Ahora bien, para describir las deformaciones, debemos relacionarlas con fuerzas internas, es decir, con tensiones en el material. Suponemos que la ley de Hooke es válida para cualquier pieza de material, es decir, que las tensiones son en todas partes proporcionales a las deformaciones. Pulgada. 31 definimos el tensor de tensión S yo como la i-ésima componente de la fuerza que actúa sobre una unidad de área perpendicular al eje j. La ley de Hooke dice que cada componente Si ij relacionado linealmente con cada componente del estrés. Pero desde S Y yo contienen nueve componentes cada uno, entonces en total se requieren 9X9 = 81 coeficientes posibles para describir las propiedades elásticas del material. Si el material es homogéneo, entonces todos estos coeficientes serán constantes. Los denotaremos C ijkl determinado por la ecuación

donde cada icono i, j, k Y yo puede tomar valores 1, 2 o 3. Dado que los coeficientes CON ijkl conectan un tensor con otro, también forman un tensor, esta vez un tensor cuarto rango. podemos llamarlo tensor de elasticidad.

Supongamos que todo C ijkl conocido y que al cuerpo de algún tipo forma libre hemos adjuntado fuerzas complejas. En este caso, surgirán todo tipo de deformaciones: el cuerpo de alguna manera se distorsionará. ¿Cómo serán los movimientos? Entiendes que se trata de una tarea bastante difícil. Si conoces las deformaciones, entonces a partir de la ecuación (39.12) puedes encontrar las tensiones y viceversa. Pero las tensiones y deformaciones que ocurren en cualquier punto dependen de lo que sucede en el resto del material.

La forma más sencilla de abordar esta tarea es pensar en la energía. cuando el poder F proporcional al desplazamiento X, digamos F=kx, es el trabajo gastado en cualquier movimiento X, igual a kx 2 /2. Asimismo, la energía w, guardado en cualquier unidad de volumen el material deformado resulta ser igual

es un trabajo completo W, gastado en la deformación de todo el cuerpo será la integral de w en todo su volumen:

En consecuencia, esta es la energía potencial almacenada en las tensiones internas del material. Cuando el cuerpo está en equilibrio, esto energía interna debe ser mínimo. Por tanto, el problema de determinar las deformaciones en un cuerpo se puede resolver encontrando desplazamientos en todo el cuerpo en los que W. mínimo. Pulgada. 19 (número 6) Les hablé de algunos ideas generales Cálculo de variaciones utilizado en la resolución de problemas de minimización de este tipo. Sin embargo, por ahora no entraremos en más detalles sobre esta tarea.

Ahora nos interesará principalmente lo que se puede decir sobre las propiedades generales del tensor de elasticidad. En primer lugar, está claro que en realidad C ijkl contenido No 81 parámetros diferentes. Porque el S yo Y mi yo son tensores simétricos, cada uno de los cuales incluye solo seis elementos diferentes, entonces C ijkl consta de un máximo de 36 componentes diferentes. Por lo general, hay muchos menos.

Consideremos el caso especial de un cristal cúbico. Densidad de energia w pues resulta así:

es decir, ¡sólo 81 términos! Pero un cristal cúbico tiene ciertas simetrías. En particular, si el cristal se gira 90°, todas sus propiedades físicas seguirán siendo las mismas. Por ejemplo, debe tener la misma rigidez a la tracción en ambas direcciones del eje. y, y en la dirección del eje X. Por lo tanto, si cambiamos nuestras definiciones de los ejes de coordenadas X Y en en la ecuación (39.15), entonces la energía no debería cambiar. Por lo tanto, para un cristal cúbico

C xxxx =CON Guau = C zzz . (39.16)

También podemos demostrar que componentes como CON xxx , deben ser ceros. Un cristal cúbico tiene la propiedad de ser simétrico en reflexión con respecto a cualquier plano perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. si reemplazamos en con -y, entonces nada debería cambiar. pero cambia en en - en cambios mi xy en - mi xy , desde el movimiento en la dirección + en ahora se moverá en la dirección - Ud. Para que la energía no cambie, CON xxx debería entrar - CON xxx Pero el cristal reflejado será el mismo que antes, así que CON xx xy debe haber lo mismo como - CON xxx . Esto sólo puede suceder cuando ambos son cero.

Pero se puede decir: "Por el mismo razonamiento, podemos hacer C yyyy =0!» Esto no es verdad. Después de todo, aquí tenemos cuatro juego. Cada en cambia de signo y cuatro menos dan un más. Si en Satisface dos o cuatro veces, entonces dichos componentes no deben ser iguales a cero. Sólo aquellos componentes para los cuales en ocurre cualquiera de los dos uno, o tres veces. Así, para un cristal cúbico sólo aquellos CON, que tienen el mismo icono un número par de veces.(El razonamiento que llevamos a cabo para y, también son válidos para X y para z.) Por lo tanto, sólo los componentes de tipo CON xhoo , CON huhu , CON silbido etc. Sin embargo, ya hemos demostrado que si cambiamos todo X en en Y viceversa(o todo z por x, etc.), entonces para un cristal cúbico deberíamos obtener el mismo número. Esto significa que permanecen solo tres diferentes posibilidades distintas de cero:

La densidad de energía de un cristal cúbico se ve así:

Un material isotrópico, es decir, no cristalino, tiene una simetría aún mayor. Números CON debe ser lo mismo cualquier elección de ejes de coordenadas. Al mismo tiempo, resulta que existe otra conexión entre los coeficientes CON:

C xxxx =C xhoo +C huhu (39.19)

Esto puede verse a partir de las siguientes consideraciones generales. Medidor de estrés S yo debe estar asociado con mi yo de una manera que es completamente independiente de la dirección de los ejes de coordenadas, es decir, debe estar conectado sólo por escalar cantidades "Es muy simple", dices. " La única forma conseguir S yo de mi yo - multiplica este último por una constante escalar. El resultado es simplemente la ley de Hooke: S yo = (Constante)Xе ij ". Sin embargo, esto no es del todo cierto. Además, puedes insertar aquí tensor unitario yo, multiplicado por algún escalar linealmente relacionado con mi yo . El único invariante que se puede componer y que es lineal en mi,- este es yo jj . (Se transforma como X 2 +y 2 +z 2 , lo que significa que es un escalar.) Por lo tanto, la mayoría forma general ecuación que conecta S yo Con mi yo para un material isotrópico, habrá

(La primera constante generalmente se escribe como 2; en este caso, el coeficiente es igual al módulo de corte que definimos en el capítulo anterior). Las constantes ( y  se llaman constantes elásticas de Lame. Comparando las ecuaciones (39.20) con la ecuación (39.12), se ve que

Por tanto, hemos demostrado que la ecuación (39.19) es correcta. También verá que las propiedades elásticas de un material isotrópico, como se mencionó en el capítulo anterior, están completamente determinadas por dos constantes.

Impares CON se puede expresar en términos de dos de las constantes elásticas que se usaron anteriormente, por ejemplo en términos del módulo de Young Y y la relación de Poisson  . Te lo dejo a ti para que lo demuestres.

El cambio de energía libre durante la compresión isotérmica de un cristal es, como en los cuerpos isotrópicos, función cuadrática tensor de deformación. A diferencia de lo que ocurría con los cuerpos isotrópicos, esta función ahora contiene no dos, sino numero mayor coeficientes independientes.

La forma general de la energía libre de un cristal deformado es

donde hay algún tensor de rango 4, llamado tensor del módulo elástico. Dado que el tensor de deformación es simétrico, el producto no cambia cuando los índices o el par i, k se intercambian con el par . Es obvio, por tanto, que el tensor se puede definir de modo que tenga las mismas propiedades de simetría con respecto a la permutación de índices:

Contando simplemente, se puede verificar que el número de componentes diferentes de un tensor de rango 4 con tales propiedades de simetría es igual a caso general

Según la expresión (10.1) para la energía libre, la dependencia del tensor de tensión del tensor de deformación en cristales tiene la forma (ver también nota a pie de página en la página 59)

La presencia de una u otra simetría del cristal conduce a la aparición de dependencias entre los distintos componentes del tensor, de modo que el número de sus componentes independientes resulta ser menor.

Consideremos estas relaciones para todos. tipos posibles simetría macroscópica de cristales, es decir, para todas las clases de cristales, distribuyéndolos entre los sistemas cristalinos correspondientes (ver V, § 130, 131).

1. Sistema triclínico. La simetría triclínica (clases) no impone ninguna restricción a los componentes del tensor y la elección del sistema de coordenadas desde el punto de vista de la simetría es completamente arbitraria. En este caso, los 21 módulos elásticos son distintos de cero e independientes. La arbitrariedad de la elección del sistema de coordenadas permite, sin embargo, imponer a los componentes tensoriales condiciones adicionales. Dado que la orientación del sistema de coordenadas con respecto al cuerpo está determinada por tres cantidades (ángulos de rotación), puede haber tres condiciones de este tipo; Se pueden considerar, por ejemplo, tres de los componentes. igual a cero. Entonces cantidades independientes, que caracteriza las propiedades elásticas del cristal, habrá 18 módulos distintos de cero y 3 ángulos que determinan la orientación de los ejes en el cristal.

2. Sistema monoclínico. Consideremos la clase y seleccionemos un sistema de coordenadas con el plano x, y coincidiendo con el plano de simetría. Cuando se reflejan en este plano, las coordenadas sufren una transformación: . Los componentes del tensor se transforman como productos de las coordenadas correspondientes. Por tanto, está claro que con la transformación indicada, todos los componentes, entre cuyos índices esté contenido el índice un número impar (1 o 3) de veces, cambiarán de signo y los componentes restantes permanecerán sin cambios. Por otro lado, debido a la simetría del cristal, todas las cantidades que caracterizan sus propiedades (incluidos todos los componentes) deben permanecer sin cambios cuando se reflejan en el plano de simetría. Por tanto, está claro que todos los componentes con un número impar de índices deben ser iguales a cero. Respectivamente expresión general porque la energía elástica libre de un cristal de un sistema monoclínico es

Aquí hay 13 coeficientes independientes. Se obtiene la misma expresión para la clase y también para la clase que contiene ambos elementos de simetría juntos. Sin embargo, en el razonamiento anterior, las consideraciones de simetría fijan la elección de la dirección de sólo uno de los ejes de coordenadas, mientras que las direcciones de los ejes x, y en perpendicular al plano siguen siendo arbitrarios. Esta arbitrariedad se puede utilizar para convertir uno de los componentes a cero mediante una elección adecuada de ejes, por ejemplo, entonces las 13 cantidades que caracterizan las propiedades elásticas del cristal serán 12 módulos distintos de cero y un ángulo que determina la orientación de los ejes. en el plano x, y.

3. Sistema rómbico. En todas las clases de este sistema, la elección de los ejes de coordenadas está dictada únicamente por la simetría y se obtiene una expresión de la misma forma para la energía libre. Considere, por ejemplo, una clase y seleccione planos de coordenadas en los tres planos de simetría de esta clase. Las reflexiones en cada uno de estos planos son transformaciones en las que una de las coordenadas cambia de signo, mientras que las otras dos no cambian. Es obvio, por tanto, que de todos los componentes, sólo aquellos entre cuyos índices se encuentra cada uno de sus valores seguirán siendo distintos de cero. número par una vez; todos los demás componentes tendrían que cambiar de signo cuando se reflejaran en uno de los planos de simetría. Por tanto, la expresión general de la energía libre en el sistema ortorrómbico tiene la forma

Contiene sólo nueve módulos elásticos.

4. Sistema tetragonal. Consideremos la clase. Elegimos coordenadas con el eje a lo largo del eje a y el eje y, perpendicular a dos de los planos verticales de simetría. Los reflejos en estos dos planos significan transformaciones, respectivamente, por lo que todos los componentes con un número impar de índices idénticos desaparecen. Además, la rotación en un ángulo alrededor de un eje es una transformación de r. Esto implica las relaciones.

El resto de transformaciones incluidas en la clase no añaden nada a estas condiciones. Así, la energía libre de los cristales de un sistema tetragonal tiene la forma

Contiene seis módulos elásticos.

Se obtendrá el mismo resultado para otras clases de sistemas tetragonales, en los que la elección natural de los ejes de coordenadas está dictada por la simetría. En las clases, la elección de un solo eje es inequívoca: a lo largo del eje o. En este caso, los requisitos de simetría permiten la existencia (además de los que aparecen en (10.6)) también de componentes.

Al elegir adecuadamente las direcciones de los ejes y, estos componentes se pueden convertir a cero y luego F se reducirá nuevamente a la misma forma (10.6).

5. Sistema romboédrico. Consideremos la clase Cm y elijamos un sistema de coordenadas con un eje a lo largo del eje de tercer orden y un eje y perpendicular a uno de los planos de simetría verticales. Para aclarar las restricciones impuestas a los componentes tensoriales por la presencia de un eje, conviene realizar una transformación formal introduciendo “coordenadas” complejas según la definición

dejamos la coordenada sin cambios. También transformamos el tensor a estas nuevas coordenadas; en sus componentes, los índices ahora corren a través de los valores. Es fácil ver que cuando se giran 120° alrededor del eje z, las nuevas variables sufren una transformación.

Debido a la simetría del cristal, sólo aquellos componentes que no cambian durante esta transformación pueden ser distintos de cero. Obviamente, esta propiedad la poseen aquellos componentes entre cuyos índices o se repiten tres veces (nótese que o el índice está contenido el mismo número de veces que (ya que estos son los componentes

Además, la reflexión en un plano de simetría perpendicular al eje y es una transformación o ¿para cantidades?, ya que con esta transformación se convierte en entonces estos dos componentes deben ser iguales entre sí. Por tanto, los cristales del sistema romboédrico tienen sólo seis módulos elásticos. Para escribir una expresión de energía libre, necesitamos compilar una suma en la que los índices pasen por los valores, ya que necesitamos expresar F a través de los componentes del tensor de deformación en coordenadas, luego debemos expresar a través de ellos los componentes. en “coordenadas”. Esto es fácil de hacer, aprovechando que las componentes del tensor se transforman como productos de las dos coordenadas correspondientes. Si, de

sigue eso

Como resultado, encontramos la siguiente expresión para F:

Contiene 6 coeficientes independientes. El mismo resultado se obtendrá para las clases. En clases en las que la elección de los ejes y sigue siendo arbitraria, los requisitos de simetría también permiten una diferencia distinta de cero.

Sin embargo, puede reducirse a cero mediante una elección adecuada de los ejes x, y.

6. Sistema hexagonal. Consideremos la clase y elijamos un sistema de coordenadas con un eje a lo largo del eje de sexto orden. Introduzcamos nuevamente las coordenadas (10,7). Cuando se giran en un ángulo alrededor de un eje, sufren una transformación.

De esto se desprende claramente que sólo aquellos componentes entre cuyos índices aparecen los índices ) son distintos de cero mismo número una vez. Estos son

Otros posibles elementos de simetría del sistema hexagonal no añaden nada a estas restricciones. Por tanto, sólo hay cinco módulos elásticos. Energía gratis parece

Cabe señalar que la deformación en el plano x, y (deformación con valores distintos de cero) está determinada por sólo dos módulos elásticos, como en el caso de un cuerpo isotrópico; es decir, en un plano perpendicular al eje hexagonal, las propiedades elásticas de un cristal hexagonal son isotrópicas. Por esta razón, la elección de las direcciones de los ejes en este plano generalmente no es importante y no afecta de ninguna manera a la forma F. Por lo tanto, la expresión (10.9) se aplica a todas las clases del sistema hexagonal.

7. Sistema cúbico. Dirijamos los ejes x, y, z a lo largo de tres ejes de cuarto orden del sistema cúbico. Ya la presencia de simetría tetragonal (con un eje de cuarto orden a lo largo del eje z) limitaba el número de componentes tensoriales diferentes a los siguientes seis:

Las rotaciones de 90° alrededor de los ejes xey producen transformaciones respectivamente. En virtud de ellos, de los seis componentes escritos, se igualan el primero y el segundo, el tercero y el cuarto, y el quinto y el sexto.

Esto deja sólo tres módulos elásticos diferentes. La energía libre de los cristales del sistema cúbico tiene la forma.

Anotemos nuevamente el número de parámetros independientes (módulos de elasticidad o ángulos que determinan la orientación de los ejes en el cristal) para las clases varios sistemas;

El número mínimo de módulos distintos de cero que se pueden lograr mediante una elección adecuada de ejes de coordenadas es el mismo para todas las clases de cada sistema:

Todo lo anterior se aplica, por supuesto, a los monocristales. Los cuerpos policristalinos con tamaños suficientemente pequeños de los cristalitos incluidos en su composición pueden considerarse cuerpos isotrópicos (ya que nos interesan las deformaciones en áreas grandes en comparación con el tamaño de los cristalitos). Como cualquier cuerpo isotrópico, un policristal se caracteriza por sólo dos módulos elásticos. A primera vista se podría pensar que estos módulos podrían obtenerse a partir de los módulos elásticos de cristalitos individuales mediante un simple promedio. En realidad, sin embargo, este no es el caso. Si consideramos la deformación de un policristal como resultado de la deformación de los cristalitos incluidos en él, entonces, en principio, sería necesario resolver las ecuaciones de equilibrio para todos estos cristalitos, teniendo en cuenta las correspondientes. condiciones de borde en sus interfaces.

Esto muestra que la relación entre las propiedades elásticas de un cristal, considerado en su conjunto, y las propiedades de los cristalitos que lo constituyen depende de la forma específica de los cristalitos y de la correlación entre sus orientaciones mutuas. Por lo tanto no hay dependencia general entre los módulos elásticos de los policristales y un monocristal (de la misma sustancia).

El cálculo de los módulos de un policristal isotrópico a partir de módulos de un monocristal se puede realizar con una precisión significativa sólo en el caso de una anisotropía débil de las propiedades elásticas del monocristal. Como primera aproximación, los módulos elásticos de un policristal se pueden igualar simplemente a la "parte isotrópica". módulos elásticos cristal individual. Luego, en la siguiente aproximación, aparecen términos que son cuadráticos en la pequeña “parte anisotrópica” de estos módulos. Resulta que estos términos de corrección no dependen de la forma de los cristalitos ni de la correlación de sus orientaciones y pueden calcularse de forma general.

Finalmente, veamos la expansión térmica de los cristales. En los cuerpos isotrópicos, la expansión térmica ocurre igualmente en todas las direcciones, por lo que el tensor de deformación para la expansión térmica libre tiene la forma (ver § 6)

donde a es el coeficiente expansión térmica. Tienes que escribir en cristales.

(10,11)

donde es algún tensor de segundo rango, simétrico con respecto a los índices t, k. Averigüemos el número de diferentes componentes independientes de este tensor en cristales. diferentes sistemas. Para hacer esto, la forma más fácil es utilizar el hecho bien conocido del álgebra tensorial de que cada tensor simétrico de segundo rango puede asociarse con algún, como se suele decir, tensor elipsoide. Por consideraciones de simetría, es inmediatamente obvio que con simetrías triclínicas, monoclínicas y ortorrómbicas, el elipsoide es, en general, triaxial (es decir, las longitudes de todos sus ejes son diferentes). Con simetrías tetragonal, romboédrica y hexagonal, el elipsoide debe ser un elipsoide de revolución (con un eje a lo largo de los ejes de simetría o ), respectivamente. Finalmente, la simetría cúbica conduce a la degeneración del elipsoide en una bola.

Pero un elipsoide triaxial está determinado por tres cantidades independientes (las longitudes de los ejes), un elipsoide de revolución por dos y una bola por una sola (el radio). Por tanto, el número de componentes tensoriales independientes en cristales de varios sistemas es:

Los cristales de los tres primeros sistemas se denominan biaxiales y los tres segundos se denominan uniaxiales. Llamamos la atención sobre el hecho de que la expansión térmica de los cristales de un sistema cúbico está determinada por una sola cantidad, es decir, que se comportan en relación con su expansión térmica como cuerpos isotrópicos.

Ahora bien, para describir las deformaciones, debemos relacionarlas con fuerzas internas, es decir, con tensiones en el material. Suponemos que la ley de Hooke es válida para cualquier pieza de material, es decir, que las tensiones son en todas partes proporcionales a las deformaciones. Pulgada. 31 definimos el tensor de tensión como la componente enésima de la fuerza que actúa sobre una unidad de área perpendicular al eje. La ley de Hooke dice que cada componente está relacionado linealmente con cada componente de voltaje. Pero como contienen nueve componentes, se necesita en total un coeficiente posible para describir las propiedades elásticas del material. Si el material es homogéneo, entonces todos estos coeficientes serán constantes. Los denotamos definiéndolos usando la ecuación

, (39.12)

donde cada símbolo , y puede tomar los valores 1, 2 o 3. Dado que los coeficientes relacionan un tensor con otro, también forman un tensor, esta vez un tensor de cuarto rango. Podemos llamarlo tensor de elasticidad.

Supongamos que conocemos a todo el mundo y que hemos aplicado fuerzas complejas a un cuerpo de alguna forma arbitraria. En este caso, surgirán todo tipo de deformaciones: el cuerpo de alguna manera se distorsionará. ¿Cómo serán los movimientos? Te das cuenta que es bonito tarea difícil. Si conoces las deformaciones, entonces a partir de la ecuación (39.12) puedes encontrar las tensiones y viceversa. Pero las tensiones y deformaciones que ocurren en cualquier punto dependen de lo que sucede en el resto del material.

La forma más sencilla de abordar esta tarea es pensar en la energía. Cuando la fuerza es proporcional al desplazamiento, digamos, entonces el trabajo invertido en cualquier desplazamiento es igual a. De manera similar, la energía almacenada en cualquier unidad de volumen de material deformado resulta ser igual a

. (39.13)

El trabajo total empleado en la deformación de todo el cuerpo será la integral de todo su volumen:

. (39.14)

En consecuencia, esta es la energía potencial almacenada en las tensiones internas del material. Cuando el cuerpo está en equilibrio, esta energía interna debe ser mínima. Por tanto, el problema de determinar las deformaciones en un cuerpo se puede resolver encontrando desplazamientos en todo el cuerpo en los que sea mínimo. Pulgada. 19 (número 6) Les hablé de algunas ideas generales del cálculo de variaciones utilizadas para resolver problemas de minimización de este tipo. Sin embargo, no entraremos en más detalles sobre esta tarea por ahora.

Ahora nos interesará principalmente lo que se puede decir sobre las propiedades generales del tensor de elasticidad. En primer lugar, está claro que en realidad no contiene 81 parámetros diferentes. Dado que y son tensores simétricos, cada uno de los cuales incluye sólo seis varios elementos, consta entonces de un máximo de 36 componentes diferentes. Por lo general, hay muchos menos.

Consideremos el caso especial de un cristal cúbico. La densidad de energía para ello es la siguiente:

(39.15)

es decir, ¡sólo 81 términos! Pero un cristal cúbico tiene ciertas simetrías. En particular, si el cristal se gira 90°, todas sus propiedades físicas seguirán siendo las mismas. Por ejemplo, debe tener la misma rigidez a la tracción tanto en dirección axial como en dirección axial. Por lo tanto, si cambiamos nuestras definiciones de los ejes coordenados y en la ecuación (39.15), entonces la energía no debería cambiar. Por lo tanto, para un cristal cúbico

. (39.16)

También podemos demostrar que componentes como , deben ser cero. Un cristal cúbico tiene la propiedad de ser simétrico cuando se refleja con respecto a cualquier plano perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. Si lo reemplazamos con, entonces nada debería cambiar. Pero cambiar a cambia a, ya que moverse en la dirección ahora será moverse en la dirección. Para que la energía no cambie, debe entrar. Pero el cristal reflejado será el mismo que antes, por lo que debe ser el mismo que. Esto sólo puede suceder cuando ambos son cero.

Pero puedes decir: “¡Por ​​el mismo razonamiento, tú también puedes hacerlo!” Esto no es verdad. Al fin y al cabo, aquí tenemos cuatro jugadores. Cada uno cambia de signo y cuatro menos forman un más. Si ocurre dos o cuatro veces, dichos componentes no deben ser iguales a cero. Sólo aquellos componentes que ocurren una o tres veces son iguales a cero. Así, para un cristal cúbico, sólo aquellos en los que el mismo símbolo aparece un número par de veces son distintos de cero. (El razonamiento que hicimos para , es válido tanto para , como para .) Por lo tanto, solo sobreviven los componentes de tipo , , etc. Sin embargo, ya hemos demostrado que si cambiamos todo a y viceversa (o todos a etc .) , entonces para un cristal cúbico deberíamos obtener el mismo número. Esto significa que sólo quedan tres posibilidades diferentes distintas de cero:

(39.17)

La densidad de energía de un cristal cúbico se ve así:

Un material isotrópico, es decir, no cristalino, tiene una simetría aún mayor. Los números deben ser los mismos para cualquier elección de ejes de coordenadas. En este caso, resulta que existe otra conexión entre los coeficientes:

. (39.19)

Esto puede verse a partir de las siguientes consideraciones generales. El tensor de tensión debe estar relacionado de una manera que sea completamente independiente de la dirección de los ejes de coordenadas, es decir, debe estar relacionado únicamente usando cantidades escalares. "Es muy simple", dices. “La única forma de obtenerlo es multiplicar este último por una constante escalar. El resultado es simplemente la ley de Hooke: " Sin embargo, esto no es del todo cierto. Además, aquí podemos insertar un tensor unitario multiplicado por algún escalar relacionado linealmente con . El único invariante que se puede componer y que es lineal en , es . (Se transforma como , y por lo tanto es un escalar). Por lo tanto, la forma más general de la ecuación que relaciona c para un material isotrópico sería

Los coeficientes se pueden expresar en términos de dos de las constantes elásticas que se usaron anteriormente, como el módulo de Young y el índice de Poisson. Te lo dejo a ti para que lo demuestres.

(39.22)

En los MSS se acostumbra dividir todas las fuerzas en externo Y interno.

Fuerzas externas surgen como resultado de la interacción de un medio continuo con otros cuerpos. Tales fuerzas causan o pueden causar un cambio en el impulso y energía cinética volumen asignado. Un ejemplo típico Fuerza externa para objetos ubicados cerca de la superficie de la Tierra es fuerza gravitacional- gravedad.

Fuerzas internas surgen como resultado de la interacción de elementos de un medio continuo. No pueden cambiar la cantidad de movimiento de este volumen, por lo que dentro de él cada fuerza interna está equilibrada por su igual en magnitud. fuerza interior teniendo direccion opuesta. Al mismo tiempo, el trabajo de las fuerzas internas puede cambiar la cinética y (o) energía potencial el volumen del cuerpo considerado. Ejemplos de fuerzas internas son la fuerza de presión que actúa sobre una superficie construida dentro de un volumen determinado de líquido; Fuerza de fricción entre capas de fluido en movimiento.

Externo y fuerzas internas puede ser volumétrico (masa) Y superficial .

La magnitud de las fuerzas volumétricas (de masa) es proporcional al volumen (masa) del líquido o gas sobre el que actúan. Una característica de la fuerza volumétrica (de masa) es la densidad de distribución de esta fuerza en el espacio. Este cantidad vectorial, que es igual a la fuerza que actúa por unidad de volumen (masa): aceleración. Tomemos como ejemplo la gravedad. Su densidad de distribución es un vector de igual magnitud a la aceleración. caida libre. Si tomamos los ejes x e y horizontales, y z apuntan verticalmente hacia arriba, entonces la densidad de distribución de la gravedad, donde g = 9,81 m/s 2 - aceleración de la gravedad. En este caso, el volumen de peso es igual a:

. (1.5.1)

Físicamente, las fuerzas superficiales son causadas por las fuerzas de interacción de corto alcance de moléculas ubicadas a lo largo lados diferentes desde la superficie en cuestión, y la transferencia de moléculas a través de esta superficie durante su movimiento térmico. Características fuerza superficial es su distribución sobre la superficie, que se llama Voltaje.

Voltaje. En una sección de un medio continuo sobre un área orientada arbitrariamente con una normal, actúa un vector de tensión (figura 1.10). Se puede descomponer en dos componentes. normal voltaje y - tangente voltaje en este sitio. Si el sitio se encuentra en el plano del eje de coordenadas normal, entonces el voltaje está determinado por tres cantidades: proyecciones sobre los ejes correspondientes (Fig. 1.11). Las tensiones en áreas normales a los ejes están determinadas por la relación:

Figura 1.10 Figura 1.11

Consideremos en continuo el volumen elemental es un tetraedro de fuerza (figura 1.12). Las tres caras a las que pertenecen planos coordinados, y el cuarto es normal. El voltaje que actúa se puede caracterizar por tres proyecciones p nx , p ny y p nz en ejes de coordenadas x, y y z y depende de la dirección del área normal a .

.

El primer índice indica la dirección del sitio, el segundo, el eje de diseño.

Apliquemos la segunda ley de Newton (fuerza = masa por aceleración):

Dividamos todo por y pasando al límite, teniendo en cuenta que obtenemos fórmulas de cauchy para la tensión en un área orientada arbitrariamente que pasa a través este punto:

(1.5.2)

Tetraedro de fuerza. Fig.1.12

Tenga en cuenta que esta expresión es el producto de un determinado objeto definido por una matriz de 3x3 y un vector normal unitario. Este objeto se llama medidor de estrés:

(1.5.3)

Componiendo las tres ecuaciones básicas de equilibrio del tetraedro: las tres ecuaciones de momento. Es conveniente hacer esto en relación con los ejes que pasan por el centro de masa, el punto con coordenadas. En este caso, en las ecuaciones de 12 tensiones solo estarán presentes dos tangentes, y el resto será paralelo al eje seleccionado o pasará por él. Como resultado obtenemos

estas igualdades expresan la ley de reciprocidad de tensiones tangenciales, y el tensor de tensiones en sí es simétrico.

De este modo, El estado estresado de un medio continuo en cualquier punto está determinado únicamente por seis valores de tensión, que constituyen el tensor simétrico.

Si la cara del tetraedro coincide con la superficie sólido, entonces las proyecciones del vector de tensión coinciden con las proyecciones de la carga externa

(1.5.5)

Dado que el tensor de tensión es simétrico, siempre puedes elegir un sistema de coordenadas en el que tendrá forma diagonal. Para ello es necesario decidir característico (secular) la ecuacion:

. (1.5.6)

La solución de la ecuación característica son tres cantidades, que se llaman tensiones principales, y las direcciones de las normales a las áreas sobre las que actúan son Los ejes principales del estado de tensión del sistema..

Considere el segmento infinitesimal dS(Fig. 1.12), cuya proyección en el eje sistema cartesiano coordenadas dx, dy, dz. Dejemos que el punto M se desplace durante la deformación y las proyecciones de su desplazamiento. . La teoría de la elasticidad considera deformaciones y desplazamientos, es decir. tales cantidades para las cuales sus productos y cuadrados pueden despreciarse. Entonces las proyecciones del desplazamiento del punto M’ serán:

(1.5.7)

Proyecciones dS*, en el que va el segmento dS después de la deformación:

Calculando y descartando los términos de segundo orden, obtenemos:

(1.5.9)

Estas seis cantidades caracterizan plenamente el estado de deformación del cuerpo y constituyen el tensor de deformación:

(1.5.10)

Veamos el significado físico de estas cantidades. Introduzcamos el alargamiento relativo del segmento.

Luego para pequeñas deformaciones

o en proyecciones

De este modo, diagonal Los componentes son iguales al doble de los alargamientos relativos de los segmentos infinitesimales, que antes de la deformación eran paralelos a los ejes de coordenadas.

Consideremos cómo cambian los ángulos durante la deformación. tomemos un avión 0zy(Fig. 1.13) y vea cómo cambia el ángulo inicialmente recto entre los segmentos. dy Y dz. Se puede observar que, con exactitud para infinitesimales de segundo orden, este ángulo cambiará a es decir, a .

Por tanto, las componentes fuera de la diagonal son la magnitud del cambio inicialmente ángulo recto entre los segmentos infinitesimales correspondientes después de la deformación. Las cantidades , , generalmente se llaman turnos.

Aquí está la forma final del tensor de deformación:

(1.5.14)

Si ingresamos la notación, obtenemos una forma de registrar la relación entre los desplazamientos y las componentes del tensor de deformación ( relaciones de Cauchy):

. (1.5.15)

El tensor de deformación y el tensor de tensión son similares, esto nos permite identificar propiedades importantes estado deformado.

Dejemos que se creen tensiones proporcionales a las deformaciones en el cuerpo,

(1.5.16)

Se demostró que para cada punto del estado estresado existen orientaciones de las áreas en las que se realizan las tensiones principales. Entonces:

(1.5.17)

Por tanto, en un cuerpo deformado hay tres direcciones, cuyos desplazamientos son iguales a cero. Las líneas rectas trazadas en estas direcciones se llaman los ejes principales del estado deformable en este punto. Los alargamientos relativos en estas direcciones se denominan extensiones principales:

Después de realizar el reemplazo en Ecuación característica, obtenemos lo mismo ecuación cúbica

(1.5.19)

Los coeficientes de la ecuación secular, determinados por las fórmulas (1.5.19), se denominan invariantes del tensor de deformación.

La relación entre el tensor de tensión y el tensor de deformación determina Modelo físico continuo (su reología). En particular, para el modelo de cuerpos elásticos isotrópicos se aplican las relaciones de la ley generalizada de Hooke, conocida en el curso sobre resistencia de materiales. EN notaciones aceptadas Los componentes de los tensores de tensión y deformación son los siguientes:

(1.5.20)

Aquí mi Y GRAMO- Módulo de Young (módulo de elasticidad longitudinal) y cortante, n - Relación de Poisson. Están conectados por una dependencia bien conocida. .

En el curso de la resolución de problemas de teoría de la elasticidad, surge la necesidad de relaciones inversas cuando las tensiones se expresan en términos de deformaciones. En este caso obtenemos

, (1.5.21)

En el caso de medios fluidos, no existe conexión entre los tensores de tensión y deformación. Y se tiene en cuenta el tensor de velocidad de deformación:

Y el modelo continuo está determinado por la relación entre el tensor de tensión y el tensor de velocidad de deformación. Así, para los líquidos newtonianos se utiliza una relación denominada ley generalizada de Newton:

(1.5.23)

El modelo más simple es el modelo de fluido “ideal”:

(1.5.24)

Los datos experimentales y los conceptos físicos generales muestran que en altas temperaturas y presiones, cualquier medio prácticamente tiene las propiedades de un líquido ideal.

Medidor de estrés

El tensor de deformación describe la deformación de un cuerpo desde el punto de vista cinemático, es decir, independientemente de los motivos que dieron origen a la misma. Para considerar estas causas (fuerzas que actúan sobre el cuerpo), es necesario definir el concepto de tensión como una fuerza que actúa por unidad de área de sección transversal de una pieza. Consideremos un corte plano de un cuerpo deformable que pasa por el punto PAG con normalidad norte. Dejar F- fuerza que actúa sobre una pequeña sección del plano A que contiene un punto PAG.

Entonces el límite existe y se llama tensión en el punto PAG a lo largo del vector norte. Para determinar la tensión en una dirección arbitraria, se utiliza un tensor de tensión, que establece la tensión en una dirección arbitraria. norte Cómo Tennesse = norte. Para la mayoría de los materiales, el tensor se especifica mediante una matriz simétrica. Significado físico El tensor de tensión se ilustra con el ejemplo de cortes paralelos a planos coordinados (Fig. 31).

Ley generalizada de Hooke, matrices de rigidez y elasticidad.

En la conferencia anterior analizamos la dinámica del movimiento de un cuerpo rígido no deformable. Como se sabe, se describe mediante las ecuaciones de Newton-Euler (basadas en la segunda ley de Newton), que relacionan lineal y aceleración angular Cuerpo sobre el que actúan fuerzas a través de masa y tensor de inercia. La ley generalizada de Hooke desempeña un papel similar en los problemas de la teoría de la elasticidad. Descubierta en el siglo XVII por el matemático inglés Hooke, la ley del estiramiento de una varilla delgada tiene la forma F = kx, donde F es la fuerza que actúa sobre la varilla, x es el valor de estiramiento y k es el coeficiente de elasticidad. El valor del coeficiente de elasticidad se puede relacionar con dimensiones físicas varilla de la siguiente manera: k = ES/L, donde S es el área de la sección transversal de la varilla, L es su longitud y E es el módulo de Young. Con la introducción de los conceptos de alargamiento relativo x/L y tensión normal en sección transversal= F/S La ley de Hooke toma la forma E. Como ya sabemos, en el caso general, la tensión y la deformación están determinadas por tensores simétricos de tamaño 3x3. Sin embargo, entre estos entes tensoriales se aplica la misma relación lineal que entre los escalares, llamada ley generalizada de Hooke: . Tensor cuarto orden C en esta fórmula se especifican 81 coeficientes (34), pero dado que conecta matrices simétricas de 3x3, cada una de las cuales está determinada por seis cantidades escalares, entonces se puede representar como una matriz de rigidez de 6x6 D, que conecta el vector de deformación con el vector de tensión

Esta relación lineal es válida para pequeñas deformaciones. matriz inversa a la matriz de rigidez ( D-1) se llama matriz de elasticidad. Tenga en cuenta que la matriz de rigidez (elasticidad) está completamente determinada por las propiedades del material y no depende de cargas específicas sobre el cuerpo. Las propiedades elásticas de un material se pueden describir utilizando dos parámetros medidos en direcciones dadas: el módulo de Young E, que determina la relación entre tensión y deformación interna, y la relación de Poisson n, que caracteriza la relación entre la contracción transversal relativa y el alargamiento longitudinal relativo. Para elástico lineal materiales isotrópicos(como metales, vidrio, polipropileno y polietileno, caucho, en el caso de pequeñas deformaciones) El módulo de Young y la relación de Poisson son constantes que no dependen de la dirección ni del punto de medición, y la matriz de rigidez tiene la siguiente forma.