1. Alan teorisinin temel kavramları

Alan teorisi birçok kavramın temelini oluşturur modern fizik, mekanik, matematik. Ana kavramları gradyan, akış, potansiyel, rotor, ıraksaklık, sirkülasyon vb.'dir. Bu kavramlar aynı zamanda temel fikirlere hakim olmak için de önemlidir. matematiksel analiz Birçok değişkenin fonksiyonları.

Alan, her noktasında belirli bir miktarın değerinin belirlendiği uzayın G bölgesidir.

İÇİNDE fiziksel problemler Genellikle iki tür büyüklük vardır: skalerler ve vektörler. Buna göre iki tür alan ele alınmaktadır.

Bu alanın her M noktası belirli bir U(M) sayısıyla ilişkiliyse, şunu söylerler:

alana bir skaler alan verilir (tanımlanır). Skaler alanlara örnek olarak ısıtılan bir cismin içindeki sıcaklık alanı (bu cismin her M noktasında karşılık gelen sıcaklık U (M) belirtilir), alan verilebilir.

Herhangi bir ışık kaynağının yarattığı aydınlatma. Sistemin uzayda sabitlenmesine izin verin

Bu koordinat sisteminde M noktasının koordinatları. U(x,y,z) fonksiyonunun değerleri U(M) alanının değerleriyle çakışır,

bu nedenle aynı sembol onun için korunur.

Bu alanın her M noktası belirli bir vektörle (M) ilişkiliyse şunu söylerler:

bir vektör alanı belirtilir. Vektör alanlarına bir örnek, sabit bir sıvı akışının hız alanıdır. Şu şekilde tanımlanır: G bölgesinin her noktasından akan sıvı ile doldurulmasına izin verin.

zamandan bağımsız olarak bir miktar v hızı (fakat

genel anlamda farklı farklı noktalar); G'den her M noktasına vektörv (M) atayarak hız alanı adı verilen bir vektör alanı elde ederiz.

Eğer a(M) bir vektör alanı ise

uzayda sabit bir dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi alarak şunu yapabiliriz:

a(M)'yi sıralı bir skaler üçlü olarak temsil edin

fonksiyonlar: a (M) = (P (x,y,z),Q (x,y,z),R (x,y,z)). Bunlar

U(M) (ora(M)) fonksiyonu aşağıdakilere bağlı değilse

zaman, daha sonra skaler (vektör) alana durağan denir; zamanla değişen bir alana durağan olmayan denir. Aşağıda yalnızca sabit alanları ele alacağız.

2. Skaler ve vektör alanlarının temel özellikleri

Koordinatları U (x,y,z) fonksiyonunun noktadaki kısmi türevlerinin değerleri olan bir vektör

M (x ,y ,z ) fonksiyonun gradyanı olarak adlandırılır ve şunu belirtir:

gradU (x,y,z), yani
	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
gradU (x ,y ,z ) =	∂U(M)	∂U(M)	∂U(M)
	∂x	∂y	∂z

M noktasındaki gradyanın U(x,y,z) fonksiyonundaki en hızlı artışın yönünü belirlediği bilinmektedir. U'nun ürettiği skaler alanın olduğunu söylüyorlar

vektör gradyan alanı U.

Degrade çizgisiskaler alan U(M) çağrılır

her noktada teğeti o noktadaki derece boyunca yönlendirilen herhangi bir eğri.

Dolayısıyla alan gradyan çizgileri, alanın en hızlı değiştiği çizgilerdir.

Gradyanın başka bir özelliğini formüle etmek için düz yüzeyin tanımını hatırlayalım.

Yüzey seviyesi fonksiyonlar (alanlar)U =U (x,y,z)

fonksiyonun (alan) korunduğu yüzeydir sabit değer. Düz yüzey denklemi U (x,y,z) =C formundadır.

Böylece alanın her noktasında eğim normal boyunca bu noktadan geçen düz yüzeye yönlendirilir.

Akış Π Vektör alanı a = (P ,Q ,R ) aracılığıyla

σ yüzeyine denir yüzey integrali

∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS

veya kısaca ∫∫ a n dS, burada n = (cosα, cosβ, cosγ)

belirlenmiş birim vektörσ yüzeyine normaldir ve kenarını tanımlar.

Vektör alanının (M) sapması
		bir ns
limit denir

	v→ 0
Ω G içeren bölge		M noktası ve σ
diva(M) ile gösterilen bölge Ω.
Özel ise	türevler		∂P,	∂Q,	∂R
			∂x	∂y	∂z

süreklidir, o zaman

∂P+

∂Ç+

∂R.

div a(M) =

∂x

∂y

∂z

Vektör alanının rotoru (veya girdabı)a = (P,Q,R)

sonraki vektör denir

∂R

∂Q

∂P

∂R

∂Q

∂P

çürük

∂y

∂z

∂x

∂y

Bir vektör alanının rotasyonelini şu şekilde yazmak uygundur:

sembolik belirleyici

çürük a =

∂x

∂y

∂z

sembollerden birinin çarpımı altında

∂x

∂z

∂y

bazı

anlaşıldı

verim

uygun

operasyonlar

farklılaşma

(Örneğin,

Q'nun anlamı

∂Q

∂x

L, Ω alanında kapalı bir eğri olsun. İntegral

∫ P dx+ Q dy+ R dz

alan dolaşımı denira = (P ,Q ,R )

L eğrisi boyunca ve

ile gösterilir

∫ a d r,

d r = (dx, dy, dz) .

3. Stokes ve Ostrogradsky-Gauss formülleri

Belirli bir kapalı konturu L ile ve bu konturun kapsadığı yüzeyi σ ile gösterelim.

Kontur üzerindeki yön seçiminin yüzey tarafının seçimiyle tutarlı olduğu varsayılmaktadır (konturu seçilen yönde hareket ettirirken seçilen taraf soldadır).

Stokes formülü, bir vektör alanının belirli bir kontur boyunca dolaşımının, vektör alanı rotorunun bu kontur üzerine gerilmiş bir yüzey boyunca akışına eşit olduğunu söyler.

Şimdi Ω biraz kapalı olsun sınırlı alan, aσ bu alanın sınırıdır. O zaman adil

σ Ω

Formül (5)'in sol tarafındaki yüzey integralinin şu şekilde alındığını hatırlayın: dıştan yüzey σ.

Ostrogradsky-Gauss formülü şu anlama gelir: üçlü integral vektör alanının ıraksamasından gelen alan üzerinde akışa eşit Bu alanı sınırlayan yüzey boyunca bu alanın.

4. Hamilton operatörü. Bazı skaler ve vektör alan türleri

İngiliz matematikçi ve tamirci Hamilton, vektör diferansiyel operatörünü tanıttı


∂x	∂y	∂z

nabla operatörü denir.

Sembolik bir vektör ile "gerçek" vektörler arasındaki analojinin pek de öyle olmadığı hemen belirtilmelidir.

tamamlamak. Yani sembolik vektör içeren formüller sıradan formüllere benzer. vektör cebiri eser içermemesi durumunda değişkenler(skaler ve vektör), yani işlemlerde yer alan farklılaşmaları değişken büyüklüklerin çarpımına uygulamak zorunda kalana kadar.

Nabla vektörünü kullanma, skaler alan gradyanı

Sembolik bir vektörün tanıtılmasının uygunluğu, onun yardımıyla elde edilmesi ve yazılmasının uygun olması gerçeğinde yatmaktadır. çeşitli formüller vektör analizi.

Bunu örneklerle gösterelim.

Problem 1. U(M) skaler alanının gradyanının rotorunun 0'a eşit olduğunu, yani rot(gradU) = 0 olduğunu kanıtlayın.

Öncelikle bu eşitliği Hamilton operatörünü kullanmadan kanıtlayalım. Böylece,

çürük(gradU) = çürük	∂U(M)	, ∂U (M),	∂U (M) =

	∂x	∂y	∂z

∂ ∂

= ∂ x∂ y∂ U∂ U

∂x∂y

∂z

∂U

∂z ∂y

∂x ∂z

∂y ∂z

∂z ∂x

∂z

∂y ∂x

∂x ∂y

k = 0,

Çünkü Schwarz teoremine göre sürekli karışık türevler eşittir.

Şimdi, gradyanı (7) ve rotoru (9) yazma formunu kullanarak rot(gradU ) =× U elde ederiz.

U vektörü (vektör ile skaler U'nun çarpımı) vektörle eşdoğrusal olduğundan, bunların vektörü

ürün 0'dır.

Görev 2. Div(gradU) kullanarak skaler alan gradyanının diverjansını yazın.

GradU'dan bir farklılık oluşturarak şunu elde ederiz:

div(gradU) = div	∂ U s ben + ∂ U s j +		∂ U k s =

∂x		∂y	∂z

= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Şebeke	∂2	∂2	∂2	çağrılan operatör
	∂x2	∂y 2	∂z 2

Laplace ve şu sembolle gösterilir:

= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2

Bir vektörün skaler karesinden beri kareye eşit modülü, o zaman = 2. Böylece div(gradU ) =2 U .

a (M) vektör alanına potansiyel denir,

eğer bir skaler alanın U(M) gradyanı olarak temsil edilebiliyorsa:

a = dereceU.

U skaler alanının kendisine vektör alan potansiyelia denir.

a(M) vektör alanının olabilmesi için

Eşitliğin (10) yerine getirilmesinin gerekliliği kanıtlanmıştır (yukarıda tartışılan Sorun 1'e bakınız).

Vektör alan potansiyeli aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:


U (M) = ∫ P(x, y, z) dx+ ∫ Q(x0 , y, z) dy+ ∫ R(x0 , y0 , z) dz+ C,

burada (x 0 ,y 0 ,z 0 ) - keyfi nokta alanlar G.

Diverjansı olan a(M) vektör alanı

aynı şekilde sıfıra eşit olana solenoidal (boru şeklinde) denir.

Bunlardan birini formüle etmek için en önemli özellikler Solenoidal alanda vektör çizgisi ve vektör tüpü kavramlarını tanıtıyoruz.

G'nin içinde yer alan L doğrusuna vektör denir

Bu doğrunun her noktasında ona teğet yönü bu noktadaki vektör alanının yönü ile çakışıyorsa çizgi.

Bir vektör çizgisinin bir diferansiyel denklem sisteminin integral eğrisi olduğu bilinmektedir.

Özellikle, eğer bir vektör alanı sabit bir sıvı akışının hız alanı ise, o zaman onun vektör çizgileri sıvı parçacıklarının yörüngeleridir.

Bir vektör tüpü, bir G bölgesindeki noktalardan oluşan kapalı bir Φ kümesidir; burada bir vektör alanı a (M), sınır yüzeyinin her yerinde normal vektör n'nin (M)'ye dik olduğu şekilde belirtilir.

Bir vektör tüpü a(M) vektör alan çizgilerinden oluşur. Bir vektör çizgisi tamamen Φ'nin içinde yer alır, eğer

Doğrunun bir noktası Φ'nin içindedir.

Bir bölümdeki Φ tüpünün yoğunluğu, bu bölümden geçen alan akıdır (M).

Alan solenoidal ise, vektör tüp yoğunluğunun korunumu yasası karşılanır.

Lavaboların ve kaynakların bulunmadığı sıkıştırılamaz bir akışkanın hız alanı v(M) için (yani, divv(M) = 0 koşulu altında), vektör yoğunluğunun korunumu yasası

tüpler şu şekilde formüle edilebilir: Bir vektör tüpünün bir kesiti boyunca birim zamanda akan sıvı miktarı, tüm kesitleri için aynıdır.

Aşağıda bazıları tipik görevlerçözümlerle.

Görev 3. Skaler alan düzeyinde yüzeyleri bulun

U (M) = x2 + y2 − z.

seviye yüzeyleri, simetri ekseni Oz ekseni olan eliptik paraboloidlerin bir ailesidir.

Görev 4.

Skaler alanda U (M ) = xy 2 + z 2'yi bulun

M 0 (2,1,− 1) noktasındaki gradyan .

Değerleri bulalım

kısmi türevler

U (M) M 0 noktasında:

∂U

|M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1,

∂U

|M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4,

∂x

∂y

∂U

2 (− 1) =− 2.

∂z

Buradan,

gradU (M 0 ) =s ben + 4s j - 2k s .

Bir vektör alanının diverjansını hesaplama

a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k

M 0(1,− 2,1) noktasında.

P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Değeri bulalım

M 0 noktasında karşılık gelen kısmi türevler:

∂P|

2 ve 2 |

2 (− 2)2 = 8,

∂Q

= − z |

= − 1,

∂x

∂y

İşlem için "nabla" operatörünü de kullanabilirsiniz:

Burada dikkate alınan vektör çarpımı Doğrusal operatörler sıfıra eşittir. Doğrudan türev alarak aynı sonucun elde edilmesi önerilmektedir.

Elde edilen sonuçtan elde edilebilecek önemli sonuç. Bazı kapalı eğrileri düşünün L ve üzerine rastgele bir yüzey uzatın S.

Stokes teoremini kullanarak şunu yazabiliriz:

Elde edilen sonucu bir teorem şeklinde formüle edelim:

Teorem 1. Bir vektör alanının herhangi bir kapalı kontur boyunca dolaşımı sıfıra eşittir.

Sonuç 1. Eğrisel integral Skaler fonksiyonun gradyanı, entegrasyon yolunun seçimine bağlı değildir ve tamamen başlangıç ve bitiş noktaları entegrasyon hatları.

Kanıt. Bir çizim yapalım.

En basit dönüşümleri gerçekleştirelim

Buradan

Bu demektir integrand dır-dir tam diferansiyel. Sonuç olarak, integralin değeri yalnızca A ve B noktalarının seçimine bağlıdır:

İşlemi hesaplayalım. Bunu yapmak için vektör cebirinden bilinen çift vektör çarpımının formülünü kullanıyoruz.

Bu formülü bizim için daha uygun bir biçimde yeniden yazalım.

Dönüşüm, sonraki formüllerde “nabla” operatörünün son konumda görünmeyeceği şekilde yapılmıştır. “Nabla” operatörü açısından şunu elde ederiz:

(Çift çapraz çarpım için olağan formülü kullanırsak ne olur?)

Laplace operatör gösterimini kullanarak şunu yazabiliriz:

Vektör bileşenleri için yazılmış üç diferansiyel ilişkiden oluşan bir sistemimiz var F.

Temel ikinci dereceden diferansiyel işlemlere baktık. Gelecekte bunları çeşitli sorunları çözmek için kullanacağız.

Green'in formülleri

Birkaç formül daha alalım genelözellikleri ilişkilendiren çeşitli işlevler ve uygulamalarda yaygın olarak kullanılmaktadır. Gauss-Ostrogradsky formülünü yazalım

Let ve iki keyfi olsun skaler fonksiyonlar. Hadi koyalım

Daha sonra Gauss-Ostrogradsky teoremi şu şekli alır:

Yazabilirsin

Burada gösterim tanıtıldı

bir fonksiyonun yöndeki türevi için

Bu ifadeleri değiştirilmiş Gauss-Ostrogradsky formülüne yerleştirdikten sonra şunu elde ederiz:

Bu formüle Green'in birinci formülü denir.

Benzer şekilde, eğer koyarsak

sonra Green'in ilk formülü şu şekli alır:

Çıkarma karşılık gelen formüller, alıyoruz

Bu formüle Green'in ikinci formülü denir.

Green formüllerini kullanarak seçilen hacmin iç noktalarında ve sınırlarda fonksiyonun değerleri arasında bağlantılar elde etmek mümkündür.

Teorem 1. Fonksiyonun değeri iç nokta bölge T yüzeyle sınırlı S, formülle belirlenir

noktalar arasındaki mesafe ve. Kanıt. Bir nokta düşünün ve onu küçük bir noktayla çevreleyin küresel yüzey yarıçap

Bir vektör alanının en önemli özellikleri rotor ve sapmadır. Bu paragrafta ele alacağız matematiksel açıklama vektör alanlarının bu özellikleri ve bunların diferansiyel işlemler kullanılarak hesaplanmasına yönelik yöntemler. Bu durumda sadece Kartezyen koordinat sistemini kullanacağız. Daha tam çözünürlüklü sapma ve rotor ve bunların fiziksel anlam Bir sonraki bölümde buna bakacağız. Bu büyüklüklerin eğrisel koordinat sistemlerinde hesaplanmasını daha sonra ele alacağız.

Üç boyutlu uzayda tanımlanan bir vektör alanını düşünelim.

Tanım 1. Bir vektör alanının diverjansı, şu ifadeyle tanımlanan bir sayıdır:

Karşılık gelen kısmi türevlerin söz konusu noktada mevcut olduğu varsayılmaktadır. Bir vektör alanının diverjansı, tıpkı gradyan gibi, nabla operatörü kullanılarak yazılabilir.

Burada farklılık şu şekilde temsil edilir: skaler çarpım vektörler ve F. Diverjansın alanı oluşturan kaynakların yoğunluğunu tanımladığını kanıt olmadan belirtelim.

Örnek 1. Bir vektör alanının bir noktadaki diverjansını hesaplayın.

Tanım 2. Bir vektör alanının rotasyoneli, şu ifadeyle tanımlanan bir vektördür:

Sunulan toplamda, bitişik terimlerdeki endekslerin, kural dikkate alınarak dairesel permütasyon kuralına göre değiştiğini unutmayın.

Bir vektör alanının rotasyoneli nabla operatörü kullanılarak yazılabilir.

Rotor, bir vektör alanının dönme veya girdap yapma eğilimini karakterize eder, bu nedenle bazen girdap olarak adlandırılır ve kıvrılmaF.

Örnek 1. Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyonelini hesaplayın.

Bazen bir vektör alanının gradyanını hesaplamak gerekli olabilir. Bu durumda vektör alanının her bir bileşeninin gradyanı hesaplanır. Sonuç, vektörün gradyanını belirleyen ikinci dereceden bir tensördür. Bu tensör matris ile tanımlanabilir

Bu tür nesneleri tanımlamak için tensör gösterimini kullanmak uygundur.

inanmak. Tensör yöntemlerini kullanmak basitleştirir matematiksel işlemler bu tür nesnelerin üzerinde. Tensör hesabı aparatının ayrıntılı bir sunumu, “Yüksek Matematiğin Ek Bölümleri” dersine paralel olarak öğretilen “Tensör Analizinin Temelleri” dersinde verilmektedir.

Örnek 1. Bir vektör alanının gradyanını hesaplayın.

Çözüm. Hesaplamalar için tensör gösterimini kullanırız. Sahibiz

Burada Kronecker sembolü birim matristir.

Örnek 2. Skaler alanın gradyanını hesaplayın ve ve ifadelerini karşılaştırın.

Nabla operatörünün bazı özellikleri

Daha önce vektör farklılaşma operatörünü tanıtmıştık

Bu operatörü kullanarak tensör alanlarındaki ana diferansiyel işlemleri yazdık:

Operatör, farklılaşma operatörünün bir genellemesidir ve türevin karşılık gelen özelliklerine sahiptir:

1) Toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir

2) sabit faktör operatör tabelası olarak çıkarılabilir

Vektör fonksiyonları diline çevrildiğinde bu özellikler şu şekle sahiptir:

Bu formüller, tek değişkenli bir fonksiyonun türevleri için karşılık gelen formüllerle aynı şekilde türetilir.

Hamilton operatörünü kullanmak, tensör alanlarındaki türevle ilgili birçok işlemi basitleştirmemize olanak tanır. Ancak bu operatörün bir vektör operatörü olduğunu ve dikkatli kullanılması gerektiğini unutmayın. Bu operatörün bazı uygulamalarına bakalım. Bu durumda karşılık gelen formüller hem Hamilton operatörü kullanılarak hem de geleneksel gösterimle yazılır.

Rotor (matematik)

Rotor, veya girdap bir vektör alanı üzerinde bir vektör diferansiyel operatörüdür.

Belirlenmiş

(Rus dili edebiyatında) veya

(İngiliz edebiyatında),

ve ayrıca diferansiyel operatörün bir vektör alanıyla vektör çarpımı olarak:

Bu operatörün belirli bir vektör alanı üzerindeki eyleminin sonucu F isminde alan rotoru F veya kısacası sadece rotor F ve yeni bir vektör alanını temsil eder:

Rot alanı F(vektör çürümesinin uzunluğu ve yönü F uzaydaki her noktada) bir anlamda alanın dönme bileşenini karakterize eder F sırasıyla her noktada.

Sezgisel görüntü

Eğer v(x,y,z) gaz hızının (veya sıvı akışının) alanıdır, o zaman çürümek- akışta bulunan (ve gaz veya sıvının hareketi tarafından sürüklenen) çok küçük ve hafif bir toz zerresinin (veya topun) açısal hız vektörüyle orantılı bir vektör; ancak istendiğinde topun merkezi şu şekilde sabitlenebilir: etrafında serbestçe dönebildiği sürece).

özellikle çürümek = 2 ω , Nerede ω - bu açısal hız.

Bu gerçeğin basit bir örneği için aşağıya bakın.

Bu benzetme oldukça katı bir şekilde formüle edilebilir (aşağıya bakınız). Dolaşım yoluyla elde edilen temel tanımın (bir sonraki paragrafta verilen) bu şekilde elde edilene eşdeğer olduğu düşünülebilir.

Matematiksel tanım

Bir vektör alanının rotasyoneli, her yönde izdüşümü olan bir vektördür. N bir vektör alanının bir kontur boyunca dolaşım ilişkisinin sınırıdır L düz alanın kenarı olan Δ S, bu yöne dik, bu alanın boyutuna, alanın boyutları sıfıra yaklaştığında ve alanın kendisi bir noktaya daraldığında:

Konturun geçiş yönü, o yönde bakıldığında konturun görülebileceği şekilde seçilir. L saat yönünde yürüdü.

Üç boyutlu Kartezyen sistem rotorun koordinatları (yukarıda tanımlandığı gibi) aşağıdaki şekilde hesaplanır (burada F- Kartezyen bileşenlere sahip belirli bir vektör alanını ve - Kartezyen koordinatların birim vektörlerini belirtir):

Kolaylık sağlamak için, rotoru resmi olarak nabla operatörünün (solda) ve vektör alanının bir vektör çarpımı olarak temsil edebiliriz:

(Son eşitlik resmi olarak vektör çarpımını determinant olarak temsil eder.)

İlgili tanımlar

Rotoru olan bir vektör alanı sıfıra eşit herhangi bir noktada denir dönmeyen ve bir potansiyel. Bu koşullar birbirleri için gerekli ve yeterli olduğundan, her iki terim de pratikte eşanlamlıdır. (Ancak bu yalnızca basit bağlantılı bir etki alanında tanımlanan alanlar için geçerlidir).

Potansiyelin karşılıklı koşulluluğu ve alanın dönüşsüz doğası hakkında biraz daha ayrıntılı bilgi için aşağıya bakın (Temel özellikler).

Aksine, rotasyoneli sıfıra eşit olmayan bir alana genellikle denir. girdap böyle bir alan potansiyel olamaz.

Genelleme

Rasgele boyuttaki uzaylarda tanımlanan vektör (ve sözde vektör) alanlarına uygulanan rotorun en doğrudan genellemesi (uzayın boyutunun alan vektörünün boyutuyla çakışması koşuluyla) aşağıdaki gibidir:

indeksli M Ve N 1'den uzay boyutuna kadar.

Bu aynı zamanda harici bir çarpım olarak da yazılabilir:

Bu durumda rotor, değerlik iki olan antisimetrik bir tensör alanıdır.

3. boyut durumunda, bu tensörün Levi-Civita sembolüyle evrişimi şunu verir: olağan tanım Yukarıdaki yazıda verilen üç boyutlu rotor.

İki boyutlu bir uzay için, ek olarak, istenirse, sözde skaler çarpımlı benzer bir formül kullanılabilir (böyle bir rotor, geleneksel vektör çarpımının, verilen iki boyutluya dik bir eksen üzerindeki izdüşümüne denk gelen bir sözde skaler olacaktır). uzay - iki boyutlu uzayın üç boyutlu bir uzayın içine gömülü olduğunu düşünürsek, geleneksel vektör çarpımının bir anlamı olur).