Açık ve kapalı kümeler. Metrik uzaylar ve sürekli eşlemeler

Nokta kümeleri teorisinin ana görevlerinden biri özelliklerin incelenmesidir. çeşitli türler nokta kümeleri. İki örnek kullanarak bu teoriyi tanıyalım ve kapalı ve açık kümelerin özelliklerini inceleyelim.

Set denir kapalı , eğer tüm sınır noktalarını içeriyorsa. Bir kümenin tek bir sınır noktası yoksa kapalı olduğu da kabul edilir. Kapalı bir küme, sınır noktalarının yanı sıra yalıtılmış noktalar da içerebilir. Set denir açık , eğer noktalarının her biri onun için dahili ise.

Hadi verelim kapalı ve açık küme örnekleri .

Her parça kapalı bir kümedir ve her aralık (a, b) açık bir kümedir. Uygun olmayan yarı aralıklar ve kapalı ve uygunsuz aralıklar ve açık. Hattın tamamı hem kapalı hem de açık bir settir. Boş kümenin aynı anda hem kapalı hem de açık olduğunu düşünmek uygundur. Herhangi sonlu küme Bir doğrunun üzerindeki noktalar, sınır noktası olmadığından kapalıdır.

Noktalardan oluşan bir set:

kapalı; bu kümenin, kümeye ait olan benzersiz bir x=0 sınır noktası vardır.

Ana görev, keyfi kapalı veya açık bir kümenin nasıl yapılandırıldığını bulmaktır. Bunu yapmak için kanıt olmadan kabul edeceğimiz bir takım yardımcı gerçeklere ihtiyacımız olacak.

• 1. Herhangi bir sayıda kapalı kümenin kesişimi kapalıdır.
• 2. Herhangi bir sayıda açık kümenin toplamı bir açık kümedir.
• 3. Eğer kapalı bir küme yukarıdan sınırlı ise kendi kümesini içerir. üst kenar. Benzer şekilde, eğer kapalı bir küme alttan sınırlıysa, o zaman infimumunu içerir.

E bir doğru üzerinde rastgele bir nokta kümesi olsun. E kümesinin tamamlayıcısı diyoruz ve doğru üzerindeki tüm noktaların kümesini CE ile gösteriyoruz. birçok kişiye ait E. Eğer x, E için bir dış nokta ise, o zaman CE kümesi için bir iç nokta olacağı ve bunun tersinin de geçerli olacağı açıktır.

4. Bir F kümesi kapalıysa, tümleyeni CF açıktır ve bunun tersi de geçerlidir.

Önerme 4, kapalı ve açık kümeler arasında oldukça fark olduğunu göstermektedir. yakın bağlantı: Bazıları diğerlerinin tamamlayıcısıdır. Bu nedenle sadece kapalı veya sadece açık kümelerin incelenmesi yeterlidir. Bir türdeki kümelerin özelliklerini bilmek, başka türdeki kümelerin özelliklerini hemen bulmanızı sağlar. Örneğin herhangi bir açık küme, bir kapalı kümenin bir hattan çıkarılmasıyla elde edilir.

Kapalı kümelerin özelliklerini incelemeye başlayalım. Bir tanım sunalım. F kapalı bir küme olsun. Hiçbir noktası F kümesine ait olmayan, ancak a ve b noktaları F kümesine ait olan bir (a, b) aralığına F kümesinin komşu aralığı denir.

Ayrıca bitişik aralıklar arasındaki uygunsuz aralıkları veya a noktası veya b noktasının F kümesine ait olması ve aralıkların kendilerinin F ile kesişmemesi durumunda da dahil edeceğiz. Bir x noktasının kapalı bir F kümesine ait olmaması durumunda, bu noktanın komşu aralıklardan birine ait olduğunu gösterelim.

F kümesinin x noktasının sağında yer alan kısmı ile gösterelim. X noktasının kendisi F kümesine ait olmadığından kesişim biçiminde temsil edilebilir:

Kümelerin her biri F'dir ve kapalıdır. Bu nedenle Önerme 1'e göre küme kapalıdır. Küme boşsa yarı aralığın tamamı F kümesine ait değildir. Şimdi kümenin boş olmadığını varsayalım. Bu küme tamamen yarım aralıkta yer aldığından alttan sınırlıdır. Alt sınırını b ile gösterelim. Önerme 3'e göre bu şu anlama gelir. Ayrıca b, kümenin infimum'u olduğundan, b noktasının solundaki yarım aralık (x, b) kümenin noktalarını içermez ve dolayısıyla F kümesinin noktalarını içermez. Yani, F kümesinin noktalarını içermeyen bir yarım aralık (x, b) oluşturduk ve b noktasından biri veya b noktası F kümesine ait. Benzer şekilde, noktalar içermeyen bir yarım aralık (a, x) inşa edildi F kümesinin ve ya ya da. Artık (a, b) aralığının x noktasını içerdiği ve F kümesinin komşu aralığı olduğu açıktır. Eğer ve F kümesinin iki bitişik aralığıysa, o zaman bu aralıkların ya çakıştığını ya da örtüştüğünü görmek kolaydır. kesişmiyor.

Öncekinden, bir doğru üzerindeki herhangi bir kapalı kümenin, doğrudan belirli sayıda aralığın, yani F kümesinin bitişik aralıklarının çıkarılmasıyla elde edildiği sonucu çıkar. Her aralık en az bir rasyonel nokta içerdiğinden ve sayılabilir bir dizi vardır. Doğru üzerindeki tüm rasyonel noktalar, tüm bitişik aralıkların sayısının en fazla sayılabilir olduğundan emin olmak kolaydır. Buradan nihai sonuca ulaşıyoruz. Bir çizgideki her kapalı küme, çizgiden en fazla sayılabilir ayrık aralıklar kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Önerme 4'e göre, bir doğru üzerindeki her açık kümenin, ayrık aralıkların sayılabilir toplamından başka bir şey olmadığı sonucu çıkar. Önerme 1 ve 2'ye göre, yukarıda belirtildiği gibi düzenlenen herhangi bir kümenin aslında kapalı (açık) olduğu da açıktır.

Aşağıdaki örnekten de görülebileceği gibi kapalı kümeler oldukça karmaşık bir yapıya sahip olabilir.

Nokta kümeleri teorisinin ana görevlerinden biri, çeşitli nokta kümelerinin özelliklerinin incelenmesidir. İki örnek kullanarak bu teoriyi tanıyalım ve kapalı ve açık kümelerin özelliklerini inceleyelim.

Bir küme, tüm sınır noktalarını içeriyorsa kapalı olarak adlandırılır. Bir kümenin tek bir sınır noktası yoksa kapalı olduğu da kabul edilir. Kapalı bir küme, sınır noktalarının yanı sıra yalıtılmış noktalar da içerebilir. Bir kümenin noktalarının her biri onun içindeyse açık küme olarak adlandırılır.

Kapalı ve açık kümelere örnekler verelim. Her parça \(\) kapalı bir kümedir ve her aralık \((a,b)\) açık bir kümedir. Uygun olmayan yarı aralıklar \((-\infty,b]\) ve \(\) , \(F\) kümesinin noktalarını içermiyor ve \(a=-\infty\) veya \(a\in) F\) Şimdi \((a,b)\) aralığının \(x\) noktasını içerdiği ve \(F\) kümesinin komşu aralığı olduğu açıktır. (a_1,b_1)\) ve \( (a_2,b_2)\), \(F\) kümesinin iki bitişik aralığıdır, bu durumda bu aralıklar ya çakışır ya da kesişmez.

Öncekinden, bir doğru üzerindeki herhangi bir kapalı kümenin, doğrudan belirli sayıda aralığın, yani \(F\) kümesinin bitişik aralıklarının çıkarılmasıyla elde edildiği anlaşılmaktadır. Her aralık en az bir rasyonel nokta içerdiğinden ve bir doğru üzerinde tüm rasyonel noktaların sayılabilir bir kümesi bulunduğundan, tüm bitişik aralıkların sayısının en fazla sayılabilir olduğunu doğrulamak kolaydır. Buradan nihai sonuca ulaşıyoruz. Bir çizgideki her kapalı küme, çizgiden en fazla sayılabilir ayrık aralıklar kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Önerme 4'e göre, bir doğru üzerindeki her açık kümenin, ayrık aralıkların sayılabilir toplamından başka bir şey olmadığı sonucu çıkar. Önerme 1 ve 2'ye göre, yukarıda belirtildiği gibi düzenlenen herhangi bir kümenin aslında kapalı (açık) olduğu da açıktır.

Aşağıdaki örnekten de görülebileceği gibi kapalı kümeler oldukça karmaşık bir yapıya sahip olabilir.

Cantor mükemmel set

Seriyle özel bir kapalı set oluşturalım dikkat çekici özellikler. Öncelikle \((-\infty,0)\) ve \((1,+\infty)\) uygunsuz aralıklarını satırdan kaldıralım. Bu işlemden sonra elimizde \(\) segmenti kalacak. Daha sonra bu segmentteki aralığı kaldırın \(\left(\frac(1)(3),\frac(2)(3)\right)\), orta üçte birini oluşturuyor. Kalan iki bölümün her birinden \(\sol\) Ve \(\sol[\frac(2)(3),1\sağ]\) Ortadaki üçte birini çıkaralım. Ortadaki üçte birlik kısmı kalan segmentlerden çıkarma sürecine süresiz olarak devam edeceğiz. Tüm bu aralıklar çıkarıldıktan sonra doğru üzerinde kalan noktaların kümesine Cantor mükemmel kümesi adı verilir; bunu \(P\) harfiyle göstereceğiz.

Bu kümenin bazı özelliklerini ele alalım. \(P\) kümesi kapalıdır, çünkü belirli bir dizi ayrık aralıklar çizgiden çıkarılarak oluşturulmuştur. \(P\) kümesi boş değil; her durumda, atılan tüm aralıkların sonlarını içerir.

Kapalı küme \(P\) denir mükemmel, eğer izole edilmiş noktalar içermiyorsa, yani noktalarının her biri bir sınır noktası ise. \(P\) kümesinin mükemmel olduğunu gösterelim. Aslında, eğer bir \(x\) noktası \(P\) kümesinin izole edilmiş bir noktası olsaydı, o zaman bu kümenin iki komşu aralığının ortak ucu olarak hizmet ederdi. Ancak yapıya göre \(P\) kümesinin komşu aralıklarının ortak uçları yoktur.

\(P\) kümesi tek bir aralık içermez. Aslında, bazı \(\delta\) aralığının tamamen \(P\) kümesine ait olduğunu varsayalım. O halde tamamen \(P\) kümesinin oluşturulmasının \(n\) -inci adımında elde edilen parçalardan birine aittir. Ancak bu imkansızdır, çünkü \(n\to\infty\)'de bu bölümlerin uzunlukları sıfıra eğilimlidir.

\(P\) kümesinin bir sürekliliğin önemliliğine sahip olduğu gösterilebilir. Özellikle, Cantor mükemmel kümesinin komşu aralıkların uçlarına ek olarak başka noktalar da içerdiği sonucu çıkar. Aslında bitişik aralıkların uçları yalnızca sayılabilir bir küme oluşturur.

Matematiğin çeşitli dallarında çeşitli nokta kümeleriyle sürekli olarak karşılaşılmaktadır ve bunların özelliklerinin bilinmesi, birçok nokta kümesini incelerken kesinlikle gereklidir. matematik problemleri. Özellikle büyük değer için nokta seti teorisi vardır matematiksel analiz ve topoloji.

Klasik analiz bölümlerinde nokta kümelerinin görünümüne ilişkin birkaç örnek verelim. \(f(x)\) \(\) aralığında tanımlanan sürekli bir fonksiyon olsun. \(\alpha\) sayısını sabitleyelim ve \(f(x)\geqslant\alpha\) olan \(x\) noktalarının kümesini düşünelim. Bu kümenin \(\) bölütü üzerinde yer alan keyfi bir kapalı küme olabileceğini göstermek kolaydır. Aynı şekilde, \(f(x)>\alpha\) öğesinin \(x\) noktaları kümesi herhangi bir açık küme \(G\subset\) olabilir. Eğer \(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots\) bir dizi var sürekli fonksiyonlar\(\) parçası üzerinde verildiğinde, bu dizinin yakınsadığı \(x\) noktalarının kümesi keyfi olamaz, ancak çok özel bir türe aittir.

Nokta kümelerinin yapısını inceleyen matematik disiplinine denir. tanımlayıcı küme teorisi. Tanımlayıcı küme teorisinin gelişimindeki çok büyük başarılar, Sovyet matematikçiler- N. N. Luzin ve öğrencileri P. S. Alexandrov, M. Ya. Suslin, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrentiev, P. S. Novikov, L. V. Keldysh, A. A. Lyapunov vb.

N. N. Luzin ve öğrencileri tarafından yapılan araştırma, tanımlayıcı küme teorisi ile tanımlayıcı küme teorisi arasında derin bir bağlantı olduğunu gösterdi. matematiksel mantık. Tanımlayıcı küme teorisindeki bir takım problemleri (özellikle belirli kümelerin önem derecesini belirlemeye ilişkin problemler) ele alırken ortaya çıkan zorluklar, mantıksal nitelikteki zorluklardır. Tam tersine yöntemler matematiksel mantık tanımlayıcı küme teorisinin bazı sorularına daha derinlemesine nüfuz etmemizi sağlar.

Açık ve kapalı setler

Ek 1 . Açık ve kapalı setler

Birçok M düz bir çizgiye denir açık, eğer noktalarının her biri belirli bir aralıkla birlikte bu kümenin içinde yer alıyorsa. Kapalı tüm sınır noktalarını içeren bir kümedir (yani, bu noktayı içeren herhangi bir aralık kümeyle en az bir noktada daha kesişecek şekilde). Örneğin, bir segment kapalı bir kümedir ancak açık değildir ve tam tersine aralık açık bir kümedir ancak kapalı değildir. Ne açık ne de kapalı olan kümeler vardır (örneğin yarım aralık). Hem kapalı hem de açık iki set var - bu boş ve bu kadar Z(Başkalarının olmadığını kanıtlayın). Eğer bunu görmek kolaydır M aç, sonra [` M] (veya Z \ M- sete ekleme M ile Z) kapalı. Gerçekten, eğer [` M] kapalı değilse kendine ait herhangi bir sınır noktası içermez M. Ama sonra M HAKKINDA M ve her aralığı içeren M, [` kümesiyle kesişiyor M], yani içinde yatmayan bir nokta var M ve bu şu gerçekle çelişiyor: M- açık. Benzer şekilde, doğrudan tanımdan da şu kanıtlanır: M kapalıysa, o zaman [` M] açın (kontrol edin!).

Şimdi aşağıdaki önemli teoremi kanıtlayacağız.

Teorem. Herhangi bir açık küme M rasyonel uçları (yani rasyonel noktalarda uçları olan) aralıkların bir birleşimi olarak temsil edilebilir.

Kanıt . Sendikayı düşünün sen kümemizin alt kümesi olan rasyonel uçları olan tüm aralıklar. Bu birliğin tüm kümeyle örtüştüğünü kanıtlayalım. Gerçekten eğer M- bir noktadan M, o zaman bir aralık vardır ( M 1 , M 2) M M içeren M(bu şu gerçeğin sonucudur: M- açık). Herhangi bir aralıkta rasyonel bir nokta bulabilirsiniz. Hadi ( M 1 , M) - Bu M 3, açık ( M, M 2) – bu M 4. Sonra işaret et M sendika kapsamında sen yani aralık ( M 3 , M 4). Böylece her noktanın M itibaren M sendika kapsamında sen. Ayrıca, inşaattan açıkça anlaşılacağı üzere sen, içinde yer almayan hiçbir nokta M, kapsanmıyor sen. Araç, sen Ve M kibrit.

Bu teoremin önemli bir sonucu, herhangi bir açık kümenin sayılabilir aralıkları birleştiriyor.

Hiçbir yerde yoğun kümeler ve ölçü kümeleri sıfırdır. Cantor seti>

Ek 2 . Hiçbir yerde yoğun kümeler ve ölçü kümeleri sıfırdır. Cantor seti

Birçok A isminde hiçbir yerde yoğun, eğer farklı noktalar içinse A Ve B bir bölüm var [ C, D] M [ A, B], kesişmiyor A. Örneğin dizideki noktalar kümesi A N = [ 1/(N)] hiçbir yerde yoğun değildir, ancak bir kümedir rasyonel sayılar- HAYIR.

Baire teoremi. Bir parça, hiçbir yerde yoğun olmayan kümelerin sayılabilir birleşimi olarak temsil edilemez.

Kanıt . Diyelim ki bir dizi var A k hiçbir yerde yoğun setler öyle ki Ve Ben A Ben = [A, B] Aşağıdaki parça dizisini oluşturalım. İzin vermek BEN 1 – [ içine gömülü bazı segmentler A, B] ve kesişmiyor A 1. Tanım gereği, bir aralıkta hiçbir yerde yoğun olmayan bir küme BEN 1 kümesiyle kesişmeyen bir doğru parçası var A 2. Onu arayalım BEN 2. Ayrıca segmentte BEN 2, benzer şekilde segmenti alın BEN 3, kesişmiyor A 3 vb. Sıra BEN k iç içe geçmiş bölümler var ortak nokta(bu ana özelliklerden biridir gerçek sayılar). Yapı itibarıyla bu nokta hiçbir kümede yer almaz A k, bu, bu kümelerin segmentin tamamını kapsamadığı anlamına gelir [ A, B].

Kümeyi çağıralım M sıfır ölçüsü olan, eğer herhangi bir pozitif e için bir dizi varsa BEN k toplam uzunluğu e'den küçük olan aralıklar, kapsayan M. Açıkçası, sayılabilir herhangi bir kümenin ölçüsü sıfırdır. Ancak ölçüsü sıfır olan sayılamayan kümeler de vardır. Hadi Cantor'un adında çok ünlü bir tane inşa edelim.

Bir bölüm alalım. Üç eşit parçaya bölelim. Orta segmenti atalım (Şek. 11, A). Toplam uzunlukta iki bölüm olacak [2/3]. Her biriyle birebir aynı işlemi gerçekleştireceğiz (Şekil 11, B). Toplam uzunluğu [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 olan dört parça kalacak. Bu şekilde devam ediyoruz (Şekil 11, V–e) sonsuza kadar, önceden belirlenmiş herhangi bir pozitif ölçümden daha küçük bir ölçüsü olan, yani sıfır ölçüsü olan bir set elde ederiz. Bu kümenin noktaları ile sonsuz sıfır ve bir dizileri arasında bire bir yazışma kurmak mümkündür. İlk “atma” sırasında noktamız sağ bölüme düşerse, dizinin başına 1, solda ise - 0 koyacağız (Şekil 11, A). Daha sonra, ilk "fırlatma" işleminden sonra, aynı şeyi yaptığımız büyük segmentin küçük bir kopyasını alıyoruz: eğer atıştan sonraki noktamız sağ segmente düşerse, 1, solda ise - 0 koyun, vb. (bire bir ilişkiyi kontrol edin), pirinç. 11, B, V. Sıfırlar ve birlerden oluşan diziler kümesi önemlilik sürekliliğine sahip olduğundan, Cantor kümesi de önemlilik sürekliliğine sahiptir. Üstelik hiçbir yerde yoğun olmadığını kanıtlamak kolaydır. Ancak kesin tedbirin sıfır olduğu doğru değildir (bkz. katı tedbirin tanımı). Bu gerçeği kanıtlama fikri şu şekildedir: diziyi alın A N, çok hızlı bir şekilde sıfıra doğru gidiyor. Örneğin, dizi A N = [ 1/(2 2 N)]. Daha sonra bu dizinin Cantor kümesini kapsayamayacağını kanıtlayacağız (yap bunu!).

Ek 3 . Görevler

İşlemleri Ayarla

Setler A Ve B denir eşit eğer kümenin her elemanı A sete ait B ve tam tersi. Tanım: A = B.

Birçok A isminde alt küme setleri B eğer kümenin her elemanı A sete ait B. Tanım: A M B.

1. Aşağıdaki kümelerden her ikisi için birinin diğerinin alt kümesi olup olmadığını belirtin:

2. küme olduğunu kanıtlayın A ancak ve ancak kümenin bir alt kümesi ise B, her öğe ait olmadığında B, ait değil A.

3. Bunu keyfi kümeler için kanıtlayın A, B Ve C

A) A M A; b) eğer A M B Ve B M C, O A M C;

V) A = B, ancak ve ancak A M B Ve B M A.

Set denir boş herhangi bir öğe içermiyorsa. Tanım: F.

4. Aşağıdaki kümelerin her biri kaç elemanlıdır:

5. Üç elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır?

6. Bir küme tam olarak a) 0; b*) 7; c) 16 alt küme?

Dernek setleri A Ve B X, Ne X HAKKINDA A veya X HAKKINDA B. Tanım: A VE B.

Karşıya geçerek setleri A Ve B bunlardan oluşan kümeye denir X, Ne X HAKKINDA A Ve X HAKKINDA B. Tanım: A Z B.

Farkına göre setleri A Ve B bunlardan oluşan kümeye denir X, Ne X HAKKINDA A Ve X P B. Tanım: A \ B.

7. Verilen kümeler A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Setleri bulun:

8. İzin vermek Açift ​​sayılar kümesidir ve B– 3'e bölünebilen sayılar kümesi. Bul A Z B.

9. Bunu herhangi bir küme için kanıtlayın A, B, C

A) A VE B = B VE A, A Z B = B Z A;

B) A VE ( B VE C) = (A VE B)VE C, A z ( B Z C) = (A Z B)Z C;

V) A z ( B VE C) = (A Z B)VE ( A Z C), A VE ( B Z C) = (A VE B)Z ( A VE C);

G) A \ (B VE C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B)VE ( A \ C).

10. Herhangi bir set için bu doğru mu? A, B, C

Eşlemeleri ayarlayın

Eğer her bir eleman X setleri X tam olarak bir öğe eşleşiyor F(X) setleri e sonra verildi diyorlar görüntülemek Fçoğundan X kalabalığa e. Aynı zamanda eğer F(X) = sen, daha sonra eleman sen isminde yol eleman X görüntülendiğinde F ve öğe X isminde prototip eleman sen görüntülendiğinde F. Tanım: F: X ® e.

11. (7,8,9) kümesinden (0,1) kümesine olası tüm eşlemeleri çizin.

İzin vermek F: X ® e, sen HAKKINDA e, A M X, B M e. Elemanın tam prototipi sen görüntülendiğinde F küme denir ( X HAKKINDA X | F(X) = sen). Tanım: F - 1 (sen). Çokluğun görüntüsünde A M X görüntülendiğinde F küme denir ( F(X) | X HAKKINDA A). Tanım: F(A). Setin prototipi B M e küme denir ( X HAKKINDA X | F(X) HAKKINDA B). Tanım: F - 1 (B).

12. Görüntülemek için F: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), resimde verilmiştir, bulun F({0,3}), F({1,3,4}), F - 1 (2), F - 1 ({2,5}), F - 1 ({5,18}).

13. İzin vermek F: X ® e, A 1 , A 2 milyon X, B 1 , B 2 milyon e. Bu her zaman doğru mudur?

A) F(X) = e;

B) F - 1 (e) = X;

V) F(A 1 ben A 2) = F(A 1)Ve F(A 2);

G) F(A 1 W A 2) = F(A 1)Z F(A 2);

D) F - 1 (B 1 ben B 2) = F - 1 (B 1)Ve F - 1 (B 2);

e) F - 1 (B 1 W B 2) = F - 1 (B 1)Z F - 1 (B 2);

g) eğer F(A 1) M F(A 2), sonra A 1 milyon A 2 ;

h) eğer F - 1 (B 1) M F - 1 (B 2), sonra B 1 milyon B 2 ?

Kompozisyon eşlemeler F: X ® e Ve G: e ® Z bir öğeyi ilişkilendiren eşlemeye denir X setleri X eleman G(F(X)) setleri Z. Tanım: G° F.

14. Keyfi eşlemeler için bunu kanıtlayın F: X ® e, G: e ® Z Ve H: Z ® W aşağıdakiler yapılır: H° ( G° F) = (H° G)° F.

15. İzin vermek F: (1,2,3,5)® (0,1,2), G: (0,1,2)® (3,7,37,137), H: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – şekilde gösterilen eşlemeler:

Aşağıdaki gösterimler için resimler çizin:

A) G° F; B) H° G; V) F° H° G; G) G° H° F.

Görüntülemek F: X ® e isminde önyargılı, eğer her biri için sen HAKKINDA e tam olarak bir tane var X HAKKINDA XÖyle ki F(X) = sen.

16. İzin vermek F: X ® e, G: e ® Z. Bu doğru mu eğer F Ve G o halde bijektiftirler G° F bijektif olarak mı?

17. İzin vermek F: (1,2,3)® (1,2,3), G: (1,2,3) ® (1,2,3), – şekilde gösterilen eşlemeler:

18. Aşağıdaki kümelerin her ikisi için, birinciden ikinciye bir eşleşme olup olmadığını bulun (sıfırın bir doğal sayı olduğunu varsayarak):

a) birçok doğal sayılar;

b) çift doğal sayılar kümesi;

c) 3 sayısı olmayan doğal sayılar kümesi.

Metrik uzay set denir X verilen ile metrik R: X× X ® Z

1) " X,sen HAKKINDA X R( X,sen) ben 0 ve r ( X,sen) = 0 ancak ve ancak X = sen (olumsuzluk ); 2) " X,sen HAKKINDA X R( X,sen) = r ( sen,X) (simetri ); 3) " X,sen,z HAKKINDA X R( X,sen) + r ( sen,z) ben r ( X,z) (üçgen eşitsizliği ). 19 19. X

A) X = Z, R ( X,sen) = | X - sen| ;

B) X = Z 2 , r2 (( X 1 ,sen 1),(X 2 ,sen 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (sen 1 - sen 2) 2 };

V) X = C[A,BA,B] işlevler,

Açık(sırasıyla, kapalı) yarıçaplı top R uzayda X bir noktada merkezlenmiş X set denir sen R (X) = {sen HAKKINDA X:R ( X,sen) < R) (sırasıyla, B R (X) = {sen HAKKINDA X:R ( X,sen) Ј R}).

İç nokta setleri sen M X sen

açık çevre bu nokta.

Sınır noktası setleri F M X F.

kapalı

20. Bunu kanıtla

21. Bunu kanıtla

b) bir kümenin birleşimi A kısa devre A

Görüntülemek F: X ® e isminde sürekli

22.

23. Bunu kanıtla

F (X) = enf sen HAKKINDA F R( X,sen

F.

24. İzin vermek F: X ® e– . Tersinin sürekli olduğu doğru mu?

Sürekli bire bir haritalama F: X ® e homeomorfizma. Alanlar X, ehomeomorfik.

25.

26. Hangi çiftler için? X, e F: X ® e, Hangi birbirine yapışmıyor puanlar (ör. F(X) № F(sen) en X № sen yatırımlar)?

27*. yerel homeomorfizma(yani her noktada X uçak ve F(X) torus böyle mahalleler var sen Ve V, Ne F homeomorfik haritalar sen Açık V).

Metrik uzaylar ve sürekli eşlemeler

Metrik uzay set denir X verilen ile metrik R: X× X ® Z, aşağıdaki aksiyomları karşılayan:

1) " X,sen HAKKINDA X R( X,sen) ben 0 ve r ( X,sen) = 0 ancak ve ancak X = sen (olumsuzluk ); 2) " X,sen HAKKINDA X R( X,sen) = r ( sen,X) (simetri ); 3) " X,sen,z HAKKINDA X R( X,sen) + r ( sen,z) ben r ( X,z) (üçgen eşitsizliği ). 28. Aşağıdaki çiftlerin ( X,r ) metrik uzaylardır:

A) X = Z, R ( X,sen) = | X - sen| ;

B) X = Z 2 , r2 (( X 1 ,sen 1),(X 2 ,sen 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (sen 1 - sen 2) 2 };

V) X = C[A,B] – sürekli ayarı [ A,B] işlevler,

Açık(sırasıyla, kapalı) yarıçaplı top R uzayda X bir noktada merkezlenmiş X set denir sen R (X) = {sen HAKKINDA X:R ( X,sen) < R) (sırasıyla, B R (X) = {sen HAKKINDA X:R ( X,sen) Ј R}).

İç nokta setleri sen M X içinde yer alan bir noktadır sen sıfır olmayan yarıçaplı bir topla birlikte.

Tüm noktaları içte olan kümeye denir açık. içeren açık bir küme bu nokta, isminde çevre bu nokta.

Sınır noktası setleri F M X herhangi bir komşuluğu kümenin sonsuz sayıda noktasını içeren bir noktadır F.

Tüm sınır noktalarını içeren kümeye denir kapalı(Bu tanımı Ek 1'de verilen tanımla karşılaştırın).

29. Bunu kanıtla

a) bir küme ancak ve ancak tümleyeninin kapalı olması durumunda açıktır;

b) kapalı kümelerin sonlu birleşimi ve sayılabilir kesişimi kapalıdır;

c) Açık kümelerin sayılabilir birleşimi ve sonlu kesişimi açıktır.

30. Bunu kanıtla

a) herhangi bir kümenin sınır noktaları kümesi kapalı bir kümedir;

b) bir kümenin birleşimi A ve sınır noktalarının kümesi ( kısa devre A) kapalı bir kümedir.

Görüntülemek F: X ® e isminde sürekli, eğer her birinin prototipi açık set açık.

31. Bu tanımın bir doğru üzerindeki fonksiyonların sürekliliği tanımıyla tutarlı olduğunu kanıtlayın.

32. Bunu kanıtla

a) r ayarına olan mesafe F (X) = enf sen HAKKINDA F R( X,sen) sürekli bir fonksiyondur;

b) a) maddesindeki fonksiyonun sıfırları kümesi kapanışla çakışır F.

33. İzin vermek F: X ® e

Sürekli bire bir haritalama F: X ® e tersi de sürekli olana denir homeomorfizma. Alanlar X, e Böyle bir eşlemenin mevcut olduğu durumlara denir homeomorfik.

34. Aşağıdaki kümelerin her bir çiftinin homeomorfik olup olmadıklarını belirleyin:

35. Hangi çiftler için? X, eÖnceki problemdeki boşluklarda sürekli bir haritalama var F: X ® e, Hangi birbirine yapışmıyor puanlar (ör. F(X) № F(sen) en X № sen– bu tür eşlemelere denir yatırımlar)?

36*. Bir düzlemden torusa kadar sürekli bir haritalama bulun. yerel homeomorfizma(yani her noktada X uçak ve F(X) torus böyle mahalleler var sen Ve V, Ne F homeomorfik haritalar sen Açık V).

Tamlık. Baire teoremi

İzin vermek X– metrik uzay. Alt sıra X N onun elemanları denir esas, Eğer

37. Yakınsak dizinin temel olduğunu kanıtlayın. Tam tersi ifade doğru mu?

Metrik uzay denir tamamlamak varsa temel dizi birleşir.

38. Tam bir uzaya homeomorfik olan bir uzayın tam olduğu doğru mu?

39. Tam bir uzayın kapalı bir alt uzayının kendisinin tam olduğunu kanıtlayın; keyfi bir uzayın tüm alt uzayı onun içinde kapalıdır.

40. Tam bir metrik uzayda yarıçapları sıfıra yaklaşan iç içe geçmiş kapalı top dizisinin ortak bir elemanı olduğunu kanıtlayın.

41. içinde mümkün mü önceki görev Uzayın tam olması koşulunu veya topların yarıçaplarının sıfıra eğilimini ortadan kaldırmak mı istiyorsunuz?

Görüntülemek F metrik uzay X kendi içine çağrıldı sıkıştırıcı, Eğer

42. Büzülme haritasının sürekli olduğunu kanıtlayın.

43. a) Tam bir metrik uzayın kendi içine büzülme eşlemesinin tam olarak bir sabit noktaya sahip olduğunu kanıtlayın.

b) 1:5.000.000 ölçekli Rusya haritası üzerine 1:20.000.000 ölçekli bir Rusya haritası yerleştirin. Her iki haritada görüntüleri çakışan bir nokta olduğunu kanıtlayın.

44*. Sorunun ifadesinin doğru olduğu tamamlanmamış bir metrik uzay var mı?

Bir metrik uzayın alt kümesine denir her yerde yoğun, eğer kapanışı tüm alanla örtüşüyorsa; hiçbir yerde yoğun– kapanışının boş olmayan açık alt kümeleri yoksa (bu tanımı Ek 2'de verilen tanımla karşılaştırın).

45. a) izin ver A, B, a , b Ö Z Ve A < a < b < B. [ üzerinde sürekli fonksiyonlar kümesinin olduğunu kanıtlayın. A,B], monoton açık, tüm sürekli fonksiyonların uzayında hiçbir yerde yoğun değil [ A,B] tek tip metrikle.

b) izin ver A, B, C, e O Z Ve A < B, C> 0, e > 0. Daha sonra [ üzerinde sürekli fonksiyonlar kümesi A,B], öyle ki

46. (Genelleştirilmiş Baire teoremi .) Tam bir metrik uzayın sayılabilir sayıda hiçbir yerde yoğun olmayan kümelerin birleşimi olarak temsil edilemeyeceğini kanıtlayın.

47. Boş olmayan herhangi bir aralıktaki sürekli, monoton olmayan ve aralıkta tanımlanan hiçbir yerde türevlenemeyen fonksiyonlar kümesinin, düzgün bir metrikle tüm sürekli fonksiyonlar uzayında her yerde yoğun olduğunu kanıtlayın.

48*. İzin vermek F– aralıkta türevlenebilir fonksiyon. Türevinin her yerde sürekli olduğunu kanıtlayın yoğun küme puan. Bu tanımdır Lebesgue sıfır ölçer. Sayılabilir aralık sayısı sonlu bir sayı ile değiştirilirse, tanımı elde ederiz.Ürdünova

sıfır ölçer.

TANIM 5. X bir metrik uzay olsun, ММ Х, аОХ. Eğer a'nın herhangi bir komşuluğunda M\(a) kümesinin noktaları varsa, a noktasına M'nin sınır noktası denir. İkincisi, a'nın herhangi bir komşuluğunda M kümesinin a'dan farklı noktaları olduğu anlamına gelir.

Notlar. 1. Bir sınır noktası kümeye ait olabilir veya olmayabilir. Örneğin, 0 ve 1 (0,2) kümesinin sınır noktalarıdır, ancak birincisi ona ait değildir, ikincisi ise aittir. 2. M kümesinin bir noktası onun sınır noktası olmayabilir. Bu durumda buna izole edilmiş M noktası denir. Örneğin, 1 - yalıtılmış nokta

(-1,0)È(1)'i ayarlar.

3. Eğer a limit noktası M kümesine ait değilse, bu metrik uzayda a'ya yakınsayan bir x n ОM noktaları dizisi vardır. Bunu kanıtlamak için yarıçapı 1/n olan bu noktada açık toplar almak ve her toptan M'ye ait bir nokta seçmek yeterlidir. Bunun tersi de doğrudur, eğer a için böyle bir dizi varsa o zaman nokta a'dır. sınır noktası.

TANIM 6. Bir M kümesinin kapanışı, M'nin sınır noktaları kümesiyle birleşimidir. Tanım

Bir topun kapanışının aynı yarıçaptaki kapalı bir topla çakışması gerekmediğine dikkat edin. Örneğin, ayrık bir uzayda, B(a,1) topunun kapanışı topun kendisine eşittir (bir a noktasından oluşur), kapalı top (a,1) ise tüm uzayla çakışır.

Kümelerin kapanışının bazı özelliklerini tanımlayalım.

1. Ay. Bu doğrudan kapatmanın tanımından kaynaklanmaktadır. 2. Eğer M М N ise, o zaman М . Aslında, eğer a О , a ПМ ise, o zaman a'nın herhangi bir komşuluğunda M kümesinin noktaları vardır. Bunlar aynı zamanda N'nin noktalarıdır. Bu nedenle aО

4. .

. M'den gelen noktalar için bu tanım gereği açıktır. 5. Boş bir kümenin kapanışı boştur. Bu anlaşma şu tarihten itibaren geçerli değildir: genel tanım

ama doğaldır.

TANIM 7. Bir M М X kümesi = M ise kapalı olarak adlandırılır.

Eğer X\M kümesi kapalıysa, bir M М X kümesine açık denir.

TANIM 8. Bir pozitif r için B(a,r)МM ise, a noktasına M kümesinin iç noktası denir; iç nokta bazı mahallelerle birlikte sete dahil edilmiştir. Eğer B(a,r)МХ/M topu pozitif bir r için, yani iç nokta bazı komşuluklarla birlikte kümeye dahil edilmiyorsa, a noktasına M kümesinin dış noktası denir. M kümesinin ne iç ne de dış noktaları olmayan noktalara sınır noktaları denir.

Böylece sınır noktaları, her bir mahallede M'ye hem dahil edilen hem de dahil olmayan noktaların bulunmasıyla karakterize edilir.

ÖNERİ 4. Bir kümenin açık olabilmesi için tüm noktalarının içte olması gerekli ve yeterlidir.

Bir doğru üzerindeki kapalı kümelerin örnekleri şunlardır: , )