Teorem 1. Üçgenlerin benzerliğinin ilk işareti. Bir üçgenin iki açısı sırasıyla diğerinin iki açısına eşitse, bu tür üçgenler benzerdir.
Kanıt. ABC ve $A_1B_1C_1$ üçgenleri $\angle A = \angle A_1 olsun; \angle B = \angle B_1$ ve dolayısıyla $\angle C = \angle C_1$ . $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ olduğunu kanıtlayalım (Şekil 1).
$BA_2$ segmentini B noktasından BA üzerinde çizelim, segmente eşit$A_1B_1$ ve $A_2$ noktasından AC çizgisine paralel bir çizgi çiziyoruz. Bu düz çizgi BC ile $C_2$ noktasında kesişecek. $A_1B_1C_1\text( ve )A_2BC_2$ üçgenleri eşittir: Yapı itibariyle $A_1B_1 = A_2B$, koşula göre $\angle B = \angle B_1$ ve $\angle A_1 = \angle A_2$, çünkü $\angle A_1 = \ koşula göre A$ açısı ve şu şekilde $\angle A = \angle A_2$ karşılık gelen açılar. By Lemma 1 o benzer üçgenler elimizde: $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ ve dolayısıyla $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ var. Teorem kanıtlandı.
İle benzer şema Teorem 2 ve 3 oluşturuldu.
Teorem 2. Üçgenlerin benzerliğinin ikinci işareti. Bir üçgenin iki kenarı sırasıyla iki kenarla orantılıysa diğerinin yanlarıüçgen ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse üçgenler benzerdir.
Teorem 3. Üçgenlerin benzerliğinin üçüncü işareti. Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarıyla orantılıysa bu üçgenler benzerdir.
Aşağıdakiler Teorem 1'den gelmektedir.
Sonuç 1. Benzer üçgenlerde, benzer kenarlar benzer yüksekliklerle, yani benzer kenarlara indirilen yüksekliklerle orantılıdır.
Örnek 1.İkisi benzer mi? eşkenar üçgen?
Çözüm. Eşkenar üçgen olduğundan her biri iç köşe 60°'ye eşitse (Sonuç 3), bu durumda iki eşkenar üçgen birinci kritere göre benzerdir.
Örnek 2. ABC ve $A_1B_1C_1$ üçgenlerinde $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m.$ Üçgenlerin bilinmeyen kenarlarını bulun.
Çözüm. Problemin durumuna göre tanımlanan üçgenler, benzerliğin ilk işaretine göre benzerdir. Üçgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkar: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Eşitlikte yerine koyma (1) problem koşullarından elde ettiğimiz veriler: $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2) $ $ Eşitlik (2 )'den iki oran yapalım $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \\ \text( buradan itibaren )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$
Örnek 3. ABC ve $A_1B_1C_1$ üçgenlerinin B ve $B_1$ açıları eşittir. AB ve BC kenarları ABC üçgeni 2,5 kez daha fazla taraf$A_1B_1$ ve $B_1C_1$ üçgeninin $A_1B_1C_1$ üçgeni. Toplamları 4,2 m ise AC ve $A_1C_1$'ı bulun.
Çözüm. Şekil 2'nin problemin koşullarını sağlamasına izin verin.
Sorun ifadesinden: $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m $$ Dolayısıyla $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Bu üçgenlerin benzerliğinden şu sonuç çıkar: $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2,5\text( , veya )AC = 2,5\bullet A_1C_1 $$ AC = 2,5 A 1 C 1 olduğundan, AC + A 1 C 1 = 2,5 A 1 C1 + A 1 C1 = 4,2, dolayısıyla A 1 C1 = 1,2 (m), AC = 3 (m).
Örnek 4. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 = 10,5 cm ise benzer midir? ?
Çözüm. Elimizde: $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5) (7.5) = \frac(1)(1.5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10.5) = \frac(1)(1.5) $$ Dolayısıyla üçüncü kritere göre üçgenler benzerdir .
Örnek 5. Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini ve bu noktada her kenarortayı tepe noktasından itibaren 2:1 oranında böldüğünü kanıtlayın.
Çözüm. Hadi düşünelim keyfi üçgen ABC. $AA_1\text( ve )BB_1$ kenarortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve çizelim orta çizgi Bu üçgenin $A_1B_1$ (Şekil 3).
$A_1B_1$ doğru parçası AB kenarına paraleldir, yani $\angle 1 = \angle2 \text( ve ) \angle 3 = \angle 4 $. Sonuç olarak, AOB ve $A_1OB_1$ üçgenleri iki açıdan benzerdir ve bu nedenle kenarları orantılıdır: $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1 ) $$
Ancak $AB = 2A_1B_1$ , yani $AO = 2A_1O$ ve $BO = 2B_1O$ .
Benzer şekilde, $BB_1\text( ve )CC_1) ortancalarının kesişme noktasının, tepe noktasından itibaren sayılarak her birini 2:1 oranında böldüğü ve dolayısıyla O noktasıyla çakıştığı kanıtlanmıştır.
Yani, ABC üçgeninin üç medyanı da O noktasında kesişir ve onu tepe noktasından sayarak 2:1 oranında böler.
Yorum. Daha önce üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiği belirtilmişti. dik açıortaylarÜçgenin kenarları bir noktada kesişiyor. Son ifadeye dayanarak üçgenin yüksekliklerinin (veya uzantılarının) bir noktada kesiştiği tespit edilmiştir. Bu üç noktaya ve kenarortayların kesiştiği noktaya üçgenin dikkat çekici noktaları denir.
Örnek 6. Projektör, 240 cm uzaklıkta bulunan 90 cm yüksekliğindeki A ekranını tam olarak aydınlatıyor. Projektör ayarları aynı kalırsa, 150 cm yüksekliğindeki B ekranı tamamen aydınlatılacak şekilde projektörden cm cinsinden minimum mesafe ne olmalıdır? değişmedi.
Videolu çözüm.
Verim
7. ve 8. sınıf öğrencileri “Nedir?” projesinin oluşturulmasında yer aldılar. işaretler daha önemli bir üçgenin eşitlikleri veya üçgenlerin benzerliği"
Kısa Açıklama iş.
Adaylıkta sunulan “Üçgenin eşitliğinin veya üçgenlerin benzerliğinin işaretleri hangisi daha önemli” projesi eğitim projeleri Projenin oluşturulmasında 7-8.sınıflardan “Dünyayı daha iyi bir yer yapalım” öğrencileri yer aldı. Her birinin iddialarını savunmak için kendi görevi vardı.
Çalışmanın amacı:
İnsan yaşamındaki eşitlik işaretlerini ve üçgenlerin benzerliğini ve bunların diğer nesnelerle olan bağlantılarını inceleme ihtiyacı kavramını tanımlayın.
Görevler Araştırma çalışması:
Tasarım ve araştırma faaliyetlerinde becerilerin oluşturulması.
Eşitlik işaretlerinin ortaya çıkışının ve üçgenlerdeki benzerliğin daha da ortaya çıkmasının açıklanması.
Kullanma yeteneğinin geliştirilmesi ek kaynaklar(İnternet kaynakları. Dizinler. Ansiklopediler.)
Resimlerle ve şu konuyla ilgili bir tartışma içeren bir sunum hazırlayın: Hangisi daha önemli: Bir üçgenin eşitlik işaretleri ve üçgenlerin benzerliği.
“Üçgenlerin eşitliği ve benzerliğine neden ihtiyacımız var ve bunlar insan yaşamında nasıl bir rol oynuyor?” sloganıyla 8-9. Sınıflar için gösterim sunumu.
Belediye bütçesi Eğitim kurumu
"Orlovskaya ikincil Kapsamlı okul
Gorodishchensky bölgesi Volgograd bölgesi»
Bölge yarışması
sosyal ve
eğitim projeleri
"Dünyayı daha iyi bir yer yapalım!"
« Bir üçgenin eşitliğinin daha önemli belirtileri nelerdir veya
üçgen benzerliği»
Öğrenciler tarafından tamamlandı
7. sınıf
Krivoguzova Maria
Karagiçeva Irina
8. sınıf
Kiseleva Yulia
Proje Müdürü:
Zaharova
Luiza Aleksandrovna
2015
Araştırmacı-tasarımcı pasaportu
p/p
Bir proje üzerinde çalışma aşamaları (araştırma)
Öğrenci etkinliği
Öğretmen faaliyetleri
Sorunun belirlenmesi.
Bu sorunla neden ilgilenmeye başladınız?
Öğretmenle projenin konusu hakkında tartışma, daha önemli olan üçgenin eşitliğinin veya üçgenlerin benzerliğinin işaretleridir.
Proje probleminin konusu hakkında öğrencilerle tartışma.
Projenin amaç ve hedeflerinin tanımlanması.
Çalışmanın amacı: Göz önünde bulundurulan konuların modelini ve bağımlılığını belirleyin.
Üçgenlerin eşitlik işaretlerini ve bunların insan yaşamındaki benzerliklerini ve diğer nesnelerle bağlantısını inceleme ihtiyacı kavramını tanımlayın.
Görevler:
Tasarım ve araştırma faaliyetlerinin oluşumu ve yeteneği.
İncelenen nesnenin önemini değerlendirin.
Üçgenlerde eşitlik ve benzerlik işaretlerinin ortaya çıkışının açıklanması.
Bir kişinin bunları hayatta nasıl uygulayabileceğini analiz edin.
Ek kaynakları kullanma yeteneğinin geliştirilmesi: İnternet kaynakları. Dizinler. Ansiklopediler
Projenin bölümleri için resimler hazırlayın.
8-9. Sınıflarda sunumların yapılması “Daha önemli olan üçgenin eşitliğinin veya üçgenlerin benzerliğinin işaretleridir”
Hedef belirlemede ve görevleri tanımlamada yardımcı olun.
Bağımsız etkinliklerin planlanması.
Bir eylem planının geliştirilmesi.
Bu nasıl yapılabilir?
Temel araştırma yöntemlerinin tanımı.
Ders kitapları, ansiklopediler ve İnternet kaynaklarıyla çalışmak.
Seçme gerekli malzeme bölümlere göre: inşaat, sanat, askeri işler.
Bir sonuca varın: Neden üçgenlerin eşitlik ve benzerlik işaretlerine ihtiyacımız var?
“Üçgenlerin eşitliğinin veya üçgenlerin benzerliğinin işaretleri daha önemlidir” şeklinde bir sunum oluşturun ve savunmasını yapın.
Öğrenciyi tanıştırın farklı yollarla bilişsel ve araştırma etkinliklerinin yöntemleri ve yöntemleri.
Kullanım Araştırma Yöntemleri. Bilgi toplanması.
Araştırma yürütmek:
Gerekli bilgilerin aranması ve işlenmesi.
Çeşitli kaynaklarla çalışmak.
Çizimlerin seçimi.
Bir sunum oluşturma.
Gözlemler, tavsiyeler, bilgisayar programlarıyla çalışma konusunda yardım.
Nihai sonuçların kaydedilmesi.
Korumanın kaydı:
Kategoriye göre savunma planı.
Sunum yapmak.
“Üçgenlerin eşitlik ve benzerlik işaretlerine neden ihtiyacımız var?” sayfasının tasarımı
Bitmiş çalışmanın tanıtılması.
Öğretmen “Geçmişe Yolculuk” projesinin tasarlanmasına yardımcı olur.
Araştırmanızın sunumu.
Etkinliklere katılım:
8-9. Sınıf geometri derslerindeIIyarı yıl.
Değerlendirme.
Çözüm.
Katılımcılar yaratımlarını kendileri analiz ederler. İşlerine özgüven verirler.
Sınıftaki öğrenciler görüşlerini şöyle ifade ediyorlar: “Üçgenlerde eşitlik ve benzerlik işaretlerine neden ihtiyacımız var?”
En önemli şey öğrencilerin ilgisini “Üçgenlerin eşitlik işaretleri ve benzerliği” konusuna çekmektir.
Toplu tartışma ve öz değerlendirme yoluyla değerlendirmeye katılım.
İçerik.
Giriiş. Projenin alaka düzeyi.
Benzerlikler.
Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.
Üçgenlerin kenar ve iki açılarının eşitlikleri.
Üçgenlerin iki açıdaki benzerliği.
İki kenar ve aralarındaki açıya göre üçgenlerin eşitliği.
Üçgenlerin benzerliği, bir üçgenin iki tarafının diğerine orantılı olması ve aralarındaki açının eşitliğidir.
Sert üçgen.
Bir üçgenin üç tarafının diğerine orantısının benzerliği.
Üçgenlerin eşitliğini üç açıdan test edin.
Çözüm.
Pratikte uygulama.
Binaların yapımında uygulama.
Üçgenlerde eşitlik ve benzerlik işaretleri.
Çözüm:
Proje koruması.
giriiş
Adım Maria Krivoguzova, 7. sınıf öğrencisiyim ve sizi üçgenlerin eşitlik işaretlerini ve tarihçesini tanıtacağım.
Adım Yulia Kiseleva, 8. sınıf öğrencisiyim ve size üçgenlerin benzerliğinin işaretlerini, oluşum tarihlerini ve bunları incelemenin gerekliliğini sunacağım.
Çalışmamızın temel amacı bu ifadelerin incelenmesinin önemini belirlemektir.
Başlangıç olarak üst sınıflarda bir anket yapmaya karar verdik. Çoktan seçmeli sorular şunlardı:
Ne eşitlik daha önemliüçgen mi yoksa benzer üçgen mi?
Üçgenlerin eşitliği;
Üçgenlerin benzerliği;
Her iki ifade de önemlidir.
Daha sonraki geometri çalışmalarınızda üçgenlerin eşitliği ve üçgenlerin benzerliği işaretlerini faydalı buldunuz mu?
Evet;
HAYIR.
Öğrenilen bu materyalin sizin için en yararlı olacağını nerede düşünüyorsunuz?
Bir yükseköğretim kurumunda okurken bunun bana faydalı olacağını düşünüyorum;
İleride çocuklarımın önünde aptal durumuna düşmemek için ders çalıştım.
Buna hiç ihtiyacım yok.
Bu nedenle, neyin daha önemli olduğunu kendimiz bulmaya karar verdik: üçgenlerin eşitliği veya benzerliği ve bunların insan yaşamında nasıl uygulandığı.
Alaka düzeyi.
Üçgen: Merkezi figür hepsi geometri. Sorunları çözerken çok çeşitli özellikleri kullanılır. Bir üçgenin özellikleri pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin mimaride; bir bina çizimi geliştirirken, gelecekteki daireleri planlarken; endüstride: çeşitli parçaların tasarımında, yapı malzemelerinin imalatında, deniz ve uçak gemilerinin yapımında; navigasyonda: doğru ve en doğru rotayı çizmek için; Astroloji ve astronomide kısacası üçgeni ve onun tüm özelliklerini bilmeniz yeterlidir. Biri en önemli özellikler bir çift üçgen için bunların eşitliğini veya benzerliğini belirleyin. İki üçgenin eşitliğinin kurulması konusunda bir takım problemlerin yanı sıra üçgenlerin benzerliği konusunda da birçok problem bulunmaktadır.
Üçgenlerin benzerliğinin tarihsel arka planı
Nesneleri düzlem üzerinde tasvir etme sanatı, Antik çağlardan beri insanoğlunun ilgisini çekmiş; insanlar kayalara, duvarlara, kaplara ve diğer ev eşyalarına çeşitli süs eşyaları, bitkiler ve hayvanlar çizmişlerdir. İnsanlar görüntünün doğru bir şekilde tasvir edilmesini sağlamak için çabaladılar doğal şekil ders.
Şekillerin benzerliği doktrini, ilişkiler ve oranlar teorisine dayanarak oluşturuldu. Antik Yunan M.Ö. 5-4. yüzyıllarda varlığını sürdürmekte ve günümüzde de gelişmektedir. Örneğin pek çok çocuk oyuncağı yetişkinlerin dünyasındaki nesnelere benzemekte, aynı tarzda ayakkabı ve kıyafetler üretilmektedir. çeşitli boyutlar. Bu örneklere daha da devam edilebilir. Sonuçta tüm insanlar birbirine benzer ve Kutsal Kitap'ın belirttiği gibi, Tanrı onları kendi benzeyişinde ve benzerliğinde yarattı.
Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri hakkında tarihsel bilgiler:
Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri uzun zamandır var hayati önem Geometride çok sayıda teoremin ispatı belirli üçgenlerin eşitliğinin ispatına indirgenmişti. Pisagorcular zaten üçgenlerin eşitliğinin işaretlerini kanıtlamakla meşguldü. Proclus'a göre Rodoslu Eudemus, Miletoslu Thales'e iki üçgenin eşitliğinin bir kanıtını atfeder. eşit taraf ve ona bitişik iki açı (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti).
Üçgenlerin yan ve iki komşu açılarının eşitliği.
Thales bu teoremi kıyıdan denizdeki gemilere olan mesafeyi belirlemek için kullandı. Thales'in bunu hangi yöntemle yaptığı tam olarak bilinmiyor. Yönteminin şu şekilde olduğuna inanılıyor: A kıyıda bir nokta, B denizde bir gemi olsun. AB mesafesini belirlemek için kıyıya keyfi uzunluktaki bir AC dikmesi geri getirilir.AB; V ters yön CE'yi geri yükleAC öyle ki D (AC'nin ortası), B ve E noktaları aynı düz çizgi üzerinde olsun. O zaman CE istenilen AB mesafesine eşit olacaktır. Kanıt, üçgenlerin eşitliğine ilişkin ikinci kritere dayanmaktadır (DC = DA; C = Bir; EDC = BDA dikey olarak).
Üçgenlerin iki açıdaki benzerliğini test edin.
Ancak sorunu çözmek uygun değildir; bunun için üçgenlerin benzerliğinin ilk işaretini kullanabilirsiniz. Ve işin tuhafı, yaratıcısı da Miletoslu Thales'ti.
Şöyle bir resim hayal edelim
Artık Mısır'dayız.
Ayağa kalkıp büyük piramide bakıyoruz
Boyuna çok hayranım.
Ve sonra Firavun bizzat bize bir görev veriyor
Piramidin yüksekliğini ölçmemiz gerekiyor.
Buna nasıl bir mezura takabilirim?
Sonuçta sonu görünmüyor bile.
Ama sorun yine de çözülebilir
Üçgenlerin benzerliğini hatırlamak.
Miletoslu Thales bize teklif etti
Okul çocukları için öğretilen bir örnek.
Gölgesine kadar bekledi
Boyuna tam olarak uyuyor.
Anlaşıldığı üzere, biraz sabır
Sorun kolay ve basit bir şekilde çözüldü.
Bu noktada teoremi uygulayarak
Piramidin yüksekliği gölgesine eşittir.
Üçgenlerin benzerliğini öğrenin
Ve bunu tembellik etmeden hayata uygulayın.
Bu benzerlik özelliğini kullanarak herhangi bir kulenin yüksekliğini ölçebiliyoruz ve sadece yüksekliği değil, çizimler üzerinde herhangi bir binayı da tasarlayabiliyoruz.
İki kenar ve aralarındaki açıya göre üçgenlerin eşitliği.
Bu işareti incelemek için almaya karar verdim pratik problem Gölün uzunluğunu hesaplamak için
Gölün uzunluğu ölçülürken yere A, B ve C noktaları işaretlendi ve ardından iki nokta daha işaretlendi.Dve K, böylece C noktası AK ve B doğru parçalarının ortasıdırD. ÖlçerekDK, 500 metreye ulaşarak gölün uzunluğunun 500 metre olduğu sonucuna vardı.
Bu ölçümleri yapmak için ne kadar boş alana ihtiyaç var ve üçgenlerin benzerliğiyle ilgili ikinci kriteri uygulamak daha kolay değil mi?
Üçgen benzerlikleri bir üçgenin iki tarafının diğerine oranı ve aralarındaki açının eşitliği ile.
Bir gölün uzunluğunu ölçerken: ayrıca yerde A, B ve C noktalarını ve ardından iki noktayı daha işaretleyebilirsiniz.Dve K, böylece ilişkiDC: C.B.VeKK: AC.eşit olduğu ortaya çıktı.
Üçgenlerin üç kenarının eşitliği. Sert üçgen
Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse bu üçgenler eştir.
Üçgenlerin eşitliğine ilişkin üçüncü kriterden, üçgenin katı bir şekil olduğu sonucu çıkar. Çünkü: iki ucu çiviyle tutturulmuş iki çıtayı (Şekil 1) hayal edebiliyoruz. Bu tasarım katı değildir; ancak çıtaların serbest uçlarını hareket ettirerek veya açarak aralarındaki açıyı değiştirebiliriz. Şimdi başka bir ray alalım ve uçlarını ilk iki çıtanın serbest uçlarıyla sabitleyelim (Şekil 2). Ortaya çıkan yapı - bir üçgen - zaten sert olacaktır. Herhangi iki tarafı hareket ettirmek veya birbirinden ayırmak imkansızdır, yani tek bir köşe değiştirilemez. Gerçekten de, eğer bu mümkün olsaydı, orijinaline eşit olmayan yeni bir üçgen elde ederdik. Ancak bu imkansızdır, çünkü üçgenlerin eşitliğinin üçüncü kriterine göre yeni üçgenin orijinal üçgene eşit olması gerekir.
Sert bir üçgeni birkaç kez artırmaya veya azaltmaya karar verirsek, kenarlarının her biri bu sayıda artacak veya azalacaktır ve böylece üçgenin üçüncü benzerlik işaretini elde etmiş oluruz: “Bir üçgenin üç kenarı orantılıysa başka bir üçgenin üç kenarı varsa bu üçgenler benzerdir.”
Bir üçgenin üç kenarı bir ise
Diğerinin üç tarafıyla orantılı,
O zaman bu üçgenler kesinlikle benzer olacak
Biri küçük, diğeri büyük olsa bile.
Üçgenlerin eşit olduğunu gösteren bir işaret yoktur. Bu, üçgen benzerliğinin tanımının bir parçasıdır. “Birinin açıları sırasıyla diğerinin açılarına eşitse ve karşılık gelen kenarlar orantılıysa.”
Çözüm.
Tartışmamız uzun ve ısrarlıydı: hangisi daha önemli: üçgenlerin eşitliğinin veya benzerliğinin işaretleri. Biz yaptık sonraki çıktı– Üçgenlerde eşitlik belirtisi olmasaydı benzerlik olmazdı. Antik Yunan filozofu ve matematikçi Milet'li Thales, yalnızca üçgenlerin eşitliğinin işaretlerinden birini değil, aynı zamanda benzerliğin ana işaretlerinden birini de kanıtlayan bu sonucu çıkarmamıza yardımcı oldu.
“Doğa, yasalarını matematik dilinde formüle eder” G. Galileo.
Günümüzde bir binanın yüksekliğini ölçmek veya mesafeyi bulmak için Miletoslu Thales'in parlak fikirlerinden vazgeçemeyiz.
Bir bina inşa edilmeden önce onun küçültülmüş bir modeli yapılır ve ancak ondan sonra gerçek boyutuna getirilir.
Proje koruması:
Geometri dersleri 8, 9, 10, 11. sınıflar.
“Doğa, yasalarını matematik dilinde formüle eder” G. Galileo
“Dünyayı daha iyi bir yer yapalım” yarışmasında projenin savunulması
Projenin yazımında kullanılan kaynaklar.
Matematikte Ansiklopedi "Avanta". 2004
Vikipedi özgür ansiklopedidir. Tüm şiirlerin yazarı Sus R.S.
Yüksekliklerin her biri hem orta hem de ortancadır.
Sınırlandırılmış ve yazılı dairelerin merkezleri çakışmaktadır.
SAĞ ÜÇGEN
Tanım. Bir üçgen dik açıya sahipse dik açılı olarak adlandırılır.
Özellikler
Bir dik üçgende karşılıklı iki tane vardır dik kenarlar bacaklar denir; üçüncü kenarına hipotenüs denir. Dik ve eğik çizgilerin özelliklerine göre hipotenüs bacakların her birinden daha uzundur (ancak toplamlarından daha küçüktür).
Bir dik üçgenin iki dar açısının toplamı bir dik açıya eşittir.
Bir dik üçgenin iki yüksekliği bacaklarıyla çakışmaktadır. Bu nedenle dört kişiden biri harika noktalar zirvelere ulaşıyor dik açıüçgen.
Bir dik üçgenin çevrel merkezi hipotenüsün ortasında yer alır.
Dik açının köşesinden hipotenüse çizilen bir dik üçgenin ortancası, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapıdır.
Pisagor teoremi- Dik bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri.
Geometrik formülasyon . İÇİNDE dik üçgen Hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir.
Cebirsel formülasyon . Bir dik üçgende hipotenüsün karesi toplamına eşit bacak kareleri. Yani, üçgenin hipotenüs uzunluğunu c ile ve bacaklarının uzunluklarını a ve b ile belirtmek: a 2 + b 2 = c 2.
Converse Pisagor teoremi . a2 + b2 = c2 olacak şekilde a, b ve c pozitif sayılarının her üçlüsü için, kenarları a ve b, hipotenüsü c olan bir dik üçgen vardır.
Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:
bacak ve hipotenüs boyunca;
iki ayak üzerinde;
bacak boyunca ve dar açı;
hipotenüs ve dar açı boyunca.
Üçgenlerin eşitlik işaretleri ve benzerliği Üçgenlerin eşitlik işaretleri
Üçgenlerin eşitliğinin ilk işareti.
Bir üçgenin iki tarafı ve aralarındaki açı, sırasıyla başka bir üçgenin iki tarafına ve aralarındaki açıya eşitse, bu tür üçgenler uyumludur (bkz. Şekil 12).
İki tarafta ΔABC=Δ DEF ve aralarındaki açı
Üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti.
e 
Bir üçgenin bir kenarı ve komşu açıları sırasıyla başka bir üçgenin yan ve komşu açılarına eşitse, bu tür üçgenler eştir (bkz. Şekil 13).
ΔABC=ΔDEF yan ve bitişik açılar boyunca.
Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti
Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarına eşitse bu üçgenler eştir. (bkz. Şekil 14
Üç tarafta ΔABC=ΔDEF.
Üçgenlerin benzerlik belirtileri
İlk işaret
Bir üçgenin iki açısı sırasıyla başka bir üçgenin iki açısına eşitse iki üçgen benzerdir (bkz. Şekil 15).
İkinci işaret
D 
Bir üçgenin iki kenarı diğerinin iki kenarıyla orantılıysa ve bu kenarların bu üçgenlerde oluşturduğu açılar eşitse, üçgenin iki kenarı benzerdir (bkz. Şekil 16).
Üçüncü işaret
Bir üçgenin üç kenarı diğer üçgenin kenarlarıyla orantılıysa iki üçgen benzerdir (bkz. Şekil 17).
Bir üçgenin hipotenüsü ve kenarı diğer üçgenin hipotenüsü ve kenarı ile orantılıysa, dik üçgenler benzerdir.
Yani bu bir tarafta bir üçgen.
Üçgen Bilmeceler
Öte yandan üçgen birçok medeniyette bulunan gizli bir okült işarettir. Üç açı, üç yüz - sihirli sayı 3. Üçgenin gizli yazılarda, sembollerde ve pentagramlarda bulunması şaşırtıcı değil. Ve en gizemli yerlerin ve binaların da üçgenlerle ilişkilendirilebilmesi hiç de şaşırtıcı değil. Örneğin, Mısır piramitleri(Mısır'da üçgen, manevi irade, sevgi-sezgi ve insanın yüksek aklını, yani kişiliğini ve ruhunu sembolize ediyordu.) Veya Davut Yıldızı (iki üçgenin üst üste gelmesiyle oluşan bir Yahudi sembolü). Ve ayrıca Bermuda Şeytan Üçgeni.
Platon genel olarak "Yüzeyin tamamının üçgenlerden oluştuğunu" savundu. Aslında üçgenler her yerde ve her yerde kullanılır. Paleolitik ve Neolitik çağlardan bu yana tarihi Sanat Eşkenar üçgenin görüntüleri çok geniş bir alana dağılmıştır. İlkel insanlar küresel kapları yuvarlak eşkenar üçgenlerden oluşan bir ağla kapladılar. Mimaride ve inşaatta (piramitler vb.), kıyafet ve mücevher parçalarında sembolik bir üçgen görüntüsü vardır. Kuzey Amerika Kızılderili kabilelerinin liderleri göğüslerinde bir güç sembolü taşıyorlardı: eşkenar üçgen. Afrika'da Tuareg kadınları da kendilerini büyük eşkenar üçgen levhalarla süslediler.
En gizemli ve ilginç üçgenlerden biri - “ Bermuda Şeytan Üçgeni". Bu yere anormal bölge de denir.
Pirinç. 18
Aslında burası geleneksel olarak gezegendeki en korkunç, en ürkütücü yer olarak kabul edilen bir yer. Pek çok gemi ve uçak, çoğu 1945'ten sonra iz bırakmadan burada ortadan kayboldu. Burada binden fazla insan öldü. Ancak arama sırasında tek bir ceset veya enkaz bulunamadı.
Şafak okyanusun üzerinde yüzüyordu.
Gökyüzü parlıyor, maviye dönüyordu.
Felucca* Bermuda'ya doğru gidiyordu, hayır
Bir bilmeceden daha gizemli, daha kötü.
Bermuda'nın merkez üssüne nüfuz ediyoruz.
sisin içinden bir gül görüyoruz.
İçinde gemilerin gölgeleri yüzüyor,
Kaptansız "Mary Celeste".
Cennetin veya cehennemin kapısı, bilmiyoruz
ama şimdi oraya gireceğiz.
Işıma yayılıyor, yanıyoruz...
Bizi kötü hatırlama.
Bermuda Şeytan Üçgeni'nin net sınırları yoktur; kesin tanımı haritada bulunamaz. Farklı bilim adamları, konumunu kendi takdirlerine göre belirler. En yaygın tanım Atlantik Okyanusu'nda Bermuda, Porto Riko ve Miami arasındaki alandır. Toplam alan 1 milyon kilometrekaredir. Ancak bu bölgenin adı da şartlıdır, dolayısıyla “Bermuda Şeytan Üçgeni” adı coğrafi değildir.
Kadim insanlar, Dünya'nın düzenli üçgenlere bölündüğünü söylüyorlardı ve Platon, "Yukarıdan bakıldığında Dünya, 12 parça deriden dikilmiş bir top gibi görünüyor", yani. 12 pentagram.
Sırasıyla her pentagram büyük üçgenlere ve daha küçük üçgenlere bölünür. Böylece Dünya yüzeyi, içinde “enerji düğümlerinin” oluştuğu üçgenlerin köşelerinin kesişme noktası olarak karşımıza çıkıyor. Bu fikir, medeniyetlerin “enerji düğümlerinde” geliştiğini söyleyen Rus araştırmacılar N. Goncharov, V. Morozov ve V. tarafından geliştirildi. Üçgenlerin köşelerinin kesişme noktalarında özellikle zengin mineral rezervleri oluşur; maddi nesneler bazen bazı “düğümlerde” (Bermuda Şeytan Üçgeni) kaybolur.
Üçgen ile ilgili şiirler
Ah, üçgen, ne kadar güzelsin.
Ne kadar yakışıklı ve zengin
Çünkü senin üç tarafın var.
Üç köşe, üç köşe.
Yalnız olabilirsiniz:
Hem ikizkenar hem de eşkenar,
Ve dikdörtgen...
Çünkü sen güçlüsün...
...Teoremler sizin tarafınızdan değerlendirilir,
Üç eşitlik işareti sana ithaf edildi.
Sonuçta, eşit olduğunuzu kanıtlamak için,
Çaba göstermeniz gerekiyor.
Çizilen medyan için bile
Bir ikizkenar üçgenin tabanına
Yükseklik ve açıortaydır.
Ve herkes üçgenin içinde ne olduğunu bilmiyor
Medyanlar, yükseklikler, açıortaylar
Bir noktada kesişin.
Ve Büyük Üçgen olmasaydı ne bilirdik!
Çünkü bir masa bile iki ayak üzerinde duramaz.
Ayette üçgene övgü.
Herkes tarafından tanınıyorsun
Sen olmadan hiçbir yere yapamam
sen çok harikasın
Her yerde sana çok ihtiyaç var.
Siz Geometrik figürlersiniz,
Üçgenler benim.
“Üçgen, üçgen.”
Rakamların en iyisi
Üç noktadan doğdun
Ve güzel üç düz çizgi.
Ama sakın düşünmeyin arkadaşlar
Üçgen basit değil...
O da doğrudan olabilir
İkizkenar...herhangi biri!!!
Medyan hakkında ve...
Median, Yana'nın faresidir.
Kuyruğunu tepeye asarak,
Dibe doğru indim
Tam ortada!
Yükseklik dikey olarak bir sütun gibi duruyor.
Hatta evi iyice ölçecek.
Bisector - Buna neden böyle dediklerini anlamıyorum...
sırf çünkü
Köşelerde dolaşıyor
Ve köşeyi ikiye böler.
Bisector bir kedi
Fareyi köşelerden yakalayan,
Ve köşeyi ikiye bölüyor!
Medyan bir holigan
Eşyaları köşelere atın ve
Kenarları ikiye böler
Bir üçgenin içinde duruyor
Doğrudan - her zamanki gibi.
Yükseklik yüksekliği!
Yukarıdan bize bakıyor:
“Ortancayla karıştırmayın,
Aramızda fark var."
Medyan bir asma gibidir,
Tek bir fark var -
Yukarıdan ortasına
Asla kaçırmaz.
Üçgenlerin işaretlerine övgü
Ah üçgenler, çok güzelsin
Üç burcunuz bizim için zor değil.
İşte birincisi:
İki kenar ve aralarındaki açı ise
Bir üçgen eşittir
Başka bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı,
O zaman bu üçgenler eşittir.
Artık akıllı ol...
Bir ve iki rakamlarını toplayın
"Yan" ve "köşe" kelimelerine
Ve bir anda gözlerinin önünde
İkinci işaret ortaya çıkacak.
Ve üçüncü işaretin köşesi yok,
Ama sadece üç tarafı eşittir.
Üçüncü işaret en kolayıdır.
Peki, sen benim tarafımdan cesaretlendiriliyorsun
Mutlaka iyice düşünün.
Siz arkadaşsınız, şimdi hatırlayın
Bunlar üçgenlerin eşitliğinin işaretleridir.
