İki boyutlu difüzyon denklemi. İletim Hattı Denklemleri

Ch'de. XIII, § 2, 6'da termal iletkenlik ve difüzyon için integral denklemi (56) inceledik. Türetme yönteminden bu denklemin daha fazla alanda uygulanabileceği açıktır. genel durum bu paragrafta tartışılmıştır. Gerçekte çok daha fazlasının olduğunu göreceğiz. genel anlam. Aslında, Bölüm'de ortaya konan prensibe göre. XIII, § 2, 3'e göre bu denklemde yer alan fonksiyonlar bazı olasılıklar olarak kabul edilebilir. Bu nedenle, eğer bazılarının durumu fiziksel sistem zamana bağlı bir değişken tarafından istatistiksel olarak belirleniyorsa, yani bir çeşit Brown hareketine maruz kalıyorsa, bu hareket yine integral denklemi (51) ile tanımlanacaktır.

Sistemin bir anda hareket etme olasılığı arasında bir olasılık varsa başlangıç konumu, son konum arasında yer alır ve bu konum arasında yer alır ve doğrusal integral denklemi karşılar:

çekirdeği genel olarak asimetriktir.

Sıradan Brown hareketi durumunda, dış kuvvetlerin yokluğunda çekirdek nispeten simetriktir ve Bölüm 2'de tanımlanan forma sahiptir. XIII, §2, (56a). Bu durumda denklemin (8) çözümü de burada belirtilmektedir. Genel durumda bir çözüm bulmak için, integral denklemin (8) aşağıdaki şekilde bir diferansiyel denkleme dönüştürülmesi tavsiye edilir.

Öncelikle denklem (8)'e sistemin zaman içindeki yer değiştirmesini temsil eden yeni bir değişken ekleyelim. Daha sonra denklem (8) şu şekli alacaktır:

ifadenin açık olduğu yerde, sistemin zaman içinde başlangıçtaki x konumundan aradaki mesafeye kadar hareket etme olasılığına eşittir ve şimdi çok küçük olduğunu varsayalım ve genişleyelim sol taraf(9) derece olarak

birinci dereceden terimlere kadar ve sağ taraf derece derece O zaman alacağız

miktarların anlamı olduğu yer:

Bir fonksiyonun olasılık olarak tanımından hemen şu sonuç çıkar: Şimdi sınırlayıcı değerlerin olduğunu varsayalım:

Daha sonra (10)'dan fonksiyon için bir diferansiyel denklem elde ederiz.

operatör nerede

Bu denklem denir istatistiksel fizik Fokker-Planck diferansiyel denklemi Çok çeşitli uygulamalara sahiptir.

Eğer mekanik sistem sıradan durumlarda olduğu gibi, bir yandan dış kuvvetlerin etkisine, diğer yandan moleküllerin termal hareketine bağlı olarak iyotun rastgele dalgalanmaları yaşar Brown hareketi ise (11) ve (12)'ye göre fonksiyon şu şekildedir: ortalama hız Dış kuvvetlerin etkisi altındaki parçacıklar tarafından elde edilir. Ayrıca bu durumda a'ların hepsi aynı şekilde sıfıra eşittir. Böylece (13), bir difüzyon katsayısının bulunduğu genelleştirilmiş difüzyon denklemine (6) girer. (11) ve (12)’ye göre:

yani yer değiştirmenin ortalama karesinin Bölüm 2'de karşılaştığımız orana bölünmesine eşittir. XIII, § 2, (23) Einstein formülü adı altında.

Eğer dış kuvvetler yani, (8)'deki fonksiyon ona göre simetrikse, o zaman (12)'ye göre fonksiyon tamamen sıfıra eşittir ve (13) sıradan diferansiyel difüzyon denklemi Ch'ye girer. XIII, § 1 (22). Bu nedenle, integral denklemi (50) Ch ile tanımlanan herhangi bir fonksiyon. § 2, aynı anda denklem (22) Ch'yi karşılamalıdır.

Dış kuvvetler sıfıra eşit değilse, o zaman şunu bulabiliriz: sabit çözüm ve yeterince sonra oluşturulan duruma karşılık gelen Fokker-Planck denklemi büyük boşluk başlangıç durumuna bakılmaksızın zaman. Bu durumda sistemin aralarındaki aralıkta veya göreceli sayıda olma olasılığı vardır. özdeş sistemler, bu aralıkta yer alıyorsa, başlangıç anı dağıtıldılar

Difüzyon denklemi, örneğin ısı veya konsantrasyon gibi bazı maddelerin geniş bir gövdesi üzerinde zaman içinde yayılmasını (yayılmasını) açıklar. Tek boyutlu durumda, gövde eksen boyunca uzatılmış gibi görünür X.

Açık pirinç. 19.2 eksen boyunca dağılıma bir örnek gösterir X sıcaklık gibi parametre T. Sıradan deneyimlerden iyi bilinmektedir ki, zamanın her anında T sıcaklık T vücudun farklı yerlerinde X farklı anlamlara sahiptir, yani bölgeye ve zamana göre değişir. Yani bu parametrenin değerinin değiştiği bir yasa olmalı T('nin fonksiyonları olarak X, T). Sıcaklık için bu yasa çoğunlukla difüzyon denklemiyle verilir.

Değişken parametresi (genel durumda) şu şekilde belirlenmişse: sen parametredeki değişikliklerin izlendiği süre şu şekilde gösterilir: T ve parametre değişikliklerinin meydana geldiği eksen X, o zaman difüzyon denklemi şu şekle sahiptir:

ve genellikle koşullarla (değişken değerler) desteklenir sen kenarlarda ve kenarlarda: sol kenarda X= 0, sağ kenarda X = L, sınırda - başlangıç koşulları (T = 0):

sen(X, 0) = F 1 (X),
sen(0, T) = F 2 (T),
sen(L, T) = F 3 (T),
Nerede F 1 (X), F 2 (T) Ve F 3 (T) - belirtilen işlevler.

Açık pirinç. 19.3 Sınır ve başlangıç koşullarının belirlendiği alanın şematik görünümü sunulmaktadır. Fonksiyonlar F 1 (X), F 2 (T), F 3 (T) ve difüzyon denkleminin kendisi fonksiyonun davranışını önceden belirler sen(X, T) bu alanın içinde, tam görünüm genellikle belirlenmesi gerekir. Diyagramda ek olarak bir eksen oluşturursanız sen(santimetre. pirinç. 19.4), o zaman fonksiyonların türü şekilde görsel olarak gösterilebilir. Şekil, diyagramın köşelerinde belirtilen fonksiyonların değerlerinin çakışması gerektiğini açıkça göstermektedir.

Katsayı α ısıl iletkenlik katsayısı anlamına gelir; F(X, T) ısı kaynaklarının ve yutucuların çalışmasını açıklayan bir fonksiyon anlamına gelir.

Büyüklük sen Sıcaklık dağılımını tanımlayan iki değişkenin bir fonksiyonudur; vücudun kapsamı X ve zaman T: sen(X, T). Grafiksel olarak bir fonksiyon bir yüzeyle temsil edilir (bkz. pirinç. 19.5) veya bir dizi izolin (bkz. pirinç. 19.6), genellikle türünün belirlenmesi gerekir.

Türev ifadelerini ayrık analoglarıyla değiştirirsek, fark formunda denklem şöyle görünecektir:

veya bilinmeyeni bilinen nicelikler cinsinden ifade etmek:

Sonuç olarak, dijital ortamda uygulanan bir hesaplama formülü elde edilir. bilgisayar. Bu formül sayesinde parametrenin değerini hesaplayabilirsiniz. sen herhangi bir noktada ( X, T).

Değeri çağıralım sen(X, T) hesaplama düğümü. Daha sonra şematik olarak hesaplama, vücut parçalarından ve zaman aralıklarından oluşan bir alandaki düğümlerden oluşan bir ızgaraya benziyor (bkz. pirinç. 19.7). Bir düğümü hesaplama formülü üç düğümün durumuna bağlıdır (soldaki sen(X – Δ X, T – Δ T), Sağ sen(X + Δ X, T – Δ T), sahip olmak sen(X, T – Δ T)) öncekine ( T – Δ T) zamanda bir noktaya işaret eder ve üçgen bir desene benzer. Hesaplamaya başlamadan önce tüm düğümlerin durumları T= 0. Formülü zamanın bir sonraki anı için tüm düğümlere sırayla uygulayarak, bir sonraki zaman katmanının tüm düğümlerindeki sıcaklığı belirleyebilirsiniz ( T + Δ T). En soldaki ve en sağdaki düğümlerin durumları hesaplanamaz ancak sınır koşullarıyla belirlenir.

İşlem tekrarlanırsa vücudun bir noktasından hareket ettirilerek X diğerine, sonra bir zaman katmanından diğerine, daha sonra bu formülü kullanarak vücudunuzun herhangi bir yerindeki sıcaklık değerini istediğiniz zaman hesaplayabilirsiniz. Böylece hesaplama tüm alanı kapsıyor (U x D)(santimetre. pirinç. 19.7). Bilinmeyen değerlerin sıralı belirlenmesi bu durumda Belki de şablonun açık bir ifade biçimine sahip olması nedeniyle formüldeki tek bilinmeyen önceden hesaplanmış değerlerle ifade edilmiştir.

Ne zaman olduğunu unutmayın büyük değerler türevler ve adımların büyük değerleri, hesaplamada yanlış çözümler verebilir. Çözümlerin hatalı ve hatta istikrarsız (niteliksel olarak yanlış) olduğu ortaya çıkabilir (bkz. ders 10). Sayısal yöntemler entegrasyon diferansiyel denklemler. Euler'in yöntemi").

Difüzyon denklemini çözerken üçgen bir şablon için stabilite koşulu: Δ X/Δ T > α (ayrıntılara bakın pirinç. 19.12).

Modelleme yaparken diğer fark formüllerini (şablonları) kullanmak mümkündür (bkz. pirinç. 19.8). Şablon seçerken şablonun açık olup olmadığına, hangi doğruluğu sağladığına, hangi adım değerlerinde hesaplamanın kararlılığını sağladığına dikkat etmek gerekir. Yani, örneğin dikdörtgen biçimindeki bir şablon örtülüdür: birinde hesaplama formülü aynı anda iki bilinmeyen miktar içerir. Bu nedenle böyle bir desen kullanırken sistemi çözmek gerekir. cebirsel denklemler boyut (LT).

Uygulamada önce istikrar, sonra doğruluk, farklı şablonlar ve çözümler kullanılarak elde edilen çözümlerle sağlanır. farklı anlamlar adım. İstenilen değişkenin değerleri adım adım hesaplanırsa H ve adımlarla H/2, aynı endekslere sahip düğümlerde% 1-5'ten fazla farklılık göstermiyorsa, hesaplanan değer soruna yaklaşık bir çözüm olarak alınır. Aksi takdirde adım iki kat daha azaltılır ve değerlendirme prosedürü tekrarlanır. (Daha fazla bilgi için “Bilgisayarda hesaplama yapabilir miyiz?” dersine bakınız.)

Difüzyon denkleminin özellikleri şu şekilde yansıtılmıştır: pirinç. 19.9 ve zamanla vücudun herhangi bir yerinde homojenlik meydana geldiğinde, ısı değişim süreçleri nedeniyle ısının komşu bölgelere akması gerçeğinden oluşur. Komşu alanların sıcaklıkları eşitlenir ve ortalaması alınır. Sürecin hızı, termal iletkenlik katsayısının değerine bağlıdır.

Sorunun durağan olduğu koşulunu kabul edersek, yani süreçler tüm geçici süreçlerin sona ermesi için zaman olacak kadar uzun sürerse (zaman türevi 0'a eşittir), o zaman difüzyon denklemi aşağıdaki formu alır (durum için) iki boyutlu uzayın ekseni X Ve z) kaynaklar ve yutaklar olmadan:

∂ 2 sen/∂X 2 + ∂ 2 sen/∂z 2 = 0.

Fark formunda denklem şöyle görünür:

(ey ben + 1, J– 2 · ey ben , J + ey ben – 1, J)/Δ X 2 + (ey ben , J– 1 – 2 · ey ben , J + ey ben , J+ 1)/Δ z 2 = 0.

Δ alırsak X = Δ z o zaman denklem şu şekli alacaktır:

4 · ey ben , J – ey ben + 1, J – ey ben – 1, J – ey ben , J – 1 – ey ben , J + 1 = 0.

Denklemi hesaplamak için kullanılan şablonun örtülü olduğunu ve bir haç biçiminde olduğunu anlamak kolaydır (bir ızgara düğümündeki sıcaklık değerini hesaplamak için sol, sağ, üst ve alt komşularının sıcaklıklarını bilmeniz gerekir) ). Evin duvarı 2 metreye 2 metre ölçülerindeyse ve adım Δ ise X = Δ z= 20 mm, ardından hesaplama için toplam sıcaklık rejimi duvarların 10.000 kişilik bir sistemle çözülmesi gerekecek doğrusal denklemler 10.000 bilinmeyenli ey ben , J :

4 · ey ben , J – ey ben + 1, J – ey ben – 1, J – ey ben , J – 1 – ey ben , J+ 1 = 0, çünkü Ben= 1÷100 ve J= 1÷100,

400 adet sınır koşulunun eklenmesi gerekenler:
e 0, J = F 1 (J);
e 101, J = F 2 (J);
ey ben , 0 = F 3 (Ben);
ey ben , 101 = F 4 (Ben).

Denklemin çözümü şekilde gösterilmiştir. pirinç. 19.6.

Biyofizikte pasif taşımayı - iyonların difüzyonunu tanımlamak için, pasif taşıma sırasında membrandan iyonların toplam akışının 2 faktör tarafından belirlendiği elektrodifüzyon teorisi kullanılır: dağılımlarının eşitsizliği (konsantrasyon gradyanı) ve etkisi bir elektrik alanı (elektrik gradyanı). Seyreltik çözeltiler için iyon akı yoğunluğu Nernst-Planck denklemi ile belirlenir:

burada: F - maddenin akışı, u - bir iyonun, molekülün hareketliliği, R - evrensel gaz sabiti (8,314 J/mol*K), T - K 0 ölçeğinde sıcaklık, dC/dx - konsantrasyon gradyanı, C - konsantrasyon benlerde, Z- iyon yük değeri, F - Faraday sayısı (96500 C/mol), d φ /dx - potansiyel gradyan.

Gradyanların önündeki eksi işaretleri, konsantrasyon gradyanının, bir maddenin konsantrasyonun yüksek olduğu yerlerden düşük konsantrasyonun olduğu yerlere transferine neden olduğunu; ve potansiyel gradyanı, pozitif yüklerin potansiyeli yüksek olan yerlerden daha az olan yerlere aktarılmasına neden olur.

Yüksüz parçacıkların difüzyonunu tanımlamak için Fick denklemi kullanılır:

Bu formda, Fick denklemi, taşınmayı engelleyebilecek hiçbir bölmenin (zar) olmadığı durumda, yüksüz parçacıkların birim alan boyunca akışını belirler; burada:

D D - difüzyon katsayısı, - konsantrasyon gradyanı

Bir hücre zarı için: dx = L - zar kalınlığı, dC = C i - C e, burada C i ve C e hücrenin içindeki ve dışındaki parçacıkların konsantrasyonudur. K katsayısı (bölünme katsayısı), bir hücre için Fick denklemine eklenir; bu, ortam ile membran arasındaki parçacık konsantrasyonunun oranını ve sonuçta transfer hızını belirler. Bunu dikkate alarak hücre zarı için Fick denklemi şu şekilde temsil edilir:

DK / L = P - etkin geçirgenlik katsayısı olarak adlandırılır, ardından Ф = - P (İLE e - Ci)

6. Mekanizma aktif taşıma K+ iyonları veHayır+ membrandan. İşin ana aşamalarık, Hayır-ATPazlar. Karşı gradyan transferinin enerji tüketimi (formül).

Na ve K iyonları vücudun su-elektrolit metabolizmasını belirler. Normalde, canlı hayvan hücrelerinde, bu iyonların hücre içindeki (i) ve dışındaki (e) konsantrasyonlarında bir asimetri vardır. Hücre içinde K konsantrasyonu daha fazla, Na konsantrasyonu ise hücre dışında daha fazladır. Hücre zarı her iki iyona da eşit derecede geçirgendir. Bu nedenle asimetriyi korumak için, ATP hidrolizi sırasında açığa çıkan enerji nedeniyle Na, K - ATPase veya bir Na-K pompası kullanılarak karşı gradyan transferi gerçekleştirilir.

ATP + H2O = ADP + Phn + ∆G, burada Phn inorganik fosfattır.

ATPase çalışmasının ana aşamaları:

1) 3 Na iyonunun bağlanması ve enzimin hücre içine fosforilasyonu.

2) Translokasyon No. 1 – Na iyon bağlama merkezinin dışarıya aktarılması.

3) 3 Na iyonunun bağlantısı kesilip yerine 2 K iyonu konulur.

4) Fosforik asit kalıntılarının ortadan kaldırılması.

5) Translokasyon No. 2 – K iyon bağlama merkezinin hücreye aktarılması.

6) 2 K iyonunun ayrılması ve 3 Na iyonunun eklenmesi, ardından enzimin fosforilasyonu.

2 K iyonunun hücre içine transferi ve 3 Na iyonunun dışarıya salınması sonuçta sitoplazmadan membran yüzeyine ilave bir pozitif yükün transferine yol açar. Bu nedenle, hücre içi içeriklerin bir işareti (-) ve hücre dışı içeriklerin (+) işareti vardır. Genel olarak, Na + ve K +'nın aktif taşınması için ATP'nin hidrolizi sırasında açığa çıkan enerji aşağıdaki formülle belirlenir:

burada ilk terim, iki K iyonunun karşı-gradyan transferi için enerjiyi belirler, ikincisi - üç Na iyonunun karşı-gradyan transferi için enerji, üçüncüsü - üzerinde ortaya çıkan elektrik alanının kuvvetlerinin üstesinden gelmek için gereken enerji. Aktif taşıma nedeniyle membran.

Teoreme alışmak için nasıl uygulandığına dair bir örneğe bakalım. Tekrar ısının, örneğin metaldeki dağılımına dönelim. Çok basit bir durumu ele alalım: Tüm ısı vücuda önceden verildi ve şimdi vücut soğuyor. Isı kaynağı olmadığından ısı miktarı korunur. O halde belirli bir zamanda belirli bir hacmin içinde ne kadar ısı olmalıdır? Tam olarak hacmin yüzeyinden çıkan miktar kadar azalmalıdır. Bu hacim küçük bir küp ise, formül (3.17)'yi takip ederek şunu yazabiliriz:

Ancak bu, küpün içindeki ısı kaybının hızına eşit olmalıdır. Birim hacim başına ısı miktarı ise, o zaman ısı kaynağının tamamı bir küp içindedir ve kayıp oranı şuna eşittir:

(3.20)

(3.19)'u (3.20) ile karşılaştırdığımızda şunu görürüz:

(3.21)

Bu denklemin şekline yakından bakın; bu form genellikle fizikte bulunur. Korunum yasasını, bu durumda ısının korunumu yasasını ifade eder. Denklem (3.13)'te aynı fiziksel gerçek farklı ifade edildi. Korunum denkleminin integral formu vardı ve burada diferansiyel formumuz var.

Formül (3.13)'ü sonsuz küçük bir küpe uygulayarak denklem (3.21)'i elde ettik. Başka bir yoldan gidebilirsin. Bir yüzeyle sınırlanan büyük bir hacim için Gauss yasası şunu belirtir:

(3.22)

(3.21) kullanılarak sağ taraftaki integral forma dönüştürülebilir ve ardından (3.13) formülünü elde ederiz.

Şimdi başka bir duruma bakalım. Bir madde bloğunda küçük bir delik olduğunu ve içinde bir delik olduğunu hayal edelim. kimyasal reaksiyon, ısı üretiyor. Bunu da hayal edebilirsiniz düşük direnç Bloğun içinde onu ısıtan teller var elektrik çarpması. Isının neredeyse bir noktada oluştuğunu ve a'nın o noktada saniyede üretilen enerjiyi temsil ettiğini varsayalım. Hacmin geri kalan kısmında ısının korunmasına izin verin ve ayrıca ısı üretiminin çok uzun zaman önce başlamasına izin verin, böylece sıcaklık artık hiçbir yerde değişmez. Soru şu: ısı akışı vektörü neye benziyor? farklı noktalar metal mi? Her noktadan ne kadar ısı akıyor?

Normal bileşeni kapalı bir yüzey üzerine entegre edersek şunu biliyoruz: çevreleyen kaynak, her zaman işe yarayacaktır. Akışın sabit olduğu varsayıldığından, bir nokta kaynakta üretilen tüm ısının yüzeyden akması gerekir. Bizden önce zor görev Rastgele bir yüzey üzerinde entegrasyon sonrasında her zaman verecek bir vektör alanı bulmak. Ancak yüzeyi seçerek bu alanı nispeten kolay bir şekilde bulabiliriz. özel tip. Merkezi kaynakta olan yarıçaplı bir küre alalım ve ısı akışının radyal olduğunu varsayalım (Şekil 3.6). Sezgi bize, eğer madde bloğu büyükse ve sınırlarına çok fazla yaklaşmıyorsak, onun bir yarıçap boyunca yönlendirilmesi gerektiğini söyler; Ayrıca kürenin her noktasındaki değerin aynı olması gerekmektedir. Hesaplamalarımıza bir cevap alabilmek için belli miktarda spekülasyon eklemek zorunda kaldığımızı görüyorsunuz (genellikle buna "fiziksel sezgi" denir).

Şekil 3.6. Noktasal kaynağa yakın bölgede ısı akışı radyal olarak dışarıya doğru yönlendirilir.

Radyal ve küresel olarak simetrik olduğunda, normal bileşenin yüzey alanı üzerindeki integrali çok basit bir şekilde hesaplanır çünkü normal bileşen tam olarak eşit ve sabittir. Entegre edildiği alan eşittir. Sonra alırız

, (3.23)

mutlak değer nerede. Bu integral, kaynağın ısı üretme hızına eşit olmalıdır. Görünüşe göre

burada her zaman olduğu gibi radyal yöndeki birim vektörü belirtir. Bu sonuç bize, kaynağa olan uzaklığın karesi ile orantılı ve ters orantılı olarak değiştiğini göstermektedir.

Az önce elde edilen sonuç, bir nokta ısı kaynağı yakınındaki ısı akışı için geçerlidir. Şimdi ısı akışının kendisi için geçerli olan denklemleri bulmaya çalışalım. genel görünüm(Isı miktarının korunması gerektiği tek şartına bağlı kalarak). Yalnızca herhangi bir kaynağın veya ısı emicinin dışındaki yerlerde olup bitenlerle ilgileneceğiz.

Isı yayılımının diferansiyel denklemi Bölüm 2'de elde edilmiştir. 2. Denklem (2.44)'e göre,

(Bu oranın yaklaşık olduğunu unutmayın, ancak metaller gibi bazı maddeler için iyi bir sonuç verir.) Elbette bu oran yalnızca vücudun ısı üretiminin veya emiliminin olmadığı kısımlarında uygulanabilir. Yukarıda, ısı miktarı korunduğunda sağlanan başka bir bağıntıyı (3.21) türetmiştik. Bu denklemi (3.25) ile birleştirirsek, şunu elde ederiz:

eğer - miktar sabittir. Birim hacimdeki ısı miktarının Laplace yani operatör olduğunu hatırlatmama izin verin.

Şimdi bir varsayım daha yaparsak, hemen çok ilginç bir denklem ortaya çıkıyor. Malzemenin sıcaklığının birim hacimdeki ısı içeriğiyle orantılı olduğunu, yani malzemenin belirli bir özgül ısı kapasitesine sahip olduğunu varsayalım. Bu varsayım doğru olduğunda (ki çoğu zaman durum budur), sıcaklık için ve - yazabiliriz.

Diferansiyel denklem (3.28) ısı yayılım denklemi veya ısı iletim denklemi olarak adlandırılır. Genellikle şeklinde yazılır

bir sabit nerede. Eşittir.

Difüzyon denklemi birçok durumda görünür. fiziksel problemler: gaz difüzyonu, nötron difüzyonu ve diğerleri hakkında. Bu fenomenlerden bazılarının fiziğini daha önce Cilt 2'de tartışmıştık. 4, bölüm. 43. Şimdi önünüzde tam denklem Difüzyonu en genel haliyle tanımlar. Biraz sonra sıcaklığın bazı durumlarda nasıl dağıldığını görmek için difüzyon denklemini çözmeye çalışacağız. Şimdi vektör alanlarıyla ilgili diğer teoremlerin değerlendirilmesine dönelim.

Her bölümünde yayılan maddenin konsantrasyonunun sabit kabul edilebildiği, sabit küçük kesitli içi boş bir tüp düşünelim. Ox eksenini tüp boyunca yönlendirelim, o zaman tüpteki maddenin konsantrasyonu Q(x,t) fonksiyonu ile ifade edilir ve aşağıdaki denklemle açıklanabilir:

burada Q(x,t), yayılan maddenin hacimsel konsantrasyonu (veya yoğunluğu), kg/m3;

f(x,t) – safsızlık kaynağının hacimsel yoğunluğu, kg m -3 s -1.

Difüzyon katsayısı D'nin sabit olması koşuluyla, a katsayısı aşağıdaki ifadeden belirlenir:

, (2.58)

burada D difüzyon katsayısıdır, m2/s;

C – gözeneklilik katsayısı.

, (2.59)

burada V, içinde difüzyonun meydana gelebileceği gözeneklerin hacmidir, m3;

V 0 – toplam hacim, m3.

Ortam gözenekli değilse, bu durumda katsayı C = 1 ve katsayı a 2 = D.

Başlangıç koşulları olarak, yayılma maddesinin yoğunluğunun, zamanın ilk anında dikkate alınan içi boş tüp boyunca dağılımı belirtilir:

Sınır koşulları aşağıdaki biçimde belirtilebilir:

1) İçi boş tüpün sınırlarında, yayılan maddenin konsantrasyonu sabit tutulur (özellikle sıfıra eşit) (1. türden sınır koşulları):

2) Borunun sınır düzlemleri geçilemezdir (2. türden sınır koşulları):

; (2.63)

. (2.64)

3) Sınır düzlemleri yarı geçirgendir ve bu düzlemler boyunca difüzyon, Newton'un konvektif ısı transferi yasasına göre gerçekleşir (3. tür sınır koşulları):

, (2.65)

, (2.66)

burada φ 1 (t), φ 2 (t), yayılan maddenin yoğunluğudur. çevre tüpün her iki ucunda;

α uçlardaki geçirgenlik katsayısıdır.

Yerçekiminin neden olduğu parçacık hızının sabit olduğunu ve parçacık yoğunluğunun yalnızca z yüksekliğine ve t zamanına bağlı olduğunu varsayarak, çökelmeyi hesaba katarak asılı parçacıkların difüzyon süreci için bir sınır değer problemi belirleyin. Yaz sınır koşulu aşılmaz bir bölüme karşılık gelir.

Tüpte asılı parçacıkların yoğunluğunu tanımlayan Q(x,t) fonksiyonu aşağıdaki denklemle belirlenir:

D – difüzyon katsayısı, m2 /s;

ν – parçacık yerleşme hızı, m/s.

Formüle edilen koşulun sınır koşulu şu şekilde yazılır:

2.7 İletim hattı denklemleri

Bir kablo uzunluğunu düşünün ben akım altında. Kablo, birim kablo uzunluğu başına aşağıdaki parametrelere sahiptir:

– aktif direnç R, Ohm/m;

– endüktans L, H/m;

– kapasitans C, F/m;

– yalıtım iletkenliği G, (Ohm m) -1.

Her t anında herhangi bir x noktasında gerilim U ve akım I aşağıdaki denklemlerden bulunabilir:

1) Telefon denklemi:

burada Q(x,t)=U(x,t) veya Q(x,t)=I(x,t).

2) İhmal edilebilir endüktans ve iletkenlik değerlerine tabi telgraf denklemi (telgraf denklemi) L=G=0:

. (2.68)

3) Radyo denklemi (düşük aktif direnç ve iletkenlik değerlerinde R=G=0):

, (2.69)

burada k2 =1/(LC).

Tüm denklemlerde hem gerilim U(x,t) hem de akım I(x,t), çıkış dağıtılmış miktarı olarak düşünülebilir.

T zamanına göre ikinci türevi içeren telefon ve radyo denklemleri için başlangıç koşullarını, tüm hat boyunca zamanın başlangıç anında en çok dağılmış miktar şeklinde ve bunun türevini belirtmek gerekir. t zamanına kadar. Hesaplamalarını ele alalım.

Gerilim ve akımın dağılımının çizgi boyunca belirtilmesine izin verin:

Sınır koşulları çeşitli şekillerde belirlenebilir. Kablonun (hattın) bir ucu için en yaygın olanları ele alalım, örneğin x= ben.

1) Sonunda sabit elektromotor kuvveti E, B olan bir pil vardır:

2) Hattın sonu ω frekansıyla sinüzoidal gerilim altındadır:

3) Hattın sonu topraklanır:

. (2.76)

4) Telin ucu yalıtılmıştır:

. (2.77)

5) Hattın başında ve sonunda R 0 ve R omik dirençli alıcılar açılır. ben ve kendi kendine indüksiyon L 0 ve L ben :

; (2.78)

, (2.79)

burada E pilin elektromotor kuvvetidir, V;

ben 0, ben ben– hattın başında ve sonunda mevcut güç, A.

6) Hattın başında ve sonunda C 0 ve C kapasitanslı ayırma kapasitörleri bulunur. ben :

; (2.80)

, (2.81)

neredesin ben– hattın sonundaki voltaj.

1000 km uzunluğundaki bir iletim hattı başlangıçta verici uçta 1200 V (x=0) ve alıcı uçta 1100 V (x=) potansiyel ile kararlı durumdadır. ben=1000). Hattın alıcı ucu aniden topraklanır ve kaynakta 1200 V'luk bir potansiyel kalır. Yalıtımın endüktansı ve iletkenliğinin ihmal edilebilir olduğunu varsayarak, iletim hattındaki potansiyel için bir sınır değeri problemi formüle edin.

L=G=0 olduğundan şu şekilde bir telgraf denklemi kullanırız:

burada 0≤х≤ 1000.

Başlangıç koşulları (başlangıç kararlı durum voltajı) aşağıdaki formdaki bir denklemle tanımlanır:

,
.

uzunluğunda bir teldeki I(x,t) akımını bulun ben, onun boyunca akıyor klima Akım kaçağı yoksa ohmik direnç ve iletkenlik ihmal edilebilir. Teldeki başlangıç akımının (t=0'da) sıfır olduğu varsayılır ve başlangıç gerilimi aşağıdaki formülle verilir: