Modüllerin toplamı sayıya eşittir. Ders dışı ders - sayı modülü

Sayıların modülü bu sayının kendisi negatif değilse veya aynı sayıysa çağrılır. karşıt işaret negatifse.

Örneğin 5 sayısının modülü 5, –5 sayısının modülü de 5'tir.

Yani bir sayının modülü mutlak bir değer olarak anlaşılır, mutlak değer Bu sayı, işareti dikkate alınmadan.

Şu şekilde gösterilir: |5|, | X|, |A| vesaire.

Kural:

Açıklama:

|5| = 5
Şöyle okunur: 5 sayısının modülü 5'tir.

|–5| = –(–5) = 5
Şöyle okunur: -5 sayısının modülü 5'tir.

|0| = 0
Şöyle okunur: sıfırın modülü sıfırdır.

Modül özellikleri:

Modülün geometrik anlamı.

Bir sayının modülü sıfırdan o sayıya olan mesafedir.

Örneğin yine 5 sayısını ele alalım. 0'dan 5'e olan mesafe, 0'dan –5'e kadar olan mesafeyle aynıdır (Şekil 1). Ve yalnızca parçanın uzunluğunu bilmek bizim için önemli olduğunda, işaretin yalnızca anlamı değil aynı zamanda anlamı da vardır. Ancak bu tamamen doğru değil: mesafeyi yalnızca pozitif sayılarla ölçeriz - veya Negatif olmayan sayılar. Ölçeğimizin bölme fiyatı 1 cm olsun. O halde sıfırdan 5'e kadar olan doğru parçasının uzunluğu 5 cm, sıfırdan -5'e kadar olan kısım da 5 cm olsun.

Pratikte mesafe genellikle yalnızca sıfırdan ölçülmez; referans noktası herhangi bir sayı olabilir (Şekil 2). Ancak bu özü değiştirmez. |a – b| formunun gösterimi noktalar arasındaki mesafeyi ifade eder A Ve B sayı doğrusunda.

Örnek 1. Denklemi çözün | X – 1| = 3.

Çözüm .

Denklemin anlamı noktalar arasındaki mesafedir. X ve 1, 3'e eşittir (Şekil 2). Bu nedenle, 1. noktadan itibaren sola doğru üç bölme ve sağa doğru üç bölme sayarız - ve her iki değeri de açıkça görürüz X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Onu hesaplayabiliriz.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Cevap : X 1 = –2; X 2 = 4.

Örnek 2. İfade modülünü bulun:

Çözüm .

Öncelikle ifadenin olumlu mu olumsuz mu olduğunu bulalım. Bunu yapmak için ifadeyi homojen sayılardan oluşacak şekilde dönüştürüyoruz. 5'in kökünü aramayalım - bu oldukça zor. Daha basit yapalım: 3 ve 10'u köke çıkaralım. Sonra farkı oluşturan sayıların büyüklüğünü karşılaştıralım:

3 = √9. Dolayısıyla 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

İlk sayının ikinciden küçük olduğunu görüyoruz. Bu, ifadenin negatif olduğu, yani cevabının sıfırdan küçük olduğu anlamına gelir:

3√5 – 10 < 0.

Ancak kurala göre negatif bir sayının modülü, zıt işaretiyle aynı sayıdır. Sahibiz olumsuz ifade. Bu nedenle işaretini tam tersiyle değiştirmek gerekir. 3√5 – 10'un tersi –(3√5 – 10) olur. İçindeki parantezleri açalım ve cevabı alalım:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Cevap .

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Sayısal aralıklar

Bir noktanın komşuluğu X o herhangi bir reel sayı (sayı doğrusu üzerinde bir nokta) olsun. Xo noktasının komşuluğu, x0 noktasını içeren herhangi bir (a; b) aralığıdır. Özellikle, ε >0 olan (x o -ε, x o +ε) aralığına x o noktasının ε-komşusu denir. Xo sayısına merkez denir.

3 SORU Bir fonksiyon kavramı Bir fonksiyon, y değişkeninin x değişkenine böyle bir bağımlılığıdır; burada x değişkeninin her değeri, y değişkeninin tek bir değerine karşılık gelir.

X değişkenine bağımsız değişken veya argüman denir.

Y değişkenine bağımlı değişken denir.

Bir işlevi belirtme yöntemleri

Tablo yöntemi. bireysel argüman değerlerinin ve bunlara karşılık gelen fonksiyon değerlerinin bir tablosunun belirtilmesinden oluşur. Bir fonksiyonu tanımlamanın bu yöntemi, fonksiyonun tanım alanı ayrık bir sonlu küme olduğunda kullanılır.

Bir işlevi belirtmenin tablo yöntemiyle, argümanın ara değerlerine karşılık gelen, tabloda yer almayan işlevin değerlerini yaklaşık olarak hesaplamak mümkündür. Bunu yapmak için enterpolasyon yöntemini kullanın.

Bir işlevi belirlemeye yönelik tablo yönteminin avantajları, belirli belirli değerlerin ek ölçümler veya hesaplamalar olmadan anında belirlenmesini mümkün kılmasıdır. Ancak bazı durumlarda tablo, fonksiyonu tam olarak tanımlamaz, yalnızca argümanın bazı değerleri için tanımlar ve argümandaki değişime bağlı olarak fonksiyondaki değişimin niteliğine dair net bir görüntü sağlamaz.

Grafik yöntemi. Fonksiyon grafiği y = f(x) koordinatları verilen denklemi sağlayan düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Bir fonksiyonu belirlemenin grafiksel yöntemi, argümanın sayısal değerlerinin doğru bir şekilde belirlenmesini her zaman mümkün kılmaz. Ancak diğer yöntemlere göre büyük bir avantajı vardır: görünürlük. Mühendislik ve fizikte, bir fonksiyonu belirlemek için sıklıkla grafiksel bir yöntem kullanılır ve bunun için mevcut olan tek yol grafiktir.

Bir fonksiyonun grafiksel atamasının matematiksel açıdan tamamen doğru olması için, çoğunlukla bir denklemle belirtilen grafiğin tam geometrik tasarımını belirtmek gerekir. Bu, bir işlevi belirlemenin aşağıdaki yoluna yol açar.

Analitik yöntem. Bir işlevi belirtmek için, her bağımsız değişken değeri için karşılık gelen işlev değerinin bulunabileceği bir yol belirtmeniz gerekir. Bir fonksiyonu belirtmenin en yaygın yolu y = f(x) formülünü kullanmaktır; burada f(x), x değişkenli bir ifadedir. Bu durumda fonksiyonun bir formülle verildiğini veya fonksiyonun analitik olarak verildiğini söylerler.

Analitik olarak tanımlanmış bir fonksiyon için, fonksiyonun tanım alanı bazen açıkça belirtilmez. Bu durumda, y = f (x) fonksiyonunun tanım alanının, f (x) ifadesinin tanım alanıyla, yani, x'in bu değerlerinin kümesiyle çakıştığı ima edilir. f(x) ifadesi anlamlıdır.

Bir fonksiyonun doğal alanı

İşlev Etki Alanı F- bu çok fazla X tüm argüman değerleri X, işlevin belirtildiği yer.

Bir fonksiyonun tanım alanını belirtmek için F formun kısa bir gösterimi kullanılır D(f).

açık örtülü parametrik spesifikasyon işlevler

Eğer bir fonksiyon y=ƒ(x) denklemiyle verilmişse ve y'ye göre çözülmüşse, o zaman fonksiyon açık formda (açık fonksiyon) verilir.

Altında örtülü görev fonksiyonlar, bir fonksiyonun tanımını, y'ye göre çözülmeyen F(x;y)=0 denklemi biçiminde anlar.

Açıkçası herhangi bir şey Verilen fonksiyon y=ƒ (x), ƒ(x)-y=0 denklemiyle örtülü olarak verildiği gibi yazılabilir, ancak bunun tersi mümkün değildir.

Modüllü denklemler, çözüm yöntemleri. Bölüm 1.

Bu tür denklemlerin çözümüne yönelik teknikleri doğrudan incelemeye başlamadan önce modülün özünü anlamak önemlidir. geometrik anlamı. Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemleri, modülün tanımını ve geometrik anlamını anlamaktır. Modüler parantezleri açarken aralıkların sözde yöntemi o kadar etkilidir ki, onu kullanarak herhangi bir denklemi veya eşitsizliği modüllerle kesinlikle çözmek mümkündür. Bu bölümde detaylı olarak inceleyeceğimiz iki standart yöntemler: aralık yöntemi ve bir denklemi bir kümeyle değiştirme yöntemi.

Ancak göreceğimiz gibi, bu yöntemler her zaman etkilidir, ancak her zaman kullanışlı değildir ve doğal olarak çözmek için daha fazla zaman gerektiren uzun ve hatta çok uygun olmayan hesaplamalara yol açabilir. Bu nedenle belirli denklem yapılarının çözümünü önemli ölçüde kolaylaştıran yöntemleri bilmek önemlidir. Bir denklemin her iki tarafının karesini almak, yeni bir değişken eklemek için bir yöntem, grafik yöntemi, modül işareti altında modül içeren denklemleri çözme. Bir sonraki bölümde bu yöntemlere bakacağız.

Bir sayının modülünün belirlenmesi. Modülün geometrik anlamı.

Öncelikle tanışalım geometrik anlamda modül:

Sayıların modülü a (|a|) sayı doğrusunda başlangıç ​​noktasından (0 noktası) noktaya olan mesafeyi arayın A(a).

Bu tanımdan yola çıkarak bazı örneklere bakalım:

|7| - bu 0'dan 7 noktasına olan mesafedir, elbette 7'ye eşittir. → | 7 |=7

|-5|- bu 0'dan noktaya uzaklık -5 ve şuna eşittir: 5. → |-5| = 5

Hepimiz mesafenin negatif olamayacağını anlıyoruz! Bu nedenle |x| ≥ 0 her zaman!

Denklemi çözelim: |x |=4

Bu denklem şu şekilde okunabilir: 0 noktasından x noktasına olan mesafe 4'tür. Evet, 0'dan itibaren hem sola hem de sağa hareket edebileceğimiz ortaya çıktı, bu da eşit mesafede sola hareket etmek anlamına geliyor 4 noktasında -4 noktasına ulaşacağız ve sağa doğru ilerleyerek 4 noktasına ulaşacağız. |-4 |=4 ve |4 |=4.

Dolayısıyla cevap x=±4'tür.

Önceki denklemi dikkatlice incelerseniz şunu fark edeceksiniz: sayı doğrusu boyunca 0'dan noktaya kadar sağa olan mesafe noktanın kendisine eşittir ve 0'dan sayıya kadar sola olan mesafe tam tersidir. sayı! 0'ın sağındaki sayıların pozitif, 0'ın solundaki sayıların ise negatif olduğunu anlayarak formüle ediyoruz: bir sayının modülünün tanımı: modül ( mutlak değer) sayılar X(|x|) sayının kendisidir X, eğer x ≥0 ise ve sayı – X, eğer x<0.

Burada sayı doğrusu üzerinde 0'a uzaklığı 3'ten küçük olacak bir dizi nokta bulmamız gerekiyor, bir sayı doğrusu hayal edelim, üzerinde 0 noktası olsun, sola gidip bir (-1), iki saymamız gerekiyor. (-2) ve üç (-3), dur. Daha sonra 3'ten uzakta olan noktalar veya 0'dan 3'ten büyük olan mesafe olacak, şimdi sağa gidiyoruz: bir, iki, üç, tekrar dur. Şimdi tüm noktalarımızı seçip x: (-3;3) aralığını elde ediyoruz.

Bunu açıkça görmeniz önemlidir, eğer hala göremiyorsanız, kağıda çizin ve bu illüstrasyonun sizin için tamamen anlaşılır olması için bakın, tembel olmayın ve aşağıdaki görevlerin çözümlerini aklınızda görmeye çalışın. :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

İkinci sütundaki garip görevleri fark ettiniz mi? Aslında uzaklık negatif olamaz dolayısıyla: |x|=-5-'nin çözümü yoktur, elbette 0'dan küçük olamaz, dolayısıyla: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3'ün hepsi sayıdır.

Çözümlü resimleri hızlı bir şekilde görmeyi öğrendikten sonra okumaya devam edin.

Rasyonel sayının modülü orijinden bu sayıya karşılık gelen koordinat çizgisi üzerindeki noktaya kadar olan mesafeyi çağırırlar.

Uzaklık (bir parçanın uzunluğu) yalnızca pozitif bir sayı veya sıfır olarak ifade edilebildiğinden, bir sayının modülünün negatif olamayacağını söyleyebiliriz.

Modül özellikleri:

Pozitif bir sayının modülü sayının kendisine eşittir.
|bir| = a, eğer a > 0 ise;

Negatif bir sayının modülü karşıt sayıya eşittir.
|-a| = a eğer a< 0;

Sıfır modülü sıfıra eşit.
|0| = 0 eğer a = 0 ise;

Zıt sayılar eşit modüllere sahiptir.
|-a| = |bir|;

Modül örnekleri rasyonel sayılar:

4.Temel çözüm yöntemleri irrasyonel denklemler ve eşitsizlikler.

Bir denklemin veya eşitsizliğin köklerinin altında, yani kare, küp vb. kökün işaretleri altında bir değişken içermesi durumunda irrasyonel olarak adlandırırız. İrrasyonel denklemler ve eşitsizliklerin belirli bir özelliği vardır.

Bir denklemin veya eşitsizliğin izin verilen değerlerinin (VA olarak kısaltılır) aralığının, her iki tarafın da olduğu bir değişkenin değerleri kümesi olduğunu hatırlayalım. verilen denklem veya eşitsizlikler anlamlıdır. Herhangi bir görevi ODZ'yi aramadan (ve bahsetmeden) yapabilirsiniz, dolayısıyla bu kavrama özel bir ihtiyaç yoktur. Ama bunda da bir sakınca yok; Üstelik bazı durumlarda ODZ'yi bulmanın çok faydalı olduğu ortaya çıkıyor. Bu nedenle, bazı irrasyonel denklemler ve eşitsizlikler herhangi bir özel tekniğe indirgenmez - sadece yakından bakmak ve ODZ'yi hesaba katmak yeterlidir.

Eşdeğer dönüşümler

Düşünmeye devam ediyoruz standart tiplerİrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler. Burada, DZ'ye yönelik bir ön araştırmanın kural olarak gereksiz bir adım olduğu ortaya çıkıyor; Bu problemler en etkili şekilde uygun eşdeğer geçişlerin yardımıyla çözülür. √ A = √ B formundaki denklemler

Bir örnekle başlayalım.

√ x = √ 2x + 1 denklemini çözmemiz gerektiğini varsayalım. √ x fonksiyonunun monotonluğu nedeniyle, radikal ifadeler eşit olmalıdır: x = 2x+1, dolayısıyla x = −1. Ancak bu x değerini denklemde yerine koymak şunu verir: negatif sayılar radikaller altında; dolayısıyla x = −1 bu denklemin kökü değildir ve dolayısıyla çözümü yoktur. Şimdi düşünelim genel durum. A ve B'nin değişken içeren bazı ifadeler olduğu √ A = √ B denklemi olsun. O halde öncelikle kök ifadelerin eşit olması gerekir: A = B. İkinci olarak her iki kök ifadenin de negatif olmaması gerekir; ancak eşitlikleri nedeniyle bunlardan birinin negatif olmamasını istemek yeterlidir. Böylece elimizde: √ A = √ B ⇔ (A = B, A > 0 veya √ A = √ B ⇔ (A = B, B > 0. Bu durumda daha basit olan ifadenin kullanılmasını istemek doğaldır.) olumsuz değildir.

5. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek, analitik ifadeler modülün içerdiği:

Bir sayının modülü, referans noktasından bu noktaya karşılık gelen noktaya olan mesafedir.

y=|f(x)| grafiğini çizmek için algoritma.

1. Bir y=f(x) grafiği oluşturun

2. Grafiğin apsis ekseninin üzerinde kalan kısımlarını değiştirmeden bırakın.

3. X ekseninin altında kalan alanlar bu eksene göre yansıtılır.

y=f(|x|) grafiğini çizmek için algoritma.

1. Bir y=f(x) grafiği oluşturalım.

2. OY ekseninin solunda bulunan tüm noktaları silin.

3. Op-amp ekseninde ve onun sağında bulunan tüm noktalar, op-amp eksenine göre simetrik olarak yansıtılacaktır.

|y|=|f(x)| grafiğini çizmek için algoritma

1. Bir y=f(x) grafiği oluşturun.

2. y=|f(x)| grafiğini oluşturun.

3. Öküz eksenine göre ayna görüntüsü yapın.

6.Özellikler ve zamanlama kare fonksiyonu y=ax+bx+c

a,b,c∈R ve a≠0 olmak üzere y=ax2+bx+c formülüyle belirtilebilen bir fonksiyon,

ikinci dereceden fonksiyon denir.

y=ax2+bx+c ( fonksiyonunun tanım alanı kabul edilebilir değerler argümanlar x) hepsi gerçek sayılar(R).

Takvim ikinci dereceden fonksiyon bir paraboldür.

Bir parabolün (xo;yo) tepe noktasının apsisi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

İkinci dereceden bir fonksiyonu çizmek için yapmanız gerekenler:

1) parabolün tepe noktasının koordinatlarını hesaplayın: x0=−b/2a ve y0; bu, x0 değerini yerine koyarak bulunur fonksiyon formülü,

2) parabolün tepe noktasını işaretleyin koordinat düzlemi, parabolün simetri eksenini çizin,

3) parabolün dallarının yönünü belirler,

4) parabolün kesişme noktasını işaretleyin Oy ekseni,

5) seçerek bir değerler tablosu oluşturun gerekli değerler argüman x.

İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemini çözdükten sonra parabolün Ox ekseniyle veya fonksiyonun kökleriyle kesişme noktalarını elde ederiz (eğer diskriminant D>0 ise)

eğer D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует,