Bir kesrin karekökü nasıl çıkarılır? Kök çıkarma

Matematikte Birleşik Devlet Sınavında başarılı olmak ister misiniz? O zaman hızlı, doğru ve hesap makinesine ihtiyaç duymadan sayabilmeniz gerekir. Nihayet ana sebep Matematikte Birleşik Devlet Sınavında puan kaybı - hesaplama hataları.

Kurallara göre Birleşik Devlet Sınavını yürütmek Matematik sınavında hesap makinesi kullanmak yasaktır. Fiyat çok yüksek olabilir - sınavdan çıkarılma.

Aslında matematikte Birleşik Devlet Sınavı için bir hesap makinesine ihtiyacınız yok. Bütün sorunlar onsuz çözülür. Önemli olan dikkat, doğruluk ve size anlatacağımız bazı gizli tekniklerdir.

Ana kuralla başlayalım. Bir hesaplama basitleştirilebiliyorsa basitleştirin.

Örneğin burada “şeytani denklem” var:

Mezunların yüzde yetmişi bunu doğrudan çözüyor. Formülü kullanarak diskriminantı hesaplıyorlar ve ardından hesap makinesi olmadan kökün çıkarılamayacağını söylüyorlar. Ancak denklemin sol ve sağ taraflarını ile bölebilirsiniz. İşe yarayacak

Hangi yol daha kolay? :-)

Pek çok okul çocuğu sütunlu çarpmayı sevmez. Dördüncü sınıfta kimse sıkıcı “örnekler” çözmekten hoşlanmazdı. Ancak çoğu durumda sayıları “sütun” olmadan art arda çarpmak mümkündür. Çok daha hızlı.

Lütfen daha küçük rakamlarla değil, daha büyük rakamlarla başladığımızı unutmayın. Uygun.

Şimdi - bölünme. “Bir sütunda” ifadesini ile bölmek kolay değildir. Ancak bölme işaretinin ve kesirli çubuğun aynı şey olduğunu unutmayın. Kesir olarak yazıp kesri azaltalım:

Başka bir örnek.

İki basamaklı bir sayının karesi hızla ve herhangi bir sütun olmadan nasıl alınır? Kısaltılmış çarpma formüllerini uyguluyoruz:

Bazen başka bir formül kullanmak daha uygun olur:

, ile biten sayıların karesi anında alınır.

Diyelim ki bir sayının karesini bulmamız gerekiyor ( - mutlaka bir sayı değil, herhangi doğal sayı). Çarpıp sonuca ekliyoruz. Tüm!

Örneğin: (ve atfedilen).

(ve atfedilen).

Bu yöntem yalnızca kare almak için değil aynı zamanda ile biten sayıların karekökünü almak için de kullanışlıdır.

Hesap makinesi olmadan karekökü nasıl çıkarabilirsin? Size iki yol göstereceğiz.

İlk yöntem radikal ifadeyi çarpanlara ayırmaktır.

Örneğin, bulalım
Bir sayı ile bölünebilir (çünkü rakamların toplamı ile bölünebilir). Çarpanlara ayıralım:

Hadi bulalım. Bu sayı ile bölünebilir. Ayrıca bölünür. Bunu çarpanlarına ayıralım.

Başka bir örnek.

İkinci bir yol daha var. Kökünü çıkarmanız gereken sayının çarpanlara ayrılamaması uygundur.

Örneğin bulmanız gerekiyor. Kökün altındaki sayı tektir, bölünemez, bölünemez, bölünemez... Neye bölünebildiğini aramaya devam edebilirsiniz veya daha kolay yapabilirsiniz - bu kökü seçerek bulun .

Açıkça, ve sayıları arasında olan iki basamaklı bir sayının karesi alınmıştır, çünkü , ve sayı bunların arasındadır. Cevabın ilk rakamını zaten biliyoruz, öyle.

Sayının son rakamı . , olduğundan, yanıtın son rakamı ya , ya da olur. Kontrol edelim:
. İşe yaradı!

Hadi bulalım.

Bu, cevaptaki ilk rakamın beş olduğu anlamına gelir.

Sayının son rakamı dokuzdur. , . Bu, yanıttaki son rakamın ya ya da olduğu anlamına gelir.

Kontrol edelim:

Karekökünü çıkarmanız gereken sayı veya ile bitiyorsa, bunun karekökü irrasyonel bir sayı olacaktır. Çünkü hiçbir tamsayı karesi veya ile bitmez. Bunu görevler bölümünde unutmayın Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri matematikte cevabın tam sayı veya sonlu ondalık kesir olarak yazılması yani rasyonel bir sayı olması gerekir.

İkinci dereceden denklemlerle Birleşik Devlet Sınavı'nın problemlerinde ve varyantlarında ve ayrıca kısımlarda karşılaşıyoruz. Ayrımcıyı saymaları ve ardından kökü çıkarmaları gerekiyor. Ve kökleri aramak hiç de gerekli değil beş haneli sayılar. Çoğu durumda, diskriminant çarpanlarına ayrılabilir.

Örneğin, Denklem.

Kök altındaki ifadenin çarpanlarına ayrılabileceği diğer bir durum ise problemden alınır.

Hipotenüs dik üçgen ayaklardan biri eşittir, ikinci ayağı bulun.

Pisagor teoremine göre eşittir. Uzun süre bir sütunda sayabilirsiniz ancak kısaltılmış çarpma formülünü kullanmak daha kolaydır.

Şimdi size en ilginç şeyi anlatacağız: mezunlar neden Birleşik Devlet Sınavında değerli puanlar kaybediyorlar? Sonuçta hesaplamalardaki hatalar öylece gerçekleşmez.

1 . Doğru yol Puan kaybetmek - bir şeyin düzeltildiği, üzerinin çizildiği, bir sayının diğerinin üzerine yazıldığı özensiz hesaplamalar. Taslaklarınıza bakın. Belki de aynı görünüyorlar? :-)

Okunaklı bir şekilde yazın! Kağıttan tasarruf etmeyin. Bir şeyler yanlışsa, bir sayıyı diğeriyle düzeltmeyin, tekrar yazmak daha iyidir.

2. Bazı nedenlerden dolayı, birçok okul çocuğu bir sütunda sayarken bunu 1) çok çok hızlı bir şekilde, 2) çok küçük sayılarla, defterlerinin köşesinde ve 3) bir kalemle yapmaya çalışır. Sonuç şudur:

Bir şeyi ortaya çıkarmak imkansız. Peki Birleşik Devlet Sınavı puanının beklenenden düşük olması sürpriz mi?

3. Birçok okul çocuğu ifadelerde parantezleri göz ardı etmeye alışkındır. Bazen bu olur:

Eşittir işaretinin herhangi bir yere değil, yalnızca aralara yerleştirildiğini unutmayın. eşit miktarlar. Taslak biçiminde bile doğru şekilde yazın.

4 . Çok büyük sayı kesirlerle ilgili hesaplama hataları. Bir kesri bir kesre bölüyorsanız, şunu kullanın:
Buraya bir “hamburger” çizilir, yani çok katlı kesir. Bu yöntemi kullanarak doğru cevaba ulaşmak son derece zordur.

Özetleyelim.

İlk bölümün görevlerini kontrol etme profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte - otomatik. Burada “neredeyse doğru” bir cevap yok. Ya doğrudur ya da değildir. Bir hesaplama hatası - ve merhaba, görev sayılmaz. Bu nedenle hızlı, doğru ve hesap makinesi olmadan saymayı öğrenmek sizin yararınıza olacaktır.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı profilinin ikinci bölümünün görevleri bir uzman tarafından kontrol edilir. Ona iyi bak! Hem el yazınızı hem de kararın mantığını anlasın.

Hesap makinelerinden önce öğrenciler ve öğretmenler karekökleri elle hesaplıyorlardı. Bir sayının karekökünü manuel olarak hesaplamanın birkaç yolu vardır. Bazıları sadece yaklaşık bir çözüm sunarken, diğerleri kesin bir cevap veriyor.

Adımlar

Asal çarpanlara ayırma

Radikal sayıyı kare sayı olan çarpanlara ayırın. Radikal sayıya bağlı olarak yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Kare sayılar, karekökünün tamamı alınabilen sayılardır. Çarpanlar, çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğundan 25, 36, 49 sayıları kare sayılardır, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 olduğundan kare faktörler. kare sayılar olan faktörlerdir. Öncelikle radikal sayıyı kare çarpanlara ayırmaya çalışın.

Örneğin 400'ün karekökünü hesaplayın (elle). İlk önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 100'ün katıdır, yani 25'e bölünebilir - bu bir kare sayıdır. 400'ü 25'e bölerseniz 16 olur. 16 sayısı da bir kare sayıdır. Böylece 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına ayrılabilir, yani 25 x 16 = 400.
Bu şu şekilde yazılabilir: √400 = √(25 x 16).

Bazı terimlerin çarpımının karekökü ürüne eşit karekökler her terimden, yani √(a x b) = √a x √b.
- Cevabı bulmak için her kare faktörün karekökünü almak ve sonuçları çarpmak için bu kuralı kullanın.
  - Örneğimizde 25 ve 16'nın kökünü alın.
  - √(25x16)
  - √25x√16
5 x 4 = 20 Radikal sayı ikiye ayrılmıyorsa kare faktörü
- (ve çoğu durumda bu olur), kesin cevabı tam sayı biçiminde bulamayacaksınız.
  - Ancak radikal sayıyı bir kare faktöre ve sıradan bir faktöre (kendisinden karekökün tamamının alınamayacağı bir sayı) ayrıştırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. Daha sonra kare faktörünün karekökünü alacaksınız ve ortak faktörün kökünü alacaksınız.
  - Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare faktöre bölünemez ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Sorunu şu şekilde çözün:
  - = 7√3
= √(49 x 3)= √49 x √3 Gerekirse kökün değerini tahmin edin. Artık kökün değerini tahmin edebilirsiniz (bulun
- yaklaşık değer
  - ), bunu radikal sayıya en yakın (sayı doğrusunda her iki tarafta) kare sayıların köklerinin değerleriyle karşılaştırarak. Kök değerini, kök işaretinin arkasındaki sayıyla çarpılması gereken ondalık kesir olarak alacaksınız.
Örneğimize dönelim. Radikal sayı 3'tür. Ona en yakın kare sayılar 1 (√1 = 1) ve 4 (√4 = 2) sayıları olacaktır. Dolayısıyla √3'ün değeri 1 ile 2 arasında yer alıyor. √3'ün değeri muhtemelen 1'den çok 2'ye yakın olduğundan tahminimiz: √3 = 1,7. Bu değeri kök işaretindeki sayıyla çarpıyoruz: 7 x 1,7 = 11,9. Eğer matematiği hesap makinesinde yaparsanız 12.13 sonucunu elde edersiniz ki bu bizim cevabımıza oldukça yakındır. Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin √35'i düşünün. Radikal sayı 35'tir. Ona en yakın kare sayılar 25 (√25 = 5) ve 36 (√36 = 6) sayıları olacaktır. Böylece √35 değeri 5 ile 6 arasında yer alır. √35 değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğundan (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), √35'in 6'dan biraz küçük olduğunu söyleyebiliriz. Hesap makinesini kontrol edin, bize 5.92 cevabını veriyor - haklıydık. Başka bir yol, radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Asal çarpanlar yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Bunu yaz
- Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Radikal sayıyı asal çarpanlara ayırırız: 45 = 9 x 5 ve 9 = 3 x 3. Böylece √45 = √(3 x 3 x 5) olur. 3 kök işareti olarak çıkarılabilir: √45 = 3√5. Şimdi √5'i tahmin edebiliriz.
- Başka bir örneğe bakalım: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Üç tane 2 çarpanı aldınız; birkaçını alın ve kök işaretinin ötesine taşıyın.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Artık √2 ve √11'i hesaplayabilir ve yaklaşık bir cevap bulabilirsiniz.
Karekökü manuel olarak hesaplama

Uzun bölmeyi kullanma
1. Bu yöntem uzun bölme işlemine benzer bir işlem içerir ve doğru cevap verir.İlk olarak, sayfayı ikiye bölen dikey bir çizgi çizin ve ardından sağa ve sayfanın üst kenarının biraz altına doğru bir çizgi çizin. dikey çizgiçizmek yatay çizgi. Şimdi radikal sayıyı, virgülden sonraki kesirli kısımdan başlayarak sayı çiftlerine bölün. Yani 79520789182.47897 sayısı "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" şeklinde yazılır.
  - Örneğin 780,14 sayısının karekökünü hesaplayalım. İki çizgi çizin (resimde gösterildiği gibi) ve verilen sayıyı sol üst köşeye “7 80, 14” şeklinde yazın. Soldan ilk rakamın eşleşmemiş bir rakam olması normaldir. Cevap (kökü verilen numara) sağ üst köşeye yazacaksınız.
2. Soldan ilk sayı çifti (veya tek sayı) için, karesi söz konusu sayı çiftinden (veya tek sayı) küçük veya ona eşit olan en büyük n tam sayısını bulun. Başka bir deyişle, soldaki ilk sayı çiftine (veya tek sayıya) en yakın ancak ondan küçük olan kare sayıyı bulun ve bunun karekökünü alın. kare numarası
  - ; n sayısını alacaksınız. Bulduğunuz n'yi sağ üst tarafa, n'nin karesini de sağ alt tarafa yazın.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Bizim durumumuzda soldaki ilk sayı 7 olacaktır. Sonra 4 Bulduğunuz n sayısının karesini soldaki ilk sayı çiftinden (veya tek sayıdan) çıkarın.
  - Hesaplamanın sonucunu çıkanın altına (n sayısının karesi) yazın.
4. Örneğimizde 7'den 4'ü çıkarın ve 3'ü elde edin.İkinci sayı çiftini not edin ve önceki adımda elde edilen değerin yanına yazın.
  - Daha sonra sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu "_×_=" ekleyerek sağ alt tarafa yazın.
5. Örneğimizde ikinci sayı çifti "80"dir. 3'ten sonra "80" yazın. Daha sonra sağ üstteki sayının iki katı 4 verir. Sağ alta "4__×_=" yazın.
  - Bizim durumumuzda tire yerine 8 sayısını koyarsak 48 x 8 = 384 olur, bu da 380'den fazladır. Dolayısıyla 8 çok büyük bir sayı ama 7 de işe yarar. Kısa çizgi yerine 7 yazın ve şunu elde edin: 47 x 7 = 329. Sağ üst köşeye 7 yazın - bu, 780.14 sayısının istenen karekökündeki ikinci rakamdır.
6. Ortaya çıkan sayıyı soldaki mevcut sayıdan çıkarın. Bir önceki adımın sonucunu soldaki mevcut sayının altına yazın, farkı bulun ve çıkanın altına yazın.
  - Örneğimizde 380'den 329'u çıkarın, bu da 51'e eşittir.
7. 4. adımı tekrarlayın. Taşınacak sayı çifti orijinal sayının kesirli kısmı ise, ayırıcıyı (virgül) bir tam sayı ile yerleştirin ve kesirli parçalar sağ üstten istenilen karekökte. Sol tarafta bir sonraki sayı çiftini aşağı indirin. Sağ üstteki sayıyı ikiye katlayın ve sonucu "_×_=" ekleyerek sağ alt tarafa yazın.
  - Örneğimizde, kaldırılacak bir sonraki sayı çifti 780.14 sayısının kesirli kısmı olacaktır, bu nedenle tamsayı ve kesirli kısımların ayırıcısını sağ üstte istediğiniz karekök içine yerleştirin. 14'ü indirip sol alt köşeye yazın. Sağ üstteki sayının (27) iki katı 54 olduğundan sağ alta "54_×_=" yazın.
8. 5. ve 6. adımları tekrarlayın. Bir tane bul en büyük sayı sağdaki tirelerin yerine (tireler yerine aynı sayıyı kullanmanız gerekir), böylece çarpma sonucu soldaki mevcut sayıdan küçük veya ona eşit olur.
  - Örneğimizde 549 x 9 = 4941, soldaki mevcut sayıdan (5114) küçüktür. Sağ üste 9 yazın ve çarpmanın sonucunu soldaki mevcut sayıdan çıkarın: 5114 - 4941 = 173.
9. Karekök için daha fazla ondalık basamak bulmanız gerekiyorsa mevcut sayının soluna birkaç sıfır yazın ve 4, 5 ve 6. adımları tekrarlayın. Yanıt kesinliğini (ondalık basamak sayısı) elde edene kadar adımları tekrarlayın. ihtiyaç.
Süreci Anlamak
1. S sayısının ilk Sa rakamı çiftini (örneğimizde Sa = 7) düşünün ve bunun karekökünü bulun. Bu durumda, karekökün istenen değerinin ilk rakamı A, karesi S a'dan küçük veya ona eşit olan bir rakam olacaktır (yani A² ≤ Sa eşitsizliğini sağlayacak bir A arıyoruz)< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Diyelim ki 88962'yi 7'ye bölmemiz gerekiyor; burada ilk adım benzer olacaktır: 88962 (8) bölünebilir sayısının ilk rakamını dikkate alıyoruz ve 7 ile çarpıldığında 8'den küçük veya ona eşit bir değer veren en büyük sayıyı seçiyoruz. eşitsizliğin doğru olduğu bir d sayısı: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Alanı hesaplamanız gereken bir kareyi zihinsel olarak hayal edin. L'yi yani alanı S'ye eşit olan karenin bir kenar uzunluğunu arıyorsunuz. L sayısının içindeki sayılar A, B, C'dir. Farklı şekilde yazabilirsiniz: 10A + B = L (için) iki basamaklı bir sayı) veya 100A + 10B + C = L (için üç basamaklı sayı) ve benzeri.
  - İzin vermek (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B'nin, B rakamının birimleri, A rakamının da onlukları temsil ettiği bir sayı olduğunu unutmayın. Örneğin A=1 ve B=2 ise 10A+B, 12 sayısına eşittir. (10A+B)² tüm karenin alanıdır, 100A²- büyük iç karenin alanı, B²- küçük iç karenin alanı, 10A×B- iki dikdörtgenin her birinin alanı. Açıklanan şekillerin alanlarını toplayarak orijinal karenin alanını bulacaksınız.

Tercihen mühendislik olanıdır - kök işaretli bir düğmeye sahip olan: "√". Genellikle kökü çıkarmak için sayının kendisini yazmanız ve ardından "√" düğmesine basmanız yeterlidir.

Çoğu modern cep telefonları Kök çıkarma işlevine sahip bir “hesap makinesi” uygulaması vardır. Telefon hesap makinesini kullanarak bir sayının kökünü bulma prosedürü yukarıdakine benzer.
Örnek.
2'den bulun.
Hesap makinesini açın (kapalıysa) ve iki ve kök (“2” “√”) görüntüsünün bulunduğu düğmelere art arda basın. Kural olarak “=” tuşuna basmanıza gerek yoktur. Sonuç olarak 1,4142 gibi bir sayı elde ediyoruz (rakam sayısı ve “yuvarlaklık” bit derinliğine ve hesap makinesi ayarlarına bağlıdır).
Not: Kökü bulmaya çalışırken hesap makinesi genellikle hata verir.

Bir bilgisayara erişiminiz varsa, bir sayının kökünü bulmak çok basittir.
1. Hemen hemen her bilgisayarda bulunan Hesap Makinesi uygulamasını kullanabilirsiniz. Windows XP için bu program aşağıdaki şekilde başlatılabilir:
“Başlat” - “Tüm Programlar” - “Donatılar” - “Hesap Makinesi”.
Görünümü “normal” olarak ayarlamak daha iyidir. Bu arada, gerçek bir hesap makinesinin aksine, kökü çıkarma düğmesi "√" değil "sqrt" olarak işaretlenmiştir.

Belirtilen yöntemi kullanarak hesap makinesine ulaşamıyorsanız, standart hesap makinesini "manuel olarak" çalıştırabilirsiniz:
“Başlat” - “Çalıştır” - “hesapla”.
2. Bir sayının kökünü bulmak için bilgisayarınızda kurulu bazı programları da kullanabilirsiniz. Ayrıca programın kendi yerleşik hesap makinesi vardır.

Örneğin MS Excel uygulaması için aşağıdaki işlem sırasını yapabilirsiniz:
MS Excel'i başlatın.

Kökünü çıkarmamız gereken sayıyı herhangi bir hücreye yazıyoruz.

Hücre işaretçisini farklı bir konuma taşıma

İşlev seçim düğmesine (fx) basın

“KÖK” fonksiyonunu seçin

İşleve argüman olarak sayı içeren bir hücre belirtiyoruz

“Tamam” veya “Giriş”e tıklayın
Avantaj bu yöntem artık, fonksiyonunda olduğu gibi, sayının bulunduğu hücreye herhangi bir değerin girilmesi yeterli.
Not.
Bir sayının kökünü bulmanın başka, daha egzotik yolları da vardır. Örneğin, "köşe" kullanarak sürgülü hesap cetveli veya Bradis masaları. Ancak bu yöntemler, karmaşıklıkları ve pratik yararsızlıkları nedeniyle bu makalede ele alınmamıştır.

Konuyla ilgili video

Kaynaklar:

bir sayının kökü nasıl bulunur

Bazen bazı şeyleri yapmanız gerektiğinde durumlar ortaya çıkar matematiksel hesaplamalar, kareköklerin ve köklerin çıkarılması dahil daha büyük ölçüde numaradan. "a"nın "n" kökü sayıdır n'inci derece bu "a" sayısıdır.

Talimatlar

'n' kökünü bulmak için aşağıdakileri yapın.

Bilgisayarınızda “Başlat” - “Tüm Programlar” - “Donatılar”a tıklayın. Daha sonra “Servis” alt bölümüne gidin ve “Hesap Makinesi”ni seçin. Bunu manuel olarak yapabilirsiniz: Başlat'a tıklayın, Çalıştır kutusuna "calk" yazın ve Enter'a basın. Açılacak. Bir sayının karekökünü çıkarmak için, sayıyı hesap makinesine girin ve "sqrt" etiketli düğmeye basın. Hesap makinesi, girilen sayıdan karekök adı verilen ikinci derece kökü çıkaracaktır.

Derecesi ikinciden yüksek olan bir kökü çıkarmak için başka tür bir hesap makinesi kullanmanız gerekir. Bunu yapmak için hesap makinesi arayüzünde “Görüntüle” düğmesine tıklayın ve menüden “Mühendislik” veya “Bilimsel” satırını seçin. Bu hesap makinesi türü kökü hesaplamak için gerekli olanlara sahiptir. n'inci derece işlev.

Üçüncü derecenin () kökünü çıkarmak için, bir "mühendislik" hesap makinesinde istediğiniz sayıyı girin ve "3√" düğmesine basın. Derecesi 3'ten büyük bir kök elde etmek için istediğiniz sayıyı girin, "y√x" simgeli düğmeye basın ve ardından sayıyı (üs) girin. Bundan sonra eşittir işaretine (“=” düğmesi) bastığınızda istediğiniz kökü elde edersiniz.

Hesap makinenizde "y√x" işlevi yoksa aşağıdakiler.

Çıkarmak için küp kökü radikal ifadeyi girin, ardından “Inv” yazısının yanında bulunan onay kutusuna bir işaret koyun. Bu eylemle hesap makinesi düğmelerinin işlevlerini tersine çevireceksiniz, yani küp düğmesine tıklayarak küp kökünü çıkaracaksınız. Kullandığınız düğmede

Çoğu zaman, problemleri çözerken, içinden çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. karekök. Birçok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve örneğin tamamını yeniden çözmeye başlar. Hiçbir durumda bunu yapmamalısınız! Bunun iki nedeni var:

Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metin olanlarda;
Bu köklerin neredeyse sözlü olarak hesaplandığı bir algoritma var.

Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz gelebilir. Ancak bu derse dikkat ederseniz, en güçlü silah aykırı karekökler.

Yani algoritma:

Üstte ve altta gerekli kök sayısını 10'un katı olan sayılarla sınırlayın. Böylece arama aralığını 10 sayıya indireceğiz;
Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacak olanları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacak;
Bu 1-2 sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıya eşit olan kök olacaktır.

Bu algoritmayı uygulamaya koymadan önce her adıma tek tek bakalım.

Kök sınırlaması

Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında olduğunu bulmamız gerekiyor. Sayıların onun katları olması oldukça arzu edilir:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Bir dizi sayı alıyoruz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu rakamlar bize ne anlatıyor? Çok basit: sınırlara sahibiz. Örneğin 1296 sayısını ele alalım. 900 ile 1600 arasında yer alır. Dolayısıyla kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:

[Resmin başlığı]

Aynı şey, karekökünü bulabileceğiniz diğer sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:

[Resmin başlığı]

Böylece anlaşılmaz bir sayı yerine orijinal kökün bulunduğu çok spesifik bir aralık elde ederiz. Arama alanını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.

Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması

Yani 10 sayımız var - kök için aday. Bunları çok hızlı bir şekilde, karmaşık düşünmeden ve bir sütunda çarpmadan elde ettik. Devam etme zamanı geldi.

İster inanın ister inanmayın, artık aday sayısını ikiye indireceğiz - hem de hiçbir değişiklik olmadan. karmaşık hesaplamalar! Bilmen yeterli özel kural. İşte:

Karenin son rakamı yalnızca son rakama bağlıdır orijinal numara.

Başka bir deyişle, karenin son rakamına bakın, orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.

Görünebilecek yalnızca 10 rakam var son yer. Kareleri alındığında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Bu tablo kökün hesaplanmasına yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Gördüğünüz gibi her iki durumda da son rakam aynı. Bu, örneğin 3364'ün kökünün 2 veya 8 ile bitmesi gerektiği anlamına gelir. Öte yandan önceki paragraftaki kısıtlamayı hatırlıyoruz. Şunu elde ederiz:

[Resmin başlığı]

Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ancak kök, 50 ile 60 arasında yer alır ve bu aralıkta yalnızca 2 ve 8 ile biten iki sayı bulunur:

[Resmin başlığı]

İşte bu! Olası tüm köklerden yalnızca iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda çünkü son rakam 5 veya 0 olabilir. Ve o zaman kökler için tek bir aday olacaktır!

Son hesaplamalar

Yani elimizde 2 aday sayımız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nasıl anlarsınız? Cevap açık: her iki sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıyı veren kök olacaktır.

Örneğin 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Bunların karesini alalım:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

İşte bu! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplamın ve farkın kareleri formülünü kullandım. Bu sayede sayıları bir sütunda çarpmama bile gerek kalmadı! Bu, hesaplamaların başka bir optimizasyon düzeyidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)

Kök hesaplama örnekleri

Teori elbette iyidir. Ama pratikte kontrol edelim.

[Resmin başlığı]

Öncelikle 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Yalnızca kök 4 veya 6 ile bitiyorsa iki sayı elde ederiz:

Geriye kalan tek şey her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmaktır:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Harika! İlk karenin orijinal sayıya eşit olduğu ortaya çıktı. Yani bu kök.

Görev. Karekökü hesaplayın:
[Resmin başlığı]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Son rakama bakalım:

1369 → 9;
33; 37.

Karesini alın:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

İşte cevap: 37.

Görev. Karekökü hesaplayın:
[Resmin başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Son rakama bakalım:

2704 → 4;
52; 58.

Karesini alın:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Cevabı aldık: 52. İkinci sayının artık karesine gerek kalmayacak.

Görev. Karekökü hesaplayın:
[Resmin başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Son rakama bakalım:

4225 → 5;
65.

Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye tek bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenilen kök. Ama yine de karesini alıp kontrol edelim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Her şey doğru. Cevabını yazıyoruz.

Çözüm

Ne yazık ki, daha iyi değil. Nedenlerine bakalım. Bunlardan iki tane var:

Herhangi bir normal matematik sınavında, ister Devlet Sınavı ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, hesap makinelerinin kullanılması yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi getirirseniz sınavdan kolaylıkla atılabilirsiniz.
Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Bunlar sadece kök değil, ikisi asal sayılar Katlayamazlar. Ve kesirleri gördüklerinde genellikle histeriye kapılırlar.

Birinci bölüm.

Belirli bir tam sayıdan en büyük tam sayının karekökünü bulma.

170. Ön açıklamalar.

A) Sadece karekök çıkarmaktan bahsedeceğimiz için bu bölümde konuşmayı kısaltmak adına “kare” kök yerine basitçe “kök” diyeceğiz.

B) Doğal serideki sayıların karesini alırsak: 1,2,3,4,5. . . , sonra şu kareler tablosunu elde ederiz: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Açıkçası bu tabloda yer almayan pek çok tam sayı var; Elbette bu rakamlardan çıkarım yapmak mümkün değil. bütün kök. Bu nedenle, örneğin herhangi bir tam sayının kökünü çıkarmanız gerekiyorsa. √4082'yi bulmamız gerekiyorsa, bu gereksinimi şu şekilde anlıyoruz: mümkünse 4082'nin tüm kökünü çıkarın; mümkün değilse, karesi 4082 olan en büyük tamsayıyı bulmamız gerekir (böyle bir sayı 63'tür, çünkü 63 2 = 3969 ve 64 2 = 4090).

V) Bu sayı 100'den küçükse çarpım tablosu kullanılarak kökü bulunur; Böylece, √60 7 olur, çünkü yedi 7, 60'tan küçük olan 49'a ve 60'tan büyük olan 64'e eşit sekiz 8'e eşittir.

171. 10.000'den küçük, 100'den büyük bir sayının kökünü çıkarmak. Diyelim ki √4082'yi bulmamız gerekiyor. Bu sayı 10.000'den küçük olduğundan kökü √l0,000 = 100'den küçüktür. Öte yandan bu sayı 100'den büyüktür; bu, kökünün 10'dan büyük (veya 10'a eşit) olduğu anlamına gelir. (Örneğin √'yi bulmak gerekiyorsa 120 120 > 100 olmasına rağmen √ 120 10'a eşittir çünkü 11 2 = 121.) Ancak 10'dan büyük, 100'den küçük her sayının 2 basamağı vardır; Bu, gerekli kökün toplam olduğu anlamına gelir:

onlar + birler,

ve bu nedenle karesi toplama eşit olmalıdır:

Bu toplam 4082'nin en büyük karesi olmalıdır.

Bunlardan en büyüğü olan 36'yı alalım ve onlar kökünün karesinin tam olarak bu en büyük kareye eşit olacağını varsayalım. O zaman kökteki onlar sayısı 6 olmalıdır. Şimdi bunun her zaman böyle olması gerektiğini kontrol edelim, yani kökteki onlar sayısı her zaman yüzlerce köklü sayının en büyük tamsayı köküne eşittir.

Nitekim örneğimizde kökün onluk sayısı 6'dan fazla olamaz, çünkü (7 ondalık) 2 = 49 yüz, yani 4082'yi aşar. Ancak 5 ondalık sayı olduğundan 6'dan az olamaz. (birimlerle birlikte) 6 des.'den küçüktür ve bu arada (6 des.) 2 = 36 yüz, yani 4082'den azdır. Ve en büyük tam kökü aradığımız için kök olarak 5 des almamalıyız, 6 onluk bile çok olmadığında.

Böylece kökün onluk sayısını yani 6'yı bulmuş olduk. Bu sayıyı = işaretinin sağına yazıyoruz, bunun kökün onlukları anlamına geldiğini hatırlıyoruz. Kareye yükselterek 36 yüz elde ederiz. Bu 36 yüzlük rakamı 40 yüzlük köklü sayıdan çıkarıyoruz ve bu sayının kalan iki basamağını çıkarıyoruz. Geriye kalan 482, 2 (6 ondalık) (birim) + (birim)2 içermelidir. Çarpım (6 dekar.) (birimler) onlarca olmalıdır; bu nedenle onlar ile birlerin çift çarpımı kalanın onlarında yani 48'de aranmalıdır (sayılarını 48 "2'nin geri kalanında sağdaki bir rakamı ayırarak elde ederiz). 12'yi oluştururuz. Bu, 12'yi kökün birimleriyle (henüz bilinmeyen) çarparsak 48'in içerdiği sayıyı elde etmemiz gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle 48'i 12'ye böleriz.

Bunu yapmak için kalanın soluna ve arkasına dikey bir çizgi çiziyoruz (şimdi ortaya çıkacak amaç için çizgiden bir basamak sola doğru bir adım geri giderek), kökün ilk rakamının iki katını yani 12'yi yazıyoruz ve 48'i buna bölersek 4 elde ederiz.

Ancak 4 sayısının kökün birimi olarak alınabileceğini önceden garanti edemeyiz, çünkü kalan onlu sayıların tamamını şimdi 12'ye böldük, bazıları ise onların çift çarpımına ait olmayabilir. birimler, ancak birimlerin karesinin bir parçasıdır. Bu nedenle 4 sayısı büyük olabilir. Denememiz lazım. 2 (6 ondalık) 4 + 4 2 toplamının kalan 482'den fazla olmaması açıkça uygundur.

Sonuç olarak her ikisinin toplamını aynı anda elde ederiz. Ortaya çıkan ürünün 496 olduğu ortaya çıktı, bu da kalan 482'den daha büyük; Bu, 4 numaranın büyük olduğu anlamına gelir. Daha sonra bir sonraki küçük sayı olan 3'ü de aynı şekilde test edelim.

Örnekler.

Örnek 4'te kalanın 47 onluğunu 4'e böldüğümüzde bölüm 11 oluyor. Ancak kökün birim sayısı olamayacağı için. çift haneli sayı 11 veya 10, o zaman doğrudan 9 sayısını test etmeniz gerekir.

Örnek 5'te karenin ilk yüzünden 8 çıkarıldığında kalan 0 olur ve sonraki yüzü de sıfırlardan oluşur. Bu, istenen kökün yalnızca 8 ondan oluştuğunu ve bu nedenle birlerin yerine sıfır konulması gerektiğini gösterir.

172. 10000'den büyük bir sayının kökünü çıkarmak. Diyelim ki √35782'yi bulmamız gerekiyor. Radikal sayı 10.000'i aştığı için kökü √10000 = 100'den büyüktür ve dolayısıyla 3 veya daha fazla rakamdan oluşur. Kaç rakamdan oluşursa oluşsun, her zaman sadece onlar ve birlerin toplamı olarak düşünebiliriz. Örneğin kök 482 ise bunu 48 des miktarı olarak sayabiliriz. + 2 adet O zaman kökün karesi 3 terimden oluşacaktır:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (birim) + (birim) 2 .

Artık √4082'yi (önceki paragrafta) bulurken yaptığımız gibi mantık yürütebiliriz. Tek fark, 4082'nin kökünün onluklarını bulmak için 40'ın kökünü çıkarmamız gerekmesi olacak ve bu, çarpım tablosu kullanılarak yapılabilir; şimdi onlar√35782'yi elde etmek için 357'nin kökünü almamız gerekecek ki bu çarpım tablosu kullanılarak yapılamaz. Ancak önceki paragrafta anlatılan tekniği kullanarak √357'yi bulabiliriz, çünkü 357 sayısı< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 son rakamlar radikal sayı. Zaten 18 karesini 357'den çıkardığımızdan kalanı elde ettik: bu 33. Bu, 18 des karesini çıkardıktan kalanı elde etmek anlamına geliyor. 3"57"82'den sağdaki 82'ye 33 rakamlarını eklemek yeterlidir.

Daha sonra √4082'yi bulurken yaptığımız gibi devam ediyoruz, yani: kalan 3382'nin soluna dikey bir çizgi çiziyoruz ve arkasına bulunan kökün onluk sayısının iki katını (çizgiden bir adım geriye giderek) yazıyoruz, yani 36 (iki kez 18). Geri kalan kısımda sağdaki bir rakamı ayırıp kalanın onluk sayısını yani 338'i 36'ya bölüyoruz. Bölümde 9 elde ediyoruz. Sağdaki 36'ya atadığımız bu sayıyı test ediyoruz ve onunla çarpın. Ürünün 3321 olduğu ortaya çıktı ki bu da kalandan daha az. Bu 9 rakamının uygun olduğu anlamına gelir, köke yazıyoruz.

Genel olarak, herhangi bir tam sayının karekökünü çıkarmak için öncelikle yüzlerin kökünü çıkarmanız gerekir; eğer bu sayı 100'den fazlaysa, o zaman bu yüzlerin yüzlerinin, yani belirli bir sayının onbinlercesinin kökünü aramanız gerekecektir; eğer bu sayı 100'den fazlaysa, yüz onbinlerlik sayıdan, yani belirli bir sayının milyonlarcasından vb. kök almanız gerekecektir.

Örnekler.

İÇİNDE son örnekİlk rakamı bulup karesini çıkardıktan sonra 0 kalanını elde ediyoruz. Sonraki 2 rakamı indiriyoruz 51. Onlar'ı ayırdığımızda 5 des elde ediyoruz, kökün çift bulunan rakamı ise 6 oluyor. 5'i 6'ya bölerek 0 elde ederiz. Kök 0'ı ikinci sıraya koyarız ve sonraki 2 rakamı kalana ekleriz; 5110 alıyoruz. Sonra her zamanki gibi devam ediyoruz.

Bu örnekte gerekli kök yalnızca 9 yüzlük sayıdan oluşuyor ve bu nedenle onlar basamağı ve birler basamağı sıfır yerleştirilmelidir.

Kural. Belirli bir tam sayının karekökünü çıkarmak için onu bölün. sağ el solda, kenarda, bir rakam içerebilen son rakam hariç her biri 2 rakam.
Kökün ilk rakamını bulmak için ilk yüzün karekökünü alın.
İkinci rakamı bulmak için kökün ilk rakamının karesi birinci yüzden çıkarılır, ikinci yüz kalana alınır ve elde edilen sayının onlar basamağı kökün ilk rakamının iki katına bölünür. ; elde edilen tamsayı test edilir.
Bu test şu şekilde gerçekleştirilir: dikey çizginin arkasına (geri kalanın soluna), daha önce bulunan kök sayısının iki katını ve ona şunu yazın: sağ taraf, test edilen rakam atanır, elde edilen sayı bu toplamadan sonra test edilen rakamla çarpılır. Çarpma işleminden sonra sonuç bir sayı ise, daha fazla denge, bu durumda test edilen rakam uygun değildir ve bir sonraki daha küçük rakam test edilmelidir.
Kökün sonraki basamakları aynı teknik kullanılarak bulunur.
Bir yüzü çıkardıktan sonra, elde edilen sayının onluk sayısı bölenden küçük çıkarsa, yani kökün bulunan kısmının iki katından az olursa köke 0 konulur, sonraki yüz kaldırılır ve eyleme daha fazla devam edin.

173. Kökün basamak sayısı. Kök bulma süreci göz önüne alındığında, kök sayının her biri 2 basamaklı yüzler olduğu kadar kökte de çok sayıda basamak olduğu sonucu çıkar (sol yüz bir basamaklı olabilir).

İkinci bölüm.

Tamsayıların ve kesirlerin yaklaşık kareköklerinin çıkarılması .

Polinomların karekökünü çıkarmak için § 399 ve devamının 2. kısmına yapılan eklemelere bakın.

174. Tam karekökün işaretleri. Belirli bir sayının tam karekökü, karesi verilen sayıya tam olarak eşit olan bir sayıdır. Belirli bir sayıdan tam bir kökün çıkarılıp çıkarılamayacağına karar verebilmek için bazı işaretler verelim:

A) Belirli bir tam sayıdan tam kök çıkarılmazsa (geri kalan çıkarma sırasında elde edilir), bu durumda kesirli tam kök böyle bir sayıdan bulunamaz, çünkü kendisiyle çarpıldığında bir tam sayıya eşit olmayan herhangi bir kesir , ayrıca çarpımda bir tamsayı değil kesir üretir.

B) Kesirin kökünden beri köke eşit payın paydanın köküne bölünmesiyle elde edilen sayının tam kökü indirgenemez kesir pay veya paydadan çıkarılamazsa bulunamaz. Örneğin, 4/5, 8/9 ve 11/15 kesirlerinden tam kök çıkarılamaz, çünkü ilk kesirde paydadan, ikincisinde paydan ve üçüncüde - çıkarılamaz. ne paydan ne de paydadan.

Tam kökü çıkarılamayan sayılardan yalnızca yaklaşık kökler çıkarılabilir.

175. 1'e kadar doğru yaklaşık kök. Belirli bir sayının (tam sayı veya kesirli olması fark etmez) 1'e kadar doğru olan yaklaşık karekökü, aşağıdaki iki gereksinimi karşılayan bir tam sayıdır:

1) bu sayının karesi verilen sayıdan büyük değildir; 2) ancak bu sayının 1 artan karesi bu sayıdan büyüktür. Başka bir deyişle, doğruluğu 1 olan yaklaşık karekök, belirli bir sayının en büyük tamsayı kareköküdür, yani. içinde bulmayı öğrendiğimiz kök. önceki bölüm. Bu köke yaklaşık 1'e yakın kök denir, çünkü tam bir kök elde etmek için bu yaklaşık köke 1'den küçük bir kesir eklememiz gerekir, dolayısıyla bilinmeyen tam kök yerine bu yaklaşık değeri alırsak hata yaparız 1'den az.

Kural. 1'e kadar doğru yaklaşık bir karekök çıkarmak için, verilen sayının tamsayı kısmının en büyük tamsayı kökünü çıkarmanız gerekir.

Bu kuralla bulunan sayı, belirli bir kesrin (1'den küçük) tam kökünden yoksun olduğundan dezavantajlı yaklaşık bir köktür. Bu kökü 1 arttırırsak, tam kökün üzerinde bir miktar fazlalığın olduğu ve bu fazlalığın 1'den küçük olduğu başka bir sayı elde ederiz. 1 artan bu köke 1 doğrulukla yaklaşık kök de denilebilir, ancak aşırılıkla. (Bazı dillerde “eksikliği olan” veya “fazlalığı olan” isimleri matematik kitapları diğer eşdeğerleriyle değiştirilmiştir: "eksiklik nedeniyle" veya "fazlalık nedeniyle.")

176. 1/10 doğrulukla yaklaşık kök. Diyelim ki √2.35104'ü 1/10 doğrulukla bulmamız gerekiyor. Bu, tam birimler ve ondalıklardan oluşan ve aşağıdaki iki gereksinimi karşılayan bir ondalık kesir bulmanız gerektiği anlamına gelir:

1) Bu kesrin karesi 2,35104'ü geçmez, ancak 2) 1/10 arttırırsak bu artan kesrin karesi 2,35104'ü aşar.

Böyle bir kesri bulmak için önce 1'e doğru yaklaşık bir kök buluruz, yani kökü yalnızca 2 tam sayısından çıkarırız. 1 elde ederiz (ve geri kalan 1'dir). Köküne 1 sayısını yazıp arkasına virgül koyuyoruz. Şimdi ondalıkların sayısını arayacağız. Bunun için virgülün sağındaki 35 rakamını kalan 1'e indirip, sanki 235 tamsayısının kökünü çıkarıyormuş gibi çıkarma işlemine devam ediyoruz. Ortaya çıkan 5 sayısını kökteki yerine yazıyoruz. onda biri. Radikal sayının (104) kalan rakamlarına ihtiyacımız yok. Ortaya çıkan 1,5 sayısının aslında 1/10 doğrulukla yaklaşık bir kök olacağı aşağıdan görülebilmektedir. 235'in en büyük tamsayı kökünü 1 doğrulukla bulursak 15 sonucunu elde ederiz. Yani:

15 2 < 235, ancak 16 2 >235.

Tüm bu sayıları 100'e bölerek şunu elde ederiz:

Bu, 1,5 sayısının 1/10 doğrulukla yaklaşık kök dediğimiz ondalık kesir olduğu anlamına gelir.

Bu tekniği kullanarak aşağıdaki yaklaşık kökleri de 0,1 doğrulukla bulabiliriz:

177. 1/100 ile 1/1000 arasında yaklaşık karekök vb.

1/100 doğrulukla yaklaşık √248 bulmamız gerektiğini varsayalım. Bu şu anlama gelir: tam, onda birlik ve yüzde birlik kısımlardan oluşan ve iki gereksinimi karşılayan bir ondalık kesir bulun:

1) karesi 248'i geçmez ama 2) bu kesri 1/100 arttırırsak bu artan kesrin karesi 248'i aşar.

Böyle bir kesri şu sırayla bulacağız: önce tam sayıyı, sonra onda birleri, sonra yüzde birleri bulacağız. Bir tam sayının kökü 15 tam sayıdır. Onuncu sayıları elde etmek için, gördüğümüz gibi, kalan 23'e, virgülün sağındaki 2 rakamı daha eklemeniz gerekir. Örneğimizde bu sayılar hiç yok; yerlerine sıfır koyuyoruz. Bunları kalana ekleyip 24.800 tam sayısının kökünü buluyormuş gibi devam edersek onda biri rakamı 7'yi bulacağız. Geriye yüzde birleri bulmak kalıyor. Bunu yapmak için kalan 151'e 2 sıfır daha ekliyoruz ve 2.480.000 tamsayısının kökünü buluyormuş gibi çıkarmaya devam ediyoruz. 15,74 elde ediyoruz. Bu sayının gerçekte 1/100 doğrulukla 248'in yaklaşık kökü olduğu aşağıdan görülmektedir. 2.480.000 tam sayısının en büyük tamsayı karekökünü bulursak 1574 elde ederiz; Araç:

1574 2 < 2.480.000, ancak 1575 2 > 2.480.000.

Tüm sayıları 10.000'e (= 100 2) bölerek şunu elde ederiz:

Bu, 15,74'ün, 248'in 1/100'ü doğrulukla yaklaşık kök dediğimiz ondalık kesir olduğu anlamına gelir.

Bu tekniği 1/1000 ila 1/10000 vb. doğrulukla yaklaşık bir kök bulmaya uyguladığımızda aşağıdakileri buluruz.

Kural. Bundan çıkarmak için tam sayılar veya belirli bir ondalık kesirden 1/10 ila 1/100 ila 1/100 vb. doğrulukla yaklaşık bir kök bulun, önce 1 doğrulukla yaklaşık bir kök bulun, kökü tam sayıdan çıkarın (eğer değilse) oraya kök 0'ın tamamı hakkında yazın).

Daha sonra onda biri sayısını buluyorlar. Bunu yapmak için, ondalık noktanın sağındaki radikal sayının 2 basamağını kalana ekleyin (eğer orada değilse, kalana iki sıfır ekleyin) ve bir tam sayının kökünü çıkarırken yapıldığı gibi çıkarmaya devam edin. . Ortaya çıkan sayı onda biri yerine köke yazılır.

Daha sonra yüzde birlik sayıyı bulun. Bunu yapmak için, yeni kaldırılanların sağındaki iki sayı geri kalana eklenir vb.

Bu nedenle, ondalık kesirli bir tam sayının kökünü çıkarırken, ondalık noktadan başlayarak hem sola (sayının tamsayı kısmında) hem de sağa (içinde) her biri 2 basamaklı yüzlere bölmek gerekir. kesirli kısım).

Örnekler.

1) 1/100'e kadar kökü bulun: a) √2; b) √0,3;

Son örnekte, kökün 4 ondalık basamağını bulmak için gereken 4 yüzü oluşturmak için 8 ondalık basamağı hesaplayarak 3/7 kesirini ondalık sayıya dönüştürdük.

178. Karekök tablosunun açıklaması. Bu kitabın sonunda dört rakamla hesaplanan bir karekök tablosu bulunmaktadır. Bu tabloyu kullanarak, en fazla dört basamakla ifade edilen bir tam sayının (veya ondalık kesrin) karekökünü hızlı bir şekilde bulabilirsiniz. Bu tablonun nasıl yapılandırıldığını açıklamadan önce, tabloların yardımı olmadan sadece radikal sayıya bakarak istenilen kökün ilk anlamlı basamağını her zaman bulabileceğimizi belirtelim; hangisi olduğunu da kolayca belirleyebiliriz ondalık basamak kökün ilk rakamı anlamına gelir ve bu nedenle kökün neresinde rakamlarını bulduğumuzda virgül koymalıyız. İşte bazı örnekler:

1) √5"27,3 . Radikal sayının sol tarafı 5 olduğundan ilk rakam 2 olacaktır; ve 5'in kökü 2'ye eşittir. Ek olarak, kökün tamsayı kısmında yalnızca 2 yüz olduğundan, istenen kökün tamsayı kısmında 2 basamak olmalıdır ve bu nedenle ilk basamağı 2 olmalıdır. onlarca demek.

2) √9.041. Açıkçası, bu kökte ilk rakam 3 asal birim olacaktır.

3) √0,00"83"4. Birinci önemli rakamİlk anlamlı rakamı elde etmek için kökün alınması gereken yüz 83 olduğundan 9'dur ve 83'ün kökü de 9'dur. İstenilen sayının ne tam sayısı ne de onda biri olmayacağından ilk rakamı 9 olmalıdır. yüzde biri demek.

4) √0,73"85. İlk önemli rakam onda 8'dir.

5) √0,00"00"35"7. İlk anlamlı rakam binde 5 olacaktır.

Bir hatırlatma daha yapalım. İçinde işgal edilen kelimeyi çıkardıktan sonra şu şekilde bir sayı dizisi ile temsil edilen bir sayının kökünü çıkarmamız gerektiğini varsayalım: 5681. Bu kök aşağıdakilerden biri olabilir:

Altını tek çizgiyle çizdiğimiz kökleri alırsak, hepsi aynı sayı dizisiyle, tam olarak 5681'den kök çıkarıldığında elde edilen sayılarla ifade edilecektir (bunlar 7, 5, 3, 7 sayıları olacaktır) ). Bunun nedeni, kökün rakamlarını bulurken radikal sayının bölünmesi gereken yüzlerin tüm bu örneklerde aynı olacağı, dolayısıyla her kökün rakamlarının aynı olacağıdır (sadece ondalık basamağın konumu). nokta elbette farklı olacaktır). Aynı şekilde, altını iki çizgiyle çizdiğimiz tüm köklerde, tam olarak √568.1'i ifade etmek için kullanılanlarla aynı sayılar elde edilmelidir (bu sayılar 2, 3, 8, 3 olacaktır) ve aynı için sebep. Böylece, 5681 sayılarının aynı satırıyla temsil edilen (virgül çıkarılarak) sayıların köklerinin rakamları iki (ve yalnızca iki) türden olacaktır: ya bu satır 7, 5, 3, 7'dir ya da satır 2, 3, 8, 3. Aynı şey elbette diğer sayı dizileri için de söylenebilir. Bu nedenle, şimdi göreceğimiz gibi, tabloda radikal sayının her rakam sırası, kökler için 2 basamak rakamına karşılık gelir.

Artık tablonun yapısını ve nasıl kullanılacağını anlatabiliriz. Açıklamanın netliği açısından burada tablonun ilk sayfasının başlangıcını gösterdik.

Bu tablo birkaç sayfada yer almaktadır. Her birinin üzerinde soldaki ilk sütunda 10, 11, 12... (99'a kadar) sayıları yer alıyor. Bu sayılar karekökü aranan sayının ilk 2 rakamını ifade eder. Üstteki yatay çizgide (aynı zamanda altta) sayılar bulunur: 0, 1, 2, 3... 9, bu sayının 3. basamağını temsil eder ve daha sonra sağda 1, 2, sayıları bulunur. 3. . . 9, bu sayının 4. basamağını temsil ediyor. Diğer tüm yatay çizgiler, karşılık gelen sayıların kareköklerini ifade eden 2 adet dört basamaklı sayı içerir.

Tam sayı veya ifade edilen bir sayının karekökünü bulmanız gerektiğini varsayalım. ondalık. Öncelikle tabloların yardımı olmadan kökün ilk rakamını ve rakamını buluyoruz. Daha sonra bu sayıdaki virgül varsa atacağız. Öncelikle virgül atıldıktan sonra sadece 3 hanenin kalacağını varsayalım. 114. Tablolarda en soldaki sütunda ilk 2 rakamı, yani 11'i buluyoruz ve üstte (ve altta) 3. rakam olan dikey sütuna ulaşana kadar yatay çizgi boyunca onlardan sağa doğru hareket ediyoruz. yani 4. Burada dört basamaklı iki sayı buluyoruz: 1068 ve 3376. Bu iki sayıdan hangisinin alınması gerektiği ve virgülün nereye yerleştirileceği, bu kökün ilk rakamına göre belirlenir ve daha önce bulduğumuz rakam. Yani, √0,11"4 bulmamız gerekirse, kökün ilk basamağı onda 3 olur ve bu nedenle kök için 0,3376 almamız gerekir. √1,14'ü bulmamız gerekirse, kökün ilk basamağı şöyle olur: 1 ve biz O zaman 1,068 alırız.

Bu şekilde kolayca bulabiliriz:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571, vb.

Şimdi 4 basamakla ifade edilen (virgülü bırakarak) bir sayının kökünü bulmamız gerektiğini varsayalım, örneğin √7"45.6. Kökün ilk basamağının 2 onluk olduğunu dikkate alarak, 745 sayısı, şimdi açıklandığı gibi, 2729 rakamlarını (bu rakamı sadece parmağımızla fark ediyoruz ama yazmıyoruz) Daha sonra bu rakamdan biraz daha sağa, tablonun sağ tarafına (arkada) doğru ilerliyoruz. son kalın çizgi) üstte (ve altta) işaretlenen dikey sütunla karşılaşıyoruz 4. bu sayının 6. rakamını buluyoruz ve orada 1 sayısını buluyoruz. Bu mutlaka uygulanması gereken bir değişiklik olacaktır. (aklımızda) daha önce bulduğumuz 2729 sayısına 2730 ulaşıyoruz. Bu sayıyı yazıp uygun yerine virgül koyuyoruz: 27.30.

Bu şekilde örneğin şunu buluruz:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107, vb.

Radikal sayı yalnızca bir veya iki rakamla ifade ediliyorsa, bu rakamların ardından bir veya iki sıfır geldiğini varsayabilir ve üç basamaklı sayı için açıklandığı gibi ilerleyebiliriz. Örneğin, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606, vb.

Son olarak radikal sayı 4'ten fazla rakamla ifade ediliyorsa, bunlardan sadece ilk 4'ünü alıp geri kalanını atacağız ve atılan rakamlardan ilki 5 veya 5'ten büyükse hatayı azaltmak için, o zaman tutulan rakamların dördüncüsünü l artıracağız. Bu yüzden:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; vesaire.

Yorum. Tablolarda yaklaşık karekök bazen eksiklikle, bazen fazlalıkla, yani bu yaklaşık köklerden tam köke en yakın olanı gösterilmektedir.

179. Sıradan kesirlerden kareköklerin çıkarılması.İndirgenemez bir kesirin tam karekökü ancak kesrin her iki terimi de tam kare olduğunda elde edilebilir. Bu durumda pay ve paydanın kökünü ayrı ayrı çıkarmak yeterlidir, örneğin:

Sıradan bir kesirin ondalık hassasiyetle yaklaşık karekökü, ilk önce ters çevirirsek en kolay şekilde bulunabilir. ortak kesir Bu kesirde, istenen kökteki ondalık basamak sayısının iki katı olacak olan virgülden sonraki ondalık basamakların sayısı hesaplanır.

Ancak bunu farklı şekilde yapabilirsiniz. Bunu şurada açıklayalım aşağıdaki örnek:

Yaklaşık √ 5 / 24'ü bulun

Paydayı tam kare yapalım. Bunu yapmak için kesrin her iki terimini de payda 24 ile çarpmak yeterli olacaktır; ancak bu örnekte bunu farklı şekilde yapabilirsiniz. 24'ü asal çarpanlara ayıralım: 24 = 2 2 2 3. Bu ayrıştırmadan, 24'ün 2 ve başka bir 3 ile çarpılması durumunda her asal çarpanın çarpımda tekrarlanacağı açıktır. çift sayıçarpı ve dolayısıyla payda kareye dönüşür:

Geriye √30'u bir miktar doğrulukla hesaplamak ve sonucu 12'ye bölmek kalır. 12'ye bölmenin aynı zamanda doğruluk derecesini gösteren kesri de azaltacağı unutulmamalıdır. Yani √30'u 1/10 doğrulukla bulup sonucu 12'ye bölersek, 1/120 doğrulukla (yani 54/120 ve 55/120) 5/24 kesirinin yaklaşık kökünü elde ederiz.

Üçüncü bölüm.

Bir fonksiyonun grafiğix = √y .

180. Ters fonksiyon. belirleyen bir denklem verilsin. en bir fonksiyonu olarak X örneğin şu şekilde: y = x 2 . Sadece belirlemediğini söyleyebiliriz. en bir fonksiyonu olarak X ama aynı zamanda tam tersini de belirler X bir fonksiyonu olarak en , örtülü bir şekilde de olsa. Bu fonksiyonu açık hale getirmek için bu denklemi çözmemiz gerekir. X , alıyor en için bilinen numara; Yani aldığımız denklemden şunları buluyoruz: y = x 2 .

Cebirsel ifade y'yi x'in bir fonksiyonu olarak belirleyen denklem çözüldükten sonra x için elde edilen fonksiyona, y'yi belirleyenin ters fonksiyonu denir.

Yani, fonksiyon x = √y ters fonksiyon y = x 2 . Geleneksel olduğu gibi bağımsız değişkeni belirtirsek X ve bağımlı en ise, şimdi elde edilen ters fonksiyon şu şekilde ifade edilebilir: y = √x . Bu nedenle, belirli bir (direkt) fonksiyonun ters fonksiyonunu elde etmek için, bunu belirleyen denklemden yararlanılmalıdır. bu fonksiyon, çıktı X bağlı olarak sen ve ortaya çıkan ifadede değiştirin sen Açık X , A X Açık sen .

181. Bir fonksiyonun grafiği y = √x . Bu işlev aşağıdakilerle mümkün değildir: negatif değer X , ancak herhangi bir durum için bunu (herhangi bir doğrulukla) hesaplamak mümkündür. pozitif değer X ve bu tür her değer için işlev iki tane alır farklı anlamlar aynısıyla mutlak değer, burun zıt işaretler. Eğer tanıdıksan √ Yalnızca karekökün aritmetik değerini belirtirsek, fonksiyonun bu iki değeri şu şekilde ifade edilebilir: y = ± √ x Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için önce değerlerinin bir tablosunu derlemeniz gerekir. Bu tabloyu oluşturmanın en kolay yolu doğrudan işlev değerleri tablosunu kullanmaktır:

y = x 2 .

sen

eğer değerler en değer olarak almak X ve tam tersi:

y = ± √ x

Tüm bu değerleri çizim üzerine çizerek aşağıdaki grafiği elde ederiz.

Aynı çizimde direkt fonksiyonun grafiğini (kesikli çizgiyle) gösterdik y = x 2 . Bu iki grafiği birbiriyle karşılaştıralım.

182. Doğrudan ve ters fonksiyonların grafikleri arasındaki ilişki. Değerler tablosu oluşturmak için ters fonksiyon y = ± √ x için aldık X doğrudan fonksiyon tablosundaki sayılar y = x 2 için değerler olarak görev yaptı en ve için en bu sayıları aldım; bu tabloda hangi değerler vardı X . Bundan, her iki grafiğin de aynı olduğu, yalnızca doğrudan fonksiyonun grafiğinin eksene göre bu şekilde konumlandırıldığı sonucu çıkar. en - ters fonksiyonun grafiğinin eksene göre nasıl konumlandırıldığı X - ov. Sonuç olarak, çizimi düz bir çizgi etrafında bükersek OA dik açıyı ikiye bölmek xOy böylece çizimin yarı ekseni içeren kısmı Ah , aks milini içeren parçanın üzerine düştü Ah , O Ah ile uyumlu Ah , tüm bölümler Ah bölünmelerle çakışacak Ah ve parabol noktaları y = x 2 grafikte karşılık gelen noktalarla hizalanacaktır y = ± √ x . Örneğin, puanlar M Ve N , kimin koordinatı 4 ve apsisler 2 Ve - 2 , noktalarla çakışacak M" Ve N" , bunun için apsis 4 ve koordinatlar 2 Ve - 2 . Bu noktalar çakışıyorsa bu, düz çizgilerin olduğu anlamına gelir. MM" Ve NN" dik OA ve bu düz çizgiyi ikiye bölün. Her iki grafikte de karşılık gelen diğer tüm noktalar için aynı şey söylenebilir.

Bu nedenle, ters fonksiyonun grafiği doğrudan fonksiyonun grafiğiyle aynı olmalıdır, ancak bu grafikler farklı şekilde, yani açının açıortayına göre birbirleriyle simetrik olarak konumlandırılmıştır. xOy . Ters fonksiyonun grafiğinin, açının açıortayına göre doğrudan fonksiyonun grafiğinin (aynada olduğu gibi) bir yansıması olduğunu söyleyebiliriz. xOy .