Bir doğru parçası üzerindeki trigonometrik denklemin çözümünü bulun. Trigonometrik denklemler - formüller, çözümler, örnekler

Trigonometrik denklemler- konu en basit değil. Çok çeşitlidirler.) Örneğin, bunlar:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = bebek karyolası(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Vesaire...

Ancak bu (ve diğer tüm) trigonometri canavarlarının iki ortak ve zorunlu özelliği vardır. Birincisi - inanmayacaksınız - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var.) İkincisi: x'li tüm ifadeler bulunur aynı işlevler dahilinde. Ve sadece orada! X bir yerde görünüyorsa dıştan,Örneğin, sin2x + 3x = 3, bu zaten bir denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemler gerektirir bireysel yaklaşım. Bunları burada değerlendirmeyeceğiz.

Bu dersimizde de kötü denklemleri çözmeyeceğiz.) Burada şu konuları ele alacağız: en basit trigonometrik denklemler. Neden? Evet çünkü çözüm herhangi trigonometrik denklemler iki aşamadan oluşur. İlk aşamada kötülük denklemi çeşitli dönüşümlerle basit bir denkleme indirgenir. İkincisinde bu en basit denklem çözülür. Başka yol yok.

Yani ikinci aşamada sorun yaşarsanız ilk aşamanın pek bir anlamı kalmıyor.)

Temel trigonometrik denklemler neye benzer?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Burada A herhangi bir sayıyı temsil eder. Herhangi.

Bu arada, bir fonksiyonun içinde saf bir X olmayabilir, ancak şöyle bir ifade olabilir:

cos(3x+π /3) = 1/2

vesaire. Bu hayatı zorlaştırır, ancak trigonometrik bir denklemi çözme yöntemini etkilemez.

Trigonometrik denklemler nasıl çözülür?

Trigonometrik denklemler iki şekilde çözülebilir. İlk yol: mantığı kullanmak ve trigonometrik daire. Burada bu yola bakacağız. İkinci yol olan hafıza ve formüllerin kullanılması bir sonraki derste tartışılacaktır.

İlk yol açık, güvenilir ve unutulması zordur.) Trigonometrik denklemleri, eşitsizlikleri ve her türlü zorlayıcı çözümü çözmek için iyidir. standart dışı örnekler. Mantık hafızadan daha güçlüdür!)

Trigonometrik çember kullanarak denklem çözme.

Temel mantığı ve trigonometrik çemberi kullanma yeteneğini dahil ediyoruz. Nasıl olduğunu bilmiyor musun? Ancak... Trigonometride zorlanacaksınız...) Ama önemi yok. "Trigonometrik çember...... Nedir?" derslerine bir göz atın. ve "Trigonometrik bir daire üzerinde açıların ölçülmesi." Orada her şey basit. Ders kitaplarından farklı olarak...)

Ah bilirsin!? Ve hatta "Trigonometrik çemberle pratik çalışma" konusunda ustalaştınız!? Tebrikler. Bu konu size yakın ve anlaşılır gelecektir.) Özellikle sevindirici olan, trigonometrik çemberin hangi denklemi çözdüğünüzü umursamamasıdır. Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant - onun için her şey aynı. Tek çözüm ilkesi vardır.

Yani herhangi bir temel trigonometrik denklemi alıyoruz. En azından bu:

cosx = 0,5

X'i bulmamız lazım. Eğer konuşursak insan dili, gerek kosinüsü 0,5 olan (x) açısını bulun.

Daha önce çemberi nasıl kullanıyorduk? Üzerine bir açı çizdik. Derece veya radyan cinsinden. Ve hemen testere Bu açının trigonometrik fonksiyonları. Şimdi tam tersini yapalım. Dairenin üzerine 0,5'e eşit bir kosinüs çizelim ve hemen göreceğiz köşe. Geriye kalan tek şey cevabı yazmaktır.) Evet, evet!

Bir daire çizin ve kosinüsü 0,5'e eşit olarak işaretleyin. Elbette kosinüs ekseninde. Bunun gibi:

Şimdi bu kosinüsün bize verdiği açıyı çizelim. Farenizi resmin üzerine getirin (veya tabletinizdeki resme dokunun) ve göreceksin tam bu köşe X.

Hangi açının kosinüsü 0,5'tir?

x = π /3

çünkü 60°= çünkü( π /3) = 0,5

Bazı insanlar şüpheci bir şekilde kıkırdayacak, evet... Her şey ortadayken daire çizmeye değer miydi sanki... Kıkırdayabilirsiniz elbette...) Ama gerçek şu ki bu hatalı bir cevap. Daha doğrusu yetersiz. Çember uzmanları burada kosinüs değeri 0,5 olan bir sürü başka açının da bulunduğunu biliyorlar.

Hareketli tarafı OA'yı çevirirseniz tam dönüş A noktası orijinal konumuna geri dönecektir. Aynı kosinüs 0,5'e eşit. Onlar. açı değişecek 360° veya 2π radyan ve kosinüs - hayır. Yeni açı 60° + 360° = 420° de denklemimizin çözümü olacaktır, çünkü

Çok tam devrimler onu mahvedebilirsin sonsuz küme... Ve tüm bu yeni açılar trigonometrik denklemimizin çözümü olacak. Ve yanıt olarak hepsinin bir şekilde yazılması gerekiyor. Tüm. Aksi takdirde karar sayılmaz, evet...)

Matematik bunu basit ve zarif bir şekilde yapabilir. Kısa bir cevapla yazın sonsuz küme kararlar. İşte denklemimiz için şöyle görünüyor:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Şifresini çözeceğim. Hala yaz anlamlı bir şekilde Aptalca gizemli harfler çizmekten daha hoş, değil mi?)

π /3 - burası bizim bulunduğumuz köşenin aynısı testere daire üzerinde ve azimli kosinüs tablosuna göre.

2π radyan cinsinden tam bir devrimdir.

N - bu tam olanların sayısıdır, yani. tüm devir/dakika Açıktır ki N 0, ±1, ±2, ±3... vb.'ye eşit olabilir. Belirtildiği gibi Kısa not:

n ∈ Z

N ait ( ∈ ) tam sayılar kümesi ( Z ). Bu arada, mektup yerine N harfler iyi kullanılabilir k, m, t vesaire.

Bu gösterim herhangi bir tam sayıyı alabileceğiniz anlamına gelir N . En az -3, en az 0, en az +55. Ne istersen. Bu sayıyı cevaba koyarsanız belirli bir açı elde edersiniz, bu da kesinlikle sert denklemimizin çözümü olacaktır.)

Veya başka bir deyişle, x = π /3 sonsuz bir kümenin tek köküdür. Diğer tüm kökleri elde etmek için, π /3'e herhangi bir sayıda tam devir eklemek yeterlidir ( N ) radyan cinsinden. Onlar. 2πn radyan.

Tüm? HAYIR. Zevki kasıtlı olarak uzatıyorum. Daha iyi hatırlamak için.) Denklemimizin cevaplarının yalnızca bir kısmını aldık. Çözümün bu ilk bölümünü şu şekilde yazacağım:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - sadece bir kök değil, kısa biçimde yazılmış bir dizi kök.

Ancak kosinüs değeri 0,5 olan açılar da vardır!

Cevabını yazdığımız resmimize dönelim. İşte burada:

Farenizi resmin üzerine getirin ve görürüz başka bir açı ayrıca 0,5'lik bir kosinüs verir. Sizce neye eşittir? Üçgenler aynı... Evet! O açıya eşit X , sadece ertelendi olumsuz yön. Burası köşe -X. Ama biz zaten x'i hesapladık. π /3 veya 60°. Bu nedenle güvenle yazabiliriz:

x 2 = - π /3

Elbette tam dönüşlerle elde edilen tüm açıları ekliyoruz:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Şimdilik bu kadar.) Trigonometrik çember üzerinde testere(elbette kim anlar)) Tüm 0,5 kosinüs veren açılar. Ve bu açıları kısaca yazdım matematiksel form. Cevap iki sonsuz kök dizisiyle sonuçlandı:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Bu doğru cevap.

Umut, Trigonometrik denklemlerin çözümü için genel prensip Bir daire kullanmak açıktır. Dairenin üzerine kosinüsü (sinüs, teğet, kotanjant) işaretliyoruz. verilen denklem, karşılık gelen açıları çizin ve cevabı yazın. Elbette hangi köşelerde olduğumuzu bulmamız gerekiyor testere daire üzerinde. Bazen o kadar açık değildir. Peki burada mantık lazım dedim.)

Örneğin başka bir trigonometrik denkleme bakalım:

Lütfen 0,5 sayısının tek sayı olmadığını unutmayın. olası sayı denklemlerde!) Bunu yazmak benim için kökleri ve kesirleri yazmaktan daha uygun.

Genel prensiplere göre çalışıyoruz. Bir daire çiziyoruz, işaretliyoruz (tabii ki sinüs ekseninde!) 0,5. Bu sinüse karşılık gelen tüm açıları aynı anda çiziyoruz. Bu resmi elde ediyoruz:

Önce açıyı ele alalım X ilk çeyrekte. Sinüs tablosunu hatırlıyoruz ve bu açının değerini belirliyoruz. Bu basit bir mesele:

x = π /6

Tam devrimleri hatırlıyoruz ve temiz vicdan, ilk cevap serisini yazıyoruz:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

İşin yarısı tamamlandı. Ama şimdi belirlememiz gerekiyor. ikinci köşe... Kosinüs kullanmaktan daha zor, evet... Ama mantık bizi kurtaracak! İkinci açı nasıl belirlenir x aracılığıyla mı? Evet Kolay! Resimdeki üçgenler aynı ve kırmızı köşe X açıya eşit X . Sadece π açısından negatif yönde sayılır. Bu yüzden kırmızıdır.) Ve cevap için pozitif yarı eksen OX'tan doğru ölçülen bir açıya ihtiyacımız var, yani. 0 derecelik bir açıyla.

İmleci çizimin üzerine getiriyoruz ve her şeyi görüyoruz. Resmi karmaşıklaştırmamak için ilk köşeyi kaldırdım. İlgilendiğimiz açı (yeşille çizilmiş) şuna eşit olacaktır:

π - x

X bunu biliyoruz π /6 . Bu nedenle ikinci açı şu şekilde olacaktır:

π - π /6 = 5π /6

Yine tam devrimler eklemeyi hatırlıyoruz ve ikinci cevap serisini yazıyoruz:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Bu kadar. Tam bir cevap iki dizi kökten oluşur:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Teğet ve kotanjant denklemler, trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılan aynı genel prensip kullanılarak kolayca çözülebilir. Tabii ki trigonometrik bir daire üzerinde teğet ve kotanjantın nasıl çizileceğini biliyorsanız.

Yukarıdaki örneklerde sinüs ve kosinüsün tablo değerini kullandım: 0,5. Onlar. öğrencinin bildiği anlamlardan biri mutlak.Şimdi yeteneklerimizi genişletelim diğer tüm değerler. Karar ver, öyleyse karar ver!)

Diyelim ki bu trigonometrik denklemi çözmemiz gerekiyor:

Böyle bir kosinüs değeri kısa tablolar HAYIR. Bu korkunç gerçeği soğukkanlılıkla görmezden geliyoruz. Bir daire çizin, kosinüs ekseninde 2/3'ü işaretleyin ve karşılık gelen açıları çizin. Bu resmi elde ediyoruz.

İlk önce ilk çeyrekteki açıya bakalım. Keşke nedenini bilseydim x'e eşit, cevap hemen yazılmış olurdu! Bilmiyoruz... Başarısızlık!? Sakinlik! Matematik kendi insanını zor durumda bırakmaz! Bu durum için yay kosinüslerini buldu. Bilmemek? Boşuna. Öğrenin, düşündüğünüzden çok daha kolay. Bu linkte "ters trigonometrik fonksiyonlar" ile ilgili tek bir hile yok... Bu konuda bu gereksizdir.

Biliyorsanız kendinize şunu söyleyin: "X, kosinüsü 2/3 olan bir açıdır." Ve hemen, tamamen ark kosinüs tanımına göre şunu yazabiliriz:

Ek devirleri hatırlıyoruz ve trigonometrik denklemimizin ilk kök serisini sakince yazıyoruz:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci açının ikinci kök dizisi neredeyse otomatik olarak yazılır. Her şey aynı, yalnızca X (arccos 2/3) eksi olacak:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ve bu kadar! Bu doğru cevap. Tablo değerlerinden bile daha kolay. Hiçbir şeyi hatırlamanıza gerek yok.) Bu arada, en dikkatli olanlar bu resmin ark kosinüs yoluyla çözümü gösterdiğini fark edecektir. özünde cosx = 0,5 denklemi için resimdekinden hiçbir farkı yoktur.

Kesinlikle! Genel prensip Bu yüzden yaygındır! Kasıtlı olarak neredeyse aynı iki resim çizdim. Daire bize açıyı gösterir X kosinüsüne göre. Tablosal kosinüs olup olmadığı herkes tarafından bilinmiyor. Bunun ne tür bir açı olduğuna, π /3'e veya ark kosinüsün ne olduğuna karar vermek bize kalmış.

Sinüs ile aynı şarkı. Örneğin:

Tekrar bir daire çizin, sinüsü 1/3'e eşit olarak işaretleyin, açıları çizin. Elde ettiğimiz resim şu:

Ve yine resim denklemdekiyle hemen hemen aynı sinx = 0,5.İlk çeyreğe yine kornerden başlıyoruz. Sinüsü 1/3 ise X neye eşittir? Sorun değil!

Artık ilk kök paketi hazır:

x 1 = yaysin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci açıyı ele alalım. Tablo değeri 0,5 olan örnekte şuna eşitti:

π - x

Burada da durum tamamen aynı olacak! Sadece x farklıdır, yay 1/3'tür. Ne olmuş!? İkinci kök paketini güvenle yazabilirsiniz:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Bu tamamen doğru bir cevaptır. Her ne kadar pek tanıdık gelmese de. Ama açıktır, umarım.)

Trigonometrik denklemler daire kullanılarak bu şekilde çözülür. Bu yol açık ve anlaşılırdır. Belirli bir aralıkta köklerin seçimi ile trigonometrik denklemlerden tasarruf sağlayan kişidir. trigonometrik eşitsizlikler- bunlar genellikle neredeyse her zaman bir daire içinde çözülür. Kısacası standart görevlerden biraz daha zor olan her türlü görevde.

Bilgiyi pratikte uygulayalım mı?)

Trigonometrik denklemleri çözün:

İlk olarak, daha basit, doğrudan bu dersten.

Şimdi durum daha karmaşık.

İpucu: Burada daireyi düşünmeniz gerekecek. Şahsen.)

Ve şimdi görünüşte basitler... Bunlara özel durumlar da deniyor.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

İpucu: Burada bir daire içinde iki seri cevabın olduğu ve nerede bir cevap olduğunu bulmanız gerekiyor... Ve iki seri cevap yerine bir cevabın nasıl yazılacağını. Evet, böylece tek bir kök bile yok sonsuz sayı Kayıp değil!)

Aslında çok basit):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

İpucu: Burada arksinüs ve arkkosinüsün ne olduğunu bilmeniz gerekiyor? Arktanjant, arkkotanjant nedir? En çok basit tanımlar. Ama unutma hayır tablo değerleri Gerek yok!)

Cevaplar elbette bir karmaşa):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Dersi tekrar okuyun. Sadece düşünceli bir şekilde(böyle bir şey var eski kelime...) Ve bağlantıları takip edin. Ana bağlantılar daireyle ilgilidir. Trigonometri olmadan, gözleri bağlı olarak yolda geçmeye benzer. Bazen işe yarar.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometri problemlerini çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant konularını zaten inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler, değişkenin işaretin altında yer aldığı denklemlerdir. trigonometrik fonksiyon.

En basit trigonometrik denklemlerin çözüm şeklini tekrarlayalım:

1)Eğer |a|≤ 1 ise cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Eğer |a|≤ 1 ise, o zaman günah denklemi(x) = a'nın bir çözümü var:

3) Eğer |a| > 1 ise sin(x) = a ve cos(x) = a denkleminin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) Denklem CTG'si(x)=a'nın bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tam sayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: T(kx+m)=a, T bir trigonometrik fonksiyondur.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Çözüm:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Değerler tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

O halde x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n – eksi bir üssü n.

Trigonometrik denklemlere daha fazla örnek.

Çözüm:

A) Bu sefer hemen denklemin köklerini hesaplamaya geçelim:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) Bunu şu şekilde yazıyoruz: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Bunu biliyoruz: arktan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3; burada k bir tamsayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Çözüm:

Biz karar vereceğiz Genel görünüm denklemimiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k'da k=0, x= π/16'da verilen parçadayız.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vuruyoruz.
k=2 için, x= π/16+ π=17π/16, ancak burada vurmadık, bu da büyük k için de açıkça vuramayacağımız anlamına geliyor.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

Denklemi çözelim:

Çözüm:
Denklemimizi çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanacağız: t=tg(x).

Yer değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

Kökleri bulalım ikinci dereceden denklem: t=-1 ve t=1/3

O zaman tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3 en basit trigonometrik denklemi elde ederiz, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Çözüm:

Şu özdeşliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şu şekilde olacaktır: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 çünkü 2 (x) - 3 çünkü(x) -2 = 0

t=cos(x) değişimini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

O halde cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

Formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e bölün: Eğer kosinüs ile bölemezsiniz sıfıra eşit, durumun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değildir, bir çelişki elde ederiz, dolayısıyla güvenli bir şekilde bölebiliriz sıfır.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Çözüm:

Onu çıkaracağız ortak çarpan: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk'de Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün. Denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. a katsayısının neye eşit olduğuna bakın, eğer a=0 ise denklemimiz cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) formunu alacaktır, bunun çözümünün bir örneği önceki slaytta verilmiştir.

2. Eğer a≠0 ise denklemin her iki tarafını kosinüs kareye bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirip denklemi elde ederiz:

Örnek No.:3'ü çözün

Denklemin her iki tarafını da kosinüs karesine bölelim:

t=tg(x) değişkenini değiştiriyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: t=-3 ve t=1

O zaman: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk

Örnek No.:4'ü çözün

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

Şu tür denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Örnek no.:5'i çözün

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değişimini tanıtalım

İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökler olacaktır: t=-2 ve t=1/2

O zaman şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yay(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız çözüm için problemler.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; parçası üzerindeki tüm kökleri bulun. π].

3) Denklemi çözün: bebek karyolası 2 (x) + 2 bebek karyolası (x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir talep gönderdiğinizde toplayabiliriz çeşitli bilgiler adınız, telefon numaranız ve adresiniz dahil E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızca toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - kanuna, adli prosedüre, hukuki işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Sipariş verebilirsiniz detaylı çözüm Senin görevin!!!

Trigonometrik bir fonksiyonun ("sin x, cos x, tan x" veya "ctg x") işareti altında bilinmeyen içeren bir eşitliğe trigonometrik denklem denir ve daha sonra bunların formüllerini ele alacağız.

En basit denklemler "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a"dır; burada "x" bulunacak açıdır, "a" ise herhangi bir sayıdır. Her birinin kök formüllerini yazalım.

1. Denklem 'sin x=a'.

`|a|>1` için çözümü yoktur.

Ne zaman `|a| \leq 1` var sonsuz sayı kararlar.

Kök formülü: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Denklem 'çünkü x=a'

`|a|>1` için - sinüs durumunda olduğu gibi, aralarındaki çözümler gerçek sayılar bulunmamaktadır.

Ne zaman `|a| \leq 1`'in sonsuz sayıda çözümü vardır.

Kök formülü: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklerde sinüs ve kosinüs için özel durumlar.

3. Denklem 'tg x=a'

'a'nın herhangi bir değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formülü: 'x=arctg a + \pi n, n \in Z'

4. Denklem 'ctg x=a'

Ayrıca 'a'nın herhangi bir değeri için sonsuz sayıda çözüm vardır.

Kök formülü: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tablodaki trigonometrik denklemlerin kökleri için formüller

Sinüs için:
Kosinüs için:
Teğet ve kotanjant için:
Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri çözmek için formüller:

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Herhangi bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur:

• en basitine dönüştürmenin yardımıyla;
• Yukarıda yazılan kök formülleri ve tabloları kullanarak elde edilen en basit denklemi çözer.

Örnekler kullanarak ana çözüm yöntemlerine bakalım.

Cebirsel yöntem.

Bu yöntem, bir değişkeni değiştirmeyi ve onu bir eşitlikle değiştirmeyi içerir.

Örnek. Denklemi çözün: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

değiştirmeyi yapın: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ardından `2y^2-3y+1=0`,

kökleri buluyoruz: `y_1=1, y_2=1/2`, bundan iki durum çıkıyor:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cevap: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasyon.

Örnek. Denklemi çözün: 'sin x+cos x=1'.

Çözüm. Eşitliğin tüm terimlerini sola taşıyalım: `sin x+cos x-1=0`. kullanarak sol tarafı dönüştürür ve çarpanlara ayırırız:

'sin x — 2sin^2 x/2=0',

'2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0',

'2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0',

1. "sin x/2 =0", "x/2 =\pi n", "x_1=2\pi n".
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , 'x_2=\pi/2+ 2\pi n'.

Cevap: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen bir denkleme indirgeme

Öncelikle bu trigonometrik denklemi iki biçimden birine indirgemeniz gerekir:

`a günah x+b çünkü x=0` ( homojen denklem birinci derece) veya 'a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0' (ikinci derecenin homojen denklemi).

Daha sonra her iki parçayı da ilk durum için "cos x \ne 0"a, ikinci durum için "cos^2 x \ne 0"a bölün. Bilinen yöntemler kullanılarak çözülmesi gereken "tg x": "a tg x+b=0" ve "a tg^2 x + b tg x +c =0" denklemlerini elde ederiz.

Örnek. Denklemi çözün: "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1".

Çözüm. Haydi yazalım Sağ Taraf, '1=sin^2 x+cos^2 x' gibi:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

"sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0".

Bu ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir, sol ve sağ taraflarını 'cos^2 x \ne 0'a bölersek şunu elde ederiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

"tg^2 x+tg x — 2=0". Şimdi "t^2 + t - 2=0" sonucunu veren "tg x=t" yerine geçen ifadeyi tanıtalım. Bu denklemin kökleri "t_1=-2" ve "t_2=1"dir. Daha sonra:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z'
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Cevap. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `Z'de n \', `x_2=\pi/4+\pi n`, `Z'de n \'.

Yarım Açıya Geçiş

Örnek. Denklemi çözün: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

Çözüm. Formülleri uygulayalım çift ​​açı, sonuçta: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Yukarıdakileri uygulamak cebirsel yöntem, şunu elde ederiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. "tg x/2=3/4", "x_2=arctg 3/4+2\pi n", "n \ Z'de".

Cevap. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yardımcı açının tanıtılması

a,b,c'nin katsayılar ve x'in bir değişken olduğu "a sin x + b cos x =c" trigonometrik denkleminde, her iki tarafı da "sqrt (a^2+b^2)"'ye bölün:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) çünkü x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))'.

Sol taraftaki katsayılar sinüs ve kosinüs özelliğindedir yani karelerinin toplamı 1'e eşit ve modülleri 1'den büyük değildir. Bunları şu şekilde gösterelim: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, o zaman:

`çünkü \varphi sin x + sin \varphi çünkü x =C`.

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım:

Örnek. Denklemi çözün: '3 sin x+4 cos x=2'.

Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını da "sqrt (3^2+4^2)"ye bölersek şunu elde ederiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))'

'3/5 günah x+4/5 çünkü x=2/5'.

`3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi` olsun. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, o zaman yardımcı açı`\varphi=arcsin 4/5`'i alalım. Daha sonra eşitliğimizi şu şekilde yazıyoruz:

`çünkü \varphi sin x+sin \varphi çünkü x=2/5`

Sinüs açılarının toplamı formülünü uygulayarak eşitliğimizi aşağıdaki biçimde yazıyoruz:

'sin (x+\varphi)=2/5',

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kesirli rasyonel trigonometrik denklemler

Bunlar pay ve paydaları trigonometrik fonksiyonlar içeren kesirli eşitliklerdir.

Örnek. Denklemi çözün. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Çözüm. Eşitliğin sağ tarafını '(1+cos x)' ile çarpın ve bölün. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Paydanın sıfıra eşit olamayacağını düşünürsek, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` elde ederiz.

Kesrin payını sıfıra eşitleyelim: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Daha sonra "sin x=0" veya "1-sin x=0".

1. "sin x=0", "x=\pi n", "n \ Z'de"
2. "1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` olduğu göz önüne alındığında, çözümler `x=2\pi n, n \in Z` ve `x=\pi /2+2\pi n` olur , 'n \ Z'de'.

Cevap. `x=2\pi n`, `Z'de n \`, `x=\pi /2+2\pi n`, `Z'de n \`.

Trigonometri ve özellikle trigonometrik denklemler geometri, fizik ve mühendisliğin hemen hemen tüm alanlarında kullanılmaktadır. Eğitim 10. sınıfta başlıyor, Birleşik Devlet Sınavı için her zaman görevler vardır, bu nedenle trigonometrik denklemlerin tüm formüllerini hatırlamaya çalışın - bunlar kesinlikle sizin için yararlı olacaktır!

Ancak bunları ezberlemenize bile gerek yok, asıl önemli olan özü anlamak ve onu çıkarabilmektir. Göründüğü kadar zor değil. Videoyu izleyerek kendiniz görün.