2., 5.
,

3.
, 6.
.

1-3 integrallerinde sen kabul etmek . Ondan sonra N-formül (19)'un çoklu uygulanmasıyla tablo integrallerinden birine ulaşıyoruz

,
,
.

4-6 integrallerinde türev alırken aşkın faktörü basitleştirin
,
veya
olarak alınması gereken sen.

Aşağıdaki integralleri hesaplayın.

Örnek 7.

Örnek 8.

İntegralleri kendilerine indirgemek

Eğer integral
şu forma sahiptir:

,
,
ve benzeri,

daha sonra iki kez parça parça integral aldıktan sonra orijinal integrali içeren bir ifade elde ederiz :

Nerede
- biraz sabit.

Ortaya çıkan denklemin çözümü , orijinal integrali hesaplamak için bir formül elde ederiz:

Parçalara göre entegrasyon yönteminin uygulanmasına " integrali kendisine getirmek».

Örnek 9.İntegrali hesapla
.

Sağ tarafta orijinal integral var . Şuraya aktarıyorum: Sol Taraf, şunu elde ederiz:

Örnek 10.İntegrali hesapla
.

4.5. En basit rasyonel rasyonel kesirlerin integrali

Tanım.En basit uygun kesirler BEN , II Ve III türleri Aşağıdaki kesirler denir:

BEN. ;

II.
; (
- pozitif tamsayı);

III.
; (paydanın kökleri karmaşıktır, yani:
.

Basit kesirlerin integrallerini ele alalım.

BEN.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Kesrin payını paydaki terimi izole edecek şekilde dönüştürüyoruz
, paydanın türevine eşittir.

Elde edilen iki integralden ilkini ele alalım ve onda bir değişiklik yapalım:

İkinci integralde paydayı tam kareye ekliyoruz:

Son olarak, üçüncü türden bir kesrin integrali şuna eşittir:

=
+
. (22)

Böylece, tip I'in en basit kesirlerinin integrali logaritmalarla, tip II - rasyonel fonksiyonlarla, tip III - logaritmalar ve arktanjantlarla ifade edilir.

4.6.Kesirli-rasyonel fonksiyonların integrali

Temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilen bir integrale sahip fonksiyon sınıflarından biri, cebirsel rasyonel fonksiyonlar sınıfıdır, yani bir argüman üzerinde sonlu sayıda cebirsel işlemden kaynaklanan fonksiyonlardır.

Her rasyonel fonksiyon
iki polinomun oranı olarak temsil edilebilir
Ve
:

. (23)

Polinomların ortak köklerinin olmadığını varsayacağız.

(23) formunun bir kısmına denir doğru Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani, M< N. Aksi takdirde - yanlış.

Kesir uygun değilse, payı paydaya bölerek (polinomları bölme kuralına göre), kesri bir polinom ile uygun bir kesrin toplamı olarak sunarız:

, (24)

Nerede
- polinom, - uygun kesir ve polinomun derecesi
- dereceden yüksek değil ( N-1).

Örnek.

Bir polinomun entegrasyonu tablo integrallerinin toplamına indirgendiğinden güç fonksiyonu O halde rasyonel kesirlerin integralini almanın asıl zorluğu uygun rasyonel kesirlerin integralini almaktır.

Cebirde her uygun kesrin olduğu kanıtlanmıştır. yukarıdakilerin toplamına ayrışır tek hücreli hayvanşekli paydanın kökleri tarafından belirlenen kesirler
.

Üç özel durumu ele alalım. Burada ve ayrıca katsayının olduğunu varsayacağız. paydanın en yüksek derecesinde
bire eşit =1, yaniindirgenmiş polinom .

Dava 1. Paydanın kökleri, yani kökler
denklemler
=0, geçerli ve farklıdır. Daha sonra paydayı doğrusal faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz:

ve uygun kesir, I-gotipinin en basit kesirlerine ayrıştırılır:

, (26)

Nerede
- bazı sabit sayılar belirlenemeyen katsayılar yöntemiyle bulunur.

Bunu yapmak için ihtiyacınız var:

1. Kurşun Sağ Taraf(26)'nın ortak bir paydaya genişletilmesi.

2. Sol ve sağ tarafların payındaki aynı polinomların aynı güçlerinin katsayılarını eşitleyin. Belirlemek için bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz
.

3. Ortaya çıkan sistemi çözün ve belirlenemeyen katsayıları bulun
.

Daha sonra kesirli-rasyonel fonksiyonun (26) integrali şu şekilde olacaktır: toplamına eşit formül (20) kullanılarak hesaplanan, tip I'in en basit kesirlerinin integralleri.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm. Paydayı Vieta teoremini kullanarak çarpanlara ayıralım:

Daha sonra integral fonksiyonu basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır:

Bunu bulmak için üç denklemli bir sistem yazalım.
X sol ve sağ tarafta:

Belirsiz katsayıları bulmanın daha basit bir yolunu gösterelim. kısmi değer yöntemi.

Eşitlik varsayalım (27)
aldık
, Neresi
. İnanmak
aldık
. Sonunda inanmak
aldık
.

Durum 2. Paydanın kökü
geçerlidir, ancak aralarında birden fazla (eşit) kök vardır. Daha sonra paydayı, karşılık gelen kökün çokluğuna göre, çarpıma dahil edilen doğrusal faktörlerin çarpımı olarak temsil ederiz:

Nerede
.

Uygun kesir I ve II. tip kesirlerin toplamı ayrıştırılacaktır. Örneğin, - çokluğun paydasının kökü k ve diğer herkes ( N- k) kökleri farklıdır.

Daha sonra genişleme şöyle görünecek:

Aynı şekilde başka birden fazla kök varsa. Çoklu olmayan kökler için genişleme (28), birinci türün en basit kesirlerini içerir.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm. Kesri, birinci ve ikinci türün katsayıları belirlenmemiş en basit kesirlerin toplamı olarak hayal edelim:

Sağ tarafı ortak bir paydaya getirelim ve sol ve sağ tarafların paylarındaki polinomları eşitleyelim:

Sağ tarafta benzerlerini sunuyoruz eşit derece X:

Bulmak için dört denklemden oluşan bir sistem yazalım.
Ve . Bunu yapmak için katsayıları aynı güçlere eşitliyoruz X sol ve sağ tarafta

Durum 3. Paydanın kökleri arasında
karmaşık tek kökler vardır. Yani paydanın genişlemesi ikinci dereceden faktörleri içerir
, gerçek doğrusal faktörlere ayrıştırılamazlar ve tekrarlanmazlar.

Daha sonra, bir kesirin ayrıştırılmasında, bu tür faktörlerin her biri, tip III'ün en basit kesrine karşılık gelecektir. Doğrusal faktörler, tip I ve II'nin en basit kesirlerine karşılık gelir.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm.
.

1. ve 2. sınıf öğrencilerine rasyonel kesirleri de içeren fonksiyonların integralini konu alan bir test verilmektedir. İntegral örnekleri esas olarak matematikçilerin, ekonomistlerin ve istatistikçilerin ilgisini çekecektir. Bu örnekler soruldu deneme çalışması LNU'da onun adıyla anılıyor. Ben Frank. Koşullar aşağıdaki örnekler"İntegral bulun" veya "İntegral hesaplayın", böylece yerden ve zamandan tasarruf etmek için bunlar yazılmamıştır.

Örnek 15. Kesirli-rasyonel fonksiyonların integraline geldik. Onlar işgal etti özel mekanİntegraller arasında, çünkü hesaplamak ve öğretmenlerin yalnızca integralle ilgili değil, bilginizi test etmelerine yardımcı olmak da çok zaman gerektirir. İntegralin altındaki fonksiyonu basitleştirmek için payda, integralin altındaki fonksiyonu iki basit ifadeye bölmemizi sağlayacak bir ifade ekleyip çıkarıyoruz.

Sonuç olarak, oldukça hızlı bir şekilde bir integral buluyoruz, ikincisinde kesri temel kesirlerin toplamına genişletmemiz gerekiyor

Ortak bir paydaya indirgendiğinde aşağıdaki sayıları elde ederiz

Ardından parantezleri açın ve gruplayın

Sağdaki ve soldaki “x”in aynı kuvvetleri için değeri eşitliyoruz. Sonuç olarak üçlü bir sisteme ulaşıyoruz. doğrusal denklemler(SLAU) üç bilinmeyenli.

Denklem sistemlerinin nasıl çözüleceği sitedeki diğer makalelerde anlatılmaktadır. Sonunda alacaksın sonraki çözüm SLAU
bir=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kesirlerin en basit olanlara genişletilmesinde sabitleri değiştiririz ve entegrasyonu gerçekleştiririz

Bu, örneği sonlandırıyor.

Örnek 16. Yine kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulmamız gerekiyor. Başlamak kübik denklem Kesirin paydasında bulunan, onu basit faktörlere ayıracağız

Daha sonra kesri en basit formlarına ayırıyoruz.

Hadi bir araya getirelim Sağ Taraf ortak paydaya gidin ve paydaki parantezleri açın.

Değişkenin aynı dereceleri için katsayıları eşitliyoruz. Üç bilinmeyenle tekrar SLAE'ye gelelim

Hadi değiştirelim A, B, C değerleri genişlemeye girin ve integrali hesaplayın

İlk iki terim logaritmayı verir, sonuncusunu bulmak da kolaydır.

Örnek 17. Kesirli rasyonel fonksiyonun paydasında küp farkı var. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak bunu ikiye ayırıyoruz asal faktörler

Daha fazla alınan kesirli fonksiyon tutarı yaz basit kesirler ve onları altına getir ortak payda

Payda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

Ondan 3 bilinmeyeni hesaplamak için bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz

bir=1/3; B=-1/3; C=1/3.
A, B, C'yi formülde yerine koyuyoruz ve integral alıyoruz. Sonuç olarak şu cevaba ulaşıyoruz:

Burada ikinci integralin payı logaritmaya dönüştürülür ve integralin altındaki geri kalan arktanjantı verir.
Benzer örneklerİnternette rasyonel kesirlerin integrali hakkında çok şey var. Benzer örnekleri aşağıdaki malzemelerden bulabilirsiniz.

“Tıpkı bir sanatçı veya şair gibi bir matematikçi de modeller yaratır. Ve eğer kalıpları daha istikrarlıysa, bunun nedeni sadece fikirlerden oluşmasıdır... Bir matematikçinin desenleri, tıpkı bir sanatçının ya da şairin desenleri gibi, güzel olmalı; Renkler veya kelimeler gibi fikirlerin de birbiriyle uyumlu olması gerekir. Güzellik ilk şart: Dünyada çirkin matematiğe yer yok».

G.H.Hardy

İlk bölümde oldukça ilkellerin var olduğuna dikkat çekildi. basit işlevler artık ifade edilemeyen temel işlevler. Bu bağlamda, antitürevlerinin temel fonksiyonlar olduğunu doğru bir şekilde söyleyebileceğimiz fonksiyon sınıfları çok büyük pratik önem kazanır. Bu fonksiyon sınıfı şunları içerir: rasyonel fonksiyonlar, ikinin oranını temsil eden cebirsel polinomlar. Birçok problem rasyonel kesirlerin entegrasyonuna yol açmaktadır. Bu nedenle bu tür fonksiyonları entegre edebilmek çok önemlidir.

2.1.1. Kesirli rasyonel fonksiyonlar

Rasyonel kesir(veya kesirli rasyonel fonksiyon) iki cebirsel polinomun ilişkisi olarak adlandırılır:

nerede ve polinomlardır.

Bunu hatırlayalım polinom (polinom, tüm rasyonel fonksiyon ) Nderece formun bir fonksiyonu denir

Nerede – gerçek sayılar. Örneğin,

– birinci dereceden polinom;

– dördüncü dereceden polinom vb.

Rasyonel kesir (2.1.1) denir doğru, eğer derece, dereceden düşükse, yani. N<M aksi halde kesir denir yanlış.

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinomun (tam kısım) ve uygun bir kesirin (kesirli kısım) toplamı olarak temsil edilebilir. Uygunsuz bir kesrin tam ve kesirli kısımlarının ayrılması, polinomları bir "köşe" ile bölme kuralına göre yapılabilir.

Örnek 2.1.1. Aşağıdaki uygunsuz rasyonel kesirlerin tam ve kesirli kısımlarını tanımlayın:

A) , B) .

Çözüm . a) “Köşe” bölme algoritmasını kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece elde ederiz

b) Burada ayrıca “köşe” bölme algoritmasını kullanıyoruz:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Özetleyelim. Genel durumda, rasyonel bir kesirin belirsiz integrali, polinomun ve uygun rasyonel kesrin integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir. Polinomların ters türevlerini bulmak zor değildir. Bu nedenle, aşağıda esas olarak uygun rasyonel kesirleri ele alacağız.

2.1.2. En basit rasyonel kesirler ve bunların entegrasyonu

Uygun rasyonel kesirler arasında dört tür vardır ve bunlar şöyle sınıflandırılır: en basit (temel) rasyonel kesirler:

3) ,

4) ,

bir tam sayı nerede, , yani ikinci dereceden üç terimli gerçek kökleri yoktur.

1. ve 2. türdeki basit kesirlerin integralini almak büyük zorluklar yaratmaz:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Şimdi 3. türdeki basit kesirlerin integralini ele alalım, ancak 4. türdeki kesirleri dikkate almayacağız.

Formun integralleriyle başlayalım

Bu integral genellikle paydanın tam karesinin ayrılmasıyla hesaplanır. Sonuç, aşağıdaki formun bir tablo integralidir

veya .

Örnek 2.1.2.İntegralleri bulun:

A) , B) .

Çözüm . a) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçin:

Buradan buluyoruz

b) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kareyi izole ederek şunu elde ederiz:

Böylece,

İntegrali bulmak için

paydanın türevini payda izole edebilir ve integrali iki integralin toplamına genişletebilirsiniz: bunlardan ilki yerine koyma yoluyla görünüşe geliyor

ve ikincisi - yukarıda tartışılana.

Örnek 2.1.3.İntegralleri bulun:

Çözüm . dikkat et ki . Paydanın türevini payda izole edelim:

İlk integral ikame kullanılarak hesaplanır :

İkinci integralde paydadaki tam kareyi seçiyoruz

Sonunda elde ettik

2.1.3. Uygun rasyonel kesir açılımı
basit kesirlerin toplamı için

Herhangi bir uygun rasyonel kesir basit kesirlerin toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir. Bunu yapmak için paydanın çarpanlara ayrılması gerekir. Yüksek cebirden, gerçek katsayılı her polinomun

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali.
Belirsiz katsayı yöntemi

Kesirlerin integralini almaya devam ediyoruz. Derste bazı kesir türlerinin integrallerine zaten bakmıştık ve bu ders bir anlamda devamı sayılabilir. Materyali başarılı bir şekilde anlamak için temel entegrasyon becerileri gereklidir, bu nedenle integralleri çalışmaya yeni başladıysanız, yani yeni başlıyorsanız, o zaman makaleyle başlamanız gerekir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri.

Garip bir şekilde, artık integralleri bulmakla değil, lineer denklem sistemlerini çözmekle meşgul olacağız. Bu konuda acilen Derse katılmanızı tavsiye ederim. Yani yerine koyma yöntemleri (“okul” yöntemi ve sistem denklemlerinin dönem dönem eklenmesi (çıkarılması) yöntemi) konusunda bilgili olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel fonksiyon nedir? Basit bir deyişle, kesirli-rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımlarını içeren bir kesirdir. Üstelik kesirler makalede tartışılanlardan daha karmaşıktır. Bazı Kesirlerin İntegrali.

Uygun Kesirli-Rasyonel Fonksiyonun İntegrasyonu

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integralini çözmek için hemen bir örnek ve tipik bir algoritma.

örnek 1

Aşama 1. Kesirli rasyonel bir fonksiyonun integralini çözerken HER ZAMAN yaptığımız ilk şey aşağıdaki soruyu açıklığa kavuşturmaktır: kesir doğru mu? Bu adım sözlü olarak gerçekleştirilir ve şimdi nasıl olduğunu açıklayacağım:

İlk önce paya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece polinom:

Payın baş kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bakıyoruz ve öğreniyoruz son derece payda. Bunun en açık yolu parantezleri açmak ve benzer terimleri getirmektir, ancak bunu daha basit bir şekilde yapabilirsiniz. her biri parantez içindeki en yüksek dereceyi bulun

ve zihinsel olarak çarpın: - böylece paydanın en yüksek derecesi üçe eşittir. Parantezleri gerçekten açarsak üçten büyük bir derece elde edemeyeceğimiz çok açık.

Çözüm: Payın ana derecesi KESİNLİKLE paydanın en büyük kuvvetinden küçüktür, bu da kesrin uygun olduğu anlamına gelir.

Bu örnekte pay polinomu 3, 4, 5 vb. içeriyorsa derece, o zaman kesir şöyle olur yanlış.

Şimdi yalnızca doğru kesirli rasyonel fonksiyonları ele alacağız. Payın derecesinin paydanın derecesine eşit veya büyük olması durumu ders sonunda tartışılacaktır.

Adım 2. Paydayı çarpanlarına ayıralım. Paydamıza bakalım:

Genel olarak konuşursak, bu zaten faktörlerin bir ürünüdür, ancak yine de kendimize soruyoruz: Başka bir şeyi genişletmek mümkün mü? İşkencenin nesnesi şüphesiz kare üçlü olacaktır. İkinci dereceden denklemin çözümü:

Diskriminant sıfırdan büyüktür, bu da trinomialin gerçekten çarpanlara ayrılabileceği anlamına gelir:

Genel kural: Paydadaki HER ŞEY çarpanlara ayrılabilir - çarpanlara ayrılabilir

Bir çözüm formüle etmeye başlayalım:

Aşama 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali basit (temel) kesirlerin toplamına genişletiyoruz. Şimdi daha net olacak.

İntegral fonksiyonumuza bakalım:

Ve biliyorsunuz, bir şekilde, büyük kesirimizi birkaç küçük kesire dönüştürmenin güzel olacağına dair sezgisel bir düşünce ortaya çıkıyor. Örneğin şöyle:

Soru ortaya çıkıyor, bunu yapmak mümkün mü? Rahat bir nefes alalım, matematiksel analizin ilgili teoremi şöyle diyor: MÜMKÜN. Böyle bir ayrışma mevcuttur ve benzersizdir.

Sadece bir yakalama var, ihtimaller Hoşçakal Bilmiyoruz, dolayısıyla adı belirsiz katsayılar yöntemi.

Tahmin ettiğiniz gibi sonraki vücut hareketleri de bu şekilde, kıkırdamayın! sadece onları TANIMAYA, neye eşit olduklarını bulmaya yönelik olacaktır.

Dikkatli olun, yalnızca bir kez ayrıntılı olarak açıklayacağım!

O halde dans etmeye başlayalım:

Sol tarafta ifadeyi ortak bir paydaya indirgedik:

Artık paydalardan güvenli bir şekilde kurtulabiliriz (aynı oldukları için):

Sol tarafta parantezleri açıyoruz ancak bilinmeyen katsayılara şimdilik dokunmuyoruz:

Aynı zamanda polinomları çarpma konusundaki okul kuralını da tekrarlıyoruz. Öğretmenken bu kuralı ciddi bir ifadeyle telaffuz etmeyi öğrendim: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir..

Açık bir açıklama açısından, katsayıları parantez içine almak daha iyidir (her ne kadar kişisel olarak zamandan tasarruf etmek için bunu asla yapmam):

Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz.
Öncelikle son derecelere bakıyoruz:

Ve karşılık gelen katsayıları sistemin ilk denklemine yazıyoruz:

Şu noktayı iyi hatırlayın. Sağ tarafta hiç s olmasaydı ne olurdu? Diyelim ki herhangi bir kare olmadan gösteriş yapar mı? Bu durumda sistemin denkleminde sağa sıfır koymak gerekir: . Neden sıfır? Ancak sağ tarafta aynı kareye her zaman sıfır atayabildiğiniz için: Eğer sağ tarafta hiçbir değişken ve/veya serbest terim yoksa, o zaman sistemin karşılık gelen denklemlerinin sağ taraflarına sıfır koyarız.

Karşılık gelen katsayıları sistemin ikinci denklemine yazıyoruz:

Ve son olarak maden suyuna ücretsiz üye seçiyoruz.

Eh... şaka yapıyordum. Şaka bir yana, matematik ciddi bir bilimdir. Enstitü grubumuzda yardımcı doçent, terimleri sayı doğrusuna dağıtıp en büyüklerini seçeceğini söylediğinde kimse gülmedi. Hadi ciddileşelim. Gerçi... kim bu dersin sonunu görecek kadar yaşarsa yine de sessizce gülümseyecektir.

Sistem hazır:

Sistemi çözüyoruz:

(1) Birinci denklemi sistemin 2. ve 3. denklemlerinde ifade edip yerine koyuyoruz. Aslında başka bir denklemden (veya başka bir harften) ifade etmek mümkündü, ancak bu durumda bunu 1. denklemden ifade etmek avantajlıdır, çünkü orada en küçük ihtimaller.

(2) 2. ve 3. denklemlerde benzer terimleri veriyoruz.

(3) 2. ve 3. denklemleri terim terim toplayarak eşitliği elde ederiz ve bundan şu sonuç çıkar:

(4) Bunu bulduğumuz yerden ikinci (veya üçüncü) denklemi yerine koyarız

(5) İlk denklemde ve yerine koyarak .

Sistemi çözme yöntemleriyle ilgili zorluk yaşıyorsanız bunları sınıfta uygulayın. Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?

Sistemi çözdükten sonra bulunan değerleri kontrol etmek - değiştirmek her zaman faydalıdır Her sistemin denklemi, sonuç olarak her şeyin “yakınlaşması” gerekir.

Neredeyse. Katsayılar bulundu ve:

Bitmiş iş şuna benzemelidir:

Gördüğünüz gibi, görevin asıl zorluğu bir doğrusal denklem sistemi oluşturmak (doğru!) ve çözmek (doğru!) oldu. Ve son aşamada, her şey o kadar da karmaşık değil: belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz ve integral alıyoruz. Lütfen üç integralin her birinin altında “serbest” bir karmaşık fonksiyona sahip olduğumuzu unutmayın; derste entegrasyonunun özelliklerinden bahsetmiştim; Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Kontrol edin: Cevabı farklılaştırın:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru bulunmuştur.
Doğrulama sırasında ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek zorunda kaldık ve bu tesadüfi değil. Belirsiz katsayılar yöntemi ve bir ifadeyi ortak bir paydaya indirgemek karşılıklı olarak ters eylemlerdir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İlk örnekteki kesir konusuna dönelim: . Paydadaki tüm faktörlerin FARKLI olduğunu fark etmek kolaydır. Örneğin aşağıdaki kesir verilirse ne yapılacağı sorusu ortaya çıkıyor: ? Burada paydada derecelerimiz var, ya da matematiksel olarak, katlar. Ek olarak, çarpanlara ayrılamayan ikinci dereceden bir trinomiyal vardır (denklemin diskriminantının doğrulandığını doğrulamak kolaydır) negatif olduğundan üçlü çarpanlara ayrılamaz). Ne yapalım? Temel kesirlerin toplamına genişleme şuna benzer: üstte bilinmeyen katsayılar mı yoksa başka bir şey mi var?

Örnek 3

Bir işlev tanıtın

Aşama 1. Uygun bir kesirimiz olup olmadığını kontrol ediyoruz
Ana pay: 2
En yüksek payda derecesi: 8
Bu, kesirin doğru olduğu anlamına gelir.

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Tabii ki hayır, her şey zaten planlanmış durumda. Yukarıda belirtilen nedenlerden dolayı kare trinomial bir ürüne genişletilemez. Kapüşon. Az iş.

Aşama 3. Temel kesirlerin toplamı olarak kesirli-rasyonel bir fonksiyon hayal edelim.
Bu durumda genişleme aşağıdaki forma sahiptir:

Paydamıza bakalım:
Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu temel kesirlerin toplamına ayrıştırırken, üç temel nokta ayırt edilebilir:

1) Paydanın birinci üssü “yalnız” bir faktör içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman en üste belirsiz bir katsayı koyarız (bizim durumumuzda). 1 ve 2 numaralı örnekler yalnızca bu tür "yalnız" faktörlerden oluşuyordu.

2) Payda varsa çokluçarpanı kullanıyorsanız, bunu şu şekilde ayrıştırmanız gerekir:
- yani, birinci dereceden n'inci dereceye kadar “X”in tüm derecelerinden sırayla geçin. Örneğimizde iki çoklu faktör var: ve, verdiğim açılıma tekrar bakın ve bunların tam olarak bu kurala göre genişletildiğinden emin olun.

3) Payda ikinci dereceden ayrıştırılamaz bir polinom içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman payda ayrıştırırken, belirlenmemiş katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon yazmanız gerekir (bizim durumumuzda belirlenmemiş katsayılar ve ).

Aslında 4. bir vaka daha var ama pratikte son derece nadir olduğu için bu konuda sessiz kalacağım.

Örnek 4

Bir işlev tanıtın katsayıları bilinmeyen temel kesirlerin toplamı olarak.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Algoritmayı kesinlikle takip edin!

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu toplama dönüştürmek için gereken ilkeleri anlarsanız, söz konusu türdeki hemen hemen her tür integrali kavrayabilirsiniz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Aşama 1. Açıkçası kesir doğrudur:

Adım 2. Paydada bir şeyi çarpanlara ayırmak mümkün mü? Olabilmek. İşte küplerin toplamı . Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayırın

Aşama 3. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak integrali temel kesirlerin toplamına genişletiyoruz:

Lütfen polinomun çarpanlara ayrılamayacağını unutmayın (ayırt edicinin negatif olup olmadığını kontrol edin), bu nedenle en üste yalnızca bir harf değil, bilinmeyen katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon koyarız.

Kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sistemi oluşturup çözelim:

(1) Birinci denklemden ifade edip sistemin ikinci denklemine yerleştiriyoruz (bu en rasyonel yoldur).

(2) Benzer terimleri ikinci denklemde de sunuyoruz.

(3) Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerini terim terim topluyoruz.

Sistem basit olduğundan diğer tüm hesaplamalar prensip olarak sözlüdür.

(1) Kesirlerin toplamını bulunan katsayılara göre yazıyoruz.

(2) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde ne oldu? Dersin son paragrafında bu yönteme aşina olabilirsiniz. Bazı Kesirlerin İntegrali.

(3) Bir kez daha doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz. Üçüncü integralde tam kareyi izole etmeye başlıyoruz (dersin sondan bir önceki paragrafı) Bazı Kesirlerin İntegrali).

(4) İkinci integrali alıyoruz, üçüncüde tam kareyi seçiyoruz.

(5) Üçüncü integrali alın. Hazır.

Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu Kesirli - rasyonel fonksiyon En basit rasyonel kesirler Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Basit kesirlerin entegrasyonu Rasyonel kesirlerin entegrasyonu için genel kural

derece polinomu Kesirli - rasyonel fonksiyon Kesirli - rasyonel fonksiyon, iki polinomun oranına eşit bir fonksiyondur: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani m rasyonel kesir olarak adlandırılır.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kesirli - rasyonel fonksiyon Uygunsuz bir kesri doğru forma indirgeyin: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

En basit rasyonel kesirler Formun uygun rasyonel kesirleri: Bunlara türlerin en basit rasyonel kesirleri denir. balta A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teorem: Paydası çarpanlara ayrılmış herhangi bir uygun rasyonel kesir, ayrıca basit kesirlerin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teoremin formülasyonunu aşağıdaki örnekleri kullanarak açıklayalım: A, B, C, D... belirsiz katsayılarını bulmak için iki yöntem kullanılır: katsayıları karşılaştırma yöntemi ve yöntem. bir değişkenin kısmi değerleri. Bir örnek kullanarak ilk yönteme bakalım. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterin: En basit kesirleri ortak bir paydaya getirelim Ortaya çıkan kesirlerin paylarını ve orijinal kesirleri eşitleyin Katsayıları aynı kuvvetlere eşitleyin x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x.CBxxx.A 33252 222 xx.CBx.Cx.Bx.AAx.Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

En basit kesirlerin integrali En basit rasyonel kesirlerin integralini bulalım: Bir örnek kullanarak tip 3 kesirlerin integraline bakalım. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Basit kesirlerin integralidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arktgt 33 2 9 ln 2 32 C x arktgxx 3 1 3 2 102 ln

Basit kesirlerin integrali Yer değiştirme kullanılarak bu tür bir integral: iki integralin toplamına indirgenir: İlk integral, diferansiyel işaretinin altına t getirilerek hesaplanır. İkinci integral şu yineleme formülü kullanılarak hesaplanır: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt'de N dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Basit kesirlerin integrali a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural Kesir uygunsuzsa, bunu bir polinom ve uygun kesirin toplamı olarak gösterin. Uygun bir rasyonel kesirin paydasını çarpanlara ayırdıktan sonra, bunu belirsiz katsayılı basit kesirlerin toplamı olarak temsil edin. Katsayıları karşılaştırma yöntemiyle veya bir değişkenin kısmi değerleri yöntemiyle belirsiz katsayıları bulun. Polinomu ve elde edilen basit kesirlerin toplamını entegre edin.

Örnek Kesri doğru forma koyalım. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x

Örnek Uygun bir kesrin paydasını çarpanlara ayıralım Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterelim xxx xx değişkeninin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirlenmemiş katsayıları bulalım 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx