Toplam olasılık formülü: teori ve problem çözme örnekleri. Olay olasılığının ve istatistiksel dağılımın belirlenmesi

Bu kriterin kullanımı, teorik değerler arasındaki tutarsızlığın böyle bir ölçüsünün (istatistik) kullanılmasına dayanmaktadır. F(X) ve ampirik dağılım F* P (X) , yaklaşık olarak dağıtım yasasına uyan χ 2 . Hipotez N 0 Bu istatistiklerin dağılımları analiz edilerek dağılımların tutarlılığı kontrol edilir. Kriterin uygulanması bir istatistiksel serinin oluşturulmasını gerektirir.

O halde örneklemin basamak sayısının yanında istatistiksel olarak sunulmasına izin verin. M. Gözlemlenen isabet oranı Ben- sıra N Ben. Teorik dağılım yasasına uygun olarak, beklenen isabet sıklığı Ben-inci kategori F Ben. Gözlemlenen ve beklenen frekans arasındaki fark ( N Ben – F Ben). Bulmak genel derece arasındaki tutarsızlıklar F(X) Ve F* P (X) istatistiksel serinin tüm basamaklarındaki kare farkların ağırlıklı toplamını hesaplamak gerekir

Değer χ 2 sınırsız büyütme ile N χ 2 dağılımına sahiptir (χ 2 olarak asimptotik olarak dağıtılmıştır). Bu dağılım serbestlik derecesi sayısına bağlıdır k, yani (3.7) ifadesindeki terimlerin bağımsız değerlerinin sayısı. Serbestlik derecesi sayısı sayıya eşittir sen eksi sayı doğrusal bağlantılar, numunenin üzerine bindirilmiştir. Geriye kalan frekansların toplamından herhangi bir frekansın hesaplanabilmesi nedeniyle tek bir bağlantı mevcuttur. M–1 hane. Ayrıca dağılım parametreleri önceden bilinmiyorsa, dağılımın örneğe uydurulmasından kaynaklanan bir sınırlama daha ortaya çıkar. Örnek belirlerse S dağılım parametreleri, o zaman serbestlik derecesi sayısı olacaktır k= M – S–1.

Hipotez Kabul Alanı N 0 χ koşuluyla belirlenir 2 < χ 2 (k; A) , nerede χ 2 (k; A) – χ2 dağılımının anlamlılık düzeyi ile kritik noktası A. Tip I hatanın olasılığı A, II. tip hatanın olasılığı açıkça tanımlanamaz çünkü dağılımların eşleşmeyebileceği sonsuz sayıda farklı yol vardır. Testin gücü basamak sayısına ve örneklem büyüklüğüne bağlıdır. Kriterin aşağıdaki durumlarda uygulanması tavsiye edilir: N>200, şu durumlarda kullanıma izin verilir: N>40, kriterin geçerli olduğu koşullar altındadır (kural olarak yanlış sıfır hipotezini reddeder).

Kriterlere göre kontrol algoritması

1. Eşit olasılık yöntemini kullanarak bir histogram oluşturun.

2. Histogramın görünümüne dayanarak bir hipotez ileri sürün

H 0: F(X) = F 0 (X),

H 1: F(X) ¹ F 0 (X),

Nerede F 0 (X) - varsayımsal bir dağılım yasasının olasılık yoğunluğu (örneğin, tek tip, üstel, normal).

Yorum. Örneklemdeki tüm sayıların pozitif olması durumunda üstel dağılım yasasına ilişkin hipotez ileri sürülebilir.

3. Formülü kullanarak kriterin değerini hesaplayın

,

Nerede
isabet oranı Ben-inci aralık;

P Ben- rastgele bir değişkenin teorik olasılığı Ben- hipotezin sağlanması koşuluyla inci aralık H 0 doğrudur.

Hesaplama formülleri P Benüstel, tekdüze ve normal yasalar sırasıyla eşittir.

üstel yasa

. (3.8)

burada A 1 = 0, B M = +¥.

Tek tip hukuk

Normal Hukuk

. (3.10)

burada A 1 = -¥, BM = +¥.

Notlar. Tüm olasılıkları hesapladıktan sonra P Ben referans ilişkisinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin

Fonksiyon Ф( X) - garip. F(+¥) = 1.

4. Ekteki Ki-kare tablosundan değeri seçin
burada a belirtilen anlamlılık düzeyidir (a = 0,05 veya a = 0,01) ve k- formülle belirlenen serbestlik derecesi sayısı

k = M - 1 - S.

Burada S- seçilen hipotezin bağlı olduğu parametrelerin sayısı H 0 dağıtım kanunu. Değerler Sİçin tek tip yasa 2'ye, üstel için - 1'e, normal için - 2'ye eşittir.

5. Eğer
, o zaman hipotez H 0 reddedilir. Aksi takdirde reddetmek için hiçbir neden yoktur: 1 - b olasılıkla doğrudur ve - b olasılıkla yanlıştır, ancak b'nin değeri bilinmemektedir.

Örnek3 . 1. Kriter c 2'yi kullanarak, rastgele bir değişkenin dağılım yasası hakkında bir hipotez ileri sürün ve test edin XÖrnek 1.2'de varyasyon serileri, aralık tabloları ve dağılım histogramları verilmiştir. Anlamlılık düzeyi a 0,05'tir.

Çözüm . Histogramların görünümüne dayanarak şu hipotezi ileri sürdük: rastgele değer X normal yasaya göre dağıtılır:

H 0: F(X) = N(M, S);

H 1: F(X) ¹ N(M, S).

Kriterin değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

(3.11)

Yukarıda belirtildiği gibi, bir hipotezi test ederken eşit olasılık histogramının kullanılması tercih edilir. Bu durumda

Teorik olasılıklar P Ben Formül (3.10)'u kullanarak hesaplıyoruz. Aynı zamanda inanıyoruz ki

P 1 = 0,5(F((-4,5245+1,7)/1,98)-F((-¥+1,7)/1,98)) = 0,5(F(-1,427) -F(-¥)) =

0,5(-0,845+1) = 0,078.

P 2 = 0,5(F((-3,8865+1,7)/1,98)-F((-4,5245+1,7)/1,98)) =

0,5(F(-1,104)+0,845) = 0,5(-0,729+0,845) = 0,058.

P 3 = 0,094; P 4 = 0,135; P 5 = 0,118; P 6 = 0,097; P 7 = 0,073; P 8 = 0,059; P 9 = 0,174;

P 10 = 0,5(F((+¥+1,7)/1,98)-F((0,6932+1,7)/1,98)) = 0,114.

Bundan sonra kontrol oranının yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz

100 × (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 +

0,0285 + 0,0315 + 0,0017) = 100 × 0,1207 = 12,07.

Bundan sonra “Ki-kare” tablosundan seçiyoruz kritik değer

.

Çünkü
o zaman hipotez H 0 kabul edilir (reddetmek için bir neden yoktur).

​ Pearson'un χ 2 testi parametrik olmayan yöntem Bu, gerçek (çalışma sonucunda ortaya çıkan) sonuç sayısı veya sonuçları arasındaki farkların önemini değerlendirmenize olanak tanır. kalite özellikleri her kategoriye giren örnekler ve sıfır hipotezinin doğru olması durumunda incelenen gruplarda beklenecek teorik sayı. Basitçe söylemek gerekirse, yöntem tahmin etmenizi sağlar İstatistiksel anlamlılık iki veya daha fazlası arasındaki farklar göreceli göstergeler(frekanslar, paylaşımlar).

1. χ 2 kriterinin gelişim tarihi

Olasılık tablolarını analiz etmek için ki-kare testi, 1900 yılında İngiliz matematikçi, istatistikçi, biyolog ve filozof tarafından geliştirildi ve önerildi. matematiksel istatistik ve biyometrinin kurucularından biri Karl Pearson(1857-1936).

2. Pearson χ 2 testi neden kullanılıyor?

Analizde ki-kare testi kullanılabilir Ihtimal tabloları Bir risk faktörünün varlığına bağlı olarak sonuçların sıklığı hakkında bilgi içerir. Örneğin, dört alanlı acil durum tablosu aşağıdaki gibi:

Böyle bir acil durum tablosu nasıl doldurulur? Küçük bir örneğe bakalım.

Sigara içmenin arteriyel hipertansiyon gelişme riski üzerindeki etkisi üzerine bir çalışma yürütülmektedir. Bu amaçla iki grup denek seçildi; birincisi günde en az 1 paket sigara içen 70 kişiyi, ikincisi ise aynı yaşta sigara içmeyen 80 kişiyi içeriyordu. İlk grupta 40 kişinin yüksek tansiyonu vardı. İkincisinde 32 kişide arteriyel hipertansiyon gözlendi. Buna göre, sigara içen grupta normal kan basıncı 30 kişide (70 - 40 = 30), sigara içmeyen grupta ise 48 kişide (80 - 32 = 48) bulundu.

Dört alanlı acil durum tablosunu ilk verilerle dolduruyoruz:

Ortaya çıkan beklenmedik durum tablosunda her satır belirli bir konu grubuna karşılık gelir. Sütunlar - arteriyel hipertansiyonu olan veya normal olan kişilerin sayısını gösterir tansiyon.

Araştırmacıya verilen görev şudur: Sigara içenlerle içmeyenler arasında kan basıncına sahip kişilerin görülme sıklığı arasında istatistiksel olarak anlamlı farklılıklar var mıdır? Bu soruya Pearson ki-kare testinin hesaplanması ve elde edilen değerin kritik değerle karşılaştırılması yoluyla cevap verilebilir.

3. Pearson ki-kare testinin uygulanmasına ilişkin koşullar ve sınırlamalar

1. Karşılaştırılabilir göstergeler ölçülmeli Nominal ölçek(örneğin hastanın cinsiyetinin erkek veya kadın olması) veya sıralı(örneğin, 0'dan 3'e kadar değerler alan arteriyel hipertansiyon derecesi).
2. Bu method hem faktör hem de sonuç ikili değişkenler olduğunda, yani yalnızca iki taneye sahip olduklarında, yalnızca dört alanlı tabloları analiz etmenize olanak tanır olası değerler(Örneğin, erkek ya da kadın cinsiyeti, anamnezde belirli bir hastalığın varlığı ya da yokluğu...). Pearson ki-kare testi, bir faktörün ve/veya sonucun üç veya daha fazla değer alması durumunda çok alanlı tabloların analiz edilmesi durumunda da kullanılabilir.
3. Karşılaştırılan grupların bağımsız olması gerekir, yani öncesi-sonrası gözlemleri karşılaştırırken ki-kare testi kullanılmamalıdır. McNemar testi(ilgili iki popülasyonu karşılaştırırken) veya hesaplanan Cochran'ın Q testi(üç veya daha fazla grubun karşılaştırılması durumunda).
4. Dört alanlı tabloları analiz ederken beklenen değerler her hücrede en az 10 adet olmalıdır. En az bir hücrede beklenen olay 5'ten 9'a kadar bir değer alıyorsa ki-kare testi hesaplanmalıdır. Yates'in değişikliğiyle. En az bir hücrede beklenen fenomen 5'ten azsa analizde şu değer kullanılmalıdır: Fisher'in kesin testi.
5. Çok alanlı tablolar analiz edilirken hücrelerin %20'sinden fazlasında beklenen gözlem sayısı 5'ten az olmamalıdır.

4. Pearson ki-kare testi nasıl hesaplanır?

Ki-kare testini hesaplamak için yapmanız gerekenler:

Bu algoritma hem dört alanlı hem de çok alanlı tablolar için geçerlidir.

5. Pearson ki-kare testinin değeri nasıl yorumlanır?

χ 2 kriterinin elde edilen değeri kritik değerden büyükse, çalışılan risk faktörü ile sonuç arasında uygun anlamlılık düzeyinde istatistiksel bir ilişki olduğu sonucuna varırız.

6. Pearson ki-kare testinin hesaplanmasına örnek

Yukarıda tartışılan tabloyu kullanarak sigara içme faktörünün arteriyel hipertansiyon insidansı üzerindeki etkisinin istatistiksel önemini belirleyelim:

1. Her hücre için beklenen değerleri hesaplıyoruz:
2. Pearson ki-kare testinin değerini bulun:

   χ 2 = (40-33,6) 2 /33,6 + (30-36,4) 2 /36,4 + (32-38,4) 2 /38,4 + (48-41,6) 2 /41,6 = 4,396.

3. Serbestlik derecesi sayısı f = (2-1)*(2-1) = 1. Tabloyu kullanarak Pearson ki-kare testinin anlamlılık düzeyinde p=0,05 olan kritik değerini ve sayıyı buluyoruz. serbestlik derecesi 1 3,841'dir.
4. Ki-kare testinin elde edilen değerini kritik değerle karşılaştırıyoruz: 4.396 > 3.841, bu nedenle arteriyel hipertansiyon görülme sıklığının sigara içme varlığına bağımlılığı istatistiksel olarak anlamlıdır. Bu ilişkinin anlamlılık düzeyi p'ye karşılık gelir.<0.05.

Bu yazı prensipte Ki kare kriterinin nasıl hesaplanacağına cevap vermiyor, amacı nasıl otomatikleştirileceğini göstermektir. Excel'de ki kare hesaplaması, Ki kare kriterini hesaplamak için hangi işlevler var? Çünkü SPSS ya da R programı her zaman elinizin altında olmuyor.
Analytics for HR semineri katılımcılarına bir anlamda hatırlatma ve ipucu niteliğinde bu, umarım bu yöntemleri çalışmalarınızda kullanırsınız, bu yazı da bir ipucu olacaktır.
Dosyaya indirme linki vermiyorum ancak verdiğim örnek tabloları kolayca kopyalayıp verdiğim verileri ve formülleri takip edebilirsiniz.

Giriş

Verileriniz bir eşlenik tabloda (örneğin bu formda) özetlendiğinde, bir pivot tablo aracılığıyla Ki kareyi hesaplarsınız.
Tablo No.1

CHI2.TEST

CH2.TEST formülü, dağılımın bağımsız olma olasılığını (rastgelelik/rastgele olmama) hesaplar.

Sözdizimi şu şekildedir

CHI2.TEST(gerçek_aralık; beklenen_aralık)

Bizim durumumuzda gerçek aralık tablonun içeriğidir, yani.

Bizim durumumuzda CHI2.DIST.PH = 0,000466219908895455, CHI2.TEST örneğinde olduğu gibi

Not

Excel'de Ki kareyi hesaplamak için kullanılan bu formül, 2X2 boyutlu tabloları hesaplamak için size uygun olacaktır, çünkü siz Ki kareyi ampirik olarak değerlendiriyorsunuz ve hesaplamalara bir süreklilik düzeltmesi getirebiliyorsunuz

Not 2

CH2.OBR.PH

Bir ki-kare dağılımının sağ kuyruklu olasılığının (veya yalnızca belirli bir olasılık düzeyi ve serbestlik derecesi sayısı için ki-kare değerinin) tersini döndürür.

Sinaks

CH2.OBR.PH(olasılık;serbestlik_derecesi)

Çözüm

Doğrusunu söylemek gerekirse elde edilen sonuçların ne ölçüde olduğu konusunda kesin bir bilgiye sahip değilim. Excel'de ki kare hesaplamaları SPSS'deki Ki kare sonuçlarından farklıdır. Kesinlikle anlıyorum. sadece Ki kareyi bağımsız olarak hesaplarken değerlerin yuvarlanması ve belirli sayıda ondalık basamağın kaybolması nedeniyle farklılık gösterirler. Ama bunun kritik olduğunu düşünmüyorum. Yalnızca Ki kare dağılımı olasılığının 0,05 eşiğine (p değeri) yakın olması durumunda kendinizi sigortalatmanızı öneririm.

Süreklilik düzeltmesinin dikkate alınmaması pek hoş değil - 2X2 tablolarında çok şey hesaplıyoruz. Bu nedenle 2X2 tabloların hesaplanması durumunda neredeyse hiç optimizasyon elde edemiyoruz

Yine de yukarıdaki bilgilerin, daha önemli konularda zamandan tasarruf etmek için Excel'de Ki kare hesaplamasını biraz daha hızlı hale getirmek için yeterli olduğunu düşünüyorum.

χ 2 kriterinin elde edilen değeri kritik değerden büyükse, çalışılan risk faktörü ile sonuç arasında uygun anlamlılık düzeyinde istatistiksel bir ilişki olduğu sonucuna varırız.

Pearson ki-kare testinin hesaplanmasına örnek

Yukarıda tartışılan tabloyu kullanarak sigara içme faktörünün arteriyel hipertansiyon insidansı üzerindeki etkisinin istatistiksel önemini belirleyelim:

1. Her hücre için beklenen değerleri hesaplayın:

2. Pearson ki-kare testinin değerini bulun:

χ 2 = (40-33,6) 2 /33,6 + (30-36,4) 2 /36,4 + (32-38,4) 2 /38,4 + (48-41,6) 2 /41,6 = 4,396.

3. Serbestlik derecesi sayısı f = (2-1)*(2-1) = 1. Tabloyu kullanarak Pearson ki-kare testinin anlamlılık düzeyinde p=0,05 olan kritik değerini ve 1 serbestlik derecesi sayısı 3,841'dir.

4. Ki-kare testinin elde edilen değerini kritik değerle karşılaştırıyoruz: 4.396 > 3.841, bu nedenle arteriyel hipertansiyon görülme sıklığının sigara içme varlığına bağımlılığı istatistiksel olarak anlamlıdır. Bu ilişkinin anlamlılık düzeyi p'ye karşılık gelir.<0.05.

Ayrıca Pearson ki-kare testi şu formül kullanılarak hesaplanır:

Ancak 2x2'lik bir tablo için Yates düzeltme kriteri ile daha doğru sonuçlar elde edilir.

Eğer O N(0) kabul edilmiş,

Ne zaman kabul edilmiş H(1)

Gözlem sayısının az olduğu ve tablo hücrelerinin frekansının 5'ten az olduğu durumlarda ki-kare testi uygulanamaz ve hipotezleri test etmek için kullanılır. Fisher'in kesin testi . Bu kriteri hesaplama prosedürü oldukça emek yoğundur ve bu durumda bilgisayar istatistiksel analiz programlarını kullanmak daha iyidir.

Olasılık tablosunu kullanarak iki niteliksel özellik arasındaki bağlantının ölçüsünü hesaplayabilirsiniz - bu Yule ilişkilendirme katsayısıdır Q (korelasyon katsayısına benzer)

Q 0 ila 1 aralığındadır. Bire yakın bir katsayı, özellikler arasında güçlü bir bağlantı olduğunu gösterir. Sıfıra eşitse bağlantı yoktur .

Pi-kare katsayısı (φ 2) benzer şekilde kullanılır

KARŞILAŞTIRMA GÖREVİ

Tablo, Drosophila gruplarında beslenmeli ve beslenmesiz mutasyon sıklığı arasındaki ilişkiyi açıklamaktadır.

Acil durum tablosu analizi

Olasılık tablosunu analiz etmek için bir H 0 hipotezi ileri sürülür, yani incelenen özelliğin çalışmanın sonucu üzerinde etkisinin olmaması bunun için beklenen frekans hesaplanır ve bir beklenti tablosu oluşturulur.

Bekleme masası

Yöntem No.1

Bekleme sıklığını belirleyin:

2756 – X ;

2. 3561 – 3124

Gruplardaki gözlem sayısı azsa, X 2 kullanıldığında, gerçek ve beklenen frekansların ayrık dağılımlarla karşılaştırılması durumunda, bazı yanlışlıklar ilişkilendirilir. Yanlışlığı azaltmak için Yates düzeltmesi kullanılır.

Biyolojik olayların nicel olarak incelenmesi, zorunlu olarak bu olguları açıklayacak hipotezlerin yaratılmasını gerektirir. Belirli bir hipotezi test etmek için bir dizi özel deney gerçekleştirilir ve elde edilen gerçek veriler, bu hipoteze göre teorik olarak beklenen verilerle karşılaştırılır. Eğer bir tesadüf varsa bu hipotezi kabul etmek için yeterli bir neden olabilir. Deneysel veriler teorik olarak beklenenlerle iyi bir şekilde uyuşmuyorsa, önerilen hipotezin doğruluğu konusunda büyük şüpheler ortaya çıkar.

Gerçek verilerin beklenene (varsayımsal) karşılık gelme derecesi ki-kare testiyle ölçülür:

- özelliğin gerçek gözlemlenen değeri Ben- Belirli bir grup için teorik olarak beklenen sayı veya işaret (gösterge), k-veri grubu sayısı.

Kriter 1900 yılında K. Pearson tarafından önerilmiştir ve bazen Pearson kriteri olarak da adlandırılmaktadır.

Görev. Bir ebeveynden bir faktör ve diğerinden bir faktör miras alan 164 çocuk arasında, faktöre sahip 46 çocuk, faktöre sahip 50 çocuk ve her ikisine de 68 çocuk vardı. Gruplar arasında 1:2:1 oranı için beklenen frekansları hesaplayın ve Pearson testini kullanarak ampirik verilerin uyum derecesini belirleyin.

Çözüm: Gözlemlenen frekansların oranı 46:68:50 olup, teorik olarak beklenen oran 41:82:41'dir.

Anlamlılık düzeyini 0,05 olarak ayarlayalım. Serbestlik derecesi sayısının eşit olduğu bu anlamlılık düzeyi için Pearson kriterinin tablo değeri 5,99 olarak çıkmıştır. Bu nedenle deneysel verilerin teorik verilere uygunluğuna ilişkin hipotez kabul edilebilir, çünkü .

Ki-kare testini hesaplarken artık dağılımın vazgeçilmez normalliği için koşullar belirlemediğimizi unutmayın. Ki-kare testi, varsayımlarımızda seçmekte özgür olduğumuz tüm dağılımlar için kullanılabilir. Bu kriterin bir miktar evrenselliği vardır.

Pearson testinin bir başka uygulaması da ampirik dağılımı Gauss normal dağılımıyla karşılaştırmaktır. Ayrıca dağılımın normalliğini kontrol etmek için kullanılan bir grup kriter olarak da sınıflandırılabilir. Tek sınırlama, bu kriteri kullanırken toplam değer (seçenek) sayısının yeterince büyük (en az 40) olması ve bireysel sınıflardaki (aralıklardaki) değer sayısının en az 5 olması gerektiğidir. Aksi halde bitişik aralıklar birleştirilmelidir. Dağılımın normalliği kontrol edilirken serbestlik derecesi sayısı şu şekilde hesaplanmalıdır:.

1. Fisher kriteri.

Bu parametrik test, normal dağılım gösteren popülasyonların varyanslarının eşit olduğuna ilişkin sıfır hipotezini test etmek için kullanılır.

Veya.

Küçük örneklem büyüklüklerinde Öğrenci testinin kullanımı ancak varyansların eşit olması durumunda doğru olabilir. Bu nedenle örneklem ortalamalarının eşitliğini test etmeden önce, Öğrenci t testinin kullanımının geçerliliğinin sağlanması gerekmektedir.

Nerede N 1 , N 2  numune boyutları,  1 ,  2 bu numuneler için serbestlik derecesi sayısı.

Tabloları kullanırken serbestlik derecesi sayısının daha büyük dağılıma sahip bir örnek için tablo sütun numarası, daha küçük bir dağılım için ise tablo satır numarası olarak seçilmesine dikkat etmelisiniz.

Anlamlılık düzeyi  için tablo değerini matematiksel istatistik tablolarından buluruz. Eğer öyleyse, seçilen anlamlılık düzeyi için varyansların eşitliği hipotezi reddedilir.

Örnek. Kobaltın tavşanların vücut ağırlığı üzerindeki etkisi araştırıldı. Deney iki grup hayvan üzerinde gerçekleştirildi: deney ve kontrol. Deney deneklerine sulu kobalt klorür çözeltisi formunda bir diyet takviyesi verildi. Deney sırasında kilo artışı gram cinsindendi: