İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında, kök formüllerine ek olarak verilen başka yararlı ilişkiler de vardır. Vieta'nın teoremi. Bu makalede ikinci dereceden bir denklem için Vieta teoreminin formülasyonunu ve kanıtını vereceğiz. Daha sonra teoremin Vieta teoreminin tersini ele alacağız. Bundan sonra en çok çözümleri analiz edeceğiz tipik örnekler. Son olarak reel kökler arasındaki ilişkiyi tanımlayan Vieta formüllerini yazıyoruz. cebirsel denklem derece n ve katsayıları.
Sayfada gezinme.
Vieta teoremi, formülasyonu, kanıtı
D=b 2 −4·a·c olan ikinci dereceden a·x 2 +b·x+c=0 formundaki ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formüllerden aşağıdaki ilişkiler şöyledir: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Bu sonuçlar doğrulandı Vieta'nın teoremi:
Teorem.
Eğer x 1 ve x 2, ikinci dereceden denklem a x 2 +b x+c=0'ın kökleriyse, bu durumda köklerin toplamı, b ve a katsayılarının oranına eşit olur. karşıt işaret ve köklerin çarpımı c ve a katsayılarının oranına eşittir, yani.
Kanıt.
Vieta teoreminin kanıtını aşağıdaki şemaya göre gerçekleştireceğiz: ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını kullanarak oluşturacağız: ünlü formüller kökler, daha sonra ortaya çıkan ifadeleri dönüştürüyoruz ve sırasıyla -b/a ve c/a'ya eşit olduklarından emin oluyoruz.
Köklerin toplamından başlayalım ve bunu telafi edelim. Şimdi kesirleri azaltıyoruz ortak payda, sahibiz . Ortaya çıkan kesirin payında, bundan sonra:. Sonunda 2'den sonra elde ederiz. Bu, Vieta teoreminin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamına ilişkin ilk ilişkisini kanıtlar. İkinciye geçelim.
İkinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını oluşturuyoruz: . Kesirlerde çarpma kuralına göre; son parça olarak yazılabilir. Şimdi bir parantezi paydaki bir parantezle çarpıyoruz, ancak bu çarpımı şu şekilde daraltmak daha hızlıdır: kare fark formülü, Bu yüzden . Sonra hatırlayarak bir sonraki geçişi gerçekleştiriyoruz. İkinci dereceden denklemin diskriminantı D=b 2 −4·a·c formülüne karşılık geldiğinden, son kesirde D yerine b 2 −4·a·c koyabiliriz, elde ederiz. Parantezleri açıp döküm yaptıktan sonra benzer terimler kesire ulaşıyoruz ve bunun 4·a oranında indirgenmesi sonucu verir. Bu, Vieta teoreminin köklerin çarpımı için ikinci ilişkisini kanıtlıyor.
Açıklamaları atlarsak, Vieta teoreminin ispatı kısa ve öz bir form alacaktır:
,
.
Sadece şunu belirtmek gerekir ki sıfıra eşit Diskriminant ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır. Ancak bu durumda denklemin iki olduğunu varsayarsak özdeş kökler ise Vieta teoremindeki eşitlikler de geçerlidir. Aslında, D=0 olduğunda, ikinci dereceden denklemin kökü eşittir ve , ve D=0 olduğundan, yani b 2 −4·a·c=0, dolayısıyla b 2 =4·a·c, o zaman .
Uygulamada, Vieta teoremi çoğunlukla x 2 +p·x+q=0 formundaki indirgenmiş ikinci dereceden denklemle (baş katsayı 1'e eşit olacak şekilde) ilişkili olarak kullanılır. Bazen, genelliği sınırlamayan, sadece bu türden ikinci dereceden denklemler için formüle edilir, çünkü herhangi bir ikinci dereceden denklem, her iki tarafı sıfır olmayan bir a sayısına bölerek eşdeğer bir denklemle değiştirilebilir. Vieta teoreminin karşılık gelen formülasyonunu verelim:
Teorem.
İkinci dereceden indirgenmiş denklem x 2 +p x+q=0'ın kökleri toplamı, x'in ters işaretli katsayısına, köklerin çarpımı ise serbest terime yani x 1'e eşittir. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Teorem Vieta teoreminin tersi
Vieta teoreminin önceki paragrafta verilen ikinci formülasyonu, x 1 ve x 2'nin ikinci dereceden indirgenmiş x 2 +p x+q=0 denkleminin kökleri olması durumunda, x 1 +x 2 =−p ilişkilerinin olduğunu gösterir. , x 1 x 2 =q. Öte yandan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yazılı ilişkilerinden x 1 ve x 2'nin ikinci dereceden x 2 +p x+q=0 denkleminin kökleri olduğu sonucu çıkar. Başka bir deyişle Vieta teoreminin tersi doğrudur. Bunu bir teorem şeklinde formüle edip kanıtlayalım.
Teorem.
Eğer x 1 ve x 2 sayıları x 1 +x 2 =−p ve x 1 · x 2 =q olacak şekildeyse, o zaman x 1 ve x 2 indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 +p · x+q'nin kökleridir =0.
Kanıt.
x 2 +p·x+q=0 denklemindeki p ve q katsayıları x 1 ve x 2 üzerinden ifadeleriyle değiştirildikten sonra eşdeğer bir denklem haline dönüştürülür.
Ortaya çıkan denklemde x yerine x 1 sayısını yazarsak eşitliği elde ederiz x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, herhangi bir x 1 ve x 2 için doğru sayısal eşitlik 0=0'ı temsil eder, çünkü x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Bu nedenle x 1 denklemin köküdür x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 yani x 1, x 2 +p·x+q=0 eşdeğer denkleminin köküdür.
Denklemde ise x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x yerine x 2 sayısını yazarsak eşitliği elde ederiz x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Bu gerçek bir eşitliktir, çünkü x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Dolayısıyla x 2 aynı zamanda denklemin köküdür x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 ve dolayısıyla x 2 +p·x+q=0 denklemleri.
Bu, Vieta teoreminin tersi olan teoremin ispatını tamamlar.
Vieta teoremini kullanma örnekleri
Vieta teoreminin ve onun tersi teoreminin pratik uygulaması hakkında konuşmanın zamanı geldi. Bu bölümde en tipik örneklerin birçoğunun çözümlerini analiz edeceğiz.
Teoremin tersini Vieta teoreminin tersini uygulayarak başlayalım. Verilen iki sayının belirli bir ikinci dereceden denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek için kullanılması uygundur. Bu durumda toplamları ve farkları hesaplanır ve ardından ilişkilerin geçerliliği kontrol edilir. Bu ilişkilerin her ikisi de sağlanırsa, Vieta teoreminin tersi olan teorem sayesinde bu sayıların denklemin kökleri olduğu sonucuna varılır. Eğer ilişkilerden en az biri sağlanmıyorsa bu sayılar ikinci dereceden denklemin kökleri değildir. Bu yaklaşım, bulunan kökleri kontrol etmek için ikinci dereceden denklemleri çözerken kullanılabilir.
Örnek.
1) x 1 =−5, x 2 =3 veya 2) veya 3) sayı çiftlerinden hangisi 4 x 2 −16 x+9=0 ikinci dereceden denklemin kök çiftidir?
Çözüm.
Verilen ikinci dereceden denklem 4 x 2 −16 x+9=0'ın katsayıları a=4, b=−16, c=9'dur. Vieta teoremine göre ikinci dereceden bir denklemin kökleri toplamı -b/a yani 16/4=4, köklerin çarpımı ise c/a yani 9 olmalıdır. /4.
Şimdi üçünün her birindeki sayıların toplamını ve çarpımını hesaplayalım. Verilen çiftler ve bunları yeni elde edilen değerlerle karşılaştırın.
İlk durumda x 1 +x 2 =−5+3=−2 elde ederiz. Ortaya çıkan değer 4'ten farklıdır, dolayısıyla başka bir doğrulama gerçekleştirilemez, ancak Vieta teoreminin tersi olan teorem kullanılarak, ilk sayı çiftinin verilen ikinci dereceden denklemin bir kök çifti olmadığı sonucuna varılabilir.
İkinci duruma geçelim. Burada birinci şart sağlanmış oluyor. İkinci koşulu kontrol ediyoruz: Ortaya çıkan değer 9/4'ten farklı. Sonuç olarak, ikinci sayı çifti ikinci dereceden denklemin bir kök çifti değildir.
kaldı son durum. Burada ve. Her iki koşul da karşılanmıştır, dolayısıyla bu x 1 ve x 2 sayıları verilen ikinci dereceden denklemin kökleridir.
Cevap:
Vieta teoreminin tersi, ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için pratikte kullanılabilir. Genellikle, verilen ikinci dereceden denklemlerin tamsayı katsayılı tamsayı kökleri seçilir, çünkü diğer durumlarda bunu yapmak oldukça zordur. Bu durumda, iki sayının toplamı ikinci dereceden bir denklemin eksi işaretiyle alınan ikinci katsayısına eşitse ve bu sayıların çarpımı serbest terime eşitse bu sayıların Bu ikinci dereceden denklemin kökleri. Bunu bir örnekle anlayalım.
İkinci dereceden denklemi x 2 −5 x+6=0 alalım. x 1 ve x 2 sayılarının bu denklemin kökleri olabilmesi için iki eşitliğin sağlanması gerekir: x 1 + x 2 =5 ve x 1 · x 2 =6. Geriye kalan tek şey bu sayıları seçmek. İÇİNDE bu durumda bunu yapmak oldukça basittir: 2+3=5 ve 2.3=6 olduğundan bu tür sayılar 2 ve 3'tür. Dolayısıyla 2 ve 3 bu ikinci dereceden denklemin kökleridir.
Vieta teoreminin tersi olan teorem, köklerden biri zaten bilindiğinde veya açık olduğunda, belirli bir ikinci dereceden denklemin ikinci kökünü bulmak için özellikle uygundur. Bu durumda ikinci kök ilişkilerin herhangi birinden bulunabilir.
Örneğin ikinci dereceden 512 x 2 −509 x −3=0 denklemini ele alalım. Bu ikinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfıra eşit olduğundan, burada birliğin denklemin kökü olduğunu görmek kolaydır. Yani x 1 =1. İkinci kök x 2, örneğin x 1 ·x 2 =c/a ilişkisinden bulunabilir. Elimizde 1 x 2 =−3/512 var, buradan x 2 =−3/512. İkinci dereceden denklemin her iki kökünü de bu şekilde belirledik: 1 ve −3/512.
Kök seçiminin yalnızca en çok tavsiye edildiği açıktır. basit vakalar. Diğer durumlarda, kökleri bulmak için ikinci dereceden bir denklemin köklerine ilişkin formülleri diskriminant aracılığıyla uygulayabilirsiniz.
Bir şey daha pratik uygulama Vieta teoreminin tersi olan teorem, x 1 ve x 2 kökleri verilen ikinci dereceden denklemlerin oluşturulmasından oluşur. Bunu yapmak için, verilen ikinci dereceden denklemin zıt işaretli x katsayısını veren köklerin toplamını ve veren köklerin çarpımını hesaplamak yeterlidir. ücretsiz üye.
Örnek.
Kökleri -11 ve 23 olan ikinci dereceden bir denklem yazın.
Çözüm.
x 1 =−11 ve x 2 =23'ü gösterelim. Bu sayıların toplamını ve çarpımını hesaplıyoruz: x 1 +x 2 =12 ve x 1 ·x 2 =−253. Buradan, belirtilen sayılar ikinci katsayısı −12 ve serbest terimi −253 olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleridir. Yani gerekli denklem x 2 −12·x−253=0'dır.
Cevap:
x 2 −12·x−253=0 .
İkinci dereceden denklemlerin köklerinin işaretleriyle ilgili problemleri çözerken Vieta teoremi sıklıkla kullanılır. Vieta teoreminin ikinci dereceden indirgenmiş denklem x 2 +p·x+q=0'ın köklerinin işaretleriyle nasıl bir ilişkisi vardır? İşte konuyla ilgili iki açıklama:
- Serbest terim q pozitif bir sayıysa ve ikinci dereceden denklemin gerçel kökleri varsa, o zaman ya her ikisi de pozitiftir ya da her ikisi de negatiftir.
- Serbest q terimi negatif bir sayı ise ve ikinci dereceden denklemin gerçel kökleri varsa, işaretleri farklıdır, yani bir kök pozitif, diğeri negatiftir.
Bu ifadeler x 1 · x 2 =q formülünden ve ayrıca pozitif çarpma kurallarından kaynaklanmaktadır: negatif sayılar ve farklı işaretli sayılar. Uygulama örneklerine bakalım.
Örnek.
R pozitiftir. Diskriminant formülünü kullanarak D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8'i, r 2 +8 ifadesinin değerini buluruz. herhangi bir gerçek r için pozitiftir, dolayısıyla herhangi bir gerçek r için D>0'dır. Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklemin herhangi bir durum için iki kökü vardır. gerçek değerler parametre r.
Şimdi köklerin ne zaman oluştuğunu öğrenelim. farklı işaretler. Köklerin işaretleri farklıysa, çarpımları negatiftir ve Vieta teoremine göre indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir. Bu nedenle, serbest r−1 teriminin negatif olduğu r değerleriyle ilgileniyoruz. Dolayısıyla ilgilendiğimiz r değerlerini bulmak için ihtiyacımız var karar vermek doğrusal eşitsizlik r−1<0 , откуда находим r<1 .
Cevap:
r'de<1 .
Vieta formülleri
Yukarıda ikinci dereceden bir denklem için Vieta teoreminden bahsettik ve ileri sürdüğü ilişkileri analiz ettik. Ancak yalnızca ikinci dereceden denklemlerin değil, aynı zamanda kübik denklemlerin, dördüncü derecenin denklemlerinin ve genel olarak gerçek köklerini ve katsayılarını birbirine bağlayan formüller vardır. cebirsel denklemler derece Onlar denir Vieta'nın formülleri.
Formun n derecesinin cebirsel denklemi için Vieta formülünü yazalım ve bunun n gerçek kökü x 1, x 2, ..., x n (aralarında çakışan olanlar olabilir) olduğunu varsayalım: 
Vieta'nın formülleri elde edilebilir bir polinomun doğrusal faktörlere ayrıştırılmasına ilişkin teorem ve ayrıca karşılık gelen tüm katsayıların eşitliği yoluyla eşit polinomların tanımı. Yani polinom ve onun formun doğrusal faktörlerine açılımı eşittir. Son çarpımdaki parantezleri açıp karşılık gelen katsayıları eşitleyerek Vieta formüllerini elde ederiz.
Özellikle n=2 için ikinci dereceden bir denklem için zaten bildiğimiz Vieta formüllerine sahibiz.
Kübik bir denklem için Vieta'nın formülleri şu şekildedir: 
Geriye sadece Vieta'nın formüllerinin sol tarafında sözde temel formüllerin bulunduğunu belirtmek kalıyor. simetrik polinomlar.
Referanslar.
- Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - M.: Eğitim, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.
İlk önce teoremin kendisini formüle edelim: x^2+b*x + c = 0 formunda indirgenmiş ikinci dereceden bir denklemimiz olsun. Diyelim ki bu denklem x1 ve x2 köklerini içeriyor. O halde teoreme göre aşağıdaki ifadeler geçerlidir:
1) x1 ve x2 köklerinin toplamı b katsayısının negatif değerine eşit olacaktır.
2) Aynı köklerin çarpımı bize c katsayısını verecektir.
Peki verilen denklem nedir?
İndirgenmiş ikinci dereceden denklem, en yüksek derecenin katsayısı bire eşit olan ikinci dereceden bir denklemdir; bu x^2 + b*x + c = 0 biçiminde bir denklemdir (ve a*x^2 + b*x + c = 0 denklemi indirgenmemiştir). Yani denklemi verilen forma getirmek için bu denklemi en büyük kuvvetin katsayısına (a) bölmemiz gerekir. Görev, bu denklemi aşağıdaki forma getirmektir:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Her denklemi en yüksek derecenin katsayısına bölersek şunu elde ederiz:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Örneklerden de görebileceğiniz gibi kesir içeren denklemler bile verilen forma indirgenebilir.
Vieta teoremini kullanma
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
kökleri alıyoruz: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
sonuç olarak kökleri elde ederiz: x1 = -2; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
kökleri alıyoruz: x1 = −1; x2 = −4.
Vieta teoreminin anlamı
Vieta teoremi ikinci dereceden indirgenmiş herhangi bir denklemi neredeyse saniyeler içinde çözmemize olanak tanır. İlk bakışta bu oldukça zor bir iş gibi görünüyor, ancak 5 10 denklemden sonra kökleri görmeyi hemen öğrenebilirsiniz.
Verilen örneklerden ve teoremi kullanarak, ikinci dereceden denklemlerin çözümünü nasıl önemli ölçüde basitleştirebileceğiniz açıktır, çünkü bu teoremi kullanarak, ikinci dereceden bir denklemi karmaşık hesaplamalar yapmadan ve diskriminant hesaplamadan pratik olarak çözebilirsiniz ve bildiğiniz gibi, Hesaplamalar ne kadar az olursa hata yapmak o kadar zor olur ki bu da önemlidir.
Tüm örneklerde bu kuralı iki önemli varsayıma dayanarak kullandık:
Verilen denklem, yani. en yüksek derecenin katsayısı bire eşittir (bu durumdan kaçınmak kolaydır. Denklemin indirgenmemiş formunu kullanabilirsiniz, o zaman aşağıdaki ifadeler geçerli olacaktır x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, ancak çözülmesi genellikle daha zordur :))
Bir denklemin iki farklı kökü varsa. Eşitsizliğin doğru olduğunu ve diskriminantın kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu varsayıyoruz.
Bu nedenle Vieta teoremini kullanarak genel bir çözüm algoritması oluşturabiliriz.
Vieta teoremini kullanan genel çözüm algoritması
Denklem bize indirgenmemiş biçimde verilirse, ikinci dereceden bir denklemi indirgenmiş forma indirgemiş oluruz. Daha önce verili olarak sunduğumuz ikinci dereceden denklemdeki katsayılar kesirli (ondalık değil) çıktığında, bu durumda denklemimizin diskriminant yoluyla çözülmesi gerekir.
İlk denkleme dönmenin "uygun" sayılarla çalışmamıza izin verdiği durumlar da vardır.
Matematikte birçok kişinin kullandığı özel teknikler vardır. ikinci dereceden denklemlerçok hızlı ve hiçbir ayrım yapılmadan çözüme kavuşturulur. Dahası, uygun eğitimle çoğu kişi ikinci dereceden denklemleri sözlü olarak, kelimenin tam anlamıyla "ilk bakışta" çözmeye başlar.
Ne yazık ki, okul matematiğinin modern seyrinde bu tür teknolojiler neredeyse hiç çalışılmamaktadır. Ama bilmen gerekiyor! Bugün bu tekniklerden birine, Vieta teoremine bakacağız. Öncelikle yeni bir tanım verelim.
x 2 + bx + c = 0 formundaki ikinci dereceden denkleme indirgenmiş denir. Lütfen x 2'nin katsayısının 1 olduğunu unutmayın. Katsayılar üzerinde başka bir kısıtlama yoktur.
- x 2 + 7x + 12 = 0 indirgenmiş ikinci dereceden bir denklemdir;
- x 2 − 5x + 6 = 0 - ayrıca azaltılmış;
- 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ancak x 2'nin katsayısı 2'ye eşit olduğundan bu hiç verilmemiştir.
Elbette, ax 2 + bx + c = 0 formundaki herhangi bir ikinci dereceden denklem azaltılabilir - tüm katsayıları a sayısına bölmeniz yeterlidir. İkinci dereceden denklemin tanımı a ≠ 0 anlamına geldiğinden bunu her zaman yapabiliriz.
Doğru, bu dönüşümler kökleri bulmak için her zaman yararlı olmayacaktır. Aşağıda bunun yalnızca kareyle verilen son denklemde tüm katsayıların tam sayı olduğu durumlarda yapılması gerektiğinden emin olacağız. Şimdilik en basit örneklere bakalım:
Görev. İkinci dereceden denklemi indirgenmiş denkleme dönüştürün:
- 3x2 − 12x + 18 = 0;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0;
- 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
- 2x2 + 7x−11 = 0.
Her denklemi x 2 değişkeninin katsayısına bölelim. Şunu elde ederiz:
- 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - her şeyi 3'e böldüm;
- −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - bölü −4;
- 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - 1,5'e bölündüğünde tüm katsayılar tam sayı haline geldi;
- 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - bölü 2. Bu durumda kesirli katsayılar ortaya çıktı.
Gördüğünüz gibi, yukarıdaki ikinci dereceden denklemler, orijinal denklem kesirler içerse bile tamsayı katsayılara sahip olabilir.
Şimdi, aslında indirgenmiş ikinci dereceden denklem kavramının tanıtıldığı ana teoremi formüle edelim:
Vieta'nın teoremi. x 2 + bx + c = 0 formundaki indirgenmiş ikinci dereceden denklemi düşünün. Bu denklemin x 1 ve x 2 gerçek köklerine sahip olduğunu varsayalım. Bu durumda aşağıdaki ifadeler doğrudur:
- x 1 + x 2 = −b. Başka bir deyişle, verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, x değişkeninin ters işaretle alınan katsayısına eşittir;
- x 1 x 2 = c. İkinci dereceden bir denklemin köklerinin çarpımı serbest katsayıya eşittir.
Örnekler. Basitlik açısından, yalnızca ek dönüşüm gerektirmeyen yukarıdaki ikinci dereceden denklemleri ele alacağız:
- x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; kökler: x 1 = 4; x2 = 5;
- x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; kökler: x 1 = 3; x2 = −5;
- x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; kökler: x 1 = −1; x 2 = −4.
Vieta teoremi bize ikinci dereceden bir denklemin kökleri hakkında ek bilgi verir. İlk bakışta bu zor görünebilir, ancak minimum eğitimle bile kökleri "görmeyi" öğrenecek ve birkaç saniye içinde onları tam anlamıyla tahmin edeceksiniz.
Görev. İkinci dereceden denklemi çözün:
- x 2 − 9x + 14 = 0;
- x 2 − 12x + 27 = 0;
- 3x2 + 33x + 30 = 0;
- −7x 2 + 77x − 210 = 0.
Vieta teoremini kullanarak katsayıları yazmaya çalışalım ve kökleri "tahmin edelim":
- x 2 − 9x + 14 = 0 indirgenmiş ikinci dereceden bir denklemdir.
Vieta teoremine göre: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Köklerin 2 ve 7 sayıları olduğunu görmek kolaydır; - x 2 − 12x + 27 = 0 - yine azaltılmış.
Vieta teoremine göre: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Dolayısıyla kökler: 3 ve 9; - 3x 2 + 33x + 30 = 0 - bu denklem indirgenmez. Ama şimdi bunu denklemin her iki tarafını da a = 3 katsayısına bölerek düzelteceğiz. Şunu elde ederiz: x 2 + 11x + 10 = 0.
Vieta teoremini kullanarak çözüyoruz: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ kökler: −10 ve −1; - −7x 2 + 77x − 210 = 0 - yine x 2'nin katsayısı 1'e eşit değildir, yani. denklem verilmemiştir. Her şeyi a = −7 sayısına bölüyoruz. Şunu elde ederiz: x 2 − 11x + 30 = 0.
Vieta teoremine göre: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Bu denklemlerden kökleri tahmin etmek kolaydır: 5 ve 6.
Yukarıdaki mantıktan Vieta teoreminin ikinci dereceden denklemlerin çözümünü nasıl basitleştirdiği açıktır. Karmaşık hesaplamalar yok, aritmetik kökler veya kesirler yok. Ve bir ayırıcıya bile ihtiyacımız yoktu (“İkinci dereceden denklemleri çözme” dersine bakın).
Tabii ki, tüm düşüncelerimizde, genel olarak konuşursak, gerçek problemlerde her zaman karşılanmayan iki önemli varsayımdan yola çıktık:
- İkinci dereceden denklem indirgenir, yani. x 2'nin katsayısı 1'dir;
- Denklemin iki farklı kökü vardır. Cebirsel açıdan bakıldığında, bu durumda diskriminant D > 0'dır; aslında başlangıçta bu eşitsizliğin doğru olduğunu varsayarız.
Ancak tipik matematik problemlerinde bu koşullar sağlanır. Hesaplama "kötü" bir ikinci dereceden denklemle sonuçlanırsa (x 2'nin katsayısı 1'den farklıysa), bu kolayca düzeltilebilir - dersin en başındaki örneklere bakın. Kökler konusunda genelde sessizim: Cevabı olmayan bu nasıl bir sorun? Elbette kökleri olacak.
Dolayısıyla ikinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmenin genel şeması aşağıdaki gibidir:
- Eğer problem tanımında henüz yapılmadıysa, ikinci dereceden denklemi verilen denkleme azaltın;
- Yukarıdaki ikinci dereceden denklemdeki katsayılar kesirli ise diskriminant kullanarak çözeriz. Daha "kullanışlı" sayılarla çalışmak için orijinal denkleme bile geri dönebilirsiniz;
- Tamsayı katsayılar durumunda denklemi Vieta teoremini kullanarak çözeriz;
- Kökleri birkaç saniye içinde tahmin edemezseniz Vieta teoremini unutun ve diskriminant kullanarak çözün.
Görev. Denklemi çözün: 5x 2 − 35x + 50 = 0.
Yani önümüzde indirgenmemiş bir denklem var çünkü a katsayısı = 5. Her şeyi 5'e bölersek şunu elde ederiz: x 2 − 7x + 10 = 0.
İkinci dereceden denklemin tüm katsayıları tam sayıdır - hadi bunu Vieta teoremini kullanarak çözmeye çalışalım. Elimizde: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Bu durumda kökleri tahmin etmek kolaydır; bunlar 2 ve 5'tir. Diskriminant kullanarak saymaya gerek yoktur.
Görev. Denklemi çözün: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.
Bakalım: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - bu denklem indirgenmemiş, her iki tarafı da a = −5 katsayısına bölelim. Şunu elde ederiz: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - kesirli katsayılara sahip bir denklem.
Orijinal denkleme dönmek ve diskriminant üzerinden saymak daha iyidir: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x2 = 0,4.
Görev. Denklemi çözün: 2x 2 + 10x − 600 = 0.
Öncelikle her şeyi a = 2 katsayısına bölelim. x 2 + 5x − 300 = 0 denklemini elde ederiz.
Bu, Vieta teoremine göre indirgenmiş denklemdir: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Bu durumda ikinci dereceden denklemin köklerini tahmin etmek zordur - kişisel olarak bu sorunu çözerken ciddi şekilde sıkışıp kaldım.
Diskriminant aracılığıyla kökleri aramamız gerekecek: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Diskriminantın kökünü hatırlamıyorsanız, sadece 1225: 25 = 49 olduğunu not edeceğim. Bu nedenle, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.
Artık diskriminantın kökü bilindiğine göre denklemi çözmek zor değil. Şunu elde ederiz: x 1 = 15; x 2 = −20.
İkinci dereceden bir denklemi çözme yöntemlerinden biri kullanmaktır. VIET formülleri Adını FRANCOIS VIETTE'den almıştır.
16. yüzyılda Fransız kralına hizmet etmiş ünlü bir avukattı. Boş zamanlarında astronomi ve matematik okudu. İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir bağlantı kurdu.
Formülün avantajları:
1 . Formülü uygulayarak hızlı bir şekilde çözüm bulabilirsiniz. Çünkü ikinci katsayıyı kareye girip ondan 4ac'yi çıkarıp diskriminantı bulup değerini formülde yerine koyarak kökleri bulmaya gerek yok.
2 . Çözüm olmadan köklerin işaretlerini belirleyebilir ve köklerin değerlerini seçebilirsiniz.
3 . İki kayıttan oluşan bir sistemi çözdükten sonra kökleri bulmak zor değildir. Yukarıdaki ikinci dereceden denklemde köklerin toplamı eksi işaretli ikinci katsayının değerine eşittir. Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin çarpımı üçüncü katsayının değerine eşittir.
4 . Bu kökleri kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın, yani ters problemi çözün. Örneğin teorik mekanikteki problemleri çözerken bu yöntem kullanılır.
5 . Baş katsayı bire eşit olduğunda formülü kullanmak uygundur.
Kusurlar:
1
. Formül evrensel değildir.
Vieta teoremi 8. sınıf
Formül
Eğer x 1 ve x 2, indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 + px + q = 0'ın kökleri ise, o zaman:
Örnekler
x1 = -1; x 2 = 3 - denklemin kökleri x 2 - 2x - 3 = 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Converse teoremi
Formül
Eğer x 1, x 2, p, q sayıları koşullarla ilişkiliyse:
O halde x 1 ve x 2, x 2 + px + q = 0 denkleminin kökleridir.
Örnek
Köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturalım:
X 1 = 2 - ? 3 ve x 2 = 2 + ? 3.
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.
Gerekli denklem şu şekildedir: x 2 - 4x + 1 = 0.
Herhangi bir tam ikinci dereceden denklem balta 2 + bx + c = 0 aklıma getirilebilir x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, eğer her terimi önce a katsayısına bölerseniz x 2. Ve eğer yeni notasyonlar eklersek (b/a) = p Ve (c/a) = q o zaman denklemi elde ederiz x 2 + piksel + q = 0 matematikte buna denir verilen ikinci dereceden denklem.
İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayılar P Ve Q birbirine bağlı. Bu doğrulandı Vieta'nın teoremi Adını 16. yüzyılın sonlarında yaşayan Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır.
Teorem. İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı x 2 + piksel + q = 0 ikinci katsayıya eşit P, zıt işaretle alınmış ve köklerin çarpımı - serbest terime Q.
Bu ilişkileri aşağıdaki formda yazalım:
İzin vermek x 1 Ve x 2 verilen denklemin farklı kökleri x 2 + piksel + q = 0. Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = -p Ve x 1 x 2 = q.
Bunu kanıtlamak için x 1 ve x 2 köklerinden her birini denklemde yerine koyalım. İki gerçek eşitlik elde ederiz:
x 1 2 + piksel 1 + q = 0
x 2 2 + piksel 2 + q = 0
Birinci eşitlikten ikinciyi çıkaralım. Şunu elde ederiz: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
İlk iki terimi kareler farkı formülünü kullanarak genişletiyoruz:
(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0
Koşullara göre x 1 ve x 2 kökleri farklıdır. Bu nedenle eşitliği (x 1 – x 2) ≠ 0'a indirgeyip p'yi ifade edebiliriz.
(x1 + x2) + p = 0;
(x1 + x2) = -p.
İlk eşitlik kanıtlandı.
İkinci eşitliği kanıtlamak için birinci denklemi yerine koyarız
x 1 2 + px 1 + q = 0 yerine p katsayısı yerine eşit bir sayı (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Denklemin sol tarafını dönüştürürsek şunu elde ederiz:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, kanıtlanması gereken de buydu.
Vieta teoremi iyidir çünkü İkinci dereceden bir denklemin köklerini bilmeden bile toplamlarını ve çarpımlarını hesaplayabiliriz. .
Vieta teoremi, belirli bir ikinci dereceden denklemin tamsayı köklerini belirlemeye yardımcı olur. Ancak bu, özellikle denklemin kökleri farklı işaretlere sahipse, net bir eylem algoritması bilmemeleri nedeniyle birçok öğrenci için zorluklara neden olur.
Dolayısıyla, yukarıdaki ikinci dereceden denklem x 2 + px + q = 0 biçimindedir; burada x 1 ve x 2, onun kökleridir. Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = -p ve x 1 x 2 = q.
Aşağıdaki sonuç çıkarılabilir.
Denklemdeki son terimin önünde eksi işareti varsa, x 1 ve x 2 köklerinin farklı işaretleri vardır. Ayrıca küçük kökün işareti denklemdeki ikinci katsayının işaretiyle örtüşmektedir.
Farklı işaretli sayıları toplarken modüllerinin çıkarılması ve ortaya çıkan sonuçtan önce daha büyük modülo numarasının işaretinin gelmesi gerçeğine dayanarak, aşağıdaki şekilde ilerlemelisiniz:
- q sayısının, farkları p sayısına eşit olacak şekilde çarpanlarını belirleyin;
- denklemin ikinci katsayısının işaretini elde edilen sayılardan küçük olanın önüne koyun; ikinci kök ters işarete sahip olacaktır.
Bazı örneklere bakalım.
Örnek 1.
x 2 – 2x – 15 = 0 denklemini çözün.
Çözüm.
Yukarıda önerilen kuralları kullanarak bu denklemi çözmeye çalışalım. O zaman bu denklemin iki farklı kökü olacağını kesin olarak söyleyebiliriz çünkü D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Şimdi 15 sayısının tüm çarpanlarından (1 ve 15, 3 ve 5) farkı 2 olanları seçiyoruz. Bunlar 3 ve 5 sayıları olacak. Küçük sayının önüne eksi işareti koyuyoruz yani. Denklemin ikinci katsayısının işareti. Böylece x 1 = -3 ve x 2 = 5 denkleminin köklerini elde ederiz.
Cevap. x 1 = -3 ve x 2 = 5.
Örnek 2.
x 2 + 5x – 6 = 0 denklemini çözün.
Çözüm.
Bu denklemin köklerinin olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için bir diskriminant buluyoruz:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Denklemin iki farklı kökü vardır.
6 sayısının olası çarpanları 2 ve 3, 6 ve 1'dir. 6 ve 1 çifti için fark 5'tir. Bu örnekte ikinci terimin katsayısı artı işaretine sahiptir, dolayısıyla daha küçük sayı aynı işarete sahip olacaktır. Ancak ikinci sayıdan önce bir eksi işareti olacaktır.
Cevap: x 1 = -6 ve x 2 = 1.
Vieta teoremi tam ikinci dereceden bir denklem için de yazılabilir. Yani, eğer ikinci dereceden denklem balta 2 + bx + c = 0 kökleri x 1 ve x 2 ise, bunlar için eşitlikler geçerlidir
x 1 + x 2 = -(b/a) Ve x 1 x 2 = (c/a). Ancak bu teoremin ikinci dereceden tam bir denklemde uygulanması oldukça problemlidir, çünkü eğer kökler varsa, bunlardan en az biri kesirli sayı. Kesirleri seçerek çalışmak oldukça zordur. Ama yine de bir çıkış yolu var.
İkinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denkleminin tamamını düşünün. Sol ve sağ taraflarını a katsayısıyla çarpın. Denklem (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 formunu alacaktır. Şimdi yeni bir değişken tanıtalım, örneğin t = ax.
Bu durumda, ortaya çıkan denklem, kökleri t 1 ve t 2'nin (varsa) Vieta teoremi ile belirlenebildiği t 2 + bt + ac = 0 formunda indirgenmiş ikinci dereceden bir denkleme dönüşecektir.
Bu durumda orijinal ikinci dereceden denklemin kökleri şöyle olacaktır:
x 1 = (t 1 / a) ve x 2 = (t 2 / a).
Örnek 3.
15x 2 – 11x + 2 = 0 denklemini çözün.
Çözüm.
Derleme yardımcı denklem. Denklemin her terimini 15 ile çarpalım:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
Yer değiştirmeyi t = 15x yapıyoruz. Sahibiz:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Vieta teoremine göre kökler verilen denklem t 1 = 5 ve t 2 = 6 olacaktır.
t = 15x yerine geri dönüyoruz:
5 = 15x veya 6 = 15x. Yani x 1 = 5/15 ve x 2 = 6/15. İndirgeyip son cevabı alıyoruz: x 1 = 1/3 ve x 2 = 2/5.
Cevap. x 1 = 1/3 ve x 2 = 2/5.
Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme konusunda uzmanlaşmak için öğrencilerin mümkün olduğunca pratik yapması gerekir. Başarının sırrı tam olarak budur.
web sitesi, materyali tamamen veya kısmen kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
