Cómo encontrar la base de una altura en una pirámide. Propiedades básicas de una pirámide regular.

Vídeotutorial 2: Problema de pirámide. Volumen de la pirámide

Vídeotutorial 3: Problema de la pirámide. Pirámide correcta

Conferencia: La pirámide, su base, costillas laterales, altura, superficie lateral; Pirámide triangular; pirámide regular

Pirámide- Este cuerpo volumétrico, que tiene un polígono en su base y todas sus caras están formadas por triángulos.

Un caso especial de pirámide es un cono con un círculo en su base.

Veamos los elementos principales de la pirámide:

Apotema- este es un segmento que conecta la parte superior de la pirámide con la mitad del borde inferior de la cara lateral. En otras palabras, esta es la altura del borde de la pirámide.

En la figura puedes ver los triángulos ADS, ABS, BCS, CDS. Si miras atentamente los nombres, puedes ver que cada triángulo tiene uno carta común– S. Es decir, esto significa que todo caras laterales(triángulos) convergen en un punto, que se llama la cima de la pirámide.

El segmento OS que conecta el vértice con el punto de intersección de las diagonales de la base (en el caso de triángulos, en el punto de intersección de las alturas) se llama altura de la pirámide.

Una sección diagonal es un plano que pasa por la cima de la pirámide, así como por una de las diagonales de la base.

Dado que la superficie lateral de la pirámide está formada por triángulos, para encontrar el área total de la superficie lateral es necesario encontrar el área de cada cara y sumarlas. El número y la forma de las caras depende de la forma y el tamaño de los lados del polígono que se encuentra en la base.

El único plano de una pirámide que no pertenece a su vértice se llama base pirámides.

En la figura vemos que la base es un paralelogramo, sin embargo, puede ser cualquier polígono arbitrario.

Propiedades:

Consideremos el primer caso de una pirámide, en la que tiene aristas de la misma longitud:

• Se puede dibujar un círculo alrededor de la base de dicha pirámide. Si proyecta la cima de dicha pirámide, su proyección estará ubicada en el centro del círculo.
• Los ángulos en la base de la pirámide son iguales en cada cara.
• Donde condición suficiente Además del hecho de que se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, y también podemos suponer que todas las aristas tienen diferentes longitudes, podemos considerar los mismos ángulos entre la base y cada arista de las caras.

Si te encuentras con una pirámide en la que los ángulos entre las caras laterales y la base son iguales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

• Podrás describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, cuyo vértice se proyecta exactamente en el centro.
• Si dibuja cada borde lateral de la altura hasta la base, tendrán la misma longitud.
• Para encontrar el área de la superficie lateral de dicha pirámide, basta con encontrar el perímetro de la base y multiplicarlo por la mitad de la altura.
• S pb = 0,5P oc H.
• Tipos de pirámide.
• Dependiendo de qué polígono se encuentre en la base de la pirámide, pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc. Si la base de la pirámide se encuentra polígono regular(Con lados iguales), entonces dicha pirámide se llamará regular.

Pirámide triangular regular

Una figura tridimensional que suele aparecer en los problemas geométricos es la pirámide. La más simple de todas las figuras de esta clase es la triangular. En este artículo analizaremos en detalle. fórmulas básicas y propiedades de la correcta

Ideas geométricas sobre la figura.

Antes de pasar a las propiedades pirámide regular triangular, echemos un vistazo más de cerca a qué tipo de figura estamos hablando.

Supongamos que hay triangulo arbitrario V espacio tridimensional. Seleccionemos cualquier punto de este espacio que no se encuentre en el plano del triángulo y conectémoslo con los tres vértices del triángulo. Tenemos una pirámide triangular.

Consta de 4 lados, todos los cuales son triángulos. Los puntos donde se encuentran tres caras se llaman vértices. La figura también tiene cuatro de ellos. Las líneas de intersección de dos caras son aristas. La pirámide en cuestión tiene 6 aristas. La siguiente figura muestra un ejemplo de esta figura.

Como la figura está formada por cuatro lados, también se le llama tetraedro.

Pirámide correcta

Arriba consideramos una figura arbitraria con base triangular. Ahora supongamos que tenemos segmento perpendicular desde la cima de la pirámide hasta su base. Este segmento se llama altura. Evidentemente, puedes dibujar 4 alturas diferentes para la figura. Si la altura se cruza en centro geométrico base triangular, entonces dicha pirámide se llama recta.

Una pirámide recta, cuya base es un triángulo equilátero, se llama regular. Para ella, los tres triángulos que forman la superficie lateral de la figura son isósceles e iguales entre sí. Un caso especial de una pirámide regular es la situación en la que los cuatro lados son triángulos equiláteros idénticos.

Consideremos las propiedades de una pirámide triangular regular y demos las fórmulas correspondientes para calcular sus parámetros.

Lado base, altura, borde lateral y apotema.

Dos cualesquiera de los parámetros enumerados determinan de forma única las otras dos características. Presentemos fórmulas que relacionen estas cantidades.

Supongamos que el lado de la base de una pirámide triangular regular es a. La longitud de su borde lateral es b. ¿Cuál será la altura de una pirámide triangular regular y su apotema?

Para la altura h obtenemos la expresión:

Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras, según el cual el borde lateral, la altura y 2/3 de la altura de la base son.

La apotema de una pirámide es la altura de cualquier triangulo lateral. La longitud de la apotema a b es igual a:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

De estas fórmulas se desprende claramente que cualquiera que sea el lado de la base de una pirámide regular triangular y la longitud de su arista lateral, la apotema siempre será más altura pirámides.

Las dos fórmulas presentadas contienen las cuatro características lineales de la figura en cuestión. Por lo tanto, dados los dos conocidos, puedes encontrar el resto resolviendo el sistema de igualdades escritas.

Volumen de la figura

Para absolutamente cualquier pirámide (incluida una inclinada), el valor del volumen de espacio limitado por ella se puede determinar conociendo la altura de la figura y el área de su base. Fórmula correspondiente tiene la forma:

Aplicando esta expresión a la figura considerada, obtenemos la siguiente fórmula:

Donde la altura de una pirámide triangular regular es h y su lado de base es a.

No es difícil obtener una fórmula para el volumen de un tetraedro en el que todos los lados son iguales y representan triángulos equiláteros. En este caso, el volumen de la figura está determinado por la fórmula:

Es decir, está determinada únicamente por la longitud del lado a.

Área de superficie

Sigamos considerando las propiedades de una pirámide triangular regular. área total de todas las caras de una figura se llama área de superficie. Esto último puede estudiarse convenientemente considerando el desarrollo correspondiente. La siguiente figura muestra cómo se ve el desarrollo de una pirámide triangular regular.

Supongamos que conocemos la altura h y el lado de la base a de la figura. Entonces el área de su base será igual a:

Todo escolar puede obtener esta expresión si recuerda cómo encontrar el área de un triángulo y además tiene en cuenta que la altura triángulo equilátero también es bisectriz y mediana.

El área de la superficie lateral formada por tres idénticos. triángulos isósceles, es:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Esta igualdad se deriva de la expresión de la apotema de la pirámide en términos de la altura y longitud de la base.

La superficie total de la figura es:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Tenga en cuenta que para un tetraedro en el que los cuatro lados son triángulos equiláteros idénticos, el área S será igual a:

Propiedades de una pirámide triangular truncada regular

Si la pirámide triangular considerada tiene un plano, paralelo a la base, corte la parte superior, luego la parte inferior restante se llamará pirámide truncada.

En el caso de una base triangular, el resultado del método de corte descrito es un nuevo triángulo, que también es equilátero, pero tiene una longitud de lado más corta que el lado de la base. A continuación se muestra una pirámide triangular truncada.

Vemos que esta cifra ya está limitada a dos. bases triangulares y tres trapecios isósceles.

Supongamos que la altura de la figura resultante es igual a h, las longitudes de los lados de las bases inferior y superior son a 1 y a 2, respectivamente, y la apotema (altura del trapezoide) es igual a a b. Entonces el área de superficie de la pirámide truncada se puede calcular mediante la fórmula:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Aquí el primer término es el área de la superficie lateral, el segundo término es el área de las bases triangulares.

El volumen de la figura se calcula de la siguiente manera:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Para definición inequívoca Para las características de una pirámide truncada, es necesario conocer sus tres parámetros, como lo demuestran las fórmulas dadas.

Una pirámide triangular es una pirámide que tiene un triángulo en su base. La altura de esta pirámide es la perpendicular que desciende desde la cima de la pirámide hasta su base.

Encontrar la altura de una pirámide

¿Cómo encontrar la altura de una pirámide? ¡Muy simple! Para encontrar la altura de cualquier pirámide triangular, puedes usar la fórmula del volumen: V = (1/3)Sh, donde S es el área de la base, V es el volumen de la pirámide, h es su altura. De esta fórmula, deriva la fórmula de la altura: para encontrar la altura de una pirámide triangular, debes multiplicar el volumen de la pirámide por 3 y luego dividir el valor resultante por el área de la base, será: h = (3V)/S. Dado que la base de una pirámide triangular es un triángulo, puedes usar la fórmula para calcular el área de un triángulo. Si conocemos: el área del triángulo S y su lado z, entonces según la fórmula del área S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, donde h es la altura de la pirámide, γ es el borde del triángulo; el ángulo entre los lados del triángulo y los dos lados mismos, luego usando la siguiente fórmula: S = (1/2)γφsinQ, donde γ, φ son los lados del triángulo, encontramos el área del triángulo. El valor del seno del ángulo Q debe consultarse en la tabla de senos, que está disponible en Internet. A continuación, sustituimos el valor del área en la fórmula de altura: h = (2S)/γ. Si la tarea requiere calcular la altura de una pirámide triangular, entonces ya se conoce el volumen de la pirámide.

Pirámide triangular regular

Encuentre la altura de una pirámide triangular regular, es decir, una pirámide en la que todas las caras son triángulos equiláteros, conociendo el tamaño de las aristas γ. En este caso, las aristas de la pirámide son los lados de triángulos equiláteros. La altura de una pirámide triangular regular será: h = γ√(2/3), donde γ es la arista del triángulo equilátero, h es la altura de la pirámide. Si se desconoce el área de la base (S), y solo se dan la longitud de la arista (γ) y el volumen (V) del poliedro, entonces se debe reemplazar la variable necesaria en la fórmula del paso anterior. por su equivalente, que se expresa en términos de la longitud del borde. El área de un triángulo (regular) es igual a 1/4 del producto de la longitud del lado de este triángulo al cuadrado por la raíz cuadrada de 3. Sustituimos esta fórmula en lugar del área de la base en la anterior fórmula, y obtenemos la siguiente fórmula: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). El volumen de un tetraedro se puede expresar a través de la longitud de su arista, luego de la fórmula para calcular la altura de una figura, se pueden eliminar todas las variables y dejar solo el lado cara triangular cifras. El volumen de dicha pirámide se puede calcular dividiendo por 12 el producto de la longitud cúbica de su cara por la raíz cuadrada de 2.

Sustituyendo esta expresión en la fórmula anterior, obtenemos la siguiente fórmula de cálculo: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. También correcto prisma triangular puede inscribirse en una esfera, y conociendo sólo el radio de la esfera (R) se puede encontrar la altura del tetraedro mismo. La longitud de la arista del tetraedro es: γ = 4R/√6. Reemplazamos la variable γ con esta expresión en la fórmula anterior y obtenemos la fórmula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. La misma fórmula se puede obtener conociendo el radio (R) de un círculo inscrito en un tetraedro. En este caso, la longitud de la arista del triángulo será igual a 12 razones entre raíz cuadrada de 6 y radio. Sustituimos esta expresión en la fórmula anterior y tenemos: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Cómo encontrar la altura de una pirámide cuadrangular regular

Para responder a la pregunta de cómo encontrar la longitud de la altura de una pirámide, necesitas saber qué es una pirámide regular. Una pirámide cuadrangular es una pirámide que tiene un cuadrilátero en su base. Si en las condiciones del problema tenemos: el volumen (V) y el área de la base (S) de la pirámide, entonces la fórmula para calcular la altura del poliedro (h) será la siguiente: dividir el volumen multiplicado por 3 por el área S: h = (3V)/S. Dada una base cuadrada de una pirámide con un volumen dado (V) y una longitud de lado γ, reemplace el área (S) en la fórmula anterior con el cuadrado de la longitud de lado: S = γ 2; H = 3V/γ2. La altura de una pirámide regular h = SO pasa exactamente por el centro del círculo que está circunscrito cerca de la base. Como la base de esta pirámide es un cuadrado, el punto O es el punto de intersección de las diagonales AD y BC. Tenemos: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. A continuación estamos en triángulo rectángulo Encontramos SOC (usando el teorema de Pitágoras): SO = √(SC 2 -OC 2). Ahora ya sabes cómo encontrar la altura de una pirámide regular.

Los estudiantes encuentran el concepto de pirámide mucho antes de estudiar geometría. La culpa la tienen las famosas grandes maravillas egipcias del mundo. Por eso, al empezar a estudiar este maravilloso poliedro, la mayoría de los estudiantes ya lo imaginan claramente. Todas las atracciones mencionadas anteriormente tienen la forma correcta. Qué ha pasado pirámide regular, y qué propiedades tiene se discutirán más a fondo.

Definición

Hay bastantes definiciones de pirámide. Desde la antigüedad ha sido muy popular.

Por ejemplo, Euclides lo definió como una figura corporal formada por planos que, partiendo de uno, convergen en un punto determinado.

Heron proporcionó una formulación más precisa. Insistió en que esa era la cifra que tiene una base y planos en en forma de triangulos, convergiendo en un punto.

Según la interpretación moderna, la pirámide se representa como un poliedro espacial que consta de un determinado k-gon y k figuras planas forma triangular, teniendo un punto en común.

Veámoslo con más detalle, de qué elementos se compone:

• El k-gon se considera la base de la figura;
• Las formas trigonales sobresalen como los bordes de la parte lateral;
• la parte superior de donde se originan los elementos laterales se llama ápice;
• todos los segmentos que conectan un vértice se llaman aristas;
• Si una línea recta se baja desde el vértice al plano de la figura en un ángulo de 90 grados, entonces su parte está encerrada en espacio interno— altura de la pirámide;
• en cualquier elemento lateral, se puede trazar una perpendicular, llamada apotema, al lado de nuestro poliedro.

El número de aristas se calcula usando la fórmula 2*k, donde k es el número de lados del k-gon. Cuántas caras tiene un poliedro como una pirámide se pueden determinar usando la expresión k+1.

¡Importante! Pirámide forma correcta Se llama figura estereométrica cuyo plano base es un k-gon de lados iguales.

Propiedades básicas

Pirámide correcta tiene muchas propiedades, que son únicos para ella. Enumeremoslos:

1. La base es una figura de la forma correcta.
2. Las aristas de la pirámide que limitan los elementos laterales tienen valores numéricos iguales.
3. Los elementos laterales son triángulos isósceles.
4. La base de la altura de la figura cae en el centro del polígono, siendo a la vez el punto central del inscrito y circunscrito.
5. Todas las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo.
6. Todas las superficies laterales tienen el mismo ángulo de inclinación con respecto a la base.

Gracias a todos propiedades listadas, realizar cálculos de elementos es mucho más fácil. Con base en las propiedades anteriores, prestamos atención a dos señales:

1. En el caso de que el polígono encaje en un círculo, las caras laterales tendrán la base ángulos iguales.
2. Al describir un círculo alrededor de un polígono, todas las aristas de la pirámide que emanan del vértice tendrán misma longitud y ángulos iguales con la base.

La base es un cuadrado.

Pirámide cuadrangular regular - un poliedro cuya base es un cuadrado.

Tiene cuatro caras laterales, que son de apariencia isósceles.

Un cuadrado se representa en un plano, pero se basa en todas las propiedades de un cuadrilátero regular.

Por ejemplo, si es necesario relacionar el lado de un cuadrado con su diagonal, entonces usa la siguiente fórmula: la diagonal es igual al producto del lado del cuadrado por la raíz cuadrada de dos.

Se basa en un triángulo regular.

Una pirámide triangular regular es un poliedro cuya base es un triágono regular.

Si la base es triángulo rectángulo, y los bordes laterales son iguales a los bordes de la base, entonces tal figura llamado tetraedro.

Todas las caras de un tetraedro son 3-gonos equiláteros. EN en este caso Es necesario conocer algunos puntos y no perder el tiempo en ellos a la hora de calcular:

• el ángulo de inclinación de las nervaduras con respecto a cualquier base es de 60 grados;
• el tamaño de todas las caras internas también es de 60 grados;
• cualquier rostro puede actuar como base;
• , dibujado dentro de la figura, estos son elementos iguales.

Secciones de un poliedro

En cualquier poliedro hay varios tipos de secciones departamento. A menudo en curso escolar Las geometrías funcionan con dos:

• axial;
• paralelo a la base.

Una sección axial se obtiene cortando un poliedro con un plano que pasa por el vértice, las aristas laterales y el eje. En este caso, el eje es la altura extraída desde el vértice. El plano de corte está limitado por las líneas de intersección de todas las caras, lo que da como resultado un triángulo.

¡Atención! En una pirámide regular, la sección axial es un triángulo isósceles.

Si el plano de corte corre paralelo a la base, entonces el resultado es la segunda opción. En este caso tenemos una figura de sección similar a la base.

Por ejemplo, si la base es un cuadrado, entonces la sección paralela a la base también será un cuadrado, solo que de dimensiones más pequeñas.

Al resolver problemas bajo esta condición, utilizan signos y propiedades de similitud de figuras, basado en el teorema de Tales. En primer lugar, es necesario determinar el coeficiente de similitud.

Si el plano se traza paralelo a la base y corta parte superior poliedro, luego se obtiene una pirámide truncada regular en la parte inferior. Entonces se dice que las bases de un poliedro truncado son polígonos similares. En este caso, las caras laterales son trapecios isósceles. La sección axial también es isósceles.

Para determinar la altura de un poliedro truncado, es necesario dibujar la altura en sección axial, es decir, en un trapezoide.

Áreas de superficie

Básico problemas geométricos que hay que resolver en un curso de geometría escolar son Encontrar el área de la superficie y el volumen de una pirámide.

Hay dos tipos de valores de superficie:

• área de los elementos laterales;
• área de toda la superficie.

Por el propio nombre queda claro de qué estamos hablando. Superficie lateral Incluye sólo elementos laterales. De esto se deduce que para encontrarlo, simplemente es necesario sumar las áreas de los planos laterales, es decir, las áreas de 3 gónos isósceles. Intentemos derivar la fórmula para el área de los elementos laterales:

1. El área de un 3-gón isósceles es Str=1/2(aL), donde a es el lado de la base, L es la apotema.
2. El número de planos laterales depende del tipo de k-gon en la base. Por ejemplo, la correcta pirámide cuadrangular Tiene cuatro planos laterales. Por lo tanto, es necesario agregar área de cuatro cifras Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. La expresión se simplifica de esta forma porque el valor es 4a = Rosn, donde Rosn es el perímetro de la base. Y la expresión 1/2*Rosn es su semiperímetro.
3. Entonces, concluimos que el área de los elementos laterales de una pirámide regular es igual al producto del semiperímetro de la base por la apotema: Sside = Rosn * L.

Cuadrado superficie completa pirámide consta de la suma de las áreas de los planos laterales y la base: Sp.p. = Slado + Sbas.

En cuanto al área de la base, aquí se utiliza la fórmula según el tipo de polígono.

Volumen de una pirámide regular. igual al producto del área del plano base por la altura dividido por tres: V=1/3*Sbas*H, donde H es la altura del poliedro.

¿Qué es una pirámide regular en geometría?

Propiedades de una pirámide cuadrangular regular