Yazılı ve çevrelenmiş dörtgenler ve özellikleri - matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık malzemeleri. Bir üçgenden düz bir çizgiyle kesilen dörtgenin belirli bir daireye yazılması kriteri

Dörtgenin tüm kenarları daireye teğet ise, bir dairenin dörtgen içine yazıldığı söylenir.

Bu dairenin merkezi, dörtgenin köşelerinin açıortaylarının kesişme noktasıdır. Bu durumda teğet noktalara çizilen yarıçaplar dörtgenin kenarlarına diktir.

Bir daire, tüm köşelerinden geçiyorsa, bir dörtgen etrafında çevrelenmiş daire olarak adlandırılır.

Bu dairenin merkezi, dörtgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktasıdır

Her dörtgen bir daire ile yazılamaz ve her dörtgen bir daire ile yazılamaz.

YAZILI VE DAİRE DÖRTGENLERİN ÖZELLİKLERİ

TEOREM Dışbükey yazılı bir dörtgende, karşılıklı açıların toplamları birbirine eşit ve 180°'ye eşittir.

TEOREM Tersine: Eğer bir dörtgende zıt açıların toplamları eşitse, bu durumda dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir. Merkezi, dik açıortayların yanlara kesişme noktasıdır.

TEOREM Bir daire bir dörtgenin içine yazılmışsa, karşı kenarlarının toplamı eşittir.

TEOREM Tersine: eğer bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşitse, o zaman içine bir daire yazılabilir. Merkezi, açıortayların kesişme noktasıdır.

Sonuçlar: tüm paralelkenarlar arasında yalnızca bir dikdörtgenin etrafında (özellikle bir karenin etrafında) bir daire tanımlanabilir.

Tüm paralelkenarlar arasında yalnızca bir eşkenar dörtgen (özellikle bir kare) bir daire çizebilir (merkez köşegenlerin kesişme noktasıdır, yarıçap ise yarıya eşit yükseklik).

Bir yamuğun etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, o zaman bu ikizkenardır. Herhangi bir ikizkenar yamuğun etrafında bir daire tanımlanabilir.

Bir yamuk içine bir daire yazılmışsa, yarıçapı yüksekliğin yarısına eşittir.

Çözümlü görevler

1. Yarıçapı 5 olan bir dairenin içine yazılan dikdörtgenin köşegenini bulun.

Bir dikdörtgenin çevresine çizilen bir dairenin merkezi, köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Bu nedenle diyagonal klima 2'ye eşittir R. yani klima=10
Cevap: 10.

2. Tabanları 6 cm ve 8 cm olan ve yüksekliği 7 cm olan bir yamuğun etrafında bir daire anlatılmıştır. Bu dairenin alanını bulunuz.

İzin vermek DC=6, AB=8. Bir daire yamuk etrafında çevrelendiği için ikizkenardır.

İki yükseklik çizelim DM ve CN.Yamuk ikizkenar olduğundan, o zaman AM=NB=

Daha sonra BİR=6+1=7

Üçgenden CEVAP Pisagor teoremini kullanarak bulduğumuz klima.

Üçgenden CВN Pisagor teoremini kullanarak bulduğumuz Güneş.

Bir yamuğun çevrelenmiş çemberi aynı zamanda bir üçgenin çevrelenmiş çemberidir. DIA

Alanı bulalım formülleri kullanarak bu üçgeni iki şekilde

Nerede H- yükseklik ve - üçgenin tabanı

Burada R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır.

Bu ifadelerden denklemi elde ederiz. Nerede

Çemberin alanı şuna eşit olacaktır:

3. Açılar ve dörtgenler birbiriyle ilişkilidir. Belirli bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin

Bu şu koşuldan çıkar: Bir daire bir dörtgenin etrafında tanımlanabildiğine göre, o zaman

Denklemi elde ederiz . Daha sonra . Bir dörtgenin tüm açılarının toplamı 360°'dir. Daha sonra

. bunu nereden alacağız

4. Bir daire etrafında çevrelenen yamuğun kenarları 3 ve 5'tir. Yamuğun orta çizgisini bulun.

Daha sonra orta hat eşit

5. Çevre dikdörtgen yamukÇemberin çevre uzunluğu 22, büyük kenarı 7'dir. Çemberin yarıçapını bulunuz.

Bir yamukta yazılı dairenin yarıçapı yüksekliğin yarısına eşittir. SC'nin yüksekliğini çizelim.

Daha sonra .

Bir daire yamuk içine yazıldığı için uzunlukların toplamı zıt taraflar eşittir. Daha sonra

Daha sonra çevre

Denklemi elde ederiz

6. İkizkenar yamuğun tabanları 8 ve 6'dır. Çevrel çemberin yarıçapı 5'tir. Yamuğun yüksekliğini bulun.

Yamuk etrafında çevrelenen dairenin merkezi O olsun. Daha sonra .

O noktasından KH yüksekliğini çizelim

Daha sonra KO ve OH'nin yükseklik ve aynı zamanda medyan olduğu yerde ikizkenar üçgenler DOC ve AOB. Daha sonra

Pisagor teoremine göre.

Yazılı dörtgen - köşeleri aynı daire üzerinde bulunan dörtgen.
Açıkçası, bu çevreye çağrılacak tarif edildi dörtgenin etrafında.

Tanımlandı bir dörtgen, tüm kenarları bir daireye dokunacak şekildedir. Bu durumda daire yazılı bir dörtgen içine.

Şekilde yazılı ve çevrelenmiş dörtgenler ve özellikleri gösterilmektedir.

Bu özelliklerin Birleşik Devlet Sınavı problemlerinin çözümünde nasıl kullanıldığını görelim.

1. Bir daire içine yazılan dörtgenin iki açısı 82° ve 58°'dir. Kalan en büyük açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Üzerinde yazılı bir dörtgenin karşılıklı açılarının toplamı 180°'dir. A açısı 82° olsun. Sonra karşısında 98 derecelik bir açı var. B açısı 58° ise D açısı 180° - 58° = 122°'dir.

Cevap: 122.

2. Bir daire etrafında çevrelenen dörtgenin üç kenarı 1:2:3 oranında (sıralı olarak) bulunmaktadır. Çevresinin 32 olduğu biliniyorsa bu dörtgenin en uzun kenarını bulun.

AB kenarına x, AD 2x ve DC 3x olsun. Tanımlanan dörtgenin özelliğine göre karşılıklı kenarların toplamları eşittir ve dolayısıyla
x + 3x = BC + 2x.
BC'nin 2x'e eşit olduğu ortaya çıktı. O zaman dörtgenin çevresi 8x olur. x = 4 elde ederiz ve büyük taraf 12'ye eşittir.

3. Çevresi 40 olan bir dairenin etrafında bir yamuk tarif edilmiştir. Orta çizgisini bulun.

Bir yamuğun orta çizgisinin tabanların toplamının yarısına eşit olduğunu hatırlıyoruz. Yamuğun tabanları a ve c'ye eşit olsun ve taraflar- b ve d. Tanımlanan dörtgenin özelliğine göre,
a + c = b + d, bu da çevrenin 2(a + c) olduğu anlamına gelir.
a + c = 20 ve orta çizginin 10 olduğunu elde ederiz.

Yazılı ve çevreli bir dörtgenin özelliklerini bir kez daha tekrarlayalım.

Bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt açılarının toplamı 180°'ye eşitse bir daireye yazılabilir.

Bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt kenarlarının uzunluklarının toplamı eşitse bir dairenin çevresine çizilebilir.

"Daire" Herhangi bir üçgenin çevresine bir daire çizilebileceğini gördük. Yani, her üçgen için, üçgenin üç köşesinin de üzerine "oturacağı" bir daire vardır. Bunun gibi:

Soru: Aynı şey dörtgen için de söylenebilir mi? Her zaman dörtgenin dört köşesinin de "oturacağı" bir daire olacağı doğru mu?

Bunun DOĞRU OLMADIĞI ortaya çıktı! Bir dörtgen HER ZAMAN bir daire içine yazılamaz. Çok önemli bir durum var:

Bizim resmimizde:

Bakın, açılar birbirine zıttır, yani zıttırlar. Peki ya açılar ve? Onlar da birbirine zıt gibi mi görünüyor? Açılar ve yerine açıları almak mümkün mü?

Elbette yapabilirsin! Önemli olan dörtgende iki tane var Zıt açılar, toplamı olacaktır. Geriye kalan iki açı da kendiliğinden toplanacaktır. Bana inanmıyor musun? Emin olalım. Bakmak:

Bırak olsun. Herhangi bir dörtgenin dört açısının toplamının ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Kesinlikle, . Yani - her zaman! . Ancak → .

Sihir orada!

O halde şunu çok net bir şekilde hatırlayın:

Bir daire içine bir dörtgen çizilirse, karşıt açılardan herhangi ikisinin toplamı şuna eşittir:

ve tam tersi:

Bir dörtgende toplamları eşit olan iki zıt açı varsa bu dörtgen döngüseldir.

Tüm bunları burada kanıtlamayacağız (eğer ilgileniyorsanız, teorinin sonraki düzeylerine bakın). Ama bakalım bu nereye varacak harika gerçek yazılı bir dörtgenin zıt açılarının toplamı eşittir.

Mesela şu soru geliyor aklıma: Bir paralelkenarın etrafındaki çemberi tanımlamak mümkün mü? Önce “dürtme yöntemini” deneyelim.

Her nasılsa işe yaramıyor.

Şimdi bilgiyi uygulayalım:

Bir şekilde paralelkenarın üzerine bir daire yerleştirmeyi başardığımızı varsayalım. O zaman kesinlikle: olmalı, yani.

Şimdi paralelkenarın özelliklerini hatırlayalım:

Her paralelkenarın karşılıklı eşit açıları vardır.

Görünüşe göre

Peki ya açılar ve? Tabii ki aynı şey.

Yazılı → →

Paralelkenar→ →

Şaşırtıcı, değil mi?

Bir daireye bir paralelkenar yazılmışsa, tüm açılarının eşit olduğu, yani bir dikdörtgen olduğu ortaya çıktı!

Ve aynı zamanda - dairenin merkezi bu dikdörtgenin köşegenlerinin kesişme noktasıyla çakışıyor. Bu tabiri caizse bir bonus olarak dahil edilmiştir.

Bu, bir daire içine yazılmış bir paralelkenarın dikdörtgen.

Şimdi yamuk hakkında konuşalım. Bir daire içine bir yamuk yazılırsa ne olur? Ama öyle olacağı ortaya çıktı ikizkenar yamuk . Neden?

Yamuğun bir daire içine yazılmasına izin verin. Sonra tekrar, ancak çizgilerin paralelliği nedeniyle ve.

Bu şu anlama gelir: → → ikizkenar yamuk.

Dikdörtgenden bile daha kolay, değil mi? Ancak kesin olarak hatırlamanız gerekir - kullanışlı olacaktır:

En önemlilerini tekrar sıralayalım ana ifadeler Bir daire içine yazılan bir dörtgene teğet:

Bir dörtgen ancak ve ancak iki karşıt açısının toplamı şuna eşitse bir dairenin içine yazılır:
Bir daire içine yazılmış bir paralelkenar - kesinlikle dikdörtgen ve dairenin merkezi köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışıyor
Bir daire içine yazılan yamuk eşkenardır.

Yazılı dörtgen. Orta seviye

Her üçgenin bir çevrelenmiş çemberi olduğu bilinmektedir (bunu “Çevrelenmiş Çember” başlığında kanıtlamıştık). Dörtgen hakkında ne söylenebilir? Görünüşe göre HER dörtgen bir daire içine yazılamaz ve şöyle bir teorem var:

Bir dörtgen bir dairenin içine ancak ve ancak karşıt açılarının toplamı eşitse yazılır.

Çizimimizde -

Bunun neden böyle olduğunu anlamaya çalışalım mı? Başka bir deyişle, şimdi bu teoremi kanıtlayacağız. Ancak bunu kanıtlamadan önce ifadenin nasıl çalıştığını anlamalısınız. Açıklamadaki “o zaman ve ancak o zaman” kelimelerini fark ettiniz mi? Bu tür sözler, zararlı matematikçilerin iki ifadeyi tek bir ifadeye sığdırdıkları anlamına geliyor.

Hadi deşifre edelim:

“O halde” şu anlama gelir: Bir dairenin içine bir dörtgen çizilirse, bu durumda karşıt açılardan herhangi ikisinin toplamı eşittir.
"Ancak o zaman" şu anlama gelir: Eğer bir dörtgende toplamları eşit olan iki zıt açı varsa, o zaman böyle bir dörtgen bir dairenin içine yazılabilir.

Tıpkı Alice gibi: “Ne dersem onu düşünürüm” ve “Ne düşünüyorsam onu söylerim.”

Şimdi hem 1'in hem de 2'nin neden doğru olduğunu bulalım.

İlk 1.

Bir dairenin içine bir dörtgen çizilsin. Merkezini işaretleyip yarıçaplarını çizelim. Ne olacak? Yazılı bir açının karşılık gelen merkez açının yarısı kadar olduğunu hatırlıyor musunuz? Hatırlarsanız hemen uygulayalım, hatırlamıyorsanız konuya bir göz atın "Daire. Yazılı açı".

Yazılı

Ama bakın: .

- yazılıysa bunu anlıyoruz, o zaman

Eh, bunun da eklendiği açık. (bizim de dikkate almamız gerekiyor).

Şimdi “tam tersi”, yani 2.

Bir dörtgende karşılıklı iki açının toplamının eşit olduğu ortaya çıksın. hadi diyelim

Etrafında bir çember tanımlayabilir miyiz henüz bilmiyoruz. Ancak bir üçgenin etrafındaki daireyi tanımlayabileceğimizin garanti olduğundan eminiz. O halde hadi yapalım.

Eğer bir nokta çemberin üzerine oturmuyorsa, o zaman kaçınılmaz olarak ya dışarıda ya da içeride biter.

Her iki durumu da ele alalım.

Önce nokta dışarıda olsun. Daha sonra doğru parçası daireyi bir noktada keser. Hadi bağlanalım ve. Sonuç, yazılı (!) bir dörtgendir.

Zaten karşıt açılarının toplamının eşit olduğunu yani durumumuza göre olduğunu biliyoruz.

Öyle olması gerektiği ortaya çıktı.

Ama bunun nedeni olamaz - dış köşe için ve anlamına gelir.

Peki ya içeride? Benzer şeyleri yapalım. Mesele içeride olsun.

Daha sonra parçanın devamı daireyi bir noktada kesiyor. Yine - yazılı bir dörtgen ve duruma göre yerine getirilmesi gerekiyor, ancak - dış açı ve araç, yani yine bu olamaz.

Yani bir nokta çemberin dışında veya içinde olamaz; bu onun çemberin üzerinde olduğu anlamına gelir!

Bütün teorem kanıtlandı!

Şimdi bu teoremin ne gibi iyi sonuçlar verdiğini görelim.

Sonuç 1

Bir daire içine yazılan bir paralelkenar yalnızca bir dikdörtgen olabilir.

Bunun neden böyle olduğunu anlayalım. Bir dairenin içine bir paralelkenar yazılsın. O zaman yapılmalıdır.

Ancak paralelkenarın özelliklerinden bunu biliyoruz.

Ve doğal olarak açılar için de aynı şey geçerli.

Böylece bir dikdörtgen ortaya çıkıyor - tüm köşeler yan yana.

Ancak bunun yanında hoş bir gerçek daha var: dikdörtgenin çevrelediği dairenin merkezi köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışmaktadır.

Nedenini anlayalım. Umarım çapın gördüğü açının düz bir çizgi olduğunu çok iyi hatırlıyorsunuzdur.

Çap,

Çap

yani merkezdir. İşte bu.

Sonuç 2

Bir daire içine yazılan yamuk ikizkenardır.

Yamuğun bir daire içine yazılmasına izin verin. Daha sonra.

Ve aynısı.

Her şeyi tartıştık mı? Tam olarak değil. Aslında, yazılı bir dörtgeni tanımanın başka bir "gizli" yolu daha var. Bu yöntemi çok katı olmayan (ama anlaşılır) bir şekilde formüle edeceğiz ve bunu yalnızca son seviye teoriler.

Eğer bir dörtgende, şekildeki gibi bir resim gözlemlenebiliyorsa (burada, noktaların yanlarına "bakan" açılar ve eşitse), o zaman böyle bir dörtgen yazılıdır.

Bu çok önemli bir çizimdir; problemlerde bulunması genellikle daha kolaydır eşit açılar, açıların toplamından ve.

Formülasyonumuzdaki titizlik eksikliğine rağmen doğrudur ve dahası, Birleşik Devlet Sınavı sınav görevlileri tarafından her zaman kabul edilmektedir. Bunun gibi bir şey yazmalısınız:

“- yazılı” - ve her şey yoluna girecek!

Bunu unutma önemli işaret- Resmi hatırlayın, belki sorunu çözerken zamanla gözünüze çarpacaktır.

Yazılı dörtgen. Kısa açıklama ve temel formüller

Bir daire içine bir dörtgen çizilirse, karşıt açılardan herhangi ikisinin toplamı şuna eşittir:

ve tam tersi:

Bir dörtgende toplamları eşit olan iki zıt açı varsa bu dörtgen döngüseldir.

Bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt iki açısının toplamı eşitse bir dairenin içine yazılır.

Bir daire içine yazılmış paralelkenar- kesinlikle bir dikdörtgen ve dairenin merkezi köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışıyor.

Bir daire içine yazılan yamuk ikizkenardır.

YAZILI VE DAİRESEL ÇOKGONLAR,

§ 106. YAZILAN VE AÇIKLANAN DÖRTGENLERİN ÖZELLİKLERİ.

Teorem 1. Döngüsel bir dörtgenin zıt açılarının toplamı 180°.

O merkezli bir dairenin içine ABCD dörtgeninin yazılmasına izin verin (Şekil 412). Bunu kanıtlamak gerekli / A+ / C = 180° ve / B + / D = 180°.

/ A, O dairesinde yazılı olduğu gibi, 1/2 BCD'yi ölçer.
/ Aynı daire içinde yazılı olan C, 1/2 KÖTÜ'yü ölçer.

Sonuç olarak, A ve C açılarının toplamı BCD ve BAD yaylarının yarı toplamı ile ölçülür; toplamda bu yaylar bir daire oluşturur, yani 360°'ye sahiptirler.
Buradan / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki / B + / D = 180°. Ancak bu başka bir şekilde de çıkarılabilir. İç açıların toplamının olduğunu biliyoruz. dışbükey dörtgen 360°'ye eşittir. A ve C açılarının toplamı 180°'ye eşittir, yani dörtgenin diğer iki açısının toplamı da 180° kalır.

Teorem 2(tersi). Bir dörtgende karşılıklı iki açının toplamı eşitse 180° O zaman böyle bir dörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir.

ABCD dörtgeninin zıt açılarının toplamı 180° olsun.
/ A+ / C = 180° ve / B + / D = 180° (çizim 412).

Böyle bir dörtgenin etrafında bir dairenin tanımlanabileceğini kanıtlayalım.

Kanıt. Bu dörtgenin herhangi 3 köşesinden bir daire çizebilirsiniz; örneğin A, B ve C noktalarından geçen bir daire. D noktası nerede olacak?

D noktası yalnızca birini işgal edebilir sonraki üç pozisyonlar: dairenin içinde olmak, dairenin dışında olmak, dairenin çevresinde olmak.

Tepe noktasının dairenin içinde olduğunu ve D" konumunu aldığını varsayalım (Şekil 413). O zaman ABCD" dörtgeninde şunu elde ederiz:

/ B + / D" = 2 D.

AD" kenarı ile E noktasındaki dairenin kesişimine ve E ile C noktalarını birleştirene kadar devam ederek, doğrudan teorem ile ABCE döngüsel dörtgenini elde ederiz.

/ B+ / E = 2 D.

Bu iki eşitlikten şu sonuç çıkar:

/ D" = 2 D - / B;
/ e=2 D - / B;

/ D" = / E,

ama bu olamaz çünkü / D", CD"E üçgenine dışsal olarak göreli olarak şöyle olmalıdır: daha fazla açı E. Bu nedenle D noktası çemberin içinde olamaz.

Ayrıca D tepe noktasının dairenin dışında D" konumunu alamayacağı da kanıtlanmıştır (Şekil 414).

Geriye, D tepe noktasının dairenin çevresi üzerinde yer alması gerektiği, yani E noktasıyla çakışması gerektiği, bunun da ABCD dörtgeni etrafında bir dairenin tanımlanabileceği anlamına geldiği kabul edilmektedir.

Sonuçlar. 1. Herhangi bir dikdörtgenin etrafında bir daire tanımlanabilir.

2. Bir ikizkenar yamuğun etrafında bir daire tanımlanabilir.

Her iki durumda da zıt açıların toplamı 180°'dir.

Teorem 3. Sınırlandırılmış bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşittir. ABCD dörtgeninin bir daire etrafında tanımlanmasına izin verin (Şekil 415), yani onun AB, BC, CD ve DA kenarları bu daireye teğettir.

AB + CD = AD + BC'nin kanıtlanması gerekmektedir. Teğet noktalarını M, N, K, P harfleriyle gösterelim. Bir daireye bir noktadan çizilen teğetlerin özelliklerine dayanarak (§ 75), elimizde:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

Bu eşitlikleri terim terim toplayalım. Şunu elde ederiz:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

yani AB + CD = AD + BC, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Egzersizler.

1. Yazılı bir dörtgende karşılıklı iki açının oranı 3:5'tir.
diğer ikisi ise 4:5 oranındadır. Bu açıların büyüklüğünü belirleyiniz.

2. Tanımlanan dörtgende karşılıklı iki kenarın toplamı 45 cm'dir. Geriye kalan iki kenar oranı 0,2: 0,3'tür. Bu kenarların uzunluğunu bulun.

Görev 6: ikizkenar yamukta tabanlar 21 ve 9 santimetre, yükseklik 8 santimetredir. Çevrel dairenin yarıçapını bulun.

1. Hadi gerçekleştirelim dik açıortaylar H ve K tabanlarına doğru hareket ederse O çemberinin merkezi NK düz çizgisi üzerinde yer alır.

2. AO=OB=R. O noktası NK parçasını iki parçaya böler: HO = x olsun, sonra OK = 8 - x olsun.

3. AO2 = AK2 + KO2; OB2 = VN2 + NO2;

OA 2 = OB 2 olduğundan şunu elde ederiz:

AK 2 + KO 2 = VN 2 + NO 2

90 + 64 - 16x = 0

OB 2 = HV 2 + NO 2

Cevap: OB = 10,625

Dörtgen içine yazılmış bir daire ile ilgili problemler

Görev 7: Bir eşkenar dörtgenin içine R yarıçaplı bir daire yazılmıştır. Eşkenar dörtgenin alanını bulun. büyük diyagonal 4 kez yarıçaptan daha büyük yazılı daire.

Verilen: eşkenar dörtgen, yazılı daire yarıçapı - R, BD r 4 kez

1. OE = R, BD = 4OE = 4R olsun

Sorun 8: Yamuğun yan tarafının 10 olduğu biliniyorsa, yarıçapı 4 olan bir daire etrafında çevrelenen ikizkenar yamuğun alanını bulun.

Verilen: ABCD - ikizkenar yamuk, r = 4, AB = 10

1. AB = CD = 10 koşula göre

2. incircle özelliğine göre AB + CD = AD + BC

3. MS + MÖ = 10 + 10 = 20

4.FE = 2r = 2 4 = 8

Sorun 9: içeri düzgün üçgen a tarafında üç tane var eşit daireler her biri üçgenin iki kenarına ve diğer iki daireye dokunuyor. Bu dairelerin dışında bulunan üçgenin kısmının alanını bulun.

1. AB = BC = AC = a olsun.

2. O 1 E = O 1 K = ED = r'yi gösterelim, bu durumda AD = AE + ED = AE + r = .

3. AO 1, A açısının açıortayıdır, dolayısıyla ? Ç 1 AE = 30 mu? ve?AO 1 E dikdörtgeninde AO 1 = 2O 1 E = 2r ve AE === var. O zaman AE + r = ==, dolayısıyla.

Sorun 10: R yarıçaplı bir dairenin yayının tamamı, birbiri ardına değişen 4 büyük ve 4 küçük parçaya bölünmüştür. En küçük olanın iki katı uzunluğunda. Köşeleri dairesel yayın bölme noktaları olan sekizgenin alanını belirleyin.

1.?AOB = 2x, ?BOC = x olsun, ardından 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30° olsun

Sorun 11:Üçgenin kenarları 12 m, 16 m ve 20 m'dir. Büyük açının tepe noktasından çizilen yüksekliği bulun.

1. 202 = 122 + 162

400 = 400 doğru yani? ABC - dikdörtgen (teoremine göre, teoremin tersi Pisagor)