Kesirli rasyonel fonksiyonların belirsiz integralini bulun. Rasyonel kesirlerin integrali

Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu Kesirli - rasyonel fonksiyon En basiti rasyonel kesirler Rasyonel kesirlerin basit kesirlere ayrıştırılması Basit kesirlerin integrali Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural

derece polinomu Kesirli – rasyonel fonksiyon Kesirli – rasyonel fonksiyon fonksiyon denir orana eşit iki polinom: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani m ise rasyonel kesir denir.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kesirli – rasyonel fonksiyon Azaltma uygunsuz kesirİle doğru tür: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

En basit rasyonel kesirler Formun uygun rasyonel kesirleri: Bunlara türlerin en basit rasyonel kesirleri denir. balta A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teorem: Paydası çarpanlara ayrılmış herhangi bir uygun rasyonel kesir, ayrıca basit kesirlerin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teoremin formülasyonunu şu şekilde açıklayalım: aşağıdaki örnekler: A, B, C, D... belirsiz katsayılarını bulmak için iki yöntem kullanılır: katsayı karşılaştırma yöntemi ve kısmi değişken değerleri yöntemi. Bir örnek kullanarak ilk yönteme bakalım. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterin: Basit kesirleri şuna indirgeyelim: ortak payda Ortaya çıkan kesirlerin paylarını ve orijinal kesirlerin katsayılarını eşitleyelim. eşit derece x)52)(1(332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx)52)(1()1)(()52(2 2 xxx x.CBxxx.A 33252 222 xx.CBx.Cx.Bx .AAx Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

En basit kesirlerin integrali En basit rasyonel kesirlerin integrallerini bulalım: Bir örnek kullanarak tip 3 kesirlerin integraline bakalım. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Basit kesirlerin integralidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arktgt 33 2 9 ln 2 32 C x arktgxx 3 1 3 2 102 ln

Basit kesirlerin integrali İntegral bu türden ikame kullanarak: iki integralin toplamına indirgenir: İlk integral, diferansiyel işaretin altına t getirilerek hesaplanır. İkinci integral şu yineleme formülü kullanılarak hesaplanır: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt'de N dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Basit kesirlerin integrali a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural Kesir uygunsuzsa, bunu bir polinom ve uygun kesirin toplamı olarak gösterin. Uygun bir rasyonel kesirin paydasını çarpanlara ayırdıktan sonra, bunu katsayıları belirlenmeyen basit kesirlerin toplamı olarak temsil edin. belirsiz olasılıklar katsayıları karşılaştırma yöntemi veya bir değişkenin kısmi değerleri yöntemi. Polinomu ve elde edilen basit kesirlerin toplamını entegre edin.

Örnek Kesri doğru forma koyalım. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x

Örnek Uygun bir kesrin paydasını çarpanlara ayıralım Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterelim xxx xx değişkeninin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirlenmemiş katsayıları bulalım 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Örnek dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

KONU: Rasyonel kesirlerin integrali.

Dikkat! Temel entegrasyon yöntemlerinden biri olan rasyonel kesirlerin integralini incelerken, kesin kanıtları gerçekleştirmek için karmaşık alandaki polinomları dikkate almak gerekir. Bu nedenle gerekli önceden çalış bazı özellikler Karışık sayılar ve bunlara yönelik operasyonlar.

Basit rasyonel kesirlerin integrali.

Eğer P(z) Ve Q(z) karmaşık alandaki polinomlar ise rasyonel kesirlerdir. denir doğru, eğer derece P(z) daha az derece Q(z) , Ve yanlış, eğer derece R bir dereceden az değil Q.

Herhangi bir uygunsuz kesir şu şekilde temsil edilebilir: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

A R(z) – derecesi dereceden küçük olan polinom Q(z).

Dolayısıyla rasyonel kesirlerin entegrasyonu, polinomların, yani kuvvet fonksiyonlarının ve uygun kesirlerin entegrasyonuna iner, çünkü bu bir uygun kesirdir.

Tanım 5. En basit (veya temel) kesirler aşağıdaki kesir türleridir:

1) , 2) , 3) , 4) .

Nasıl entegre olduklarını öğrenelim.

3) (daha önce okuduk).

Teorem 5. Her uygun kesir, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir (kanıt olmadan).

Sonuç 1. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit gerçek kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 1.

Sonuç 2. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla gerçek kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. ve 2. türlerin basit kesirleri olacaktır. :

Örnek 2.

Sonuç 3. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit karmaşık eşlenik kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 3.

Sonuç 4. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla karmaşık eşlenik kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. ve 4.'ün basit kesirleri olacaktır. türleri:

Verilen açılımlardaki bilinmeyen katsayıları belirlemek için aşağıdaki şekilde ilerleyin. Sol ve Sağ Taraf bilinmeyen katsayılar içeren genişleme çarpılır. İki polinomun eşitliği elde edilir. Buradan, gerekli katsayılar için denklemler aşağıdakiler kullanılarak elde edilir:

1. Eşitlik X'in herhangi bir değeri için doğrudur (kısmi değer yöntemi). Bu durumda, herhangi bir m'nin bilinmeyen katsayıları bulmasına izin veren herhangi bir sayıda denklem elde edilir.

2. Katsayılar X'in aynı dereceleri için çakışır (belirsiz katsayılar yöntemi). Bu durumda, bilinmeyen katsayıların bulunduğu m - bilinmeyenli bir m - denklem sistemi elde edilir.

3. kombine yöntem.

Örnek 5. Bir kesri genişletin en basitine.

Çözüm:

A ve B katsayılarını bulalım.

Yöntem 1 - özel değer yöntemi:

Yöntem 2 – belirlenmemiş katsayılar yöntemi:

Cevap:

Rasyonel kesirlerin integrali.

Teorem 6. Herhangi bir rasyonel kesrin paydasının bulunmadığı herhangi bir aralıktaki belirsiz integrali sıfıra eşit, vardır ve aracılığıyla ifade edilir temel işlevler yani rasyonel kesirler, logaritmalar ve arktanjantlar.

Kanıt.

Şu formda rasyonel bir kesir hayal edelim: . Bu durumda son terim bir öz kesirdir ve Teorem 5'e göre basit kesirlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Böylece rasyonel bir kesrin entegrasyonu bir polinomun entegrasyonuna indirgenir. S(X) ve ters türevleri gösterildiği gibi teoremde belirtilen forma sahip olan basit kesirler.

Yorum. Bu durumda asıl zorluk, paydanın faktörlere ayrıştırılması, yani tüm köklerinin aranmasıdır.

Örnek 1. İntegrali bulun

2., 5.
,

3.
, 6.
.

1-3 integrallerinde sen kabul etmek . Ondan sonra N-formül (19)'un çoklu uygulanmasıyla tablo integrallerinden birine ulaşıyoruz

,
,
.

4-6 integrallerinde türev alırken aşkın faktörü basitleştirin
,
veya
olarak alınması gereken sen.

Aşağıdaki integralleri hesaplayın.

Örnek 7.

Örnek 8.

İntegralleri kendilerine indirgemek

Eğer integral
şu forma sahiptir:

,
,
ve benzeri,

daha sonra iki kez kısmi integral aldıktan sonra orijinal integrali içeren bir ifade elde ederiz :

Nerede
- biraz sabit.

Ortaya çıkan denklemin çözümü , orijinal integrali hesaplamak için bir formül elde ederiz:

Parçalara göre entegrasyon yönteminin uygulanmasına " integrali kendisine getirmek».

Örnek 9.İntegrali hesapla
.

Sağ tarafta orijinal integral var . Şuraya aktarıyorum: Sol Taraf, şunu elde ederiz:

Örnek 10.İntegrali hesapla
.

4.5. En basit rasyonel rasyonel kesirlerin integrali

Tanım.En basit uygun kesirler BEN , II Ve III türleri Aşağıdaki kesirler denir:

BEN. ;

II.
; (
- pozitif tamsayı);

III.
; (paydanın kökleri karmaşıktır, yani:
.

Basit kesirlerin integrallerini ele alalım.

BEN.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Kesrin payını paydaki terimi izole edecek şekilde dönüştürüyoruz
, paydanın türevine eşittir.

Elde edilen iki integralden ilkini ele alalım ve onda bir değişiklik yapalım:

İkinci integralde paydayı tam kareye ekliyoruz:

Son olarak, üçüncü türden bir kesrin integrali şuna eşittir:

=
+
. (22)

Böylece, tip I'in en basit kesirlerinin integrali logaritmalarla, tip II - rasyonel fonksiyonlarla, tip III - logaritmalar ve arktanjantlarla ifade edilir.

4.6.Kesirli-rasyonel fonksiyonların integrali

Temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilen bir integrale sahip fonksiyon sınıflarından biri, cebirsel rasyonel fonksiyonlar sınıfıdır, yani bir argüman üzerinde sonlu sayıda cebirsel işlemden kaynaklanan fonksiyonlardır.

Her rasyonel fonksiyon
iki polinomun oranı olarak temsil edilebilir
Ve
:

. (23)

Polinomların ortak köklerinin olmadığını varsayacağız.

(23) formunun bir kısmına denir doğru Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani, M< N. Aksi takdirde - yanlış.

Kesir uygun değilse, payı paydaya bölerek (polinomları bölme kuralına göre), kesri bir polinom ile uygun bir kesrin toplamı olarak sunarız:

, (24)

Nerede
- polinom, - uygun kesir ve polinomun derecesi
- dereceden yüksek değil ( N-1).

Örnek.

Bir polinomun entegrasyonu tablo integrallerinin toplamına indirgendiğinden güç fonksiyonu O halde rasyonel kesirlerin integralini almanın asıl zorluğu uygun rasyonel kesirlerin integralini almaktır.

Cebirde her uygun kesrin olduğu kanıtlanmıştır. yukarıdakilerin toplamına ayrışır tek hücreli hayvanşekli paydanın kökleri tarafından belirlenen kesirler
.

Üç özel durumu ele alalım. Burada ve ayrıca katsayının olduğunu varsayacağız. paydanın en yüksek derecesinde
bire eşit =1, yaniindirgenmiş polinom .

Dava 1. Paydanın kökleri, yani kökler
denklemler
=0, geçerli ve farklıdır. Daha sonra paydayı doğrusal faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz:

ve uygun kesir, I-gotipinin en basit kesirlerine ayrıştırılır:

, (26)

Nerede
- bazı sabit sayılar belirlenemeyen katsayılar yöntemiyle bulunur.

Bunu yapmak için ihtiyacınız var:

1. Genişlemenin sağ tarafını (26) ortak bir paydaya getirin.

2. Sol ve sağ tarafların payındaki aynı polinomların aynı güçlerinin katsayılarını eşitleyin. Belirlemek için bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz
.

3. Ortaya çıkan sistemi çözün ve belirlenemeyen katsayıları bulun
.

Daha sonra kesirli-rasyonel fonksiyonun (26) integrali şu şekilde olacaktır: toplamına eşit formül (20) kullanılarak hesaplanan, tip I'in en basit kesirlerinin integralleri.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm. Paydayı Vieta teoremini kullanarak çarpanlara ayıralım:

Daha sonra integral fonksiyonu basit kesirlerin toplamına ayrıştırılır:

Bunu bulmak için üç denklemli bir sistem yazalım.
X sol ve sağ tarafta:

Belirsiz katsayıları bulmanın daha basit bir yolunu gösterelim. kısmi değer yöntemi.

Eşitlik varsayalım (27)
aldık
, Neresi
. İnanmak
aldık
. Sonunda inanmak
aldık
.

Durum 2. Paydanın kökü
geçerlidir, ancak aralarında birden fazla (eşit) kök vardır. Daha sonra paydayı, karşılık gelen kökün çokluğuna göre, çarpıma dahil edilen doğrusal faktörlerin çarpımı olarak temsil ederiz:

Nerede
.

Uygun kesir I ve II. tip kesirlerin toplamı ayrıştırılacaktır. Örneğin, - çokluğun paydasının kökü k ve diğer herkes ( N- k) kökleri farklıdır.

Daha sonra genişleme şöyle görünecek:

Aynı şekilde başka birden fazla kök varsa. Çoklu olmayan kökler için genişleme (28), birinci türün en basit kesirlerini içerir.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm. Kesri, birinci ve ikinci türün katsayıları belirlenmemiş en basit kesirlerin toplamı olarak hayal edelim:

Sağ tarafı ortak bir paydaya getirelim ve sol ve sağ tarafların paylarındaki polinomları eşitleyelim:

Sağ tarafta aynı derecelere sahip benzerlerini sunuyoruz X:

Bulmak için dört denklemden oluşan bir sistem yazalım.
Ve . Bunu yapmak için katsayıları aynı güçlere eşitliyoruz X sol ve sağ tarafta

Durum 3. Paydanın kökleri arasında
karmaşık tek kökler vardır. Yani paydanın genişlemesi ikinci dereceden faktörleri içerir
, gerçek doğrusal faktörlere ayrıştırılamazlar ve tekrarlanmazlar.

Daha sonra, bir kesirin ayrıştırılmasında, bu tür faktörlerin her biri, tip III'ün en basit kesrine karşılık gelecektir. Doğrusal faktörler, tip I ve II'nin en basit kesirlerine karşılık gelir.

Örnek.İntegrali hesapla
.

Çözüm.
.

“Tıpkı bir sanatçı veya şair gibi bir matematikçi de modeller yaratır. Ve eğer kalıpları daha istikrarlıysa, bunun nedeni sadece fikirlerden oluşmasıdır... Bir matematikçinin desenleri, tıpkı bir sanatçının ya da şairin desenleri gibi, güzel olmalı; Renkler veya kelimeler gibi fikirlerin de birbiriyle uyumlu olması gerekir. Güzellik ilk şart: Dünyada çirkin matematiğe yer yok».

G.H.Hardy

İlk bölümde oldukça ilkellerin var olduğuna dikkat çekildi. basit işlevler artık temel işlevlerle ifade edilemeyen. Bu bağlamda, antitürevlerinin temel fonksiyonlar olduğunu doğru bir şekilde söyleyebileceğimiz fonksiyon sınıfları çok büyük pratik önem kazanır. Bu fonksiyon sınıfı şunları içerir: rasyonel fonksiyonlar, iki oranını temsil eden cebirsel polinomlar. Birçok problem rasyonel kesirlerin entegrasyonuna yol açmaktadır. Bu nedenle bu tür fonksiyonları entegre edebilmek çok önemlidir.

2.1.1. Kesirli rasyonel fonksiyonlar

Rasyonel kesir(veya kesirli rasyonel fonksiyon) iki cebirsel polinomun ilişkisi olarak adlandırılır:

nerede ve polinomlardır.

Bunu hatırlayalım polinom (polinom, tüm rasyonel fonksiyon) Nderece formun bir fonksiyonu denir

Nerede – gerçek sayılar. Örneğin,

– birinci dereceden polinom;

– dördüncü dereceden polinom vb.

Rasyonel kesir (2.1.1) denir doğru, eğer derece, dereceden düşükse, yani. N<M aksi halde kesir denir yanlış.

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinomun (tam kısım) ve uygun bir kesirin (kesirli kısım) toplamı olarak temsil edilebilir. Uygunsuz bir kesrin tam ve kesirli kısımlarının ayrılması, polinomları bir "köşe" ile bölme kuralına göre yapılabilir.

Örnek 2.1.1. Aşağıdaki uygunsuz rasyonel kesirlerin tam ve kesirli kısımlarını tanımlayın:

A) , B) .

Çözüm . a) “Köşe” bölme algoritmasını kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece elde ederiz

b) Burada ayrıca “köşe” bölme algoritmasını kullanıyoruz:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Özetleyelim. Genel durumda, rasyonel bir kesirin belirsiz integrali, polinomun ve uygun rasyonel kesrin integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir. Polinomların ters türevlerini bulmak zor değildir. Bu nedenle, aşağıda esas olarak uygun rasyonel kesirleri ele alacağız.

2.1.2. En basit rasyonel kesirler ve bunların entegrasyonu

Uygun rasyonel kesirler arasında dört tür vardır ve bunlar şöyle sınıflandırılır: en basit (temel) rasyonel kesirler:

3) ,

4) ,

bir tam sayı nerede, , yani ikinci dereceden üç terimli gerçek kökleri yoktur.

Tip 1 ve tip 2'nin basit kesirlerini entegre etmek çok fazla zorluk yaratmaz:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Şimdi 3. türdeki basit kesirlerin integralini ele alalım, ancak 4. türdeki kesirleri dikkate almayacağız.

Formun integralleriyle başlayalım

Bu integral genellikle paydanın tam karesinin ayrılmasıyla hesaplanır. Sonuç, aşağıdaki formun bir tablo integralidir

veya .

Örnek 2.1.2.İntegralleri bulun:

A) , B) .

Çözüm . a) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçin:

Buradan buluyoruz

b) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kareyi izole ederek şunu elde ederiz:

Böylece,

İntegrali bulmak için

paydanın türevini payda izole edebilir ve integrali iki integralin toplamına genişletebilirsiniz: bunlardan ilki yerine koyma yoluyla görünüşe geliyor

ve ikincisi - yukarıda tartışılana.

Örnek 2.1.3.İntegralleri bulun:

Çözüm . dikkat et ki . Paydanın türevini payda izole edelim:

İlk integral ikame kullanılarak hesaplanır :

İkinci integralde paydadaki tam kareyi seçiyoruz

Sonunda elde ettik

2.1.3. Uygun rasyonel kesir açılımı
basit kesirlerin toplamı için

Herhangi bir uygun rasyonel kesir basit kesirlerin toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir. Bunu yapmak için paydanın çarpanlara ayrılması gerekir. Yüksek cebirden, gerçek katsayılı her polinomun

İntegralleri temel fonksiyonlarla ifade edilen en önemli fonksiyon sınıflarından biri rasyonel fonksiyonlar sınıfıdır.

Tanım 1. Formun işlevi
- derece polinomlarıNVeMrasyonel denir. Tam bir rasyonel fonksiyon, yani. polinom, doğrudan integral alır. Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali, standart bir şekilde ana tablo integrallerine dönüştürülen terimlere ayrıştırılarak bulunabilir.

Tanım 2. Kesir
payın derecesi doğruysa doğru denirNpaydanın kuvvetinden daha azM. Payın derecesinin paydanın derecesinden büyük veya ona eşit olduğu kesire uygunsuz kesir denir.

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinom ile bir uygun kesrin toplamı olarak temsil edilebilir. Bu, sayıları bölmek gibi bir polinomu bir polinoma bölerek yapılır.

Örnek.

Bir kesir hayal edelim
bir polinom ve uygun bir kesirin toplamı olarak:

x - 1

İlk dönem
bölümde, baştaki terimin bölünmesi sonucu elde edilir
, baş terime bölünür X bölücü Sonra çarpıyoruz
bölen başına x-1 ve ortaya çıkan sonuç temettüden düşülür; Eksik bölümün geri kalan terimleri de benzer şekilde bulunur.

Polinomları böldüğümüzde şunu elde ederiz:

Bu eyleme bir parçanın tamamının seçilmesi denir.

Tanım 3. En basit kesirler, aşağıdaki türlerin uygun rasyonel kesirleridir:

BEN.

II.
(K=2, 3,…).

III.
kare trinomial nerede

IV.
burada K=2, 3, …; ikinci dereceden üç terimli
gerçek kökleri yoktur.

a) paydayı genişlet
en basit gerçek faktörlere (cebirin temel teoremine göre, bu genişleme şu formdaki doğrusal binomları içerebilir:
ve ikinci dereceden trinomialler
, kökleri olmayan);

b) belirli bir kesirin basit kesirlerin toplamına ayrışmasının bir diyagramını yazın. Ayrıca formun her bir faktörü
karşılık gelir k tip I ve II'nin bileşenleri:

formun her faktörüne
III ve IV tipi e şartlarına karşılık gelir:

Örnek.

Kesir genişletme şemasını yazın
en basitinin toplamı.

c) elde edilen en basit kesirlerin toplamasını yapın. Ortaya çıkan ve orijinal kesirlerin paylarının eşitliğini yazın;

d) karşılık gelen genişlemenin katsayılarını bulun:
(çözüm yöntemleri aşağıda tartışılacaktır);

e) katsayıların bulunan değerlerini ayrıştırma şemasına değiştirin.

Herhangi bir uygun rasyonel kesirin ayrıştırıldıktan sonra en basit terimlerle bütünleştirilmesi, aşağıdaki türlerden birinin integrallerini bulmaya indirgenir:

(k Ve e =2, 3, …).

İntegralin hesaplanması formül III'e indirgenir:

integral - formül II'ye:

integral ikinci dereceden bir üç terimli içeren fonksiyonların entegrasyon teorisinde belirtilen kuralla bulunabilir; - aşağıda örnek 4'te gösterilen dönüşümler yoluyla.

Örnek 1.

a) paydayı çarpanlarına ayırın:

b) integrali terimlere ayırmak için bir diyagram yazın:

c) basit kesirlerin eklenmesini gerçekleştirin:

Kesirlerin paylarının eşitliğini yazalım:

d) Bilinmeyen katsayılar A, B, C'yi bulmak için iki yöntem vardır.

İki polinom ancak ve ancak katsayıları aynı kuvvetler için eşitse eşittir X, böylece karşılık gelen denklem sistemini oluşturabilirsiniz. Bu çözüm yöntemlerinden biridir.

Katsayılar

ücretsiz üyeler (katsayısı ):4A=8.

Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: A=2, B=1, C= - 10.

Diğer bir yöntem olan özel değerler ise aşağıdaki örnekte ele alınacaktır;

e) bulunan değerleri ayrıştırma şemasına değiştirin:

Ortaya çıkan toplamı integral işareti altında yerine koyarsak ve her terimi ayrı ayrı entegre edersek şunu buluruz:

Örnek 2.

Kimlik, içinde yer alan bilinmeyenlerin her türlü değeri için geçerli olan bir eşitliktir. Buna dayanarak özel değer yöntemi. Verilebilir X herhangi bir değer. Eşitliğin sağ tarafındaki terimleri ortadan kaldıran değerlerin alınması hesaplamalar için daha uygundur.

İzin vermek x = 0. Daha sonra 1 = Bir 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Benzer şekilde x = - 2 sahibiz 1= - 2V*(-3), en x = 1 sahibiz 1 = 3A.

Buradan,

Örnek 3.

d) İlk önce kısmi değer yöntemini kullanıyoruz.

İzin vermek x = 0, Daha sonra 1 = Bir 1, Bir = 1.

Şu tarihte: x = - 1 sahibiz - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) veya 6 = - 3V, B = - 2.

C ve D katsayılarını bulmak için iki denklem daha oluşturmanız gerekir. Bunu yapmak için başka değerleri de alabilirsiniz X, Örneğin x = 1 Ve x = 2. İlk yöntemi kullanabilirsiniz, yani. herhangi bir özdeş güçteki katsayıları eşitleyin Xörneğin ne zaman Ve . Aldık