Şimdi bazı özelliklere dikkat edelim nokta çarpım ve normlar. Eşitsizliği uygulayarak ve şunu yazabileceğimizi dikkate alarak:

Şimdi üçgen kuralını kanıtlayalım

Sahibiz:

veya (128)'i hesaba katarak şunu elde ederiz:

buradan (129) çıkar.

Bu konunun sonunda koordinat sistemi seçiminin uzayın ölçüsüne, yani vektörün uzunluğunun karesinin ifadesine ne gibi bir etkisi olduğunu ele alacağız. Ana Kartezyen yerine aldığımızı varsayalım. yeni sistem koordinatlar ve bazı bağımsız vektörleri ana vektörler olarak alıyoruz

Herhangi bir vektör için elimizde:

yeni koordinat sistemindeki bileşenleri nerede?

Bu vektörün kare uzunluğu, vektörün ve kendisinin skaler çarpımı ile ifade edilecektir;

Bunu yukarıdaki formüllere göre genişletirsek, vektör uzunluğunun karesi için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

katsayıların formüllerle belirlendiği yer

Simgeler yeniden düzenlendiğinde açıkça eşlenik hale gelirler;

Formun (130) koşulu (131) karşılayan katsayılarla birlikte toplamına genellikle Hermite formu denir. (131) koşulu altında (130) formunun herhangi bir ifadesinin, tüm olası karmaşık kompleksler için yalnızca gerçek değerlere sahip olacağı açıktır, çünkü toplamın (130) iki teriminde eşlenik olacaktır ve formunda, (131) koşulundan dolayı katsayılar gerçek olacaktır. Buna ek olarak, Hermite formunun inşasıyla bu durumda(130) toplamının negatif olmayacağını ve ancak tümü sıfıra eşit olduğunda yok olacağını söyleyebiliriz. Formül (130) yeni koordinat sistemindeki uzay ölçüsünü belirler.

Metrik (130), karşılık gelen metrik (110) ile çakışacaktır. Kartezyen sistem, eğer at veya at ise yani başka bir deyişle vektör olarak aldığımız vektörler karşılıklı dik birim öğretim elemanları (uzunluk bir) olacaksa.

Aşağıda herhangi bir karşılıklı dik ve birim vektörleri buna ortonormal sistem diyeceğiz.

Ayrıca formül (113) vektörün bileşenleri için üniter bir dönüşümü tanımlıyorsa, önceki birim vektörlerden yenilerine geçişe karşılık gelen dönüşümün tablo tarafından verileceğini unutmayın.

ters U. Bu durumda, (123) nedeniyle, bu tablo U tablosuyla çakışacaktır ve gerçekte ortogonal dönüşümler sadece U ile çakışacaktır.

Federal Eğitim Ajansı

Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu St. Petersburg Devlet Madencilik Enstitüsü'nün adını almıştır. G.V. Plekhanova

(teknik üniversite)

A.P. Gospodarikov, G.A. Colton, S.A. Haçatryan

Fourier serisi. Fourier integrali.

Operasyonel hesap

Eğitimsel ve metodolojik el kitabı

SAINT PETERSBURG

UDC 512 + 517,2 (075,80)

Eğitimsel ve metodolojik kılavuz, Fourier serisi genişletmesini veya Fourier integrali ile temsilini kullanarak fonksiyonları analiz etmede pratik beceriler kazanma fırsatı sağlar ve tam zamanlı ve yarı zamanlı uzmanlık öğrencilerinin bağımsız çalışmaları için tasarlanmıştır.

Kılavuz, operasyonel hesabın temellerini kullanarak operasyonel hesabın ana konularını ve geniş bir teknik problem sınıfını inceliyor.

Bilimsel editör Prof. . A.P. Gospodarikov

Gözden geçirenler: departman yüksek matematik 1 No'lu St. Petersburg Devlet Elektroteknik Üniversitesi; Fizik ve Matematik Doktoru bilimler V.M. Çistyakov(St. Petersburg Devlet Politeknik Üniversitesi).

Gospodarikov A.P.

G723. Fourier serisi. Fourier integrali. Operasyonel hesap: Eğitimsel ve metodolojik el kitabı / A.P. Gospodarikov,G.A. Colton,S.A. Haçatryan; St. Petersburg Devlet Madencilik Enstitüsü (Teknik Üniversite). St.Petersburg, 2005. 102 s.

ISBN 5-94211-104-9

UDC 512 + 517.2 (075.80)

BBK 22.161.5

giriiş

Fourier teorisinden, fiziksel, teknik ve diğer sistemler üzerindeki bazı etkilerle sonucunun, yalnızca ölçek faktöründe farklılık göstererek ilk giriş sinyalinin şeklini tekrarladığı bilinmektedir. Sistemin bu tür sinyallere (bunlara kendi adı verilir) en basit şekilde tepki verdiği açıktır. Rastgele bir giriş sinyali kendi sinyallerinin doğrusal bir birleşimiyse ve sistem doğrusalsa, bu durumda sistemin bu isteğe bağlı sinyale yanıtı, kendi sinyallerine verilen tepkilerin toplamıdır. Ve bu yüzden tam bilgi Bir sistem hakkındaki bilgi onun “yapı taşlarından” yani sistemin kendi giriş sinyallerine verdiği yanıtlardan elde edilebilir. Bu, örneğin elektrik mühendisliğinde sistemin frekans tepkisi (transfer fonksiyonu) tanıtılırken yapılır. En basit doğrusal, zamanla değişmeyen sistemler için (örneğin, sabit katsayılı sıradan diferansiyel denklemlerle tanımlananlar), bazı durumlarda özfonksiyonlar formun harmonikleridir. Bu şekilde, eğer sistem harmoniklerin doğrusal bir kombinasyonu şeklinde sunulursa (genel durumda, bir Fourier serisi veya Fourier integrali şeklinde) sistem üzerinde keyfi bir etkinin sonucunu elde etmek mümkündür. . Teoride ve uygulamalarda trigonometrik seri (Fourier serisi) veya Fourier integrali kavramının kullanılmasına ihtiyaç duyulmasının nedenlerinden biri de budur.

Bölüm 1. Fourier serileri

§ 1. Vektör uzayları

İşte bunlar kısa bilgi Fourier serisi teorisinin temel prensiplerinin daha iyi anlaşılması için gerekli olan vektör cebirinden.

Vektörlerin eşitliği kavramının olağan şekilde tanıtıldığı geometrik vektörler (vektör uzayı) kümesini ele alalım, doğrusal işlemler(vektörlerin toplanması ve çıkarılması, bir vektörün bir sayı ile çarpılması) ve vektörlerin skaler çarpım işlemleri.

 uzayında üç ikili ortogonal vektörden oluşan ortogonal bir taban oluşturalım. ,Ve . Ücretsiz vektör
temel vektörlerin doğrusal bir birleşimidir:

. (1.1)

Katsayılar  Ben (Ben= 1, 2, 3), vektör koordinatları olarak adlandırılır temele göre
, aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Bir vektörün nokta çarpımı ve temel vektörlerden biri

.

Tabanın dikliği nedeniyle skaler çarpımlar
en
dolayısıyla son eşitliğin sağ tarafında yalnızca bir terim sıfırdan farklıdır;
, Bu yüzden
, Neresi

, (1.2)

Nerede
.

Eğer vektörler Ve koordinatları tarafından verilir
Ve
, sonra onların skaler çarpımı

.

Ne zamandan beri
nokta çarpım
o zaman çift toplamda yalnızca eşit indisli terimler sıfırdan farklıdır, bu nedenle

Özellikle ne zaman
(1.3)'ten şu şekilde çıkar

. (1.4)

§ 2. İç çarpım ve fonksiyon normu

Sembolle belirtelim
aralıkta parçalı olarak sürekli olan fonksiyonlar kümesi [ A, B], yani [ aralığına sahip fonksiyonlar A, B] birinci türden sonlu sayıda süreksizlik noktası ve bu aralığın diğer tüm noktalarında sürekli.

Fonksiyonların nokta çarpımı
aranan numara

.

Fonksiyonların skaler çarpımının özellikleri vektörlerin skaler çarpımının özellikleriyle tamamen örtüşür:

1.
.

2.
.

3.
.

4.
;
.

Dolayısıyla nokta çarpım, bileşenlerine doğrusal olarak bağlıdır. Bu özelliğe skaler çarpımın çift doğrusallığı denir.

Fonksiyonlar
ortogonal denir
Açık [ A, B], Eğer
.

Fonksiyon normu
arada [A, B] negatif olmayan bir sayı olarak adlandırılır karesi fonksiyonun skaler çarpımına eşit olan kendine:

.

Bir fonksiyonun normunun özellikleri vektör modülünün özellikleriyle büyük ölçüde örtüşüyor:

1.
.

2. Eğer fonksiyon
[ üzerinde süreklidir A, B] Ve
, O
. Çünkü
, o zaman ne zaman

,

Neresi
. Son ilişkinin farklılaştırılması ve Barrow teoremini uygulayarak şunu elde ederiz:
ve bu nedenle,
.

3. Tkosinüs teoremi .


.

Sonuçlar. Eğer
, O
(Pisagor teoremi).

4. Genelleştirilmiş Pisagor teoremi. Eğer işlevler (k = = 1, 2, …, N) aralıkta ikili olarak diktir
, O

.

Skaler çarpımın çift doğrusallık özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:

Fonksiyonların ortogonal olması nedeniyle nokta ürünleri
en
, Bu yüzden

.

5. NCauchy-Bunyakovsky eşitliği
veya aynı olan şey,

.

Herhangi bir gerçek için

Böylece, ikinci dereceden üç terimli son eşitsizliğin sol tarafındaki işaret tüm gerçek eksende korunur, dolayısıyla diskriminantı
.

Alıştırma 1. 1-3 fonksiyonlarının skaler çarpımının özelliklerini kanıtlayın.

Alıştırma 2. Aşağıdaki ifadelerin geçerliliğini gösterin:

a) işlev
fonksiyonlara dik
Ve
arada
herhangi bir tamsayı için k Ve M;

b) herhangi bir tamsayı için k Ve M işlevler
Ve
aralıkta dik
;

c) işlevler
Ve
ve ayrıca
Ve
en
aralıklarda dik
Ve
;

d) işlevler
Ve
aralıkta dik değil
.

Alıştırma 3. Norm özelliği 5'i kullanarak üçgen eşitsizliğini kanıtlayın

.

Vektörlerin skaler çarpımı (bundan sonra SP olarak anılacaktır). Sevgili arkadaşlar! Matematik sınavı vektörlerin çözümüne ilişkin bir grup problem içerir. Zaten bazı sorunları değerlendirdik. Bunları “Vektörler” kategorisinde görebilirsiniz. Genel olarak vektör teorisi karmaşık değildir, asıl önemli olan onu tutarlı bir şekilde incelemektir. Vektörlerle hesaplamalar ve işlemler okul kursu Matematik basit, formüller karmaşık değil. Bir göz atın. Bu yazıda vektörlerin SP'si (Birleşik Devlet Sınavına dahil) ile ilgili sorunları analiz edeceğiz. Şimdi teoriye “daldırma”:

H Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, sonunun koordinatlarından çıkarmanız gerekir.kökeninin karşılık gelen koordinatları

Ve bir şey daha:

*Vektör uzunluğu (modül) aşağıdaki şekilde belirlenir:

Bu formüller unutulmamalı!!!

Vektörler arasındaki açıyı gösterelim:

0 ila 180 0 arasında değişebileceği açıktır.(veya 0'dan Pi'ye kadar radyan cinsinden).

Skaler çarpımın işareti hakkında bazı sonuçlar çıkarabiliriz. Vektör uzunlukları pozitif değer, bu çok açık. Bu, skaler çarpımın işaretinin, vektörler arasındaki açının kosinüsüne bağlı olduğu anlamına gelir.

Olası durumlar:

1. Vektörler arasındaki açı dar ise (0 0'dan 90 0'a kadar), açının kosinüsü pozitif bir değere sahip olacaktır.

2. Vektörler arasındaki açı genişse (90 0'dan 180 0'a kadar), açının kosinüsü negatif bir değere sahip olacaktır.

*Sıfır derecede, yani vektörler aynı yöne sahip olduğunda kosinüs bire eşit ve buna göre sonuç olumlu olacaktır.

180°'de, yani vektörler zıt yönler, kosinüs eksi bire eşittir,ve buna göre sonuç negatif olacaktır.

Şimdi ÖNEMLİ NOKTA!

90°'de, yani vektörler birbirine dik olduğunda kosinüs sıfıra eşit ve bu nedenle SP sıfıra eşittir. Bu gerçek (sonuç, sonuç) bahsettiğimiz birçok problemin çözümünde kullanılır. göreceli konum dahil edilen problemler dahil olmak üzere vektörler açık banka matematik ödevleri.

İfadeyi formüle edelim: Skaler çarpım, ancak ve ancak bu vektörlerin dik çizgiler üzerinde yer alması durumunda sıfıra eşittir.

Yani, SP vektörleri için formüller:

Vektörlerin koordinatları veya başlangıç ​​ve bitiş noktalarının koordinatları biliniyorsa, vektörler arasındaki açıyı her zaman bulabiliriz:

Görevleri ele alalım:

27724 a ve b vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Vektörlerin skaler çarpımını iki formülden birini kullanarak bulabiliriz:

Vektörler arasındaki açı bilinmiyor ancak vektörlerin koordinatlarını kolaylıkla bulup ilk formülü kullanabiliriz. Her iki vektörün orijini koordinatların orijini ile çakıştığı için bu vektörlerin koordinatları uçlarının koordinatlarına eşittir, yani

Bir vektörün koordinatlarının nasıl bulunacağı bölümünde açıklanmaktadır.

Hesaplıyoruz:

Cevap: 40

Vektörlerin koordinatlarını bulalım ve formülü kullanalım:

Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıcının karşılık gelen koordinatlarını vektörün bitişinin koordinatlarından çıkarmak gerekir; bu şu anlama gelir:

Skaler çarpımı hesaplıyoruz:

Cevap: 40

a ve b vektörleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Vektörlerin koordinatları şu şekilde olsun:

Vektörler arasındaki açıyı bulmak için vektörlerin skaler çarpımı formülünü kullanırız:

Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Buradan:

Bu vektörlerin koordinatları eşittir:

Bunları formülde yerine koyalım:

Vektörler arasındaki açı 45 derecedir.

Cevap: 45

Başvuru. 1. Fonksiyonların nokta çarpımı.

1. Fonksiyonların nokta çarpımı.

Bırakın segmenti [ A, B] [ üzerinde kare integrali alınabilen bir fonksiyonlar sistemi verilmiştir. A, B]:

sen 0 (X), sen 1 (X), sen 2 (X), …, sen(X), …, (1)

Öğeler arasındaki duruma benzer vektör uzayı tanıtıldı nokta çarpım işlemi bir vektör çiftiyle eşleşen vektörler verilen alan bir sayı - skaler ve bu işlevler sisteminin öğeleri arasında sen ben(X), sen j(X) aşağıda () olarak gösterilen fonksiyonların skaler çarpımının çalışmasını tanımlayabilir. sen ben(X), sen j(X)).

Tanım gereği, elemanlar arasındaki skaler çarpım işlemi X , sen Ve z bir miktar boşluk (fonksiyonlar sisteminin elemanları arasında dahil) bulunmalıdır aşağıdaki özellikler:

Fonksiyon uzayının elemanları arasındaki nokta çarpım sen ben(X), sen j(X) Ben, J= 0, 1, 2,..., [ üzerinde integrallenebilir A, B] kare ile entegrasyon işlemi kullanılarak girilir:

Tanım 1. Sistem (1) ortogonal fonksiyon sistemi segmentte [ A, B], eğer iki fonksiyon varsa sen ben(X), sen j(X), Ben, J= belirli bir sistemin 0, 1, 2, ...
ortogonal (birbirleri arasında) üzerinde [ A, B].

Tanım 2. İki fonksiyonu çağıralım sen ben(X), sen j(X), Ben, J= 0, 1, 2, ... sistemler (1)
ortogonal segmentte [ A, B], eğer skaler çarpımları için aşağıdaki koşul sağlanırsa:

(4)

Sayı - isminde fonksiyon normu sen ben(X).

Eğer tüm işlevler sen ben(X) sahip olmak tek oran , yani

ben Ben = 1, Ben = 0, 1, 2, ... (5)

ve fonksiyonlar sistemi (1) ['ye diktir A, B], o zaman böyle bir sistem denir
ortonormal veya normal segment üzerindeki ortogonal sistem [ A, B].

İşlevlerin normalliği için koşullar başlangıçta karşılanmazsa, gerekirse sistem (1)'den, kesinlikle normal olacak olan sisteme (6) geçebilirsiniz:

, Ben = 0, 1, 2, ... (6)

Mülkten şunu unutmayın diklik bazı sistemlerin unsurları olmalıdır doğrusal bağımsızlık , yani aşağıdaki ifade doğrudur: Herhangi ortogonal sistem sıfır olmayan vektörler(elemanlar)doğrusal olarak bağımsızdır.

2 .Temel fonksiyonlar kavramı.

Kurstan doğrusal cebir vektör uzayına girebileceğinizi biliyorsunuz vektör temeli- belirli bir vektör uzayının herhangi bir vektörünün bulunabileceği bir vektörler kümesi tek yol temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir. Aynı zamanda temel vektörlerin hiçbiri geri kalan temel vektörlerin sonlu doğrusal birleşimi olarak temsil edilemez (temel vektörlerin doğrusal bağımsızlığı).

Yani örneğin herhangi bir vektör üç boyutlu uzay, temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir :

= .

Nerede A, B, Ve C- bazı sayılar. Ve nedeniyle doğrusal bağımsızlık temel vektörlerin (diklik) vektörlerin hiçbiri bireysel olarak geri kalan temel vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilemez.

Yukarıdakine benzer şekilde uzayda polinom fonksiyonları, yani derecesi polinomlar uzayında daha yüksek değil N:

Pn(X) = A 0 + A 1 X + A 2 X 2 + … + bir n x n. (7)

bir temel oluşturulabilir temel polinom (gösterge niteliğinde) işlevler :

X 0 , X, X 2 , X 3 , …, xn(8)

Ayrıca temel fonksiyonların (8) doğrusal olarak bağımsız olduğu açıktır; temel fonksiyonların (8) hiçbiri geri kalan temel fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilemez. Üstelik herhangi bir derece polinomunun bundan daha yüksek olmadığı açıktır. N(7) formunda benzersiz bir şekilde temsil edilebilir, yani. temel fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu şeklindedir (8).

j ben(X) = g Ben(x-a) Ben + (x-a)ben+ 1 , Ben= 1, 2, …, N(9)

Bunun açıklaması kısmen tanınmış kişiler tarafından verilmektedir. matematiksel analiz Weierstrass teoremine göre aralıktaki herhangi bir sürekli çizgi [ A, B] işlev F(X) Belki " İyi» bu segmente bazı polinomlarla yaklaşılmıştır Pn(X) derece N, yani dereceyi arttırmak N polinom Pn(X), her zaman istediğiniz kadar yakın olabilir uygun sürekli fonksiyon F(X).

Herhangi bir polinom, (8) veya (9) tipi temel polinom fonksiyonlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiğinden, Weierstrass teoremine göre, bir çözüm olan sürekli (yani iki kez türevlenebilir bir fonksiyon) diferansiyel denklem ikinci dereceden), iki kez türevlenebilen ve çift olarak doğrusal olarak bağımsız olan temel fonksiyonların (9) doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir.

Konuyla ilgili sorular

"Sıradan sınır değer problemlerinin yaklaşık çözümü için yöntemler"
diferansiyel denklemler".

(Dersler 25 - 26)

1. Temel tanımlar: Doğrusal ayar sınır değeri problemi ikinci dereceden ODE için; Sınır değer problemlerinin türleri ve sınıflandırılması.

2. Sınır değeri problemlerini azaltma yöntemleri başlangıç ​​görevleri : problem bildirimi; nişan yöntemi; azaltma yöntemi; diferansiyel tarama yöntemi.

3. Sonlu farklar yöntemi: problem bildirimi; sınır değer problemlerinin çözümünde sonlu farklar yönteminin evrenselliği; Sınır değeri problemini üç köşegen yapıya sahip bir matrise sahip bir SALU'ya indirgemek için türevin yaklaşım türlerinin seçimi.

4. Enterpolasyon yöntemi veya sıralama yöntemi: temel fonksiyonların doğrusal bir kombinasyonu şeklinde yaklaşık bir çözüm aramak, sınır koşullarını karşılamak için temel fonksiyonlara yönelik gereksinimler; sıralama düğümlerinde kesin ve yaklaşık çözümlerin çakışması durumuna dayalı olarak doğrusal bir kombinasyonun katsayılarını aramak; temel fonksiyonların seçimi.

5. Galerkin yöntemi- Galerkin yöntemi teorisinin temel kavramları. Doğrusal kombinasyon şeklinde yaklaşık bir çözüm bulma temel fonksiyonlar , temel işlevler için gereksinimler. Minimizasyon koşulundan yaklaşık çözümün türünü belirleyen doğrusal kombinasyonun katsayılarının seçimi artıklar kesin çözümün değiştirilmesi nedeniyle diferansiyel problemİstenilen yaklaşık çözüm.