Teorem Vieta teoreminin tersidir. Vieta teoremini kullanma örnekleri

Bugün şiirle söylenmeyi hak ediyor
Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.
Hangisi daha iyi, söyle bana, şöyle bir tutarlılık:
Kökleri çarptınız - ve kesir hazır
Payda İle, paydada A.
Ve kesrin köklerinin toplamı da eşittir
Bu kesir eksi olsa bile
Ne sorun
Paylarda V, paydada A.
(Okul folklorundan)

Epigrafta harika teorem François Vieta tamamen doğru bir şekilde verilmemiştir. Aslında kökü olmayan ikinci dereceden bir denklem yazıp, toplamını ve çarpımını yazabiliriz. Örneğin x 2 + 2x + 12 = 0 denkleminin gerçel kökleri yoktur. Ancak resmi bir yaklaşımla bunların çarpımını (x 1 · x 2 = 12) ve toplamını (x 1 + x 2 = -2) yazabiliriz. Bizim ayetler şu uyarıyla birlikte teoreme karşılık gelecektir: “eğer denklemin kökleri varsa” yani. D ≥ 0.

Birinci pratik uygulama Bu teorem kökleri verilmiş ikinci dereceden bir denklemin yapısıdır. İkincisi, birçok ikinci dereceden denklemi sözlü olarak çözmenize olanak tanır. Okul ders kitapları öncelikle bu becerilerin geliştirilmesine odaklanmaktadır.

Burada daha fazlasını ele alacağız karmaşık görevler, Vieta teoremi kullanılarak çözüldü.

Örnek 1.

5x 2 – 12x + c = 0 denkleminin köklerinden biri ikinciden üç kat daha büyüktür. Bul.

Çözüm.

İkinci kök x 2 olsun.

O halde ilk kök x1 = 3x 2.

Vieta teoremine göre köklerin toplamı 12/5 = 2,4'tür.

3x 2 + x 2 = 2,4 denklemini oluşturalım.

Dolayısıyla x 2 = 0,6. Bu nedenle x 1 = 1,8.

Cevap: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.

Örnek 2.

x 1 ve x 2'nin, x 2 – 8x + p = 0 denkleminin kökleri olduğu ve 3x 1 + 4x 2 = 29 olduğu bilinmektedir. p'yi bulun.

Çözüm.

Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = 8 ve 3x 1 + 4x 2 = 29 koşuluna göre.

Bu iki denklemin sistemini çözdükten sonra x 1 = 3, x 2 = 5 değerini buluyoruz.

Ve dolayısıyla p = 15.

Cevap: p = 15.

Örnek 3.

3x 2 + 8 x – 1 = 0 denkleminin köklerini hesaplamadan x 1 4 + x 2 4'ü bulun

Çözüm.

Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = -8/3 ve x 1 x 2 = -1/3 olduğuna dikkat edin ve ifadeyi dönüştürün

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Cevap: 4898/9.

Örnek 4.

A parametresinin hangi değerlerinde en büyük ve en büyük arasındaki fark en küçük kökler denklemler
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 bunların çarpımına eşittir.

Çözüm.

Bu ikinci dereceden bir denklemdir. D > 0 ise 2 farklı kökü olacaktır. Başka bir deyişle (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 veya (a – 3) 2 > 0. Dolayısıyla her a için 2 kökümüz var, a = 3 hariç.

Kesinlik sağlamak için x 1 > x 2 olduğunu varsayacağız ve x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ve x 1 x 2 = (a – 1)/2 elde edeceğiz. Problemin koşullarına göre x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Her üç koşulun da aynı anda karşılanması gerekir. İlk ve son denklemleri bir sistem olarak ele alalım. Cebirsel toplama ile kolayca çözülebilir.

x 1 = a/2, x 2 = 1/2 elde ederiz. Ne olduğunu kontrol edelim A ikinci eşitlik sağlanacaktır: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Elde edilen değerleri yerine koyarsak: a/4 = (a – 1)/2 elde ederiz. O halde a = 2. Açıktır ki a = 2 ise tüm koşullar karşılanmıştır.

Cevap: a = 2 olduğunda.

Örnek 5.

Neye eşittir en küçük değer a, burada denklemin köklerinin toplamı
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0, köklerinin karelerinin toplamına eşittir.

Çözüm.

Öncelikle denklemi şuna indirgeyelim: kanonik form: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. D/4 ≥ 0 ise kökleri olacaktır. Dolayısıyla: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Veya (a – 1) 2 ≥ 0. Ve bu da herhangi bir a için geçerli koşul.

Vieta teoremini uygulayalım: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Hesaplayalım

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Veya x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2'yi değiştirdikten sonra. Geriye problemin koşullarına karşılık gelen bir eşitlik oluşturmak kalıyor: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Şunu elde ederiz: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Bu ikinci dereceden denklemin 2 kökü vardır: a 1 = 1 ve a 2 = 1/2. Bunlardan en küçüğü –1/2'dir.

Cevap: 1/2.

Örnek 6.

Köklerinin küplerinin toplamı bu köklerin karelerinin çarpımına eşitse, ax 2 + bx + c = 0 denkleminin katsayıları arasındaki ilişkiyi bulun.

Çözüm.

Bu denklemin köklerinin olduğunu ve dolayısıyla Vieta teoreminin ona uygulanabileceğini varsayacağız.

O zaman problemin koşulu şu şekilde yazılacaktır: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Veya: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

İkinci faktörün dönüştürülmesi gerekiyor. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

(x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2 elde ederiz. Köklerin toplamlarını ve çarpımlarını katsayılar aracılığıyla değiştirmeye devam ediyor.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Bu ifade kolaylıkla forma dönüştürülebilir b(3ac – b 2)/a = c 2.İlişki bulunmuştur.

Yorum. Ortaya çıkan ilişkinin ancak diğer ilişki sağlandıktan sonra dikkate alınmasının anlamlı olacağı dikkate alınmalıdır: D ≥ 0.

Örnek 7.

x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamının en büyük değer olduğu a değişkeninin değerini bulun.

Çözüm.

Bu denklemin kökleri x 1 ve x 2 ise, bunların toplamı x 1 + x 2 = -2a ve çarpım x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 olur.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2'yi hesaplıyoruz (a – 3) 2 + 22.

Şimdi bu ifadenin geçerli olduğu açıktır. en yüksek değer a = 3'te.

Geriye orijinal ikinci dereceden denklemin köklerinin gerçekten a = 3'te olup olmadığını kontrol etmek kalır. Değiştirme yoluyla kontrol ederiz ve şunu elde ederiz: x 2 + 6x + 7 = 0 ve bunun için D = 36 – 28 > 0.

Bu nedenle cevap: a = 3 için.

Örnek 8.

2x 2 – 7x – 3 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2'dir. Kökleri X 1 = 1/x 1 ve X 2 = 1/x 2 sayıları olan verilen ikinci dereceden denklemin katsayılarının üçlü toplamını bulun. (*)

Çözüm.

Açıkçası, x 1 + x 2 = 7/2 ve x 1 x 2 = -3/2. İkinci denklemi köklerinden x 2 + px + q = 0 formunda oluşturalım. Bunu yapmak için Vieta teoreminin tersini kullanırız. Şunu elde ederiz: p = -(X 1 + X 2) ve q = X 1 · X 2.

Bu formüllerde (*) esas alınarak yerine koyma işlemi yapıldıktan sonra: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ve q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

Gerekli denklem şu şekilde olacaktır: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. Artık katsayılarının üç kat toplamını kolayca hesaplayabiliriz:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Cevap geldi.

Hala sorularınız mı var? Vieta teoremini nasıl kullanacağınızdan emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Belediye bütçeli eğitim kurumu

"Ortalama ortaokul 64" Bryansk

Şehir bilimsel ve pratik konferansı

"Bilime ilk adımlar"

İlmi araştırma çalışması

"Üçüncü ve dördüncü derece denklemler için Viete teoremi"

Matematik

Tamamlayan: 11b sınıfı öğrencisi

Shanov Ilya Alekseevich

Bilimsel süpervizör:

matematik öğretmeni,

Fizik ve Matematik Adayı bilimler

Bykov Sergey Valentinoviç

Bryansk 2012

Giriş………………………………………………………………………………… 3

Amaçlar ve hedefler ……………………………………………………… 4

Kısa bilgi tarihsel arka plan ………………………………………… 4

İkinci dereceden denklem…………………………………………………. 5

Kübik denklem……………………………………………………………. 6

Dördüncü dereceden denklem ………………………………………… 7

Pratik kısım………………………………………………………. 9

Referanslar…………………………………………………… 12

Ek ……………………………………………………………… 13

giriiş

Cebirin temel teoremi, bir alanın cebirsel olarak kapalı olduğunu, başka bir deyişle, karmaşık katsayılı n'inci dereceden denklemlerin ( genel durum) alanın üzerinde tam olarak n var karmaşık kökler. Üçüncü dereceden denklemler Cordano formülü ile çözülür. Ferrari yöntemini kullanan dördüncü derece denklemler. Ayrıca cebir teorisinde kanıtlanmıştır ki eğer denklemin kökü ise aynı zamanda bu denklemin köküdür. İçin kübik denklem aşağıdaki durumlar mümkündür:

üç kök de gerçektir;

iki kök karmaşıktır, biri gerçektir.

Bundan, herhangi bir kübik denklemin en az bir gerçek kökü olduğu sonucu çıkar.

Dördüncü dereceden bir denklem için:

Dört kök de farklıdır.

İki kök gerçek, ikisi karmaşıktır.

Dört kökün tümü karmaşıktır.

Bu çalışma Vieta teoreminin kapsamlı bir çalışmasına ayrılmıştır: formülasyonu, kanıtı ve bu teoremi kullanarak problemlerin çözümü.

Yapılan çalışmayla 11.sınıf öğrencilerine yardımcı olmak amaçlanıyor. Birleşik Devlet Sınavını geçmek ve daha basit ve daha basit olanlara kayıtsız olmayan genç matematikçiler için etkili yöntemlerçözümler çeşitli alanlar matematik.

Bu çalışmanın ekinde aşağıdaki sorunlara ilişkin bir derleme sunulmaktadır: bağımsız karar ve araştırdığım yeni materyalin konsolidasyonu.

Bu konu göz ardı edilemez çünkü matematik için, genel olarak bilim açısından, öğrenciler ve bu tür problemleri çözmekle ilgilenenler için önemlidir.

Çalışmanın amaç ve hedefleri:

Üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini edinin.

Üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini kanıtlayın.

Dördüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini elde edin.

Dördüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini kanıtlayın.

Bu soruların pratik problemlerin çözümüne uygulanmasını düşünün.

• Bu teoremin uygulamasının pratik olduğundan emin olun.

Derinleştir matematik bilgisi Denklem çözme alanında.

Matematiğe ilginizi geliştirin.

Kısa tarihsel arka plan

Şiirde söylenmeye haklı olarak layık

Köklerin özellikleri üzerine VIETTE TEOREMİ...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - Fransız matematikçi. Mesleği gereği bir avukat. 1591'de tanıttı harf atamaları sadece bilinmeyen büyüklükler için değil aynı zamanda denklem katsayıları için de; bu sayede ilk kez denklemlerin özelliklerini ve köklerini ifade etmek mümkün oldu. genel formüller. 2., 3. ve 4. derece denklemlerin çözümü için tek tip bir yöntem oluşturmaktan sorumluydu. Keşifler arasında Viète'in kendisi özellikle denklemlerin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkinin kurulmasına çok değer verdi. Denklemlerin yaklaşık çözümü için sayısal katsayılar Vieth, Newton'un sonraki yöntemine benzer bir yöntem önerdi. Trigonometride François Viète şunu verdi: komple çözümÜç veriden bir düzlemin veya küresel üçgenin tüm elemanlarını belirleme problemi, cos'un önemli açılımlarını buldu nx ve günah nxçünkü cos'un güçleri X ve günah X.İlk kez sonsuz eserleri düşündü. Viet'in eserleri yazıldı zor dil ve bu nedenle zamanlarında hak ettiklerinden daha az dağıtım aldılar .

İkinci dereceden denklem

Öncelikle programda öğrendiğimiz Vieta'nın ikinci derece denklem formüllerini hatırlayalım. okul kursu eğitim.

T
Vieta teoremiikinci dereceden denklem için (8. sınıf)

e
eğer ve ikinci dereceden bir denklemin kökleri ise o zaman

yani indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, buradan alınan ikinci katsayıya eşittir. karşıt işaret ve köklerin çarpımı eşittir ücretsiz üye.

Ayrıca teoremi hatırlayın, Vieta teoreminin tersi:

Eğer sayılar - P Ve Qöyle mi

o zaman ve denklemin kökleridir

Kökleri bilmeden Vieta'nın teoremi dikkat çekicidir. ikinci dereceden üç terimli, bunların toplamını ve çarpımını yani en basit simetrik ifadeleri kolaylıkla hesaplayabiliriz.

Vieta teoremi kare bir trinomiyalin tüm köklerini tahmin etmenize olanak sağlar.

kübik denklem

Şimdi doğrudan Vieta teoremini kullanarak kübik denklemin formülasyonuna ve çözümüne geçelim.

Formülasyon

İLE
Her yerde bulunan denklem, formun üçüncü dereceden bir denklemidir

Nerede bir ≠ 0.

Eğer bir = 1, bu durumda denkleme indirgenmiş kübik denklem denir:

Yani denklem için bunu kanıtlamamız gerekiyor.

aşağıdaki teorem doğrudur:

N
kökleri büyütmek verilen denklem, Daha sonra

Kanıt

Bir polinom hayal edelim

dönüşümleri gerçekleştirelim:

Yani bunu anlıyoruz

İki polinom ancak ve ancak karşılık gelen güçlerdeki katsayıları eşitse eşittir.

Bu şu anlama geliyor

Q.E.D.

Şimdi teoremi düşünün, üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin tersi.

F
formülasyon

e
sayılar bu şekilde ise

Dördüncü derece denklem

Şimdi dördüncü derece denklem için Vieta teoremini kullanarak dördüncü derece denklem kurup çözmeye geçelim.

Formülasyon

sen
dördüncü derecenin denklemi - formun bir denklemi

G
de bir ≠ 0.

e
eğer bir = 1, o zaman denklem indirgenmiş olarak adlandırılır

VE
denklem için bunu kanıtlayalım

İle
aşağıdaki teorem doğrudur: Verilen denklemin köklerine izin verin, o zaman

Kanıt

Bir polinom hayal edelim

dönüşümleri gerçekleştirelim:

Yani bunu anlıyoruz

Bunu biliyoruz iki polinom ancak ve ancak karşılık gelen güçlerdeki katsayıları eşitse eşittir.

Bu şu anlama geliyor

Q.E.D.

Teoremi düşünün, dördüncü derece denklem için Vieta teoreminin tersi.

Formülasyon

Rakamlar bu şekilde ise

o zaman bu sayılar denklemin kökleridir

Pratik kısım

Şimdi üçüncü ve dördüncü derece denklemler için Vieta teoremlerini kullanarak problemlerin çözümlerine bakalım.

Görev No.1

Cevap: 4, -4.

Görev No.2

Cevap: 16, 24.

Bu denklemleri çözmek için sırasıyla Cardano formüllerini ve Ferrari yöntemini kullanabiliriz ancak Vieta teoremini kullanarak bu denklemlerin köklerinin toplamını ve çarpımını biliyoruz.

Görev No.3

Köklerin toplamının 6, köklerin eşleştirilmiş çarpımının 3 ve çarpımının -4 olduğu biliniyorsa üçüncü dereceden bir denklem oluşturun.

Hadi bir denklem kuralım, şunu elde ederiz

Görev No.4

Köklerin toplamının eşit olduğu biliniyorsa üçüncü dereceden bir denklem yazın 8 , köklerin çift çarpımı eşittir 4 , çarpımın üç katı eşittir 12 ve ürün 20 .

Çözüm: Vieta formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Hadi bir denklem kuralım, şunu elde ederiz

Vieta teoremini kullanarak köklerini kullanarak kolayca denklemler oluşturduk. Bu en çok rasyonel yol bu sorunları çözmek.

Sorun #5

burada a, b, c Heron formülleridir.

Parantezleri açıp ifadeyi dönüştürelim, şunu elde ederiz:

Z
Radikal ifadenin şöyle olduğuna dikkat edin: kübik ifade. Karşılık gelen kübik denklem için Vieta teoremini kullanalım, o zaman şunu elde ederiz:

Z

Şunu elde ettiğimizi bilerek:

Bu problemin çözümünden Vieta teoreminin aşağıdaki problemlere uygulanabilir olduğu açıktır: farklı alanlar matematik.

Çözüm

Bu yazıda üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmenin bir yöntemi araştırıldı. Çalışmada elde edilen formüllerin kullanımı kolaydır. Çalışma sırasında, bazı durumlarda bu yöntemin üçüncü ve dördüncü derece denklemler için sırasıyla Cordano formülü ve Ferrari yönteminden daha etkili olduğu ortaya çıktı.

Vieta teoremi pratikte uygulandı. Yeni malzemenin daha iyi pekiştirilmesine yardımcı olan bir dizi sorun çözüldü.

Bu çalışma benim için çok ilginç ve öğreticiydi. Matematik bilgimi derinleştirdikten sonra birçok ilginç şey keşfettim ve bu araştırmadan keyif aldım.

Ancak denklem çözme alanındaki araştırmam henüz bitmedi. Gelecekte, Vieta teoremini kullanarak n'inci dereceden bir denklemin çözümünü çalışmayı planlıyorum.

derin şükranlarımı sunmak istiyorum bilimsel süpervizör, fiziksel ve matematik bilimleri adayı ve böyle bir olasılık sıradışı araştırma ve çalışmaya sürekli dikkat.

Referanslar

Vinogradov I.M. Matematik ansiklopedisi. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Şunun için görevler: ilköğretim matematik, Fizmatlit, 1980.

François Viet, 1540 yılında Fransa'nın Fontenay-le-Comte'sinde doğdu. Eğitim almış bir avukat. Avukatlıkla yoğun bir şekilde ilgilendi ve 1571'den 1584'e kadar Kral George III ve George IV'ün danışmanıydı. Ama her şey senin boş zaman tüm boş zamanlarını matematik ve astronomiye adadı. 1584 yılında görevden alınmasından sonra özellikle matematik alanında yoğun bir şekilde çalışmaya başladı. kraliyet mahkemesi. Viet, hem eski hem de çağdaş matematikçilerin çalışmalarını ayrıntılı olarak inceledi.

François Viète esasen yeni bir cebir yarattı. Alfabetik sembolizmi buna dahil etti. Ana fikirleri “Analitik Sanata Giriş” çalışmasında sunulmaktadır. Şöyle yazdı: "Tüm matematikçiler cebir ve almucabalalarının altında eşsiz hazinelerin saklı olduğunu biliyorlardı, ancak onları nasıl bulacaklarını bilmiyorlardı: En zor olduğunu düşündükleri problemler, sanatımızın yardımıyla tamamen kolayca çözülüyor."

Aslında hepimiz örneğin ikinci dereceden denklemleri çözmenin ne kadar kolay olduğunu biliyoruz. Bunları çözmek için hazır formüller var. F. Vieta'dan önce, her ikinci dereceden denklemin çözümü, çok uzun sözlü argümanlar ve açıklamalar şeklinde, oldukça hantal eylemler şeklinde kendi kurallarına göre gerçekleştiriliyordu. Denklemin kendisi bile modern biçim bunu yazamadım. Bu aynı zamanda oldukça uzun ve karmaşık bir süreç gerektiriyordu. sözlü açıklama. Denklem çözme tekniklerinde uzmanlaşmak yıllar aldı. Genel kurallar modern olanlara benzer ve dahası, denklemleri çözmek için formüller yoktu. Sabit oranlar harflerle gösterilmemiştir. Yalnızca belirli sayısal katsayılara sahip ifadeler dikkate alındı.

Viet cebire harf sembollerini dahil etti. Vieta'nın yeniliğinden sonra kuralları formüller halinde yazmak mümkün hale geldi. Doğru, Viet hala kelimelerle üslü sayıları gösteriyordu ve bu, bazı sorunların çözümünde bazı zorluklar yarattı. Vieta'nın zamanında sayıların temini hâlâ sınırlıydı. François Viète, çalışmalarında birinci dereceden dördüncü dereceye kadar denklem çözme teorisini çok detaylı bir şekilde özetledi.

Vieta'nın en büyük başarısı, keyfi bir denklemin indirgenmiş formunun denklem katsayıları ve kökleri arasındaki ilişkiyi keşfetmesiydi. doğal derece. Vieta'nın indirgenmiş ikinci dereceden denklem için ünlü teoremini çok iyi biliyoruz: “İndirgenmiş formdaki ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı, zıt işaretle alınan ikinci katsayıya eşittir ve bu denklemin köklerinin çarpımı, serbest terime eşittir.” Bu teorem çözümün doğruluğunu sözlü olarak kontrol etmenizi sağlar ikinci dereceden denklemler ve en basit durumlarda denklemlerin köklerini bulun.

Ayrıca Viète'in Avrupa'da π sayısının ilk analitik (bir formül kullanarak) temsilini verdiğini unutmayın.

Viet 1603'te 63 yaşında öldü.

Vieta'nın teoremi.

Bir kare trinomial x2 + px + q'nin köklerinin toplamı, zıt işaretli ikinci katsayısı p'ye eşittir ve çarpım, serbest terim q'ya eşittir.

Kanıt.

x1 ve x2 ikinci dereceden üç terimli x2 + px + q'nun farklı kökleri olsun. Vieta teoremi aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğunu belirtir: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Bunu kanıtlamak için, köklerin her birini ikinci dereceden üç terimli ifadenin yerine koyalım. İki doğru sayısal eşitlik elde ederiz: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Bu eşitlikleri birbirinden çıkaralım. x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0 elde ederiz

Kareler farkını genişletelim ve aynı zamanda ikinci terimi sağ tarafa taşıyalım:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Koşul gereği x1 ve x2 kökleri farklı olduğundan x1 – x2 ≠ 0 olur ve eşitliği x1 – x2'ye bölebiliriz. Teoremin ilk eşitliğini elde ederiz: x1 + x2 = –p

İkinciyi ispatlamak için p katsayısı yerine yukarıda yazılan eşitliklerden birini (örneğin birincisini) yerine eşit bir sayı – (x1 + x2) koyalım: x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Dönüştürme sol taraf, şunu elde ederiz: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, kanıtlanması gereken de budur.

İndirgenmemiş ikinci dereceden denklem durumunda ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

Teorem, teoremin tersi Vieta.

Eğer x1+x2 = ve x1x2 = eşitlikleri sağlanırsa, x1 ve x2 sayıları ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri olur.

Kanıt.

x1+x2 = ve x1x2 = eşitliğinden x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2 sonucu çıkar.

Ama x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) ve dolayısıyla x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Buradan x1 ve x2'nin x2 + x + = 0 denkleminin kökleri olduğu ve dolayısıyla ax2 + bx + c = 0 denklemlerinin olduğu sonucu çıkar.

Vieta teoreminin uygulanması.

Vieta teoremi 8. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kullanılıyor. Bu teoremin kullanım kapsamını, örneğin 9-11. Sınıflardaki denklem sistemlerini çözmek ve ikinci dereceden denklemlerin ve köklerinin incelenmesiyle ilgili problemleri çözmek için genişletebilirsiniz. Bu, zamanı azaltır ve sistemin çözümünü kolaylaştırır.

Denklem sistemini çözün:

Köklerinin toplamı 5 ve çarpımlarının 6 olduğu ikinci dereceden bir denklemin x ve y köklerinin olduğunu varsayarsak, iki sistemden oluşan bir küme elde ederiz.

Cevap: (2;3), (3;2).

Öğrenciler bu çözme yöntemine hızla hakim olurlar ve bunu zevkle kullanırlar. Ayrıca sistemleri karmaşıklaştırabilir ve çalışırken bu tekniği kullanabilirsiniz. çeşitli konular 10-11.sınıflarda.

Denklem sistemini çözün:

x > 0 y > 0 koşulu altında şunu elde ederiz:

ve bazı indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin kökleri olsun, o zaman bu sistem iki sistemin birleşimine eşdeğerdir

Popülasyonun ikinci sisteminin çözümü yoktur; birincinin çözümü x=9,y=4 çiftidir.

Cevap: (9;4).

Aşağıda Vieta teoremi kullanılarak çözülebilecek denklem sistemleri bulunmaktadır.

Cevap: (65;3),(5;63).

Cevap: (23;11),(7;27).

Cevap: (4;729),(81;4096).

Cevap: (2;2).

5. x + y =12 Cevap: (8;4),(4;8).

Cevap: (9;4),(4;9).

Benzer denklem sistemleri öğretmenin kendisi tarafından derlenebilir veya buna öğrenciler de dahil edilebilir, bu da konuya olan ilginin gelişmesine katkıda bulunur.

Sözlü çözüm görevleri.

İkinci dereceden denklemleri çözmeden köklerini bulun.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Cevap: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Cevap: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Cevap: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Cevap: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Cevap: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Cevap: -2,5;-1.

Vieta teoreminin kullanıldığı problemleri ele alalım.

9x²+18x-8=0 denklemini çözmeden, x1³+x2³'yi bulun; burada x1,x2 onun kökleridir.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) Ayırıcı sıfırdan büyük, D>0, yani x1, x2 gerçek köklerdir.

Vieta teoremine göre şu şekildedir: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) x1³+x2³ ifadesini dönüştürün: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Ortaya çıkan formülde bildiğimiz değerleri yerine koyalım ve cevaba ulaşalım:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 denkleminde k'nin hangi değeri.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Vieta teoremine göre: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), iki denklemden oluşan bir sistem elde ettik ve x2 yerine 2x1 koyduk.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Ortaya çıkan denklemleri karşılaştıralım:

İkinci dereceden denklemi çözelim ve k'yi bulalım:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Cevap: k1=-1 ve k2=2 ile.

x1;x2 ikinci dereceden x²+13x-17=0 denkleminin kökleri olsun. Kökleri 2-x1 ve 2-x2 sayıları olacak bir denklem oluşturun.

x²+13x-17=0 denklemini düşünün.

1) Diskriminant D>0, yani x1; x2 gerçek köklerdir.

Vieta teoremine göre: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) 2-x2 ve 2-x2 sayılarını bu sistemde yerine koyun.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Dolayısıyla Vieta teoremi uygulandığında istenen denklem x²-17x+13=0 olur.

Cevap: x²-17x+13=0.

İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x2>x1,x1>0,x2 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?

x2 x1 olduğundan b>0,c sonucu çıkar

Cevap: b>0,с

6) İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x1 0,x2>0 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?

Vieta teoremine göre: x1+x2=-b x1∙x2=c

x1>0, x2>0 ve x2>x1 olduğundan b 0 sonucu çıkar.

Bağımsız çözüm için görevler.

1) 2x²-3x-11=0 denklemini çözmeden +'yı bulun; burada x1;x2 kökleridir.

2) + ifadesinin değerini bulun; burada x1;x2, x²-18x+11=0 trinomialinin kökleridir.

3) x²-7x-46=0 ikinci dereceden denklemin kökleri x1;x2 olsun.

Kökleri sayı olan ikinci dereceden bir denklem yazın

2x1 +x2 ve 2x2 +x1.

Cevap: 9x2-21x-481=0

4) k'nin hangi tamsayı değeri denklemin köklerinden biridir?

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 saniyenin üç katından az mı?

Cevap: k=2.

5) İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x1 0 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?

“Tamamlanmamış İkinci Dereceden Denklemler Nasıl Çözülür” - Çözme Becerileri. Kostroma. Yaroslavl. Ladyzhenskaya Olga Alexandrovna. Steklov Vladimir Andreyeviç. Denklemi çözelim. Eşitlik. Sözlü çalışma. Kazan. Hareket nesnesi. Şifreleme tablosu. Nijniy Novgorod. Lyapunov Alexander Mihayloviç. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. Hız. Otobüs. Hareket görevleri.

“Matematik “İkinci Dereceden Denklemler” - f) Denklemin hangi a değerinde tek kökü vardır? İkinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden denklemi sözlü olarak çözün. Denklemi harf katsayılarıyla çözün. Zihninize mümkün olduğu kadar çok yiyecek vermeye çalışın. Hedef: İkinci dereceden denklemleri çözmenin rasyonel bir yolunu görmeyi öğrenmek. M.V. Lomonosov. Egzersiz yapmak.

“François Viète ve teoremi” - İki polinom tamamen eşittir. Matematik öğretimi. Matematiksel keşifler. Vieta'nın formülleri. François Viet. Öğretmenler. Şuradan öğrenin: çeşitli kaynaklar François Viet kimdir? Ayrımcı. Vieta teoremi herhangi bir dereceden polinomlara genelleştirilebilir. İkinci dereceden denklemler için Viethe tarafından türetilen formüller.

“İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma” - Denklemin kökleri yoktur. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Denklem katsayılarının özellikleri. Formülü kullanarak denklemleri çözme. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden bir denklemin kök sayısının belirlenmesi. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulma. Diskriminantın bulunması. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri.

“Kareköklü denklemlerin çözümü” - Ek. Çizim. Denklemin "atma" yöntemini kullanarak çözülmesi. Grafik çözümüİkinci dereceden denklemler. İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri. Faktorizasyon. Seçim yöntemi tam kare. Denklem. Katsayı. Katsayıların toplamı. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri. Ücretsiz üye.

“Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme” - Sorunu çözme. Gerçeklerin birikmesi. Bu denklemleri 4 gruba dağıtın. Akran değerlendirmesi. Çalışılan materyalin temel olarak anlaşılması ve uygulanması. Ders konusu. Hiçbir şey öğrenmediğiniz günü veya saati talihsiz bir gün olarak düşünün. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü. Soru. Bir öğrenme görevi ayarlama.

Konuda toplam 34 sunum bulunmaktadır.