna geri dönecektir. kararlı denge durumu(aynı şey çatallarımızda ve bozuk paramızda da olur)!

Anlamıyorsanız ama anlamak istiyorsanız, kendiniz çözün. Kendi başınıza "Oraya varmak" çok ilginç! Aynı istikrarlı denge kullanma prensibinin Vanka-Get-Up oyuncağında da uygulandığını da ekleyeyim. Bu oyuncağın yalnızca ağırlık merkezi dayanak noktasının üzerinde, ancak destek yüzeyinin yarım küresinin merkezinin altında bulunur.

Yorumlarınızı görmekten her zaman mutluluk duyuyorum sevgili okuyucular!!!

Sormak, SAYGI yazarın çalışması, dosyayı indir ABONE OLDUKTAN SONRA makale duyuruları için.

Yukarıdakilere dayanarak genel formüller gövdelerin ağırlık merkezlerinin koordinatlarını belirlemek için belirli yöntemler belirleyebilirsiniz.

1. Simetri. Homojen bir cismin bir düzlemi, ekseni veya simetri merkezi varsa (Şekil 7), ağırlık merkezi sırasıyla simetri düzleminde, simetri ekseninde veya simetri merkezinde bulunur.

Şekil 7

2. Bölünme. Gövde, her biri için ağırlık merkezinin konumu ve alanı bilinen sınırlı sayıda parçaya bölünmüştür (Şekil 8).

Şekil 8

3.Negatif alan yöntemi. Bölümleme yönteminin özel bir durumu (Şekil 9). Kesiksiz gövdenin ve kesikli kısmın ağırlık merkezleri biliniyorsa, kesikli gövdelere uygulanır. Kesikli bir plaka şeklindeki gövde, katı bir plakanın (kesiksiz) bir S 1 alanı ve kesilmiş parça S 2'nin bir alanı ile birleşimi ile temsil edilir.

Şekil 9

4.Gruplandırma yöntemi. Dır-dir iyi ekleme son iki yöntem. Bir şekli bileşen elemanlarına böldükten sonra, bu grubun simetrisini dikkate alarak çözümü basitleştirmek için bazılarını tekrar birleştirmek uygundur.

Bazı homojen cisimlerin ağırlık merkezleri.

1) Dairesel bir yayın ağırlık merkezi. Yayı düşünün AB yarıçap R merkezi bir açıyla. Simetri nedeniyle bu yayın ağırlık merkezi eksen üzerinde yer alır. Öküz(Şekil 10).

Şekil 10

Formülü kullanarak koordinatı bulalım. Bunu yapmak için yayı seçin AB eleman MM' konumu açıyla belirlenen uzunluk. Koordinat X eleman MM' irade . Bu değerleri değiştirme X ve d benİntegralin yayın tüm uzunluğu boyunca uzatılması gerektiğini akılda tutarak şunu elde ederiz:

Nerede L- yay uzunluğu AB, eşittir .

Buradan nihayet dairesel bir yayın ağırlık merkezinin merkezden belli bir mesafede simetri ekseni üzerinde bulunduğunu buluyoruz. HAKKINDA, eşit

burada açı radyan cinsinden ölçülür.

2) Üçgenin alanının ağırlık merkezi. Düzlemde yatan bir üçgen düşünün Oksi köşelerinin koordinatları bilinen: bir ben(x ben,sen ben), (Ben= 1,2,3). Üçgeni dar şeritlere bölerek, kenara paralel A 1 AŞekil 2'de üçgenin ağırlık merkezinin kenarortaya ait olması gerektiği sonucuna varıyoruz. A 3 M 3 (Şek. 11).

Şekil 11

Bir üçgeni kenara paralel şeritlere ayırma A 2 A 3, medyanın üzerinde olması gerektiğini doğrulayabiliriz A 1 M 1. Böylece, Bir üçgenin ağırlık merkezi kenarortaylarının kesiştiği noktadadır bilindiği gibi, karşılık gelen taraftan sayılarak her medyandan üçüncü bir parçayı ayırır.

Özellikle ortanca için A 1 M 1 noktasının koordinatlarını dikkate alarak elde ederiz M 1 köşelerin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır A 2 ve A 3:

xc = X 1 + (2/3)∙(x E 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Dolayısıyla üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları, köşelerinin koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:

X C =(1/3)Σ x ben ; sen C =(1/3)Σ sen ben.

3) Alanın ağırlık merkezi dairesel sektör. Yarıçaplı bir dairenin bir sektörünü düşünün R eksene göre simetrik olarak yerleştirilmiş, merkezi açısı 2α olan Öküz(Şekil 12) .

Açıkça görülüyor ki sen C = 0 ve bu sektörün kesildiği dairenin merkezinden ağırlık merkezine olan mesafe aşağıdaki formülle belirlenebilir:

Şekil 12

Bu integrali hesaplamanın en kolay yolu, entegrasyon alanını belirli bir açıyla temel sektörlere bölmektir. Dφ. Birinci dereceden sonsuz küçüklere kadar doğru olan böyle bir sektör, tabanı eşit olan bir üçgenle değiştirilebilir. R× Dφ ve yükseklik R. Böyle bir üçgenin alanı dF=(1/2)R 2 ∙Dφ ve ağırlık merkezi 2/3 uzaklıkta R tepe noktasından itibaren, bu nedenle (5)'e şunu koyarız: X = (2/3)R∙cosφ. (5)'te değiştirme F= α R 2, şunu elde ederiz:

Son formülü kullanarak özellikle ağırlık merkezine olan mesafeyi hesaplıyoruz. yarım daire.

(2)'de α = π/2'yi değiştirerek şunu elde ederiz: X C = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Örnek 1.Şekilde görülen homojen cismin ağırlık merkezini belirleyelim. 13.

Şekil 13

Gövde homojen olup simetrik şekle sahip iki parçadan oluşur. Ağırlık merkezlerinin koordinatları:

Hacimleri:

Bu nedenle vücudun ağırlık merkezinin koordinatları

Örnek 2. Dik açıyla bükülmüş bir levhanın ağırlık merkezini bulalım. Boyutlar çizimde verilmiştir (Şek. 14).

Şekil 14

Ağırlık merkezlerinin koordinatları:

Alanlar:

Şekil 15

Bu problemde gövdeyi iki parçaya bölmek daha uygundur: büyük bir kare ve kare bir delik. Yalnızca deliğin alanı negatif olarak değerlendirilmelidir. Daha sonra deliğin bulunduğu levhanın ağırlık merkezinin koordinatları:

koordinat Çünkü vücudun bir simetri ekseni (çapraz) vardır.

Örnek 4. Tel braket (Şekil 16) eşit uzunlukta üç bölümden oluşur ben.

Şekil 16

Bölümlerin ağırlık merkezlerinin koordinatları:

Bu nedenle, tüm braketin ağırlık merkezinin koordinatları şöyledir:

Örnek 5. Tüm çubukları aynı doğrusal yoğunluğa sahip olan kafes kirişin ağırlık merkezinin konumunu belirleyin (Şekil 17).

Fizikte bir cismin yoğunluğunun ρ ve onun spesifik yer çekimi g şu ilişkiyle ilişkilidir: γ= ρ G, Nerede G- hızlanma serbest düşüş. Böyle homojen bir cismin kütlesini bulmak için yoğunluğu hacmiyle çarpmanız gerekir.

Şekil 17

"Doğrusal" veya "doğrusal" yoğunluk terimi, bir kafes çubuğun kütlesini belirlemek için doğrusal yoğunluğun bu çubuğun uzunluğuyla çarpılması gerektiği anlamına gelir.

Sorunu çözmek için bölümleme yöntemini kullanabilirsiniz. Belirli bir kafes kirişi 6 ayrı çubuğun toplamı olarak temsil edersek şunu elde ederiz:

Nerede L ben uzunluk Ben kafes çubuğu ve x ben, sen ben- ağırlık merkezinin koordinatları.

Bu sorunun çözümü, kirişin son 5 çubuğunun gruplandırılmasıyla basitleştirilebilir. Bu çubuk grubunun ağırlık merkezinin bulunduğu dördüncü çubuğun ortasında simetri merkezi bulunan bir şekil oluşturduklarını görmek kolaydır.

Böylece, belirli bir kafes kiriş yalnızca iki grup çubuktan oluşan bir kombinasyonla temsil edilebilir.

Birinci grup birinci çubuktan oluşur, bunun için L 1 = 4 m, X 1 = 0m, sen 1 = 2 m İkinci çubuk grubu beş çubuktan oluşur. L 2 = 20m, X 2 = 3 m, sen 2 = 2 m.

Kafesin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

X C = (L 1 ∙X 1 +L 2 ∙X 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2m;

sen C = (L 1 ∙sen 1 +L 2 ∙sen 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Merkezin olduğuna dikkat edin İLE bağlayan düz bir çizgi üzerinde yer alır İLE 1 ve İLE 2 ve segmenti böler İLE 1 İLE 2 ile ilgili: İLE 1 İLE/SS 2 = (X C - X 1)/(X 2 - X C ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Kendi kendine test soruları

Paralel kuvvetlerin merkezine ne ad verilir?

Paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatları nasıl belirlenir?

Bileşkesi sıfır olan paralel kuvvetlerin merkezi nasıl belirlenir?

Paralel kuvvetlerin merkezi hangi özelliklere sahiptir?

Paralel kuvvetlerin merkezinin koordinatlarını hesaplamak için hangi formüller kullanılır?

Bir cismin ağırlık merkezi nedir?

Neden Dünya'nın bir cisim üzerindeki bir noktaya etki eden yerçekimi kuvvetleri paralel kuvvetler sistemi olarak alınabilir?

Homojen olmayan ve homojen cisimlerin ağırlık merkezinin konumunu belirleme formülünü, ağırlık merkezinin konumunu belirleme formülünü yazın düz bölümler?

Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için formülü yazın: dikdörtgen, üçgen, yamuk ve yarım daire?

Alanın statik momenti nedir?

Ağırlık merkezi vücudun dışında olan bir cisme örnek veriniz.

Cisimlerin ağırlık merkezlerinin belirlenmesinde simetri özelliklerinden nasıl yararlanılır?

Negatif ağırlıklar yönteminin özü nedir?

Dairesel yayın ağırlık merkezi nerededir?

Ne grafiksel yapı Bir üçgenin ağırlık merkezini bulabilir misin?

Dairesel bir sektörün ağırlık merkezini belirleyen formülü yazın.

Bir üçgenin ve dairesel bir sektörün ağırlık merkezlerini belirleyen formülleri kullanarak, dairesel bir parça için benzer bir formül türetin.

Homojen cisimlerin, düz şekillerin ve çizgilerin ağırlık merkezlerinin koordinatlarını hesaplamak için hangi formüller kullanılır?

Düzlemsel bir şeklin alanının eksene göre statik momentine ne denir, nasıl hesaplanır ve hangi boyuta sahiptir?

Bireysel parçalarının ağırlık merkezlerinin konumu biliniyorsa, bir alanın ağırlık merkezinin konumu nasıl belirlenir?

Ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için hangi yardımcı teoremler kullanılır?