Bir yamuğun dar açısının sinüsüne eşittir. Bir ikizkenar yamuğun açıları

Basit soruya "Yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?" Birkaç cevap var çünkü farklı başlangıç ​​değerleri verilebiliyor. Bu nedenle formüller farklılık gösterecektir.

Bu formüller ezberlenebilir ancak elde edilmesi zor değildir. Daha önce öğrendiğiniz teoremleri uygulamanız yeterlidir.

Formüllerde kullanılan gösterimler

Aşağıdakilerin hepsinde matematiksel gösterimler Harflerin bu okumaları doğrudur.

Kaynak verilerde: her taraf

Yamuğun yüksekliğini bulmak için Genel dava aşağıdaki formülü kullanmanız gerekecektir:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). 1 numara.

En kısa değil, aynı zamanda problemlerde oldukça nadiren bulunur. Genellikle diğer verileri kullanabilirsiniz.

Yüksekliği nasıl bulacağınızı söyleyen formül ikizkenar yamuk aynı durumda, çok daha kısa:

n = √(c 2 - (a - c) 2/4). 2 numara.

Sorun şunu veriyor: alt tabandaki yan kenarlar ve açılar

α açısının sırasıyla “c” işaretli tarafa bitişik olduğu, β açısının d tarafına olduğu varsayılmaktadır. O zaman bir yamuğun yüksekliğinin nasıl bulunacağına ilişkin formül genel biçimde olacaktır:

n = c * sin α = d * sin β. 3 numara.

Şekil ikizkenar ise, bu seçeneği kullanabilirsiniz:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. 4 numara.

Bilinen: aralarındaki köşegenler ve açılar

Tipik olarak bu verilere diğer bilinen miktarlar da eşlik eder. Örneğin, tabanlar veya orta çizgi. Sebepler verilirse, yamuğun yüksekliğinin nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermek için aşağıdaki formül faydalı olacaktır:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​+ b) veya n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ b). 5 numara.

İçin Genel görünüm rakamlar. Bir ikizkenar verilirse gösterim şu şekilde değişecektir:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ b) veya n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ b). 6 numara.

Bir görevdeyken Hakkında konuşuyoruzÖ orta çizgi yamuk ise yüksekliğini bulma formülleri şöyle olur:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m veya n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. 5a numara.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m veya n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. 6a numara.

Bilinen büyüklükler arasında: tabanları veya orta hattı olan alan

Bunlar belki de en kısa ve basit formüller yamuğun yüksekliği nasıl bulunur? Rasgele bir rakam için şöyle olacaktır:

n = 2S/(a + b). 7 numara.

Aynıdır, ancak bilinen bir orta çizgiye sahiptir:

n = S/m. 7a numara.

Garip bir şekilde, ancak ikizkenar yamuk için formüller aynı görünecek.

Görevler

1 numara. Yamuğun alt tabanındaki açıları belirlemek.

Durum. Bir ikizkenar yamuk verildiğinde, taraf yani 5 cm'dir. Tabanları 6 ve 12 cm'dir. Sinüsü bulmanız gerekir. dar açı.

Çözüm. Kolaylık sağlamak için bir atama girmelisiniz. Sol alt köşe A olsun, geri kalan her şey saat yönünde olsun: B, C, D. Böylece, alt taban AD, üst taban ise BC olarak adlandırılacaktır.

B ve C köşelerinden yüksekliklerin çizilmesi gerekir. Yüksekliklerin uçlarını gösteren noktalar sırasıyla H 1 ve H 2 olarak adlandırılacaktır. BCH 1 H 2 şeklindeki açıların tümü dik açı olduğundan dikdörtgendir. Bu, H 1 H 2 segmentinin 6 cm olduğu anlamına gelir.

Şimdi iki üçgeni düşünmemiz gerekiyor. Eşittirler çünkü aynı hipotenüslere ve dikey bacaklara sahip dikdörtgenlerdir. Bundan, daha küçük bacaklarının eşit olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle farkın bölümü olarak tanımlanabilirler. İkincisi, üsttekinin alt tabandan çıkarılmasıyla elde edilir. 2'ye bölünecektir. Yani 12 - 6'nın 2'ye bölünmesi gerekir. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Şimdi Pisagor teoreminden yamuğun yüksekliğini bulmanız gerekiyor. Bir açının sinüsünü bulmak gerekir. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Dik açılı bir üçgende akut açının sinüsünün nasıl bulunduğu bilgisini kullanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Cevap. Gerekli sinüs 0,8'dir.

2 numara. Bilinen bir tanjantı kullanarak yamuğun yüksekliğini bulmak.

Durum.İkizkenar yamuk için yüksekliği hesaplamanız gerekir. Tabanlarının 15 ve 28 cm olduğu bilinmektedir. Dar açının tanjantı 11/13 olarak verilmiştir.

Çözüm. Köşelerin atanması, buradakiyle aynıdır. önceki görev. Yine iki yükseklik çizmeniz gerekiyor üst köşeler. İlk problemin çözümüne benzeterek, 28 ile 15'in farkının ikiye bölünmesiyle tanımlanan AN 1 = N 2 D'yi bulmanız gerekir. Hesaplamalardan sonra ortaya çıkıyor: 6,5 cm.

Teğet iki bacağın oranı olduğundan şu eşitliği yazabiliriz: tan α = AH 1 / VN 1 . Üstelik bu oran 11/13'e (koşullara göre) eşittir. AN 1 bilindiğinden yükseklik hesaplanabilir: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Basit hesaplamalar 5,5 cm sonuç verir.

Cevap. Gerekli yükseklik 5,5 cm'dir.

Numara 3. Bilinen köşegenleri kullanarak yüksekliği hesaplamak.

Durum. Yamuğun köşegenlerinin 13 ve 3 cm olduğu biliniyor. Tabanların toplamı 14 cm ise yüksekliğini bulmanız gerekiyor.

Çözüm.Şeklin tanımının öncekiyle aynı olmasına izin verin. AC'nin daha küçük köşegen olduğunu varsayalım. C köşesinden istediğiniz yüksekliği çizmeniz ve onu CH olarak belirtmeniz gerekir.

Şimdi yapmanız gereken ek inşaat. C açısından paralel bir düz çizgi çizmeniz gerekir daha büyük diyagonal ve AD kenarının devamı ile kesiştiği noktayı bulun. Bu D 1 olacak. Sonuç, içine ASD 1 üçgeninin çizildiği yeni bir yamuktur. Sorunu daha da çözmek için gereken şey budur.

İstenilen yükseklik de üçgenin içinde olacaktır. Bu nedenle başka bir konuda çalışılan formülleri kullanabilirsiniz. Bir üçgenin yüksekliği, 2 sayısı ile alanın çizildiği kenara bölünmesinin çarpımı olarak tanımlanır. Ve kenar, orijinal yamuğun tabanlarının toplamına eşit çıkıyor. Bu, ek inşaatın yapıldığı kuraldan kaynaklanmaktadır.

Söz konusu üçgende tüm taraflar bilinmektedir. Kolaylık olması açısından x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm gösterimini ekledik.

Artık alanı Heron teoremini kullanarak hesaplayabilirsiniz. Yarı çevre p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm)'ye eşit olacaktır. Daha sonra değerleri değiştirdikten sonra alanın formülü şu şekilde görünecektir: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm2).

Cevap. Yükseklik 6√10 / 7 cm'dir.

4 numara. Yanlardaki yüksekliği bulmak için.

Durum.Üç tarafı 10 cm, dördüncüsü 24 cm olan bir yamuk verildiğinde yüksekliğini bulmanız gerekir.

Çözüm.Şekil ikizkenar olduğundan 2 numaralı formüle ihtiyacınız olacak. Sadece tüm değerleri yerine koyup saymanız yeterli. Bunun gibi görünecek:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Cevap. n = √51cm.

Talimatlar

Her iki tabanın (b ve c) ve aynı yan kenarların (a) uzunlukları tanım gereği biliniyorsa, o zaman bir dik üçgen, dar açılarından birinin (γ) değerini hesaplamak için kullanılabilir. Bunu yapmak için kısa tabana bitişik herhangi bir köşeden yüksekliği indirin. Bir dik üçgen, bir yükseklik (), bir kenar (hipotenüs) ve uzun tabanın yükseklik ile yakın kenar (ikinci bacak) arasındaki bir bölümünden oluşacaktır. Bu parçanın uzunluğu, büyük tabanın uzunluğundan küçük olanın uzunluğunu çıkararak ve sonucu ikiye bölerek bulunabilir: (c-b)/2.

İki uzunluğunu almış olmak bitişik kenarlar dik üçgen, aralarındaki açıyı hesaplamaya devam edin. Hipotenüs uzunluğunun (a) kenarın uzunluğuna ((c-b)/2) oranı bu açının kosinüs değerini (cos(γ)) verir ve arkkosinüs fonksiyonu bunu dönüştürmeye yardımcı olur. derece cinsinden açı: γ=arccos(2*a/(c-b )). Bu şekilde dar açılardan birinin değerini elde edeceksiniz ve ikizkenar olduğundan ikinci dar açı da aynı değere sahip olacaktır. Tüm açıların toplamı 360° olmalıdır, yani iki açının toplamı dar açının iki katı ile bunun arasındaki farka eşit olacaktır. Her iki geniş açı da aynı olacağından her birinin değerini (α) bulmak için bu farkın ikiye bölünmesi gerekir: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)) . Artık bilinen kenar uzunlukları verilen bir ikizkenar yamuğun tüm açılarının hesaplamalarına sahipsiniz.

Şeklin kenar uzunlukları bilinmiyor ancak yüksekliği (h) verilmişse aynı şemaya göre ilerlemeniz gerekir. Bu durumda, bir kenarı ve uzun bir tabanın kısa bir parçasından oluşan bir dik üçgende, iki bacağın uzunluğunu bileceksiniz. Oranları ihtiyacınız olan açının tanjantını belirler ve bu trigonometrik fonksiyon ayrıca teğet değerini açı değerine - arktanjanta dönüştüren kendi antipodu vardır. Akut ve formüller geniş açılar buna göre dönüşüm: γ=arctg(2*h/(c-b)) ve α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Yöntemleri kullanarak bu sorunu çözmek için vektör cebiri, şu kavramları bilmeniz gerekir: geometrik vektör toplamı ve vektörlerin nokta çarpımı ve ayrıca toplam özelliğini de hatırlamanız gerekir. iç köşeler dörtgen.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem;
• - cetvel.

Talimatlar

Bir vektör yönlendirilmiş bir parçadır, yani belirli bir eksene olan uzunluğu ve yönü (açı) verildiğinde tam olarak belirlenmiş olduğu kabul edilen bir miktardır. Vektörün konumu artık hiçbir şeyle sınırlı değil. Uzunlukları ve yönleri aynı olan iki vektör eşit kabul edilir. Bu nedenle, koordinatlar kullanıldığında, vektörler uç noktalarının yarıçap vektörleri ile temsil edilir (köken, koordinatların kökenindedir).

Tanım gereği: ortaya çıkan vektör geometrik toplam vektörler, birincinin başından ikincinin başlangıcına birleştirilmesi koşuluyla, birincinin başından başlayan ve ikincinin sonuna sahip olan bir vektördür. Bu, benzer konumdaki vektörlerden oluşan bir zincir oluşturularak daha da devam ettirilebilir.
Verilen ABCD'yi Şekil 2'de a, b, c ve d vektörleriyle çizin. 1. Açıkçası, bu düzenlemeyle elde edilen vektör d=a+ b+c'dir.

Skaler çarpım V bu durumda a ve d vektörlerine göre daha uygundur. (a, d)= |a||d|cosф1 ile gösterilen nokta çarpım. Burada φ1 a ve d vektörleri arasındaki açıdır.
Vektörlerin nokta çarpımı, koordinatlarla verilir, aşağıdakiler tarafından belirlenir:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, sonra
çünkü Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Bir ikizkenar yamuğun açıları. Merhaba! Bu makale yamuklarla ilgili sorunların çözümüne odaklanacaktır. Bu grupödevler sınavın bir parçası, sorunlar basit. Yamuğun açılarını, tabanını ve yüksekliğini hesaplayacağız. Bir takım problemleri çözmek, dedikleri gibi, çözmekten geçiyor: Pisagor teoremi olmadan neredeyiz?

İkizkenar yamuk ile çalışacağız. Tabanlarda eşit kenarlara ve açılara sahiptir. Blogda yamuk ile ilgili bir yazı var.

Küçüklere dikkat edin ve önemli nüans Görevleri kendi başlarına çözme sürecinde ayrıntılı olarak açıklamayacağımız. Bakın, eğer bize iki sebep verilirse, o zaman daha büyük taban ona indirilen yükseklikler üç bölüme ayrılmıştır - biri eşittir daha küçük taban(bunlar dikdörtgenin karşıt kenarlarıdır), diğer ikisi birbirine eşittir (bunlar eşit dik üçgenlerin bacaklarıdır):

Basit bir örnek: Bir ikizkenar yamuk 25 ve 65'in iki tabanı verilmiştir. Daha büyük olan taban aşağıdaki gibi parçalara ayrılır:

*Ve ilerisi! Görevlere dahil değil harf atamaları. Bu, çözümü cebirsel iyileştirmelerle aşırı yüklememek için kasıtlı olarak yapıldı. Bunun matematik açısından cahilce olduğu konusunda hemfikirim, ancak amaç, konuyu anlatmaktır. Ve her zaman köşelerin ve diğer elemanların tanımlarını kendiniz yapabilir ve matematiksel olarak doğru bir çözümü yazabilirsiniz.

Görevleri ele alalım:

27439. İkizkenar yamuğun tabanları 51 ve 65'tir. Kenarları 25'tir. Yamuğun dar açısının sinüsünü bulun.

Açıyı bulmak için yükseklikleri oluşturmanız gerekir. Çizimde verileri miktar koşulunda belirtiyoruz. Alt taban 65'tir ve yükseklikleri 7, 51 ve 7 numaralı bölümlere ayrılmıştır:

Bir dik üçgende hipotenüsü ve kenarı biliyoruz, ikinci kenarı (yamuğun yüksekliğini) bulabilir ve ardından açının sinüsünü hesaplayabiliriz.

Pisagor teoremine göre belirtilen bacak şuna eşittir:

Böylece:

Cevap: 0,96

27440. İkizkenar yamuğun tabanları 43 ve 73'tür. Bir yamuğun dar açısının kosinüsü 5/7'dir. Tarafı bulun.

Yükseklikleri oluşturalım ve büyüklük koşulundaki verileri not edelim; alt taban 15, 43 ve 15 numaralı bölümlere ayrılmıştır:

27441. İkizkenar yamuğun büyük tabanı 34'tür. Kenarı 14'tür. Dar açının sinüsü (2√10)/7'dir. Daha küçük tabanı bulun.

Yükseklikler inşa edelim. Daha küçük bir taban bulmak için ne bulmamız gerekiyor? segmente eşit dik üçgende bir bacak olmak (mavi renkle gösterilmiştir):

Yamuğun yüksekliğini hesaplayabilir ve ardından bacağı bulabiliriz:

Pisagor teoremini kullanarak ayağı hesaplıyoruz:

Yani daha küçük olan taban:

27442. İkizkenar yamuğun tabanları 7 ve 51'dir. Dar açının tanjantı 5/11'dir. Yamuğun yüksekliğini bulun.

Yükseklikleri oluşturalım ve verileri büyüklük koşulunda işaretleyelim. Alt taban bölümlere ayrılmıştır:

Ne yapalım? Tabanda bildiğimiz açının tanjantını bir dik üçgende ifade ederiz:

27443. İkizkenar yamuğun daha küçük tabanı 23'tür. Yamuğun yüksekliği 39'dur. Dar açının tanjantı 13/8'dir. Daha büyük bir taban bulun.

Yükseklikleri oluşturuyoruz ve bacağın neye eşit olduğunu hesaplıyoruz:

Böylece daha büyük taban şuna eşit olacaktır:

27444. İkizkenar yamuğun tabanları 17 ve 87'dir. Yamuğun yüksekliği 14'tür. Dar açının tanjantını bulun.

Yükseklikleri oluşturuyoruz ve bilinen değerleri çizim üzerinde işaretliyoruz. Alt taban 35, 17, 35 numaralı bölümlere ayrılmıştır:

Teğet tanımı gereği:

77152. İkizkenar yamuğun tabanları 6 ve 12'dir. Bir yamuğun dar açısının sinüsü 0,8'dir. Tarafı bulun.

Bir taslak oluşturalım, yükseklikleri oluşturalım ve bilinen değerleri işaretleyelim, daha büyük olan taban 3, 6 ve 3 numaralı bölümlere bölünür:

X olarak gösterilen hipotenüsü kosinüs aracılığıyla ifade edelim:

Ana sayfadan trigonometrik özdeşlik hadi bulalım cosα

Böylece:

27818. Neye eşittir daha büyük açı ikizkenar yamuk, zıt açılar arasındaki farkın 50 0 olduğu biliniyorsa? Cevabınızı derece cinsinden verin.

Geometri dersinden biliyoruz ki, iki paralel çizgimiz ve bir çapraz çizgimiz varsa, iç tek taraflı açıların toplamı 180 0'a eşittir. Bizim durumumuzda öyle

Koşul, zıt açılar arasındaki farkın 50 0 olduğunu söylüyor, yani

Dikdörtgen bir yamuğun özellikleri

• sen dikdörtgen yamuk ve iki açı doğru olmalı
• Her ikisi de dik açı dikdörtgen yamuk mutlaka bitişik köşelere aittir
• Her ikisi de dik açı dikdörtgen bir yamukta mutlaka aynı tarafa bitişiktirler
• Dikdörtgen bir yamuğun köşegenleri kenarlardan birinde şekillenir dik üçgen
• Kenar uzunluğu Tabanlara dik olan bir yamuğun yüksekliğine eşittir
• Dikdörtgen bir yamukta tabanlar paralel Bir tarafı tabanlara dik, diğer tarafı tabanlara eğimlidir.
• Dikdörtgen bir yamukta iki açı dik, diğer ikisi dar ve geniş

Görev