Esta lección está destinada a aquellos que recién comienzan a aprender ecuaciones exponenciales. Como siempre, comencemos con la definición y ejemplos sencillos.

Si estás leyendo esta lección, sospecho que ya tienes al menos un conocimiento mínimo de las ecuaciones más simples: lineales y cuadráticas: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, etc. Ser capaz de resolver este tipo de construcciones es absolutamente necesario para no “quedarse estancado” en el tema que ahora se tratará.

Entonces, ecuaciones exponenciales. Déjame darte un par de ejemplos:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Algunos de ellos pueden parecerle más complejos, mientras que otros, por el contrario, son demasiado simples. Pero todos tienen una característica importante en común: su notación contiene la función exponencial $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Así, introduzcamos la definición:

Una ecuación exponencial es cualquier ecuación que contenga una función exponencial, es decir expresión de la forma $((a)^(x))$. Además función especificada ecuaciones similares pueden contener cualquier otra construcción algebraica: polinomios, raíces, trigonometría, logaritmos, etc.

Bien entonces. Hemos resuelto la definición. Ahora la pregunta es: ¿cómo solucionar toda esta basura? La respuesta es a la vez simple y compleja.

Comencemos con las buenas noticias: por mi experiencia enseñando a muchos estudiantes, puedo decir que la mayoría de ellos encuentran las ecuaciones exponenciales mucho más fácilmente que los mismos logaritmos, y más aún la trigonometría.

Pero hay malas noticias: a veces los compiladores de problemas para todo tipo de libros de texto y exámenes se sienten "inspirados" y su cerebro inflamado por las drogas comienza a producir ecuaciones tan brutales que resolverlas se vuelve problemático no solo para los estudiantes, sino también para muchos profesores. quedarse estancado en tales problemas.

Sin embargo, no hablemos de cosas tristes. Y volvamos a esas tres ecuaciones que se dieron al principio de la historia. Intentemos resolver cada uno de ellos.

Primera ecuación: $((2)^(x))=4$. Bueno, ¿a qué potencia necesitas elevar el número 2 para obtener el número 4? ¿Probablemente el segundo? Después de todo, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - y obtuvimos la igualdad numérica correcta, es decir de hecho $x=2$. Bueno, gracias Cap, pero esta ecuación era tan simple que hasta mi gato podría resolverla :)

Veamos la siguiente ecuación:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Pero aquí es un poco más complicado. Muchos estudiantes saben que $((5)^(2))=25$ es la tabla de multiplicar. Algunos también sospechan que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ es esencialmente la definición poderes negativos(por analogía con la fórmula $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Finalmente, sólo unos pocos se dan cuenta de que estos hechos se pueden combinar y producir el siguiente resultado:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Por lo tanto, nuestra ecuación original se reescribirá de la siguiente manera:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

¡Pero esto ya se puede solucionar por completo! A la izquierda de la ecuación hay una función exponencial, a la derecha de la ecuación hay una función exponencial, no hay nada más en ningún lado excepto ellos. Por tanto, podemos “descartar” las bases y equiparar estúpidamente los indicadores:

Hemos obtenido la ecuación lineal más sencilla que cualquier estudiante puede resolver en tan solo un par de líneas. Bien, en cuatro líneas:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Si no comprende lo que sucedió en las últimas cuatro líneas, asegúrese de volver al tema " ecuaciones lineales"y repetirlo. Porque sin una comprensión clara de este tema, es demasiado pronto para abordar ecuaciones exponenciales.

\[((9)^(x))=-3\]

Entonces, ¿cómo podemos resolver esto? Primer pensamiento: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, por lo que la ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Luego recordamos que al elevar una potencia a una potencia los exponentes se multiplican:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Y por tal decisión recibiremos dos honestamente merecidos. Porque, con la ecuanimidad de un Pokémon, enviamos el signo menos delante del tres a la potencia de este mismo tres. Pero no puedes hacer eso. Y he aquí por qué. Echa un vistazo a los diferentes poderes de tres:

\[\begin(matriz) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriz)\]

Al compilar esta tabla, intenté con todas mis fuerzas evitar la perversión: y grados positivos Consideré números negativos e incluso fraccionarios... bueno, ¿dónde está al menos un número negativo aquí? ¡Se ha ido! Y no puede ser, porque la función exponencial $y=((a)^(x))$, en primer lugar, siempre toma solo valores positivos(no importa cuánto multiplique uno o lo divida por dos, seguirá siendo un número positivo), y en segundo lugar, la base de dicha función, el número $a$, ¡es por definición un número positivo!

Bueno, ¿cómo entonces resolver la ecuación $((9)^(x))=-3$? Pero ni modo: no hay raíces. Y en este sentido, las ecuaciones exponenciales son muy similares a las ecuaciones cuadráticas: es posible que tampoco tengan raíces. Pero si en ecuaciones cuadráticas el número de raíces está determinado por el discriminante (discriminante positivo - 2 raíces, negativo - sin raíces), entonces en ecuaciones exponenciales todo depende de lo que está a la derecha del signo igual.

Por lo tanto, formulemos la conclusión clave: la ecuación exponencial más simple de la forma $((a)^(x))=b$ tiene una raíz si y solo si $b>0$. Conociendo este simple hecho, podrás determinar fácilmente si la ecuación que te proponen tiene raíces o no. Aquellos. ¿Vale la pena solucionarlo o anotar inmediatamente que no hay raíces?

Este conocimiento nos ayudará muchas veces cuando tengamos que decidir más tareas complejas. Por ahora, basta de letras: es hora de estudiar el algoritmo básico para resolver ecuaciones exponenciales.

Cómo resolver ecuaciones exponenciales

Entonces, formulemos el problema. Es necesario resolver la ecuación exponencial:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Según el algoritmo “ingenuo” que usamos anteriormente, es necesario representar el número $b$ como una potencia del número $a$:

Además, si en lugar de la variable $x$ hay alguna expresión, obtendremos una nueva ecuación que ya se puede resolver. Por ejemplo:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(alinear)\]

Y, aunque parezca extraño, este esquema funciona en aproximadamente el 90% de los casos. ¿Qué pasa entonces con el 10% restante? El 10% restante son ecuaciones exponenciales ligeramente “esquizofrénicas” de la forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Bueno, ¿a qué potencia necesitas elevar 2 para obtener 3? ¿Primero? Pero no: $((2)^(1))=2$ no es suficiente. ¿Segundo? Tampoco: $((2)^(2))=4$ es demasiado. ¿Cuál entonces?

Los estudiantes conocedores probablemente ya lo hayan adivinado: en tales casos, cuando no es posible resolver "bellamente", entra en juego la "artillería pesada": los logaritmos. Permítanme recordarles que usando logaritmos, cualquier número positivo se puede representar como una potencia de cualquier otro número positivo (excepto uno):

¿Recuerdas esta fórmula? Cuando hablo de logaritmos a mis alumnos, siempre les advierto: esta fórmula (también la principal) identidad logarítmica o, si lo prefiere, la definición de logaritmo) lo perseguirá durante mucho tiempo y “aparecerá” en la forma más lugares inesperados. Bueno, ella salió a la superficie. Veamos nuestra ecuación y esta fórmula:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Si asumimos que $a=3$ es nuestro número original a la derecha, y $b=2$ es la base misma de la función exponencial a la que tanto queremos llevar lado derecho, entonces obtenemos lo siguiente:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(alinear)\]

Recibimos una respuesta un poco extraña: $x=((\log )_(2))3$. En alguna otra tarea, muchos tendrían dudas con tal respuesta y comenzarían a verificar su solución: ¿y si se hubiera colado un error en alguna parte? Me apresuro a complacerte: aquí no hay ningún error y los logaritmos en las raíces de ecuaciones exponenciales son bastante situación típica. Así que acostúmbrate.

Ahora resolvamos las dos ecuaciones restantes por analogía:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Flecha derecha x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! Por cierto, la última respuesta se puede escribir de otra manera:

Introdujimos un multiplicador al argumento del logaritmo. Pero nadie nos impide añadir este factor a la base:

Además, las tres opciones son correctas: es sencillo. diferentes formas registros del mismo número. Tú decides cuál elegir y anotar en esta solución.

Por lo tanto, hemos aprendido a resolver cualquier ecuación exponencial de la forma $((a)^(x))=b$, donde los números $a$ y $b$ son estrictamente positivos. Sin embargo dura realidad Nuestro mundo es tal que tareas tan simples se encuentran muy, muy raramente. La mayoría de las veces te encontrarás con algo como esto:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(alinear)\]

Entonces, ¿cómo podemos resolver esto? ¿Se puede solucionar esto? Y si es así, ¿cómo?

No entrar en pánico. Todas estas ecuaciones se pueden reducir rápida y fácilmente a fórmulas simples que ya hemos considerado. Solo necesitas recordar un par de trucos del curso de álgebra. Y, por supuesto, no existen reglas para trabajar con títulos. Te contaré todo esto ahora :)

Convertir ecuaciones exponenciales

Lo primero que hay que recordar: cualquier ecuación exponencial, por compleja que sea, de una forma u otra debe reducirse a las ecuaciones más simples, aquellas que ya hemos considerado y que sabemos resolver. En otras palabras, el esquema para resolver cualquier ecuación exponencial se ve así:

Escribe la ecuación original. Por ejemplo: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Haz algunas cosas raras. O incluso alguna tontería llamada "convertir una ecuación";
En la salida, obtenga las expresiones más simples de la forma $((4)^(x))=4$ o algo así. Además, una ecuación inicial puede dar varias expresiones de este tipo a la vez.

Con el primer punto todo está claro: hasta mi gato puede escribir la ecuación en una hoja de papel. El tercer punto también parece más o menos claro: ya hemos resuelto un montón de ecuaciones de este tipo anteriormente.

Pero ¿qué pasa con el segundo punto? ¿Qué tipo de transformaciones? ¿Convertir qué en qué? ¿Y cómo?

Bueno, averigüémoslo. En primer lugar, quisiera señalar lo siguiente. Todas las ecuaciones exponenciales se dividen en dos tipos:

La ecuación se compone de funciones exponenciales con la misma base. Ejemplo: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
La fórmula contiene funciones exponenciales con por diferentes razones. Ejemplos: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ y $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Comencemos con las ecuaciones del primer tipo: son las más fáciles de resolver. Y para resolverlos, nos ayudará una técnica como resaltar expresiones estables.

Aislar una expresión estable

Veamos esta ecuación nuevamente:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

¿Qué vemos? Los cuatro se elevan en diferentes grados. Pero todos estos grados... sumas simples variable $x$ con otros números. Por tanto, es necesario recordar las reglas para trabajar con títulos:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(alinear)\]

En pocas palabras, la suma se puede convertir en un producto de potencias y la resta se puede convertir fácilmente en división. Intentemos aplicar estas fórmulas a los grados de nuestra ecuación:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(alinear)\]

Reescribamos la ecuación original teniendo en cuenta este hecho y luego recopilemos todos los términos de la izquierda:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(alinear)\]

Los primeros cuatro términos contienen el elemento $((4)^(x))$; saquémoslo del paréntesis:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(alinear)\]

Queda por dividir ambos lados de la ecuación por la fracción $-\frac(11)(4)$, es decir esencialmente multiplica por la fracción invertida - $-\frac(4)(11)$. Obtenemos:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! Hemos reducido la ecuación original a su forma más simple y obtuvimos la respuesta final.

Al mismo tiempo, en el proceso de resolución descubrimos (e incluso lo sacamos del soporte) multiplicador común$((4)^(x))$ es una expresión estable. Puede designarse como una nueva variable o simplemente expresarla con cuidado y obtener la respuesta. En cualquier caso, el principio clave de la solución es el siguiente:

Encuentre en la ecuación original una expresión estable que contenga una variable que se distinga fácilmente de todas las funciones exponenciales.

La buena noticia es que casi todas las ecuaciones exponenciales permiten aislar una expresión tan estable.

Pero también hay malas noticias: expresiones similares Puede ser bastante complicado y bastante difícil de identificar. Así que veamos un problema más:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Quizás alguien tenga ahora una pregunta: “Pasha, ¿estás drogado? Aquí hay diferentes bases: 5 y 0,2”. Pero intentemos convertir la potencia a base 0,2. Por ejemplo, eliminemos la fracción decimal reduciéndola a una fracción normal:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Como puedes ver, el número 5 todavía aparecía, aunque en el denominador. Al mismo tiempo, el indicador se reescribió como negativo. Y ahora recordemos uno de las reglas más importantes trabajar con grados:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Aquí, por supuesto, estaba un poco mentido. Porque para una comprensión completa, la fórmula para deshacerse de los indicadores negativos tenía que escribirse así:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ derecha))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Por otro lado, nada nos impedía trabajar sólo con fracciones:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ derecha))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Pero en este caso, es necesario poder elevar una potencia a otra potencia (permítanme recordarles: en este caso, los indicadores se suman). Pero no tuve que "invertir" las fracciones; quizás esto sea más fácil para algunos :)

En cualquier caso, la ecuación exponencial original se reescribirá como:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(alinear)\]

Entonces resulta que la ecuación original se puede resolver de manera aún más simple que la considerada anteriormente: aquí ni siquiera es necesario seleccionar una expresión estable: todo se ha reducido por sí solo. Sólo queda recordar que $1=((5)^(0))$, de donde obtenemos:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(alinear)\]

¡Esa es la solución! Obtuvimos la respuesta final: $x=-2$. Al mismo tiempo, me gustaría señalar una técnica que nos simplificó enormemente todos los cálculos:

En ecuaciones exponenciales, asegúrese de deshacerse de decimales, conviértalos en normales. Esto le permitirá ver las mismas bases de grados y simplificar enormemente la solución.

Pasemos ahora a ecuaciones más complejas en las que hay diferentes bases que no se pueden reducir entre sí mediante potencias.

Usando la propiedad de grados

Permítanme recordarles que tenemos dos ecuaciones más particularmente duras:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(alinear)\]

La principal dificultad aquí es que no está claro qué donar ni sobre qué base. Dónde establecer expresiones? ¿Dónde están los mismos motivos? No hay nada de esto.

Pero intentemos ir por un camino diferente. Si no hay bases idénticas ya preparadas, puede intentar encontrarlas factorizando las bases existentes.

Comencemos con la primera ecuación:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(alinear)\]

Pero puedes hacer lo contrario: hacer el número 21 a partir de los números 7 y 3. Esto es especialmente fácil de hacer en el lado izquierdo, ya que los indicadores de ambos grados son los mismos:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\&2x=6; \\&x=3. \\\end(alinear)\]

¡Eso es todo! Sacaste el exponente fuera del producto e inmediatamente obtuviste una hermosa ecuación que se puede resolver en un par de líneas.

Ahora veamos la segunda ecuación. Aquí todo es mucho más complicado:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

En este caso, las fracciones resultaron irreducibles, pero si algo se puede reducir, asegúrese de reducirlo. A menudo aparecerán motivos interesantes con los que ya podrás trabajar.

Desafortunadamente, no nos apareció nada especial. Pero vemos que los exponentes de la izquierda del producto son opuestos:

Permítanme recordarles: para deshacerse del signo menos en el indicador, basta con "voltear" la fracción. Bueno, reescribamos la ecuación original:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(alinear)\]

En la segunda línea simplemente realizamos indicador general del producto fuera de paréntesis según la regla $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, y en este último simplemente multiplicó el número 100 por una fracción.

Ahora observe que los números de la izquierda (en la base) y de la derecha son algo similares. ¿Cómo? Sí, es obvio: ¡son potencias del mismo número! Tenemos:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \derecha))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \derecha))^(2)). \\\end(alinear)\]

Por tanto, nuestra ecuación quedará reescrita de la siguiente manera:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\derecha))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

En este caso, a la derecha también se puede obtener un grado con la misma base, para lo cual basta con “darle la vuelta” a la fracción:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Nuestra ecuación finalmente tomará la forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\&3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(alinear)\]

Esa es la solución. Su idea principal se reduce al hecho de que incluso con diferentes bases, intentamos, por las buenas o por las malas, reducir estas bases a la misma cosa. Las transformaciones elementales de ecuaciones y las reglas para trabajar con potencias nos ayudan con esto.

¿Pero qué reglas y cuándo usarlas? ¿Cómo entiendes que en una ecuación necesitas dividir ambos lados entre algo, y en otra necesitas factorizar la base de la función exponencial?

La respuesta a esta pregunta vendrá con la experiencia. Prueba tu suerte al principio ecuaciones simples, y luego complique gradualmente las tareas, y muy pronto sus habilidades serán suficientes para resolver cualquier ecuación exponencial del mismo Examen Estatal Unificado o cualquier trabajo de prueba/independiente.

Y para ayudarte en esta difícil tarea, te sugiero descargar un conjunto de ecuaciones de mi sitio web para resolverlas tú mismo. Todas las ecuaciones tienen respuestas, por lo que siempre puedes ponerte a prueba.

Este es el nombre de las ecuaciones en las que la incógnita está tanto en el exponente como en la base de la potencia.

Puede especificar un algoritmo completamente claro para resolver una ecuación de la forma. Para hacer esto, debe prestar atención al hecho de que cuando Oh) no es igual a cero, uno y menos uno, la igualdad de grados con las mismas bases (ya sea positiva o negativa) solo es posible si los exponentes son iguales. Es decir, todas las raíces de la ecuación serán raíces de la ecuación. f(x) = g(x) La afirmación inversa no es cierta cuando Oh)< 0 Y valores fraccionarios f(x) Y gramo(x) expresiones Oh) f(x) Y

Oh) gramo(x) pierden su significado. Es decir, al pasar de a f(x) = g(x)(porque pueden aparecer raíces extrañas, que deben excluirse comprobando con la ecuación original. Y los casos a = 0, a = 1, a = -1 deben considerarse por separado.

entonces para solución completa ecuaciones consideramos los casos:

a(x) = O f(x) Y gramo(x) serán números positivos, entonces esta es la solución. De lo contrario, no

a(x) = 1. Las raíces de esta ecuación son las raíces y ecuación original.

a(x) = -1. Si, para un valor de x que satisface esta ecuación, f(x) Y gramo(x) son números enteros de la misma paridad (ambos pares o ambos impares), entonces esta es la solución. De lo contrario, no

Cuando y resolvemos la ecuación. f(x)= g(x) y sustituyendo los resultados obtenidos en la ecuación original cortamos las raíces extrañas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones de potencias exponenciales.

Ejemplo No. 1.

1) x - 3 = 0, x = 3. porque 3 > 0 y 3 2 > 0, entonces x 1 = 3 es la solución.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Ambos indicadores son pares. Esta solución es x 3 = 1.

4)x-3? 0 yx? ± 1. x = x 2, x = 0 o x = 1. Para x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - esta solución es correcta: x 4 = 0. Para x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - esta solución es correcta x 5 = 1.

Respuesta: 0, 1, 2, 3, 4.

Ejemplo No. 2.

Por definición de raíz cuadrada aritmética: x - 1? 0,x? 1.

1) x - 1 = 0 o x = 1, = 0, 0 0 no es una solución.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 no cabe en ODZ.

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - sin raíces.

Conferencia: “Métodos para la resolución de ecuaciones exponenciales”.

1 . Ecuaciones exponenciales.

Las ecuaciones que contienen incógnitas en exponentes se llaman ecuaciones exponenciales. La más simple de ellas es la ecuación ax = b, donde a > 0, a ≠ 1.

1) en segundo< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Para b > 0, usando la monotonicidad de la función y el teorema de la raíz, la ecuación tiene una raíz única. Para encontrarlo, b debe representarse en la forma b = aс, аx = bс ó x = c o x = logab.

Las ecuaciones exponenciales mediante transformaciones algebraicas conducen a ecuación estándar los cuales se resuelven mediante los siguientes métodos:

1) método de reducción a una base;

2) método de evaluación;

3) método gráfico;

4) método de introducción de nuevas variables;

5) método de factorización;

6) indicativo – ecuaciones de potencia;

7) demostrativo con un parámetro.

2 . Método de reducción a una base.

El método se basa en siguiente propiedad grados: si dos grados son iguales y sus bases son iguales, entonces sus exponentes son iguales, es decir, debemos intentar reducir la ecuación a la forma

Ejemplos. Resuelve la ecuación:

1 . 3x = 81;

Representemos el lado derecho de la ecuación en la forma 81 = 34 y escribamos la ecuación equivalente a la original 3 x = 34; x = 4. Respuesta: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">y pasemos a la ecuación para exponentes 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5. Respuesta: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" ancho="105" alto="47">

Observa que los números 0.2, 0.04, √5 y 25 representan potencias de 5. Aprovechemos esto y transformemos la ecuación original de la siguiente manera:

, de donde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, de donde encontramos la solución x = -1. Respuesta: -1.

5. 3x = 5. Por definición de logaritmo, x = log35. Respuesta: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Reescribamos la ecuación en la forma 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, es decir,png" width="181" height="49 src="> Por lo tanto x – 4 =0, x = 4. Respuesta: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Usando las propiedades de las potencias, escribimos la ecuación en la forma 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 entonces 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, es decir, x+1 = 2, x =1. Respuesta: 1.

Banco problemático número 1.

Resuelve la ecuación:

Prueba número 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) sin raíces
	1) 7;1 2) sin raíces 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Prueba número 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) sin raíces 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Método de evaluación.

Teorema de la raíz: si la función f(x) aumenta (disminuye) en el intervalo I, el número a es cualquier valor tomado por f en este intervalo, entonces la ecuación f(x) = a tiene una raíz única en el intervalo I.

Al resolver ecuaciones utilizando el método de estimación, se utilizan este teorema y las propiedades de monotonicidad de la función.

Ejemplos. Resolver ecuaciones: 1. 4x = 5-x.

Solución. Reescribamos la ecuación como 4x +x = 5.

1. Si x = 1, entonces 41+1 = 5, 5 = 5 es verdadero, lo que significa que 1 es la raíz de la ecuación.

Función f(x) = 4x – aumenta en R, y g(x) = x – aumenta en R => h(x)= f(x)+g(x) aumenta en R, como suma de funciones crecientes, entonces x = 1 es la única raíz de la ecuación 4x = 5 – x. Respuesta: 1.

Solución. Reescribamos la ecuación en la forma .

1. si x = -1, entonces , 3 = 3 es verdadero, lo que significa que x = -1 es la raíz de la ecuación.

2. demostrar que es el único.

3. Función f(x) = - disminuye en R, y g(x) = - x – disminuye en R=> h(x) = f(x)+g(x) – disminuye en R, como la suma de funciones decrecientes. Esto significa que, según el teorema de la raíz, x = -1 es la única raíz de la ecuación. Respuesta: -1.

Banco problemático número 2. Resuelve la ecuación

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Método de introducción de nuevas variables.

El método se describe en el párrafo 2.1. La introducción de una nueva variable (sustitución) suele realizarse tras transformaciones (simplificación) de los términos de la ecuación. Veamos ejemplos.

Ejemplos. R Resuelve la ecuación: 1. .

Reescribamos la ecuación de otra manera: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solución. Reescribamos la ecuación de manera diferente:

Designemos https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - no adecuado.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" ancho="268" alto="51"> - ecuación irracional. Notamos que

La solución de la ecuación es x = 2,5 ≤ 4, lo que significa que 2,5 es la raíz de la ecuación. Respuesta: 2.5.

Solución. Reescribamos la ecuación en la forma y dividamos ambos lados por 56x+6 ≠ 0. Obtenemos la ecuación

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" ancho="118" alto="56">

Las raíces de la ecuación cuadrática son t1 = 1 y t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solución . Reescribamos la ecuación en la forma

y observe que es una ecuación homogénea de segundo grado.

Dividimos la ecuación por 42x y obtenemos

Reemplacemos https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Respuesta: 0; 0,5.

Banco problemático número 3. Resuelve la ecuación

GRAMO)

Prueba número 3 con una selección de respuestas. Nivel mínimo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) sin raíces 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) sin raíces 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Prueba número 4 con una selección de respuestas. Nivel general.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) sin raíces

5. Método de factorización.

1. Resuelve la ecuación: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solución..png" width="169" height="69"> , desde donde

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solución. Pongamos 6x entre paréntesis en el lado izquierdo de la ecuación y 2x en el lado derecho. Obtenemos la ecuación 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Como 2x >0 para todo x, podemos dividir ambos lados de esta ecuación por 2x sin temor a perder soluciones. Obtenemos 3x = 1ó x = 0.

Solución. Resolvamos la ecuación usando el método de factorización.

Seleccionemos el cuadrado del binomio.

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" ancho="500" alto="181">

x = -2 es la raíz de la ecuación.

Ecuación x + 1 = 0 " estilo="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Prueba número 6 Nivel general.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponencial – ecuaciones de potencia.

Adyacentes a las ecuaciones exponenciales están las llamadas ecuaciones de potencia exponencial, es decir, ecuaciones de la forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Si se sabe que f(x)>0 y f(x) ≠ 1, entonces la ecuación, al igual que la exponencial, se resuelve igualando los exponentes g(x) = f(x).

Si la condición no excluye la posibilidad de que f(x)=0 y f(x)=1, entonces debemos considerar estos casos al resolver una ecuación exponencial.

1..png" ancho="182" alto="116 src=">

Solución. x2 +2x-8 – tiene sentido para cualquier x, ya que es un polinomio, lo que significa que la ecuación es equivalente a la totalidad

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" ancho="137" alto="35">

7. Ecuaciones exponenciales con parámetros.

1. ¿Para qué valores del parámetro p tiene la ecuación 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) la única solución?

Solución. Introduzcamos el reemplazo 2x = t, t > 0, entonces la ecuación (1) tomará la forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Discriminante de la ecuación (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

La ecuación (1) tiene una solución única si la ecuación (2) tiene una raíz positiva. Esto es posible en los siguientes casos.

1. Si D = 0, es decir, p = 1, entonces la ecuación (2) tomará la forma t2 – 2t + 1 = 0, por lo tanto t = 1, por lo tanto, la ecuación (1) tiene una solución única x = 0.

2. Si p1, entonces 9(p – 1)2 > 0, entonces la ecuación (2) tiene dos raíces diferentes t1 = p, t2 = 4p – 3. Las condiciones del problema se satisfacen mediante un conjunto de sistemas

Sustituyendo t1 y t2 en los sistemas, tenemos

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solución. Dejar entonces la ecuación (3) tomará la forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Encontremos los valores del parámetro a para los cuales al menos una raíz de la ecuación (4) satisface la condición t > 0.

Introduzcamos la función f(t) = t2 – 6t – a. Son posibles los siguientes casos.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Caso 2. La ecuación (4) tiene una solución positiva única si

D = 0, si a = – 9, entonces la ecuación (4) tomará la forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Caso 3. La ecuación (4) tiene dos raíces, pero una de ellas no satisface la desigualdad t > 0. Esto es posible si

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Por lo tanto, para a 0, la ecuación (4) tiene una única raíz positiva . Entonces la ecuación (3) tiene una solución única

cuando un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

si un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
si a = – 9, entonces x = – 1;

si a  0, entonces

Comparemos los métodos para resolver las ecuaciones (1) y (3). Tenga en cuenta que al resolver la ecuación (1) se redujo a una ecuación cuadrática, cuyo discriminante es un cuadrado perfecto; Por lo tanto, las raíces de la ecuación (2) se calcularon inmediatamente utilizando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática y luego se sacaron conclusiones con respecto a estas raíces. La ecuación (3) se ha reducido a una ecuación cuadrática (4), cuyo discriminante no es un cuadrado perfecto, por lo tanto, al resolver la ecuación (3), es recomendable utilizar teoremas sobre la ubicación de las raíces de un trinomio cuadrático. y un modelo gráfico. Tenga en cuenta que la ecuación (4) se puede resolver utilizando el teorema de Vieta.

Resolvamos ecuaciones más complejas.

Problema 3: Resuelve la ecuación

Solución. ODZ: x1, x2.

Introduzcamos un reemplazo. Sea 2x = t, t > 0, entonces como resultado de las transformaciones la ecuación tomará la forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Encontremos los valores de a para los cuales al menos una raíz de la ecuación (*) satisface la condición t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Respuesta: si a > – 13, a  11, a  5, entonces si a – 13,

a = 11, a = 5, entonces no hay raíces.

Lista de literatura usada.

1. Fundamentos Guzeev de la tecnología educativa.

2. Tecnología Guzeev: de la recepción a la filosofía.

M. “Director de Escuela” No. 4, 1996

3. Guzeev y formas organizativas capacitación.

4. Guzeev y la práctica de la tecnología educativa integral.

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6. Tecnologías educativas Seleuko.

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7. Los escolares de Episheva estudian matemáticas.

M. "Ilustración", 1990

8. Ivanova prepara lecciones - talleres.

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9. El modelo de enseñanza de las matemáticas de Smirnov.

Matemáticas en la escuela No. 1, 1997 p. 32 – 36.

10. Formas de Tarasenko de organizar el trabajo práctico.

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11. Sobre uno de los tipos de trabajo individual.

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Matemáticas en la escuela No. 2, 1989 p. 10.

13. Scanavi. Editor, 1997

14. y otros. Álgebra y los inicios del análisis. Materiales didácticos Para

15. Tareas de Krivonogov en matemáticas.

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16. Cherkásov. Manual para estudiantes de secundaria y

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17. Zhevnyak para quienes ingresan a las universidades.

“Revisión” de Minsk y la Federación de Rusia, 1996

18. Escrito D. Preparación para el examen de matemáticas. M. Rolf, 1999

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M. "Inteligencia - Centro", 2003 y 2004.

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24 ¡Okunev para la lección, niños! M. Educación, 1988

25. Yakimanskaya: aprendizaje orientado en la escuela.

26. Los límites trabajan en clase. M. Conocimiento, 1975

Solicitud

Resolver cualquier tipo de ecuaciones online en el sitio para estudiantes y escolares para consolidar el material estudiado. Resolver ecuaciones online. Ecuaciones en línea. Hay ecuaciones algebraicas, paramétricas, trascendentales, funcionales, diferenciales y de otro tipo. Algunas clases de ecuaciones tienen soluciones analíticas, que son convenientes porque no solo dan. valor exacto root, pero le permite escribir la solución en forma de fórmula, que puede incluir parámetros. Expresiones analíticas permiten no sólo calcular las raíces, sino también analizar su existencia y su cantidad en función de los valores de los parámetros, lo que suele ser aún más importante para aplicación práctica, cómo valores específicos raíces. Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online. Resolver una ecuación es la tarea de encontrar los valores de los argumentos en los que se logra esta igualdad. En valores posibles Se pueden imponer argumentos. condiciones adicionales(entero, real, etc.). Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online. Puede resolver la ecuación en línea al instante y con una alta precisión del resultado. Los argumentos de funciones específicas (a veces llamadas "variables") se denominan "incógnitas" en el caso de una ecuación. Los valores de las incógnitas en los que se consigue esta igualdad se denominan soluciones o raíces de esta ecuación. Se dice que las raíces satisfacen esta ecuación. Resolver una ecuación en línea significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones (raíces) o demostrar que no hay raíces. Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online. Las ecuaciones cuyos conjuntos de raíces coinciden se llaman equivalentes o iguales. Las ecuaciones que no tienen raíces también se consideran equivalentes. La equivalencia de ecuaciones tiene la propiedad de simetría: si una ecuación es equivalente a otra, entonces la segunda ecuación es equivalente a la primera. La equivalencia de ecuaciones tiene la propiedad de transitividad: si una ecuación es equivalente a otra y la segunda a una tercera, entonces la primera ecuación es equivalente a la tercera. La propiedad de equivalencia de las ecuaciones nos permite realizar transformaciones con ellas, en las que se basan los métodos para resolverlas. Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online. El sitio le permitirá resolver la ecuación en línea. Las ecuaciones para las cuales se conocen soluciones analíticas incluyen ecuaciones algebraicas de no más de cuarto grado: ecuación lineal, ecuación cuadrática, ecuación cúbica y una ecuación de cuarto grado. Ecuaciones algebraicas grados superiores en caso general solución analítica no las tenemos, aunque algunas de ellas pueden reducirse a ecuaciones de grados inferiores. Las ecuaciones que incluyen funciones trascendentales se llaman trascendentales. Entre ellos, se conocen soluciones analíticas para algunas ecuaciones trigonométricas, ya que los ceros funciones trigonométricas bien conocido. En el caso general, cuando no se puede encontrar una solución analítica, se utilizan métodos numéricos. Los métodos numéricos no proporcionan una solución exacta, sino que sólo permiten reducir el intervalo en el que se encuentra la raíz a un cierto valor predeterminado. Resolver ecuaciones online.. Ecuaciones online.. En lugar de una ecuación online, imaginaremos cómo se forma la misma expresión. dependencia lineal y no sólo a lo largo de una recta tangente, sino también en el mismo punto de inflexión de la gráfica. Este método es indispensable en todo momento en el estudio de la materia. A menudo sucede que la solución de las ecuaciones se acerca al valor final en numeros infinitos y registros vectoriales. Es necesario comprobar los datos iniciales y ésta es la esencia de la tarea. De lo contrario condición local convertido en una fórmula. Inversión a lo largo de una línea recta desde función dada, que la calculadora de ecuaciones calculará sin mucha demora en la ejecución, el desplazamiento se cumplirá con el privilegio del espacio. Hablaremos sobre el éxito de los estudiantes en el entorno científico. Sin embargo, como todo lo anterior, nos ayudará en el proceso de encontrar y cuando resuelvas la ecuación por completo, almacenar la respuesta resultante en los extremos del segmento de recta. Las líneas en el espacio se cruzan en un punto y este punto se llama intersectado por las líneas. El intervalo en la línea se indica como se especificó anteriormente. Se publicará el puesto más alto para el estudio de las matemáticas. Asignar valor de argumento de forma paramétrica superficie dada y resolviendo la ecuación en línea podrá delinear los principios del acceso productivo a la función. La tira de Möbius, o el infinito como se la llama, parece un ocho. Ésta es una superficie de un solo lado, no de dos lados. Según el principio generalmente conocido por todos, aceptaremos objetivamente como denominación básica las ecuaciones lineales, tal como lo son en el campo de la investigación. Sólo dos valores de argumentos dados secuencialmente pueden revelar la dirección del vector. Suponer que otra solución a las ecuaciones en línea es mucho más que simplemente resolverla significa obtener como resultado una versión completa del invariante. Sin enfoque integrado Es difícil para los estudiantes aprender este material. Como antes, para cada caso especial, nuestra conveniente e inteligente calculadora de ecuaciones en línea ayudará a todos en tiempos difíciles, porque solo necesita especificar los parámetros de entrada y el propio sistema calculará la respuesta. Antes de comenzar a ingresar datos, necesitaremos una herramienta de ingreso, lo cual se puede hacer sin mucha dificultad. El número de cada estimación de respuesta conducirá a una ecuación cuadrática a nuestras conclusiones, pero esto no es tan fácil de hacer porque es fácil demostrar lo contrario. La teoría, por sus características, no se sustenta en conocimientos prácticos. Ver una calculadora de fracciones en la etapa de publicar la respuesta no es una tarea fácil en matemáticas, ya que la alternativa de escribir un número en un conjunto ayuda a incrementar el crecimiento de la función. Sin embargo, sería incorrecto no hablar de enseñar a los estudiantes, por lo que cada uno diremos todo lo que sea necesario hacer. La ecuación cúbica encontrada anteriormente pertenecerá legítimamente al dominio de definición y contendrá el espacio valores numéricos, así como variables simbólicas. Habiendo aprendido o memorizado el teorema, nuestros estudiantes demostrarán su valía sólo con el mejor lado, y estaremos felices por ellos. A diferencia de las intersecciones de campos múltiples, nuestras ecuaciones en línea se describen mediante un plano de movimiento multiplicando dos y tres líneas numéricas combinadas. Un conjunto en matemáticas no está definido de forma única. La mejor solución, según los estudiantes, es una grabación completa de la expresión. Como se dijo en el lenguaje científico, la abstracción de expresiones simbólicas no entra en el estado de cosas, pero la solución de ecuaciones da un resultado inequívoco en todos los casos conocidos. La duración de la lección del profesor depende de las necesidades de esta propuesta. El análisis mostró la necesidad de todas las técnicas computacionales en muchas áreas, y está absolutamente claro que una calculadora de ecuaciones es una herramienta indispensable en las manos talentosas de un estudiante. Un enfoque leal al estudio de las matemáticas determina la importancia de las opiniones desde diferentes direcciones. Desea identificar uno de los teoremas clave y resolver la ecuación de tal manera, dependiendo de cuya respuesta habrá una necesidad adicional de su aplicación. Los análisis en esta área están ganando impulso. Comencemos desde el principio y derivemos la fórmula. Habiendo superado el nivel de aumento de la función, la línea tangente en el punto de inflexión seguramente conducirá al hecho de que resolver la ecuación en línea será uno de los aspectos principales en la construcción de esa misma gráfica a partir del argumento de la función. Tiene derecho a aplicarse un enfoque amateur si esta condición no contradice las conclusiones de los estudiantes. La subtarea que plantea el análisis pasa a un segundo plano. condiciones matemáticas como ecuaciones lineales en el dominio existente de definición del objeto. La compensación en la dirección de la ortogonalidad reduce mutuamente la ventaja del solitario valor absoluto. La resolución de ecuaciones en módulo en línea da la misma cantidad de soluciones si abre los paréntesis primero con un signo más y luego con un signo menos. En este caso, habrá el doble de soluciones y el resultado será más preciso. Una calculadora de ecuaciones en línea estable y correcta es el éxito en la consecución del objetivo previsto en la tarea planteada por el profesor. Parece posible elegir el método correcto debido a las diferencias significativas en las opiniones de los grandes científicos. La ecuación cuadrática resultante describe la curva de las rectas, la llamada parábola, y el signo determinará su convexidad en el sistema de coordenadas del cuadrado. De la ecuación obtenemos tanto el discriminante como las propias raíces según el teorema de Vieta. El primer paso es representar la expresión como una fracción propia o impropia y usar una calculadora de fracciones. Dependiendo de esto, se formará el plan para nuestros cálculos posteriores. Las matemáticas con un enfoque teórico serán útiles en cada etapa. Definitivamente presentaremos el resultado como una ecuación cúbica, porque ocultaremos sus raíces en esta expresión para simplificar la tarea de un estudiante de una universidad. Cualquier método es bueno si es adecuado para un análisis superficial. Las operaciones aritméticas adicionales no darán lugar a errores de cálculo. Determina la respuesta con una precisión determinada. Usando la solución de ecuaciones, seamos realistas: encontrar la variable independiente de una función dada no es tan fácil, especialmente durante el período de estudio de las rectas paralelas al infinito. Dada la excepción, la necesidad es muy obvia. La diferencia de polaridad es clara. De la experiencia de enseñar en institutos, nuestra maestra aprendió lección principal, en el que se estudiaron ecuaciones online en pleno sentido matemático. Aquí estábamos hablando de mayores esfuerzos y habilidades especiales en la aplicación de la teoría. A favor de nuestras conclusiones, no hay que mirar a través de un prisma. Hasta hace poco se creía que conjunto cerrado aumenta rápidamente en el área tal como está y simplemente es necesario investigar la solución de las ecuaciones. En la primera etapa no consideramos todo. opciones posibles, pero este enfoque está más justificado que nunca. Acciones innecesarias entre paréntesis justifican algunos avances en los ejes de ordenadas y abscisas, que no pueden pasarse por alto a simple vista. En el sentido de un amplio aumento proporcional de la función, hay un punto de inflexión. Una vez más demostraremos cómo se aplicará la condición necesaria durante todo el intervalo de disminución de una u otra posición descendente del vector. En un espacio confinado elegiremos una variable de bloque inicial nuestro guión. Un sistema construido sobre la base de tres vectores es responsable de la ausencia del momento de fuerza principal. Sin embargo, la calculadora de ecuaciones generó y ayudó a encontrar todos los términos de la ecuación construida, tanto sobre la superficie como a lo largo de líneas paralelas. Alrededor punto de partida Describamos un círculo determinado. Así, comenzaremos a movernos hacia arriba a lo largo de las líneas de sección, y la tangente describirá el círculo en toda su longitud, dando como resultado una curva llamada involuta. Por cierto, contemos un poco de historia sobre esta curva. El hecho es que históricamente en matemáticas no existía el concepto de matemáticas en sí en su comprensión pura como lo es hoy. Anteriormente, todos los científicos se dedicaban a una tarea común: la ciencia. Más tarde, varios siglos después, cuando mundo científico Llena de una cantidad colosal de información, la humanidad todavía identificó muchas disciplinas. Todavía permanecen sin cambios. Y, sin embargo, cada año, científicos de todo el mundo intentan demostrar que la ciencia es ilimitada y que no se resolverá la ecuación a menos que se tengan conocimientos en el campo. ciencias naturales. Quizás no sea posible ponerle fin finalmente. Pensar en esto es tan inútil como calentar el aire exterior. Encontremos el intervalo en el que el argumento, si su valor es positivo, determinará el módulo del valor en una dirección fuertemente creciente. La reacción te ayudará a encontrar al menos tres soluciones, pero tendrás que comprobarlas. Comencemos con el hecho de que necesitamos resolver la ecuación en línea utilizando el servicio exclusivo de nuestro sitio web. Presentemos ambas partes. ecuación dada, haz clic en el botón “SOLVER” y obtén la respuesta exacta en tan solo unos segundos. EN casos especiales Tomemos un libro de matemáticas y verifiquemos nuestra respuesta, es decir, miremos la respuesta y todo quedará claro. Se lanzará el mismo proyecto para un paralelepípedo artificial redundante. Hay un paralelogramo con su lados paralelos, y explica muchos principios y enfoques para estudiar la relación espacial del proceso de acumulación de espacio hueco de abajo hacia arriba en las Ecs. aspecto natural. Las ecuaciones lineales ambiguas muestran la dependencia de la variable deseada de nuestro común en este momento decisión de tiempo y usted necesita de alguna manera derivar y traer fracción impropia a un caso no trivial. Marque diez puntos en la línea recta y dibuje una curva a través de cada punto en la dirección dada, con la punta convexa hacia arriba. Sin mucha dificultad, nuestra calculadora de ecuaciones presentará una expresión de tal forma que su verificación de la validez de las reglas será obvia incluso al comienzo de la grabación. El sistema de representaciones especiales de estabilidad para los matemáticos es lo primero, a menos que la fórmula disponga lo contrario. Responderemos a esto con una presentación detallada de un informe sobre el tema del estado isomorfo de un sistema plástico de cuerpos y la resolución de ecuaciones en línea describirá el movimiento de cada punto material en este sistema. A nivel de investigación en profundidad, será necesario aclarar en detalle la cuestión de las inversiones de al menos la capa inferior del espacio. En orden creciente en la sección de discontinuidad de la función, aplicaremos método general Excelente investigador, por cierto, nuestro compatriota, y del comportamiento del avión hablaremos a continuación. Debido a las fuertes características de una función definida analíticamente, solo utilizamos la calculadora de ecuaciones en línea para el propósito previsto dentro de los límites de autoridad derivados. Razonando más, centraremos nuestra revisión en la homogeneidad de la ecuación misma, es decir, su lado derecho es igual a cero. Asegurémonos una vez más de que nuestra decisión en matemáticas sea correcta. Para evitar obtener una solución trivial, hagamos algunos ajustes a condiciones iniciales sobre el problema de la estabilidad condicional del sistema. Creemos una ecuación cuadrática, para la cual escribimos dos entradas usando una fórmula conocida y encontramos las raíces negativas. Si una raíz es cinco unidades mayor que la segunda y tercera raíces, entonces al hacer cambios en argumento principal De este modo distorsionamos las condiciones iniciales de la subtarea. Por su propia naturaleza, algo inusual en matemáticas siempre se puede describir hasta la centésima más cercana de un número positivo. La calculadora de fracciones es varias veces superior a sus contrapartes en recursos similares en el mejor momento de carga del servidor. En la superficie del vector de velocidad que crece a lo largo del eje de ordenadas, dibujamos siete líneas, dobladas en direcciones opuestas entre sí. La conmensurabilidad del argumento de la función asignada está por delante de las lecturas del contador del saldo de recuperación. En matemáticas podemos representar este fenómeno mediante una ecuación cúbica con coeficientes imaginarios, así como en la progresión bipolar de rectas decrecientes. Puntos críticos Las diferencias de temperatura describen de muchas maneras el proceso de descomposición de un complejo. función fraccionaria por multiplicadores. Si le piden que resuelva una ecuación, no se apresure a hacerlo de inmediato; definitivamente evalúe primero todo el plan de acción y solo luego adopte el enfoque correcto. Seguramente habrá beneficios. La facilidad de trabajo es obvia, y lo mismo ocurre con las matemáticas. Resuelve la ecuación en línea. Todas las ecuaciones en línea son cierto tipo un registro de números o parámetros y una variable a definir. Calcule esta misma variable, es decir, encuentre valores o intervalos específicos de un conjunto de valores en los que se mantendrá la identidad. Las condiciones iniciales y finales dependen directamente. La solución general de ecuaciones suele incluir algunas variables y constantes, al establecerlas obtendremos familias enteras de soluciones para un planteamiento de problema determinado. En general, esto justifica los esfuerzos invertidos en incrementar la funcionalidad de un cubo espacial de lado igual a 100 centímetros. Puedes aplicar un teorema o lema en cualquier etapa de la construcción de una respuesta. El sitio produce gradualmente una calculadora de ecuaciones si es necesario mostrar el valor más pequeño en cualquier intervalo de suma de productos. En la mitad de los casos, dicha bola, al ser hueca, ya no cumple los requisitos para establecer una respuesta intermedia. Al menos en el eje de ordenadas en la dirección de representación vectorial decreciente, esta proporción será sin duda más óptima que la expresión anterior. A la hora en que funciones lineales lleno análisis de puntos, esencialmente reuniremos a todos nuestros números complejos y espacios planos bipolares. Al sustituir una variable en la expresión resultante, resolverás la ecuación paso a paso y darás la respuesta más detallada con gran precisión. Sería de buena educación por parte de un estudiante comprobar una vez más sus acciones en matemáticas. La proporción en la proporción de fracciones registró la integridad del resultado para todos. áreas importantes actividad vectorial cero. La trivialidad se confirma al final de las acciones completadas. Con una tarea sencilla, los estudiantes pueden no tener ninguna dificultad si resuelven la ecuación online en el menor tiempo posible, pero no se olviden de las diferentes reglas. Un conjunto de subconjuntos se cruzan en una región de notación convergente. EN diferentes casos el producto no está factorizado erróneamente. Se le ayudará a resolver la ecuación en línea en nuestra primera sección, dedicada a los conceptos básicos de técnicas matemáticas para secciones importantes para estudiantes de universidades y colegios técnicos. Los ejemplos de respuesta no nos harán esperar varios días, ya que el proceso de mejor interacción del análisis vectorial con hallazgo secuencial La solución fue patentada a principios del siglo pasado. Resulta que los esfuerzos por establecer relaciones con el equipo circundante no fueron en vano, obviamente se necesitaba algo más primero. Varias generaciones después, los científicos de todo el mundo hicieron creer a la gente que las matemáticas son la reina de las ciencias. Ya sea la respuesta de la izquierda o la de la derecha, de todos modos los términos exhaustivos deben escribirse en tres filas, ya que en nuestro caso definitivamente hablaremos solo del análisis vectorial de las propiedades de la matriz. Ecuaciones lineales y no lineales, junto con ecuaciones bicuadráticas, tomó una posición especial en nuestro libro sobre mejores practicas calcular la trayectoria del movimiento en el espacio de todos puntos materiales sistema cerrado. Ayúdanos a hacer realidad tu idea análisis lineal producto escalar tres vectores consecutivos. Al final de cada declaración, la tarea se facilita implementando excepciones numéricas optimizadas en todas las superposiciones de espacios numéricos que se realizan. Un juicio diferente no contrastará la respuesta encontrada en forma libre triángulo en un círculo. El ángulo entre dos vectores contiene el porcentaje requerido de margen y la resolución de ecuaciones en línea a menudo revela una cierta raíz común ecuaciones en contraposición a las condiciones iniciales. La excepción desempeña el papel de catalizador en todo el proceso inevitable de encontrar una solución positiva en el campo de la definición de una función. Si no se dice que no puedes usar una computadora, entonces la calculadora de ecuaciones en línea es perfecta para tus necesidades. tareas difíciles. Sólo necesitas ingresar formato correcto sus datos condicionales y nuestro servidor le proporcionará una respuesta completa y resultante en el menor tiempo posible. función exponencial aumenta mucho más rápido que lineal. Los Talmuds dan testimonio de ello. literatura de la biblioteca. Realizará un cálculo en el sentido general como lo haría una ecuación cuadrática dada con tres coeficientes complejos. La parábola en la parte superior del semiplano caracteriza un movimiento paralelo rectilíneo a lo largo de los ejes del punto. Aquí vale la pena mencionar la diferencia de potencial en el espacio de trabajo del cuerpo. A cambio de un resultado subóptimo, nuestra calculadora de fracciones ocupa legítimamente la primera posición en la calificación matemática de la revisión de programas funcionales en el lado del servidor. Millones de usuarios de Internet apreciarán la facilidad de uso de este servicio. Si no sabes cómo usarlo, estaremos encantados de ayudarte. También nos gustaría señalar y resaltar especialmente la ecuación cúbica de una serie de problemas de la escuela primaria, cuando es necesario encontrar rápidamente sus raíces y construir una gráfica de la función en un plano. grados superiores La reproducción es una de las dificultades. problemas matemáticos en el instituto y asignado para su estudio. cantidad suficiente horas. Como todas las ecuaciones lineales, la nuestra no es una excepción según muchas reglas objetivas, consulte más abajo diferentes puntos visión, y será sencillo y suficiente fijar las condiciones iniciales. El intervalo de aumento coincide con el intervalo de convexidad de la función. Resolver ecuaciones en línea. El estudio de la teoría se basa en ecuaciones en línea de numerosas secciones del estudio de la disciplina principal. En el caso de este enfoque en problemas inciertos, es muy sencillo presentar la solución de las ecuaciones en una forma predeterminada y no sólo sacar conclusiones, sino también predecir el resultado de una solución tan positiva. Aprender área temática El servicio nos ayudará en la mayoría mejores tradiciones matemáticas, exactamente como es costumbre en Oriente. EN mejores momentos intervalo de tiempo, tareas similares se multiplicaron por un factor común de diez. La abundancia de multiplicaciones de múltiples variables en la calculadora de ecuaciones comenzó a multiplicarse por variables cualitativas en lugar de cuantitativas como la masa o el peso corporal. Para evitar casos de desequilibrio del sistema material, nos resulta bastante obvio derivar un convertidor tridimensional a la convergencia trivial de no degenerados. matrices matemáticas. Complete la tarea y resuelva la ecuación en las coordenadas dadas, ya que la conclusión se desconoce de antemano, al igual que todas las variables incluidas en el tiempo post-espacial. Durante un breve periodo de tiempo, impulsarás el multiplicador general más allá paréntesis y dividir por el mayor divisor común ambas partes con antelación. De debajo del subconjunto de números cubierto resultante, extraiga de manera detallada treinta y tres puntos seguidos en un período corto. En la medida que de la mejor manera posible Resolver una ecuación en línea es posible para todos los estudiantes. De cara al futuro, digamos una cosa importante pero clave, sin la cual será difícil vivir en el futuro. En el siglo pasado, el gran científico notó una serie de patrones en la teoría de las matemáticas. En la práctica, el resultado no fue exactamente la impresión esperada de los acontecimientos. Sin embargo, en principio, esta misma solución de ecuaciones en línea ayuda a mejorar la comprensión y la percepción. enfoque holístico al estudio y consolidación práctica del material teórico cubierto por los estudiantes. Es mucho más fácil hacer esto durante tu tiempo de estudio.

Nivel de entrada

Ecuaciones exponenciales. Guía completa (2019)

¡Hola! Hoy discutiremos contigo cómo resolver ecuaciones que pueden ser tanto elementales (y espero que después de leer este artículo, casi todas lo sean para ti), como las que se suelen dar “para completar”. Al parecer para finalmente quedarse dormido. Pero intentaré hacer todo lo posible para que ahora no te metas en problemas ante este tipo de ecuaciones. Ya no me andaré con rodeos, lo abriré enseguida pequeño secreto: hoy estudiaremos ecuaciones exponenciales.

Antes de pasar a analizar las formas de resolverlas, les describiré inmediatamente una serie de preguntas (bastante pequeñas) que deberían repetir antes de lanzarse a atacar este tema. Entonces, para conseguir mejor resultado, Por favor, repetir:

Propiedades y
Solución y ecuaciones

¿Repetido? ¡Asombroso! Entonces no te resultará difícil darte cuenta de que la raíz de la ecuación es un número. ¿Entiendes exactamente cómo lo hice? ¿Es verdad? Entonces continuemos. Ahora responde mi pregunta, ¿qué es igual a la tercera potencia? Tienes toda la razón: . ¿Qué potencia de dos es ocho? Así es, ¡el tercero! Porque. Bueno, ahora intentemos resolver el siguiente problema: déjame multiplicar el número por sí mismo una vez y obtener el resultado. La pregunta es ¿cuántas veces me multipliqué? Por supuesto, puedes comprobar esto directamente:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinear)

Entonces puedes concluir que me multipliqué por mí mismo veces. ¿De qué otra manera puedes comprobar esto? He aquí cómo: directamente por definición de título: . Pero debes admitir que si te preguntara cuántas veces hay que multiplicar dos por sí mismo para obtener, digamos, me dirías: no me engañaré multiplicando por sí mismo hasta que me ponga azul. Y tendría toda la razón. Porque ¿cómo puedes anota todos los pasos brevemente(y la brevedad es hermana del talento)

donde - estos son los mismos "veces", cuando se multiplica por sí mismo.

Creo que sabes (y si no lo sabes, ¡urgente, muy urgentemente repite los grados!) que entonces mi problema quedará escrito en la forma:

¿Cómo se puede concluir razonablemente que:

Entonces, sin que nadie me diera cuenta, escribí lo más simple. ecuación exponencial:

Y hasta lo encontré raíz. ¿No crees que todo es completamente trivial? Pienso exactamente lo mismo. Aquí tienes otro ejemplo:

¿Pero qué hacer? Después de todo, no se puede escribir como una potencia de un número (razonable). No nos desesperemos y tengamos en cuenta que ambos números se expresan perfectamente mediante la potencia del mismo número. ¿Cuál? Bien: . Luego la ecuación original se transforma a la forma:

Donde, como ya entendiste, . No nos demoremos más y anótelo. definición:

En nuestro caso: .

Estas ecuaciones se resuelven reduciéndolas a la forma:

seguido de resolver la ecuación

De hecho, hicimos esto en el ejemplo anterior: obtuvimos lo siguiente: Y resolvimos la ecuación más simple.

Parece nada complicado, ¿verdad? Practiquemos primero con los más simples. ejemplos:

Nuevamente vemos que los lados derecho e izquierdo de la ecuación deben representarse como potencias de un número. Es cierto que a la izquierda esto ya se ha hecho, pero a la derecha hay un número. Pero está bien, porque mi ecuación milagrosamente se transformará en esto:

¿Qué tuve que usar aquí? ¿Qué regla? Regla de "grados dentro de grados" que dice:

Y si:

Antes de responder a esta pregunta, completemos la siguiente tabla:

Es fácil para nosotros notar que cuanto menos, más menos valor, pero sin embargo, todos estos valores mayor que cero. ¡¡¡Y SIEMPRE SERÁ ASÍ!!! ¡¡La misma propiedad es válida PARA CUALQUIER BASE CON CUALQUIER INDICADOR!! (para cualquiera y). Entonces, ¿qué podemos concluir sobre la ecuación? Esto es lo que es: no tiene raíces! Como cualquier ecuación no tiene raíces. Ahora practiquemos y Resolvamos ejemplos simples:

Comprobemos:

1. Aquí no se le exigirá nada más que el conocimiento de las propiedades de los grados (que, por cierto, ¡le pedí que repitiera!). Como regla general, todo conduce a la base más pequeña: , . Entonces la ecuación original será equivalente a la siguiente: Todo lo que necesito es usar las propiedades de las potencias: Al multiplicar números con las mismas bases se suman las potencias y al dividir se restan. Entonces obtendré: Bueno, ahora con la conciencia tranquila pasaré de la ecuación exponencial a la lineal: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(alinear)

2. En el segundo ejemplo, debemos tener más cuidado: el problema es que en el lado izquierdo no podemos representar el mismo número como una potencia. En este caso a veces es útil representar números como producto de potencias con diferentes bases, pero los mismos exponentes:

El lado izquierdo de la ecuación se verá así: ¿Qué nos dio esto? Esto es lo que: Se pueden multiplicar números con diferentes bases pero con los mismos exponentes.En este caso, las bases se multiplican, pero el indicador no cambia:

En mi situación esto dará:

\begin(alinear)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(alinear)

No está mal, ¿verdad?

3. No me gusta cuando, innecesariamente, tengo dos términos en un lado de la ecuación y ninguno en el otro (a veces, por supuesto, esto está justificado, pero ahora no es el caso). Moveré el término negativo hacia la derecha:

Ahora, como antes, escribiré todo en términos de potencias de tres:

Sumo los grados de la izquierda y obtengo una ecuación equivalente.

Puedes encontrar fácilmente su raíz:

4. Como en el ejemplo tres, ¡el término negativo tiene un lugar en el lado derecho!

A mi izquierda casi todo está bien, ¿excepto qué? Sí, me molesta el “grado equivocado” de los dos. Pero puedo solucionar este problema fácilmente escribiendo: . Eureka: a la izquierda todas las bases son diferentes, ¡pero todos los grados son iguales! ¡Multipliquemos inmediatamente!

Aquí nuevamente todo está claro: (si no entiendes cómo por arte de magia Saqué la última igualdad, me tomé un descanso de un minuto, tomé aire y volví a leer con mucha atención las propiedades del grado. ¿Quién dijo que puedes saltarte una carrera con indicador negativo? Bueno, eso digo yo, nadie). Ahora obtendré:

\begin(alinear)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(alinear)

Aquí tienes algunos problemas para que practiques, a los que sólo daré las respuestas (pero de forma “mixta”). ¡Resuélvelos, compruébalos y tú y yo continuaremos nuestra investigación!

¿Listo? Respuestas como esto:

cualquier numero

Vale, vale, ¡estaba bromeando! A continuación se muestran algunos bocetos de soluciones (¡algunas muy breves!)

¿No crees que no es casualidad que una fracción de la izquierda sea la otra "invertida"? Sería pecado no aprovechar esto:

Esta regla se usa muy a menudo al resolver ecuaciones exponenciales, ¡recuérdala bien!

Entonces la ecuación original quedará así:

Al resolver esta ecuación cuadrática, obtendrás las siguientes raíces:

2. Otra solución: dividir ambos lados de la ecuación por la expresión de la izquierda (o derecha). Divido por lo que está a la derecha y obtengo:

¿Dónde (¡¿por qué?!)

3. No quiero ni repetirme, ya está todo muy “masticado”.

4. equivalente a una ecuación cuadrática, raíces

5. Debes usar la fórmula dada en el primer problema y luego obtendrás lo siguiente:

La ecuación se ha convertido en una identidad trivial que es cierta para cualquiera. Entonces la respuesta es cualquier número real.

Bueno, ahora has practicado resolviendo ecuaciones exponenciales simples. Ahora quiero darles algunos ejemplos de la vida real que le ayudarán a comprender por qué son necesarios en principio. Aquí daré dos ejemplos. Uno de ellos es bastante cotidiano, pero es más probable que el otro tenga un interés científico más que práctico.

Ejemplo 1 (mercantil) Deja que tengas rublos, pero quieres convertirlos en rublos. El banco le ofrece retirarle este dinero a una tasa anual con capitalización mensual de intereses (devengo mensual). La pregunta es, ¿durante cuántos meses necesitas abrir un depósito para alcanzar el monto final requerido? Una tarea bastante mundana, ¿no? Sin embargo, su solución está asociada a la construcción de la ecuación exponencial correspondiente: Sea la suma inicial, - importe final, - tipo de interés del período, - número de períodos. Entonces:

En nuestro caso (si la tasa es anual, entonces se calcula por mes). ¿Por qué se divide entre? Si no sabes la respuesta a esta pregunta, ¡recuerda el tema “”! Entonces obtenemos esta ecuación:

Esta ecuación exponencial ya se puede resolver solo con la ayuda de una calculadora (su apariencia lo sugiere, y esto requiere conocimiento de logaritmos, con los que nos familiarizaremos un poco más adelante), que es lo que haré: ... Así , para conseguir un millón, necesitaremos hacer una aportación durante un mes (no muy rápido, ¿verdad?).

Ejemplo 2 (bastante científico). A pesar de su cierto “aislamiento”, les recomiendo que le presten atención: regularmente “¡¡se presenta al Examen Estatal Unificado!! (problema tomado de la versión “real”) Durante la decadencia isótopo radiactivo su masa disminuye según la ley, donde (mg) es la masa inicial del isótopo, (min.) es el tiempo transcurrido desde el momento inicial, (min.) es la vida media. En el momento inicial, la masa del isótopo es mg. Su vida media es min. ¿Después de cuántos minutos la masa del isótopo será igual a mg? Está bien: simplemente tomamos y sustituimos todos los datos en la fórmula que nos proponen:

Dividamos ambas partes entre "con la esperanza" de que a la izquierda obtengamos algo digerible:

Bueno, ¡tenemos mucha suerte! Está a la izquierda, entonces pasemos a la ecuación equivalente:

¿Dónde está mín.

Como puedes ver, las ecuaciones exponenciales tienen aplicaciones muy reales en la práctica. Ahora quiero mostrarte otra forma (sencilla) de resolver ecuaciones exponenciales, que se basa en sacar el factor común de entre paréntesis y luego agrupar los términos. No te asustes por mis palabras, ya te topaste con este método en séptimo grado cuando estudiabas polinomios. Por ejemplo, si necesitaras factorizar la expresión:

Agrupemos: el primer y tercer término, así como el segundo y cuarto. Está claro que el primero y el tercero son la diferencia de cuadrados:

y el segundo y el cuarto tienen un factor común de tres:

Entonces la expresión original es equivalente a esta:

Dónde derivar el factor común ya no es difícil:

Por eso,

Esto es aproximadamente lo que haremos al resolver ecuaciones exponenciales: buscar "comunes" entre los términos y sacarlos de los paréntesis, y luego, pase lo que pase, creo que tendremos suerte =)) Por ejemplo:

A la derecha está lejos de ser una potencia de siete (¡lo comprobé!) Y a la izquierda, es un poco mejor, por supuesto, puedes "cortar" el factor a del segundo del primer término y luego repartir con lo que tienes, pero seamos más prudentes contigo. No quiero lidiar con las fracciones que inevitablemente se forman al "seleccionar", así que ¿no debería eliminarlas? Entonces no tendré fracciones: como dicen, los lobos están alimentados y las ovejas están a salvo:

Calcula la expresión entre paréntesis. Mágicamente, mágicamente, resulta que (sorprendentemente, aunque ¿qué más deberíamos esperar?).

Luego reducimos ambos lados de la ecuación por este factor. Obtenemos: , de.

Aquí hay un ejemplo más complicado (bastante, en realidad):

¡Qué problema! No tenemos uno aquí terreno común! No está del todo claro qué hacer ahora. Hagamos lo que podamos: primero, mueva los “cuatros” hacia un lado y los “cinco” hacia el otro:

Ahora eliminemos al "general" de izquierda y derecha:

¿Y ahora qué? ¿Cuál es el beneficio de un grupo tan estúpido? A primera vista no se ve nada, pero veamos más profundamente:

Bueno, ahora nos aseguraremos de que a la izquierda solo tengamos la expresión c, y a la derecha, todo lo demás. ¿Cómo hacemos esto? He aquí cómo: divide ambos lados de la ecuación primero por (para eliminar el exponente de la derecha) y luego divide ambos lados por (para eliminar el factor numérico de la izquierda). Finalmente obtenemos:

¡Increíble! A la izquierda tenemos una expresión y a la derecha tenemos una expresión simple. Entonces inmediatamente concluimos que

Aquí te dejamos otro ejemplo para que lo refuerces:

lo traeré solución corta(sin molestarse mucho en dar explicaciones), intente comprender usted mismo todas las "sutilezas" de la solución.

Ahora vamos a la consolidación final del material cubierto. Intente resolver los siguientes problemas usted mismo. Solo daré breves recomendaciones y consejos para solucionarlos:

Saquemos el factor común de paréntesis: Donde:
Presentemos la primera expresión en la forma: , divida ambos lados por y obtenga eso
, luego la ecuación original se transforma a la forma: Bueno, ahora una pista: ¡busca dónde tú y yo ya hemos resuelto esta ecuación!
Imagina cómo, cómo, ah, bueno, luego divide ambos lados entre, para obtener la ecuación exponencial más simple.
Sácalo de los soportes.
Sácalo de los soportes.

ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL MEDIO

Supongo que después de leer el primer artículo, que hablaba de ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y cómo resolverlas?, lo has dominado el minimo necesario Conocimientos necesarios para resolver ejemplos sencillos.

Ahora veremos otro método para resolver ecuaciones exponenciales, este es

“método de introducir una nueva variable” (o reemplazo). Resuelve la mayoría de los problemas "difíciles" sobre el tema de ecuaciones exponenciales (y no sólo ecuaciones). Este método es uno de los más utilizados en la práctica. Primero, te recomiendo que te familiarices con el tema.

Como ya entendiste por el nombre, la esencia de este método es introducir tal cambio de variable que tu ecuación exponencial se transformará milagrosamente en una que puedas resolver fácilmente. Lo único que le queda después de resolver esta “ecuación simplificada” es hacer un “reemplazo inverso”: es decir, regresar de lo reemplazado a lo reemplazado. Ilustremos lo que acabamos de decir con un ejemplo muy sencillo:

Ejemplo 1:

Esta ecuación se resuelve mediante una “sustitución simple”, como la llaman despectivamente los matemáticos. De hecho, el reemplazo aquí es el más obvio. Sólo hay que ver que

Entonces la ecuación original se convertirá en esta:

Si además imaginamos cómo, queda absolutamente claro qué es lo que hay que sustituir: por supuesto, . ¿En qué se convierte entonces la ecuación original? Esto es lo que:

Puedes encontrar fácilmente sus raíces por tu cuenta: . ¿Qué debemos hacer ahora? Es hora de volver a la variable original. ¿Qué se me olvidó mencionar? A saber: al reemplazar un cierto grado con una nueva variable (es decir, al reemplazar un tipo), me interesará solo raíces positivas! Usted mismo puede responder fácilmente por qué. Por lo tanto, a usted y a mí no nos interesa, pero la segunda raíz nos conviene bastante:

Entonces de dónde.

Respuesta:

Como puedes ver, en el ejemplo anterior, un reemplazo solo pedía nuestras manos. Desafortunadamente, este no es siempre el caso. Sin embargo, no vayamos directamente a lo triste, sino que practiquemos con un ejemplo más con un reemplazo bastante simple.

Ejemplo 2.

Está claro que lo más probable es que tengamos que hacer un reemplazo (esta es la más pequeña de las potencias incluidas en nuestra ecuación), pero antes de introducir un reemplazo, nuestra ecuación debe estar "preparada" para ello, a saber: , . Luego puedes reemplazar, como resultado obtengo la siguiente expresión:

Oh horror: una ecuación cúbica con fórmulas absolutamente terribles para resolverla (bueno, hablando en vista general). Pero no nos desesperemos de inmediato, sino pensemos en lo que debemos hacer. Sugeriré hacer trampa: sabemos que para obtener una respuesta “hermosa”, necesitamos obtenerla en forma de alguna potencia de tres (¿por qué sería eso, eh?). Intentemos adivinar al menos una raíz de nuestra ecuación (comenzaré a adivinar con potencias de tres).

Primera suposición. No es una raíz. Ay y ah...

.
El lado izquierdo es igual.
Lado derecho: !
¡Comer! Adiviné la primera raíz. ¡Ahora las cosas serán más fáciles!

¿Conoce el esquema de división en “esquinas”? Por supuesto que sí, lo usas cuando divides un número por otro. Pero pocas personas saben que se puede hacer lo mismo con los polinomios. Hay un teorema maravilloso:

Aplicando a mi situación, esto me dice que es divisible sin resto por. ¿Cómo se lleva a cabo la división? He aquí cómo:

Miro por qué monomio debo multiplicar para obtener Claramente, entonces:

Resto la expresión resultante y obtengo:

Ahora bien, ¿por qué necesito multiplicar para obtener? Está claro que, entonces obtendré:

y nuevamente restamos la expresión resultante de la restante:

Bueno, el último paso es multiplicar y restar de la expresión restante:

¡Hurra, se acabó la división! ¿Qué hemos acumulado en privado? Por supuesto: .

Luego obtuvimos la siguiente expansión del polinomio original:

Resolvamos la segunda ecuación:

Tiene raíces:

Entonces la ecuación original:

tiene tres raíces:

Por supuesto, descartaremos la última raíz, ya que menos de cero. Y los dos primeros después del reemplazo inverso nos darán dos raíces:

Respuesta: ..

Con este ejemplo no quería asustaros en absoluto, más bien me propuse demostrar que a pesar de que teníamos bastante; fácil reemplazo, sin embargo condujo a bastante ecuación compleja, cuya solución requirió de nuestra parte algunas habilidades especiales. Bueno, nadie es inmune a esto. Pero el reemplazo en este caso fue bastante obvio.

Aquí hay un ejemplo con un reemplazo un poco menos obvio:

No está nada claro qué debemos hacer: el problema es que en nuestra ecuación hay dos bases diferentes y no se puede obtener una base de la otra elevándola a cualquier potencia (razonable, naturalmente). Sin embargo, ¿qué vemos? Ambas bases difieren sólo en signo, y su producto es la diferencia de cuadrados igual a uno:

Definición:

Por tanto, los números que son las bases en nuestro ejemplo son conjugados.

En este caso, el paso inteligente sería multiplica ambos lados de la ecuación por el número conjugado.

Por ejemplo, en adelante, el lado izquierdo de la ecuación será igual a y el lado derecho. Si hacemos una sustitución, entonces nuestra ecuación original quedará así:

sus raíces, entonces, y recordando eso, lo entendemos.

Respuesta: , .

Como regla general, el método de reemplazo es suficiente para resolver la mayoría de las ecuaciones exponenciales "escolares". Las siguientes tareas se toman del Examen Estatal Unificado C1 ( nivel aumentado complejidad). Ya eres lo suficientemente alfabetizado como para resolver estos ejemplos por tu cuenta. Sólo daré el reemplazo requerido.

Resuelve la ecuación:
Encuentra las raíces de la ecuación:
Resuelve la ecuación: . Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento:

Y ahora algunas breves explicaciones y respuestas:

Aquí nos basta señalar que... Entonces la ecuación original será equivalente a esta: Esta ecuación resuelto mediante reemplazo. Haga más cálculos usted mismo. Al final, tu tarea se reducirá a resolver problemas trigonométricos sencillos (según seno o coseno). Solución ejemplos similares Lo veremos en otras secciones.
Aquí puedes incluso prescindir de la sustitución: simplemente mueve el sustraendo hacia la derecha y representa ambas bases mediante potencias de dos: y luego pasa directamente a la ecuación cuadrática.
La tercera ecuación también se resuelve de forma bastante estándar: imaginemos cómo. Luego, reemplazando, obtenemos una ecuación cuadrática: entonces,
Ya sabes qué es un logaritmo, ¿verdad? ¿No? ¡Entonces lea el tema con urgencia!

La primera raíz obviamente no pertenece al segmento, ¡pero la segunda no está clara! ¡Pero lo descubriremos muy pronto! Entonces (¡esta es una propiedad del logaritmo!) Comparemos:

Restando de ambos lados obtenemos:

Lado izquierdo se puede representar como:

multiplica ambos lados por:

se puede multiplicar por, entonces

Luego compara:

Desde entonces:

Entonces la segunda raíz pertenece al intervalo requerido.

Respuesta:

Como se puede ver, La selección de raíces de ecuaciones exponenciales requiere un conocimiento bastante profundo de las propiedades de los logaritmos., por lo que te aconsejo que tengas el mayor cuidado posible al resolver ecuaciones exponenciales. Como comprenderás, ¡en matemáticas todo está interconectado! Como decía mi profesor de matemáticas: “las matemáticas, como la historia, no se pueden leer de la noche a la mañana”.

Como regla general, todos La dificultad para resolver el problema C1 es precisamente la selección de las raíces de la ecuación. Practiquemos con un ejemplo más:

Está claro que la ecuación en sí se resuelve de forma bastante sencilla. Al hacer una sustitución, reducimos nuestra ecuación original a lo siguiente:

Primero veamos la primera raíz. Comparemos y: desde entonces. (propiedad función logarítmica, en). Entonces queda claro que la primera raíz no pertenece a nuestro intervalo. Ahora la segunda raíz: . Está claro que (ya que la función a es creciente). Queda por comparar y...

desde entonces, al mismo tiempo. De esta manera puedo “clavar una clavija” entre y. Esta clavija es un número. La primera expresión es menor y la segunda es mayor. Entonces la segunda expresión es mayor que la primera y la raíz pertenece al intervalo.

Respuesta: .

Finalmente, veamos otro ejemplo de una ecuación donde la sustitución no es estándar:

Comencemos de inmediato con lo que se puede hacer y lo que, en principio, se puede hacer, pero es mejor no hacerlo. Puedes imaginarlo todo a través de las potencias de tres, dos y seis. ¿A qué conducirá esto? No conducirá a nada: a un revoltijo de títulos, algunos de los cuales serán bastante difíciles de eliminar. ¿Qué se necesita entonces? Notemos que un ¿Y esto qué nos aportará? ¡Y el hecho de que podemos reducir la solución de este ejemplo a la solución de una ecuación exponencial bastante simple! Primero, reescribamos nuestra ecuación como:

Ahora dividamos ambos lados de la ecuación resultante entre:

¡Eureka! Ahora podemos reemplazar, obtenemos:

Bueno, ahora te toca a ti resolver los problemas de demostración, y solo les daré breves comentarios para que no te confundas. el camino correcto! ¡Buena suerte!

1. ¡El más difícil! ¡Es tan difícil ver un reemplazo aquí! Sin embargo, este ejemplo se puede resolver completamente usando descargar cuadrado lleno . Para solucionarlo basta señalar que:

Entonces aquí está tu reemplazo:

(Tenga en cuenta que aquí en nuestro reemplazo no podemos descartar raíz negativa!!! ¿Por qué crees?)

Ahora para resolver el ejemplo solo tienes que resolver dos ecuaciones:

Ambos pueden resolverse mediante un “reemplazo estándar” (¡pero el segundo en un ejemplo!)

2. Observe eso y haga un reemplazo.

3. Descomponga el número en factores coprimos y simplifique la expresión resultante.

4. Divide el numerador y denominador de la fracción por (o, si lo prefieres) y haz la sustitución o.

5. Observa que los números y están conjugados.

ECUACIONES EXPONENTARIAS. NIVEL AVANZADO

Además, veamos de otra manera: resolver ecuaciones exponenciales usando el método de logaritmo. No puedo decir que resolver ecuaciones exponenciales usando este método sea muy popular, pero en algunos casos solo puede llevarnos a la decisión correcta nuestra ecuación. Se utiliza especialmente para resolver el llamado " ecuaciones mixtas ": es decir, aquellas donde se dan funciones de distinto tipo.

Por ejemplo, una ecuación de la forma:

en el caso general, solo se puede resolver tomando logaritmos de ambos lados (por ejemplo, a la base), en lo que la ecuación original quedará como sigue:

Veamos el siguiente ejemplo:

Esta claro que logarítmico ODZ funciones que sólo nos interesan. Sin embargo, esto se desprende no sólo de la ODZ del logaritmo, sino también por una razón más. Creo que no te resultará difícil adivinar cuál es.

Llevemos el logaritmo de ambos lados de nuestra ecuación a la base:

Como puedes ver, tomar el logaritmo de nuestra ecuación original nos llevó rápidamente a la respuesta correcta (¡y hermosa!). Practiquemos con un ejemplo más:

Aquí tampoco hay nada de malo: llevemos el logaritmo de ambos lados de la ecuación a la base, luego obtenemos:

Hagamos un reemplazo:

Sin embargo, ¡nos perdimos algo! ¿Notaste dónde cometí un error? Después de todo, entonces:

que no cumple con el requisito (¡piense de dónde viene!)

Respuesta:

Intenta escribir la solución de las ecuaciones exponenciales a continuación:

Ahora compara tu decisión con esto:

1. Logaritmemos ambos lados hasta la base, teniendo en cuenta que:

(la segunda raíz no nos conviene debido a un reemplazo)

2. Logaritmo a la base:

Transformemos la expresión resultante a la siguiente forma: