Antiderivada de 4x. Integral indefinida en línea

A)Integración directa.

Encontrar integrales de funciones a partir de la aplicación directa de las propiedades de integrales indefinidas y una tabla de fórmulas básicas de integración. Consideremos un ejemplo de cómo encontrar la integral de una función mediante integración directa.

Ejemplo:

∫(X–3) 2 días X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2d X- 6∫X d X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.

En la gran mayoría de los casos, se trata de integrales de funciones que no se pueden encontrar mediante integración directa. En este caso, es necesario realizar una sustitución (reemplazar la variable).

b)Integración por sustitución (reemplazo de variables).

La integración por sustitución, o como se la suele llamar, el método de sustitución de variables, es uno de los métodos de integración más eficaces y comunes. El método de sustitución consiste en pasar de una variable de integración dada a otra variable para simplificar la expresión del integrando y reducirla a uno de los tipos tabulares de integrales. En este caso, la elección de la sustitución la decide el intérprete individualmente, porque No existen reglas generales que indiquen qué sustitución en en este caso llevar.

Ejemplo: Encuentra la integral ∫ mi 2х+3 días X.

Introduzcamos una nueva variable t asociada con X siguiente dependencia 2 X+ 3 = t.

Tomemos los diferenciales de los lados izquierdo y derecho de esta igualdad: 2d X=dt;d X=dt/2.

Ahora en lugar de 2 X+ 3 días X Sustituyamos sus valores en el integrando. Entonces obtenemos: ∫ mi 2х+3 días X=∫mi tdt= mi t + C. Volviendo a la variable anterior, finalmente obtenemos la expresión:

∫mi 2х+3 días X=mi 2x+3 +C.

Para asegurarse de que la integral se tome correctamente, necesita una función antiderivada mi 2x+ 3 diferenciar y comprobar si habrá ¿Es su derivada igual a la función integrando?

(mi 2x+ 3)" =mi 2x+ 3 (2 X+3)" =mi 2x+ 3 .

3. Integral definida y sus propiedades.

El concepto de integral definida se utiliza ampliamente en muchos campos de la ciencia y la tecnología. Con su ayuda se calculan áreas delimitadas por curvas, volúmenes de forma arbitraria, potencia y trabajo de una fuerza variable, la trayectoria de un cuerpo en movimiento, momentos de inercia y muchas otras cantidades.

EN
En la gran mayoría de los casos, el concepto de integral definida se introduce al resolver problemas de determinación del área de un trapecio curvilíneo. Sea una función continua y =f( X) en el segmento [ C.A]. Una figura acotada por la curva y=f( X) ordenadas A Oh, V A PAG y el segmento [ C.A] el eje x se llama trapecio curvilíneo (Fig. 1).

Plantémonos la tarea: determinar el área S de un trapezoide curvo. A A o A PAG V. Para ello dividimos el segmento [ C.A] en PAG no necesariamente partes iguales y denotamos los puntos de división de esta manera: A=X O < X 1 < X 2 ‹ … ‹ X PAG = en.

A partir de los puntos de división restablecemos las perpendiculares a la intersección con la curva y = f( X). Por lo tanto, dividimos toda el área delimitada por la curva en PAG trapecios curvilíneos elementales. restablezcamos desde puntos arbitrarios cada segmento ∆ X i ordenadaf(C i) hasta que se cruza con la curva y =f( X). A continuación, construiremos una figura escalonada formada por rectángulos con base ∆ X i y altura f(C i). Plaza Primaria ith el rectángulo será S i =f(C i)(X i -X i -1 ), y toda el área S PAG la figura escalonada resultante será igual a la suma de las áreas de los rectángulos:

S PAG=f(C o)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(C PAG- 1)(X PAG -X PAG- 1).

Para abreviar el ingreso de este monto, ingrese el símbolo
(sigma) – un signo que significa la suma de cantidades. Entonces

S PAG =
.

Esta cantidad S PAG, que se llama suma integral, puede ser mayor o menor que el valor real de un área determinada. El valor más cercano al valor real del área será el límite de la suma, siempre que los segmentos elementales sean triturados ( pag→
), y la longitud del segmento más grande ∆ X máximo tenderá a cero, es decir:

S=
(4)

Este límite de suma acumulativa (si existe) se llama integral definida de la funciónf( X) en el segmento [ A,V] y denota:
=
(5)

(lee “integral definida de A antes V ef de x de x”).

Números A Y V se denominan límites inferior y superior de integración, respectivamente, f( X) – función subintegral; X– variable de integración. Usando las fórmulas (4) y (5) podemos escribir. Que el área de un trapezoide curvilíneo es numéricamente igual a la integral de la función que limita el trapezoide, tomada en el intervalo de integración [A,V]:

Este hecho expresa el significado geométrico de una integral definida.

Consideremos las propiedades de la integral definida..

1. La integral definida no depende de la designación de la variable, es decir:
=
.

2. La integral definida de una suma algebraica es igual a la suma algebraica de integrales definidas de cada término:

= f 1 ( X)d x + f 2 ( X)d X+ ….

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La integral de una función en línea es la suma de cualquier número destinado a su integración. Por lo tanto, de manera informal, la integral definida en línea es el área entre la gráfica de la función y el eje x dentro de los límites de integración. Ejemplos de resolución de problemas con integrales. Evaluemos una integral compleja sobre una variable y relacionemos su respuesta con la solución posterior del problema. Es posible, como suele decirse, encontrar directamente la integral del integrando. Cualquier integral determina el área con alta precisión. limitado por líneas cifras. Este es uno de sus significados geométricos. Este método facilita las cosas a los estudiantes. De hecho, varios pasos no tendrán mucho impacto en el análisis vectorial. La integral de una función en línea es el concepto básico del cálculo integral. Resolver integrales indefinidas. Según el principal teorema de análisis, la integración es la operación inversa de la diferenciación, que ayuda a resolver ecuaciones diferenciales. Hay varios diferentes definiciones operaciones de integración que difieren en detalles técnicos. Sin embargo, todos son compatibles, es decir, dos métodos de integración cualesquiera, si se pueden aplicar a una función determinada, darán el mismo resultado. La más simple es la integral de Riemann: una integral definida o una integral indefinida. De manera informal, la integral de una función de una variable se puede introducir como el área bajo la gráfica (la figura encerrada entre la gráfica de la función y el eje x). Cualquier subtarea de este tipo puede justificar que será extremadamente necesario calcular la integral desde el principio. enfoque importante. ¡No olvides esto! Al tratar de encontrar esta área, podemos considerar figuras que consisten en un cierto número de rectángulos verticales, cuyas bases juntas forman un segmento de integración y se obtienen dividiendo el segmento en el número apropiado de segmentos pequeños. Resolver integrales en línea. Integral en línea: integral indefinida en línea e integral definida en línea. Resolver integrales online: integral indefinida online e integral definida online. La calculadora resuelve integrales con una descripción detallada de las acciones ¡y gratis! Una integral indefinida en línea para una función es el conjunto de todas las primitivas de una función dada. Si una función está definida y es continua en un intervalo, entonces existe una función antiderivada (o una familia de antiderivadas) para ella. La integral solo define una expresión, cuyas condiciones usted establece cuando surge tal necesidad. Es mejor abordar este asunto con atención y experimentar satisfacción interior por el trabajo realizado. Pero calcular la integral utilizando un método diferente al clásico a veces conduce a resultados inesperados y esto no debería sorprendernos. Me alegra que este hecho tenga una resonancia positiva en lo que está sucediendo. Lista de integrales definidas e integrales indefinidas de integrales con detalles completos Solución paso-a-paso. Todas las integrales con soluciones detalladas online. Integral indefinida. Encontrar la integral indefinida en línea es una tarea muy común en Matemáticas avanzadas y otras ramas técnicas de la ciencia. Métodos básicos de integración. Definición de integral, integral definida e indefinida, tabla de integrales, fórmula de Newton-Leibniz. Nuevamente, puedes encontrar tu integral usando la tabla de expresiones integrales, pero aún es necesario lograrlo, ya que no todo es tan simple como podría parecer a primera vista. Piense en los edificios terminados antes de encontrar errores. Integral definida y métodos para su cálculo. Integral definida en línea con variable limite superior. Resolver integrales en línea. Cualquier ejemplo que ayude a calcular la integral mediante fórmulas tabulares será una guía de acción útil para estudiantes de cualquier nivel de formación. El paso más importante hacia la respuesta correcta. Integrales online. No integrales definidas, que contiene exponencial y funciones logarítmicas. Resolver integrales online: recibirás solución detallada Para diferentes tipos integrales: indefinidas, definidas, impropias. La Calculadora de integrales definidas calcula la integral definida en línea de una función en un intervalo usando integracion numerica. La integral de una función es análoga a la suma de una secuencia. Hablando informalmente, una integral definida es el área de parte de la gráfica de una función. Resolver la integral en línea. Integral en línea - integral indefinida en línea e integral definida en línea. A menudo, esta integral determina cuánto más pesado es un cuerpo que un objeto de la misma densidad en comparación con él, y no importa qué forma tenga, porque la superficie no absorbe agua. Resolver integrales en línea. Integrales en línea: integral indefinida en línea e integral definida en línea. Todo estudiante junior sabe cómo encontrar la integral en línea. Sobre la base del plan de estudios escolar, esta sección de las matemáticas también se estudia, pero no en detalle, sino solo los conceptos básicos de un tema tan complejo e importante. En la mayoría de los casos, los estudiantes comienzan a estudiar integrales con una teoría extensa, que también va precedida de temas importantes, como las derivadas y el paso a los límites, que también son límites. La solución de integrales comienza gradualmente desde el mismo ejemplos elementales de funciones simples, y termina con la aplicación de muchos enfoques y reglas propuestas en el siglo pasado e incluso mucho antes. Cálculo integral tiene un carácter introductorio en liceos y escuelas, es decir, en secundaria Instituciones educacionales. Nuestro sitio web siempre le ayudará y resolver integrales online se convertirá en algo habitual para usted y, lo más importante, en una tarea comprensible. En la base de este recurso Puedes alcanzar fácilmente la perfección en esto. sección de matemáticas. Al comprender las reglas que está aprendiendo paso a paso, como la integración por partes o la aplicación del método de Chebyshev, podrá decidir fácilmente cantidad máxima puntos para cualquier prueba. Entonces, ¿cómo podemos seguir calculando la integral, utilizando la conocida tabla de integrales, pero de tal forma que la solución sea correcta, correcta y con la respuesta más precisa posible? ¿Cómo aprender esto? ¿Es posible que un estudiante de primer año lo haga? lo antes posible? Respondamos afirmativamente a esta pregunta: ¡tú puedes! Al mismo tiempo, no sólo podrás resolver cualquier ejemplo, sino también alcanzar el nivel de un ingeniero altamente calificado. El secreto es más sencillo que nunca: es necesario hacer el máximo esfuerzo, dedicar cantidad requerida tiempo para la autopreparación. Desafortunadamente, ¡a nadie se le ha ocurrido todavía otra forma! Pero no todo es tan turbio como parece a primera vista. Si se comunica con nuestro sitio web de servicio con esta pregunta, le haremos la vida más fácil, porque nuestro sitio web puede calcular integrales en línea en detalle, con muy alta velocidad y una respuesta impecablemente precisa. En esencia, la integral no determina cómo la proporción de argumentos afecta la estabilidad del sistema en su conjunto. Si tan solo todo estuviera equilibrado. Además de cómo aprenderá los conceptos básicos de este tema matemático, el servicio puede encontrar la integral de cualquier integrando si esta integral se puede resolver en funciones elementales. De lo contrario, para integrales que no se toman en funciones elementales, en la práctica no es necesario encontrar la respuesta de forma analítica o, en otras palabras, explícita. Todos los cálculos de integrales se reducen a determinar la función antiderivada de un integrando dado. Para hacer esto, primero calcule la integral indefinida de acuerdo con todas las leyes de las matemáticas en línea. luego, si es necesario, sustituye los valores superior e inferior de la integral. Si no necesita determinar o calcular valor numérico integral indefinida, luego se agrega una constante a la función antiderivada resultante, definiendo así una familia de funciones antiderivadas. Lugar especial en ciencias y en general en cualquier campo de la ingeniería, incluida la mecánica continuo, la integración describe sistemas mecánicos completos, sus movimientos y mucho más. En muchos casos, la integral compuesta determina la ley del movimiento de un punto material. Es una herramienta muy importante en el estudio de las ciencias aplicadas. En base a esto, no se puede dejar de mencionar cálculos a gran escala para determinar las leyes de la existencia y el comportamiento. sistemas mecánicos. La calculadora para resolver integrales en línea en el sitio web es herramienta poderosa para ingenieros profesionales. Definitivamente te lo garantizamos, pero podremos calcular tu integral solo después de que ingreses la expresión correcta en el dominio del integrando. ¡No tengas miedo de cometer errores, todo se puede corregir en este asunto! Por lo general, resolver integrales se reduce a usar funciones de tabla de libros de texto o enciclopedias conocidos. Como cualquier otra integral indefinida, se calculará mediante la fórmula estándar sin mayores críticas. Los estudiantes de primer año captan con facilidad y naturalidad el material estudiado en el acto y, a veces, encontrar una integral no les lleva más de dos minutos. Y si un estudiante ha aprendido la tabla de integrales, generalmente podrá determinar las respuestas mentalmente. Desarrollar funciones por variables relativas a superficies inicialmente significa correcto dirección vectorial en algún punto de abscisa. El comportamiento impredecible de las líneas de superficie toma integrales definidas como base en la fuente de respuesta funciones matemáticas. El borde izquierdo de la bola no toca el cilindro en el que está inscrito el círculo, si miras el corte en un plano. La suma de áreas pequeñas divididas en cientos. funciones continuas por trozos hay una integral en línea de función dada. sentido mecánico la integral consta de muchos problemas aplicados, se trata tanto de la determinación del volumen de los cuerpos como del cálculo de la masa corporal. triple y integrales dobles están involucrados sólo en estos cálculos. Insistimos en que la solución de integrales en línea se lleva a cabo únicamente bajo la supervisión de profesores experimentados y mediante numerosos controles. A menudo nos preguntan sobre el desempeño de los estudiantes que no asisten a clases, las saltan sin motivo alguno y cómo logran encontrarlas. las integrales mismas. Respondemos que los estudiantes son personas libres y bastante capaces de estudiar externamente, preparándose para una prueba o examen en la comodidad de su propia casa. En cuestión de segundos, nuestro servicio ayudará a cualquiera a calcular la integral de cualquier función determinada sobre una variable. El resultado obtenido debe comprobarse tomando la derivada de la función antiderivada. En este caso, la constante de la solución de la integral se vuelve cero. Esta regla obviamente se aplica a todos. Como las operaciones multidireccionales están justificadas, la integral indefinida a menudo se reduce a dividir el dominio en partes pequeñas. Sin embargo, algunos estudiantes y escolares descuidan este requisito. Como siempre, las integrales online se pueden resolver detalladamente a través de nuestra web de servicios y no hay restricciones en el número de solicitudes, todo es gratuito y está al alcance de todos. No hay muchos sitios que brinden una respuesta paso a paso en cuestión de segundos y, lo más importante, con alta precisión y en forma conveniente. EN último ejemplo en la página cinco tarea Me encontré con uno que indica la necesidad de calcular la integral paso a paso. Pero no debemos olvidarnos de cómo es posible encontrar la integral utilizando un servicio listo para usar, probado en el tiempo y probado en miles de ejemplos resueltos en línea. Cómo tal integral determina el movimiento del sistema nos lo demuestra clara y claramente la naturaleza del movimiento del fluido viscoso, que se describe mediante este sistema de ecuaciones.

Esta lección es la primera de una serie de videos sobre integración. En él analizaremos qué es una antiderivada de una función y también estudiaremos los métodos elementales para calcular estas mismas antiderivadas.

De hecho, aquí no hay nada complicado: esencialmente todo se reduce al concepto de derivada, con el que ya deberías estar familiarizado :)

Notaré de inmediato que dado que esta es la primera lección de nuestra nuevo tema, hoy no habrá ninguno cálculos complejos y fórmulas, pero lo que estudiaremos hoy formará la base para cálculos y construcciones mucho más complejos al calcular integrales complejas y cuadrados.

Además, al comenzar a estudiar integración e integrales en particular, asumimos implícitamente que el estudiante ya está al menos familiarizado con los conceptos de derivadas y tiene al menos habilidades básicas para calcularlas. Sin una comprensión clara de esto, no hay absolutamente nada que hacer en materia de integración.

Sin embargo, aquí radica uno de los problemas más comunes e insidiosos. El caso es que, al empezar a calcular sus primeras antiderivadas, muchos estudiantes las confunden con derivadas. Como resultado, en los exámenes y Trabajo independiente Se cometen errores estúpidos y ofensivos.

Por lo tanto, ahora no daré una definición clara de antiderivada. A cambio, te sugiero que veas cómo se calcula usando un ejemplo simple y específico.

¿Qué es una antiderivada y cómo se calcula?

Conocemos esta fórmula:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Esta derivada se calcula simplemente:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Miremos detenidamente la expresión resultante y expresemos $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Pero podemos escribirlo de esta manera, según la definición de derivada:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

Y ahora atención: lo que acabamos de anotar es la definición de antiderivada. Pero para escribirlo correctamente, es necesario escribir lo siguiente:

Escribamos de la misma manera la siguiente expresión:

Si generalizamos esta regla, podemos derivar la siguiente fórmula:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ahora podemos formular una definición clara.

Una primitiva de una función es una función cuya derivada es igual a la función original.

Preguntas sobre la función antiderivada

Parecería una definición bastante simple y comprensible. Sin embargo, al escucharlo, el estudiante atento inmediatamente tendrá varias preguntas:

Digamos, está bien, esta fórmula es correcta. Sin embargo, en este caso, con $n=1$, tenemos problemas: en el denominador aparece “cero” y no podemos dividir por “cero”.
La fórmula se limita únicamente a grados. Cómo calcular la antiderivada, por ejemplo, del seno, el coseno y cualquier otra trigonometría, además de constantes.
Pregunta existencial: ¿siempre es posible encontrar una antiderivada? En caso afirmativo, ¿qué pasa con la antiderivada de la suma, diferencia, producto, etc.?

Responderé a la última pregunta de inmediato. Desafortunadamente, la antiderivada, a diferencia de la derivada, no siempre se considera. No hay tal cosa fórmula universal, por lo que de cualquier construcción inicial obtendremos una función que será igual a esta construcción similar. En cuanto a potencias y constantes, hablaremos de eso ahora.

Resolver problemas con funciones de potencia.

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Como podemos ver, esta fórmula para $((x)^(-1))$ no funciona. Surge la pregunta: ¿qué funciona entonces? ¿No podemos contar $((x)^(-1))$? Por supuesto que podemos. Recordemos esto primero:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Ahora pensemos: la derivada de qué función es igual a $\frac(1)(x)$. Evidentemente, cualquier estudiante que haya estudiado al menos un poco este tema recordará que esta expresión es igual a la derivada del logaritmo natural:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Por lo tanto, podemos escribir con confianza lo siguiente:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Necesitas conocer esta fórmula, al igual que la derivada de una función potencia.

Entonces, lo que sabemos hasta ahora:

Para una función de potencia - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
Para una constante - $=const\to \cdot x$
Un caso especial de una función de potencia es $\frac(1)(x)\to \ln x$

Y si empezamos a multiplicar y dividir las funciones más simples, ¿cómo podemos entonces calcular la antiderivada de un producto o cociente? Desafortunadamente, las analogías con la derivada de un producto o cociente no funcionan aquí. Cualquier fórmula estándar no existe. Para algunos casos, existen fórmulas especiales complicadas; las conoceremos en futuras lecciones en video.

Sin embargo, recuerda: formula general, no existe una fórmula similar para calcular la derivada de un cociente y un producto.

Resolviendo problemas reales

Tarea número 1

vamos cada uno funciones de potencia Calculemos por separado:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Volviendo a nuestra expresión, escribimos la construcción general:

Problema número 2

Como ya dije, no se consideran prototipos de obras y detalles “al grano”. Sin embargo, aquí puedes hacer lo siguiente:

Dividimos la fracción en la suma de dos fracciones.

Hagamos los cálculos:

La buena noticia es que conociendo las fórmulas para calcular antiderivadas, ya puedes calcular estructuras más complejas. Sin embargo, vayamos más allá y ampliemos un poco más nuestros conocimientos. El hecho es que muchas construcciones y expresiones, que, a primera vista, no tienen nada que ver con $((x)^(n))$, se pueden representar como una potencia con indicador racional, a saber:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Todas estas técnicas pueden y deben combinarse. Expresiones de poder Poder

multiplicar (los grados suman);
dividir (se restan grados);
multiplicar por una constante;
etc.

Resolver expresiones de potencia con exponente racional.

Ejemplo 1

Calculemos cada raíz por separado:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

En total, toda nuestra construcción se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplo No. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Por lo tanto obtenemos:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

En total, reuniendo todo en una sola expresión, podemos escribir:

Ejemplo No. 3

Para empezar, notamos que ya hemos calculado $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Reescribamos:

Espero no sorprender a nadie si digo que lo que acabamos de estudiar es lo más cálculos simples estructuras primitivas, las más elementales. Miremos ahora un poco más ejemplos complejos, en el que, además de las antiderivadas tabulares, también deberás recordar currículum escolar, es decir, fórmulas de multiplicación abreviadas.

Resolver ejemplos más complejos

Tarea número 1

Recordemos la fórmula para la diferencia al cuadrado:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Reescribamos nuestra función:

Ahora tenemos que encontrar el prototipo de dicha función:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Juntemos todo en una estructura común:

Problema número 2

En este caso, necesitamos expandir el cubo de diferencias. Recordemos:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Teniendo en cuenta este hecho, podemos escribirlo así:

Transformemos un poco nuestra función:

Contamos como siempre, para cada término por separado:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\a \ln x\]

Anotamos la construcción resultante:

Problema número 3

Arriba tenemos el cuadrado de la suma, ampliémoslo:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Escribamos la solución final:

¡Ahora atención! Muy cosa importante, que está asociado con la mayor parte de errores y malentendidos. El hecho es que hasta ahora, al contar antiderivadas usando derivadas y trayendo transformaciones, no pensábamos en a qué es igual la derivada de una constante. Pero la derivada de una constante es igual a "cero". Esto significa que puedes escribir las siguientes opciones:

$((x)^(2))\a \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\a \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\a \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Es muy importante entender esto: si la derivada de una función es siempre la misma, entonces la misma función tiene un número infinito de antiderivadas. Simplemente podemos sumar cualquier número constante a nuestras antiderivadas y obtener otros nuevos.

No es casualidad que en la explicación de los problemas que acabamos de resolver estuviera escrito “Anota forma general primitivos." Aquellos. Ya se supone de antemano que no existe uno solo, sino toda una multitud. Pero, de hecho, sólo difieren en la constante $C$ al final. Por tanto, en nuestras tareas corregiremos lo que no completamos.

Una vez más reescribimos nuestras construcciones:

En tales casos, debes agregar que $C$ es una constante: $C=const$.

En nuestra segunda función obtenemos la siguiente construcción:

Y el último:

Y ahora realmente obtuvimos lo que se requería de nosotros en las condiciones originales del problema.

Resolver problemas de encontrar antiderivadas con un punto dado.

Ahora que sabemos acerca de las constantes y las peculiaridades de escribir antiderivadas, es bastante lógico que siguiente tipo problemas cuando, del conjunto de todas las antiderivadas, se requiere encontrar una sola que pase por Punto dado. ¿Cuál es esta tarea?

El hecho es que todas las primitivas de una función determinada se diferencian únicamente en que están desplazadas verticalmente en un número determinado. Y esto significa que no importa en qué punto Plano coordinado no lo tomamos, definitivamente pasará una antiderivada y, además, solo una.

Entonces, los problemas que ahora resolveremos se formulan de la siguiente manera: no solo encontrar la antiderivada, conociendo la fórmula de la función original, sino elegir exactamente la que pasa por el punto dado, cuyas coordenadas se darán en el problema. declaración.

Ejemplo 1

Primero, simplemente contemos cada término:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Ahora sustituimos estas expresiones en nuestra construcción:

Esta función debe pasar por el punto $M\left(-1;4 \right)$. ¿Qué significa que pasa por un punto? Esto significa que si en lugar de $x$ ponemos $-1$ en todas partes, y en lugar de $F\left(x \right)$ - $-4$, entonces deberíamos obtener la igualdad numérica correcta. Hagámoslo:

Vemos que tenemos una ecuación para $C$, así que intentemos resolverla:

Anotemos la solución que estábamos buscando:

Ejemplo No. 2

En primer lugar, es necesario revelar el cuadrado de la diferencia utilizando la fórmula de multiplicación abreviada:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

La construcción original se escribirá de la siguiente manera:

Ahora encontremos $C$: sustituimos las coordenadas del punto $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Expresamos $C$:

Queda por mostrar la expresión final:

Resolver problemas trigonométricos

Como acorde final Además de lo que acabamos de comentar, propongo considerar dos más tareas complejas, que contienen trigonometría. En ellos, de la misma manera, necesitarás encontrar antiderivadas para todas las funciones, luego seleccionar de este conjunto la única que pasa por el punto $M$ en el plano de coordenadas.

De cara al futuro, me gustaría señalar que la técnica que usaremos ahora para encontrar antiderivadas de funciones trigonométricas, de hecho, es técnica universal para autocomprobación.

Tarea número 1

Recordemos la siguiente fórmula:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

En base a esto podemos escribir:

Sustituyamos las coordenadas del punto $M$ en nuestra expresión:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Reescribamos la expresión teniendo en cuenta este hecho:

Problema número 2

Esto será un poco más difícil. Ahora verás por qué.

Recordemos esta fórmula:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Para deshacerse del "menos", debe hacer lo siguiente:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Aquí está nuestro diseño.

Sustituyamos las coordenadas del punto $M$:

En total, anotamos la construcción final:

Eso es todo lo que quería contarles hoy. Estudiamos el término antiderivadas en sí, cómo contarlas a partir de funciones elementales, y también cómo encontrar la antiderivada que pasa por punto específico en el plano coordenado.

Espero que esta lección te ayude al menos un poco a entender esto. tema complejo. En cualquier caso, es sobre primitivas que se construyen integrales indefinidas e indefinidas, por lo que es absolutamente necesario calcularlas. Eso es todo para mí. ¡Hasta luego!

Hemos visto que la derivada tiene numerosos usos: la derivada es la velocidad del movimiento (o, más generalmente, la velocidad de cualquier proceso); derivada es pendiente tangente a la gráfica de una función; utilizando la derivada, puedes examinar una función para determinar su monotonicidad y sus extremos; la derivada ayuda a resolver problemas de optimización.

Pero en vida real tener que decidir y problemas inversos: por ejemplo, junto con el problema de encontrar la velocidad según una ley de movimiento conocida, también existe el problema de restaurar la ley del movimiento según una velocidad conocida. Consideremos uno de estos problemas.

Ejemplo 1. Se mueve en línea recta punto material, la velocidad de su movimiento en el momento t viene dada por la fórmula u = tg. Encuentra la ley del movimiento.

Solución. Sea s = s(t) la ley de movimiento deseada. Se sabe que s"(t) = u"(t). Esto significa que para resolver el problema necesitas elegir. función s = s(t), cuya derivada es igual a tg. No es difícil adivinar que

Observemos inmediatamente que el ejemplo se resuelve correctamente, pero de forma incompleta. Encontramos que, de hecho, el problema tiene infinitas soluciones: cualquier función de la forma una constante arbitraria puede servir como ley del movimiento, ya que

Para hacer la tarea más específica, necesitábamos arreglar la situación inicial: indicar la coordenada de un punto en movimiento en algún momento, por ejemplo, en t=0. Si, digamos, s(0) = s 0, entonces de la igualdad obtenemos s(0) = 0 + C, es decir, S 0 = C. Ahora la ley del movimiento está definida de forma única:
En matemáticas, se asignan operaciones recíprocas. diferentes nombres, crea notaciones especiales: por ejemplo, elevando al cuadrado (x 2) y extrayendo raíz cuadrada seno(senх) y arcoseno(arcosen x), etc. El proceso de encontrar la derivada de una función dada se llama derivación y operación inversa, es decir. el proceso de encontrar una función a partir de una derivada dada: integración.
El término "derivada" en sí mismo puede justificarse "en términos cotidianos": la función y - f(x) "produce la existencia" nueva caracteristica y"= f"(x) La función y = f(x) actúa como “padre”, pero los matemáticos, naturalmente, no la llaman “padre” o “productor”, dicen que lo es, en relación a la función y"=f"(x), la imagen primaria o, en definitiva, la primitiva.

Definición 1. La función y = F(x) se llama antiderivada para la función y = f(x) en un intervalo dado X si para todo x de X se cumple la igualdad F"(x)=f(x).

En la práctica, el intervalo X no suele especificarse, pero está implícito (como dominio natural de definición de la función).

Aquí hay unos ejemplos:

1) La función y = x 2 es antiderivada para la función y = 2x, ya que para todo x la igualdad (x 2)" = 2x es verdadera.
2) la función y - x 3 es antiderivada para la función y-3x 2, ya que para todo x la igualdad (x 3)" = 3x 2 es verdadera.
3) La función y-sinх es antiderivada para la función y = cosx, ya que para todo x la igualdad (senx)" = cosx es cierta.
4) La función es antiderivada para una función en el intervalo ya que para todo x > 0 la igualdad es verdadera
En general, conociendo las fórmulas para encontrar derivadas, no es difícil compilar una tabla de fórmulas para encontrar antiderivadas.

Esperamos que entiendas cómo está compilada esta tabla: la derivada de la función, que está escrita en la segunda columna, es igual a la función que está escrita en la fila correspondiente de la primera columna (compruébalo, no seas perezoso, es muy útil). Por ejemplo, para la función y = x 5 la antiderivada, como establecerás, es la función (ver la cuarta fila de la tabla).

Notas: 1. A continuación demostraremos el teorema de que si y = F(x) es una antiderivada de la función y = f(x), entonces la función y = f(x) tiene infinitas antiderivadas y todas tienen la forma y = F(x ) + C. Por lo tanto, sería más correcto agregar el término C en todas partes de la segunda columna de la tabla, donde C es un número real arbitrario.
2. En aras de la brevedad, a veces en lugar de la frase “la función y = F(x) es una antiderivada de la función y = f(x)”, dicen que F(x) es una antiderivada de f(x) .”

2. Reglas para encontrar antiderivadas

Al encontrar antiderivadas, así como al encontrar derivadas, no solo se utilizan fórmulas (se enumeran en la tabla de la página 196), sino también algunas reglas. Están directamente relacionados con las reglas correspondientes para el cálculo de derivados.

Sabemos que la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 1. La antiderivada de una suma es igual a la suma de las antiderivadas.

Llamamos su atención sobre la cierta “ligereza” de esta formulación. De hecho, habría que formular el teorema: si las funciones y = f(x) e y = g(x) tienen antiderivadas en el intervalo X, respectivamente y-F(x) e y-G(x), entonces la suma de las funciones y = f(x)+g(x) tiene una antiderivada en el intervalo X, y esta antiderivada es la función y = F(x)+G(x). Pero normalmente, al formular reglas (y no teoremas), dejan sólo palabras clave- esto hace que sea más conveniente aplicar la regla en la práctica

Ejemplo 2. Encuentra la primitiva de la función y = 2x + cos x.

Solución. La primitiva de 2x es x"; la primitiva de cox es sen x. Esto significa que la primitiva de la función y = 2x + cos x será la función y = x 2 + sen x (y en general cualquier función de la forma Y = x 1 + senx + C).
Sabemos que el factor constante se puede quitar del signo de la derivada. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 2. El factor constante se puede quitar del signo de la primitiva.

Ejemplo 3.

Solución. a) La primitiva de sen x es -soz x; Esto significa que para la función y = 5 sen x la función antiderivada será la función y = -5 cos x.

b) La primitiva de cos x es sen x; Esto significa que la primitiva de una función es la función
c) La primitiva de x 3 es la primitiva de x, la primitiva de la función y = 1 es la función y = x. Usando la primera y segunda reglas para encontrar antiderivadas, encontramos que la antiderivada de la función y = 12x 3 + 8x-1 es la función
Comentario. Como se sabe, la derivada de un producto no es igual al producto de derivadas (la regla para diferenciar un producto es más compleja) y la derivada de un cociente no es igual al cociente de derivadas. Por tanto, no existen reglas para encontrar la antiderivada del producto o la antiderivada del cociente de dos funciones. ¡Ten cuidado!
Obtengamos otra regla para encontrar antiderivadas. Sabemos que la derivada de la función y = f(kx+m) se calcula mediante la fórmula

Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.
Regla 3. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x), entonces la primitiva de la función y=f(kx+m) es la función

En efecto,

Esto significa que es una antiderivada de la función y = f(kx+m).
El significado de la tercera regla es el siguiente. Si sabes que la primitiva de la función y = f(x) es la función y = F(x), entonces necesitas encontrar antiderivada de función y = f(kx+m), luego proceda así: tome la misma función F, pero en lugar del argumento x, sustituya la expresión kx+m; Además, no olvide escribir “factor de corrección” antes del signo de función.
Ejemplo 4. Encuentre antiderivadas para funciones dadas:

Solución, a) La antiderivada de sen x es -soz x; Esto significa que para la función y = sin2x la antiderivada será la función
b) La primitiva de cos x es sen x; Esto significa que la primitiva de una función es la función

c) La antiderivada para x 7 significa que para la función y = (4-5x) 7 la antiderivada será la función

3. Integral indefinida

Ya hemos señalado anteriormente que el problema de encontrar una antiderivada para una función dada y = f(x) tiene más de una solución. Analicemos este tema con más detalle.

Prueba. 1. Sea y = F(x) la antiderivada de la función y = f(x) en el intervalo X. Esto significa que para todo x de X se cumple la igualdad x"(x) = f(x). encuentre la derivada de cualquier función de la forma y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Entonces, (F(x)+C) = f(x). Esto significa que y = F(x) + C es una antiderivada de la función y = f(x).
Así, hemos demostrado que si la función y = f(x) tiene una primitiva y=F(x), entonces la función (f = f(x) tiene infinitas primitivas, por ejemplo, cualquier función de la forma y = F(x) +C es una antiderivada.
2. Demostremos ahora que tipo especificado funciones, todo el conjunto de antiderivadas está agotado.

Sean y=F 1 (x) e y=F(x) dos antiderivadas de la función Y = f(x) en el intervalo X. Esto significa que para todo x del intervalo X se cumplen las siguientes relaciones: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Consideremos la función y = F 1 (x) -.F(x) y encontremos su derivada: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Se sabe que si la derivada de una función en un intervalo X es idénticamente igual a cero, entonces la función es constante en el intervalo X (ver Teorema 3 del § 35). Esto significa que F 1 (x) - F (x) = C, es decir Fx) = F(x)+C.

El teorema está demostrado.

Ejemplo 5. La ley del cambio de velocidad con el tiempo está dada: v = -5sin2t. Encuentre la ley del movimiento s = s(t), si se sabe que en el momento t=0 la coordenada del punto era igual al número 1,5 (es decir, s(t) = 1,5).

Solución. Dado que la velocidad es una derivada de la coordenada en función del tiempo, primero necesitamos encontrar la antiderivada de la velocidad, es decir antiderivada de la función v = -5sin2t. Una de esas antiderivadas es la función , y el conjunto de todas las antiderivadas tiene la forma:

Encontrar significado específico constante C, usemos condiciones iniciales, según el cual, s(0) = 1,5. Sustituyendo los valores t=0, S = 1,5 en la fórmula (1), obtenemos:

Sustituyendo el valor encontrado de C en la fórmula (1), obtenemos la ley del movimiento que nos interesa:

Definición 2. Si una función y = f(x) tiene una primitiva y = F(x) en un intervalo X, entonces el conjunto de todas las primitivas, es decir el conjunto de funciones de la forma y = F(x) + C se llama integral indefinida de la función y = f(x) y se denota por:

(léase: “integral indefinida ef de x de x”).
En el siguiente párrafo descubriremos qué es Significado oculto la designación indicada.
A partir de la tabla de antiderivadas disponible en esta sección, elaboraremos una tabla de las principales integrales indefinidas:

Con base en las tres reglas anteriores para encontrar antiderivadas, podemos formular las reglas de integración correspondientes.

Regla 1. Integral de la suma de funciones. igual a la suma integrales de estas funciones:

Regla 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:

Regla 3. Si

Ejemplo 6. Encuentra integrales indefinidas:

Solución, a) Utilizando la primera y segunda reglas de integración, obtenemos:

Ahora usemos la tercera y cuarta fórmulas de integración:

Como resultado obtenemos:

b) Utilizando la tercera regla de integración y la fórmula 8, obtenemos:

c) Para encontrar directamente una integral dada, no tenemos ni fórmula correspondiente, no hay regla correspondiente. EN casos similares a veces los preejecutados ayudan transformaciones de identidad expresión contenida bajo el signo integral.

aprovechemos fórmula trigonométrica Reducción de grado:

Luego encontramos secuencialmente:

A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado

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