Kübik denklemler nasıl çözülür? Kübik denklemi çözmek için Cardano ve Vieta formülleri

Dersin Hedefleri.

1. Öğrencilerin “Yüksek dereceli denklemlerin çözümü” konusundaki bilgilerini derinleştirmek ve eğitim materyalini genelleştirmek.
2. Öğrencileri yüksek mertebeden denklemleri çözme teknikleriyle tanıştırın.
3. Öğrencilere daha yüksek dereceli denklemleri çözerken bölünebilirlik teorisini uygulamayı öğretin.
4. Öğrencilere bir polinomu köşe kullanarak bir polinoma nasıl böleceklerini öğretin.
5. Daha yüksek dereceli denklemlerle çalışmak için beceri ve yetenekler geliştirin.

Gelişimsel:

1. Öğrencilerin dikkatini geliştirmek.
2. İş sonuçlarına ulaşma yeteneğini geliştirmek.
3. Cebir ve bağımsız çalışma becerilerine yönelik ilginin geliştirilmesi.

Eğitim:

1. Kolektivizm duygusunu geliştirmek.
2. İşin sonucu için sorumluluk duygusunun oluşması.
3. Öğrencilerde oluşum yeterli özgüven sınıfta çalışmak için bir not seçerken.

Ekipman: bilgisayar, projektör.

Dersler sırasında

İşin 1. aşaması. Zamanı organize etmek.

İşin 2. aşaması. Motivasyon ve problem çözme

Denklem bir en önemli kavramlar matematik. Matematiğin bir bilim olarak doğuşundan itibaren denklem çözme yöntemlerinin geliştirilmesi, uzun zamandır cebirin ana konusuydu.

İÇİNDE okul kursu Matematik çalışmalarında çeşitli denklem türlerinin çözümüne çok dikkat edilir. Dokuzuncu sınıfa kadar sadece doğrusal ve ikinci dereceden denklemleri çözebiliyorduk. Üçüncü, dördüncü vb. denklemler. derecelere daha yüksek dereceli denklemler denir. Dokuzuncu sınıfta, üçüncü ve dördüncü dereceden bazı denklemleri çözmek için iki temel teknikle tanıştık: bir polinomu çarpanlara ayırma ve değişken değişimini kullanma.

Daha yüksek dereceli denklemleri çözmek mümkün müdür? Bugün bu sorunun cevabını bulmaya çalışacağız.

İşin 3. aşaması. Daha önce öğrenilen materyali gözden geçirin. Daha yüksek dereceli denklem kavramını tanıtın.

1) Doğrusal bir denklemin çözülmesi.

Formun bir denklemine tanım gereği doğrusal denir. Bu denklemin tek kökü vardır.

2) İkinci dereceden bir denklemin çözülmesi.

Formun bir denklemine ikinci dereceden denir , Nerede . Köklerin sayısı ve köklerin kendisi denklemin diskriminantıyla belirlenir. Çünkü denklemin kökleri yoktur, çünkü bir kökü vardır (iki özdeş kökler)

Ele alınan doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerden, denklemin kök sayısının, derecesinden fazla olmadığını görüyoruz. Daha yüksek bir cebir dersinde, 1. dereceden bir denklemin n'den fazla kökü olmadığı kanıtlanmıştır. Köklerin kendilerine gelince, durum çok daha karmaşıktır. Üçüncü ve dördüncü derece denklemler için kökleri bulma formülleri bilinmektedir. Ancak bu formüller oldukça karmaşık ve hantaldır. pratik uygulama Yok. Beşinci ve daha yüksek derecedeki denklemler için genel formüller yoktur ve bulunamaz (19. yüzyılda N. Abel ve E. Galois tarafından kanıtlandığı gibi).

Denklemlere üçüncü, dördüncü vb. diyeceğiz. daha yüksek dereceli denklemlerle dereceler. Bazı denklemler yüksek dereceler iki ana teknik kullanılarak çözülebilir: polinomun çarpanlara ayrılması veya değişken değişikliğinin kullanılması.

3) Kübik denklemin çözümü.

Haydi kübik denklemi çözelim

Polinomun terimlerini denklemin sol tarafında gruplayıp çarpanlarına ayıralım. Şunu elde ederiz:

Faktörlerden birinin olması durumunda faktörlerin çarpımı sıfıra eşittir. sıfıra eşit. Üç doğrusal denklem elde ederiz:

Yani bu kübik denklemin üç kökü vardır: ; ;.

4) İkinci dereceden denklemin çözümü.

Biquadratic denklemler çok yaygındır ve şu forma sahiptir (yani ,'ye göre ikinci dereceden denklemler). Bunları çözmek için yeni bir değişken tanıtıldı.

Haydi karar verelim bi ikinci dereceden denklem.

Yeni bir değişken tanıtalım ve kökleri sayılar ve 4 olan ikinci dereceden bir denklem elde edelim.

Eski değişkene dönelim ve iki basit ikinci dereceden denklem elde edelim:

Yani bu iki ikinci dereceden denklemin dört kökü vardır:

; ;.

Yukarıda özetlenen teknikleri kullanarak denklemi çözmeye çalışalım.

BAŞARISIZ!!!

İşin 4. aşaması. şeklindeki bir polinomun kökleri hakkında bazı ifadeler veriniz. n'inci polinom derece

Formdaki bir polinomun kökleri hakkında bazı ifadeler:

1) . dereceden bir polinomun (çoklukları dikkate alınarak) yalnızca kökleri vardır. Örneğin üçüncü dereceden bir polinomun dört kökü olamaz.

2) Polinom tek derece en az bir kökü vardır. Örneğin birinci, üçüncü, beşinci vb. polinomlar. derecelerin en az bir kökü vardır. Çift dereceli polinomların kökleri olmayabilir.

3) Segmentin uçlarında polinomun değerleri farklı işaretlere sahipse (örn. ), bu durumda aralık en az bir kök içerir. Bu ifade, bir polinomun köklerini yaklaşık olarak hesaplamak için yaygın olarak kullanılır.

4) Bir sayı, formdaki bir polinomun kökü ise, o zaman bu polinom, (th. dereceden bir polinomun) olduğu bir çarpım olarak temsil edilebilir. Başka bir deyişle, formun bir polinomu, kalan olmadan şu şekilde bölünebilir: bir binom Bu, n'inci dereceden denklemin ('inci dereceden) bir denkleme indirgenmesine izin verir (denklemin derecesi daha düşük).

5) Tüm tamsayı katsayıları (ve serbest terimi) içeren bir denklem bütün kök, o zaman bu kök bir bölendir Ücretsiz Üye. Bu ifade polinomun kökünün tamamını (eğer varsa) seçmenize olanak sağlar.

İşin 5. aşaması. Yüksek dereceli denklemlerin çözümünde bölünebilirlik teorisinin nasıl kullanıldığını gösterin. Sol tarafı çarpanlara ayırmak için bir polinomu bir polinomla bölmenin "köşe" yönteminin kullanıldığı daha yüksek dereceli denklem çözme örneklerini düşünün.

Örnek 1. Denklemi çözün .

Böylece aslında denklemin sol tarafını çarpanlara ayırdık:

Faktörlerden birinin sıfır olması durumunda faktörlerin çarpımı sıfırdır. İki denklem elde ederiz.

Kübik denklemlerin nasıl çözüleceğini açıklar. Bir kök bilindiğinde durum dikkate alınır. Tam sayıları bulma yöntemleri ve rasyonel kökler. Herhangi bir kübik denklemi çözmek için Cardano ve Vieta formüllerinin uygulanması.

Burada formun kübik denklemlerini çözmeyi düşünüyoruz
(1) .
Daha sonra bunların gerçek sayılar olduğunu varsayacağız.

(2) ,
daha sonra bunu bölerek, (1) formunda katsayılı bir denklem elde ederiz
.

Denklemin (1) üç kökü vardır: , ve . Köklerden biri her zaman gerçektir. Gerçek kökü olarak gösteririz. Kökler ve gerçek veya karmaşık eşlenik olabilir. Gerçek kökler birden fazla olabilir. Örneğin, if , ardından ve çift köktür (veya çoklu 2'nin kökleri) ve basit bir köktür.

Bir kök biliniyorsa

Kübik denklemin (1) bir kökünü bize bildirin. Bilinen kökü olarak gösterelim. Daha sonra denklem (1)'i bölerek ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. İkinci dereceden denklemi çözerek iki kök daha buluruz ve .

Bunu kanıtlamak için şu gerçeği kullanacağız: kübik polinomşu şekilde temsil edilebilir:
.
Daha sonra (1)'i bölerek ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Bölen polinomların örnekleri sayfada sunulmaktadır.
"Bir polinomun, köşesi ve sütunu olan bir polinomla bölünmesi ve çarpılması."
İkinci dereceden denklemlerin çözümü sayfada tartışılıyor
“İkinci dereceden bir denklemin kökleri.”

Köklerden biri bütün ise

Orijinal denklem şuysa:
(2) ,
ve katsayıları , , , tam sayıysa, tamsayı kökünü bulmayı deneyebilirsiniz. Bu denklemin bir tamsayı kökü varsa, o zaman katsayının bölenidir. Tamsayı köklerini bulmanın yöntemi, sayının tüm bölenlerini bulmamız ve denklem (2)'nin onlar için sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmemizdir. Denklem (2) sağlanırsa kökünü bulmuş oluruz. olarak belirtelim. Daha sonra denklem (2)'yi 'ye bölüyoruz. İkinci dereceden bir denklem elde ederiz. Bunu çözerek iki kök daha buluyoruz.

Tam kökleri tanımlama örnekleri sayfada verilmiştir.
Polinomların çarpanlarına ayrılması örnekleri > > > .

Rasyonel kökleri bulma

Denklem (2)'de , , , tam sayılarsa ve tam sayı kökleri yoksa, o zaman rasyonel kökleri, yani formun köklerini bulmayı deneyebilirsiniz, burada ve tamsayılardır.

Bunu yapmak için denklem (2)'yi ile çarpın ve değişimi yapın:
;
(3) .
Daha sonra serbest terimin bölenleri arasında denklemin (3) tamsayı köklerini ararız.

Denklemin (3) tam kökünü bulursak, değişkene dönersek şunu elde ederiz: rasyonel kök denklemler (2):
.

Kübik denklemi çözmek için Cardano ve Vieta formülleri

Tek bir kök bilmiyorsak ve tam kökler yoksa, o zaman kübik denklemin köklerini Cardano formüllerini kullanarak bulabiliriz.

Kübik denklemi düşünün:
(1) .
Bir değişiklik yapalım:
.
Bundan sonra denklem eksik veya indirgenmiş bir forma indirgenir:
(4) ,
Nerede
(5) ; .

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
G. Korn, Bilim Adamları ve Mühendisler için Matematik El Kitabı, 2012.

Simonyan Albina

Çalışmada kübik denklemlerin çözümüne yönelik teknikler ve yöntemler tartışılmaktadır. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlıktaki problemleri çözmek için Cardano formülünün uygulanması.

İndirmek:

Ön izleme:

Belediye Çocuk ve Gençlik Eğitim Kurumu Çocuk ve Gençlik Yaratıcılık Sarayı

Genç Araştırmacılar için Don Bilimler Akademisi

Bölüm: Matematik - Cebir ve Sayılar Teorisi

Araştırma

"Formüllerin dünyasına bakalım"

Bu konuda "3. Dereceden Denklemlerin Çözümü"

Başkan: matematik öğretmeni Babina Natalya Alekseevna

G.Salsk 2010

1. Giriş……………………………………………………………………………….3
2. Ana bölüm……………………………………………………………………………….4
3. Pratik kısım………………………………………………………………10-13
4. Sonuç………………………………………………………………………………….14
5. Edebiyat………………………………………………………………………………………..15
6. Uygulamalar

1. Giriş

Alınan matematik eğitimi orta okul, dır-dir temel bileşen Genel Eğitim ve genel kültür modern adam. Bir insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. A son başarılar fizikte, teknolojide, Bilişim teknolojisi gelecekte de durumun aynı kalacağına şüphe bırakmıyor. Bu nedenle birçok kişinin kararı pratik problemler bir karara varmak çeşitli türlerçözmeyi öğrenmeniz gereken denklemler. Doğrusal denklemler birinci sınıfta, bize birinci sınıfta çözme öğretildi ve özel ilgi Onlara herhangi bir endişe göstermedik. Daha ilginç doğrusal olmayan denklemler– denklemler daha yüksek dereceler. Matematik düzeni, simetriyi ve kesinliği ortaya çıkarır ve bu daha yüksek türler Güzel.

"Üçüncü dereceden kübik denklemlerin çözülmesi" konulu "Formüller dünyasına bakış" projemin amacı, kübik denklemlerin nasıl çözüleceğine ilişkin bilgiyi sistematikleştirmek, kökleri bulmak için bir formülün varlığı gerçeğini ortaya koymaktır. üçüncü dereceden bir denklemin yanı sıra kübik bir denklemdeki kökler ve katsayılar arasındaki bağlantı. Derste hem kübik hem de 3'ten büyük kuvvetleri olan denklemleri çözdük. Denklemleri çözme farklı yöntemler katsayıları ekledik, çıkardık, çarptık, böldük, kuvvetlerini yükselttik ve köklerini çıkardık kısacası şunu yaptık: cebirsel işlemler. İkinci dereceden denklemleri çözmek için bir formül var. Üçüncü dereceden bir denklemi çözmek için bir formül var mı? Köklerin elde edilebilmesi için katsayılarla hangi sırayla ve ne tür cebirsel işlemlerin yapılması gerektiği anlatılmaktadır. Deneyip denemediklerini bilmek ilgimi çekti ünlü matematikçiler bulmak Genel formül, kübik denklemleri çözmek için uygun mu? Peki deneseler denklemin katsayıları aracılığıyla kökler için bir ifade elde edebilecekler miydi?

2. Ana bölüm:

Bilgelerin bilinmeyen miktarlar içeren eşitlikler hakkında ilk kez düşünmeye başladıkları o uzak zamanlarda, muhtemelen madeni para veya cüzdan yoktu. Antik çağlarda matematik problemleri Mezopotamya, Hindistan, Çin, Yunanistan, bilinmeyen miktarlar bahçedeki tavus kuşlarının sayısını, sürüdeki boğa sayısını, mal paylaşımında dikkate alınan şeylerin bütünlüğünü ifade ediyordu. Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bazı genel teknikler Bilinmeyen miktarlarla ilgili problemleri çözme. Ancak tek bir papirüs değil, tek bir tane bile kil tablet bu tekniklere ilişkin herhangi bir açıklama verilmemiştir. Bunun bir istisnası, Yunan matematikçi İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) "Aritmetik"idir - çözümlerinin sistematik bir sunumuyla denklem oluşturmaya yönelik problemlerin bir derlemesi. Ancak sorunları çözmeye yönelik yaygın olarak bilinen ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed Ben Musa el-Harizmi.

“Formüllerin dünyasına bakalım…” projesini oluşturma fikri bu şekilde ortaya çıktı, temel konular bu proje haline gelmek:

1. kübik denklemlerin çözümü için bir formül olup olmadığının belirlenmesi;
2. Olumlu bir cevap olması durumunda kübik denklemin köklerini ifade eden bir formül arayın. son sayı katsayıları üzerinde cebirsel işlemler.

Ders kitaplarında ve matematikle ilgili diğer kitaplarda akıl yürütmelerin ve kanıtların çoğu temele dayalı değildir. spesifik örnekler ancak genel olarak fikrimi doğrulayan veya çürüten belirli örnekler aramaya karar verdim. Kübik denklemleri çözmek için bir formül ararken, ikinci dereceden denklemleri çözmek için tanıdık algoritmaları izlemeye karar verdim. Örneğin denklemi çözmek x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 (x+a) formülünü kullanarak tam bir küpü izole etti 3 =x 3 + 3x 2 a +3a 2 x+a 3 . Aldığım denklemin sol tarafındaki küpü tam olarak izole etmek için 2x'i çevirdim. 2'si 3x2'de ve bunlar. Eşitliğin adil olmasını sağlayacak bir şey arıyordum 2x2 = 3x2a . a = değerini hesaplamak zor olmadı. Dönüştürülen Sol Taraf verilen denklemşu şekilde: x 3 + 2x2 -5x-6=0

(x 3 +3x 2 a+ 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 y = x + değişimini yaptık, yani. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; 3 - 6y + 4- 6=0; Orijinal denklemşu şekli aldı: 3 - 6у - 2=0; Sonuç çok güzel bir denklem değil, çünkü denklemdeki bilinmeyenin karesini içeren terim ortadan kalkmış olmasına rağmen artık tam katsayılar yerine kesirli katsayılara sahibim! Hedefime daha yakın mıyım? Sonuçta geriye bilinmeyenin birinci derecesini içeren terim kalıyor. Belki de 5x teriminin ortadan kalkması için küpün tamamını seçmek gerekiyordu? (x+a) 3 =x 3 +3x 2 a+ 3a 2 x + a 3 . şöyle bir şey buldum yani 3a 2 x = -5x; onlar. yani bir 2 = - Ama burada durum oldukça kötü çıktı - bu eşitlikte solda pozitif bir sayı, sağda ise negatif bir sayı var. Böyle bir eşitlik olamaz. Denklemi henüz çözemedim; ancak forma getirebildim. 3 - 6у - 2=0.

Yani yaptığım çalışmanın sonucu İlk aşama: Kübik denklemden ikinci dereceyi içeren terimi çıkarmayı başardım, yani. eğer verilirse kanonik denklem Ah 3 +2'de +сх+d ise tamamlanmamış bir kübik denklem x'e indirgenebilir 3 +px+q=0. Ayrıca farklı çalışmalarla referans kitapları, denklemin şu şekilde olduğunu bulabildim x 3 + piksel = q İtalyan matematikçi Dal Ferro (1465-1526) bunu çözmeyi başardı. Neden bu tür için de bu tür için değil x 3 +px+q=0? Bu çünkü negatif sayılar henüz tanıtılmamıştı ve denklemler yalnızca pozitif katsayılarla dikkate alınıyordu. Ve negatif sayılar bir süre sonra tanındı.Tarihsel referans:Dal Ferro, yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerine ilişkin formüle benzetme yaparak çok sayıda seçenek seçmiştir. Şöyle düşündü: İkinci dereceden denklemin kökü - ± yani. şu forma sahiptir: x=t ±. Bu, kübik bir denklemin kökünün aynı zamanda bazı sayıların toplamı veya farkı olması gerektiği ve muhtemelen bunların arasında üçüncü derecenin köklerinin olması gerektiği anlamına gelir. Tam olarak hangileri? Çok sayıda seçenekten birinin başarılı olduğu ortaya çıktı: Cevabı bir fark şeklinde buldu - t ve u'nun = olacak şekilde seçilmesi gerektiğini tahmin etmek daha da zordu. X yerine farkı - ve p yerine çarpımı koymak Alınan: (-) 3 +3 (-)=q. Parantezleri açtık: t - 3 +3- u+3- 3=q. getirdikten sonra benzer üyeler elde edilen: t-u=q.

Sonuç bir denklem sistemidir:

t sen = () 3 t-u=q. Sağ ve solu oluşturalımbirinci denklemin bölümlerinin karesini alın, ikinci denklemi 4 ile çarpın ve birinci ve ikinci denklemleri ekleyin. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 İtibaren yeni sistem t+u=2; t -u=q elimizde: t= + ; u= - . İfadeyi x yerine koyarsak, şunu elde ederiz:Proje üzerinde çalışırken bazı ilginç materyaller öğrendim. Dal Ferro'nun bulduğu yöntemi yayınlamadığı ortaya çıktı, ancak öğrencilerinden bazıları bu keşiften haberdardı ve kısa süre sonra içlerinden biri olan Antonio Fiore bundan yararlanmaya karar verdi.O yıllarda kamuoyunda tartışmalar bilimsel konular. Bu tür tartışmaların galipleri genellikle iyi ödüller alıyor ve sıklıkla yüksek mevkilere davet ediliyorlardı.

Aynı zamanda, İtalya'nın Verona şehrinde Tartaglia (yani kekeme) lakaplı fakir bir matematik öğretmeni Nicolo (1499-1557) yaşıyordu. Çok yetenekliydi ve Dal Ferro tekniğini yeniden keşfetmeyi başardı (Ek 1).Fiore ile Tartaglia arasında bir düello gerçekleşti. Koşula göre rakipler, çözümüne 50 gün süre verilen otuz sorunu paylaştı. Ama çünkü Fior aslında sadece bir problem biliyordu ve bazı öğretmenlerin bunu çözemeyeceğinden emindi, sonra 30 problemin hepsinin aynı türde olduğu ortaya çıktı. Tartaglia onlarla 2 saat içinde ilgilendi. Fiore, düşmanın önerdiği tek bir sorunu bile çözemedi. Zafer, İtalya genelinde Tartaglia'yı yüceltti, ancak sorun tamamen çözülmedi. .

Gerolamo Cardano tüm bunları başardı. Dal Ferro'nun Tartaglia tarafından keşfedip yeniden keşfettiği formüle Cardano formülü denir (Ek 2).

Cardano Girolamo (24.9.1501-21.9.1576) - İtalyan matematikçi, tamirci ve doktor. Pavia'da doğdum. Pavia ve Padua üniversitelerinde okudu. Gençliğinde tıp okudu. 1534'te Milano ve Bologna'da matematik profesörü oldu. Matematikte Cardano adı genellikle N. Tartaglia'dan ödünç aldığı kübik denklemin çözümüne yönelik bir formülle ilişkilendirilir. Bu formül Cardano'nun "Büyük Sanat veya Cebir Kuralları Üzerine" (1545) adlı kitabında yayınlandı. O andan itibaren Tartaglia ve Cardano amansız düşmanlar haline geldi. Bu kitap, başta kübik denklemler olmak üzere denklemlerin çözümü için modern Cardano yöntemlerini sistematik olarak sunmaktadır. Cardano tamamlandı doğrusal dönüşüm, kübik denklemi 2. dereceden bir terimden bağımsız bir forma indirmemize olanak tanır ve denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiyi ve eğer a onun ise polinomun x –a farkına bölünebilirliğini gösterir. kök. Cardano, Avrupa'da varlığını kabul eden ilk kişilerden biriydi. negatif kökler denklemler. Eserlerinde ilk kez hayali büyüklükler karşımıza çıkıyor. Cardano, mekanik alanında kaldıraç ve ağırlık teorisini inceledi. Bir segmentin yanal hareketlerinden biri dik açı mekanikçiler kartı yeni bir hareket olarak adlandırıyor. Yani Cardano formülünü kullanarak formdaki denklemleri çözebilirsiniz. x 3 +рх+q=0 (Ek 3)

Sorun çözülmüş gibi görünüyor. Kübik denklemleri çözmek için bir formül var.

İşte burada!

Kökteki ifade ayrımcı D = () 2 + () 3 Denklemime geri dönmeye ve bunu Cardano formülünü kullanarak çözmeye karar verdim: Denklemim şöyle görünüyor: y 3 - 6у - 2=0, burada p= - 6=-; q = - 2 = - . Bunu hesaplamak kolaydır () 3 = =- ve () 2 = =, () 2 + () 3 = = - = - . Peki sırada ne var? Bu kesrin payından kökü kolayca çıkardım, 15 çıktı. Paydayla ne yapmalı? Kök tamamen çıkarılmamış olmakla kalmıyor, aynı zamanda negatif bir sayıdan da çıkarılması gerekiyor! Sorun ne? Bu denklemin köklerinin olmadığını varsayabiliriz çünkü D için Böylece proje üzerinde çalışırken başka bir sorunla karşılaştım.Sorun ne? Kökleri olan ancak bilinmeyenin karesi terimini içermeyen denklemler oluşturmaya başladım:

1. kökü x = - 4 olan bir denklem oluşturdu.

x 3 +15x+124=0 Ve gerçekten de kontrol ederek denklemin kökü -4 olduğuna ikna oldum. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Bu kökün Cardano formülünü kullanarak elde edilip edilemeyeceğini kontrol ettim x=+=+= =1- 5 =- 4

Anladım, x = -4.

1. gerçek kökü x=1 olan ikinci denklemi oluşturdu: x 3 + 3x – 4 =0 ve formülü kontrol ettik.

Ve bu durumda formül kusursuz işledi.

1. x denklemini buldum 3 +6x+2=0, bunun bir irrasyonel kökü var.

Karar verdikten sonra verilen denklem, bu kökü elde ettim x = - Ve sonra bir varsayımım vardı: denklemin yalnızca bir kökü varsa formül işe yaradı. Ve çözümü beni çıkmaza sokan denklemimin üç kökü vardı! Sebebini burada aramanız gerekiyor!Şimdi üç kökü olan bir denklem aldım: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. Diskriminant kontrol edildi: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

Tahmin ettiğim gibi, karekök işaretinin altında tekrar ortaya çıktı negatif bir sayı. Şu sonuca vardım:x denkleminin üç köküne giden yol 3 +px+q=0 Negatif bir sayının karekökünü almak gibi imkansız bir işlemin yapılmasına yol açar.

1. Şimdi denklemin iki kökü olması durumunda neyle karşılaşacağımı bulmam gerekiyor. İki kökü olan bir denklem seçtim: x 3 – 12 x + 16 = 0. p = -12, q = 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 =64-64=0 D = 64 – 64 = 0. Şimdi kübik bir denklemin kök sayısının şu şekilde olduğu sonucuna varabiliriz: x 3 +px+q=0 diskriminantın işaretine bağlıdır D=() 2 +() 3 Aşağıdaki şekilde:

D>0 ise denklemin 1 çözümü vardır.

Eğer D

Eğer D=0 ise denklemin 2 çözümü vardır.

Sonucumun onayını matematik üzerine bir referans kitabında buldum, yazar N.I. Yani benim sonucum: Kökün benzersiz olduğundan emin olduğumuzda Cardano'nun formülü kullanılabilir. Bana göre kübik denklemin köklerini bulmak için bir formül olduğunu tespit etmeyi başardı, ancak form için x 3 + piksel + q = 0.

3. Pratik kısım.

Proje üzerinde çalışmak “... parametrelerle ilgili bazı problemleri çözmemde bana çok yardımcı oldu. Örneğin:1. En azından ne kadar doğal değer ve denklem x 3 -3x+4=a'nın 1 çözümü var mı? Denklem şu şekilde yeniden yazıldı: x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. Koşula göre 1 çözümü olmalıdır, yani. D>0 D'yi bulalım. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

bir (-∞;2) (6; ∞)

a'nın bu aralıktaki en küçük doğal değeri 1'dir.

Cevap. 1

2. Ne zaman a parametresinin en büyük doğal değeri, denklem x 3 + x 2 -8x+2-a=0'ın üç kökü var mı?

Denklem x 3 + 3x 2 -24x+6-3a=0 y formuna indirgenir 3 +py+q=0, burada a=1; = 3'te; c=-24; d=6-3a burada q= - + ve 3 p = q=32-3a; p=-27. Bu tür denklem için D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; D 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 ve 1 = ==28 ve 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

bir (-7; 28)

a'nın bu aralıktaki en büyük doğal değeri 28'dir.

Cevap.28

3. a parametresinin değerlerine bağlı olarak denklemin kök sayısını bulun x 3 – 3x – a=0

Çözüm. Denklemde p=-3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

a (-∞;-2) (2;∞) için denklemin 1 çözümü vardır;

a (-2;2) olduğunda denklemin 3 kökü vardır;

a = -2 olduğunda; Denklem 2'nin 2 çözümü vardır.

Testler:

1. Denklemlerin kaç kökü vardır:

1) x 3 -12x+8=0?

a) 1; b) 2; 3'te; d)4

2) x 3 -9x+14=0

a) 1; b) 2; 3'te; d)4

2. p'nin hangi değerlerinde x denklemi 3 +px+8=0'ın iki kökü var mı?

a)3; b) 5; 3'te; d)5

Cevap: 1.d) 4

2.c) 3.

3.c)-3

Bizden 400 yıl önce Fransız matematikçi Francois Viète (1540-1603) (Ek 4), ikinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasında bağlantı kurmayı başarmıştı.

X1 + x2 = -p;

X 1 ∙x 2 =q.

Şunu bilmek ilgimi çekti: Üçüncü dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasında bir bağlantı kurmak mümkün mü? Eğer öyleyse, bu bağlantı nedir? Mini projem bu şekilde ortaya çıktı. Problemimi çözmek için ikinci dereceden denklemlerdeki mevcut becerilerimi kullanmaya karar verdim. Ben benzetmeyle hareket ettim. x denklemini aldım 3 + piksel 2 +qх+r =0. Denklemin köklerini belirtirsek x 1, x 2, x 3 ise denklem (x-x) şeklinde yazılabilir. 1 ) (x-x 2) (x-x 3 )=0 Parantezleri açtığımızda şunu elde ederiz: x 3 -(x 1 +x 2 +x 3)x 2 +(x 1 x 2 + x 1 x 3 +x 2 x 3)x - x 1 x 2 x 3 =0. Aşağıdaki sistemi aldık:

X1 + x2 + x3 = - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Böylece dereceleri keyfi olan denklemlerin köklerini katsayılarıyla ilişkilendirmek mümkündür.İlgimi çeken soruda Vieta teoreminden ne öğrenilebilir?

1. Denklemin tüm köklerinin çarpımı serbest terimin modülüne eşittir. Denklemin kökleri tam sayı ise serbest terimin bölenleri olmalıdır.

X denklemine geri dönelim 3 + 2x2 -5x-6=0. Tamsayılar şu kümeye ait olmalıdır: ±1; ±2; ±3; ±6. Sayıları tutarlı bir şekilde denklemde yerine koyarak kökleri elde ederiz: -3; -1; 2.

2. Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözerseniz Vieta teoremi bir “ipucu” verir:Ayrıştırma için grupları derlerken, serbest terimin bölenleri olan sayıların ortaya çıkması gerekir. Hemen öğrenemeyeceğiniz açıktır çünkü tüm bölenler denklemin kökleri değildir. Ve ne yazık ki, hiç işe yaramayabilir - sonuçta denklemin kökleri tam sayılar olmayabilir.

Denklemi çözelim x 3 +2x 2 -5x-6=0 çarpanlara ayırma. X 3 +2x 2 -5x-6=x 3 +(3x 2 - x 2)-3x-2x-6=x 2 (x+3)– x(x+3) – 2(x+3)=(x+3)(x 2 –x-2)= =(x+3)(x 2 +x -2x -2)=(x+3)(x(x+1)-2(x+1))=(x+2)(x+1)(x-2) Orijinal denklem şuna eşdeğerdir: : ( x+2)(x+1)(x-2)=0. Ve bu denklemin üç kökü var: -3;-1;2. Vieta teoreminin "ipucunu" kullanarak aşağıdaki denklemi çözdüm: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. Serbest terim bölenleri: ±1;±2;±4;±8;±16. X 3 -12x+16= x 3 -4x-8x+16= (x 3 -4x)-(8x-16)=x(x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

=(x-2)(x(x+2)-8)=(x-2)(x 2 +2x-8) (x-2)(x 2 +2x-8)=0 x-2=0 veya x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 =2. Cevap. -4; 2.

3. Ortaya çıkan eşitlik sistemini bilerek, denklemin bilinmeyen katsayılarını denklemin köklerinden bulabilirsiniz..

Testler:

1. Denklem x 3 + piksel 2 + 19x - 12=0'ın kökleri 1, 3, 4'tür. p katsayısını bulun; Cevap. a) 12; b) 19; 12'de; d) -8 2. Denklem x 3 – 10x2 + 41x +r=0'ın kökleri 2, 3, 5'tir. r katsayısını bulun; Cevap. a) 19; b) -10; c) 30; d) -30.

Bu projenin sonuçlarını uygulamaya yönelik görevler yeterli miktar M.I. tarafından düzenlenen üniversitelere başvuranlar için kılavuzda bulunabilir. Vieta teoremi bilgisi bu tür problemlerin çözümünde paha biçilemez yardımda bulunabilir.

№6.354

4. Sonuç

1. Cebirsel bir denklemin köklerini denklemin katsayıları aracılığıyla ifade eden bir formül vardır: burada D==() 2 + () 3 D>0, 1 çözüm. Cardano formülü.

2. Kübik denklemin köklerinin özelliği

X1 + x2 + x3 = - p;

X 1. x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

Sonuç olarak kübik denklemlerin köklerini katsayıları aracılığıyla ifade eden bir formülün olduğu ve denklemin kökleri ile katsayıları arasında da bir bağlantı olduğu sonucuna vardım.

5. Literatür:

1. Genç bir matematikçinin ansiklopedik sözlüğü. A.P. Savin. –M.: Pedagoji, 1989.

2.Matematikte birleşik devlet sınavı - 2004. Sorunlar ve çözümler. V.G.Agakov, N.D.Polyakov, M.P.Urukova ve diğerleri. Çuvaş yayınevi. Üniversite, 2004.

3.Parametreli denklemler ve eşitsizlikler. V.V.Mochalov, V.V. Parametreli denklemler ve eşitsizlikler: Ders Kitabı. ödenek. – Cheboksary: ​​​​Çuvaş Yayınevi. Üniv., 2004.

4.Matematik problemleri. Cebir. Referans kılavuzu. Vavilov V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987.

5. Matematikteki tüm rekabetçi problemlerin çözücüsü, M.I. M.P Bazhov'un adını taşıyan "Ukrayna Ansiklopedisi" yayınevi, 1993.

6.Bir cebir ders kitabının sayfalarının arkası. L.F.Pichurin.-M.: Eğitim, 1990.

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Formüllerin dünyasına bir göz atalım

Ortaokullarda alınan matematik eğitimi, modern insanın genel eğitiminin ve genel kültürünün önemli bir bileşenidir. Bir insanı çevreleyen hemen hemen her şey bir şekilde matematikle bağlantılıdır. Ve fizik, teknoloji ve bilgi teknolojisindeki son gelişmeler, gelecekte de durumun aynı kalacağı konusunda hiçbir şüpheye yer bırakmıyor. Bu nedenle, birçok pratik problemin çözümü, çözmeyi öğrenmeniz gereken çeşitli denklem türlerinin çözülmesine bağlıdır. Bize birinci sınıfta birinci dereceden lineer denklem çözme öğretildi ve biz bunlara pek ilgi göstermedik. Doğrusal olmayan denklemler daha ilginçtir - büyük dereceli denklemler. Matematik düzeni, simetriyi ve kesinliği ortaya çıkarır ve bunlar güzelliğin en yüksek türleridir. Giriiş:

denklem şu şekildedir: (1) denklemi tam küpü izole edecek şekilde dönüştürürüz: denklemleri 3 ile çarparız (1) (2) dönüştürürüz (2) elde ettiğimiz denklemler aşağıdaki denklem Denklemin sağ ve sol taraflarını (3) üçüncü kuvvetine çıkaralım, denklemin köklerini bulalım. Kübik denklem çözme örnekleri.

Diskriminantın olduğu formun ikinci dereceden denklemleri gerçek sayılar kök yok

Üçüncü derece denklem

Tarihsel arka plan: Bilgelerin bilinmeyen miktarlar içeren eşitlikler hakkında ilk kez düşünmeye başladıkları o uzak zamanlarda, muhtemelen madeni para veya cüzdan yoktu. Mezopotamya'nın, Hindistan'ın, Çin'in, Yunanistan'ın eski matematik problemlerinde bilinmeyen nicelikler, bahçedeki tavus kuşlarının sayısını, sürüdeki boğaların sayısını ve mal paylaşımında dikkate alınan şeylerin toplamını ifade ediyordu. Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bilinmeyen niceliklerdeki problemleri çözmek için bazı genel teknikleri olduğunu gösteriyor. Ancak tek bir papirüs veya kil tablette bu tekniklerin açıklaması yer almıyor. Bunun bir istisnası, Yunan matematikçi İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) "Aritmetik"idir - çözümlerinin sistematik bir sunumuyla denklem oluşturmaya yönelik problemlerin bir derlemesi. Ancak sorunları çözmeye yönelik yaygın olarak bilinen ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed Ben Musa el-Harizmi.

denklem şu şekildedir: (1) formülü uygula 1) Bul'u seçerek ve aşağıdaki eşitlik geçerli olacak şekilde denklemin (1) sol tarafını şu şekilde dönüştürürüz: küpün tamamını seçip toplamı y olarak alırız, elde ederiz y için bir denklem (2) basitleştirin (2) denklem ( 3) (3)'te bilinmeyenin karesini içeren terim kayboldu, ancak bilinmeyenin birinci derecesini içeren terim kaldı 2) seçimle, bulun ve böylece Böyle bir eşitlik imkansızdır çünkü solda pozitif bir sayı, solda ise negatif bir sayı vardır. Eğer bu yolu takip edersek takılıp kalırız... Seçtiğimiz yolda başarısız oluruz. Denklemi henüz çözemiyoruz.

Kübik denklemler (1) 1 şeklinde denklemlerdir. Denklemleri a'ya bölerek basitleştirelim, o zaman “x” katsayısı 1 olur, dolayısıyla herhangi bir kübik denklemin çözümü toplam küp formülüne dayanır. : (2) Eğer denklem (1)'i alırsak, denklem (2)'den yalnızca x'in katsayısı ve serbest terim açısından farklılık gösterir. Denklem (1) ve (2)'yi toplayıp benzerlerini sunalım: Burada bir yerine koyma yaparsak, y için terimiz kübik bir denklem elde ederiz:

Cardano Girolamo

Cardano Girolamo (24.9.1501-21.9.1576) - İtalyan matematikçi, tamirci ve doktor. Pavia'da doğdum. Pavia ve Padua üniversitelerinde okudu. Gençliğinde tıp okudu. 1534'te Milano ve Bologna'da matematik profesörü oldu. Matematikte Cardano adı genellikle N. Tartaglia'dan ödünç aldığı kübik denklemin çözümüne yönelik bir formülle ilişkilendirilir. Bu formül Cardano'nun "Büyük Sanat veya Cebir Kuralları Üzerine" (1545) adlı kitabında yayınlandı. O andan itibaren Tartaglia ve Cardano amansız düşmanlar haline geldi. Bu kitap, başta kübik denklemler olmak üzere denklemlerin çözümü için modern Cardano yöntemlerini sistematik olarak sunmaktadır. Cardano, kübik bir denklemi 2. dereceden terim içermeyen bir forma indirgemeyi mümkün kılan doğrusal bir dönüşüm gerçekleştirdi; denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiye ve polinomun x farkına bölünebilirliğine dikkat çekti. –a, eğer a onun kökü ise. Cardano, Avrupa'da denklemlerin negatif köklerinin varlığını kabul eden ilk kişilerden biriydi. Eserlerinde ilk kez hayali büyüklükler karşımıza çıkıyor. Cardano, mekanik alanında kaldıraç ve ağırlık teorisini inceledi. Bir parçanın mekaniğin dik açısının kenarları boyunca yaptığı hareketlerden birine kardan hareketi denir. Cardano Girolamo'nun Biyografisi

Aynı zamanda, İtalya'nın Verona şehrinde Tartaglia (yani kekeme) lakaplı fakir bir matematik öğretmeni Nicolo (1499-1557) yaşıyordu. Çok yetenekliydi ve Dal Ferro tekniğini yeniden keşfetmeyi başardı. Fiore ile Tartaglia arasında bir düello gerçekleşti. Şarta göre rakipler, çözümüne 50 gün süre verilen 30 sorunu paylaştı. Ancak Fior aslında tek bir problem bildiğinden ve bazı öğretmenlerin bunu çözemeyeceğinden emin olduğundan, 30 problemin hepsinin aynı türde olduğu ortaya çıktı. Tartaglia onlarla iki saat içinde ilgilendi. Fiore, düşmanın önerdiği tek bir sorunu bile çözemedi. Zafer, İtalya genelinde Tartaglia'yı yüceltti, ancak sorun tamamen çözülmedi. Bilinmeyen bir değere sahip bir kare içeren denklemin bir üyesiyle (tam bir küp seçmek) baş edebildiğimiz basit teknik henüz keşfedilmedi. denklemlerin çözümü farklı şekiller sisteme dahil edilmedi. Fiore'nin Tartaglia ile düellosu

verilen bir denklemden bir denklem elde edelim ve denklemin diskriminantını hesaplayalım. Bu denklemin kökü tamamen çıkarılmadığı gibi, aynı zamanda negatif bir sayıdan da çıkarılması gerekiyor. Sorun ne? Bu denklemin köklerinin olmadığını varsayabiliriz çünkü D

Kübik bir denklemin kökleri diskriminantına bağlıdır denklemin 1 çözümü vardır denklemin 3 çözümü vardır denklemin 2 çözümü vardır Sonuç

denklem şu şekildedir: Cardano formülünü kullanarak denklemin köklerini bulun Cardano formülünü kullanarak kübik denklemleri çözme örnekleri

verilen denklemden (1) formunda bir denklem ve koşul gereği bu denklemin 1 çözümü olması gerektiğinden, denklemin diskriminantını (1) hesaplayın + - + 2 6 Cevap: a'nın bundan en küçük doğal değeri aralık 1'dir. 1 çözümü olan bir denklemin en küçük doğal değeri nedir?

Kübik denklemleri Vieta yöntemini kullanarak çözme Denklemler şu şekildedir:

Vieta teoremi ve elimizdeki koşula göre iki kökünün çarpımının 1'e eşit olduğu biliniyorsa bir denklemi çözün veya değeri ilk denklemde değiştirin veya üçüncü denklemdeki değeri köklerini aldığımız ilk denklemde değiştirin denklem veya Cevap:

Kullanılan literatür: “Matematik. Eğitimsel ve metodolojik el kitabı"Yu.A. Gusman, A.O. Smirnov. Ansiklopedi “Dünyayı keşfediyorum. Matematik" - Moskova, AST, 1996. "Matematik. Eğitimsel ve metodolojik el kitabı » V.T. Lisichkin. Üniversitelere başvuranlar için M.I. Bekar Devlet sınavı matematikte – 2004

İlginiz için teşekkür ederiz

Kübik denklem – cebirsel denklemüçüncü derece. Kübik denklemin genel formu: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0

Bu denklemdeki x'i, x = y – (b/3a) eşitliği ile x ile ilişkilendirilen yeni bir bilinmeyen y ile değiştirerek kübik denklem daha basit (kanonik) bir forma indirgenebilir: y3 + pу + q = 0, burada p = - b2 + c , q = 2b – bс + d

3a2 a 27a3 3a2 a bu denklemin çözümü Cardano formülü kullanılarak elde edilebilir.

1. 1 Kübik denklemlerin tarihi

"Kübik denklem" terimi R. Descartes (1619) ve W. Oughtred (1631) tarafından tanıtıldı.

Kübik denklemlere indirgenebilecek problemlere çözüm bulmaya yönelik ilk girişimler eski matematikçiler tarafından yapıldı (örneğin, bir küpü ikiye katlama ve bir açının üçe bölünmesi problemi).

Doğu'nun Orta Çağ matematikçileri oldukça yaratıcı şeyler yarattılar. gelişmiş teori(V geometrik şekil) kübik denklemler; cebir ve almukabala "Omara Haya" (yaklaşık 1070) problemlerinin kanıtları üzerine incelemede en kapsamlı şekilde ortaya konmuştur; pozitif kökler Yalnızca her iki tarafı da pozitif katsayılı terimler içeren 14 tür kübik denklem.

Avrupa'da ilk kez trigonometrik form Kübik denklemin bir durumunun çözümü Vieth (1953) tarafından verilmiştir.

Kübik denklem türlerinden birinin radikallerdeki ilk çözümü S. Ferro (1515 civarında) tarafından bulundu, ancak yayınlanmadı. Keşif, diğer iki tür kübik denklemin çözümü için bir kurala işaret ederek Tartaglia (1535) tarafından bağımsız olarak tekrarlandı. Bu keşifler 1545 yılında N. Tartaglia'nın yazarlığından bahseden G. Cardano tarafından yayınlandı.

15. yüzyılın sonunda. Roma ve Milano Üniversitelerinde Matematik Profesörü Luca Pacioli, ünlü ders kitabı “Aritmetik, Geometri, İlişkiler ve Orantılılık Bilgisinin Toplamı” adlı kitabında bulma problemini bulma genel yöntem kübik denklemleri çözmek için bunu bir dairenin karesi alma problemiyle aynı kefeye koydu. Ancak İtalyan cebircilerin çabaları sayesinde böyle bir yöntem kısa sürede bulundu.

Basitleştirmeyle başlayalım

Kübik denklem ise Genel görünüm ax3 + bx2 + cx + d = 0, burada a ≠ 0, a'ya bölünürse, x3 katsayısı 1'e eşit olacaktır. Bu nedenle gelecekte x3 + Px2 + Qx + R = 0 denkleminden ilerleyeceğiz. (1)

İkinci dereceden bir denklemin çözümü, toplamın karesi formülüne dayandığı gibi, üçüncü dereceden bir denklemin çözümü de toplamın küpü formülüne dayanır:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Katsayılarda kafa karışıklığı yaratmamak için burayı x ile değiştirip terimleri yeniden düzenleyelim:

(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)

B'yi uygun şekilde kullanarak, yani b = P/3 alarak bunu başarabileceğimizi görüyoruz. sağ kısım Bu formül x3 + Px2 + Qx + R = 0 denkleminin sol tarafından yalnızca x'in katsayısı ve serbest terim açısından farklılık gösterecektir. x3 + Px2 + Qx + R = 0 ve (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 denklemini toplayıp benzerlerini verelim:

(x + b)3 + (Q – 3b2)x + R – b3 = 0.

Burada y = x + b değişimini yaparsak, y2 terimi olmadan y için kübik bir denklem elde ederiz: y3 + py + q = 0.

Böylece x3 + Px2 + Qx + R = 0 kübik denkleminde uygun bir ikame kullanarak bilinmeyenin karesini içeren terimden kurtulabileceğimizi gösterdik. Bu nedenle şimdi x3 + рх + q = 0 formundaki bir denklemi çözeceğiz. (3)

1. 2 Cardano formülünün tarihçesi

Cardano formülü, adını onu ilk kez 1545'te yayınlayan G. Cardano'dan almıştır.

Bu formülün yazarı Niccolo Tartaglia'dır. Bu çözümü 1535 yılında, doğal olarak kazandığı bir matematik yarışmasına katılmak için özel olarak yarattı. Formülü (şiirsel biçimde) Cardano'ya ileten Tartaglia, kübik denklemin çözümünün yalnızca kökün bir (gerçek) değere sahip olduğu kısmını sundu.

Cardano'nun bu formüldeki sonuçları, denklemin üç değere sahip olduğu indirgenemez durum olarak adlandırılan durumun dikkate alınmasıyla ilgilidir ( gerçek değerler, o günlerde bu yönde girişimler olmasına rağmen ne hayali ne de negatif sayılar vardı. Ancak Cardano'nun yayınında Tartaglia'nın yazarı olduğunu belirttiğinin aksine formül Cardano'nun adıyla anılıyor.

1. 3 Cardano Formülü

Şimdi tekrar toplam küp formülüne dönelim, ancak bunu farklı şekilde yazalım:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

Bu girişi x3 + px + q = 0 denklemiyle karşılaştırın ve aralarında bir bağlantı kurmaya çalışın. Formülümüzde x = a + b'yi yerine koyalım: x3 = a3 + b3 + 3abx veya x3 – 3abx – (a3 + b3) = 0

Şimdi açıktır: x3 + рх + q = 0 denkleminin kökünü bulmak için a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q denklem sistemini çözmek yeterlidir veya

3ab = - p,a3b3 = - p 3,

3 ve a ile b'nin toplamını x olarak alalım. u = a3, v = b3 değiştirilerek bu sistem tamamen indirgenir basit görünüm: ve + v = - q ve v = - p 3.

O zaman farklı şekillerde hareket edebilirsiniz, ancak tüm "yollar" aynı ikinci dereceden denkleme yol açacaktır. Örneğin Vieta teoremine göre indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı eksi işaretli x katsayısına, çarpım ise serbest terime eşittir. Buradan her ikisinin de ve v'nin t2 + qt – (p/3)3 = 0 denkleminin kökleri olduğu sonucu çıkar.

Bu kökleri yazalım: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

a ve b değişkenleri eşittir küp kökleri t1 ve t2'den ve x3 + рх + q = 0 kübik denkleminin istenen çözümü şu köklerin toplamıdır: x = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.

Bu formül Cardano formülü olarak bilinir.

Denklemleri çözme

Cardano'nun formülüne çalışmadan bakmadan önce, x3 + px + q = 0 kübik denkleminin bir kökünün varsa diğer köklerini bulmak için nasıl kullanılacağını açıklayalım.

Bilinsin ki denklemimizin kökü h'dir. Daha sonra sol tarafı doğrusal olarak ayrıştırılabilir ve kare faktörler. Bu çok basit bir şekilde yapılır. Serbest terimin ifadesini q = - h3 – ph kökü aracılığıyla denklemde yerine koyarız ve küp farkı formülünü kullanırız:

0 = x3 – h3 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h2) + p(x - h) = (x – h)(x2 + hx + h2 + p).

Artık ikinci dereceden x2 + hx + h2 + p = 0 denklemini çözebilir ve bu kübik denklemin kalan köklerini bulabilirsiniz.

Yani tamamen silahlıyız ve öyle görünüyor ki herhangi bir kübik denklemle başa çıkabiliriz. Elimizi deneyelim.

1. x3 + 6x – 2 = 0 denklemiyle başlayalım

Cardano formülünde p = 6 ve q = -2 yerine koyarız ve basit kısaltmalardan sonra cevabı elde ederiz: x = 3√4 – 3√2. Formül oldukça güzel. Sadece denklemin sol tarafından x - (3√4 - 3√2) faktörünü çıkarma ve diğer kökleri hesaplamak için kalan ikinci dereceden denklemi “korkunç” katsayılarla çözme ihtimali pek ilham verici değil. Ancak denkleme daha yakından baktığınızda sakinleşebilirsiniz: sol taraftaki fonksiyon kesin olarak artmaktadır ve bu nedenle yalnızca bir kez yok olabilir. Bu, bulunan sayının denklemin tek gerçek kökü olduğu anlamına gelir.

y y = x3 + 6x – 2

3√4 – 3√2 x

Pirinç. 1 y = x3 + 6x – 2 fonksiyonunun grafiği apsis eksenini bir noktada - 3√4 – 3√2 kesiyor.

2. Sonraki örnek– denklem x3 + 3x – 4 = 0.

Cardano'nun formülü x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5'i verir.

Önceki örnekte olduğu gibi bu kökün benzersiz olduğunu görüyoruz. Ancak denkleme bakarak onun kökünü tahmin etmek için çok ileri görüşlü olmanıza gerek yok: x = 1. Formülün sıradan bir birimi bu kadar tuhaf bir biçimde ürettiğini kabul etmeliyiz. Bu arada, bu hantal ama zarafetten yoksun olmayan ifadeyi basitleştirmek için cebirsel dönüşümler başarısız olur - içindeki kübik mantıksızlıklar giderilemez.

3. Şimdi açıkça üç gerçek kökü olan bir denklemi ele alalım. Oluşturması kolaydır; yalnızca x – b biçimindeki üç parantezi çarpmanız yeterlidir. Sadece köklerin toplamının sıfıra eşit olduğundan emin olmanız gerekir, çünkü genel teorem Vieta, x2'deki katsayıdan yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir. Bu tür köklerin en basit kümesi 0, 1 ve -1'dir.

Cardano formülünü x (x – 1)(x + 1) = 0 veya x3 – x = 0 denklemine uygulayalım.

İçine p = -1 ve q = 0 koyarak x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27 elde ederiz.

y y = x (x - 1)(x + 1)

Pirinç. 2 x (x – 1)(x + 1) = 0 denkleminin üç gerçel kökü vardır: -1, 0 ve 1. Buna göre y = x (x – 1)(x + 1) fonksiyonunun grafiği x ekseni üç noktada.

Karekök işaretinin altında negatif bir sayı belirdi. Bu aynı zamanda ikinci dereceden denklemleri çözerken de olur. Ancak bu durumda ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, kübik denklemin ise üç kökü vardır!

Daha Kapsamlı analiz bu tuzağa tesadüfen düşmediğimizi gösteriyor. x3 + px + q = 0 denkleminin üç gerçek kökü vardır, ancak ve ancak Δ = (q/2)2 + (p/3)3 ifadesi varsa kare kök Cardano formülünde negatiftir. Δ > 0 ise, o zaman bir gerçek kök vardır (Şekil 3, b) ve eğer Δ = 0 ise, o zaman iki tane vardır (bunlardan biri çifttir), ancak p = q = 0 durumu hariç, üçü de kökler birleşir.

y Δ 0 y = -pх - q y = x3

0 x 0 x y = -pх - q y = x3 a) b)

Pirinç. 3 Kübik denklem x3 + px + q = 0 x3 = -px – q olarak gösterilebilir. Buradan denklemin köklerinin iki grafiğin kesişme noktalarının apsisine karşılık geleceğini görebiliriz: y = x3 ve y = -px – q. Eğer Δ 0 – bir.

1. 4 Vieta teoremi

Vieta'nın teoremi. Eğer bütünse rasyonel denklem derece n, azaltılmış standart görünüm, x1, x2,'nin n farklı gerçek kökü vardır. xn ise şu eşitlikleri sağlarlar: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 · x2 · · xn = (-1)nаn.

Üçüncü derece denklemin kökleri için a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, burada a0 ≠ 0, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir: x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3.

1. 5 Bezout teoremi. Horner şeması

Denklem çözmek polinomları çarpanlara ayırmayla yakından ilgilidir. Bu nedenle denklemleri çözerken polinomdaki seçimle ilgili her şey önemlidir. doğrusal çarpanlar, yani A(x) polinomunun x – α binomuna bölünmesiyle. A(x) polinomunun binom x – α'ya bölünmesiyle ilgili birçok bilginin temeli, şu teoremden kaynaklanmaktadır: Fransız matematikçi Etienne Bezout (1730-1783) ve onun adını taşıyor.

Bezout'un teoremi. A(x) polinomunun binom x – α'ya bölünmesinin geri kalanı A(α)'ya eşittir (yani A(x) polinomunun x = α'daki değeri).

A(x) = x4 – 6x3 + 8 polinomunu x + 2'ye böldüğümüzde kalanı bulalım.

Çözüm. Bezout teoremine göre x + 2'ye bölümden kalan A(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72 olur.

Bir polinomun değerlerini bulmanın uygun bir yolu değeri belirle X değişkeni İngiliz matematikçi Williams George Horner (1786-1837) tarafından tanıtıldı. Bu yöntem daha sonra Horner şeması olarak bilinmeye başlandı. İki satırlık bir tablonun doldurulmasından oluşur. Örneğin, önceki örnekte A(-2)'yi hesaplamak için tablonun üst satırında bu polinomun standart x4 – 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 biçiminde yazılan katsayılarını listeliyoruz. x2 + 0x + 8.

En yüksek derecenin katsayısını alt satıra kopyalıyoruz ve ondan önce polinomun değerinin hesaplandığı x = -2 değişkeninin değerini yazıyoruz. Bunun sonucunda aşağıdaki tablo ortaya çıkar:

Tablonun boş hücrelerini aşağıdakilere göre doldurun: sonraki kural: En alt satırda en sağdaki sayı -2 ile çarpılarak boş hücrenin üzerindeki sayıya eklenir. Bu kurala göre ilk boş hücre (-2) 1 + (-6) = -8 sayısını, ikinci boş hücre (-2) (-8) + 0 = 16 sayısını, üçüncü hücre ise (-2) (-6) = -8 sayısını içerir. sayı (- 2) · 16 + 0 = - 32, son hücrede - sayı (-2) · (-32) + 8 = 72. Horner'ın şemasına göre tamamen doldurulmuş tablo şuna benzer:

2 1 -8 16 -32 72

Son hücredeki sayı polinomun x + 2'ye bölünmesinden kalandır, A(-2) = 72.

Aslında, Horner şemasına göre doldurulmuş ortaya çıkan tablodan, yalnızca geri kalan kısmı değil aynı zamanda eksik bölümü de yazmak mümkündür.

Q(x) = x3 – 8x2 + 16x – 32, çünkü ikinci satırdaki sayı (sonuncudan itibaren sayılmaz) Q(x) polinomunun katsayılarıdır - x + 2'ye bölünmenin eksik bölümü.

x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 denklemini çözelim

Denklemin serbest teriminin tüm bölenlerini yazalım: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

x = 1, x = -2, x = 3

Cevap: x = 1, x = -2, x = 3

2. SONUÇ

Yapılan işle ilgili ana sonuçları formüle edeceğim.

Çalışma sürecinde üçüncü dereceden bir denklem çözme probleminin gelişim tarihi hakkında bilgi sahibi oldum. Elde edilen sonuçların teorik önemi, bazı üçüncü derece denklemlerin çözümünde bilinçli olarak Cardano formülünün yerini almasıdır. Üçüncü dereceden bir denklemi çözmek için bir formülün var olduğuna ikna olmuştum, ancak hantal doğası nedeniyle popüler değil ve her zaman nihai sonuca ulaşmadığı için pek güvenilir değil.

Gelecekte şu soruları ele alabiliriz: üçüncü dereceden bir denklemin hangi köklerine sahip olduğunu önceden nasıl öğrenebiliriz; Kübik bir denklemi çözmek mümkün mü? grafiksel olarak mümkünse nasıl; Kübik bir denklemin kökleri yaklaşık olarak nasıl tahmin edilir?