7. sınıfta matematik dersi
| 1. | Tam ad (tam ad) | Trofimenko Nadezhda Pavlovna |
| 2. | İş yeri | Belediye eğitim kurumu "Miloslavskaya okulu" |
| 3. | İş unvanı | Matematik öğretmeni |
| 4. | Öğe | |
| 5. | Sınıf | |
| 6. | Konunun konusu ve ders numarası | Kaldırma ortak çarpan parantez dışında (konu başına 1 ders) |
| 7. | Temel eğitim | Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Shabunin. Genel eğitim kurumları için "Cebir 7. sınıf" ders kitabı. M. Prosveshchenie 2016. |
8. Ders hedefleri
Öğretmen için:
eğitici
eğitim faaliyetleri düzenlemek:
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak ve yapısının mantığını anlamak için algoritmaya hakim olarak;
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak için algoritmayı uygulama becerisini geliştirmek
gelişen
Düzenleme becerilerinin geliştirilmesi için koşullar yaratın:
Kendi hedeflerinizi belirleyin eğitim faaliyetleri;
Hedeflere ulaşmanın yollarını planlayın;
Eylemlerinizi planlanan sonuçlarla ilişkilendirin;
Eğitim faaliyetlerini sonuçlara göre izlemek ve değerlendirmek;
Organize et eğitim işbirliği Ve ortak faaliyetleröğretmen ve arkadaşlarıyla.
- eğitici
Öğrenmeye karşı sorumlu bir tutumun oluşması için koşullar yaratın;
Öğrencilerin eğitim faaliyetlerini organize etme ve yürütmede bağımsızlığının gelişmesi için koşullar yaratın.
İçin koşullar oluşturun vatanseverlik eğitimi
İçin koşullar oluşturun çevre eğitimi
Öğrenciler için:
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak ve yapısının mantığını anlamak için algoritmada ustalaşın;
Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak için algoritmayı uygulama becerisini geliştirmek
9. Kullanılan UUD'ler: düzenleyici (hedef belirleme, faaliyet planlama, kontrol ve değerlendirme)
10.Ders türü: yeni materyal öğrenme
11.Öğrenci çalışma biçimleri: ön, buhar odası, bireysel
12. Gerekliteknik ekipman: bilgisayar, projektör, ders logosu, matematik ders kitapları, Power Point'te yapılan elektronik sunum, bildiri
Ders yapısı ve akışı
| Ders adımları | Öğretmen faaliyetleri | Öğrenci aktiviteleri | eğitici | ||
| Organizasyonel | Merhaba arkadaşlar! gördüğüme çok sevindim Sen! Dersimizin sloganı: Duyuyorum ve unutuyorum. Dersimize alışılmadık bir renk (yeşil bir ağaç ve kırmızı bir kalp amblemi), tahtadaki amblemi verelim. Dersin sonunda bu amblemin sırrını açığa çıkaracağız | Kontrol etmek işyeri, öğretmeni selamlayın, dersin çalışma ritmine katılın | |||
| Bilgi ve motivasyonun güncellenmesi | Bugün derste öğreneceksiniz yeni malzeme. Ama önce sözlü olarak çalışalım. 1. Tek terimlileri çarpın: 2a 2 *3av; 2av*(-a4) ; 6x 2 *(-2x); -3s*5x; -3x*(-xy 2);-4a 2 b*(-0,2av 2) Cevap doğruysa ilk harfi açın 2) Doğru eşitliği elde etmek için * yerine hangi tek terimlilerin konulması gerekir: x 3 * = x 6; - a 6 = a 4 *; *y7 =y8; -2a3* = 8a5; 5xy 4 * = 25x2 y 6. Cevap doğruysa ikinci harfi açın 3) Bir monomi tanıtın 12x 3 en 4 biri eşit olan iki faktörün ürünü olarak 2x 3 ; 3u 3 ; -4x ; 6xy ; -2x 3 en ; 6x 2 en 2 . Cevap doğruysa üçüncü harf ortaya çıkar 4) Mevcut çeşitli şekillerde tek terimli 6x 2 en iki faktörün ürünü olarak. 4. harfi aç 5) Öğrenci bir tek terimliyi bir polinomla çarptı, ardından tek terimli silindi. Geri yükle …*(x – y) = 3ax – 3ay …*(-x + y 2 – 1) = xy 2 – y 4 + y …*(a +b – 1) = 2ah +2inç – 2x …*(a – b) = a 2 c – a 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2. 5. harfi açın 6.Hesapla 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = 6. harfi açın. Harfler bir Alman matematikçinin adını oluşturuyordu. | Görevi sözlü olarak gerçekleştirin Kuralları kullanarak çözüm hakkında yorum yapın Tahtadaki harfleri aç Öğrenci (görevi önceden aldı) Tarihsel arka plan : Michel Stiefel (1487-1567), Alman matematikçi ve gezgin vaiz; “Tam Aritmetik” kitabının yazarı, “üs” terimini tanıttı ve ayrıca polinomların özelliklerini de dikkate alarak cebirin gelişimine önemli katkılarda bulundu (fotoğraf). | |||
| 3. Hedef belirleme ve motivasyon | Çocukların öğrenmeye motivasyonunun sağlanması ve ders hedeflerinin kabul edilmesi. | Tahtada: Bul ifade değeri A 2 – 3av en bir = 106,45; = 2,15 . Bu nasıl yapılır? a) Değiştirilebilir sayısal değerler A Ve V ve ifadenin anlamını bulun, ancak bu zordur. c) Aksini yapmak mümkün mü? Nasıl? Tahtaya dersin konusunu yazıyoruz: “Ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak.” Arkadaşlar dikkatli yazın! Bir ton kağıt üretmek için yaklaşık 17 olgun ağacı kesmeniz gerektiğini unutmayın. Aşağıdaki şemaya göre ders hedeflerini belirlemeye çalışalım: Hangi kavramlara aşina olacaksınız? Hangi beceri ve yeteneklerde ustalaşacağız? | Kendi çözümlerini sunuyorlar | ||
| 4. Yeni bilgilerin asimilasyonu ve asimilasyon yöntemleri (materyalle ilk tanışma) | Çocukların çalışılan konuyu algılamasını, anlamasını ve birincil ezberlemesini sağlamak | Ders kitabının 120-121. sayfalarını açın, 121. sayfadaki soruları okuyun ve cevaplayın. Algoritmanın noktalarını vurgulayın Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak için algoritma Polinomların katsayılarının ortak faktörünü bulun Onu braketin dışına çıkarın 3.Öğretmen: Rusça'da çarpanı parantez dışına almanın bir örneğini vereceğim. “Bir kitap al, bir kalem al, bir defter al” ifadesinde “al” fiili ortak çarpanın işlevini yerine getirmekte olup kitap, defter ve kalem tamamlayıcıdır. 4 Bir tek terimliyi bir polinomla çarpma kuralını diyagram biçiminde yazdım. Ortak bir çarpanı çıkarmak için şematik bir kural çizmeye çalışın | Materyali okuyun Soruları yanıtlayın Algoritmalı bir sayfa bulun
Ah, şimdi şunu dene: Tahtaya ters bir diyagram çizin | ||
| 5. Gevşeme | "Yaz Ödevi" adlı karikatürü içerir Kendimizi içinde bulduğumuz kış havalarından sıcak yaz. Ama fragman öğretici, yakalamaya çalışın ana fikir | Bir çizgi film parçasını izliyorlar ve güzellik hakkında bir sonuca varıyorlar yerli toprak | Karikatür parçası "Yaz Ödevi" | ||
| 6.Birincil konsolidasyon | Konuyu çalışmanın doğruluğunu ve farkındalığını oluşturmak. Çalışılan materyalin ilk anlaşılmasındaki boşlukların belirlenmesi, tespit edilen boşlukların düzeltilmesi, ihtiyaç duydukları bilgi ve eylem yöntemlerinin sağlanması bağımsız çalışma yeni malzeme üzerinde. | Tahtanın ön tarafı: № 318, 319, 320,321,324,325,328 İstenildiği gibi sırayla alın | Yorumlarla tahtada çözün | ||
| 6. Birincil kontrolün organizasyonu | Bilgi ve eylem yöntemlerinin asimilasyon kalitesinin ve düzeyinin belirlenmesi, ayrıca bilgi ve eylem yöntemlerindeki eksikliklerin belirlenmesi, belirlenen eksikliklerin nedenlerinin belirlenmesi | Kağıt parçaları üzerindeki metne göre bağımsız olarak çözün ve tahtadaki cevapları kontrol edin: BAĞIMSIZ ÇALIŞMA (farklılaştırılmış) 1 seçenek Polinomun çarpanlarına ayırma işlemini tamamlayın: 5ah – 30ay = 5а(…………..) x 4 – 5x 3 – x 2 = x 2 (…………..) Polinomu çarpanlara ayırın - 5ав + 15а 2 в, çarpanı parantezlerden çıkarın: a) 5а; b) -5a. Bunu hesaba katın: 5x + 5y = 7av + 14ac = 20a – 4b= 5dk – 5= ah – ay= 3x 2 – 6x= 2a – 10ау= 15a 2 + 5a 3 = 2 seçenek Girişi tamamlayın: 18av +16v= 2v(…………) 4a 2 s – 8ac= 4ac(………..) -15a 2 polinomunu + 5ab 4'te iki şekilde çarpanlara ayırın: a) 5ab faktörünü parantezlerden çıkarmak; b) -5av faktörünü parantezlerden çıkarmak. 5х+6ху= 2ав – 3а 3 в= 12av – 9v= x 3 -4x 2 +6x= 6a 4 – 4a 2 = 4a 4 -8a 3 +12a 2 = 24x 2 y -12xy= 9v 2 -6v 4 +3v= 4. İfadenin değerini çarpanlara ayırarak bulun: xy 2 +y 3 ile x=97, y=3. Seçenek 3 Ortak faktörü parantezlerden çıkarın ve tek terimliyi polinomla çarparak kontrol edin: a) 12xy+ 18x= b) 36ab 2 – 12a 2 c= 2. Kaydı bitirin: 18a 3'ü 2'de +36av = 18av(…………) 18a 3'ü 2'de +36av = -18av(…………) 3. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın: 12a 2 +16a= -11x 2 y 2 +22xy= 2a 4 -6a 2 = -12a 3'te 3 +6av= 30a 4 b- 6av 4 = x 8 -8x 4 + x 2 = 4. Ortaya çıkan eşitliğin özdeş olması için M'yi bir polinom veya tek terimli ile değiştirin: 12a 2 b-8av 2 +6av=M*(6a-4b+3) 15x 2 y-10x3y2+25x 4 y 3 =5x 2 y*M 5. İfadenin anlamını bulun: a) a=1,25 ve b=0,76'da 2,76a-ab; b) x=0,27 ve b=0,73'te 2xy + 2y 2. | İşlerini yaparlar, tamamlandıktan sonra anahtarları alırlar ve kontrol ederler, + veya eksi koyarlar, çalışmalarını tahtadaki kriterlere göre değerlendirirler: (tahtadaki cevaplar) 10-12 puan - “5” 8-9 puan - “4” 6-7 puan - “3” 6'dan az - daha fazla çalışmanız gerekiyor. | Şununla birlikte sayfalar: farklılaştırılmış görev | |
| 7. Dersi özetlemek. | Vermek niteliksel değerlendirme sınıfın ve bireysel öğrencilerin çalışmaları | Aktif olarak çalışan öğrencileri işaretleyin ve bağımsız çalışmanın sonuçlarını özetleyin: 5,4,3'ü olan ellerini kaldırsın. | Çalışmalarını analiz edin | ||
| 8. Hakkında bilgi Ev ödevi | Çocukların ödevlerin amacını, içeriğini ve tamamlama yöntemlerini anlamalarını sağlamak. | Paragraf No. 19 Örnek görevlere göre yapıyoruz sınıf çalışması | Görevleri bir günlüğe kaydedin | ||
| 9. Yansıma | Öğretmen: Bu bir dersti; bir arayış. Sen ve ben birbirimizle ortak bir zemin aradık, iletişim kurmayı öğrendik ve ayrıca konuyu açıklama ve pekiştirme yöntemlerinden birini ortaya çıkardık. Ders hedeflerine dönelim ve onlara nasıl ulaştığımızı analiz edelim Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak dışında başka ne hakkında konuştuk? Ders logosuna dönelim. | Hedefleri okuyun ve uygulamalarını analiz edin Matematik ve Rus dili arasındaki bağlantı üzerine, Memleketimizin güzelliği hakkında, ekoloji hakkında |
Bu derste ortak bir çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanın kurallarını öğreneceğiz ve bunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. çeşitli örnekler ve ifadeler. Nasıl olduğunu konuşalım basit operasyon ortak faktörü parantezlerin dışına koymak hesaplamaları basitleştirmenize olanak tanır. Edinilen bilgi ve becerileri çeşitli karmaşıklık örneklerine bakarak pekiştireceğiz.
Ortak faktör nedir, neden aranır ve hangi amaçla parantezlerden çıkarılır? Basit bir örneğe bakarak bu sorulara cevap verelim.
Denklemi çözelim. Sol taraf denklem aşağıdakilerden oluşan bir polinomdur benzer üyeler. Harf kısmı bu terimler için ortaktır, yani ortak çarpan olacaktır. Parantez dışına çıkaralım:
İÇİNDE bu durumda Ortak çarpanı parantez içine almak polinomu tek terimliye dönüştürmemize yardımcı oldu. Böylece polinomu basitleştirmeyi başardık ve dönüşümü denklemi çözmemize yardımcı oldu.
Ele alınan örnekte ortak faktör açıktı ancak bunu rastgele bir polinomda bulmak bu kadar kolay olur muydu?
İfadenin anlamını bulalım: .
İÇİNDE bu örnekte ortak faktörü parantezlerin dışında bırakmak hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirdi.
Bir örnek daha çözelim. İfadelere bölünebilirliği kanıtlayalım.
Ortaya çıkan ifade, kanıtlanması gerektiği gibi, ile bölünebilir. Bir kez daha ortak çarpanı almak sorunu çözmemizi sağladı.
Bir örnek daha çözelim. İfadenin herhangi bir doğal sayıya bölünebileceğini kanıtlayalım: 
.
İfade iki bitişik doğal sayının çarpımıdır. İki sayıdan biri mutlaka çift olacaktır, yani ifade ile bölünebilir olacaktır.
Biz bunu çözdük farklı örnekler, ancak aynı çözüm yöntemini kullandılar: ortak çarpanı parantezlerden çıkardılar. Bu basit işlemin hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırdığını görüyoruz. Bu özel durumlar için ortak bir faktör bulmak kolaydı ama bu durumda ne yapılmalı? genel durum, keyfi bir polinom için?
Bir polinomun tek terimlilerin toplamı olduğunu hatırlayın.
Polinomu düşünün 
. Bu polinom iki tek terimlinin toplamıdır. Bir monom, bir sayının, bir katsayının ve bir harf kısmının çarpımıdır. Dolayısıyla bizim polinomumuzda her monom, bir sayının ve kuvvetlerin çarpımı olan faktörlerin çarpımı ile temsil edilir. Çarpanlar tüm monomiyaller için aynı olabilir. Belirlenmesi ve parantezden çıkarılması gereken bu faktörlerdir. Öncelikle tam sayı olan katsayıların ortak çarpanını buluyoruz.
Ortak faktörü bulmak kolaydı ama katsayıların gcd'sini tanımlayalım: 
.
Başka bir örneğe bakalım: .
Bu ifadenin ortak çarpanını belirlememizi sağlayacak olan'ı bulalım: .
Tamsayı katsayıları için bir kural türettik. Onların gcd'sini bulup braketten çıkarmalısınız. Bir örnek daha çözerek bu kuralı pekiştirelim.
Tamsayı katsayılarına ortak çarpan atama kuralını inceledik, şimdi harf kısmına geçelim. Önce tüm tek terimlilerin içerdiği harfleri ararız ve sonra belirleriz. en yüksek derece tüm tek terimlilerin içerdiği bir harf: .
Bu örnekte yalnızca bir ortak harf değişkeni vardı ancak aşağıdaki örnekte olduğu gibi birkaç tane olabilir:
Tek terimlilerin sayısını artırarak örneği karmaşıklaştıralım:
Ortak çarpanı çıkardıktan sonra dönüştürdük cebirsel toplam işin içine.
Tamsayı katsayıları ve harf değişkenleri için çıkarma kurallarına ayrı ayrı baktık, ancak çoğu zaman örneği çözmek için bunları birlikte uygulamanız gerekir. Bir örneğe bakalım:
Bazen parantez içinde hangi ifadenin kaldığını belirlemek zor olabilir, hadi bu sorunu hızlı bir şekilde çözmenizi sağlayacak kolay bir numaraya bakalım.
Ortak faktör istenen değer de olabilir:
Ortak faktör yalnızca bir sayı veya tek terimli değil aynı zamanda aşağıdaki denklemde olduğu gibi herhangi bir ifade de olabilir.
Konuyla ilgili ders: "Tek terimlinin standart formu. Tanım. Örnekler"
Ek malzemeler
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
7. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
7-9. Sınıflar için "Anlaşılabilir Geometri" elektronik ders kitabı
7-9. Sınıflar için multimedya ders kitabı "10 dakikada Geometri"
Tek terimli. Tanım
Tek terimli- Bu matematiksel ifade, ürün hangisi asal faktör ve bir veya daha fazla değişken.Monomiyaller tüm sayıları, değişkenleri ve bunların güçlerini içerir. doğal gösterge:
42;
3;
0; 6 2; 2 3;
b3;
balta 4;4x3;
5a2;
12xyz3 .
Belirli bir matematiksel ifadenin bir tek terime atıfta bulunup bulunmadığını belirlemek çoğu zaman zordur. Örneğin, $\frac(4a^3)(5)$. Bu bir tek terimli mi değil mi? Bu soruyu cevaplamak için ifadeyi basitleştirmemiz gerekiyor; şu biçimde bulunur: $\frac(4)(5)*a^3$.
Kesinlikle şunu söyleyebiliriz
bu ifade
- tek terimli
Tek terimlinin standart biçimi
Hesaplamalar yaparken monomialin standart forma indirilmesi tavsiye edilir. Bu, bir monomiyalin en kısa ve anlaşılır kaydıdır. Bir monomialin standart forma indirgeme prosedürü aşağıdaki gibidir: 1. Tek terimlinin (veya sayısal faktörlerin) katsayılarını çarpın ve ortaya çıkan sonucu ilk sıraya yerleştirin.
2. Aynı harf tabanına sahip tüm kuvvetleri seçin ve bunları çarpın.
- tek terimli
3. Tüm değişkenler için 2. noktayı tekrarlayın.
Örnekler.
I. Verilen $3x^2zy^3*5y^2z^4$ tek terimlisini standart forma düşürün.
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.
Ders türü: entegre (BİT ile), yeni bilgilerin tanıtılması dersi.
Amaçlar ve hedefler (cebir): monomiyal kavramını tanıtmak; tek terimli derecesi; standart görünüm tek terimli. Öğrencilere tek terimlileri standart forma indirmeyi öğretin. Dereceli eylemleri gerçekleştirme becerilerini geliştirmeye devam edin. Öğrencilerin bilgisayar becerilerini geliştirin. Dikkat ve doğruluk geliştirin.
Amaçlar ve hedefler (BİT): kullanmayı öğret pratik aktiviteler MS Office Word'de yerleşik formül düzenleyici; bağımsız çalışma becerisini geliştirmek.
Derste kullanılan materyaller: sunum, MS Office (Word) yüklü bilgisayar dersi, referans özeti pratik çalışma, bağımsız çalışma için görev kartları, multimedya kurulumu.
Ders ilerlemesi
I. Organizasyon anı.
Öğrencileri selamlıyorum.
II. Sözlü egzersizler.
(ekran2'de kaydırın).
- Bir kuvvet olarak mevcut: y 3 *y 2 ; (y3)5; y7 *y3; (y7)4; a 10 / a 8 .
- İfadenin değeri hangi sayıdır (pozitif veya negatif): (-8) 10; (-5) 27; 7 5; -2 8; -(-1) 7 .
- Hesaplayın: (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8/3 7 .
III. Yeni materyal öğrenme.
Dersin konusunun ve dersin amaç ve hedeflerinin raporlanması (slayt 3, 4).
6*x 2 *y; 2*x3; mn7; ab; -8 (slayt 5)
- Tahtaya yazılan ifadeleri okuyunuz.
- Bu ifadeler neyi temsil ediyor?
Bu tür ifadelere tek terimli ifadeler denir.
TANIM: Bir monom, sayıların ve değişkenlerin, değişkenlerin kuvvetlerinin veya bir sayının, değişkenin, bir değişkenin kuvvetlerinin çarpımıdır.
Ekrana dikkatlice bakın (slayt 7). Aşağıdaki ifadelerden hangisi tek terimlidir? Neden?
IV. Yeni malzemenin konsolidasyonu.
463 – bağımsız olarak. Ön kontrol. (Slayt 8).
V. Yeni materyal öğrenmek.
Tek terimli sayılarım olsun
2x 2 y*9y 2 ve 8x*9xy (slayt 9)
Çarpmanın değişmeli ve birleşmeli yasalarını kullanalım. Şunu elde ederiz:
2*9*x 2 *y*y 2 =18x 2 y 3 ve 8*9*x*x*y=72x 2 y.
- Ne elde ettik?
- Neyi temsil ediyor?
Monomial'i öncelikle sayısal faktörün ve çeşitli değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olarak temsil ettik. Bu tip tek terimliye standart form denir.
- Hangi monomiyale standart formdaki monomial denir?
TANIM: Bir monom, ilk etapta 1 sayısal faktöre (katsayı) sahipse, içindeki aynı değişkenlerin çarpımı bir kuvvet olarak yazılırsa, standart formda bir monom denir.
Standart formda yazılan tek terimlileri okuyun. Katsayılarını adlandırın.
VI. Yeni malzemenin konsolidasyonu.
No. 464 - sözlü olarak, No. 465 - bir öğretmenin rehberliğinde.
VII. Bilgisayarda gerçekleştirilen bir görev (pratik çalışma).
MSWord programı. Yerleşik formül düzenleyici. Tek terimlileri yazmak için yerleşik formül düzenleyiciyi kullanma. Masaüstündeki "Tek terimlinin standart görünümü" dosyası. Yerleşik formül düzenleyiciyi kullanarak hazırlanan tabloyu doldurun.
Tabloyu doldurun. (Slayt 15)
Kontrol edin - ekranda (slayt 16) ve kaydedilen öğrenci dosyaları.
VIII. Yeni materyal öğrenme.
- Tahtada ne yazıyor?
- X değişkeninin üssü nedir?
- Y değişkeninin üssü nedir?
- Üslerin toplamını bulun. Bu numara denir derece tek terimli.
Ders kitabının 84. sayfasında tek terimlinin derecesinin tanımını bulun. Okuyun.
IX. Yeni malzemenin konsolidasyonu.
473 - sözlü olarak;
467 (a; d) - tahtaya yorum yaptı.
X. Bağımsız çalışma.
Seçeneklere göre ekranda (slayt 19). (Her öğrencinin masasında çalışmayı tamamlama görevinin bulunduğu bir kağıt parçası vardır - Ek 2)
Kontrol – kayıtla kendi kendine test (ekranda 20 numaralı slayt).
XI. Özetle.
- Tek terimli nedir?
- Ne tür bir monomial denir? standart tek terimli?
- Bir monomialin derecesi nedir?
XII. Ev ödevi.
S.19, Sayı: 466, 468, 476, 470.
Ders için teşekkürler! (slayt 23)
Kullanılan literatürün listesi:
- Cebir. 7. sınıf: ders kitabı eğitim kurumları/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neşkov, S.B. Suvorov]; tarafından düzenlendi S.A. Telyakovski. - M.: Eğitim, 2007.
