Cebirsel denklem. Cebirsel denklemleri çözme

Uncyclopedia'dan materyal

Cebirsel denklemler P(x 1, ..., x n) = O formundaki denklemlerdir; burada P, x 1, ..., x n değişkenlerinde bir polinomdur. Bu değişkenlere bilinmeyenler denir. Sıralı bir sayı kümesi (a 1, ..., a n), x 1'i 1 ile, x 2'yi 2 ile vb. değiştirerek bu denklemi karşılar. doğru sayısal eşitlik elde edilir (örneğin, (3, 4, 5) numaralı sayıların sıralı üçlüsü x 2 + y 2 = z 2 denklemini karşılar, çünkü 3 2 + 4 2 = 5 2). Bir bilinmeyenli cebirsel denklemi sağlayan sayıya o denklemin kökü denir. Belirli bir denklemi sağlayan tüm sayı kümelerinin kümesi, bu denklemin çözüm kümesidir. Çözümleri aynı olan iki cebirsel denkleme eşdeğer denir. P polinomunun derecesine P(x 1, ..., x n) = 0 denkleminin derecesi denir. Örneğin, 3x - 5y + z = c birinci dereceden bir denklemdir, x 2 + y 2 = z 2 ikinci derecedendir ve x 4 3x 3 + 1 = 0 - dördüncü derecedendir. Birinci dereceden denklemlere doğrusal da denir (bkz. Doğrusal denklemler).

Bir bilinmeyenli cebirsel denklemin sonlu sayıda kökü vardır ve bir cebirsel denklemin çözüm kümesi Büyük bir sayı bilinmeyenler temsil edebilir sonsuz küme belirli sayı kümeleri. Bu nedenle, genellikle n bilinmeyenli bireysel cebirsel denklemleri değil, denklem sistemlerini dikkate alırlar ve belirli bir sistemin tüm denklemlerini aynı anda karşılayan sayı kümelerini ararlar. Tüm bu kümelerin birleşimi sistemin çözüm kümesini oluşturur. Örneğin, x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 denklem sisteminin çözüm kümesi: ((3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1)).

1. dereceden bir bilinmeyenli cebirsel denklemler zaten çözülmüştü. Antik Mısır ve Antik Babil. Babil yazıcıları ikinci dereceden denklemlerin yanı sıra basit sistemleri de çözebildiler doğrusal denklemler ve 2. dereceden denklemler. Özel tablolar kullanarak 3. dereceden bazı denklemleri de çözdüler, örneğin x 3 + x = a. İÇİNDE Antik Yunanİkinci dereceden denklemler geometrik yapılar kullanılarak çözüldü. Yunan matematikçi Diophantus (III. Yüzyıl), cebirsel denklemleri ve bu tür denklem sistemlerini birçok bilinmeyenle çözmek için yöntemler geliştirdi. rasyonel sayılar. Örneğin, rasyonel sayılarda x 4 - y 4 + z 4 = n 2 denklemini, y 3 + x 2 = u 2, z 2 + x 2 = v 3 vb. denklem sistemini çözdü. (bkz. Diofant denklemleri).

Bazı geometrik problemler: Bir küpün iki katına çıkması, bir açının üçe bölünmesi (bkz. Klasik problemler antik çağ), düzenli bir yedigenin inşası - kübik denklemlerin çözümüne yol açar. Çözüm sürecinde kesişme noktalarını bulmak gerekiyordu konik bölümler(elipsler, paraboller ve hiperboller). Faydalanmak geometrik yöntemler Ortaçağ Doğu matematikçileri kübik denklemlerin çözümleri üzerinde çalıştı. Ancak bunları çözecek bir formül bulamadılar. Batı Avrupa matematiğinin ilk büyük keşfi 16. yüzyılda elde edildi. Kübik denklemin çözümü için formül. Çünkü o zamanlar negatif sayılar henüz yaygınlaşmadığından x 3 + px = q, x 3 + q = px vb. denklem türlerini ayrı ayrı analiz etmek gerekiyordu. İtalyan matematikçi S. del Ferro (1465-1526) x 3 denklemini çözdü + px = q ve çözümü, kendi kendini yetiştirmiş olağanüstü matematikçi N. Tartaglia'yı (1499-1557) bir matematik turnuvasına davet eden damadı ve öğrencisi A. M. Fiore'ye iletti. Turnuvadan birkaç gün önce Tartaglia kübik denklemleri çözmek için genel bir yöntem buldu ve kendisine sunulan 30 problemin tamamını hızla çözerek kazandı. Ancak Tartaglia'nın x 3 + px + q = 0 denklemini çözmek için bulduğu formül

x = 3 √(-q/2 + √(q 2/4 + p 3/27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2/4 + p 3/27))

Cebirsel sembolizmin oluşturulması ve sayı kavramının genelleştirilmesi Karışık sayılar XVII-XVIII yüzyıllarda izin verildi. araştırma Genel Özellikler cebirsel denklemler daha yüksek dereceler bir ve birkaç değişkenli polinomların genel özelliklerinin yanı sıra.

En iyilerinden biri önemli görevler 17.-18. yüzyıllarda cebirsel denklemler teorisi. 5. dereceden bir denklemi çözecek formülü bulmaktı. Birçok kuşak cebircinin sonuçsuz araştırmalarından sonra, 18. yüzyıldaki bir Fransız bilim adamının çabaları sayesinde. J. Lagrange (1736-1813), İtalyan bilim adamı P. Ruffini (1765-1822) ve Norveçli matematikçi N. Abel XVIII'in sonu - XIX'in başı V. 5. dereceden herhangi bir denklemin köklerini, denklemin katsayıları aracılığıyla, yalnızca aritmetik işlemler ve köklerin çıkarılmasıyla ifade etmede kullanılabilecek bir formülün olmadığı kanıtlandı. Bu çalışmalar, teorisi herhangi bir denklemin köklerinin radikallerle ifade edilip edilmediğini belirlemeyi mümkün kılan E. Galois'in çalışmasıyla tamamlandı. Bundan önce bile K. F. Gauss ifade sorununu çözmüştü. kare radikaller x n - 1 = 0 denkleminin kökleri, bir pergel ve cetvel kullanarak düzenli bir n-gon oluşturma probleminin azaltıldığı yerdir. Özellikle bu araçları kullanarak düzgün bir yedigen, dokuzgen vb. oluşturmak imkansızdır. - böyle bir yapı yalnızca n'nin 2 2k + 1 formunda bir asal sayı olması veya bu formdaki farklı asal sayıların çarpımı olması durumunda mümkündür.

Çözülecek formül arayışıyla birlikte özel denklemler Herhangi bir cebirsel denklemin köklerinin varlığı sorusu araştırıldı. 18. yüzyılda Fransız filozof ve matematikçi J. D'Alembert, derecesi sıfır olmayan, karmaşık katsayılı herhangi bir cebirsel denklemin en az bir taneye sahip olduğunu kanıtladı. karmaşık kök. D'Alembert'in kanıtında boşluklar vardı ve bunlar daha sonra Gauss tarafından dolduruldu. Bu teoremden şu sonuç çıktı: n'inci polinom x'in kuvvetleri n doğrusal faktörün çarpımına ayrıştırılır.

Şu anda cebirsel denklem sistemleri teorisi, cebirsel geometri adı verilen bağımsız bir matematik alanına dönüştü. Bu tür denklem sistemleriyle tanımlanan daha yüksek boyutlardaki çizgileri, yüzeyleri ve manifoldları inceler.

Matematiğe ilgi duyan öğrenciler için yüksek mertebeden cebirsel denklemleri çözerken etkili yöntem Kökleri hızlı bir şekilde bulmak, kalanla iki terimli x - a veya ax + b'ye bölmek Horner'ın şemasıdır.

Horner'ın planını düşünün.

P(x)'i x – a'ya bölerken eksik bölümü gösterelim.

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1 ve geri kalan b n'dir.

P(x) = Q(x)(x–) + b n olduğundan eşitlik geçerlidir

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(x–a) + b n

Sağ taraftaki parantezleri açalım ve katsayıları karşılaştıralım. eşit derece x sol ve sağ. a 0 = b 0 ve 1'de elde ederiz < k < n bağıntıları a k = b k - a b k-1'dir. Buradan b 0 = a 0 ve b k = a k + a b k-1, 1 çıkar. < k < N.

Q(x) polinomunun katsayılarının ve kalan b n'nin katsayılarının hesaplanmasını bir tablo şeklinde yazıyoruz:

Örnek 1. 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 polinomunu x + 1'e bölün.

Çözüm. Horner'ın planını kullanıyoruz.

2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1'i x + 1'e böldüğümüzde 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1 elde ederiz.

Cevap: 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

Örnek 2. P(3)'ü hesaplayın; burada P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

Çözüm. Bezout teoremini ve Horner şemasını kullanarak şunu elde ederiz:

Cevap: P(3) = 535

Egzersiz yapmak

1) Horner şemasını kullanarak polinomu bölün

x + 2 üzerinde 4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2;

2) Polinomu bölün

x + 1 üzerinde 2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1;

3) x = 7 için P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 polinomunun değerini bulun.

1.1. Aramak rasyonel kökler tamsayı katsayılı denklemler

Tamsayı katsayılı bir cebirsel denklemin rasyonel köklerini bulma yöntemi aşağıdaki teorem ile verilmektedir.

Teorem: Tamsayı katsayılı bir denklem varsa rasyonel kökler, o zaman bunlar serbest terimin böleninin baş katsayı bölenine bölümüdür.

Kanıt: a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0

X = p/q rasyonel bir kök olsun; q, p eş asal olsun.

P/q kesirini denklemde yerine koyarsak ve kendimizi paydadan kurtarırsak, şunu elde ederiz:

a 0 p n + a 1 p n-1 q+ … + a n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

(1)’i iki şekilde yeniden yazalım:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

a 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

Eşitlik (2)'den, bir n q n'nin p'ye bölünebildiği sonucu çıkar ve bu yana q n ve p eş asaldır, bu durumda a n p'ye bölünebilir. Benzer şekilde, eşitlik (3)'ten a 0'ın q'ya bölünebildiği sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.

Örnek 1. 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0 denklemini çözün.

Çözüm. Denklemin tamsayı kökleri yoktur; denklemin rasyonel köklerini buluruz. İndirgenemez kesir p/q denklemin kökü olsun, o zaman p serbest terimin bölenleri arasında bulunur; ± 1 sayıları arasında ve baş katsayının pozitif bölenleri arasında q: 1; 2.

Onlar. Denklemin rasyonel kökleri ± 1, ± 1/2, P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1) 0, P 3 (–1) 0 sayıları arasında aranmalıdır. ,

P 3(1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 denklemin köküdür.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

Şunu elde ederiz: x 2 (2x – 1) – 3x(2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

İkinci faktörü sıfıra eşitleyip denklemi çözersek, şunu elde ederiz:

Egzersizler

Denklemleri çözün:

1. 6x3 – 25x2 + 3x + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. Karşılıklı denklemler ve çözüm yöntemleri

Tanım. Bilinmeyene göre tamsayı kuvvetleri olan bir denklem, sol tarafın uçlarından eşit uzaklıktaki katsayıları birbirine eşitse, tekrarlayan olarak adlandırılır. formun denklemi

ax n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

Tek dereceli karşılıklı denklem

ax 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + a = 0

her zaman bir x = – 1 kökü vardır. Dolayısıyla x + 1 = 0 ve . denkleminin birleşimine eşdeğerdir. Son denklem çift dereceli karşılıklı bir denklemdir. Böylece, herhangi bir dereceden karşılıklı denklemlerin çözümü, çift dereceli bir karşılıklı denklemin çözümüne indirgenir.

Nasıl çözeceksin? Çift dereceli bir karşılıklı denklem verilsin

ax 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + a = 0

X = 0'ın denklemin kökü olmadığına dikkat edin. Sonra denklemi x n'ye bölersek şunu elde ederiz:

ax n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

Sol tarafın şartlarını çiftler halinde gruplandırıyoruz

a(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

x + x -1 = y yerine koyuyoruz. x 2 + x -2 = y 2 – 2 ifadelerini yerine koyduktan sonra;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 denklemini elde ettiğimiz denklemde en Aу n + By n-1 + Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

Bu denklemi çözmek için birkaç tane çözmeniz gerekir ikinci dereceden denklemler x + x -1 = y k formundadır, burada k = 1, 2, ... n. Böylece orijinal denklemin köklerini elde ederiz.

Örnek 1. x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0 denklemini çözün.

Çözüm. x = – 1 denklemin köküdür. Horner'ın planını uygulayalım.

Denklemimiz şu şekli alacaktır:

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | :x3 ? 0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

Gruplandırdığımızda şunu elde ederiz: .

Değiştirmeyi tanıtıyoruz: ; ; .

Göreceli olarak alıyoruz en denklem: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y3 + y2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1)(y 2 – 9); y 1 = -1, y 2,3 = ± 3.

Denklem çözme , , ,

kökleri alıyoruz: , , ,

Cevap: x 1 = -1, ,

Egzersizler

Denklemleri çözün.

1. 2x 5 + 5x 4 – 13x 3 – 13x 2 + 5x + 2 = 0;
2. 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0;
3. 15x5 + 34x4 + 15x3 – 15x2 – 34x – 15 = 0.

1.3. Denklemleri çözmek için değişken değiştirme yöntemi

Değişken değiştirme yöntemi en yaygın yöntemdir. Değişken bir değişiklik yapma sanatı, hangi değişikliğin en anlamlı olduğunu ve başarıya daha hızlı yol açacağını görmektir.

Denklem verilirse

F(f(x)) = 0, (1)

daha sonra bilinmeyen y = f(x) yerine geçerek ilk önce denkleme indirgenir

ve sonra (2) denkleminin tüm çözümlerini bulduktan sonra y 1 , y 2 , …, y n , … f(x) = y 1, f(x) = y 2 ,…, f denklem setini çözmeye indirgenir (x) = y 2,...

Değişken değiştirme yöntemini uygulamanın ana yolları şunlardır:

• bir kesrin temel özelliğini kullanarak;
• binomun karesini vurgulamak;
• denklem sistemine geçiş;
• parantezlerin çiftler halinde açılması;
• parantezlerin çiftler halinde açılması ve denklemin her iki tarafının bölünmesi;
• denklemin derecesinin azaltılması;
• çift ​​değiştirme.

1.3.1. Bir denklemin gücünü azaltmak

(x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3) denklemini çözün

Çözüm. x 2 + x + 2 = y'yi gösterelim, sonra y (y + 1) = 6'yı alalım, ikincisini çözersek y 1 = 2, y 2 = -3 elde ederiz. Bu denklem (3), x 2 + x + 2 = 2 denklem grubuna eşdeğerdir.

x 2 + x + 2 = -3

İlkini çözerek x 1 = 0, x 2 = -1 elde ederiz. İkinciyi çözersek şunu elde ederiz ,

Cevap: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m formundaki dördüncü derece denklem, burada a + b = c + d veya a + c = b + d veya a + d = b+c.

Örnek. (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40 denklemini çözün

Çözüm. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, bu parantez çiftlerini çarparak (x 2 - 5x - 14)(x 2 - 5x + 4) = 40 denklemini elde ederiz.

Yer değiştirmeyi tanıtalım: x 2 - 5x – 14 = y, y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0 denklemini elde ederiz. y 1 = -20, y 2 = 2. Orijinal değişkene dönersek bir dizi denklemi çözeriz:

1.3.3. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Örnek 2 formundaki bir denklem,

burada ab = cd veya ac =bd veya ad = bc. Parantezleri çiftler halinde açın ve her iki parçayı da x 2 0'a bölün.

Örnek. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x 2

Çözüm. Birinci ve üçüncü ile ikinci ve dördüncü parantez içindeki sayıların çarpımı eşittir; – 8 (- 1) = (- 2)(- 4). Belirtilen parantez çiftlerini çarpalım ve (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2 denklemini yazalım.

x = 0 denklemin kökü olmadığından denklemin her iki tarafını da x 2 0'a bölersek şunu elde ederiz: , yenisiyle değiştirme: , orijinal denklemşu formu alacaktır: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

Orijinal değişkene dönelim:

İlk denklemi çözersek x 1,2 = 5 ± elde ederiz

İkinci denklemin kökleri yoktur.

Cevap: x 1,2 = 5 ±

1.3.4. Dördüncü türün denklemi (ax 2 + b 1 x + c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2

Denklem (ax 2 + b 1 x+ c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2, burada c 0, A 0'ın x = 0 kökü yoktur, dolayısıyla denklemi x 2'ye bölerek, denklemin eşdeğerini elde ederiz Bilinmeyen değiştirildikten sonra kare şeklinde yeniden yazılacak ve kolaylıkla çözülebilecektir.

İsim Denklemin katsayıları verilerdir, hnaz. bilinmeyen ve istenen şeydir. A. katsayılar (1) hepsinin sıfır olduğu varsayılmaz. Daha sonra çağrılırsa Denklemin derecesi.

bilinmeyenin anlamları X, denklem (1)'i karşılayanlar, yani yerine koyarken denklemi bir kimliğe dönüştürürler. denklemin (1) kökleri ve polinomun kökleri

fn(X) = a 0 x n + a 1 x n-1 +...+a n .(2)

Bir polinomun kökleri Vieta formülleri kullanılarak katsayılarıyla ilişkilendirilir (bkz. Vieta'nın teoremi). Bir denklemi çözmek, bilinmeyenin dikkate alınan değer aralığında yer alan tüm köklerini bulmak anlamına gelir.

Uygulamalar için en önemli durum, denklemin katsayılarının ve köklerinin şu veya bu türden sayılar (örneğin rasyonel, gerçek veya karmaşık) olmasıdır. Katsayılar ve kökler keyfi bir değişkenin unsurları olduğunda da durum dikkate alınır. alanlar. Eğer verilen numara(veya alan öğesi) İle - bir polinomun kökü fn(X) , o zaman göre Teorem olmadan f n(x).bölünebilir x-s iz bırakmadan. Bölme Horner'a göre yapılabilir

şeması. Numara (veya alan öğesi) çağrıldı. k-askerliğe f(x)( polinomunun kökü k- doğal sayı x-s), eğer f(x).( ) k , ancak (x-с) k+1'e bölünemez. Çokluğun kökleri 1 denir. basit kökler

polinom.

Rm alanından gelen katsayılara sahip, n>0 dereceli her bir f(x). polinomunun Pn'de n'den fazla kökü vardır, her kökü kendi çokluğu kadar sayar (ve dolayısıyla n'den fazla farklı kök yoktur). İÇİNDE cebirsel olarak kapalı alan

Her derece polinomunun tam kökleri vardır (çoklukları dikkate alınarak). Bu özellikle karmaşık sayılar alanı için geçerlidir. Pnaz alanındaki katsayılarla ps derecesinin denklemi (1). bir alan üzerinde indirgenemez R, Pnaz alanındaki katsayılarla ps derecesinin denklemi (1). bir alan üzerinde indirgenemez eğer polinom (2) bu alan üzerinde indirgenemez ise, yani alan üzerindeki diğer polinomların çarpımı olarak temsil edilemiyorsa dereceleri daha az olan P. Aksi takdirde polinom ve karşılık gelen denklem çağrılır. verildi. Sıfır dereceli polinomların kendisi ne indirgenebilir ne de indirgenemez. Belirli bir polinomun P alanı üzerinde indirgenebilir veya indirgenemez olma özelliği, söz konusu alana bağlıdır. Bu nedenle, x 2 -2 polinomu rasyonel sayılar kümesi üzerinde indirgenemez, aksi halde rasyonel köklere sahip olacaktır, ancak bu alan üzerinde indirgenebilir: gerçek sayılar x 2 - 2=(x+)(TS22=(x+ X- ). Aynı şekilde polinom x 2 + 1, gerçel sayılar alanında indirgenemez, ancak karmaşık sayılar alanında indirgenebilir. Genel olarak, yalnızca 1. dereceden polinomlar karmaşık sayılar alanı üzerinde indirgenemez ve herhangi bir polinom şu şekilde ayrıştırılabilir: doğrusal faktörler . Gerçek sayılar alanında, yalnızca 1. dereceden polinomlar ve 2. dereceden gerçek kökleri olmayan polinomlar indirgenemez (ve her polinom doğrusal ve indirgenemez olarak ayrıştırılabilir)). Rasyonel sayılar alanı üzerinde herhangi bir dereceden indirgenemez polinomlar vardır, örneğin formun polinomları gibi. Bir polinomun rasyonel sayılar alanı üzerinde indirgenemezliği Eisenstein kriteri ile belirlenir: bir polinom için (2) tamsayı katsayılı derecenin başındakinin bölünemeyeceği şekilde p vardır R, diğer tüm katsayılar ile bölünebilir ve serbest terim o zamana kadar bölünemez, o zaman bu polinom rasyonel sayılar alanı üzerinde indirgenemez.

İzin vermek R -özel alan. Bir alan üzerinde indirgenemeyen dereceli herhangi bir polinom için Pnaz alanındaki katsayılarla ps derecesinin denklemi (1). bir alan üzerinde indirgenemez böyle bir şey var eklenti polinomun en az bir kökünü içeren P alanı ayrıca bir polinom, yani bir alan vardır; Pnaz alanındaki katsayılarla ps derecesinin denklemi (1). bir alan üzerinde indirgenemez burada bu polinom doğrusal faktörlere ayrıştırılabilir. Herhangi bir alan cebirsel olarak kapalıdır.

Cebirsel denklemlerin radikallerde çözülebilirliği. Herhangi bir A.u. 4'ü geçmeyen dereceler radikallerde çözülür. 2. ve 3. dereceden belirli denklem türlerine yol açan problemlerin çözümü antik Babil'de (M.Ö. 2000) bulunabilir (bkz. İkinci dereceden denklem, Kübik denklem).İkinci dereceden denklemleri çözme teorisinin ilk sunumu Diophantus'un “Aritmetik” kitabında (MS 3. yüzyıl) verilmiştir. Harf katsayılı 3. ve 4. derece denklemlerin radikallerdeki çözümü 16. yüzyılda İtalyan matematikçiler tarafından elde edildi. (santimetre. Cardano, Ferrari yöntemi). Bundan sonraki neredeyse 300 yıl boyunca, harf katsayıları 5'inci ve daha yüksek olan bir denklemi radikallerle çözmek için başarısız girişimlerde bulunuldu. Sonunda 1826'da N. Abel bunun imkansız olduğunu kanıtladı.

Modern ifadeler Abel teoremi: (1) × gerçek katsayılı bir derece denklemi × herhangi bir alan ve RF alanı olsun rasyonel fonksiyonlar gelen katsayılar ile İLE; daha sonra denklemin (1) kökleri (alanın bir uzantısında bulunur) R) kullanılarak bu denklemin katsayıları aracılığıyla ifade edilemez. sonlu sayı Toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleri (bu alanda anlamlı olan) R) ve kök işaretleri (alanı genişletmede anlamlıdır) R). Başka bir deyişle, genel denklem n>4 derecesi radikallerde çözülemez (bkz. s. 226).

Ancak Abel teoremi her A'nın olduğu gerçeğini dışlamaz. verilerle sayısal katsayılar(veya katsayılar bu alanın) radikallerde çözülür. Herhangi bir türdeki herhangi bir derecedeki denklemler radikallerde çözülür (örneğin, binom denklemleri). Tam çözüm A.'nın hangi koşullar altında olduğu sorusu. radikallerde çözünür, ca. 1830 E. Galois (E. Galois).

Ana Galois teorisi A. at'nin çözülebilirliği üzerine. radikallerde şu şekilde formüle edilir: Η, K alanından katsayıları olan, K üzerinde indirgenemeyen bir polinom olsun; o zaman: 1) eğer bir denklemin en az bir kökü bu denklemin katsayıları aracılığıyla radikallerle ifade ediliyorsa ve radikallerin üsleri sıfır K'nın karakteristiğine bölünemiyorsa, o zaman bu denklemin alan üzerindeki Galois'i şöyledir: çözülebilir; 2) tersine, eğer denklemin Galois grubu f(x) = Q Krestim alanı üzerinde ve K ya sıfıra eşit ya da bu grubun bileşim faktörlerinin tüm mertebelerinden büyükse, denklemin tüm kökleri katsayıları aracılığıyla radikallerde temsil edilir ve ortaya çıkan radikallerin tüm üsleri H'dir. asal sayılar ve bu radikallere karşılık gelen binom denklemleri, bunların eklendiği alanlar üzerinde indirgenemez.

E. Galois bu teoremi aşağıdaki durum için kanıtladı: KH rasyonel sayılar alanı; bu durumda teoremin formülasyonunda yer alan K alanının karakteristiğine ilişkin tüm koşullar gereksiz hale gelir.

Abel teoremi Galois teoreminin bir sonucudur, çünkü Galois dereceli denklem grubu ns alanı üzerindeki harf katsayılarına göre herhangi bir alandan katsayıları olan bir denklemin katsayılarının Rrasyonel fonksiyonları CN simetriktir. grup ve için karar verilemez. Herhangi biri için, radikallerde çözülemeyen rasyonel (ve hatta tamsayı) katsayılara sahip ps dereceli denklemler vardır. Böyle bir denklemin örneği, рН'nin bir asal sayı olduğu denklemdir. Galois teorisi, belirli bir algoritmanın çözümünü azaltma yöntemini kullanır. adı verilen daha basit denklemler zincirine çözücüler verilen denklem.

Denklemlerin radikallerde çözülebilirliği geometri sorunuyla yakından ilgilidir. pergel ve cetvel kullanan yapılar, özellikle bir daireyi parçalara bölme sorunu N eşit parçalar (bkz. Bir daire polinomunun bölünmesi, ilkel kök).

Sayısal katsayılı bir bilinmeyenli cebirsel denklemler. A. u'nun köklerini bulmak için. Gerçek veya karmaşık sayılar alanındaki katsayılar 2'den yüksek olduğunda, kural olarak yaklaşık hesaplama yöntemleri kullanılır (örn. Parabol yöntemi). Bu durumda öncelikle birden fazla kökten kurtulmak uygundur. Bir c sayısı, ancak ve ancak polinom ve türevlerinin sıralı olması durumunda bir polinomun k-katlı köküdür kH 1 dahil sıfıra gider. En büyüğüne bölünürse ortak bölen Bu polinom ve onun türevinin birleştirilmesi durumunda sonuç, polinomla aynı köklere sahip olan ancak yalnızca birinci katlı olan bir polinom olur. Aşağıdaki gibi polinomlar oluşturmak bile mümkündür: basit kökler Bir polinomun tüm kökleri aynı çokluğa sahiptir. Bir polinomun birden fazla kökü vardır ancak ve ancak ayrımcı sıfıra eşittir.

Sınırların ve kök sayısının belirlenmesiyle ilgili sorunlar sıklıkla ortaya çıkar. a'nın tüm köklerinin (hem gerçek hem de karmaşık) modüllerinin üst sınırının ötesinde. (1) herhangi bir karmaşık katsayı ile sayıyı alabiliriz

Gerçek katsayılar durumunda, daha doğru bir sınır genellikle şu şekilde verilir: Newton'un yöntemi. Bir tanıma doğru üst sınır pozitif kökler pozitifin alt sınırının yanı sıra üst ve alt sınırların tanımını da azaltır negatif kökler.

Gerçek köklerin sayısını belirlemenin en kolay yolu kullanmaktır. Descartes'ın teoremi. Belirli bir polinomun tüm köklerinin gerçek olduğu biliniyorsa (örneğin, gerçek bir simetrik matrisin karakteristik polinomu için olduğu gibi), o zaman Descartes teoremi tam kök sayısını verir. Bir polinom göz önüne alındığında, negatif köklerin sayısını bulmak için aynı teoremi kullanabilirsiniz. Birden fazla kökü olmayan gerçek katsayılı bir polinomun belirli bir aralıkta yer alan gerçek köklerinin tam sayısı (özellikle tüm gerçek köklerin sayısı) şu şekilde bulunabilir: Sturma kuralı. Descartes'ın teoremi özel bir durumdur Budana H Fourier teoremleri, belirli bir sabit aralıkta yer alan gerçek katsayılara sahip bir polinomun gerçek köklerinin sayısı için üst bir tahmin vermek.

Bazen kökleri bulmakla ilgilenirler özel Tipörneğin Hurwitz kriteri gerekli ve yeterli koşul Denklemin tüm köklerinin (karmaşık katsayılı) negatif gerçek kısımlara sahip olması için (bkz. Rousa H Hurwitz kriteri).

olan bir polinom için rasyonel katsayılar tüm rasyonel köklerini hesaplamanın bir yöntemi var. Rasyonel katsayılı bir polinom, katsayıların tüm paydalarının ortak değeriyle çarpılarak elde edilen tamsayı katsayılı bir polinomla aynı köklere sahiptir. Katsayıları tamsayı olan bir polinomun rasyonel kökleri yalnızca bunlar olabilir. indirgenemez kesirler rH'nin sayılar olduğu ve H'nin bir sayının böleni olduğu formun (ve hatta yalnızca herhangi bir tamsayı için sayının ile bölünebildiği kesirlerin kesirleri).

Eğer ise, polinomun tüm rasyonel kökleri (eğer varsa) bölen tamsayılardır Ücretsiz Üye ve kaba kuvvetle bulunabilir.

Cebirsel denklem sistemleri. A.U. sistemleri hakkında 1. derece bkz. Doğrusal Denklem.

İki A.U. sistemi iki bilinmeyenli herhangi bir derece x ve yşu şekilde yazılabilir:

Nerede Bir bilinmeyende H polinomları X.

Eğer bir şey verirsen Sayısal değer sabit katsayılara sahip bir bilinmeyenden iki denklemden oluşan bir sistem elde edersiniz. Sonuç bu sistem aşağıdaki belirleyiciye sahip olacaktır:

Aşağıdaki ifade doğrudur: Bir sayı, ancak ve ancak polinomların ortak bir kökü varsa veya her iki baş katsayı da sıfıra eşitse, sonucun kökü olabilir.

Dolayısıyla, sistem (3)'ü çözmek için, bileşkenin tüm köklerini bulmanız, bu köklerin her birini sistem (3)'e yerleştirmeniz ve bu iki denklemin bir bilinmeyenli ortak köklerini bulmanız gerekir. sen. Ayrıca iki polinomun ortak köklerini bulmak ve bunları sistem (3)'te yerine koymak ve elde edilen tek bilinmeyenli denklemlerin doğru olup olmadığını kontrol etmek gerekir. ortak kökler. Başka bir deyişle iki A'lık bir sistemin çözümü. iki bilinmeyenli yöntem, bir bilinmeyenli bir denklemi çözmek ve bir bilinmeyenli iki denklemin ortak köklerini hesaplamak anlamına gelir (bir bilinmeyenli iki veya daha fazla polinomun ortak kökleri, bunların en büyük ortak bölenlerinin kökleridir). - CEBİR DENKLEM, sol tarafta bilinmeyenlerde bir polinom olacak ve sağ tarafta sıfır olacak şekilde dönüştürülebilen bir denklem. Bir polinomun derecesine denklemin derecesi denir. En basit cebirsel denklemler: doğrusal denklem... ... Resimli Ansiklopedik Sözlük

İkiyi eşitleyerek elde edilen denklem cebirsel ifadeler. Örneğin, x2+xy+y2 =x+1. Bir bilinmeyenli cebirsel denklem aо + a1x + ... + anxn=0 ... biçimine dönüştürülebilir. Büyük Ansiklopedik Sözlük

cebirsel denklem- - [L.G. Bilgi teknolojisi üzerine İngilizce-Rusça sözlük. M.: Devlet Teşebbüsü TsNIIS, 2003.] Konular Bilişim teknolojisi genel olarak EN polinom denklemi ... Teknik Çevirmen Kılavuzu - iki cebirin eşitlenmesiyle elde edilen denklem. ifade. Örneğin, x2 + xy + y2 = x+ 1. A.y. bir bilinmeyenli x, ao + a1x+ ... + anxn = 0 ... biçimine dönüştürülebilir. Doğal bilim. ansiklopedik sözlük

Matematikte dördüncü dereceden bir denklem şu şekilde cebirsel bir denklemdir: . Cebirsel denklemler için dördüncü derece, mevcut olan en yüksek derecedir. Analitik çözüm radikallerdeki Genel görünüm(yani herhangi bir değer için... ... Vikipedi

5'li 6. derece polinomun grafiği kritik noktalar. Altıncı derece denklem, cebirsel bir denklemdir. maksimum derece 6. Genel olarak şu şekilde yazılabilir... Vikipedi

DENKLEM TÜRLERİ

Cebirsel denklemler. Formun denklemleri fn= 0, burada fn– cebirsel denklemler adı verilen bir veya daha fazla değişkenli bir polinom. Bir polinom formun bir ifadesidir

fn = A 0 x i y j ... v k + a 1 X ben y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,

Nerede X, sen, ..., v değişkenlerdir ve Ben, J, ..., R– üsler (tamsayılar) Negatif olmayan sayılar). Tek değişkenli bir polinom şu şekilde yazılır:

F(X) = A 0 xn + A 1 xn – 1 + ... + BİR – 1 X + BİR

veya özel bir durumda 3 X 4 – X 3 + 2X 2 + 4X– 1. Bir bilinmeyenli cebirsel denklem, aşağıdaki formdaki herhangi bir denklemdir F(X) = 0. Eğer A 0 ¹ 0, o halde N denklemin derecesi denir. Örneğin, 2 X+ 3 = 0 – birinci derecenin denklemi; birinci dereceden denklemlere doğrusal denir, çünkü fonksiyonun grafiği y = balta + b düz bir çizgiye benziyor. İkinci dereceden denklemlere ikinci dereceden, üçüncü dereceden denklemlere ise kübik denir. Daha yüksek dereceli denklemler de benzer adlara sahiptir.

Aşkın denklemler. Logaritmik, üstel veya gibi aşkın fonksiyonlar içeren denklemler trigonometrik fonksiyon, aşkın denir. Bir örnek şöyle olabilir: aşağıdaki denklemler:

burada log 10 tabanına göre logaritmiktir.

Diferansiyel denklemler. Bir veya daha fazla fonksiyon ve bunların türevlerini veya diferansiyellerini içeren denklemlere verilen addır. Diferansiyel denklemlerin doğa yasalarını doğru bir şekilde formüle etmede son derece değerli bir araç olduğu kanıtlanmıştır.

İntegral denklemler.İntegral işareti altında bilinmeyen bir fonksiyon içeren denklemler, örneğin, F (S) = ò k (s, t) F(T) dt, Nerede F(S) Ve k(S,T) verilir ve F(T) bulunması gerekiyor.

Diophant denklemleri. Diophantine denklemi, çözümü tamsayılarda veya rasyonel sayılarda aranan, tamsayı katsayılı iki veya daha fazla bilinmeyenli cebirsel bir denklemdir. Örneğin, denklem 3 X – 5sen= 1'in bir çözümü var X = 7, sen= 4; genel olarak çözümleri formun tam sayılarıdır X = 7 + 5N, sen = 4 + 3N.

CEBİRSEL DENKLEM ÇÖZME

Yukarıdaki denklem türlerinin tümü için ortak yöntemlerçözümü yok. Ancak birçok durumda, özellikle belirli bir türdeki cebirsel denklemler için yeterli tam teori onların kararları.

Doğrusal denklemler. Bu basit denklemler, bilinmeyenin değerinin hemen görülebileceği eşdeğer bir denkleme indirgenerek çözülür. Örneğin, denklem X+ 2 = 7 eşdeğer denkleme indirgenebilir X= 5, sağ ve sol taraftan 2 sayısını çıkararak bulunur. Karıştırma adımları basit denklem, Örneğin, X+ 2 = 7'nin eşdeğeri dört aksiyomun kullanımına dayanmaktadır.

1. Eğer eşit değerler aynı sayı kadar artarsa ​​sonuçlar eşit olacaktır.

2. Eşit miktarlardan aynı sayıyı çıkarırsanız sonuçlar eşit olur.

3. Eşit değerler aynı sayıyla çarpılırsa sonuçlar eşit olur.

4. Eşit miktarlar aynı sayıya bölünürse sonuçlar eşit olur.

Örneğin, denklem 2'yi çözmek için X+ 5 = 15, aksiyom 2'yi kullanacağız ve 5 sayısını sağ ve sol taraftan çıkaracağız, sonuçta 2 eşdeğer denklemi elde edeceğiz X= 10. Daha sonra aksiyom 4'ü kullanırız ve ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da 2'ye böleriz, bunun sonucunda orijinal denklem forma indirgenir. X= 5, istenen çözüm budur.

İkinci dereceden denklemler. Genel ikinci dereceden denklemin çözümleri balta 2 + bx + c= 0 formülü kullanılarak elde edilebilir

Dolayısıyla, belirli bir durumda çakışabilecek iki çözüm vardır.

Diğer cebirsel denklemler.İkinci dereceden denklem çözme formülüne benzer açık formüller yalnızca üçüncü ve dördüncü derece denklemler için yazılabilir. Ancak bu formüller karmaşıktır ve her zaman kökleri kolayca bulmaya yardımcı olmaz. Beşinci derece veya daha yüksek denklemlere gelince, onlar için, N. Abel'in 1824'te kanıtladığı gibi, bunu belirtmek imkansızdır. Genel formül, denklemin köklerini, radikalleri kullanan katsayıları aracılığıyla ifade eder. Bazı özel durumlarda, daha yüksek dereceli denklemler çarpanlara ayrılarak kolayca çözülebilir. Sol Taraf, yani bunu faktörlere ayırıyoruz.

Örneğin, denklem X 3 + 1 = 0 çarpanlara ayrılmış biçimde yazılabilir ( X + 1)(X 2 – X+ 1) = 0. Faktörlerin her birini belirleyerek çözümler buluruz sıfıra eşit:

Yani kökler eşittir X= –1, yani sadece 3 kök.

Denklem çarpanlara ayrılamıyorsa yaklaşık çözümler kullanılmalıdır. Yaklaşık çözümler bulmanın ana yöntemleri Horner, Newton ve Greffe tarafından geliştirildi. Ancak her durumda bir çözümün var olduğuna dair güçlü bir güven vardır: cebirsel denklem N-inci derece tam olarak N kökler

Doğrusal denklem sistemleri.İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem şu şekilde yazılabilir:

Böyle bir sistemin çözümü determinantlar kullanılarak bulunur.

Eğer mantıklıysa Eğer D= 0 ise iki durum mümkündür. (1) Belirleyicilerden en az biri ve sıfırdan farklıdır. Bu durumda denklemlerin çözümü yoktur; denklemler tutarsızdır. Sayısal örnek böyle bir durum - sistem

(2) Her iki determinant da sıfıra eşittir. Bu durumda ikinci denklem birincinin katıdır ve sonsuz sayı kararlar.

Genel teori göz ününde bulunduruyor M ile doğrusal denklemler N değişkenler:

Eğer m = n ve matris ( bir ben) dejenere değilse, çözüm benzersizdir ve Cramer kuralı kullanılarak bulunabilir:

Nerede bir ji – cebirsel tamamlayıcı eleman bir ben matriste ( bir ben). Daha fazlası genel anlamda Aşağıdaki teoremler mevcuttur. İzin vermek R– matris sırası ( bir ben), S– kenarlıklı matrisin sırası ( bir ben; ben)'den elde edilen bir ben bir sayı sütunu ekleme ben. O halde: (1) eğer r = s, o zaman var hayır doğrusal bağımsız kararlar; (2) eğer R< s ise denklemler tutarsızdır ve çözüm yoktur.

CEBİRSEL DENKLEM, F(x 1 ,…,x m)=0 formundaki bir denklemdir; burada F, bilinmeyenler olarak adlandırılan m değişkenli bir polinomdur.

Polinomun katsayılarının sabit bir K ana alanına ait olduğu varsayılmaktadır. Cebirsel bir denklemin çözümü, K alanından (veya onun) bilinmeyen değerlerin x * 1,..., x * m kümesidir. polinom F'ye yerleştirildikten sonra onu sıfıra çeviren uzantı). Cebirsel denklemler teorisinin asıl görevi, belirli bir cebirsel denklemin bir çözümü olduğu koşulları ve tüm çözüm kümesinin bir tanımını açıklığa kavuşturmaktır.

Bir bilinmeyenli cebirsel denklem şu şekildedir:

n>0 ve a 0 ≠ 0 olduğu varsayılmaktadır. n sayısına denklemin derecesi denir ve a 0, a 1 ... ve n sayıları da onun katsayılarıdır. Denklemin çözümü olan bilinmeyen x değerlerine, F(x) polinomunun köklerinin yanı sıra kökleri de denir. Eğer α denklem (1)'in kökü ise, o zaman F(x) polinomu (x-α)'ya kalansız olarak bölünür (Bezout teoremi). K ana alanının (veya uzantısının) bir α elemanına, eğer F(x) polinomu (x-α)k'ye bölünebilir ve (x-α)k'ye bölünemezse, bir cebirsel denklemin k-katlı kökü denir. +1. Birden fazla 1'in köklerine aynı zamanda bir denklemin basit kökleri de denir.

K alanından gelen katsayılara sahip n dereceli her polinomun K'da n'den fazla kökü yoktur, kökleri çoklukları dikkate alınarak sayılır. K alanı cebirsel olarak kapalıysa, bu tür her polinomun, çoklukları dikkate alınarak tam olarak n kökü vardır. Bu özellikle karmaşık sayılar C alanı (cebirin temel teoremi) için geçerlidir. Bezout teoreminden F(x)'in şu şekilde temsil edilebileceği sonucu çıkar:

burada α 1,.....α n denklemin kökleridir. Denklemin kökleri ve katsayıları Vieta formülleriyle ilişkilidir.

Derecesi n≤ 4 olan herhangi bir denklem radikallerde çözülebilir. Bu, bir denklemin kökleri için, kökleri denklemin katsayıları aracılığıyla ifade eden ve yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök çıkarma işlemlerini kullanan açık formüllerin olduğu anlamına gelir. N=2 durumunda (ikinci dereceden denklem), formüller şu şekildedir:

2. ve 3. dereceden belirli denklem türlerine indirgenen problemlerin çözümleri çivi yazılı metinlerde bulunur Antik Babil. İkinci dereceden denklemlerin çözümü teorisinin ilk sunumu Diophantus'un Aritmetiği'nde (3. yüzyıl) verilmiştir. Genel formda 3. ve 4. derece denklemlerin radikallerdeki çözümü 16. yüzyılda İtalyan matematikçiler G. Cardano ve L. Ferrari tarafından elde edildi. Bulmak için neredeyse 300 yıldır girişimlerde bulunuldu ortak karar 4'ten büyük dereceli denklemlerin radikallerinde. 1826'da N. Abel bunun imkansız olduğunu kanıtladı (ancak, n>4 dereceli belirli denklemler için bu tür formüllerin var olma olasılığı dışlanmaz). Cebirsel bir denklemin hangi koşullar altında köklerde çözülebileceği sorusuna tam bir çözüm E. Galois (1830 civarında) tarafından elde edildi. Denklemlerin radikallerde çözülebilirliği sorunu, soruyla yakından ilgilidir. geometrik yapılar bir pergel ve bir cetvel kullanarak, özellikle bir daireyi n eşit parçaya bölmek, bir küpü ikiye katlamanın, bir açıyı üçe bölmenin ve bir dairenin karesini almanın imkansızlığının kanıtıyla.

Uygulamalar için, denklemin katsayıları ve kökleri sayı olduğunda (Z tam sayıları, Q rasyonelleri, R gerçelleri veya C karmaşık sayıları alanlarından); bu durumda, bu alanların özel özellikleri sıklıkla kullanılır (örneğin, topolojinin varlığı veya içlerindeki sıralama). Bu durumda, özel fonksiyonları kullanarak derecesi 4'ten büyük denklemleri çözmek için açık formüller elde edebilirsiniz.

R ve C katsayılı denklemlerin köklerini pratik olarak bulmak için yaklaşık yöntemler kullanılır. Gerçek katsayılı denklemlerin gerçek köklerinin sayısını yukarıdan tahmin etmek için Descartes teoremini kullanabilirsiniz: pozitif köklerin sayısı, çoklukları dikkate alınarak eşittir veya eşittir çift ​​sayı Denklemin sıfır olmayan katsayıları dizisindeki işaret değişikliği sayısından daha az.

Köklerin değerleri için çok sayıda tahmin vardır. Böylece, C alanı üzerinde |α i |, i = 1, ..., n değerleri aşmaz

Katsayılar gerçelse ve a 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0 ise denklemin tüm kökleri karmaşık düzlem birim çemberde.

Sürdürülebilirlik konusunun incelenmesiyle bağlantılı olarak mekanik sistemler Belirli bir F(x) polinomunun tüm köklerinin negatif gerçel kısımlara sahip olduğu zaman sorusu ortaya çıkar (Routh-Hurwitz problemi). Bu tür F polinomlarına kararlı denir. Kararlı polinomlarla ilgili temel sonuçlar C. Hermite, İngiliz bilim adamı E. Routh ve Alman matematikçiler A. Hurwitz ve I. Schur'a aittir.

Cebirsel geometride çeşitli bilinmeyenlerdeki cebirsel denklem sistemleri incelenir. Ayrı bir bölüm olan Diophantine denklemleri teorisi, Q alanı gibi açık alanlar üzerinde cebirsel denklemlerin incelenmesini içerir.

Cebirsel denklem sistemi, şu şekle sahip bir denklem sistemidir:

1. derece denklem sistemleri (doğrusal denklemler) doğrusal cebirde incelenir.

Bir cebirsel denklem sisteminin çözüm sayısına ilişkin en basit sonuç k'nın olduğu durum için geçerlidir. homojen denklemler k + 1 değişkenden. Tüm x 1 * ,...,x x+1 k çözümleri, λ 1 * ..., λх k+1 * çözüm sınıflarında birleştirilir; burada λ≠0, K alanına aittir. Daha sonra olmayanların sayısı çokluklarını dikkate alarak sistemin çözümlerinin sıfır (sınıfları) Genel dava F 1, ..., F k polinomlarının kuvvetlerinin çarpımına eşittir. Genellik koşulu, F 1, ..., F k polinomlarının katsayılarının bazı cebirsel çeşitliliğe ait olmamasıdır. afin uzayı A'dan kesinlikle daha küçük bir boyuta sahip katsayılar (Bezout teoremi).

Homojen olmayan cebirsel denklem sistemlerinin dikkate alındığı durumda, çözümlerinin sayısını bulmak için dereceden daha ince değişmezlerin, yani Newton çokyüzlülerin kullanılması gerekir. Eğer

burada i=(i 1 ,..i n) Є Z n o zaman bir F polinomunun Newton çokyüzlüsü, a i ≠ 0 olan i noktalarının R n uzayındaki dışbükey gövdedir. Bir aritmetik denklemler sisteminin çözümlerinin sayısı F 1 polinomlarının Newton çokyüzlüleri aracılığıyla ifade edilir. . . ,Fk.

Yandı: Mishina A.P., Proskuryakov I.V. Yüksek cebir. Lineer Cebir polinomlar, genel cebir. M., 1965; Kurosh A. G. Yüksek cebir kursu. M., 1975; Kostrikin A.I. Cebire giriş. M., 1977; Postnikov M. M. Kararlı polinomlar. M., 1981; Fadeev D.K., Sominsky I.S. Yüksek cebirde problemler. St.Petersburg, 2001.

I. V. Proskuryakov, A. N. Parshin.