Polinomların çarpımı. Fourier dönüşümünü kullanarak polinomların hızlı çarpımı kolaydır

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Ders hedefleri:(Sunum. Slayt 2)

Eğitici:

bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını türetmek;
Bu kuralı uygulama yeteneğini geliştirin.

Eğitici:

dikkatin gelişimi;
konuyla ilgili bilgiyi analiz etme ve genelleme yeteneğini geliştirmek;
zihinsel sayma becerilerinin geliştirilmesi.

Eğitici:

temizlik eğitimi;
Konuya sürdürülebilir bir ilgi beslemek.

Ders türü: Yeni bilgilerin incelenmesi ve başlangıçta pekiştirilmesine ilişkin ders.

Ders ilerlemesi

BEN. Sözlü çalışma(Sunum. Slayt 3)

Çarpmayı yapın.

a) a (x – y);

b) 2p (3 – q);

c) –2x (x – 4);

d) 4y(y3 + 0,25);

e) – 0,5 sn 2 (c 3 + 2);

e) –5x (3x 2 – 4);

g) 2a 4 (a 3 – 0,5);

h) –q 7 (q 3 – q 5).

II. Yeni materyalin açıklanması (Sunum. Slayt 4)

Açıklama ders kitabı materyaline göre birkaç aşamada gerçekleştirilir.

1. Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını türetin ve bunu bir slaytta (veya tahtada) görsel olarak sunun:

2. Ortaya çıkan kuralı formüle edin ve birkaç öğrenciden bunu tekrarlamasını isteyin.

3. Kuralın uygulama örneklerini analiz edin.

O zamandan beri bu konuÖğrenciler için yeni olduğundan, iki polinomun çarpım kuralının doğrudan uygulanmasına ilişkin birkaç basit örnek verilmesi tavsiye edilir. Aşağıdaki derslerde bir dizi problemin çözümünde bu kuralın kullanımına ilişkin örnekleri ele almak daha iyidir.

Örnek 1.(Sunum. Slayt 5) Polinomu (3a – 2b) polinom (2a + 3b) ile çarpın.

Çözüm: (3a – 2b)(2a + 3b) = 3a * 2a + 3a * 3b + (– 2b) * 2a + (– 2b) * 3b = 6a 2 + 9ab – 4 ab – 6b 2 = 6a 2 + 5ab – 6b 2 .

Örnek 2.(Sunum. Slayt 6) İfadeyi sadeleştirin: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x).

Çözüm: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x) = 10x – 2x 2 – 15 + 3x – 12x + 3x 2 = x 2 + x – 15.

Örnek 3.(Sunum. Slayt 7) Bunu herhangi bir durum için kanıtlayalım. doğal değer n (n + 1)(n + 2) – (3n – 1)(n + 3) + 5n(n + 2) + n +7 ifadesinin değeri 3'ün katıdır.

Çözüm: (p + 1)(p + 2) – (3p – 1)(p + 3) + 5p(p + 2) + p +7 = p 2 + 2p + p + 2 – 3p 2 – 9p + p + 3 + 5p 2 + 10p + p +7 = 3p 2 + 6p + 12 = 3 (p 2 + 2p + 4).

III. Yetenek ve becerilerin oluşumu (Sunum. Slayt 8)

Ders sırasında, bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını öğrendiklerinden emin olmak için mümkün olduğunca çok sayıda öğrenciye anket yapmalısınız. Bu nedenle her görevi tamamlamak için üç öğrenci aynı anda tahtaya çağrılabilir.

1. № 677, № 678.

Bu polinom çarpım problemlerinde faktörlerin her biri doğrusaldır. Öğrencilerin ilgili kuralın uygulanmasının doğruluğunu takip etmeleri ve işaretlerde hata yapmamaları önemlidir.

2. № 680.

Bu görevler biraz daha zordur çünkü öğrencilerin polinomları çarpma kurallarını uygulamanın yanı sıra kuvvetlerin özelliklerini de hatırlamaları gerekir.

c) 12a 4 – a 2 b 2 – b 4;

e) 56p 3 – 51p 2 + 10p.

3. № 682 (a, c).

a) (x + 10) 2 = (x + 10) (x + 10) = x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100;

c) (3a – 1) 2 = (3a – 1) (3a – 1) = 9a 2 – 3a – 3a – 1 = 9a 2 – 6a + 1.

IV. Ders özeti (Sunum. Slayt 9)

– Bir monomial bir polinomla nasıl çarpılır?

– Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralını formüle edin.

– Polinomların çarpılmasıyla elde edilen terimler hangi işaretlere sahip olacaktır:

a) (x + y) (a – b);

b) (n – m) (p – q)?

V. Ev ödevi: (Sunum. Slayt 10)

679 numara; 681 numara; 682 (b, d).

Kullanılan ders kitapları ve öğretim yardımcıları: (Sunum. Slayt 11)

Ders Kitabı “Cebir 7”. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, S.A. Telyakovsky. Moskova "Aydınlanma" 2010.
Rurukin A.N., Lupenko G.V., Maslennikova I.A. Ders bazlı gelişmeler cebirde: 7. sınıf.

Kullanılan tasarım.

Numaralar farklı harflerle belirtilmişse, o zaman yalnızca ürün belirtilebilir; Örneğin, a sayısını b sayısıyla çarpmamız gerektiğini varsayalım - bunu a ∙ b veya ab olarak gösterebiliriz, ancak bu çarpmanın bir şekilde gerçekleştirilmesi söz konusu olamaz. Ancak tek terimlilerle uğraştığımızda, 1) katsayıların varlığı ve 2) bu tek terimlilerin aynı harflerle gösterilen faktörleri içerebilmesi sayesinde, tek terimlilerin çarpılmasından bahsetmek mümkündür; Bu olasılık polinomlar için daha da geniştir. En basitinden başlayarak, çarpma işlemi yapmanın mümkün olduğu birkaç duruma bakalım.

1. Güçleri çoğaltmak aynı gerekçelerle . Örneğin a 3 ∙ a 5 gerekli olsun. Üs almanın anlamını bilerek aynı şeyi daha detaylı yazalım:

bir ∙ bir ∙ bir ∙ bir ∙ bir ∙ bir ∙ bir ∙ bir

Buna bakıyorum ayrıntılı giriş 8 katı yani kısaca 8 çarpanıyla a yazdığımızı görüyoruz. Yani a 3 ∙ a 5 = a 8.

b 42 ∙ b 28 gerekli olsun. Önce b faktörünü 42 kez, sonra da b faktörünü 28 kez yazmamız gerekir; genel olarak b'nin 70 kez faktör olarak alınmasını elde ederiz. yani b 70. Yani b 42 ∙ b 28 = b 70. Buradan, aynı tabanlara sahip kuvvetler çarpıldığında derecenin tabanının değişmeden kaldığı ve kuvvetlerin üslerinin toplandığı zaten açıktır. Elimizde 8 ∙ a varsa, o zaman a faktörünün 1 üssünü ("a'nın birinci kuvveti") ima ettiğini aklımızda tutmamız gerekir; dolayısıyla a 8 ∙ a = a 9 olur.

Örnekler: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9; bir 11 ∙ bir 22 ∙ bir 33 = bir 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5, vb.

Bazen üsleri harflerle gösterilen kuvvetlerle uğraşmanız gerekir, örneğin xn (x üzeri n). Bu tür ifadeleri kullanmaya alışmanız gerekir. İşte örnekler:

Bu örneklerden bazılarını açıklayalım: b n – 3 ∙ b 5 b tabanını değiştirmeden bırakmanız ve üsleri eklemeniz gerekir, yani (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Elbette bu tür eklemeleri kafanızda hızlı bir şekilde yapmayı öğrenmelisiniz.

Başka bir örnek: x n + 2 ∙ x n – 2, – x tabanı değişmeden bırakılmalı ve üs eklenmelidir, yani (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Artık yukarıda bulunan sırayı, aynı tabanlarla kuvvetlerin çarpımının nasıl yapılacağını eşitlikle ifade edebilirsiniz:

bir m ∙ bir n = bir m + n

2. Bir tek terimliyi bir tek terimliyle çarpmak.Örneğin 3a²b³c ∙ 4ab²d² gerektirsin. Burada bir çarpmanın nokta ile gösterildiğini görüyoruz ancak 3 ile a² arasında, a² ile b³ arasında, b³ ile c arasında, 4 ile a arasında, a ile b² arasında, b² ile arasında aynı çarpma işaretinin ima edildiğini biliyoruz. d². Dolayısıyla burada 8 faktörün çarpımını görebiliriz ve bunları herhangi bir grupla herhangi bir sırayla çarpabiliriz. Aynı tabanlara sahip katsayılar ve kuvvetler birbirine yakın olacak şekilde yeniden düzenleyelim, yani.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Daha sonra 1) katsayıları ve 2) kuvvetleri aynı tabanlarla çarparak 12a³b5cd² elde edebiliriz.

Yani bir monomluyu bir monomluyla çarparken katsayıları ve kuvvetleri aynı tabanlarla çarpabiliriz, ancak geri kalan faktörlerin değiştirilmeden yeniden yazılması gerekir.

Daha fazla örnek:

3. Bir polinomun bir tek terimle çarpılması.Öncelikle a – b – c + d gibi bir polinomu +3 gibi pozitif bir tam sayıyla çarpmanız gerektiğini varsayalım. Pozitif sayılar aritmetik sayılarla aynı kabul edildiği için bu (a – b – c + d) ∙ 3 ile aynıdır, yani a – b – c + d'yi 3 kez terim olarak alın, veya

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

yani sonuç olarak polinomun her teriminin 3 (veya +3) ile çarpılması gerekiyordu.

Bundan şu sonuç çıkıyor:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

yani polinomun her teriminin (+3)'e bölünmesi gerekiyordu. Ayrıca genelleme yaparsak şunu elde ederiz:

vesaire.

Şimdi (a – b – c + d)'yi şu şekilde çarpmamız gerekiyor: pozitif kesirörneğin +'ya. Bu çarpmakla aynı şey aritmetik kesir bu da (a – b – c + d)'den parçalar almak anlamına gelir. Bu polinomun beşte birini almak kolaydır: (a – b – c + d)'yi 5'e bölmeniz gerekir ve bunu nasıl yapacağımızı zaten biliyoruz ve şunu elde ederiz: . Sonucu 3 kez tekrarlamak veya 3 ile çarpmak kalır, yani.

Sonuç olarak polinomun her terimini + ile veya + ile çarpmamız gerektiğini görüyoruz.

Şimdi (a – b – c + d)'yi şu şekilde çarpmamız gerekiyor: negatif sayı, tam sayı veya kesir,

yani bu durumda polinomun her teriminin – ile çarpılması gerekiyordu.

Dolayısıyla m sayısı ne olursa olsun her zaman (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm vardır.

Her monom bir sayı olduğundan, burada bir polinomun bir monomla nasıl çarpılacağına dair bir gösterge görüyoruz - polinomun her terimini bu monomla çarpmamız gerekiyor.

4. Bir polinomun bir polinomla çarpılması. (a + b + c) ∙ (d + e) olsun. D ve e sayıları ifade ettiğine göre (d + e) herhangi bir sayıyı ifade eder.

(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)

(Bunu şu şekilde açıklayabiliriz: geçici olarak d + e'yi tek terimli olarak alma hakkımız var).

Reklam + ae + bd + be + cd + ce

Bu sonuçta üyelerin sırasını değiştirebilirsiniz.

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

yani bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimi diğerinin her terimiyle çarpılmalıdır. Birinci polinomun her terimini önce ikincinin birinci terimiyle (+d ile), ardından ikincinin ikinci terimiyle (+ ile) çarpmak uygundur (bu amaçla elde edilen terimlerin sırası yukarıda değiştirildi). e), o zaman, eğer varsa, üçte biri vb. .d.; bundan sonra bir cast yapmalısın benzer üyeler.

Bu örneklerde, binom binom ile çarpılmaktadır; her iki terimde terimler, her iki iki terimde de ortak olan harfin azalan kuvvetlerine göre düzenlenir. Bu tür çarpma işlemlerini kafanızda gerçekleştirip nihai sonucu anında yazmak kolaydır.

İlk binomun baş terimini ikincinin baş terimiyle, yani 4x²'yi 3x ile çarptığımızda, çarpımın baş terimini 12x³ elde ederiz - açıkçası benzerleri olmayacak. Daha sonra hangi terimlerin x harfinin 1 eksiği olan yani x² ile derecesine göre sonuçlanacağına bakıyoruz. Birinci faktörün 2. terimini ikincinin 1. terimiyle çarparak ve birinci faktörün 1. terimini ikincinin 2. terimiyle çarparak (parantezin altındaki parantez) bu tür terimlerin elde edildiğini rahatlıkla görebiliriz. örnek bunu göstermektedir). Bu çarpma işlemlerini kafanızda gerçekleştirmek ve aynı zamanda bu iki benzer terimin (bundan sonra –19x² terimini elde ederiz) indirgenmesini gerçekleştirmek hiç de zor değil. Daha sonra, x üzeri 1'den küçük, yani x üzeri 1'inci kuvvet harfini içeren bir sonraki terimin, yalnızca ikinci terimin ikinciyle çarpılmasıyla elde edileceğini ve benzerlerinin olmayacağını fark ederiz.

Başka bir örnek: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Aşağıdaki gibi örnekleri kafanızda çalıştırmak da kolaydır:

Baştaki terim, baş terimle çarpılarak elde edilir; ona benzer terimler olmayacaktır ve = 2a³. Daha sonra, 1. terimi (a²) 2. (–5) ile çarparak ve ikinci terimi (–3a) 1. (2a) ile çarparak hangi çarpımların a²'li terimler vereceğine bakarız - bu aşağıda parantez içinde gösterilmiştir ; Bu çarpmaları yapıp elde edilen terimleri bir araya getirdiğimizde –11a² elde ederiz. Daha sonra hangi çarpmaların birinci dereceye kadar olan terimleri vereceğine bakıyoruz - bu çarpmalar üstte parantezlerle işaretlenmiştir. Bunları tamamlayıp ortaya çıkan terimleri bir araya getirdiğimizde +11a elde ederiz. Son olarak, çarpımın hiç a içermeyen en düşük teriminin (+10), bir polinomun düşük terimini (-2), diğerinin düşük terimiyle (-5) çarpılmasıyla elde edildiğini not ediyoruz.

Başka bir örnek: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Önceki örneklerden de şunu elde ediyoruz: genel sonuç: Bir ürünün baş terimi her zaman faktörlerin baş terimlerinin çarpılmasıyla elde edilir ve ona benzer terimler olamaz; Ayrıca faktörlerin alt dereceli terimleri çarpılarak ürünün en düşük terimi elde edilir ve buna benzer terimler de olamaz.

Bir polinomun bir polinomla çarpılmasıyla elde edilen kalan terimler benzer olabilir, hatta tüm bu terimlerin karşılıklı olarak yok olması ve yalnızca büyük ve küçüklerin kalması da mümkündür.

İşte örnekler:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (sadece sonucu yazıyoruz)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1, vb.

Bu sonuçlar dikkate değer ve hatırlanması faydalıdır.

Aşağıdaki çarpma durumu özellikle önemlidir:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
veya (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
veya (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9, vb.

Tüm bu örneklerde aritmetiğe uygulandığında iki sayının toplamı ve farkının çarpımı elde ediliyor ve sonuç bu sayıların karelerinin farkı oluyor.

Eğer görürsek benzer durum, o zaman yukarıda yapıldığı gibi ayrıntılı olarak çarpma işlemi yapmanıza gerek yoktur ancak sonucu hemen yazabilirsiniz.

Örneğin, (3a + 1) ∙ (3a – 1). Burada aritmetik açısından ilk faktör iki sayının toplamıdır: ilk sayı 3a ve ikinci 1'dir ve ikinci faktör aynı sayıların farkıdır; bu nedenle sonuç şöyle olmalıdır: ilk sayının karesi (yani 3a ∙ 3a = 9a²) eksi ikinci sayının karesi (1 ∙ 1 = 1), yani.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Ayrıca

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25, vb.

Öyleyse hatırlayalım

(a + b) (a – b) = a² – b²

yani iki sayının toplamı ile farkının çarpımı bu sayıların karelerinin farkına eşittir.

Arasında çeşitli ifadeler cebirde ele alınan, önemli yer tek terimlilerin toplamını işgal eder. İşte bu tür ifadelere örnekler:
$5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2$

Monomların toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.

Örneğin, bir polinom
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 $
basitleştirilebilir.

Tüm terimleri standart formdaki tek terimli formda temsil edelim:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.

İçin polinom derecesi standart bir biçimde üyelerinin yetkilerinden en yüksek olanı alır. Böylece, $12a^2b - 7b$ iki terimli üçüncü dereceye, $2b^2 -7b + 6$ üç terimli ise ikinci dereceye sahiptir.

Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).

Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Parantezleme, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:

Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.

Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.

Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Kullanarak dağılım özellikleriçarpmalar bir polinoma, bir monom ve bir polinomun çarpımına dönüştürülebilir (basitleştirilebilir). Örneğin:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.

Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.

Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.

Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her bir terimi ile diğerinin her bir teriminin çarpımının toplamına özdeştir.

Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı

Bazı ifadelerle cebirsel dönüşümler diğerlerinden daha sık uğraşmak zorunda kalıyoruz. Belki de en yaygın ifadeler $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ ve $a^2 - b^2 $, yani toplamın karesi, karelerin farkı ve farkı. İsimlere dikkat ettiniz mi? belirtilen ifadeler sanki tamamlanmamış gibi, örneğin $(a + b)^2 $ elbette sadece toplamın karesi değil aynı zamanda a ve b toplamının da karesidir. Ancak a ve b toplamının karesi kural olarak çok sık görülmez; a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.

$(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ ifadeleri kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir), aslında polinomları çarparken böyle bir görevle zaten karşılaştınız; :
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - toplamın karesi toplamına eşit kareler ve ürünü ikiye katlayın.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - farkın karesi, çift çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.

Bu üç kimlik, dönüşümlerde sol kısımların sağ kısımlarla ve sağ kısımların da sol kısımlarla değiştirilmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.

Polinomlarla yapılan işlemlerden biri, bir polinomu bir polinomla çarpmaktır. Bu makalede bu tür çarpma kuralını ele alacağız ve bunu problemlerin çözümünde uygulayacağız.

Bir polinomu bir polinomla çarpma kuralı

a + b ve olmak üzere iki polinom tanımlayalım. c + d ve bunların çarpımını gerçekleştirin.

Her şeyden önce, orijinal polinomların çarpımını yazıyoruz: polinomları daha önce parantez içine almış olarak aralarına bir çarpma işareti koyuyoruz. Şunu elde ederiz: (a + b) (c + d). Şimdi çarpanı gösterelim (c+d) Nasıl X, o zaman ifade şöyle görünecektir: (a + b)x esasen bir polinom ile bir monomiyalin çarpımıdır. Çarpma işlemini yapalım: (a + b) x = a x + b x ve ardından tekrar değiştirin X(c + d) üzerinde : a · (c + d) + b · (c + d) . Ve yine bir polinomu bir monomla çarpma kuralını uygulayarak ifadeyi şuna dönüştürürüz: a · c + a · d + b · c + b · d. Özetlemek gerekirse: verilen polinomların çarpımı a+b Ve c + d eşitliğe karşılık gelir (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.

Yukarıda sunduğumuz gerekçe, önemli sonuçlara varmayı mümkün kılmaktadır:

Bir polinomun bir polinomla çarpılmasının sonucu bir polinomdur. Bu ifade herhangi bir çarpılabilir polinom için doğrudur.
Polinomların çarpımı, bir polinomun her teriminin diğerinin her terimiyle çarpımının toplamıdır. Aşağıdakileri içeren polinomları çarparken bunu nereden çıkarabiliriz? M Ve N buna göre üyeler, üyelerin belirtilen çarpımlarının toplamı aşağıdakilerden oluşur: m nşartlar.

Artık polinomları çarpma kuralını formüle edebiliriz:

Tanım 1

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini başka bir polinomun her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımların toplamını bulmanız gerekir.

Bir polinomu bir polinomla çarpma örnekleri

İÇİNDE pratik çözüm Polinomların çarpımını bulma problemleri birkaç ardışık eyleme ayrıştırılır:

çarpılmış polinomların çarpımının kaydedilmesi (polinomlar parantez içine alınır ve aralarına çarpma işareti yazılır);
birinci polinomun her teriminin çarpımlarının toplamının ikincinin her terimiyle elde edilmesi. Bu amaçla, birinci polinomun birinci terimi ikinci polinomun her terimiyle çarpılır, ardından birinci polinomun ikinci terimi ikinci polinomun her terimiyle çarpılır ve bu şekilde devam eder;
mümkünse, elde edilen toplam standart formda bir polinom olarak yazılır.

Örnek 1

Polinomlar verilir: 2 − 3 x Ve x 2 − 7 x + 1

Çözüm

Orijinal polinomların çarpımını yazalım. Şunu elde ederiz: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1).

Bir sonraki adım polinomun her teriminin çarpımlarının toplamını derlemektir. 2 − 3 x polinomun her terimi için x 2 − 7 x + 1. Daha yakından bakalım: birinci polinomun ilk terimini (2 sayısı) ikinci polinomun her terimiyle çarparsak şunu elde ederiz: 2 x 2, 2 (− 7 x) ve 2 1. Daha sonra birinci polinomun ikinci terimini ikinci polinomun her terimiyle çarparız ve şunu elde ederiz: − 3 x x 2, − 3 x (− 7 x) ve − 3 x 1. Ortaya çıkan tüm ifadeleri bir toplam halinde topluyoruz: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1.

Herhangi bir terimin çarpımını kaçırıp kaçırmadığımızı kontrol edelim: Bunu yapmak için yazılı toplamdaki terim sayısını yeniden hesaplıyoruz, 6 elde ediyoruz. Bu doğrudur çünkü orijinal polinomlar 2 ve 3 terimden oluşur ve toplam 6 olur.

Son adım, kaydedilen toplamı standart formun bir polinomuna dönüştürmektir: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3

Kısaca açıklama yapmadan çözüm şöyle görünecektir:

(2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3

Cevap: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3.

Orijinal polinomlar verildiğinde şunu açıklığa kavuşturalım: standart olmayan form, çalışmalarını bulmadan önce bunları standart bir forma getirmeniz tavsiye edilir. Sonuç elbette aynı olacaktır ancak çözüm daha uygun ve daha kısa olacaktır.

Örnek 2

Verilen polinomlar 1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x y x ve x y - 1. Onların işini bulmalısın.

Çözüm

Verilen polinomlardan biri standart olmayan biçimde yazılmıştır. Bunu standart forma getirerek düzeltelim:

1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x x y x = - 3 7 x 2 + 3 x - 2 7 x 2 y = = - 3 7 x 2 y - 2 7 x 2 y + 3 x = - 5 7 x 2 y + 3 x

Şimdi gerekli ürünü bulalım:

5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = = - 5 7 x 2 y x y - 5 7 x 2 y (- 1) + 3 x x · y + 3 · x · (- 1) = = - 5 7 · x 3 · y 2 + 5 7 · x 2 · y + 3 · x 2 · y - 3 · x = - 5 7 · x 3 · y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

Cevap:- 5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = - 5 7 x 3 y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

Son olarak üç veya daha fazla polinomun çarpılmasının gerekli olduğu durumu açıklığa kavuşturalım. Bu durumda çarpımı bulmak polinomların ardışık olarak ikiyle çarpılmasına indirgenir: yani. İlk olarak ilk iki polinom çarpılır; elde edilen sonuç üçüncü polinomla çarpılır; bu çarpmanın sonucu dördüncü polinomdur ve bu şekilde devam eder.

Örnek 3

Polinomlar verilmiştir: x 2 + x · y − 1 , x + y ve 2 · y − 3 . Onların işini bulmalısın.

Çözüm

Çalışmayı kaydedelim: (x 2 + x y - 1) (x + y) (2 y - 3).

İlk iki polinomu çarparsak şunu elde ederiz: (x 2 + x y − 1) (x + y) = x 2 x + x 2 y + x y x + x y y − 1 x − 1 · y = = x 3 + 2 · x 2 · y + x · y 2 - x - y .

Eserin ilk kaydı şu şekli alır: (x 2 + x · y − 1) · (x + y) · (2 · · y − 3) = (x 3 + 2 · x 2 · y + x · y 2 − x − y) · (2 · y - 3).

Bu çarpımın sonucunu bulalım:

(x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3) = = x 3 2 y + x 3 (− 3) + 2 x 2 y 2 y + 2 x 2 y (− 3 ) + x y 2 2 y + + x y 2 (− 3) − x 2 y − x (− 3) − y · 2 · y − y · (− 3) = = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 − 6 · x 2 · y + 2 · x · y 3 - − 3 x x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 y

Cevap:

(x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = 2 x 3 y − 3 x 3 + 4 x 2 y 2 − 6 x 2 y + + 2 x y 3 − 3 x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 y

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Polinomların çarpımını hesaplama kuralı.

Polinomların çarpımını ele almak için öncelikle bir monomimin bir polinomla nasıl çarpılacağını hatırlayalım.

Bir monom ile bir polinomun çarpımı şu şekilde bulunur:

bir monom ve bir polinomun çarpımı oluşur.
Parantez açılıyor.
sayılar aynı olan sayılarla gruplandırılmıştır değişkenler arkadaş bir arkadaşımla.
sayılar çarpılır ve karşılık gelen özdeş değişkenlerin kuvvetleri toplanır.

Şimdi bir örnek kullanarak iki polinomun çarpımını ele alalım:

Örnek 1

$x-y+z$ polinomunu $\(xy)^5+y^6-(xz)^5$ polinomuyla çarpalım.

İlk önce polinomların çarpımını yazalım:

\[\left(x-y+z\right)((xy)^5+y^6-(xz)^5)\]

Aşağıdaki değişimi yapalım. $x-y+z=t$ olsun, şunu elde ederiz:

Bir monom ve bir polinomun çarpımını elde ettik. Yukarıda belirtilen kuralı kullanarak bulalım.

Parantezleri genişletelim:

Ters yerine koyma işlemi yapalım:

\[(\left(x-y+z\right)xy)^5+(\left(x-y+z\right)y)^6-(\left(x-y+z\right)xz) ^5\]

İÇİNDE bu ifade tek terimlilerin ve bir polinomun üç çarpımının varlığını görüyoruz. Yukarıdaki kuralı kullanarak bunları ayrı ayrı bulalım:

\[(\left(x-y+z\right)xy)^5=x(xy)^5-y(xy)^5+z(xy)^5=(x^2y)^5-(xy )^6+z(xy)^5\] \[(\left(x-y+z\right)y)^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7 +zy^6\] \[(\left(x-y+z\right)xz)^5=x(xz)^5-y(xz)^5+z(xz)^5=x^2z^ 5-xyz^5+(xz)^6\]

İfademizi yeniden yazalım:

\[\left((x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5\right)+\left(xy^6-y^7+zy^6\right)-(x^ 2z^5-xyz^5+(xz)^6)\]

Parantezleri açalım. Parantezlerin önünde artı işareti varsa parantez içindeki işaretler değişmeden kalacağını, parantezlerin önünde eksi işareti varsa parantez içindeki işaretlerin ters yönde değişeceğini hatırlatalım. . Aldık

\[(x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6 \]

Bir polinomumuz var. Geriye kalan tek şey onu standart bir forma getirmek. Toplamda cevap şu olacaktır:

\[(x^2y)^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6\]

Elde edilen sonuca daha yakından baktığımızda şunu elde ederiz: sonraki kural bir polinomun bir polinomla çarpılması:

Kural: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, birinci polinomun her terimini ikinci polinomun her terimiyle çarpmak, elde edilen çarpımları eklemek ve elde edilen polinomu standart forma indirgemek gerekir.

Örnek 2

$2x+y$ ile $x^2+2y+3$'ı çarpın.

Ürünü yazalım:

\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]

\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]

Ortaya çıkan polinomun sahip olduğunu görüyoruz. standart görünüm sonra çarpma işlemi tamamlanır.