Doğru ile düzlem arasındaki açının sinüsünü hesaplayın. Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı: tanımı, bulma örnekleri

Bu, bu çizgi ile onun belirli bir düzleme izdüşümü arasındaki açıyı bulmak anlamına gelir.

Görevi gösteren mekansal bir model şekilde sunulmaktadır.

Sorun çözüm planı:
1. Keyfi bir noktadan A∈A düzleme dik olanı indirin α ;
2. Bu dikmenin düzlemle buluşma noktasını belirleyin α . Nokta bir α - Ortografik projeksiyon A uçağa α ;
3. Doğrunun kesişme noktasını bulun A uçakla α . Nokta bir α- düz yol A yüzeyde α ;
4. Gerçekleştiriyoruz ( bir α bir α) - düz bir çizginin izdüşümü A uçağa α ;
5. Tanımla gerçek değer ∠Aa α Bir α, yani ∠ φ .

Sorunun çözümü bir doğru ile bir düzlem arasındaki açıyı bulun∠'ı tanımlamazsak büyük ölçüde basitleştirilebilir φ düz bir çizgi ile bir düzlem arasında ve 90° ∠'nin tamamlayıcısı γ . Bu durumda noktanın izdüşümünü belirlemeye gerek yoktur. A ve düz çizgi projeksiyonları A uçağa α . Büyüklüğünü bilmek γ , aşağıdaki formülle hesaplanır:

$ φ = 90° - γ $

A ve uçak α paralel çizgilerle tanımlanan M Ve N.

A α
Yatay etrafında dönen puanlarla verilir 5 ve 6'da gerçek boyutu ∠ belirliyoruz γ . Büyüklüğünü bilmek γ , aşağıdaki formülle hesaplanır:

$ φ = 90° - γ $

Düz bir çizgi arasındaki açının belirlenmesi A ve uçak α , BCD üçgeni ile tanımlanır.

Bir çizgi üzerinde rastgele bir noktadan A düzleme dik olanı indirin α
3. ve 4. noktalarda belirtilen yatay çizgi etrafında dönerek doğal boyutu ∠ belirleriz γ . Büyüklüğünü bilmek γ formülünü kullanarak hesaplıyoruz.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramı herhangi bir durum için tanıtılabilir. göreceli konum düz ve düzlem.

Düz çizgi l düzleme dik ise, l ile arasındaki açının 90'a eşit olduğu kabul edilir.

Düz çizgi l düzleme paralelse veya bu düzlemde yer alıyorsa, l ile arasındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.

Düz çizgi l düzleme eğimliyse, o zaman l ile bu arasındaki açı "düz çizgi l ile onun düzlem üzerindeki izdüşümü p arasındaki açıdır (Şekil 39).

Pirinç. 39. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı

Öyleyse, bu önemsiz olmayan durumun tanımını hatırlayalım: Eğer düz bir çizgi eğimliyse, o zaman düz çizgi ile düzlem arasındaki açı, bu düz çizgi arasındaki açıdır.

Ve belirli bir düzleme izdüşümüdür.

7.1 Problem çözme örnekleri

Artan zorluk derecesine göre düzenlenmiş üç göreve bakalım. Matematikte Birleşik Devlet Sınavında üçüncü görev seviyesi C2.

Problem 1. Düzgün bir dörtyüzlüde, yan kenar ile taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Görev 2. Doğru şekilde üçgen prizma ABCA1 B1 C1 yan kenarı taban kenarına eşittir. AA1 doğrusu ile ABC1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Düz çizgi birbirine paralel kaydırılırsa düz çizgi ile düzlem arasındaki açı değişmeyecektir. CC1, AA1'e paralel olduğundan gerekli açı, CC1 düz çizgisi ile ABC1 düzlemi arasındaki açıdır (Şekil 41).

B1"

Pirinç. 41. Görev 2'ye

AB'nin orta noktası M olsun. CC1 M üçgeninde CH yüksekliğini çizelim. CH'nin ABC1 düzlemine dik olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için, bu düzlemin CH'ye dik iki kesişen çizgisini sunmanız gerekir.

İlk düz çizgi açıktır - C1 M. Gerçekten CH ? Yapı itibariyle C1 M.

İkinci satır AB'dir. Aslında, eğimli CH'nin ABC düzlemine izdüşümü CM düz çizgisidir; AB iken? SANTİMETRE. Üç dik hakkındaki teoremden AB ? CH.

Peki CH? ABC1. Dolayısıyla CC1 ile ABC1 arasındaki açı " = \CC1 H'dir. CH'nin değerini bağıntıdan buluruz.

C1 M CH = CC1 CM

(bu oranın her iki tarafı CC1 M üçgeninin alanının iki katına eşittir). Sahibiz:

CM = a 2 3;

Açıyı bulmaya devam ediyor ":

Cevap: arcsin 3 7 .

günah " = CH =3 : CC1 7

Problem 3. ABCDA1 B1 C1 D1 küpünün A1 B1 kenarı üzerinde K noktası alınır, böylece A1 K: KB1 = 3: 1. AK düz çizgisi ile BC1 D1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Çizimi yaptıktan sonra (Şekil 42, sol), ek yapılara ihtiyaç olduğunu anlıyoruz.

Öncelikle AB çizgisinin BC1 D1 düzleminde olduğuna dikkat edin (AB k C1 D1 olduğundan). İkinci olarak B1 M'yi AK'ye paralel çizelim (Şekil 42, sağ). Ayrıca B1 C çizelim ve B1 C ile BC1'in kesişim noktası N olsun.

B1 C düz çizgisinin BC1 D1 düzlemine dik olduğunu gösterelim. Aslında:

1) B1C ? BC1 (bir karenin köşegenleri gibi);

2) B1C ? AB, üç dik teoremi ile (sonuçta AB, eğimli B1 C'nin ABC düzlemine izdüşümünün BC düz çizgisine diktir).

Böylece, B1 C, BC1 D1 düzleminin kesişen iki çizgisine diktir; dolayısıyla B1 C ? BC1 D1. Bu nedenle MB düz çizgisinin izdüşümü

günah " = B 1 N =2 2 :B 1 M 5

Düz çizgi l ile düzlem 6 arasındaki açı a, belirli bir düz çizgi l ile düzlem 6'ya dik olan p arasındaki ek açı p aracılığıyla belirlenebilir. Verilen uçak bir çizgi üzerindeki herhangi bir noktadan çizilir (Şekil 144). P açısı istenen a açısını 90°'ye kadar tamamlar. Düz çizgi l tarafından oluşturulan açının düzlem seviyesini ve dik ve düz çizgi etrafında döndürerek P açısının gerçek değerini belirledikten sonra, onu tamamlamaya devam eder. dik açı. Bu ek açı, l düz çizgisi ile 0 düzlemi arasındaki a açısının gerçek değerini verecektir.

27.İki düzlem arasındaki açının belirlenmesi.

Gerçek değer Dihedral açı- iki Q ve l düzlemi arasında. - dihedral açının kenarını çıkıntılı bir çizgiye dönüştürmek için izdüşüm düzleminin değiştirilmesiyle (problem 1 ve 2) veya kenar belirtilmemişse, iki dik n1 ve n2 arasındaki açı olarak belirlenebilir. bu düzlemler, uzayın B düzleminin rastgele bir M noktasından, M noktasındaki bu diklerin düzlemi, sırasıyla iki doğrusal açıya eşit olan iki a ve P düzlem açısı elde ederiz. bitişik köşeler(dihedral) q ve l düzlemlerinin oluşturduğu. Düzeyin düz çizgisi etrafında dönerek n1 ve n2 diklikleri arasındaki açıların gerçek değerini belirledikten sonra, q ve l düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısını belirleyeceğiz.

Kıvrımlı çizgiler. Eğri çizgilerin özel noktaları.

Karmaşık bir eğri çiziminde, bükülme noktaları, geri dönüş, kırılma noktaları ve düğüm noktalarını içeren özel noktaları aynı zamanda izdüşümünde de özel noktalardır. Bu şu şekilde açıklanmaktadır: tekil noktalar eğriler bu noktalardaki teğetlere bağlanır.

Eğrinin düzlemi çıkıntılı bir pozisyonda bulunuyorsa (Şek. A), o zaman bu eğrinin bir izdüşümü düz bir çizgi şeklindedir.

Uzaysal bir eğri için tüm projeksiyonları eğri çizgilerdir (Şekil 1). B).

Hangi eğrinin verildiğini (düzlemsel veya uzaysal) çizimden belirlemek için eğrinin tüm noktalarının aynı düzleme ait olup olmadığını bulmak gerekir. Şekil 2'de belirtilmiştir. B eğri uzaysaldır, çünkü nokta D eğri diğer üç nokta tarafından tanımlanan düzleme ait değildir A, B Ve e bu eğri.

Daire - dik izdüşümü bir daire ve bir elips olabilen ikinci dereceden bir düzlem eğrisi

Silindirik bir sarmal çizgi (sarmal), sarmal bir hareket gerçekleştiren bir noktanın yörüngesini temsil eden uzamsal bir eğridir.

29.Düz ve uzaysal eğri çizgiler.

28. soruya bakın

30. Karmaşık yüzey çizimi. Temel hükümler.

Yüzey, uzayda hareket eden çizgilerin sıralı konumları kümesidir. Bu çizgi düz veya kavisli olabilir ve denir nesil yüzeyler. Generatrix bir eğri ise, sabit olabilir veya değişken görünüm. Generatrix birlikte hareket ediyor rehberler, jeneratörlerden farklı yöndeki hatları temsil eder. Kılavuz çizgileri jeneratörlerin hareket yasasını belirler. Generatrix'i kılavuzlar boyunca hareket ettirirken, çerçeve jeneriklerin ve kılavuzların birbirini takip eden birkaç konumundan oluşan bir dizi yüzey (Şekil 84). Çerçeveyi inceleyerek jeneratörlerin ben ve rehberler T değiştirilebilir ancak yüzey aynı kalır.

Herhangi bir yüzey çeşitli şekillerde elde edilebilir.

Generatrix'in şekline bağlı olarak tüm yüzeyler bölünebilir hükmetti,üretken bir düz çizgiye sahip olan ve yönetilmeyen, oluşturan kavisli bir çizgiye sahiptir.

Geliştirilebilir yüzeyler, tüm çokyüzlü, silindirik, konik ve gövde yüzeylerinin yüzeylerini içerir. Diğer tüm yüzeyler geliştirilemez. Kuralsız yüzeyler, sabit bir şekle sahip bir generatrise (dönüş yüzeyleri ve boru şeklindeki yüzeyler) ve değişken bir şekle (kanal ve çerçeve yüzeyleri) sahip olabilir.

Karmaşık bir çizimdeki bir yüzey, determinantının geometrik kısmının izdüşümleri ile belirlenir ve bu, bileşenlerinin oluşturulma yöntemini gösterir. Bir yüzeyin çiziminde, uzaydaki herhangi bir noktanın belirli bir yüzeye ait olup olmadığı sorusu açık bir şekilde çözülür. Yüzey belirleyicinin elemanlarının grafiksel olarak belirtilmesi, çizimin tersine çevrilebilirliğini sağlar ancak görselleştirmez. Netlik sağlamak için, oldukça yoğun bir generatris çerçevesinin projeksiyonlarını oluşturmaya ve yüzeyin ana hatlarını oluşturmaya başvuruyorlar (Şekil 86). Q yüzeyi projeksiyon düzlemine yansıtıldığında, çıkıntı yapan ışınlar bu yüzeye belirli bir çizgi oluşturan noktalarda temas eder. ben, buna denir kontur astar. Kontur çizgisinin izdüşümüne denir makale yüzeyler. Karmaşık bir çizimde herhangi bir yüzey şunları içerir: P 1 - yatay taslak, P 2'de - ön taslak, P 3'te - yüzeyin profil taslağı. Çizim, kontur çizgisinin çıkıntılarına ek olarak kesim çizgilerinin çıkıntılarını da içerir.

Bir figürün düzleme izdüşümü kavramı

Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramını tanıtmak için, öncelikle rastgele bir şeklin bir düzleme izdüşümü gibi bir kavramı anlamanız gerekir.

Tanım 1

Bize keyfi bir $A$ noktası verilsin. $A_1$ noktasına, eğer $A$ noktasından $\alpha $ düzlemine çizilen bir dikmenin tabanı ise, $A$ noktasının $\alpha $ düzlemine izdüşümü denir (Şekil 1).

Şekil 1. Bir noktanın düzleme izdüşümü

Tanım 2

Bize keyfi bir rakam verilsin: $F$. $F_1$ şekline, $F$ şeklinin $\alpha $ düzlemine izdüşümü denir ve $F$ şeklinin tüm noktalarının $\alpha $ düzlemine izdüşümlerinden oluşur (Şekil 2).

Şekil 2. Bir figürün düzleme izdüşümü

Teorem 1

Düz bir çizginin düzlemine dik olmayan izdüşümü düz bir çizgidir.

Kanıt.

Bize bir $\alpha $ düzlemi ve onunla kesişen, ona dik olmayan bir $d$ düz çizgisi verilsin. $d$ doğrusu üzerinde bir $M$ noktası seçelim ve onun projeksiyonunu $H$ $\alpha $ düzlemine çizelim. $(MH)$ düz çizgisi boyunca $\beta $ düzlemini çizeriz. Açıkçası, bu düzlem $\alpha $ düzlemine dik olacaktır. $m$ düz çizgisi boyunca kesişmelerine izin verin. Hadi düşünelim keyfi nokta$d$ doğrusundan $M_1$ ve onun içinden $(MH)$ çizgisine paralel $(M_1H_1$) çizgisini çizin (Şekil 3).

Figür 3.

$\beta $ düzlemi $\alpha $ düzlemine dik olduğundan, $M_1H_1$ $m$ düz çizgisine diktir, yani $H_1$ noktası $M_1$ noktasının düzleme izdüşümüdür. düzlem $\alpha $. $M_1$ noktası seçiminin keyfiliği nedeniyle, $d$ çizgisinin tüm noktaları $m$ çizgisine yansıtılır.

Benzer şekilde mantık yürütmek. İÇİNDE Ters sipariş$m$ doğrusu üzerindeki her noktanın $d$ doğrusu üzerindeki bir noktanın izdüşümü olduğunu elde edeceğiz.

Bu, $d$ satırının $m$ satırına yansıtıldığı anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramı

Tanım 3

Bir düzlemi kesen düz bir çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açıya, düz çizgi ile düzlem arasındaki açı denir (Şekil 4).

Şekil 4. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı

Buraya birkaç not düşelim.

Not 1

Doğru, düzleme dik ise. O zaman düz çizgi ile düzlem arasındaki açı 90$^\circ$ olur.

Not 2

Çizgi paralelse veya bir düzlemde yer alıyorsa. O halde düz çizgi ile düzlem arasındaki açı $0^\circ$ olur.

Örnek problemler

örnek 1

Bize bir $ABCD$ paralelkenarı ve paralelkenarın düzleminde yer almayan bir $M$ noktası verilsin. $B$ noktası, $M$ noktasının paralelkenar düzlemindeki izdüşümü ise, $AMB$ ve $MBC$ üçgenlerinin dik açılı olduğunu kanıtlayın.

Kanıt.

Sorunun durumunu şekil üzerinde gösterelim (Şekil 5).

Şekil 5.

$B$ noktası $M$ noktasının $(ABC)$ düzlemine izdüşümü olduğundan, $(MB)$ düz çizgisi $(ABC)$ düzlemine diktir. Açıklama 1'e göre, $(MB)$ düz çizgisi ile $(ABC)$ düzlemi arasındaki açının $90^\circ$'a eşit olduğunu buluyoruz. Buradan

\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]

Bu, $AMB$ ve $MBC$ üçgenlerinin dik üçgen olduğu anlamına gelir.

Örnek 2

Bir $\alpha $ düzlemi verildiğinde. Bu düzleme $\varphi $ açısında bir doğru parçası çizilir ve bu doğrunun başlangıcı bu düzlemdedir. Bu segmentin izdüşümü, segmentin kendisinin yarısı kadardır. $\varphi$ değerini bulun.

Çözüm.

Şekil 6'yı düşünün.

Şekil 6.

Şart olarak elimizde

$BCD$ üçgeni dik açılı olduğundan, kosinüs tanımı gereği

\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]