Doğal logaritmayı anlayalım. Ek: e'nin doğal logaritması

Logaritma verilen numara başka bir sayının yükseltilmesi gereken üsse denir. temel Bu sayıyı elde etmek için logaritma. Örneğin 100'ün 10 tabanındaki logaritması 2'dir. Yani 100'ü elde etmek için 10'un karesi alınmalıdır (10 2 = 100). Eğer N– belirli bir sayı, B– taban ve ben– logaritma, o halde b ben = n. Sayı N taban antilogaritma olarak da adlandırılır B sayılar ben. Örneğin 2'nin 10 tabanına göre antilogaritması 100'e eşittir. Bu, ilişkiler günlüğü şeklinde yazılabilir. bn = ben ve antilog b l = N.

Logaritmanın temel özellikleri:

Herhangi pozitif sayı, birlik dışında logaritmanın temeli olabilir, ancak ne yazık ki şu şekilde ortaya çıkıyor: B Ve N rasyonel sayılardır, o zaman nadir durumlarda böyle bir rasyonel sayı vardır ben, Ne b ben = n. Ancak belirlemek mümkün irrasyonel sayı benörneğin, öyle ki 10 ben= 2; bu irrasyonel bir sayı ben gerekli herhangi bir doğrulukla yaklaşık olarak tahmin edilebilir rasyonel sayılar. Verilen örnekte ortaya çıkıyor ben yaklaşık olarak 0,3010'a eşittir ve 2'nin 10 tabanlı logaritmasının bu yaklaşımı dört basamaklı tablolarda bulunabilir ondalık logaritmalar. 10 tabanlı logaritmalar (veya 10 tabanlı logaritmalar) hesaplamalarda o kadar yaygın olarak kullanılır ki bunlara denir. sıradan logaritmalar ve log2 = 0,3010 veya log2 = 0,3010 olarak yazılır, logaritmanın tabanının açık göstergesi atlanır. Tabana göre logaritmalar e, aşkın sayı yaklaşık olarak 2,71828'e eşit olanlara denir doğal logaritmalar. Esas olarak şu konulardaki çalışmalarda bulunurlar: matematiksel analiz ve uygulamaları çeşitli bilimler. Doğal logaritmalar da tabanı açıkça belirtmeden, ancak özel ln gösterimi kullanılarak yazılır: örneğin, ln2 = 0,6931, çünkü e 0,6931 = 2.

Sıradan logaritma tablolarının kullanılması.

Bir sayının normal logaritması, belirli bir sayıyı elde etmek için 10'a yükseltilmesi gereken bir üstür. 10 0 = 1, 10 1 = 10 ve 10 2 = 100 olduğundan, hemen log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 vb. değerlerini elde ederiz. 10'un tamsayı kuvvetlerini arttırmak için. Benzer şekilde, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 ve dolayısıyla log0,1 = –1, log0,01 = –2, vb. tüm tamsayılar için negatif güçler 10. Geriye kalan sayıların olağan logaritmaları, 10 sayısının en yakın tamsayı kuvvetlerinin logaritmaları arasında bulunur; log2 0 ile 1 arasında, log20 1 ile 2 arasında ve log0.2 -1 ile 0 arasında olmalıdır. Dolayısıyla logaritma bir tam sayı ve bir tamsayı olmak üzere iki bölümden oluşur. ondalık, 0 ile 1 arasında yer alır. Tamsayı kısmına denir karakteristik logaritma ve sayının kendisi tarafından belirlenir, kesir isminde mantis ve tablolardan bulunabilir. Ayrıca log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2'nin logaritması 0,3010'dur, yani log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Benzer şekilde log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Çıkarma işleminden sonra log0.2 = – 0.6990 elde ederiz. Ancak log0.2'yi 0,3010 – 1 veya 9,3010 – 10 olarak temsil etmek daha uygundur; formüle edilebilir ve Genel kural: Belirli bir sayının 10'un kuvvetleriyle çarpılmasıyla elde edilen tüm sayılar aynı mantislere sahiptir, mantislere eşittir verilen numara. Çoğu tablo, 1'den 10'a kadar olan aralıktaki sayıların mantislerini gösterir, çünkü diğer tüm sayıların mantisleri tabloda verilenlerden elde edilebilir.

Çoğu tabloda logaritmalar dört veya beş ile verilir. ondalık sayılar, yedi basamaklı tablolar ve daha da fazla sayıda karaktere sahip tablolar olmasına rağmen. Bu tür tabloların nasıl kullanılacağını öğrenmenin en kolay yolu örneklerdir. Log3.59'u bulmak için öncelikle 3.59 sayısının 10 0 ile 10 1 arasında olduğunu, yani karakteristiğinin 0 olduğunu not ediyoruz. Tabloda 35 sayısını (solda) buluyoruz ve satır boyunca üst kısmında 9 rakamı bulunan sütun; bu sütun ile 35. satırın kesişimi 5551'dir, yani log3.59 = 0.5551. Dörtlü bir sayının mantisini bulmak için önemli rakamlar, enterpolasyona başvurmak gerekir. Bazı tablolarda enterpolasyon, tabloların her sayfasının sağ tarafındaki son dokuz sütunda verilen oranlar sayesinde kolaylaştırılmıştır. Şimdi log736.4'ü bulalım; 736.4 sayısı 10 2 ile 10 3 arasındadır, dolayısıyla logaritmasının özelliği 2'dir. Tabloda solunda 73 ve 6 numaralı sütunların bulunduğu bir satır buluyoruz. Bu satır ile bu sütunun kesişiminde 8669 sayısı. Doğrusal parçalar arasında bulduğumuz sütun 4 73. satır ile 4. sütunun kesişiminde 2 sayısı bulunur. 8669'a 2 ekleyerek mantis elde ederiz - 8671'e eşittir. Böylece log736.4 = 2,8671.

Doğal logaritmalar.

Doğal logaritmanın tabloları ve özellikleri, sıradan logaritmanın tabloları ve özelliklerine benzer. Her ikisi arasındaki temel fark, doğal logaritmanın tam sayı kısmının konumu belirlemede anlamlı olmamasıdır. ondalık nokta ve bu nedenle mantis ile karakteristik arasındaki fark özel bir rol oynamaz. 5.432 sayısının doğal logaritması; 54,32 ve 543,2 sırasıyla 1,6923'e eşittir; 3,9949 ve 6,2975. Bu logaritmalar arasındaki ilişki, aralarındaki farklara bakıldığında daha da netleşecektir: log543.2 – log54.32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; son numara 10 sayısının doğal logaritmasından başka bir şey değildir (şu şekilde yazılır: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; son sayı 2ln10'dur. Ancak 543,2 = 10'54,32 = 10 2'5,432. Böylece, belirli bir sayının doğal logaritmasına göre A sayıların doğal logaritmasını bulabilirsiniz, ürünlere eşit sayılar A herhangi bir derece için N 10 sayısı ln ise A ln10 ile çarpılarak ekle N, yani In( Aґ10N) = günlük A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Örneğin, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Bu nedenle, doğal logaritma tabloları, sıradan logaritma tabloları gibi, genellikle yalnızca 1'den 10'a kadar sayıların logaritmasını içerir. Doğal logaritma sisteminde antilogaritmalardan söz edilebilir, ancak daha sıklıkla üstel bir fonksiyondan veya üs hakkında konuşurlar. Eğer X= günlük sen, O sen = eski, Ve senüssü denir X(tipografik kolaylık sağlamak için sıklıkla yazarlar sen= deneyim X). Üs, sayının antilogaritmasının rolünü oynar X.

Ondalık ve doğal logaritma tablolarını kullanarak, 10 ve 10 dışında herhangi bir tabanda logaritma tabloları oluşturabilirsiniz. e. Günlük ise ba bir = X, O b x = A ve bu nedenle günlük cbx=günlük CA veya X kayıt cb=günlük CA, veya X=günlük CA/kayıt cb=günlük ba bir. Bu nedenle, temel logaritma tablosundan bu ters çevirme formülünü kullanarak C başka herhangi bir tabanda logaritma tabloları oluşturabilirsiniz B. Çarpan 1/günlük cb isminde geçiş modülü tabandan C tabana B. Örneğin ters çevirme formülünün kullanılmasını veya bir logaritma sisteminden diğerine geçişi, sıradan logaritma tablosundan doğal logaritmaların bulunmasını veya ters geçiş yapılmasını hiçbir şey engellemez. Örneğin, log105.432 = log e 5.432/günlük e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Sıradan bir logaritma elde etmek için belirli bir sayının doğal logaritmasının çarpılması gereken 0,4343 sayısı, sıradan logaritma sistemine geçiş modülüdür.

Özel tablolar.

Logaritmalar başlangıçta özellik loglarını kullanarak icat edildi. ab=günlük A+ günlük B ve kayıt A/B=günlük A-kayıt B, ürünleri toplamlara, bölümleri farklara dönüştürün. Başka bir deyişle, eğer günlük A ve kayıt B biliniyorsa, toplama ve çıkarma işlemlerini kullanarak çarpımın ve bölümün logaritmasını kolayca bulabiliriz. Ancak astronomide sıklıkla verilen değerler kayıt A ve kayıt B günlüğü bulmamız gerekiyor( A + B) veya günlük( A – B). Elbette ilk olarak logaritma tablolarından bulunabilir. A Ve B, daha sonra belirtilen toplama veya çıkarma işlemini gerçekleştirin ve tekrar tablolara dönerek gerekli logaritmaları bulun, ancak böyle bir prosedür tablolara üç kez bakmayı gerektirir. Z. Leonelli, 1802'de sözde tabloları yayınladı. Gauss logaritmaları– toplamların ve farkların eklenmesi için logaritmalar – bu da tablolara tek bir erişimin sınırlandırılmasını mümkün kıldı.

1624'te I. Kepler tablolar önerdi orantılı logaritmalar, yani sayıların logaritmaları A/X, Nerede A– biraz olumlu devamlı. Bu tablolar öncelikle gökbilimciler ve gezginler tarafından kullanılır.

Orantılı logaritmalar A= 1 denir logaritmalara göre ve çarpımlar ve bölümlerle uğraşmak gerektiğinde hesaplamalarda kullanılır. Bir sayının kologaritması N logaritmaya eşit karşılıklı sayı; onlar. kolonya N= günlük1/ N= – günlük N. Log2 = 0,3010 ise, colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Koloaritma kullanmanın avantajı, aşağıdaki gibi ifadelerin logaritmasının değerini hesaplarken olmasıdır. pq/R pozitif ondalık sayıların üçlü toplamı günlüğü P+ günlük Q+kolog R karışık toplam ve fark logunu bulmaktan daha kolaydır P+ günlük Q-kayıt R.

Hikaye.

Herhangi bir logaritma sisteminin altında yatan prensip çok uzun zamandır bilinmektedir ve kökeni eski Babil matematiğine (MÖ 2000 civarı) kadar uzanabilmektedir. O günlerde aralarında enterpolasyon vardı. tablo değerleri tüm pozitif derece hesaplamak için tamsayılar kullanıldı bileşik faiz. Çok daha sonra Arşimet (MÖ 287-212) 108'in kuvvetlerini kullanarak üst sınır O zamanlar bilinen Evreni tamamen doldurmak için gereken kum tanesi sayısı. Arşimed, logaritmanın etkinliğinin altında yatan üslü sayılar özelliğine dikkat çekti: kuvvetlerin çarpımı üslerin toplamına karşılık gelir. Orta Çağ'ın sonu ve modern çağın başlangıcında matematikçiler giderek geometrik ve aritmetik ilerlemeler arasındaki ilişkiye yönelmeye başladılar. M. Stiefel makalesinde Tamsayı Aritmetiği(1544) 2 sayısının pozitif ve negatif kuvvetlerinin bir tablosunu verdi:

Stiefel, ilk satırdaki (üs satırı) iki sayının toplamının, alt satırdaki (üs satırı) karşılık gelen iki sayının çarpımına karşılık gelen iki üssüne eşit olduğunu fark etti. Bu tabloyla bağlantılı olarak Stiefel dört kurala eşdeğer dört kural formüle etti. modern kurallarüslü sayılar üzerinde işlemler veya logaritma işlemleri için dört kural: üst satırdaki toplam, alt satırdaki çarpıma karşılık gelir; üst satırdaki çıkarma işlemi alt satırdaki bölme işlemine karşılık gelir; üst satırdaki çarpma, alt satırdaki üstel sayıya karşılık gelir; Üst satırdaki bölünme, alt satırdaki köklenmeye karşılık gelir.

Görünen o ki, Stiefel'in kurallarına benzer kurallar, J. Naper'in çalışmalarında ilk logaritma sistemini resmi olarak tanıtmasına yol açmıştır. Şaşırtıcı logaritma tablosunun açıklaması Ancak Napier'in düşünceleri, çarpımları toplamlara dönüştürme sorunuyla meşguldü; o zamandan beri, çalışmasının yayınlanmasından on yıldan fazla bir süre önce Napier, Danimarka'dan Tycho Brahe Gözlemevi'nde asistanlarının bunu yapan bir yönteme sahip olduğuna dair haber aldı. Ürünleri toplamlara dönüştürmek mümkündür. Napier'in aldığı mesajda bahsedilen yöntem, kullanıma dayanıyordu. trigonometrik formüller tip

bu nedenle Naper'in tabloları esas olarak trigonometrik fonksiyonların logaritmasından oluşuyordu. Her ne kadar Napier tarafından önerilen tanımda taban kavramı açıkça yer almasa da, onun sisteminde logaritma sisteminin tabanına eşdeğer rol, yaklaşık olarak 1/'e eşit olan (1 – 10 –7)`10 7 sayısı tarafından oynanıyordu. e.

Naper'den bağımsız olarak ve neredeyse onunla eşzamanlı olarak, tip olarak oldukça benzer bir logaritma sistemi J. Bürgi tarafından Prag'da icat edildi ve yayınlandı, 1620'de yayınlandı. Aritmetik ve geometrik ilerleme tabloları. Bunlar (1 + 10 –4) ґ10 4 tabanına göre antilogaritma tablolarıydı; sayının oldukça iyi bir tahmini e.

Naper sisteminde 10 7 sayısının logaritması sıfır alınmış, sayılar azaldıkça logaritmalar artmaktaydı. G. Briggs (1561–1631) Napier'i ziyaret ettiğinde her ikisi de 10 sayısını taban olarak kullanmanın ve birin logaritmasını sıfır olarak kabul etmenin daha uygun olacağı konusunda hemfikirdi. Daha sonra sayılar arttıkça logaritmaları da artacaktır. Yani elimizde modern sistem Briggs'in çalışmasında yayınladığı bir tablo olan ondalık logaritmalar Logaritmik aritmetik(1620). Tabana göre logaritmalar e Her ne kadar tam olarak Naper tarafından tanıtılanlar olmasa da, genellikle Naper's olarak anılırlar. "Karakteristik" ve "mantis" terimleri Briggs tarafından önerildi.

Yürürlükte olan ilk logaritmalar tarihsel nedenler sayılara yönelik kullanılan yaklaşımlar 1/ e Ve e. Bir süre sonra doğal logaritma fikri hiperbol altındaki alanların incelenmesiyle ilişkilendirilmeye başlandı. xy= 1 (Şekil 1). 17. yüzyılda bu eğrinin sınırladığı alanın, eksenin olduğu gösterildi X ve koordinatlar X= 1 ve X = A(Şekil 1'de bu alan daha kalın ve seyrek noktalarla kaplıdır) aritmetik ilerleme, Ne zaman A artışlar geometrik ilerleme. Üslü ve logaritmalı işlemlere ilişkin kurallarda ortaya çıkan tam da bu bağımlılıktır. Bu, Naperian logaritmalarının "hiperbolik logaritmalar" olarak adlandırılmasına yol açtı.

Logaritmik fonksiyon.

Logaritmanın yalnızca bir hesaplama aracı olarak kabul edildiği bir dönem vardı, ancak 18. yüzyılda esas olarak Euler'in çalışmaları sayesinde bu kavram oluştu. logaritmik fonksiyon. Böyle bir fonksiyonun grafiği sen= günlük X Koordinatları aritmetik bir ilerlemeyle artarken apsisleri geometrik bir ilerlemeyle artan Şekil 2'de gösterilmektedir. 2, A. Ters veya üstel bir fonksiyonun grafiği y = ex Geometrik ilerlemede koordinatları artan ve aritmetik ilerlemede apsisleri artan, sırasıyla Şekil 2'de gösterilmektedir. 2, B. (Eğriler sen=günlük X Ve sen = 10Xşekil olarak eğrilere benzer sen= günlük X Ve sen = eski.) Logaritmik fonksiyonun alternatif tanımları da önerilmiştir;

kpı; ve benzer şekilde -1 sayısının doğal logaritmaları (2) biçimindeki karmaşık sayılardır. k + 1)pi, Nerede k- Bir tam sayı. Benzer ifadeler genel logaritmalar veya diğer logaritma sistemleri için de geçerlidir. Ek olarak, logaritmanın tanımı, karmaşık sayıların karmaşık logaritmasını içerecek şekilde Euler kimlikleri kullanılarak genelleştirilebilir.

Logaritmik bir fonksiyonun alternatif bir tanımı fonksiyonel analizle sağlanır. Eğer F(X) – sürekli fonksiyon gerçek Numara X aşağıdaki üç özelliğe sahiptir: F (1) = 0, F (B) = 1, F (UV) = F (sen) + F (v), O F(X) sayının logaritması olarak tanımlanır X dayalı B. Bu tanımın, bu makalenin başında verilen tanıma göre birçok avantajı vardır.

Uygulamalar.

Logaritmalar başlangıçta yalnızca hesaplamaları basitleştirmek için kullanıldı ve bu uygulama hala en önemlilerinden biridir. Çarpımların, bölümlerin, kuvvetlerin ve köklerin hesaplanması, yalnızca yayınlanmış logaritma tablolarının geniş çapta bulunmasıyla değil, aynı zamanda sözde kullanımıyla da kolaylaştırılmıştır. sürgülü hesap cetveli– çalışma prensibi logaritmanın özelliklerine dayanan bir hesaplama aracı. Cetvel logaritmik ölçeklerle donatılmıştır; 1 numaradan herhangi bir numaraya olan mesafe X loga eşit olacak şekilde seçilmiş X; Bir ölçeği diğerine göre kaydırarak, logaritmaların toplamlarını veya farklarını çizmek mümkündür; bu, ilgili sayıların çarpımlarını veya bölümlerini doğrudan ölçekten okumayı mümkün kılar. Sayıları temsil etmenin avantajlarından yararlanın logaritmik form izin verir vb. grafikleri çizmek için logaritmik kağıt (her iki koordinat ekseninde üzerine logaritmik ölçekler basılmış kağıt). Bir fonksiyon formun güç yasasını karşılıyorsa y = kxn, sonra onu logaritmik grafik düz bir çizgiye benziyor çünkü kayıt sen=günlük k + N kayıt X– loga göre doğrusal denklem sen ve kayıt X. Aksine, eğer bazı fonksiyonel bağımlılığın logaritmik grafiği düz bir çizgi gibi görünüyorsa, bu bağımlılık bir kuvvettir. Semilogaritmik kağıt (ordinat ekseninin olduğu logaritmik ölçek ve apsis ekseni tekdüze bir ölçektir) üstel fonksiyonları tanımlamanın gerekli olduğu durumlarda uygundur. Formun denklemleri y = kb rx Nüfus, miktar gibi belirli bir miktar ortaya çıktığında radyoaktif malzeme veya banka bakiyesi, mevcut miktarla orantılı bir oranda azalır veya artar şu an sakinlerin sayısı, radyoaktif madde veya para. Böyle bir bağımlılık yarı logaritmik kağıda çizilirse grafik düz bir çizgi gibi görünecektir.

Logaritmik fonksiyon, çok çeşitli doğal formlarla bağlantılı olarak ortaya çıkar. Ayçiçeği salkımlarındaki çiçekler logaritmik spiraller halinde düzenlenir, yumuşakça kabukları bükülür Nautilus, dağ koyunu boynuzları ve papağan gagaları. Bu doğal şekillerin tümü, logaritmik spiral olarak bilinen bir eğrinin örnekleri olarak hizmet edebilir, çünkü kutup sistemi koordinatlar, denklemi şu şekildedir r = ae bq, veya ln R= günlük A + bq. Böyle bir eğri, kutuptan uzaklığı geometrik ilerlemeyle artan ve yarıçap vektörüyle tanımlanan açı aritmetik ilerlemeyle artan hareketli bir noktayla tanımlanır. Böyle bir eğrinin ve dolayısıyla logaritmik fonksiyonun her yerde bulunması, bu kadar uzak ve tamamen uzak görünmesi gerçeğiyle iyi bir şekilde gösterilmektedir. Çeşitli bölgeler eksantrik bir kamın dış hatları ve ışığa doğru uçan bazı böceklerin yörüngesi gibi.

Doğal logaritmanın temel özellikleri, grafik, tanım bölgesi, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, açılımı güç serisi ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak temsili.

Tanım

Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, üstel sayının tersi, x = e y ve e sayısının tabanının logaritmasıdır: ln x = log e x.

Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.

Temelli tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

y = fonksiyonunun grafiği x olarak.

Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak) üstel grafikten elde edilir aynadaki görüntü y = x düz çizgisine göre.

Doğal logaritma şu şekilde tanımlanır: pozitif değerler değişken x. Tanım alanında monoton bir şekilde artar.

x'te → 0 doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞).

x → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın limiti artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Herhangi güç fonksiyonu Pozitif üssü a olan x a, logaritmadan daha hızlı büyür.

Doğal logaritmanın özellikleri

Tanım alanı, değerler kümesi, ekstrema, artış, azalma

Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.

lnx değerleri

1 = 0

Doğal logaritmalar için temel formüller

Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki formüller:

Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları

Baz değiştirme formülü

Herhangi bir logaritma, baz ikame formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:

Bu formüllerin ispatları Logaritma bölümünde sunulmuştur.

Ters fonksiyon

Doğal logaritmanın tersi üstür.

Eğer öyleyse

Eğer öyleyse.

Türev lnx

Doğal logaritmanın türevi:
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >

İntegral

İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
.
Bu yüzden,

Karmaşık sayılar kullanan ifadeler

Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla R ve argüman φ :
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.

Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.

Kuvvet serisi genişletmesi

Genişleme gerçekleştiğinde:

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

sıklıkla bir numara alırım e = 2,718281828 . Bu tabana dayalı logaritmalara denir doğal. Doğal logaritmalarla hesaplama yaparken işaretle işlem yapmak yaygındır. benN, Ama değil kayıt; sayı iken 2,718281828 temeli tanımlayanlar belirtilmemiştir.

Başka bir deyişle formül şöyle görünecektir: doğal logaritma sayılar X- bu bir göstergedir derece bu sayının yükseltilmesi gerekiyor e, Elde etmek üzere X.

Bu yüzden, ln(7,389...)= 2, çünkü e 2 =7,389... . Doğal logaritma sayının kendisi e= 1 çünkü e 1 =e ve birliğin doğal logaritması sıfıra eşit, Çünkü e 0 = 1.

Sayının kendisi e monotonik sınırlı bir dizinin limitini tanımlar

öyle hesaplanıyor e = 2,7182818284... .

Çoğu zaman, hafızadaki bir sayıyı sabitlemek için, gerekli sayının rakamları bazı olağanüstü tarihlerle ilişkilendirilir. Bir sayının ilk dokuz hanesini ezberleme hızı e 1828'in Leo Tolstoy'un doğum yılı olduğunu fark ederseniz, virgülden sonra artacaktır!

Bugün yeterince var dolu tablolar doğal logaritmalar.

Takvim doğal logaritma(işlevler y =x olarak) bir sonuçtur grafik Sanatlarıüsler düz çizgiye göre ayna yansımalarıdır y = x ve şu forma sahiptir:

Doğal logaritma her olumlu için bulunabilir gerçek Numara A eğrinin altındaki alan olarak sen = 1/X itibaren 1 önce A.

Doğal logaritmanın yer aldığı diğer birçok formülle tutarlı olan bu formülasyonun temel yapısı, “doğal” isminin oluşmasına neden olmuştur.

Eğer analiz edersen doğal logaritma , gerçek gibi işlev gerçek değişken, o zaman harekete geçer ters fonksiyon kimliklere indirgenen üstel bir fonksiyona:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Tüm logaritmalara benzer şekilde, doğal logaritma çarpmayı toplamaya, bölmeyi çıkarmaya dönüştürür:

içinde(xy) = içinde(X) + içinde(sen)

içinde(x/y)= lnx - ben

Logaritma sadece bire eşit olmayan her pozitif taban için bulunabilir. e, ancak diğer tabanlara ilişkin logaritmalar yalnızca doğal logaritmalardan farklıdır sabit çarpan ve genellikle doğal logaritma cinsinden tanımlanır.

Analiz ettikten sonra takvim doğal logaritma, değişkenin pozitif değerleri için var olduğunu bulduk X. Tanım alanında monoton bir şekilde artar.

Şu tarihte: X → 0 doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur ( -∞ ). x → +∞ doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur ( + ∞ ). Genel olarak X Logaritma oldukça yavaş artar. Herhangi güç fonksiyonu xa pozitif bir üs ile A logaritmadan daha hızlı artar. Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur.

Kullanım doğal logaritmalar geçerken çok mantıklı yüksek Matematik. Bu nedenle, bilinmeyenlerin üs olarak göründüğü denklemlerin cevabını bulmak için logaritmanın kullanılması uygundur. Hesaplamalarda doğal logaritmaların kullanılması, hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirmeyi mümkün kılar çok sayıda matematiksel formüller. Tabana göre logaritmalar e Önemli bir sayıyı çözerken mevcut fiziksel problemler ve doğal olarak içine girin matematiksel açıklama bireysel kimyasal, biyolojik ve diğer süreçler. Bu nedenle, bilinen bir yarı ömür için bozunma sabitini hesaplamak veya radyoaktivite problemlerini çözerken bozunma süresini hesaplamak için logaritmalar kullanılır. Performans sergiliyorlar başrol Matematiğin birçok dalında ve pratik bilimlerçözmek için finans alanında başvurulmaktadır. çok sayıda Bileşik faizin hesaplanması da dahil olmak üzere görevler.

Hiç de fena değil, değil mi? Matematikçiler size uzun, kafa karıştırıcı bir tanım verecek kelimeleri ararken, gelin bu basit ve anlaşılır tanıma daha yakından bakalım.

E sayısı büyüme anlamına gelir

E sayısı sürekli büyüme anlamına gelir. Önceki örnekte gördüğümüz gibi, e x faiz ile zamanı birbirine bağlamamızı sağlar: "bileşik faiz" varsayımıyla, %100 büyümede 3 yıl, %300 büyümede 1 yıl ile aynıdır.

Herhangi bir yüzde ve zaman değerini (4 yıl için %50) değiştirebilirsiniz, ancak kolaylık olması açısından yüzdeyi %100 olarak ayarlamak daha iyidir (2 yıl için %100 olur). %100'e geçerek yalnızca zaman bileşenine odaklanabiliriz:

e x = e yüzde * zaman = e 1,0 * zaman = e zaman

Açıkçası e x şu anlama gelir:

• x birim zaman sonra katkım ne kadar artacak (%100 sürekli büyüme varsayılarak).
• örneğin, 3 zaman aralığından sonra e 3 = 20,08 kat daha fazla "şey" alacağım.

e x, x kadar sürede hangi seviyeye büyüyeceğimizi gösteren bir ölçeklendirme faktörüdür.

Doğal logaritma zaman demektir

Doğal logaritma, zıt anlamına gelen süslü bir terim olan e'nin tersidir. Tuhaflıklardan bahsetmişken; Latince'de buna logarithmus naturali denir, dolayısıyla ln kısaltması kullanılır.

Peki bu ters çevirme veya tersi ne anlama geliyor?

• e x, zamanı değiştirmemize ve büyüme elde etmemize olanak tanır.
• ln(x), büyümeyi veya geliri almamıza ve onu oluşturmak için gereken süreyi bulmamıza olanak tanır.

Örneğin:

• e 3 eşittir 20,08. Üç dönem sonra 20,08'e sahip olacağız Üstelik Nerede başladık?
• ln(08/20) yaklaşık 3 olacaktır. 20,08 kat büyümeyle ilgileniyorsanız, 3 zaman dilimine ihtiyacınız olacaktır (yine %100 sürekli büyüme varsayarsak).

Hala okuyor? Doğal logaritma istenilen seviyeye ulaşmak için gereken süreyi gösterir.

Bu standart dışı logaritmik sayım

Logaritma işlemlerini yaptınız mı? garip yaratıklar. Çarpmayı toplamaya dönüştürmeyi nasıl başardılar? Peki çıkarma işlemine bölme işlemine ne dersiniz? Bir göz atalım.

ln(1) neye eşittir? Sezgisel olarak soru şudur: Sahip olduğumdan 1 kat daha fazlasını elde etmek için ne kadar beklemeliyim?

Sıfır. Sıfır. Hiç de bile. Zaten bir kez ona sahipsin. 1. seviyeden 1. seviyeye geçmek çok uzun sürmez.

• günlük(1) = 0

Peki ya kesirli değer? Mevcut miktarın 1/2'sinin kalması ne kadar zaman alır? %100 sürekli büyümede ln(2)'nin iki katına çıkması için gereken süre anlamına geldiğini biliyoruz. Eğer biz hadi zamanı geri çevirelim(yani negatif bir süre bekleyin), o zaman sahip olduğumuzun yarısını alırız.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Mantıklı, değil mi? 0,693 saniyeye geri dönersek mevcut miktarın yarısını buluruz. Genel olarak kesri ters çevirip alabilirsiniz. olumsuz anlam: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Bu, zamanda 1,09 katına gidersek mevcut sayının yalnızca üçte birini bulacağımız anlamına geliyor.

Peki ya negatif bir sayının logaritması? Bir bakteri kolonisinin 1'den -3'e "büyümesi" ne kadar sürer?

Bu imkansız! Negatif bakteri sayımı elde edemezsin, değil mi? Maksimum (yani...minimum) sıfır elde edebilirsiniz, ancak bu küçük yaratıklardan negatif bir sayı almanın hiçbir yolu yoktur. Negatif bir bakteri sayımı mantıklı değil.

• ln(negatif sayı) = tanımsız

"Tanımsız", negatif bir değer elde etmek için beklenmesi gereken sürenin olmadığı anlamına gelir.

Logaritmik çarpma çok komik

Dört kat büyümek ne kadar sürer? Elbette ln(4)'ü de alabilirsiniz. Ama bu çok basit, diğer tarafa gideceğiz.

Dörtlü büyümeyi ikiye katlama (ln(2) birim zaman gerektirir) ve sonra tekrar ikiye katlama (başka bir ln(2) birim zaman gerektirir) olarak düşünebilirsiniz:

• 4 kat büyüme zamanı = ln(4) = İki katına çıkma ve sonra tekrar ikiye katlama zamanı = ln(2) + ln(2)

İlginç. Herhangi bir büyüme oranı, örneğin 20, 10 katlık bir artışın hemen ardından ikiye katlanması olarak değerlendirilebilir. Veya önce 4 kat, sonra 5 kat büyüme. Veya üçe katlanıyor ve ardından 6.666 kat artıyor. Deseni görüyor musun?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A çarpı B'nin logaritması log(A) + log(B)'dir. Bu ilişki, büyüme açısından bakıldığında hemen anlam kazanır.

30 kat büyümeyle ilgileniyorsanız, bir oturuşta ln(30) bekleyebilir veya üçe katlamak için ln(3)'ü ve ardından 10 kat için başka bir ln(10) bekleyebilirsiniz. Son sonuç aynı, dolayısıyla elbette zaman sabit kalmalı (ve öyle kalmalıdır).

Peki ya bölme? Spesifik olarak, ln(5/3) şu anlama gelir: 5 kat büyümek ve sonra bunun 1/3'ünü elde etmek ne kadar sürer?

Harika, 5 kat büyüme ln(5)'tir. 1/3 katlık bir artış -ln(3) birim zaman alacaktır. Bu yüzden,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Bu şu anlama gelir: 5 kat büyümesine izin verin ve ardından bu miktarın yalnızca üçte birinin kaldığı noktaya kadar "zamanda geriye gidin", böylece 5/3 büyüme elde edersiniz. Genel olarak ortaya çıkıyor

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Umarım logaritmaların garip aritmetiği size anlamlı gelmeye başlamıştır: Büyüme hızlarını çarpmak, büyüme zaman birimlerini toplamak, bölmek ise zaman birimlerini çıkarmak olur. Kuralları ezberlemenize gerek yok, anlamaya çalışın.

Keyfi büyüme için doğal logaritmanın kullanılması

Tabii ki,” diyorsunuz, “büyüme yüzde 100 ise her şey yolunda, peki ya benim aldığım yüzde 5?”

Sorun değil. ln() ile hesapladığımız "zaman" aslında faiz oranı ve zamanın bir birleşimidir, x denklemindeki X'in aynısıdır. Basitlik açısından yüzdeyi %100'e ayarlamaya karar verdik, ancak herhangi bir rakamı kullanmakta özgürüz.

Diyelim ki 30 kat büyüme elde etmek istiyoruz: ln(30)'u alın ve 3,4 elde edin Bu şu anlama gelir:

• e x = yükseklik
• e 3,4 = 30

Açıkçası bu denklem "3,4 yılda %100 getiri, 30 kat büyüme sağlar" anlamına geliyor. Bu denklemi şu şekilde yazabiliriz:

• e x = e hız*zaman
• e %100 * 3,4 yıl = 30

Bahis * süresi 3,4 kaldığı sürece “bahis” ve “zaman” değerlerini değiştirebiliriz. Mesela 30 kat büyüme istiyorsak %5 faizde ne kadar beklememiz gerekecek?

• ln(30) = 3,4
• oran * zaman = 3,4
• 0,05 * süre = 3,4
• süre = 3,4 / 0,05 = 68 yıl

Ben şu şekilde mantık yürütüyorum: "ln(30) = 3,4, yani %100 büyümede bu 3,4 yıl sürecektir. Büyüme oranını ikiye katlarsam, gerekli zaman yarıya indirilecek."

• 3,4 yıl için %100 = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 1,7 yılda %200 = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 6,8 yıl için %50 = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 68 yaş üzerinde %5 = 0,05 * 68 = 3,4.

Harika, değil mi? Doğal logaritma, çarpımları sabit kaldığı için herhangi bir faiz oranı ve zamanla kullanılabilir. Değişken değerlerini dilediğiniz kadar taşıyabilirsiniz.

Harika bir örnek: Yetmiş iki kuralı

Yetmiş İki Kuralı, paranızın ikiye katlanmasının ne kadar süreceğini tahmin etmenizi sağlayan matematiksel bir tekniktir. Şimdi onu çıkaracağız (evet!) ve dahası onun özünü anlamaya çalışacağız.

Yıllık %100 bileşik faizle paranızı ikiye katlamanız ne kadar sürer?

Hata. Sürekli büyüme durumu için doğal logaritmayı kullandık ve şimdi siz yıllık bileşik hesaplamadan mı bahsediyorsunuz? Bu formül böyle bir duruma uygun düşmez mi? Evet öyle olacak ama %5, %6 ve hatta %15 gibi reel faiz oranları için yıllık bileşik faiz ile sürekli büyüme arasındaki fark küçük olacaktır. Yani kaba tahmin kabaca işe yarıyor, yani tamamen sürekli bir tahakkuğa sahip olduğumuzu varsayacağız.

Şimdi soru basit: %100 büyümeyle ne kadar hızlı iki katına çıkabilirsiniz? ln(2) = 0,693. Tutarımızın %100 sürekli bir artışla ikiye katlanması 0,693 birim (bizim durumumuzda yıl) alır.

Peki ya faiz oranı %100 değilse %5 veya %10 diyelim?

Kolayca! Bahis * süre = 0,693 olduğundan, tutarı iki katına çıkaracağız:

• oran * zaman = 0,693
• süre = 0,693 / bahis

Büyümenin %10 olması durumunda iki katına çıkmasının 0,693 / 0,10 = 6,93 yıl süreceği ortaya çıktı.

Hesaplamaları basitleştirmek için her iki tarafı da 100 ile çarpalım, o zaman "0,10" yerine "10" diyebiliriz:

• ikiye katlama süresi = 69,3 / bahis, burada bahis yüzde olarak ifade edilir.

Şimdi %5 oranında ikiye katlama zamanı, 69,3/5 = 13,86 yıl. Ancak 69,3 en uygun temettü değildir. 2, 3, 4, 6, 8 ve diğer sayılara bölmeye uygun yakın bir sayı olan 72'yi seçelim.

• ikiye katlama süresi = 72 / bahis

yetmiş iki kuralı budur. Her şey kaplıdır.

Üç katına çıkmak için zaman bulmanız gerekiyorsa ln(3) ~ 109.8'i kullanabilir ve

• Üç katına çıkma süresi = 110 / bahis

Başka ne var faydalı kural. "72 Kuralı" faiz oranlarındaki artış, nüfus artışı, bakteri kültürleri ve katlanarak büyüyen her şey için geçerlidir.

Sıradaki ne?

Umarım doğal logaritma artık sizin için anlamlıdır; herhangi bir sayının büyümesi için gereken süreyi gösterir. üstel büyüme. Bence buna doğal deniyor çünkü e evrensel bir büyüme ölçüsü, yani ln düşünülebilir evrensel bir şekilde Büyümenin ne kadar süreceğini belirlemek.

ln(x)'i her gördüğünüzde, "X kat büyümek için gereken süreyi" hatırlayın. Gelecek yazımda e ve ln'yi birlikte anlatacağım ki havayı matematiğin taze kokusu doldursun.

Ek: e'nin doğal logaritması

Hızlı test: ln(e) nedir?

• bir matematik robotu şunu söyleyecektir: Birbirlerinin tersi olarak tanımlandıkları için ln(e) = 1 olduğu açıktır.
• Anlayan kişi: ln(e), "e" kat büyümek için gereken sayıdır (yaklaşık 2,718). Bununla birlikte, e sayısının kendisi büyümenin 1 faktörüyle ölçüsüdür, dolayısıyla ln(e) = 1'dir.

Açıkça düşünün.