Doğrunun eğim açısının tanjantı 0 25'tir. Teğetin fonksiyonun grafiğine denklemi

Fonksiyonların türevlerini almayı öğrenin. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde yer alan belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. İÇİNDE bu durumda Grafik düz veya eğri bir çizgi olabilir. Yani türev, bir fonksiyonun zaman içinde belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Hatırlamak genel kurallar, hangi türevlerin alındığı ve ancak bundan sonra bir sonraki adıma geçin.

• Makaleyi okuyun.
• En basit türevler nasıl alınır, örneğin türev üstel denklem, anlatıldı. Aşağıdaki adımlarda sunulan hesaplamalar burada açıklanan yöntemlere dayalı olacaktır.

Hangi görevler arasında ayrım yapmayı öğrenin eğim fonksiyonun türevi yoluyla hesaplanması gerekir. Problemler sizden her zaman bir fonksiyonun eğimini veya türevini bulmanızı istemez. Örneğin, bir fonksiyonun A(x,y) noktasındaki değişim oranını bulmanız istenebilir. Ayrıca A(x,y) noktasındaki teğetin eğimini bulmanız da istenebilir. Her iki durumda da fonksiyonun türevini almak gerekir.

y=f(x) düz çizgisi, koordinatları (x0; f(x0)) olan ve f"(x0) açısal katsayısına sahip olan noktadan geçerse, şekilde gösterilen grafiğe x0 noktasında teğet olacaktır. Böyle bir katsayı, bir teğetin özelliklerini bilmek zor değil.

İhtiyacın olacak

• - matematiksel referans kitabı;
• - basit bir kalem;
• - not defteri;
• - iletki;
• - pusula;
• - dolma kalem.

Talimatlar

Eğer f'(x0) değeri mevcut değilse ya teğet yoktur ya da dikey olarak uzanır. Buna göre fonksiyonun x0 noktasında bir türevinin bulunması, fonksiyonun grafiğine (x0, f(x0)) noktasında dikey olmayan bir teğetin varlığından kaynaklanmaktadır. Bu durumda teğetin açısal katsayısı f"(x0)'a eşit olacaktır. Böylece durum netleşir. geometrik anlamı türev – tanjantın eğiminin hesaplanması.

Fonksiyonun grafiğine x1, x2 ve x3 noktalarında temas edecek ek teğetler çizin ve ayrıca bu teğetlerin x ekseni ile oluşturduğu açıları işaretleyin (bu açı eksenden x2'ye pozitif yönde sayılır). teğet çizgi). Örneğin, açı yani α1 dar, ikincisi (α2) geniş ve üçüncüsü (α3) olacaktır. sıfıra eşit teğet çizgisi OX eksenine paralel olduğundan. Bu durumda teğet geniş açı– negatif, dar açının tanjantı pozitiftir ve tg0'da sonuç sıfırdır.

lütfen aklınızda bulundurun

Teğetin oluşturduğu açıyı doğru olarak belirleyin. Bunu yapmak için bir iletki kullanın.

Yararlı tavsiye

Açısal katsayıları birbirine eşitse iki eğimli çizgi paralel olacaktır; Bu teğetlerin açısal katsayılarının çarpımı -1'e eşitse dik.

Kaynaklar:

• Bir fonksiyonun grafiğine teğet

Kosinüs, sinüs gibi, "doğrudan" bir trigonometrik fonksiyon olarak sınıflandırılır. Teğet (kotanjantla birlikte), türev adı verilen başka bir çift olarak sınıflandırılır. Bu fonksiyonların aşağıdaki şekilde verilen tanjantını bulmayı mümkün kılan çeşitli tanımları vardır. bilinen değer aynı değerin kosinüsü.

Talimatlar

Birin bölümünü kosinüs ile çıkarın verilen açı ve sonuçtan karekökü çıkarın - bu, açının kosinüsüyle ifade edilen teğet değeri olacaktır: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Lütfen formülde kosinüsün kesirin paydasında olduğunu unutmayın. Sıfıra bölmenin imkansızlığı, bu ifadenin 90°'ye eşit açılar için kullanılmasının yanı sıra, 180°'nin katları (270°, 450°, -90° vb.) olan sayılarla bu değerden farklı olan açılar için de kullanılmasını engellemektedir.

Bilinen bir kosinüs değerinden tanjantı hesaplamanın alternatif bir yolu vardır. Başkalarının kullanımına ilişkin bir kısıtlama olmadığı takdirde kullanılabilir. Bu yöntemi uygulamak için öncelikle bilinen bir kosinüs değerinden açı değerini belirleyin; bu, ark kosinüs fonksiyonu kullanılarak yapılabilir. Daha sonra ortaya çıkan değerin açısının tanjantını hesaplayın. İÇİNDE genel görünüm bu algoritma şu şekilde yazılabilir: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Ayrıca dik üçgenin dar açıları boyunca kosinüs ve teğet tanımını kullanan egzotik bir seçenek de vardır. Bu tanımda kosinüs, söz konusu açıya bitişik bacağın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranına karşılık gelir. Kosinüsün değerini bilerek bu iki tarafın karşılık gelen uzunluklarını seçebilirsiniz. Örneğin, cos(α) = 0,5 ise, komşu 10 cm'ye ve hipotenüs - 20 cm'ye eşit alınabilir. Burada belirli sayılar önemli değildir; aynı değerlere sahip aynı ve doğru sayıları elde edersiniz. Daha sonra Pisagor teoremini kullanarak eksik tarafın uzunluğunu belirleyin - karşı bacak. Eşit olacak karekök hipotenüsün karesi uzunlukları arasındaki farktan ve ünlü bacak: √(20²-10²)=√300. Tanım gereği teğet, karşıt ve bitişik bacakların uzunluklarının oranına karşılık gelir (√300/10) - bunu hesaplayın ve kullanarak bulunan teğet değerini alın. klasik çözünürlüklü kosinüs.

Kaynaklar:

• tanjant formülü ile kosinüs

Bir tanesi trigonometrik fonksiyonlar, çoğunlukla tg harfleriyle gösterilir, ancak tan işaretleri de bulunur. Teğeti temsil etmenin en kolay yolu sinüs oranıdır açı kosinüsüne kadar. Garip periyodik ve değil sürekli fonksiyon, her döngüsü sayıya eşit Pi ve kırılma noktası bu sayının yarısına karşılık gelir.

Matematikte bir çizginin konumunu tanımlayan parametrelerden biri Kartezyen düzlem koordinatlar bu doğrunun eğimidir. Bu parametre, düz çizginin apsis eksenine olan eğimini karakterize eder. Eğimin nasıl bulunacağını anlamak için önce XY koordinat sistemindeki düz çizgi denkleminin genel formunu hatırlayın.

Genel olarak herhangi bir düz çizgi, a, b ve c'nin keyfi olduğu ax+by=c ifadesiyle temsil edilebilir. gerçek sayılar, ancak mutlaka a 2 + b 2 ≠ 0 olmalıdır.

Basit dönüşümler kullanılarak böyle bir denklem, k ve d'nin gerçel sayılar olduğu y=kx+d formuna getirilebilir. K sayısı eğimdir ve bu tür bir doğrunun denklemine eğimli denklem denir. Açısal katsayıyı bulmak için sadece getirmeniz gerektiği ortaya çıktı orijinal denklem yukarıdaki türe. Daha kapsamlı bir anlayış için belirli bir örneği düşünün:

Problem: 36x - 18y = 108 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi dönüştürelim.

Cevap: Bu doğrunun gerekli eğimi 2'dir.

Denklemin dönüşümü sırasında x = const gibi bir ifade elde ettiysek ve sonuç olarak y'yi x'in bir fonksiyonu olarak temsil edemiyorsak, X eksenine paralel bir doğru ile karşı karşıyayız demektir. düz bir çizgi sonsuza eşittir.

Y = const gibi bir denklemle ifade edilen çizgiler için eğim sıfırdır. Bu, apsis eksenine paralel düz çizgiler için tipiktir. Örneğin:

Problem: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 denklemiyle verilen doğrunun eğimini bulun

Çözüm: Orijinal denklemi genel formuna getirelim

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Ortaya çıkan ifadeden y'yi ifade etmek imkansızdır, bu nedenle bu çizginin açısal katsayısı sonsuza eşittir ve çizginin kendisi Y eksenine paralel olacaktır.

Geometrik anlam

Daha iyi anlamak için resme bakalım:

Şekilde y = kx gibi bir fonksiyonun grafiğini görüyoruz. Basitleştirmek için c = 0 katsayısını alalım. OAB üçgeninde BA kenarının AO kenarına oranı k açısal katsayısına eşit olacaktır. Aynı zamanda VA/AO oranı, α dar açısının tanjantıdır. dik üçgen OAV. Düz çizginin açısal katsayısının, bu düz çizginin koordinat ızgarasının apsis ekseniyle yaptığı açının tanjantına eşit olduğu ortaya çıktı.

Düz bir çizginin açısal katsayısının nasıl bulunacağı problemini çözerek, onunla koordinat ızgarasının X ekseni arasındaki açının tanjantını buluruz. Sınır durumları, söz konusu çizginin koordinat eksenlerine paralel olduğu durumlarda yukarıdakileri doğrular. Gerçekte, y=sabit denklemiyle tanımlanan bir düz çizgi için, onunla apsis ekseni arasındaki açı sıfırdır. Sıfır açının tanjantı da sıfırdır ve eğim de sıfırdır.

X eksenine dik olan ve x=const denklemiyle tanımlanan düz çizgiler için, bunlarla X ekseni arasındaki açı 90 derecedir. Teğet dik açı sonsuza eşittir ve benzer düz çizgilerin açısal katsayısı da sonsuza eşittir, bu da yukarıda yazılanları doğrular.

Teğet eğim

Uygulamada sıklıkla karşılaşılan ortak bir görev de, bir fonksiyonun grafiğine belirli bir noktadaki teğetin eğimini bulmaktır. Teğet düz bir çizgidir, bu nedenle eğim kavramı ona da uygulanabilir.

Bir teğetin eğimini nasıl bulacağımızı bulmak için türev kavramını hatırlamamız gerekecek. Herhangi bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi sayısal olarak sabittir teğete eşit bu fonksiyonun grafiğinin belirli bir noktasındaki teğeti ile apsis ekseni arasında oluşan açı. x 0 noktasındaki tanjantın açısal katsayısını belirlemek için, orijinal fonksiyonun k = f"(x 0) noktasındaki türevinin değerini hesaplamamız gerektiği ortaya çıktı. Bir örneğe bakalım:

Problem: y = 12x 2 + 2xe x fonksiyonuna x = 0,1'de teğet olan doğrunun eğimini bulun.

Çözüm: Orijinal fonksiyonun türevini genel formda bulun

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Cevap: x = 0,1 noktasında gerekli eğim 4,831'dir.

Bir fonksiyonun türevi aşağıdakilerden biridir: zor konular V okul müfredatı. Türevin ne olduğu sorusuna her mezun cevap vermeyecektir.

Bu makalede türevin ne olduğu ve neden gerekli olduğu basit ve anlaşılır bir şekilde açıklanmaktadır.. Artık sunumda matematiksel titizlik için çabalamayacağız. En önemli şey anlamını anlamaktır.

Tanımı hatırlayalım:

Türev, bir fonksiyonun değişim oranıdır.

Şekilde üç fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Sizce hangisi daha hızlı büyüyor?

Cevap açık; üçüncüsü. En yüksek değişim oranına, yani en büyük türeve sahiptir.

İşte başka bir örnek.

Kostya, Grisha ve Matvey aynı anda iş buldular. Gelirlerinin yıl içinde nasıl değiştiğini görelim:

Grafik her şeyi bir anda gösteriyor değil mi? Kostya'nın geliri altı ayda iki katından fazla arttı. Grisha'nın geliri de arttı ama çok az. Ve Matvey'in geliri sıfıra düştü. Başlangıç ​​koşulları aynıdır ancak fonksiyonun değişim hızı yani türev, - farklı. Matvey'e gelince, gelir türevi genellikle negatiftir.

Sezgisel olarak bir fonksiyonun değişim hızını kolayca tahmin ederiz. Peki bunu nasıl yapacağız?

Aslında baktığımız şey, bir fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik bir şekilde yukarı (veya aşağı) gittiğidir. Başka bir deyişle, x değiştikçe y ne kadar hızlı değişir? Açıkçası, aynı işlev farklı noktalar olabilir farklı anlam türev - yani daha hızlı veya daha yavaş değişebilir.

Bir fonksiyonun türevi gösterilir.

Bir grafik kullanarak onu nasıl bulacağınızı göstereceğiz.

Bazı fonksiyonların grafiği çizildi. Üzerinde apsis bulunan bir noktayı ele alalım. Bu noktada fonksiyonun grafiğine bir teğet çizelim. Bir fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik yükseleceğini tahmin etmek istiyoruz. Bunun için uygun bir değer teğet açının tanjantı.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada çizilen teğet açının tanjantına eşittir.

Teğetin eğim açısı olarak teğet ile eksenin pozitif yönü arasındaki açıyı aldığımızı lütfen unutmayın.

Bazen öğrenciler bir fonksiyonun grafiğine teğetin ne olduğunu sorarlar. Bu sadece bir tane olan düz bir çizgidir ortak nokta bir grafikle ve şeklimizde gösterildiği gibi. Bir daireye teğet gibi görünüyor.

Hadi bulalım. Bir dik üçgende dar bir açının tanjantının olduğunu hatırlıyoruz. orana eşit yanındakinin karşı tarafı. Üçgenden:

Fonksiyonun formülünü bile bilmeden grafiği kullanarak türevi bulduk. Bu tür problemler genellikle matematikte Birleşik Devlet Sınavında numara altında bulunur.

Önemli bir ilişki daha var. Düz çizginin denklem tarafından verildiğini hatırlayın

Bu denklemdeki miktara denir düz bir çizginin eğimi. Düz çizginin eksene olan eğim açısının tanjantına eşittir.

.

bunu anladık

Bu formülü hatırlayalım. Türevin geometrik anlamını ifade eder.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimine eşittir.

Başka bir deyişle türev, teğet açının tanjantına eşittir.

Aynı fonksiyonun farklı noktalarda farklı türevlerinin olabileceğini daha önce söylemiştik. Türevin fonksiyonun davranışıyla nasıl ilişkili olduğunu görelim.

Bir fonksiyonun grafiğini çizelim. Bu fonksiyon bazı bölgelerde artsın, bazılarında azalsın ve farklı hızlarda. Ve bu fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları olsun.

Bir noktada fonksiyon artar. Nokta formlarında çizilen grafiğe teğet dar açı; pozitif eksen yönü ile. Bu, noktadaki türevin pozitif olduğu anlamına gelir.

Bu noktada fonksiyonumuz azalıyor. Bu noktadaki teğet geniş bir açı oluşturur; pozitif eksen yönü ile. Geniş açının tanjantı negatif olduğundan bu noktadaki türevi de negatiftir.

İşte olanlar:

Bir fonksiyon artıyorsa türevi pozitiftir.

Azalırsa türevi negatif olur.

Maksimum ve minimum noktalarda ne olacak? (Maksimum nokta) ve (minimum nokta) noktalarında teğetin yatay olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla teğetin bu noktalardaki tanjantı sıfırdır ve türevi de sıfırdır.

Nokta - maksimum nokta. Bu noktada fonksiyondaki artışın yerini azalma alır. Sonuç olarak türevin işareti “artı”dan “eksi”ye doğru değişir.

Bu noktada - minimum nokta - türev de sıfırdır, ancak işareti "eksi" den "artı" ya değişir.

Sonuç: Türevi kullanarak bir fonksiyonun davranışı hakkında bizi ilgilendiren her şeyi bulabiliriz.

Türev pozitifse fonksiyon artar.

Türev negatifse fonksiyon azalır.

Maksimum noktada türev sıfırdır ve işareti “artı”dan “eksi”ye değişir.

Minimum noktada türev de sıfırdır ve işareti eksiden artıya değişir.

Bu sonuçları bir tablo şeklinde yazalım:

İki küçük açıklama yapalım. Sorunu çözerken bunlardan birine ihtiyacınız olacak. Bir diğeri - ilk yılda, fonksiyonlar ve türevler üzerine daha ciddi bir çalışma ile.

Bir fonksiyonun bir noktada türevinin sıfıra eşit olması mümkündür ancak fonksiyonun bu noktada ne maksimumu ne de minimumu vardır. Bu sözde :

Bir noktada grafiğin teğeti yatay, türevi ise sıfırdır. Ancak bu noktadan önce fonksiyon arttı, noktadan sonra ise artmaya devam ediyor. Türevin işareti değişmez, olduğu gibi pozitif kalır.

Aynı zamanda maksimum veya minimum noktasında türevin mevcut olmadığı da olur. Grafikte bu, belirli bir noktada teğet çizmenin imkansız olduğu keskin bir kırılmaya karşılık gelir.

Fonksiyon bir grafikle değil formülle veriliyorsa türev nasıl bulunur? Bu durumda geçerlidir

İÇİNDE önceki bölüm düzlemde belirli bir koordinat sistemi seçerek şunları yapabileceğimiz gösterildi: geometrik özellikler Söz konusu çizginin noktalarını karakterize eden, mevcut koordinatlar arasındaki bir denklemle analitik olarak ifade edilir. Böylece doğrunun denklemini elde ederiz. Bu bölümde düz çizgi denklemlerine bakacağız.

Bir doğrunun denklemini yazmak için Kartezyen koordinatlar, koordinat eksenlerine göre konumunu belirleyen koşulları bir şekilde ayarlamanız gerekir.

İlk olarak, bir doğrunun düzlem üzerindeki konumunu karakterize eden niceliklerden biri olan bir doğrunun açısal katsayısı kavramını tanıtacağız.

Düz çizginin Ox eksenine eğim açısına, Ox ekseninin verilen çizgiyle çakışacak (veya ona paralel olacak) şekilde döndürülmesi gereken açıyı diyelim. Her zamanki gibi, işareti dikkate alarak açıyı dikkate alacağız (işaret dönüş yönüne göre belirlenir: saat yönünün tersine veya saat yönünde). Öküz ekseninin 180°'lik bir açıyla ek bir dönüşü onu tekrar düz çizgiyle hizalayacağından, düz çizginin eksene olan eğim açısı açık bir şekilde seçilemez (katları olan bir terime kadar) .

Bu açının tanjantı benzersiz bir şekilde belirlenir (çünkü açının değiştirilmesi tanjantını değiştirmez).

Düz çizginin eğim açısının Ox eksenine olan tanjantına düz çizginin açısal katsayısı denir.

Açısal katsayı düz çizginin yönünü karakterize eder (ikisini karşılıklı olarak ayırt etmeyiz) zıt yönler doğrudan). Bir doğrunun eğimi sıfır ise doğru x eksenine paraleldir. Pozitif açısal katsayı ile düz çizginin Ox eksenine eğim açısı akut olacaktır (burada en küçük olanı düşünüyoruz) pozitif değer eğim açısı) (Şek. 39); Ayrıca açısal katsayı ne kadar büyük olursa, daha büyük açıÖküz eksenine olan eğimi. Açısal katsayı negatifse, düz çizginin Ox eksenine eğim açısı geniş olacaktır (Şekil 40). Ox eksenine dik bir düz çizginin açısal katsayısı olmadığını unutmayın (açının tanjantı mevcut değildir).