5. En az eylem ilkesi
Potansiyel kuvvetler alanındaki maddi bir noktanın dinamiği için denklemler şu prensibe dayanarak elde edilebilir: genel görünüm Hamilton ilkesi veya durağan eylem ilkesi denir. Bu prensibe göre, maddi bir noktanın aynı başlangıç noktası ile başlangıç noktası arasında yapabileceği tüm hareketlerin bitiş noktaları Gerçekte, aynı t2...t1 zaman periyodu sırasında, bu maddi noktanın kinetik ve potansiyel enerjileri arasındaki farkın t1'den t2'ye kadar olan zaman integralinin aşırı, yani minimum veya minimum olduğu bir hareket meydana gelir. maksimum değer. İyi bilinen varyasyon hesabı yöntemlerini kullanarak klasik hareket denklemlerinin bu prensibe dayandığını göstermek kolaydır.
Özellikle basit biçim Statik kuvvet alanlarının özel fakat önemli durumunda sabit etki ilkesini kabul eder. Bu durumda Maupertuis'in en az eylem ilkesiyle örtüşmektedir. gerçek yol Korunumlu (yani açıkça zamana bağlı olmayan) bir kuvvet alanındaki maddi bir noktanın A ve B noktalarından herhangi ikisi arasındaki yörünge parçası boyunca parçacığın momentumunun integrali, birlikte alınan aynı integrallerle karşılaştırıldığında minimumdur. A ve B noktalarından çizilen diğer eğrilerin parçaları. Maupertuis ilkesi Hamilton ilkesinden türetilebilir. Jacobi'nin teorisiyle de ilişkilendirilebilir.
Statik alanlar durumunda, bu teorideki yörüngelerin bazı yüzey ailelerine dik eğriler olarak düşünülebileceğini gördük. Basit akıl yürütme, bu yörüngelerin Maupertuis hareketi ile çakışan integralin minimalliği koşulundan, yani yörünge boyunca momentumun eğrisel integralinden elde edilebileceğini göstermektedir. Bu sonuç çok ilginçtir, çünkü en az eylem ilkesi ile Fermat'ın minimum zaman ilkesi arasında var olan bağlantıya işaret etmektedir.
Aslında Jacobi'nin teorisindeki yörüngelerin geometrik optikteki ışık ışınlarının bir benzeri olarak düşünülebileceğini daha önce söylemiştik. En az eylem ilkesini kanıtlamak için verilen argümanların analizi, bunların geometrik optikte minimum zaman ilkesini veya Fermat ilkesini doğrulamak için verilenlerle tamamen aynı olduğunu gösterir. Formülasyonu şu şekildedir: Özellikleri zamana bağlı olmayan bir kırılma ortamında, A ve B noktalarından geçen ışık ışını öyle bir yol seçer ki, A noktasından B noktasına gitmesi için gereken süre minimumdur, yani minimuma dönen bir eğriyi takip eder çizgi integrali karşılıklı değerden faz hızıışığın yayılması. Artık Maupertuis ilkesi ile Fermat ilkesi arasındaki benzerlikler açıktır.
Ancak aralarında önemli bir fark vardır. En az eylem ilkesi integrand parçacığın momentumuyla çakışır ve dolayısıyla integral eylem boyutuna sahiptir (enerji ile zamanın veya momentum ile yolun çarpımı). Prensipte Fermat'ın integrali ise yayılma hızıyla ters orantılıdır. Bu nedenle, bu iki ilke arasındaki analoji uzun bir süre herhangi bir derin fiziksel gerekçe olmaksızın tamamen biçimsel olarak değerlendirildi. Üstelik öyle görünüyordu ki fiziksel nokta Momentum hız ile doğru orantılı olduğundan ve dolayısıyla Maupertuis prensibindeki integrand payda hızı içerirken, Fermat prensibinde paydada olduğundan görünüş açısından aralarında önemli bir fark vardır. Bu durum oynandı önemli rol Fresnel'in dehası tarafından hayata geçirilen ışığın dalga teorisinin, dışarı akış teorisi üzerindeki zaferini tamamladığı bir çağda. Buna dayanarak inanılıyordu çeşitli bağımlılıklar Maupertuis ve Fermat integrallerinde yer alan integrandların hızından, Foucault ve Fizeau'nun, ışığın sudaki hızının boşluktaki ışık hızından daha az olduğunu söyleyen iyi bilinen deneylerinin reddedilemez ve lehine belirleyici argümanlar dalga teorisi. Ancak bu farklılığa dayanarak Foucault ve Fizeau'nun deneylerini ışık dalgalarının varlığı gerçeğinin teyidi olarak açıklayarak, Maupertuis ilkesinde ortaya çıkan maddi bir noktanın hızını şu şekilde tanımlamanın oldukça yasal olduğunu varsaydılar: Fermat integralinin içerdiği dalgaların yayılma hızı, hareketli herhangi bir malzeme noktasının, yayılma hızı parçacığın hızıyla ters orantılı olarak değişen bir dalgaya karşılık geldiğini gösterdi. Yalnızca dalga mekaniği, iki temel ilke arasındaki derin ilişkinin doğasına gerçekten ışık tutabilir ve bunu ortaya çıkarabilir. fiziksel anlam. Ayrıca Fizeau'nun deneyinin önceden düşünüldüğü kadar belirleyici olmadığını da gösterdi. Işığın yayılmasının dalgaların yayılması olduğunu ve kırılma indisinin yayılma hızına göre belirlenmesi gerektiğini kanıtlasa da, ışığın tanecikli yapısının olasılığını hiç de dışlamaz, tabii ki bunun olması koşuluyla. dalgalar ve ışık parçacıkları arasında uygun bir bağlantı. Ancak bu, aşağıda tartışacağımız bir dizi sorunla zaten ilgilidir.
Zamana bağlı olmayan bir kuvvetler alanındaki maddi bir noktanın hareketini, durumu da zamana bağlı olmayan kırılma ortamındaki dalgaların yayılımıyla karşılaştırarak, ilkeler arasında belirli bir analoji olduğunu gösterdik. Maupertuis ve Fermat'ın. Maddi bir noktanın hareketini zaman içindeki değişkenlerde karşılaştırma kuvvet alanları Zamanla değişen parametrelerle kırılma ortamındaki dalgaların yayılmasıyla, Hamilton tarafından önerilen genel haliyle en az etki ilkesi ile durumu kırılma ortamı durumuna genelleştirilen Fermat ilkesi arasındaki analojinin olduğunu not ediyoruz. zamana bağlıdır, bunun içinde korunur, daha fazlası genel durum. Bu konu üzerinde fazla durmayalım. Mekaniğin iki temel ilkesi arasındaki bu benzetmenin bizim için yeterli olması yeterli olacaktır. geometrik optikçok önemli olmasına rağmen sadece yukarıda ele alınan sabit alanların özel durumunda değil, aynı zamanda değişken alanların daha genel durumunda da gerçekleşir.
Sabit etki ilkesi sistemler için de geçerlidir maddi noktalar. Bunu formüle etmek için, söz konusu sisteme karşılık gelen bir konfigürasyon alanını korumak bizim için uygundur. Örnek olarak kendimizi sistemin potansiyel enerjisinin açıkça zamana bağlı olmadığı durumla sınırlayacağız. Bu durum örneğin izole sistem etkilenmeyen dış kuvvetler, çünkü potansiyel enerjisi yalnızca etkileşim enerjisine indirgenir ve açıkça zamana bağlı değildir. Bu durumda, 3N boyutlu bir konfigürasyon uzayı ve bu uzaya, 3N bileşenleri sistemin N malzeme noktasının momentum vektörlerinin bileşenleri ile çakışan bir vektör dahil edilerek, Maupertuis formunda en az etki ilkesi formüle edilebilir. aşağıdaki gibi. İki noktadan geçen sistemin temsil noktasının yörüngesi verilen puanlar Konfigürasyon uzayındaki A ve B, yukarıda tanıtılan 3N boyutlu vektörün A ve B noktaları arasındaki yörünge parçası boyunca alınan eğrisel integralini, diğer eğrilerin parçaları boyunca alınan aynı integrallerle karşılaştırıldığında minimum yapar. Aynı A ve B noktalarından geçen konfigürasyon uzayı. Bu prensip aynı zamanda Jacobi teorisinden de kolayca türetilebilir. Fermat ilkesiyle benzerliği, konfigürasyon uzayındaki temsil eden bir noktanın yörüngelerini, bu uzayda yayılan bir dalganın ışınları biçiminde temsil etme olasılığından kaynaklanır. Böylece maddi nokta sistemleri için klasik mekanikten dalga mekaniğine geçişin ancak soyut konfigürasyon uzayı çerçevesinde gerçekleştirilebileceğini bir kez daha görüyoruz.
Fizikte Devrim kitabından kaydeden Broglie Louis1. Görelilik ilkesi Kuantum hakkındaki düşüncelerimizin gelişiminden bahsetmeden önce, görelilik teorisine kısa bir bölüm ayırmadan edemeyiz. Görelilik teorisi ve kuantum, modern bilimin iki temel direğidir. teorik fizik ve bu kitap teoriyle ilgili olmasına rağmen
Uzay ve Zamanın Sırları kitabından yazar Komarov Victor2. Siyah cisim ışınımı teorisi. Eylem kuantumu Planck Geliştirmenin başlangıcı kuantum teorisi Max Planck'ın 1900 yılında kara cisim ışınımı teorisi üzerine yaptığı çalışmanın temelini attı. Yasalara dayalı bir kara cisim radyasyonu teorisi oluşturma girişimi klasik fizik yol açtı
Yıldırım ve Gök Gürültüsü kitabından yazar Stekolnikov IS3. Planck hipotezinin geliştirilmesi. Eylem kuantumu Denge teorinizi oluştururken termal radyasyon Planck, maddenin aralarında enerji alışverişini sağlayan elektronik osilatörler topluluğu olduğu varsayımından yola çıktı.
Milyonlarca Görelilik Teorisi kitabından kaydeden Gardner Martin Hareket kitabından. Sıcaklık yazar Kitaygorodsky Alexander Isaakovich3. Elektriğin etkilerini gözlemlemek için bir cihaz - elektroskop Bir nesnenin elektrikle yüklü olup olmadığını öğrenmek için elektroskop adı verilen basit bir cihaz kullanılır. Elektroskop, elektriğin az önce bahsedilen özelliğine dayanmaktadır.
Lazerin Tarihi kitabından yazar Bertolotti MarioIII. Yıldırımın neden olduğu olaylar 1. Yıldırım ne sıklıkla meydana gelir? Gök gürültülü fırtınalar dünyanın her yerinde eşit sıklıkta görülmez. Bazı sıcak, tropik yerlerde gök gürültülü fırtınalar meydana gelir. tüm yıl boyunca- neredeyse her gün. Bulunan diğer yerlerde kuzey bölgeleri, fırtınalar var
Kitaptan Atom problemi kaydeden Ran Philip The King's New Mind kitabından [Bilgisayarlar, düşünme ve fizik yasaları üzerine] kaydeden Penrose RogerEşdeğerlik ilkesi B önceki bölüm Harekete dair “makul bir bakış açısı” bulduk. Doğru, dediğimiz “makul” bakış açıları eylemsizlik sistemleri Sonsuz bir küme olduğu ortaya çıktı, şimdi hareket yasalarının bilgisiyle donanmış olarak bunu yapabiliriz.
6. kitaptan. Elektrodinamik yazar Feynman Richard PhillipsVerimlilik Çeşitli makineler kullanılarak enerji kaynakları üretilebilir. çeşitli işler– Yükleri kaldırın, makineleri hareket ettirin, malları ve insanları taşıyın Makineye verilen enerji miktarını ve ondan alınan değeri hesaplayabilirsiniz.
Yazarın kitabındanDışlama ilkesi Açık başarılarına rağmen, daha önceki birkaç yıl boyunca en azından atom fenomenolojisinin temelini oluşturmaya yardımcı olabilecek yöntemler ve ilkeler sağlıyor gibi görünen "eski" kuantum teorisi, 1924'te bir sorunla karşı karşıya kaldı.
Yazarın kitabındanBölüm II Nükleer bombaların çalışma prensibi Bazılarını hatırlayarak Genel bilgi bölgeden nükleer fizik, nükleer bombaların çalışma prensibini açıklamaya geçebiliriz. nükleer bombalar ikiye ayrılır büyük gruplar Fisyon reaksiyonlarına dayanan bombalara bazen denir
Yazarın kitabındanII. Koruma öldürücü etki nükleer bombalar 1. Işık radyasyonundan korunma. güvenilir koruma Işık radyasyonundan korunmak için flaşa hazırlıksız yakalanmamak gerekir. Işık ışınımının düz bir çizgide ilerlediğini daha önce söylemiştik.
Yazarın kitabındanBölüm VIII Bir nükleer reaktörün çalışma prensibi ve yetenekleri I. Bir nükleer reaktörün tasarımı Bir nükleer reaktör aşağıdaki beş ana unsurdan oluşur: 1) nükleer yakıt; 2) nötron moderatörü 3) kontrol sistemi 5; ) koruyucu
Yazarın kitabından Yazarın kitabından Yazarın kitabından19. Bölüm En Az Etki Prensibi Bir dersten sonra yapılan ekleme Okuldayken, Bader adındaki fizik öğretmenimiz dersten sonra beni yanına çağırdı ve şöyle dedi: “Sanki her şeyden çok yorulmuş gibi görünüyorsun; ilginç bir şey dinle
Aile içinde en az eylem ilkesi en önemlisidir; o biri temel hükümler modern fizik.
İlkenin ilk formülasyonu 1744'te verildi (P. Maupertuis (Fransız)). Buradan ışığın yansıma ve kırılma yasalarını çıkardı.
Klasik mekanikte en az etki ilkesi
İlk önce örneği kullanarak hatırlayalım fiziksel sistem burada bahsettiğimiz şey, her x(t) fonksiyonunu belirli bir sayıyla ilişkilendiren bir kuraldır. Eylem şuna benziyor: S[x] = \int \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t) dt, Nerede \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t) Yörüngeye (yani koordinatlara, yani zamana bağlı olan), zamana bağlı olan ve ayrıca açıkça bağlı olabilen sistemler vardır.
Eylem, ne kadar "vahşi" ve "doğal olmayan" olursa olsun, tamamen keyfi bir yörüngeye göre hesaplanabilir. Ancak tüm setin içinde olası yörüngeler Bedenin gerçekte ilerleyeceği tek bir yol vardır. En az eylem ilkesi, vücudun gerçekte nasıl hareket edeceği sorusunu tam olarak yanıtlıyor:
vücut eylemi en aza indirmek için hareket eder.Bu, eğer sistemin Lagrange'ı verilirse, bunu vücudun tam olarak nasıl hareket edeceğini belirlemek için kullanabileceğimiz anlamına gelir.
Eğer problemin koşullarından hareket yasasını bulmak prensipte mümkünse, bu otomatik olarak gerçek hareket için uç değer alan bir fonksiyonel oluşturmanın mümkün olduğu anlamına gelir.
Buna uyuyorlar ve bu nedenle bu prensip modern fiziğin temel hükümlerinden biridir. Yardımıyla elde edilen hareket denklemlerine Euler-Lagrange denklemleri denir.
İlkenin ilk formülasyonu o yıl P. Maupertuis tarafından verildi ve optik ve mekaniğe uygulanabilir olduğu düşünülerek evrensel doğasına hemen işaret edildi. İtibaren bu prensip Işığın yansıma ve kırılma yasalarını türetti.
Hikaye
Maupertuis bu prensibe, Evrenin mükemmelliğinin doğada belirli bir ekonomi gerektirdiği ve gereksiz enerji harcamalarıyla çeliştiği hissinden yola çıkarak varmıştır. Doğal hareket bir miktarı minimuma indirecek şekilde olmalıdır. Tek yapması gereken bu değeri bulmaktı ve bunu yapmaya devam etti. Sistem içindeki hareket süresinin (zamanının), şimdi sistemin kinetik enerjisi dediğimiz değerin iki katı kadar çarpımıydı.
Euler (içinde "Réflexions sur quelques loix générales de la doğa", 1748) en az eylem ilkesini benimser ve eyleme "çaba" adını verir. Statikteki ifadesi, şimdi potansiyel enerji dediğimiz şeye karşılık gelir, dolayısıyla statikteki en az eylem ifadesi, minimum koşula eşdeğerdir. potansiyel enerji Denge konfigürasyonu için
Klasik mekanikte
En az etki ilkesi, Lagrangian ve Hamiltonian mekanik formülasyonlarının temel ve standart temelini oluşturur.
Öncelikle yapımına şu şekilde bakalım: Lagrange mekaniği. Bir serbestlik derecesine sahip fiziksel bir sistem örneğini kullanarak, bir eylemin (genelleştirilmiş) koordinatlara (bir serbestlik derecesi durumunda - bir koordinat) göre işlevsel olduğunu, yani şu şekilde ifade edildiğini hatırlayalım: öyle ki fonksiyonun akla gelebilecek her versiyonu belirli bir sayıyla - bir eylemle - ilişkilendirilir (Bu anlamda, bir işlevsel olarak eylemin herhangi bir eyleme izin veren bir kural olduğunu söyleyebiliriz. verilen fonksiyon tamamen hesapla belli bir sayı- eylem olarak da adlandırılır). Eylem şuna benziyor:
genelleştirilmiş koordinata bağlı olarak sistemin Lagrange'ı nerede, zamana göre ve ayrıca muhtemelen açıkça zamana göre ilk türevi. Eğer sistem daha fazla sayıda serbestlik derecesine sahipse Lagrangian aşağıdakilere bağlıdır: Daha genelleştirilmiş koordinatlar ve bunların ilk zaman türevleri. Dolayısıyla eylem, vücudun yörüngesine bağlı olarak skaler bir fonksiyoneldir.
Eylemin bir skaler olması, onu herhangi bir genelleştirilmiş koordinatta yazmayı kolaylaştırır, asıl mesele, sistemin konumunun (konfigürasyonunun) açıkça onlar tarafından karakterize edilmesidir (örneğin, Kartezyen koordinatlar yerine bunlar kutupsal olabilir) koordinatlar, sistemin noktaları arasındaki mesafeler, açılar veya bunların işlevleri vb. .d.).
Eylem, ne kadar "vahşi" ve "doğal olmayan" olursa olsun, tamamen keyfi bir yörüngeye göre hesaplanabilir. Bununla birlikte, klasik mekanikte, tüm olası yörüngeler arasında, bedenin gerçekten ilerleyeceği tek bir yol vardır. Sabit hareket ilkesi, vücudun gerçekte nasıl hareket edeceği sorusunun cevabını tam olarak verir:
Bu, eğer sistemin Lagrange'ı verilirse, varyasyonlar hesabını kullanarak, önce hareket denklemlerini (Euler-Lagrange denklemleri) elde edip sonra bunları çözerek vücudun tam olarak nasıl hareket edeceğini belirleyebileceğimiz anlamına gelir. Bu, yalnızca mekaniğin formülasyonunun ciddi şekilde genelleştirilmesine değil, aynı zamanda en basit ve en kolay çözülen denklemlerin elde edilmesinde çok yararlı olabilecek Kartezyen olanlarla sınırlı olmamak üzere, her özel problem için en uygun koordinatların seçilmesine de olanak tanır.
bu sistemin Hamilton fonksiyonu nerede; - (genelleştirilmiş) koordinatlar, - her birinde birlikte karakterize edilen eşlenik (genelleştirilmiş) dürtüler şu anda zaman, sistemin dinamik durumu ve her biri zamanın bir fonksiyonu olup sistemin evrimini (hareketini) karakterize eder. Bu durumda sistemin hareket denklemlerini Hamilton kanonik denklemleri formunda elde edebilmek için bu şekilde yazılan eylemin tümü ve için bağımsız olarak değiştirilmesi gerekir.
Sorunun koşullarından hareket yasasını prensipte bulmak mümkünse, o zaman bunun otomatik olarak gerçekleştiğine dikkat edilmelidir. Olumsuz alan bir işlevsel oluşturmanın mümkün olduğu anlamına gelir durağan değer gerçek hareketle. Bir örnek ortak bir hareket olabilir elektrik ücretleri ve tek kutuplar - manyetik yükler- elektromanyetik alanda. Hareket denklemleri durağan eylem ilkesinden türetilemez. Benzer şekilde, bazı Hamilton sistemleri bu prensipten türetilemeyen hareket denklemlerine sahiptir.
Örnekler
Önemsiz örnekler, Euler-Lagrange denklemleri aracılığıyla çalışma ilkesinin kullanımının değerlendirilmesine yardımcı olur. Serbest parçacık(ağırlık M ve hız v) Öklid uzayında düz bir çizgide hareket eder. Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak bu durum kutupsal koordinatlarda aşağıdaki gibi gösterilebilir. Potansiyelin yokluğunda Lagrange fonksiyonu basitçe kinetik enerjiye eşittir.
V ortogonal sistem koordinatlar
İÇİNDE kutupsal koordinatlar kinetik enerji ve bu nedenle Lagrange işlevi şöyle olur
Denklemlerin radyal ve açısal bileşenleri sırasıyla şöyle olur:
Bu iki denklemi çözmek
Burada tüm x(t) yörüngeleri üzerinde sonsuz çoklu fonksiyonel entegrasyon için koşullu bir gösterim bulunmaktadır ve bu Planck sabitidir. Prensip olarak, kuantum mekaniğindeki evrim operatörünü incelerken üstel eylemin kendisinin göründüğünü (veya görünebileceğini) vurguluyoruz, ancak tam bir klasik (kuantum olmayan) analoğa sahip sistemler için, bunun olağan olana tam olarak eşit olduğunu vurguluyoruz. klasik eylem.
Bu ifadenin klasik limitteki (yeterince büyük, yani sanal üstelin çok hızlı salınımları için) matematiksel analizi, bu integraldeki tüm olası yörüngelerin ezici çoğunluğunun limitte (resmi olarak ) birbirini iptal ettiğini gösterir. Hemen hemen her yol için, faz kaymasının tam tersi olacağı ve bunların katkısının sıfır olacağı bir yol vardır. Yalnızca eylemin aşırı değere yakın olduğu (çoğu sistem için minimuma) yörüngeler azaltılmaz. Temiz matematiksel gerçek karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinden; Örneğin, sabit faz yöntemi buna dayanmaktadır.
Sonuç olarak parçacık tam anlaşma kuantum mekaniği yasalarıyla tüm yörüngeler boyunca aynı anda hareket eder, ancak normal koşullar altında yalnızca durağanlığa yakın (yani klasik) yörüngeler gözlemlenen değerlere katkıda bulunur. Çünkü kuantum mekaniği yüksek enerji sınırında klasiğe dönüşüyorsa, bunun böyle olduğunu varsayabiliriz. kuantum mekaniksel türetme klasik prensip eylemin durağanlığı.
Kuantum alan teorisinde
Kuantum alan teorisinde de durağan etki ilkesi başarıyla uygulanmaktadır. Buradaki Lagrangian yoğunluğu karşılık gelen kuantum alanlarının operatörlerini içerir. Her ne kadar burada özünde (klasik limit ve kısmen klasikler hariç) eylemin durağanlığı ilkesinden değil, konfigürasyondaki yörüngeler boyunca Feynman entegrasyonundan bahsetmek daha doğru olsa da veya faz uzayı bu alanlar - az önce bahsedilen Lagrangian yoğunluğunu kullanarak.
Daha fazla genelleme
Daha genel anlamda bir eylem, konfigürasyon alanından bir kümeye eşlemeyi belirten bir işlevsel olarak anlaşılır. gerçek sayılar ve genel olarak bir integral olması gerekmez, çünkü yerel olmayan eylemler prensipte, en azından teoride mümkündür. Ayrıca, bir konfigürasyon uzayının mutlaka bir fonksiyon uzayı olması gerekmez çünkü değişmeli olmayan bir geometriye sahip olabilir.
Notlar
Edebiyat
- Mekaniğin varyasyonel prensipleri. Doygunluk. bilim klasiklerinden makaleler. Düzenleyen: Polak L.S. M.: Fizmatgiz. 1959.
- Lanczos K. Mekaniğin varyasyonel prensipleri. - M.: Fizmatgiz. 1965.
- Berdichevsky V. L. Varyasyon ilkeleri mekanik süreklilik. M.: Nauka, 1983. - 448 s.
İlk kez tam olarak Jacobi tarafından formüle edilen en az etki ilkesi Hamilton ilkesine benzer, ancak daha az geneldir ve kanıtlanması daha zordur. Bu prensip yalnızca bağlantıların ve kuvvet fonksiyonunun zamana bağlı olmadığı ve dolayısıyla bir canlı kuvvet integralinin mevcut olduğu duruma uygulanabilir.
Bu integral şu şekle sahiptir:
Yukarıda belirtilen Hamilton ilkesi, integralin değişiminin
Gerçek hareketin, sistemi aynı hareketten aktaran herhangi bir başka sonsuz yakın harekete geçişinde sıfıra eşittir. başlangıç konumu aynı zaman diliminde aynı son konuma.
Jacobi ilkesi ise tam tersine, zamana bağlı olmayan bir hareket özelliğini ifade eder. Jacobi integrali ele alıyor
eylemin belirlenmesi. Kurduğu prensip, sistemin gerçek hareketini, sistemi aynı başlangıç konumundan aynı son konuma götüren herhangi bir başka sonsuz yakın hareketle karşılaştırdığımızda, bu integralin değişiminin sıfır olduğunu belirtir. Bu durumda, harcanan zaman dilimine dikkat etmeyiz, ancak denklem (1)'i, yani insan gücü denklemini, fiili hareketteki h sabitiyle aynı değerde gözlemleriz.
Bir ekstremum için bu gerekli koşul, genel olarak konuşursak, minimum integral (2)'ye yol açar, dolayısıyla en az eylem adı ilkesi. Minimum koşul en doğal olanı gibi görünmektedir, çünkü T'nin değeri esasen pozitiftir ve bu nedenle integral (2) mutlaka bir minimuma sahip olmalıdır. Minimumun varlığı, yalnızca zaman periyodunun yeterince küçük olması durumunda kesin olarak kanıtlanabilir. Bu konumun kanıtı Darboux'un yüzey teorisi üzerine ünlü dersinde bulunabilir. Ancak biz bunu burada sunmayacağız ve kendimizi koşulu türetmekle sınırlayacağız.
432. En az eylem ilkesinin kanıtı.
Şu tarihte: fiili hesaplama Hamilton teoreminin kanıtında bulunmayan bir zorlukla karşılaşıyoruz. t değişkeni artık varyasyonlardan bağımsız kalmıyor; dolayısıyla q i ve q'nun varyasyonları. t'nin değişimiyle denklem (1)'den çıkan karmaşık bir ilişkiyle ilişkilidir. Bu zorluğu aşmanın en basit yolu, bağımsız değişkeni değiştirerek, değerleri zamana bağlı olmayan sabit sınırlar arasında kalan birini seçmektir. Limitlerinin t'den bağımsız olduğu varsayılan yeni bir bağımsız değişken k olsun. Sistemi taşırken parametreler ve t bu değişkenin fonksiyonları olacaktır.
q asal sayılarına sahip harfler, q parametrelerinin zamana göre türevlerini göstersin.
Bağlantıların zamandan bağımsız olduğu varsayıldığından, Kartezyen koordinatlar x, y, z, q'nun zaman içermeyen fonksiyonlarıdır. Bu nedenle, bunların türevleri q'nun doğrusal homojen fonksiyonları olacak ve 7, katsayıları q'nun fonksiyonları olan q'nun homojen ikinci dereceden bir formu olacaktır. Sahibiz
Q'nun zamana göre türevlerini ayırt etmek için, parantez kullanarak (q), q'nun buna göre alınan ve buna uygun olarak yerleştirilen türevlerini belirtiriz.
o zaman sahip olacağız
ve yeni bağımsız değişken A ile ifade edilen integral (2) şu şekli alacaktır;
Türev, yaşayan kuvvet teoremi kullanılarak ortadan kaldırılabilir. Aslında insan gücünün integrali
Bu ifadeyi formülde yerine koyarsak integral (2)'yi forma indirgeyebiliriz.
Eylemi tanımlayan integral böylece son şeklini almıştır (3). İntegral fonksiyonu karekök itibaren ikinci dereceden form değerlerden
Hadi bunu gösterelim diferansiyel denklemlerİntegralin (3) ekstremleri tam olarak Lagrange denklemleridir. Ekstremum denklemleri genel formüller varyasyon hesabı şu şekilde olacaktır:
Denklemleri 2 ile çarpıp, içermediğini dikkate alarak kısmi türevler alalım, indeks yazmazsak, elde ederiz ki,
Bunlar bağımsız olarak ifade edilen ekstremum denklemleridir. değişken Görevşimdi bağımsız değişkene dönelim
G olduğundan homojen fonksiyon ikinci dereceden ve birinci dereceden homojen bir fonksiyon ise, o zaman elimizde
Öte yandan, canlı kuvvet teoremi ekstremum denklemlerindeki türevlerin faktörlerine uygulanabilir, bu da yukarıda gördüğümüz gibi ikameye yol açar.
Tüm ikamelerin sonucunda ekstremumların denklemleri şu şekle indirgenir:
Böylece Lagrange denklemlerine ulaştık.
433. İtici gücün olmadığı durum.
Durumunda itici güçler hayır, insan gücü için bir denklem var ve elimizde
İntegralin minimum olması koşulu bu durumda karşılık gelen değer -10'un en küçük olması gerektiğidir. Dolayısıyla, hiçbir itici güç olmadığında, içinde bulunulan tüm hareketler arasında insan gücü aynı kalıyor verilen değer Gerçek hareket, sistemi başlangıç konumundan son konumuna en kısa sürede götüren harekettir.
Sistem sabit bir yüzey üzerinde hareket eden bir noktaya indirgenirse, yüzey üzerinde aynı hızda gerçekleştirilen tüm hareketler arasındaki asıl hareket, noktanın başlangıç konumundan son konumuna hareket ettiği harekettir. en kısa
zaman dilimi. Başka bir deyişle, yüzeyde bir noktayı tanımlar en kısa çizgi iki konumu arasında, yani jeodezik bir çizgi.
434. Not.
En az eylem ilkesi, sistemin birkaç serbestlik derecesine sahip olduğunu varsayar; çünkü yalnızca bir serbestlik derecesi olsaydı, hareketi belirlemek için tek bir denklem yeterli olurdu. Bu durumda hareket tamamen yaşam kuvveti denklemiyle belirlenebildiğinden, o zaman gerçek hareket bu denklemi karşılayan tek hareket olacaktır ve bu nedenle başka herhangi bir hareketle karşılaştırılamaz.
Hareket yasasının en genel formülasyonu mekanik sistemler en az eylem ilkesi (veya Hamilton ilkesi) olarak adlandırılan ilke tarafından verilir. Bu prensibe göre her mekanik sistem belirli bir işlevle karakterize edilir.
veya, içinde kısa not, ve sistemin hareketi aşağıdaki koşulu sağlıyor.
Sistemin zaman anlarında, iki koordinat değeri (1) kümesiyle karakterize edilen belirli konumları işgal etmesine izin verin ve Daha sonra bu konumlar arasında sistem, integrali alacak şekilde hareket eder.
en azına sahipti olası anlam. L fonksiyonuna bu sistemin Lagrange fonksiyonu, integraline (2.1) ise eylem adı verilir.
Lagrange fonksiyonunun yalnızca q ve q'yu içermesi, ancak daha yüksek türevleri içermemesi, mekanik durumun tamamen koordinatların ve hızların belirtilmesiyle belirlendiğine dair yukarıdaki ifadenin bir ifadesidir.
Diferansiyel denklemlerin türetilmesine geçelim, sorunu çözmekİntegralin minimumunun belirlenmesi (2.1). Formüllerin yazımını kolaylaştırmak için öncelikle sistemin yalnızca bir serbestlik derecesine sahip olduğunu, dolayısıyla yalnızca bir fonksiyonun tanımlanması gerektiğini varsayalım.
S'nin minimuma sahip olduğu bir fonksiyon olsun. Bu, S biçimindeki herhangi bir fonksiyonla değiştirildiğinde S'nin arttığı anlamına gelir
'den 'e kadar olan tüm zaman aralığı boyunca küçük olan bir fonksiyon nerededir (buna fonksiyonun bir varyasyonu denir, çünkü karşılaştırılan tüm fonksiyonlar (2.2) aynı değerleri almak zorundadır, o zaman şöyle olmalıdır:
q ile değiştirildiğinde 5'teki değişiklik farkla verilir
Kuvvetlerdeki bu farklılığın (integrandda) genişlemesi birinci dereceden terimlerle başlar. Gerekli bir koşul S)'nin minimalliği bu terimler kümesinin yok olmasıdır; buna integralin ilk varyasyonu (veya genellikle sadece varyasyonu) denir. Böylece en az eylem ilkesi şu şekilde yazılabilir:
veya değiştirerek:
İkinci terimi parçalara ayırdığımızı ve şunu elde ettiğimizi not ederek:
Ancak (2.3) koşullarından dolayı bu ifadedeki ilk terim kaybolur. Geriye kalan, olması gereken integraldir. sıfıra eşit keyfi değerler için. Bu ancak integralin aynı şekilde ortadan kalkması durumunda mümkündür. Böylece denklemi elde ederiz
Birkaç serbestlik derecesinin mevcut olması durumunda, en az eylem ilkesi bağımsız olarak değişmelidir. çeşitli işlevler Açıkçası, daha sonra formun denklemlerini elde edeceğiz
Bunlar gerekli diferansiyel denklemlerdir; mekanikte bunlara Lagrange denklemleri denir. Belirli bir mekanik sistemin Lagrange fonksiyonu biliniyorsa, denklemler (2.6) ivmeler, hızlar ve koordinatlar arasındaki bağlantıyı kurar, yani sistemin hareket denklemlerini temsil ederler.
İLE matematiksel nokta Görünüşe göre, denklemler (2.6), bilinmeyen fonksiyonlar için ikinci dereceden denklemlerden oluşan bir sistem oluşturur. Genel çözüm böyle bir sistem keyfi sabitler içerir. Bunları belirlemek ve dolayısıyla tam çözünürlüklü Mekanik bir sistemin hareketi bilgi gerektirir başlangıç koşulları sistemin belirli bir andaki durumunu karakterize etme, örneğin bilgi başlangıç değerleri tüm koordinatlar ve hızlar.
Mekanik sistemin her biri kapalıyken Lagrange fonksiyonu olarak sırasıyla ? Daha sonra limitte, parçalar aralarındaki etkileşim ihmal edilebilecek kadar ayrıldığında, tüm sistemin Lagrange fonksiyonu limite doğru yönelir.
Lagrange fonksiyonunun toplanabilirlik özelliği, etkileşime girmeyen parçaların her birinin hareket denklemlerinin sistemin diğer kısımlarıyla ilgili miktarları içeremeyeceği gerçeğini ifade eder.
Mekanik bir sistemin Lagrange fonksiyonunun keyfi bir sabitle çarpılmasının hareket denklemlerini tek başına etkilemediği açıktır.
Görünüşe göre buradan önemli bir belirsizlik çıkabilir: Çeşitli izole mekanik sistemlerin Lagrange fonksiyonları herhangi bir farklı sabitle çarpılabilir. Toplama özelliği bu belirsizliği ortadan kaldırır - yalnızca tüm sistemlerin Lagrangian fonksiyonlarının aynı sabitle eşzamanlı çarpımına izin verir, bu da basitçe bu fiziksel miktarın ölçüm birimlerinin seçiminde doğal keyfiliğe iner; Bu konuya §4'te döneceğiz.
Aşağıdaki genel açıklamanın yapılması gerekmektedir. Herhangi bir koordinat ve zaman fonksiyonunun toplam zaman türevi ile birbirinden farklı olan iki fonksiyonu ele alalım.
Bu iki fonksiyon kullanılarak hesaplanan integraller (2.1) şu ilişkiyle ilişkilidir:
yani Koşul, koşulla örtüşecek ve hareket denklemlerinin biçimi değişmeden kalacak şekilde, eylem değiştiğinde kaybolan ek bir terimle birbirlerinden farklılık gösterirler.
Dolayısıyla Lagrange fonksiyonu yalnızca herhangi bir koordinat ve zaman fonksiyonunun toplam türevinin eklenmesiyle tanımlanır.
