Temblores esféricos y celosías. La servilleta de Sierpinski: otro monstruo

Un fractal regular, llamado servilleta de Sierpinski, se obtiene cortando secuencialmente triángulos equiláteros centrales como se muestra en la Fig. 2

Figura 2 - Construcción de una servilleta de Sierpinski

El resultado es una figura "agujereada" (ver Fig. 3), que consta de numero infinito puntos aislados. La dimensión fractal de la servilleta de Sierpinski se calcula mediante la fórmula (3)

Aquí, en el paso cero, tenemos un triángulo equilátero con una longitud de lado y, en el siguiente paso, tres triángulos equiláteros con lados. Por lo tanto, a, . La servilleta tiene área cero porque es fácil verificar que en el proceso de su construcción el área exactamente igual al área el triángulo original. Esto también se indica por el valor de la dimensión fractal, que es menor que la dimensión del plano en el que se encuentra este objeto.

Calculemos ahora el perímetro de las áreas excluidas. Si el lado del triángulo original era igual a 1, entonces en el primer paso de la construcción el perímetro del triángulo central es igual a 3/2. En el segundo paso, se le agregan tres nuevos triángulos con perímetro común, igual a 9/4, etc. Es obvio que en enésimo paso El perímetro P está determinado por la suma de la progresión geométrica.

Algoritmo fractal de la alfombra de Sierpinski

Figura 3 - Servilleta Sierpinski

Por otro lado, la escala de longitud en el enésimo paso es igual. Por tanto, la fórmula adopta una forma similar a la fórmula (1) para la longitud de la costa.

donde D está determinado por la fórmula (6)

Figura 4 - Elemento iniciador y generador de la curva de Sierpinski

Es posible construir una línea continua que tenga esta dimensión fractal y sea geométricamente equivalente a una servilleta de Sierpinski. El elemento inicial para tal construcción es un segmento de longitud unitaria, que luego se reemplaza por una estructura llamada generador, que consta de tres segmentos de longitud 1/2, ubicados en un ángulo de 120 ° entre sí (ver Fig. 4 ). Luego, cada uno de estos tres segmentos se reemplaza, a su vez, por un generador de la mitad del tamaño que se muestra en la figura. 5 a la izquierda. Lado derecho La misma figura muestra el siguiente paso del procedimiento. Los contornos de la futura servilleta de Sierpinski aparecen claramente en las dos etapas siguientes (ver Fig. 5).

Figura 5 - Segundo y tercer paso en la construcción de la curva de Sierpinski

Este procedimiento se repite hasta el infinito. Es fácil ver que cada imagen posterior se puede obtener de la anterior pegando tres copias reducidas a la mitad, dos de las cuales girarán en un ángulo de 120° y - 120° con respecto al original.

Figura 6: Los siguientes dos pasos para construir la curva de Sierpinski

De manera similar a la servilleta de Sierpinski, se puede construir una alfombra de Sierpinski cuadrada, que es un análogo bidimensional del conjunto de Cantor de tercios medios excluidos.

Figura 7 - Construcción de una alfombra de Sierpinski cuadrada

La receta para su creación es la siguiente. Primero, toma un cuadrado con una longitud de lado igual a uno. Luego, cada lado del cuadrado se divide en tres partes iguales y el cuadrado completo, respectivamente, en nueve cuadrados idénticos con un lado igual a 1/3. De la figura resultante se recorta un cuadrado central. Luego se recorta el cuadrado siguiendo el mismo procedimiento. ¿Por qué cada uno de los 8 cuadrados restantes se somete al mismo procedimiento, etc.? (ver figura 7)

Figura 8 - Alfombra cuadrada de Sierpinski

El resultado es una alfombra de Sierpinski cuadrada y perforada con un valor de dimensión fractal.

También representa un ejemplo de un fractal autosemejante ideal. Su dimensión fractal, sin embargo, es mayor que la de la servilleta de Sierpinski, es decir en cierto sentido, tiene menos fugas.

“ALFOMBRA SIERPINSKI”

Tabla de contenido

Introducción

1. El concepto de fractales.

Sobre alfombras

Waclaw Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

alfombra sierpinski

Funciones de Sierpinski

Tipos y principales propiedades de los fractales.

Construcción de fractales

Sobre el uso de fractales

Conclusión

Puntos principales

Apéndice 1

Apéndice 2

Apéndice 3

Apéndice 4

Apéndice 5

Apéndice 6

Apéndice 7 (Presentación)

Literatura

Si la gente se niega a creer

en la simplicidad de las matemáticas,

entonces es sólo porque ellos

No comprenden la complejidad de la vida.

Juan von Neumann

Introducción

El trabajo está dedicado al tema de la investigación fractal: la alfombra de Sierpinski.

Como se sabe, este fractal es uno de los fractales clásicos de la geometría fractal.

El objetivo principal de este trabajo es estudiar un fractal llamado Alfombra de Sierpinski.

La necesidad del concepto de fractal apareció hace relativamente poco tiempo, hace unos 40 años. Entonces modelos geométricos Tradicionalmente se construían diversas estructuras naturales sobre la base de formas geométricas relativamente simples: líneas rectas, polígonos, círculos, poliedros, esferas. Sin embargo, se hizo evidente que este conjunto clásico, suficiente para describir estructuras elementales, resulta poco aplicable a objetos tan complejos como el contorno de las costas continentales, el campo de velocidades en un flujo de fluido turbulento, la descarga de un rayo en el aire, los materiales porosos, la forma de nubes, copos de nieve, llamas de fuego, contornos de árboles, etc. En este sentido, los científicos comenzaron a introducir nuevos conceptos geométricos. Y uno de estos conceptos era el concepto de fractal. Este concepto fue introducido por el matemático francés de origen polaco Benoit Mandelbrot en 1975. Y aunque en matemáticas aparecieron construcciones similares de una forma u otra hace mucho tiempo, en física el valor de tales ideas no se comprendió hasta los años 70 del siglo XX. Luego, el libro de Mandelbrot "Geometría fractal de la naturaleza" jugó un papel importante en la difusión de las ideas de la geometría fractal. base nueva geometría es la idea de autosimilitud. Expresa el hecho de que el principio jerárquico de organización de las estructuras fractales no sufre cambios significativos cuando se observan a través de un microscopio con diferentes aumentos. Como resultado, estas estructuras a pequeña escala tienen, en promedio, el mismo aspecto que a gran escala. Esto define la diferencia entre la geometría euclidiana, que se ocupa exclusivamente de curvas suaves, y las curvas fractales autosimilares, infinitamente rugosas. Los elementos de las curvas en Euclides son siempre autosemejantes, pero de una manera trivial: todas las curvas son localmente rectas y una línea recta siempre es autosemejante. Una curva fractal, idealmente, en cualquier escala, incluso la más pequeña, no se reduce a una línea recta y es caso general geométricamente irregular, caótica. Para él, en particular, no existe el concepto de tangente en un punto, ya que las funciones que describen estas curvas son, en general, no diferenciables.

Quizás el argumento más convincente para estudiar los fractales sea su sorprendente belleza.

Los fractales combinan sorprendentemente el enfoque lógico y el conocimiento de los fenómenos naturales.

Muchos avances importantes en geometría fractal han sido posibles con la llegada de las computadoras modernas. Los experimentos informáticos han permitido obtener una comprensión bastante completa de varios fractales y las razones de su aparición. A menudo, el modelado teórico de estas estructuras estaba incluso por delante de métodos experimentales estudiar objetos naturales reales de forma compleja.

Con el desarrollo de la geometría fractal, para muchos resultó obvio que las formas de la geometría euclidiana son muy inferiores a la mayoría de los objetos naturales debido a la falta de irregularidades, desorden e imprevisibilidad.

Actualmente podemos decir que la geometría fractal es ampliamente conocida y bastante relevante. Esto se debe a que el lenguaje de la geometría fractal es aplicable a toda la ciencia. mundo moderno generalmente. Por ejemplo, en medicina para construir un modelo. sistema circulatorio humanos o examinando las complejas superficies de las membranas celulares.

1. El concepto de fractales.

Los fractales están por todas partes a nuestro alrededor, tanto en los contornos de las montañas como en la sinuosa línea de la orilla del mar. Algunos de los fractales cambian constantemente, como nubes en movimiento o llamas parpadeantes, mientras que otros, como los árboles o nuestro sistemas vasculares, conservar la estructura adquirida en el proceso de evolución.
H. O. Peigen y P. H. Richter.

Geometría que estudiamos en la escuela y utilizamos en la vida cotidiana, como se dijo anteriormente, se remonta a Euclides (ca. 300 a. C.). Triángulos, cuadrados, círculos, paralelogramos, paralelepípedos, pirámides, esferas, prismas... objetos típicos, considerado por la geometría clásica. Los objetos creados por el hombre suelen incluir estas figuras o fragmentos de ellas. Sin embargo, en la naturaleza no se encuentran con mucha frecuencia. De hecho, ¿son, por ejemplo, las bellezas forestales del abeto similares a alguno de los elementos enumerados o a su combinación? Es fácil ver que, a diferencia de las formas de Euclides objetos naturales no tienen suavidad, sus bordes están rotos, dentados, las superficies son rugosas, corroídas por grietas, pasajes y agujeros.

"¿Por qué a menudo se dice que la geometría es fría y seca? Una razón es su incapacidad para describir la forma de una nube, una montaña, un árbol o la orilla del mar. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y las La corteza no es lisa." , y el rayo no viaja en línea recta. La naturaleza nos muestra no sólo un grado superior, sino un nivel de complejidad completamente diferente." , - con estas palabras comienza “Geometría fractal de la naturaleza”, escrita por Benoit Mandelbrot. Palabrafractal derivado del latínfractus y traducido significafragmentado . Fue propuesto por Benoit Mandelbrot en 1975 para referirse a irregulares peroautosimilar estructuras en las que estuvo involucrado. El nacimiento de la geometría fractal suele asociarse con la publicación del libro de Mandelbrot en 1977.La geometría fractal de la naturaleza" . Sus obras utilizan resultados científicos otros científicos que trabajaron en el período 1875 -1925 en el mismo campo (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Pero sólo en nuestros días fue posible combinar su trabajo en un solo sistema.

El papel de los fractales en los gráficos por computadora hoy en día es bastante importante. Vienen al rescate, por ejemplo, cuando es necesario, utilizando varios coeficientes, definir líneas y superficies de formas muy complejas. Desde el punto de vista gráficos por computadora, la geometría fractal es indispensable a la hora de generar nubes, montañas y superficies marinas artificiales. realmente encontrado manera fácil representaciones de objetos complejos no euclidianos, cuyas imágenes son muy similares a las naturales.

Los fractales son objetos geométricos con propiedades asombrosas: cualquier parte de un fractal contiene su imagen reducida. Es decir, por mucho que agrandes el fractal, una pequeña copia del mismo te mirará desde cualquier parte del mismo.

La definición de Mandelbrot de fractal es:"Un fractal es una estructura que consta de partes que en algún sentido son similares al todo" . Las propiedades internas de los fractales son convenientes.describir característica numérica, semilo que le dio el nombre de dimensión fractal.Realicemos un experimento sencillo. tomemosuna hoja de papel cuadriculado en blanco y un bocetoTim en él arbitrario rectilíneosegmento Contemos la cantidad de pegamento.corriente con una longitud de lado de 1 cm y el número de adhesivospuntos con una longitud de lado de 1 mm, a través de los cualespasa esta sección. cuantas veces uno¿El número es mayor que el otro? Si el experimento se trata deconduzca con cuidado y luego cubra el segmentolas celdas milimétricas serán diez vecesmás de centímetros.

La geometría en la naturaleza no se limita a figuras tan simples como una línea, un círculo, sección cónica, polígono, esfera, superficie cuadrática, así como sus combinaciones. Por ejemplo, ¿qué podría ser más hermoso que la afirmación de que los planetas de nuestro sistema solar¿Se mueven alrededor del Sol en órbitas elípticas?

Sin embargo, muchos sistemas naturales son tan complejos e irregulares que utilizar sólo objetos familiares de geometría clásica para modelarlos parece imposible. ¿Cómo se puede construir, por ejemplo, un modelo geométrico de una cadena montañosa o de la copa de un árbol? ¿Cómo describir la diversidad de configuraciones biológicas que observamos en el mundo de las plantas y los animales? Imagine la complejidad del sistema circulatorio, que consta de muchos capilares y vasos y suministra sangre a cada célula. cuerpo humano. Imagínese lo hábilmente que están dispuestos los pulmones y los cogollos, que recuerdan en estructura a los árboles con una copa ramificada.

La dinámica de la vida real puede ser igualmente compleja e irregular. sistemas naturales. ¿Cómo abordar el modelado de cascadas o procesos turbulentos que determinan el clima?

Los fractales y el caos matemático son herramientas adecuadas para explorar estas cuestiones. Términofractal se refiere a alguna configuración geométrica estática, como una instantánea de una cascada.Caos es un término dinámico utilizado para describir fenómenos similares al comportamiento climático turbulento. A menudo, lo que observamos en la naturaleza nos intriga con la repetición interminable del mismo patrón, aumentado o disminuido varias veces. Por ejemplo, un árbol tiene ramas. Sobre estas ramas hay ramas más pequeñas, etc. En teoría, el elemento ramificador se repite infinitas veces, volviéndose cada vez más pequeño. Lo mismo se puede ver al mirar la fotografía. terreno montañoso. Intente acercarse un poco a la cordillera; verá las montañas nuevamente. Así se manifiesta la propiedad característica de los fractalesautosimilitud.

Gran parte del trabajo sobre fractales utiliza la autosimilitud como propiedad definitoria. Siguiendo a Benoit Madelbrot, aceptamos la opinión de que los fractales deberían definirse en términos de dimensión fractal (fraccional). De aquí viene la palabrafractal (del lat.fractus - fraccionario).

El concepto de dimensión fraccionaria es un concepto complejo que se presenta en varias etapas. Una línea recta es un objeto unidimensional, mientras que un plano es un objeto bidimensional. Si giras bien la línea recta y el plano, puedes aumentar la dimensión de la configuración resultante; en este caso, la nueva dimensión normalmente será fraccionaria en algún sentido, lo cual debemos aclarar. La conexión entre la dimensión fraccionaria y la autosimilitud es que con la ayuda de la autosimilitud es posible construir un conjunto de dimensiones fraccionarias de la forma más sencilla. Incluso en el caso de fractales mucho más complejos, como el límite del conjunto de Mandelbrot, donde no hay autosimilitud pura, hay una repetición casi completa de la forma básica en una forma cada vez más reducida.

Fundador de la geometría fractal.

Los matemáticos descuidaron el desafío y

Prefirió escapar de la naturaleza mediante la invención.

todo tipo de teorías que no

explicar lo que vemos o sentimos.

Benoît Mandelbrot

Benoit Mandelbrot (francés: Benoit Mandelbrot; nacido el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia) es un matemático francés.

Fundador e investigador líder en el campo de la geometría fractal. Laureado con el Premio Wolf de Física (1993).

Benoit Mandelbrot nació en Varsovia en 1924 en una familia de judíos lituanos. Pero ya en 1936, la familia Benoit Mandelbrot emigró a Francia, a París. En París estuvo bajo la influencia de su tío Scholem Mandelbroit, un famoso matemático parisino y miembro de un grupo de matemáticos conocidos colectivamente como "Nicolas Bourbaki".

Tras el inicio de la guerra, los Mandelbrot huyeron al sur de Francia, libres de ocupación, a la ciudad de Tulle. Benoit Mandelbrot fue a la escuela allí, pero pronto perdió el interés en sus estudios. Por lo tanto, a los dieciséis años apenas conocía el alfabeto y la tabla de multiplicar hasta el cinco.

Pero Benoit Mandelbrot descubrió un don matemático inusual que le permitió convertirse en estudiante en la Sorbona inmediatamente después de la guerra. Resultó que Benoit tiene una excelente imaginación espacial. el incluso problemas algebraicos resuelto geométricamente. La originalidad de sus decisiones permitió a Benoit Mandelbrot ingresar a la universidad.

Después de graduarse de la universidad, Benoit Mandelbrot se convirtió por primera vez en un “matemático puro”. Recibió su doctorado.

En 1958 se mudó a Estados Unidos, donde comenzó a trabajar en el centro de investigación de IBM en Yorktown, ya que IBM en ese momento trabajaba en áreas de las matemáticas que eran de interés para Benoit Mandelbrot.

Mientras trabajaba en IBM, Benoit Mandelbrot se alejó mucho de la pura problemas aplicados empresas. Trabajó en los campos de la lingüística, la teoría de juegos, la economía, la aeronáutica, la geografía, la fisiología, la astronomía y la física. Le gustaba pasar de un tema a otro, estudiar diferentes direcciones.

Mientras estudiaba economía, Benoit Mandelbrot descubrió que las fluctuaciones de precios aparentemente arbitrarias pueden seguir un orden matemático en el tiempo, que no se describe mediante curvas estándar.

Benoit Mandelbrot comenzó a estudiar las estadísticas de los precios del algodón durante largo periodo tiempo (más de cien años). Las fluctuaciones de precios durante el día parecían aleatorias, pero Mandelbrot pudo descubrir la tendencia de sus cambios. Trazó la simetría entre las fluctuaciones de precios a largo plazo y las fluctuaciones a corto plazo. Este descubrimiento fue una sorpresa para los economistas.

De hecho, Benoit Mandelbrot utilizó los rudimentos de su método recursivo (fractal) para resolver este problema.

Sobre alfombras.

Un poco de morder

Aplicación práctica fractales

Los fractales se encuentran cada vez más. mayor aplicación en ciencia. La razón principal es que describen el mundo real a veces incluso mejor que la física o las matemáticas tradicionales. A continuación se muestran algunos ejemplos:

Sistemas informáticos

Mayoría uso útil Los fractales en informática son compresión de datos fractales. Este tipo de compresión se basa en el hecho de que el mundo real está bien descrito por la geometría fractal. Al mismo tiempo, las imágenes se comprimen mucho mejor que con los métodos convencionales (como jpeg o gif). Otra ventaja de la compresión fractal es que cuando se amplía la imagen, no hay efecto de pixelación (aumentando el tamaño de los puntos a tamaños que distorsionan la imagen). Con la compresión fractal, después de la ampliación, la imagen suele verse incluso mejor que antes.

Mecánica de fluidos

1. El estudio de la turbulencia en flujos se adapta muy bien a los fractales. Los flujos turbulentos son caóticos y, por tanto, difíciles de modelar con precisión. Y aquí ayuda la transición a una representación fractal, que facilita enormemente el trabajo de ingenieros y físicos, permitiéndoles comprender mejor la dinámica de flujos complejos.

2. Usando fractales también puedes simular llamas.

3. Los materiales porosos están bien representados en forma fractal debido a que tienen una geometría muy compleja. Se utiliza en la ciencia del petróleo.

Telecomunicaciones

Para transmitir datos a distancia se utilizan antenas con formas fractales, lo que reduce mucho su tamaño y peso.

Física de superficies

Los fractales se utilizan para describir la curvatura de superficies. Una superficie irregular se caracteriza por una combinación de dos fractales diferentes.

Medicamento

1.Interacciones biosensoriales.

2.latido del corazón

Biología

Modelado de procesos caóticos, en particular al describir modelos de población.

Aplicación de fractales en tecnología de antenas.

Con base en las ideas y algoritmos discutidos anteriormente en la primera sección, se propuso nuevo método Métodos de uso de elementos fractales en conjuntos de antenas. Su uso permite aumentar la densidad de colocación y reducir las interconexiones entre elementos. Además, basándose en la teoría fractal, se estudiaron las propiedades y el tipo de radiación de dichas antenas. El uso de la teoría fractal permite obtener antenas eléctricamente largas, pero físicamente compactas y que ocupan un área pequeña. Gracias a esta propiedad se puede conseguir la miniaturización de la antena.

Las antenas modernas requieren alta precisión y dimensiones mínimas. Las comunicaciones por radio requieren sistemas que puedan funcionar en tantas bandas de frecuencia como sea posible. Los sistemas de antenas aéreas requieren que las antenas se miniaturicen tanto como sea posible. Para lograr estos objetivos se propuso varios metodos Aplicaciones de los fractales en la teoría de antenas. Mostremos posibles áreas de aplicación de los fractales en la tecnología de antenas:

a) antenas de hilo, antenas de microcinta: estas antenas tienen una estructura física fractal;

b) antenas con un patrón de radiación fractal (DP), conjuntos con una distribución de corriente fractal: las antenas se construyen sobre la base modelado por computadora características fractales.

Pongamos un ejemplo del uso de una estructura fractal para una antena de anillo simple.

La curación de la cuadrícula se verá así:

R – cantidad total ciclos; N =4 – número de elementos en un anillo; – fase (desplazamiento) del elemento,; – factor fractal de escala.

12.Conclusión

Los fractales nos rodean por todas partes: árboles, montañas, nubes. Pero, además, los fractales se encuentran en objetos invisibles para el ojo humano: son células de diversos tejidos vivos, grietas en la corteza terrestre y mucho más. Los gráficos fractales se pueden utilizar en muchas áreas de las ciencias naturales. Se utiliza no sólo en matemáticas, sino también en economía, geografía, astronomía, biología, física e incluso en literatura. Los fractales ayudan a los geofísicos a determinar la forma y naturaleza de las grietas corteza terrestre y características de la distribución en sus capas de varios elementos quimicos, y los astrónomos pueden simular la formación sistemas planetarios y galaxias, la naturaleza de la dispersión de rayos y polvo cósmico.

La ciencia fractal es muy joven y tiene un gran futuro por delante. La belleza de los fractales está lejos de agotarse y aún nos brindará bastantes obras maestras, aquellas que deleitan la vista y aquellas que brindan verdadero placer a la mente.

Mi trabajo no enumera todas las áreas del conocimiento humano donde la teoría de los fractales ha encontrado su aplicación. Solo quiero decir que no ha pasado más de un tercio de siglo desde que surgió la teoría, pero durante este tiempo los fractales se convirtieron en un fenómeno repentino para muchos investigadores. luz brillante en las noches que iluminaron hechos y patrones hasta ahora desconocidos en áreas específicas de datos. Con la ayuda de la teoría de los fractales, comenzaron a explicar la evolución de las galaxias y el desarrollo de las células, la aparición de las montañas y la formación de las nubes, el movimiento de los precios en la bolsa y el desarrollo de la sociedad y la familia. Quizás al principio esta pasión por los fractales era incluso demasiado intensa y los intentos de explicarlo todo utilizando la teoría de los fractales eran injustificados. Pero, sin duda, esta teoría tiene derecho a existir.

Trabajando en el tema de investigación, profundicé significativamente mis conocimientos de matemáticas y amplié mis horizontes matemáticos.

Mientras estudiaba fractales, descubrí que muchos de ellos tienen propiedades asombrosas y se utilizan ampliamente en varias áreas ciencia.

Basándome en los resultados de mi investigación, creé una presentación por computadora con la que cualquier persona interesada puede tener una idea clara de los tipos y propiedades inusuales de los fractales.

Me convencí de que las matemáticas son una ciencia única y sorprendente, cuyos métodos permiten describir los patrones y la estructura de los más fenómenos inusuales el mundo circundante. Además, patrones fractales con extrañas formas dinámicas– uno de los símbolos de la unidad de las matemáticas y el arte. Creado computadoras modernas Los fractales forman profundas emociones estéticas que evocan respeto e interés por las matemáticas.

Creo que el trabajo que he realizado sobre el estudio de los fractales es muy útil para mí y sus resultados pueden utilizarse con éxito en las lecciones de matemáticas y en actividades extracurriculares. ¡Porque es realmente interesante!

13.Puntos principales .

1. La teoría de los fractales es muy joven. Apareció a finales de los años sesenta gracias a Benoit Mandelbrot.

2. Un fractal es una estructura autosemejante cuya imagen no depende de la escala. Se trata de un modelo recursivo, cada parte del cual repite en su desarrollo el desarrollo de todo el modelo en su conjunto.

3. Los fractales se utilizan cada vez más en ciencia. Por ejemplo, en sistemas informáticos, mecánica de fluidos, medicina, biología y otros.

4. Hay muchos fractales diferentes: conjunto de cantantes, Triángulo de Sierpinski, Alfombra de Sierpinski, Curva de Koch, Copo de nieve de Koch, Dragón Harter-Hathway y otros.

6. Los fractales simplifican mucho las cosas. procesos complejos y objetos, lo cual es muy importante para el modelado. Le permiten describir sistemas y procesos inestables y, lo más importante, predecir el futuro de dichos objetos.

Apéndice 1

Fractales dinámicos y estocásticos.

Tomemos un punto de partida z 0 en plano complejo. Consideremos ahora una secuencia infinita de números en el plano complejo, cada uno de los cuales se deriva del anterior: z 0 , z 1 = f(z 0 ), z 2 = f(z 1 ), ... z n+1 = f(z norte ), DóndeF( z) – cualquier función de una variable compleja. Dependiendo de punto de partida z 0 tal secuencia puede comportarse de manera diferente: tender al infinito cuando n → ∞; converger hacia algún punto final; tomar cíclicamente una serie de valores fijos; más son posibles opciones complejas. al teñir diferentes colores Los puntos en el plano complejo que se comportan de manera diferente a menudo dan como resultado formas que tienen propiedades fractales.

conjunto de mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de puntos c en el plano complejo para el cual la secuencia (z norte ), Dóndez 0 =0,z n+1 =z norte 2 + c, finito (es decir, no llega al infinito).

El conjunto de Mandelbrot es uno de los fractales más famosos, también fuera de las matemáticas, por sus visualizaciones de color. Sus fragmentos no son estrictamente similares al conjunto original, pero con repetidas ampliaciones, ciertas partes se vuelven cada vez más similares entre sí.

Está demostrado que todo el conjunto se sitúa íntegramente dentro de una circunferencia de radio 2 sobre el plano. Por lo tanto, asumiremos que si por un puntodo secuencia de iteraciones de funcionesF do =z 2 + do con valor inicialz = 0 después de un gran número de ellosnorte (digamos, 100) no fue más allá de este círculo, entonces el punto pertenece al conjunto y se pinta de negro. En consecuencia, si en algún momento menosnorte , el elemento del módulo de secuencia se vuelve mayor que 2, entonces el punto no pertenece al conjunto y permanece blanco. Así, es posible obtener una imagen en blanco y negro del conjunto, que fue obtenida por Mandelbrot. Para colorearlo, puede, por ejemplo, pintar cada punto que no sea del conjunto en un color correspondiente al número de iteración en el que su secuencia fue más allá del círculo.

conjunto julia

Cualquier punto z del plano complejo tiene su propio comportamiento (permanece finito, tiende al infinito, toma valores fijos) durante las iteraciones de la función f(z), y todo el plano se divide en partes. Además, los conjuntos de puntos que tienen un tipo específico de comportamiento suelen tener propiedades fractales. Estos son los conjuntos de Julia para la función f(z).

Al agregar perturbaciones aleatorias a las fórmulas que definen un fractal, se pueden obtener fractales estocásticos que representan de manera muy plausible algunos objetos reales.

Apéndice 2

Ejemplos de fractales y sus propiedades sorprendentes

Variantes del copo de nieve de Koch

a) El copo de nieve de Koch “por el contrario” se obtiene si construimos curvas de Koch dentro del triángulo equilátero original.

b) Rectas de Cesaro: en lugar de triángulos equiláteros se utilizan triángulos isósceles con un ángulo de base de 60° a 90°. En la figura, el ángulo es de 88°.

c) Opción de cuadrado: se completan los cuadrados.

h -fractal

Todo comienza con una figura en forma de letra H, en la que los segmentos vertical y horizontal son iguales. Luego se adjunta una copia del mismo, reducida a la mitad, a cada uno de los 4 extremos de la figura. En cada extremo (ya son 16) se adjunta una copia de la letra H, ya reducida en 4 veces. Etcétera.

En el límite, obtienes un fractal que llena un determinado cuadrado, por lo queh-fractal se refiere a líneas que llenan parte de un plano, sin embargola longitud total de todos los segmentos que formanh-fractal, infinito.

Esta propiedad Los fractales H se han utilizado ampliamente en la producción de microcircuitos electrónicos: si es necesario que una gran cantidad de elementos en un circuito complejo reciban la misma señal simultáneamente, entonces se pueden colocar en los extremos de segmentos de una iteración adecuada de el H-fractal y conectado en consecuencia.

Hay otras curvas fractales que llenan parte del plano. Un objeto así apareció por primera vez en un artículo del matemático italiano Giuseppe Peano en 1890. Peano intentó encontrar una explicación visual al hecho de que un segmento y un cuadrado tienen el mismo espesor (si los consideramos como conjuntos de puntos). Este teorema fue demostrado previamente por el matemático alemán Georg Cantor en el marco de la teoría de conjuntos que inventó. El ejemplo de Peano fue una buena confirmación de la razón de Cantor.

A veces la expresión curva de Peano no se refiere a ejemplo específico, sino a cualquier curva que ocupe parte de un plano o espacio.

La curva de Hilbert fue descrita por el matemático alemán David Hilbert en 1891.

Otro ejemplo es el fractal “Cruz Griega”:

Curva de Gosper o copo de nieve de Gosper (descrita por el matemático y programador estadounidense Bill Gosper):

Árbol de Pitágoras

Este fractal se llama así porque cada trío de cuadrados que se tocan por pares limita un triángulo rectángulo isósceles y el resultado es una imagen que se usa a menudo para ilustrar el teorema de Pitágoras, “ pantalones pitagóricos iguales en todas direcciones."

Se ve claramente que todo el árbol está limitado. Si el cuadrado más grande es uno, entonces el árbol cabe en un rectángulo de 6 × 4. Esto significa que su área no excede 24. Pero por otro lado, cada vez se suma dos veces. más tres cuadrados que en el anterior, y sus dimensiones lineales son veces menos. Por tanto, en cada paso se suma la misma área, que es igual al área de la configuración inicial, es decir, 2. Parecería que entonces el área del árbol debería ser infinita, pero en realidad hay No hay ninguna contradicción aquí, porque muy rápidamente los cuadrados comienzan a superponerse y el área no aumenta tan rápidamente. Todavía es finito, pero aún valor exacto es desconocido y es un tema abierto.

Si cambias los ángulos en la base del triángulo en el árbol pitagórico, obtendrás formas de árboles ligeramente diferentes, llamados árboles pitagóricos soplados. Y en un ángulo de 60°, los tres cuadrados serán iguales y el árbol se convertirá en un patrón periódico en el plano:

curva de impuestos

Aunque este objeto fue estudiado por el italiano Ernesto Cesaro en 1906, su autosemejanza y propiedades fractales fueron exploradas en la década de 1930 por el francés Paul Pierre Levy.

Debido a su parecido con la letra “C”, escrita en una fuente florida, también se la llama curva C de Lewy.

Si miras de cerca, notarás que la curva de Levy es similar a la forma de la copa de un árbol pitagórico.

Variantes de la curva de impuestos

a) Se obtendrá una curva sesgada si en lugar de un triángulo rectángulo isósceles, en cada paso utilizamos algún otro triángulo rectángulo.

b) Se puede construir otra versión de la curva C de Levy si no comienza con un segmento, sino con la letra P. Los primeros tres, octavo y undécimo pasos para construir esta curva se muestran a continuación:

c) Si tomamos como base un cuadrado, obtenemos la isla de Levi:

Harter-Dragón de la Carretera

Se cree que el fractal recibió este nombre por su parecido con los dragones tradicionales chinos.

El Dragon Fractal también tiene una propiedad interesante: si cortas varias fichas con la forma de un dragón fractal, puedes colocarlas una al lado de la otra de tal manera que no queden espacios. Si hay muchas baldosas de este tipo, puedes pavimentar parte del avión con ellas:

Apéndice 3

Dimensiones fractales y topológicas.

Consideremos con más detalle una de las propiedades de un conjunto fractal e introduzcamos los conceptos de dimensiones topológicas y fractales. La dimensión topológica es el número de coordenadas necesarias para especificar la posición de un punto dentro de una figura. Entonces, cualquier línea (por ejemplo, un círculo o una línea recta) es unidimensional: solo una coordenada es suficiente para indicar con precisión un punto, y el plano y la superficie de la bola son bidimensionales. Ahora veamos la definición de dimensión fractal.Tenga en cuenta que si tomamos dos cuadrados con lados 1 y 2, entonces el primer cuadrado será 4 veces más pequeño que el segundo. Entonces la dimensión del cuadrado esD= 2, y

Así, la dimensión fractal también se puede definir de la siguiente manera: si, cuando la figura original se reduce ennorteuna vez que ella encaja en sí mismaMETROveces, entonces la dimensión de esta figura es el númeroD, Dónde

Encontremos la dimensión fractal de la curva de Koch usando esta definición. Tenga en cuenta que la curva de Koch consta de 4 partes (una de ellas está resaltada en la figura siguiente), cada una de las cuales es similar a la curva completa, pero cada una de estas partes es 3 veces más pequeña que la curva:

Es decir, en en este caso norte = 3, METRO= 4. Resolviendo esta ecuación:

encontramos queD ≈ 1,261859...

Entonces, dado que el fractal discutido anteriormente es una curva, su dimensión topológica es 1 y la dimensión fractal es ≈ 1,261859... Por tanto, la dimensión fractal de esta figura es mayor que la topológica y es fraccionaria, como se indica en la propiedad .

Apéndice 4

Fractales en la naturaleza y la tecnología.

Hoy en día, la teoría de los fractales es muy utilizada en diversos campos. actividad humana. En física, los fractales surgen naturalmente al modelar procesos no lineales, como flujos de fluidos turbulentos, procesos complejos de difusión y adsorción, llamas, nubes, etc. Los fractales se utilizan para modelar materiales porosos, por ejemplo, en la petroquímica. En biología, se utilizan para modelar poblaciones y describir sistemas. órganos internos(sistema de vasos sanguíneos). Después de la creación de la curva de Koch, se propuso utilizarla para calcular la longitud de la costa.

Los fractales se utilizan en la teoría de la información para comprimir datos gráficos (aquí se utiliza principalmente la propiedad de autosemejanza de los fractales; después de todo, para recordar un pequeño fragmento de una imagen y las transformaciones con las que se pueden obtener las partes restantes, y mucho menos la memoria). es necesario que almacenar el archivo completo). Los fractales también se utilizan para crear música fractal y para cifrar datos.

En radioelectrónica, en la última década se empezaron a producir antenas con forma fractal. Ocupando poco espacio, proporcionan una recepción de señal de alta calidad.

Y los economistas utilizan fractales para describir las curvas de fluctuación monetaria (esta propiedad fue descubierta por Mandelbrot hace más de 30 años).

Pero los fractales se utilizan más ampliamente en la pintura por computadora, ya que los fractales son objetos geométricos increíblemente hermosos y misteriosos que combinan una rica paleta de colores, variedad y repetibilidad de formas geométricas.

Apéndice 5

Juegos con triángulo y alfombra de Sierpinski.

Consideramos el triángulo de Sierpinski como un subconjunto del plano complejo y le aplicamos varias transformaciones del plano complejo. Por ejemplo, construyamos el triángulo de Sierpinski sobre segmento unitario eje real.

Y ahora aplicamos la transformación de inversión relativa al centro del triángulo al plano complejo:. Entonces obtenemos la siguiente imagen.

A continuación se muestran imágenes paraLa transformación de inversión relativa al centro de la alfombra tiene la forma Resulta que el triángulo de Sierpinski se obtiene como resultado de una de las variedades de paseo aleatorio de un punto en un plano. Este método se llama "juego del caos". Con su ayuda puedes construir otros fractales.

La esencia del "juego" es esta. Un triángulo regular está fijo en un plano.A 1 A 2 A 3 . Marca cualquier punto de partidaB 0 . Luego selecciona al azar uno de los tres vértices del triángulo y marca el puntoB 1 - la mitad de un segmento que termina en este vértice y enB 0 (en la imagen de la derecha, el vértice fue seleccionado accidentalmenteA 1 ). Lo mismo se repite con un punto.B 1 LlegarB 2 . Luego obtienen los puntos.B 3 , B 4 , etc. Es importante que el punto “salte” aleatoriamente, es decir, que cada vez se elija aleatoriamente el vértice del triángulo, independientemente de lo elegido en los pasos anteriores. Es sorprendente que si marcas puntos de una secuenciaB i , pronto comenzará a aparecer el triángulo de Sierpinski. A continuación se muestra lo que sucede cuando se marcan 100, 500 y 2500 puntos.

Apéndice 6.

Reproduciendo en casa los desarrollos del matemático Sierpinski

La belleza de las matemáticas tiene una naturaleza única y no es fácil para un profano sin formación apreciarla. Pero es posible, por ejemplo, utilizando el espectacular y visualmente obvio ejemplo de los fractales, con el que un grupo de personas practicó. Estos alegres compañeros trasladaron figuras geométricas compuestas con la propiedad de auto-semejanza a la casa, incluida la cocina.

Tomaron prestados dos fractales famosos que llevan el nombre del inventor: el triángulo de Sierpinski y la alfombra de Sierpinski. Aprovechando que su construcción se basa en formas simples y un método comprensible, las hábiles manos de los entusiastas retomaron el barro y la masa. El resultado fueron dos productos: esculturas de arcilla y galletas de chocolate, todos con instrucciones paso a paso Tipo "Hágalo usted mismo".

Como puedes ver, en este caso el triángulo de Sierpinski está moldeado con arcilla de dos colores. Nada le impide utilizar plastilina más asequible, además de aumentar la cantidad de colores. Lo principal es medir todo cuidadosamente con una regla y tener cuidado. Y el método es accesible al entendimiento del niño, porque consiste en repetir las mismas operaciones. En teoría, el proceso es interminable, pero en un ejercicio con arcilla se recomienda limitarse a seis iteraciones: de esta manera el contraste sigue siendo fuerte y el patrón se vuelve impresionante.

En cuanto a la alfombra de Sierpinski, el principio de su creación es similar a la construcción del triángulo que se muestra arriba, pero para implementarla en casa es aún menos complicado. Por lo tanto, un ama de casa decidida y curiosa puede hacer un fractal de este tipo no solo por su belleza, sino también como alimento, por ejemplo, utilizando dos tipos de masa.

Referencias

A. D. Morozov "Introducción a la teoría de los fractales". Moscú, 2002.

E. Feder “Fractales”. "Mundo", 1997.

R. M. Kronover "Fractales y zaos en sistemas dinámicos". Moscú, 2000

A. I. Azevich “Fractales: geometría y arte” // “Matemáticas en la escuela”. – 2005. – N° 4.

Bozhogin S.V. Fractales y multifractales.

Shlyk V.A. A través de la Geometría Fractal hacia una nueva percepción del mundo.

Mandelbrot B.B. "Geometría fractal de la naturaleza".

Internet mundial.

En el capítulo 6, consideramos curvas de Koch planas con dimensión , que no contienen puntos dobles, por lo que pueden denominarse autointersecantes o no ramificadas. Y el capítulo 7 está dedicado a las curvas de Peano, cuyo límite inevitable son los puntos dobles densos en todas partes. En este capítulo pretendemos dar el siguiente paso y explorar algunos ejemplos de figuras autosemejantes intencionalmente ramificadas: curvas planas (), curvas espaciales () y superficies (). El número de puntos dobles en una curva autosemejante ramificada tiende a infinito.

El aparato matemático utilizado en este capítulo no es nuevo (aunque lo conocen muy pocos especialistas); lo que sí es nuevo es mi aplicación del mismo para describir la Naturaleza.

La Servilleta de Sierpinski - OTRO MONSTRUO

Propuse el término servilleta de Sierpinski para referirme a la figura que se muestra en la Fig. 205. En la fig. 207 muestra una versión espacial de la misma figura. Los procedimientos para su construcción se describen en las leyendas de las figuras.

En Khan leemos: “Un punto en una curva se llama punto de ramificación si el límite de su vecindad arbitrariamente pequeña contiene más de dos puntos, perteneciente a eso esta torcido... Sentido común, aparentemente, insiste en que ninguna curva puede consistir simplemente en sólo... puntos de ramificación. Esta creencia obvia es refutada... por la curva de Sierpinski, todos cuyos puntos son puntos de ramificación”.

TORRE EIFFEL: FUERZA Y GRACIA

Y nuevamente Khan se equivoca con sus puntos de vista, aunque hay que admitir que su inusual elección de palabras (“aparentemente”) resulta muy acertada. Mi primer contraargumento está tomado de los avances de la ingeniería. (Antes de comenzar mi discusión sobre las estructuras informáticas al final del Capítulo 12, ya dije que no veía nada ilógico en incluir sistemas artificiales con una estructura compleja en una obra real dedicada a los fenómenos de la Naturaleza.)

Sostengo que (mucho antes que Koch, Peano y Sierpinski) la torre construida por Gustave Eiffel en París encarnaba conscientemente la idea de una curva fractal que contiene muchos puntos de ramificación.

En una primera aproximación, la Torre Eiffel consta de cuatro elementos en forma de A. Según la leyenda, Eiffel eligió la letra A para expresar la palabra Amour en su torre. Los cuatro elementos en forma de A tienen un vértice común y los elementos vecinos en forma de A tienen un borde común. Además, en lo alto se eleva otra torre recta.

Tenga en cuenta que tanto los miembros A como la torre superior no están hechos de vigas sólidas, sino de vigas colosales. Una armadura es un conjunto de eslabones interconectados rígidamente sujetos, cada uno de los cuales no puede deformarse sin deformar al menos uno de los eslabones vecinos. Con la misma resistencia, las granjas son mucho más ligeras que las vigas cilíndricas macizas. Y Eiffel se dio cuenta de que las granjas cuyos vínculos son a su vez granjas son aún más fáciles.

Buckminster Fuller abrió los ojos del mundo al hecho de que el secreto de la fuerza se esconde en los puntos de bifurcación, pero los experimentados constructores de catedrales góticas lo sabían mucho antes que él. ¡Cuanto más avancemos en la aplicación de este principio, más nos acercaremos al ideal de Sierpinski! Antiguo alumno Besikovich Freeman Dyson, en busca de estructuras fuertes y ligeras para sus edificios interplanetarios, describió una vez la Torre Eiffel, infinitamente extrapolada (, p. 646).

GRUPOS DE PERCOLACIÓN CRÍTICOS

Volvamos de nuevo a la naturaleza, o mejor dicho, a la imagen de la naturaleza descrita física estadística. Creo que al estudiar la filtración a través de redes simplemente no podemos prescindir de uno de los parientes de la servilleta de Sierpinski. En el capítulo 13, que abrió la discusión de este precedente, se argumentó que los cúmulos de percolación son fractales. Ahora iré más allá y diré que la estructura ramificada de la servilleta de Sierpinski representa un modelo muy prometedor para la estructura de la columna vertebral de los cúmulos.

Los físicos apreciarán este modelo principalmente por el hecho de que funciona y lo hace rápidamente: el artículo muestra que con un modelo de este tipo es posible realizar cálculos de rutina con precisión. Los detalles son demasiado técnicos para incluirlos en este ensayo, pero las razones por las que llegué a estas conclusiones pueden ser interesantes. La primera vez que pensé en esto fue cuando noté la similitud entre la servilleta de Sierpinski y las columnas vertebrales del grupo que se muestran en la siguiente figura:

La razón más obvia radica en los tres que quedaron vacíos después de eliminar las conexiones colgantes (formadas después de que el clúster se redujo a una columna vertebral) y los clústeres contenidos completamente dentro del clúster que me interesaba. Segunda razón: en el Capítulo 13 mostramos que la autosimilitud es grado más alto una propiedad deseable para un modelo geométrico de un grupo de percolación, y la ramificación de la toallita de Sierpinski es precisamente autosimilar. Y finalmente, ¡las dimensiones de estas dos estructuras son tan cercanas que difícilmente puede tratarse de una mera coincidencia! Según la estimación de S. Kirkpatrick, ¡un cúmulo plano tiene una dimensión sorprendentemente cercana a la dimensión de una servilleta de Sierpinski! La dimensión del grupo espacial casi coincide con la dimensión fractal de la red asimétrica en la Fig. 207. Además, se muestra que la identidad de la dimensión de la carretera y la dimensión de la servilleta generalizada se conserva en . Un poco más adelante presentaremos otro argumento a favor del modelo de servilleta en forma de la última aplicación de la ramificación.

ALFOMBRA TRINIDAD SIERPINSKI

Pasemos de las celosías triangulares a las rectangulares. Demuestran una amplia variedad de diseños posibles: curvas en el plano y en el espacio y superficies en el espacio. En cuanto a las curvas, a pesar de su parecido externo con la servilleta de Sierpinski, se diferencian mucho de ella desde el punto de vista fundamental de la ramificación, al que volveremos después de definir estas curvas.

La extensión literal del método de Cantor para eliminar los tercios medios del plano se describe en la explicación de la Fig. 205; El iniciador de tal construcción es la plaza. El fractal obtenido mediante la repetición interminable de este proceso es ampliamente conocido con el modesto nombre de alfombra ternaria de Sierpinski. Su dimensión.

ALFOMBRAS FRACTALES NO TRINARIAS

Para construir una “alfombra con un medallón grande en el centro”, escribimos, como de costumbre, donde es un número entero mayor que 3; Tomemos un cuadrado como iniciador, un cuadrado con un lado con el centro en el mismo punto que un trema y un anillo estrecho de cuadrados con un lado como generador. La dimensión de dicha alfombra es . Si tomamos un número entero impar, un subcuadrado con lado r y centro en el mismo punto que el centro del iniciador, y un anillo ancho de cuadrados pequeños como generador, obtenemos una "alfombra con un pequeño medallón en el centro". La dimensión de dicha alfombra es . Así, en alfombras centradas es posible obtener una aproximación arbitrariamente cercana a cualquier valor en el rango de 1 a 2.

Las alfombras no centradas se definen en . Por ejemplo, cuando y puedes colocar un trima que consta de un subcuadrado en el subcuadrado superior derecho. El conjunto límite correspondiente resulta ser una servilleta de Sierpinski, construida a partir de un triángulo que forma la mitad inferior izquierda del cuadrado.

ESPUMA FRACTAL TRINIDAD

La extensión literal de la alfombra ternaria en el espacio comienza con la eliminación del subcubo medio (la parte 27 del volumen del cubo original) del cubo como un trema, después de lo cual queda una "cáscara" de 26 subcubos. Propongo llamar espuma fractal ternaria al fractal obtenido mediante este procedimiento. Su dimensión.

Cada trema aquí está rodeada por todos lados por un límite continuo, dividido en un número infinito de capas infinitamente delgadas. densidad infinita. Para llegar desde un punto ubicado en un triplete a un punto ubicado en otro triplete, es necesario atravesar un número infinito de capas. Esto recuerda a la “espuma espacio-temporal” que, según J. A. Wheeler y J. W. Hawking, constituye la estructura más fina de la materia. Sin embargo, me veo obligado a admitir que no conozco suficientemente este tema, por lo que no me atrevo a discutirlo aquí.

ESPONJA MENGER FRACTAL TRINITY

Carl Menger propone otra figura a modo de temblor: una cruz, de cuyo centro sobresale un saliente por delante y por detrás. En este caso, el cubo permanece conectado entre sí mediante subcubos con un lado de 1/3. De estos subcubos, doce forman "barras" o cuerdas, y los ocho restantes son nudos o conectores. La dimensión del límite establecido (ver Fig. 208) es . A esta estructura la llamo esponja porque aquí tanto la cuajada como el suero son conjuntos conectados. Puedes imaginar cómo el agua fluye libremente entre dos puntos cualesquiera del área del suero.

Para obtener una combinación de cuerdas y sábanas, tome como trem una cruz ternaria con una sola protuberancia: al frente. Y si cambia la dirección de la protuberancia de vez en cuando, las láminas de la estructura final estarán llenas de agujeros. Quizás valga la pena mencionar aquí que estaba pensando en todas estas formas cuando buscaba modelos para describir la intermitencia turbulenta, incluso antes de leer sobre ellas en Menger.

ESPONJAS Y ESPUMA NO TRINITY

Para obtener esponjas de Menger generalizadas de base no ternaria, la trema debe ser una combinación de tres cilindros de base cuadrada sujeto a las siguientes condiciones: el eje de cada cilindro debe coincidir con uno de los ejes del cubo unitario, la longitud de cada cilindro debe ser igual a 1, y los lados de su base deben ser paralelos a los demás ejes del cubo. Cuanto más largo sea el lado de la base, más "clara" será la esponja resultante. La mayor longitud posible del lado de la base para el caso es , el generador en este caso tiene la forma de una combinación de cubos con lado . De ahí la dimensión. De manera similar, obtenemos una esponja "densa" (solo para impares): la longitud del lado de la base del cilindro en este caso es igual a . Cuando el generador parece una combinación de cubos con lados. Y la dimensión ahora es igual. .

Las espumas fractales se generalizan de manera similar. Con espumas “gruesas” dan dimensión , y “escaso” - . Si los huecos son grandes y la dimensión es cercana a 2, entonces la espuma parece queso Emmental demasiado esponjoso; Con pequeños huecos, la espuma también se parece a otro queso gourmet: el Appenzell.

DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑOS VACÍOS

Las tres esponjas se funden en un todo, mientras que las tres alfombras y espumas son vacíos aislados entre sí, como pausas en el polvo de Cantor (ver Capítulo 8). La distribución de su escala lineal obedece a la regla.

,

donde es una constante. Somos muy conscientes de esta regla por nuestra discusión sobre los vacíos en el polvo de Cantor, así como por las islas y cúmulos en el Capítulo 13.

CONCEPTO DE RED FRACTAL. REJILLAS

En geometría estándar, una celosía es un conjunto de líneas paralelas que delimitan cuadrados, triángulos u otras figuras regulares idénticos. El mismo término, aparentemente, se aplica a los fractales regulares, cuyos dos puntos cualesquiera pueden estar conectados entre sí por dos caminos diferentes que no se cruzan en ningún otro lugar. En el caso de un fractal irregular, por ejemplo aleatorio, reemplazo la red por una red.

Tras una comparación más cercana de las redes estándar y fractales, se hacen evidentes diferencias muy significativas. La primera es que las redes estándar son invariantes de traducción pero no de escala, mientras que ocurre lo contrario con las redes fractales. La segunda diferencia: cuando el tamaño de celda de una red estándar disminuye, la red finalmente converge en un plano. Además, algunas redes estándar se pueden interpolar colocando líneas adicionales a medio camino entre las líneas existentes y continuando este proceso hasta el infinito. En este caso, la red también converge en un plano. De manera similar, si es posible la interpolación de una red espacial estándar, entonces todo el espacio se convierte en su límite. Es decir, el límite de una red estándar no es una red. En el caso de los fractales, la situación es exactamente la contraria: el límite de una red fractal aproximada es la red fractal.

El término también se aplica a las espumas fractales: pueden considerarse redes fractales ramificadas.

DIMENSIONES FRACTALES DE SECCIONES

Regla básica. En muchos casos, al estudiar fractales, es importante conocer las dimensiones de las secciones lineales y planas. La observación principal aquí (la usamos en el Capítulo 10 para mostrar que la dimensión de la turbulencia) se refiere a la sección de una figura fractal plana por un intervalo "independiente del fractal". Resulta que si una sección no está vacía, entonces su dimensión es "casi con certeza" igual a .

El valor correspondiente para el caso espacial es .

Excepciones. Desafortunadamente, este resultado es muy difícil de ilustrar cuando se trata de fractales no aleatorios que tienen ejes de simetría. Los intervalos a los que prestamos atención en primer lugar son paralelos a estos ejes y, en consecuencia, son atípicos, y casi cualquier sección simple por algún otro intervalo pertenece al conjunto excepcional al que regla general no aplicable.

Tomemos, por ejemplo, la alfombra de Sierpinski, la esponja ternaria de Menger y la espuma ternaria. Un valor que casi con seguridad debería ser la dimensión de la sección. figura plana segmento, será, en consecuencia, igual a:

Denotemos por x la abscisa del intervalo paralelo al eje y de la alfombra de Sierpinski. Si un número escrito en el sistema numérico ternario termina en una secuencia infinita de ceros y dos, entonces las secciones mismas representan intervalos, lo que significa que son más grandes de lo que esperábamos. Si x termina en una secuencia infinita de unos, entonces las secciones son conjuntos de Cantor polvorientos con dimensión , que es demasiado pequeña. Y si termina con una secuencia periódica de períodos, que incluye unos y ceros o dos, entonces la dimensión de las secciones tiene la forma. El valor esperado se obtiene sólo en .< То же верно и в случае случайной последовательности цифр в троичной записи числа . Таким образом, мы получаем три различных размерности - наибольшую, наименьшую и среднюю.

Se obtienen resultados muy similares en el caso espacial.

En cuanto a la servilleta de Sierpinski, su tamaño más probable es , sin embargo, los valores de la dimensión de las secciones "naturales" varían de 1 a 0. Por ejemplo, si un intervalo corto que pasa por el centro de uno de los lados de la servilleta está lo suficientemente cerca de la perpendicular, entonces su intersección con la servilleta será un solo punto (dimensión de la sección).

La variedad de estas secciones especiales se explica en parte por la regularidad de las figuras originales. Por otro lado, la sección más económica (y no necesariamente una línea recta) forma inevitablemente la base de los conceptos de dimensión topológica y grado de ramificación, a los que nos referiremos ahora.

FRACTALES RAMIFICADOS COMO CURVAS Y SUPERFICIES

Como ya hemos señalado, el término "curva" se utiliza en este ensayo como equivalente de la frase "una figura conectada con dimensión topológica". En términos generales, un matemático encontrará tal formulación no del todo satisfactoria, pero las expresiones exactas de este concepto son muy delicadas. Afortunadamente, en el capítulo 6, para explicar por qué cualquier curva de Koch con un iniciador merece el título de curva, bastó una simple consideración: como el intervalo en sí, la curva de Koch es conexa, pero se desconecta cuando cualquier punto que le pertenece es conexa. eliminado excepto 0 y 1 Y el límite de un copo de nieve es similar en este sentido a un círculo: está conectado, pero se desconecta si se eliminan dos de sus puntos.

Para decirlo de manera más pedante (como deberíamos hacerlo ahora), la dimensión topológica se define de forma recursiva. Para un conjunto vacío. Para cualquier otro conjunto, el valor es uno mayor que la dimensión más pequeña de la “sección” que separa el conjunto. La dimensión de los conjuntos de polvo finitos y Cantor es , ya que para separarlos es necesario retirar el conjunto vacío. Los siguientes conjuntos conectados se desconectan cuando se elimina una “sección” con dimensión: círculo, intervalo, límite de un copo de nieve de Koch, servilleta y alfombra de Sierpinski, esponjas de Menger. (En los últimos tres casos es suficiente evitar secciones especiales que incluyan intervalos). En consecuencia, la dimensión de todos los conjuntos enumerados es .

Basado en las mismas consideraciones, la espuma fractal es una superficie con dimensión.

Consideremos otra versión de la prueba de que para una servilleta, todas las alfombras y todas las esponjas tienen dimensión topológica. Como hay un número entero, de la desigualdad se deduce que debe ser igual a 0 o 1. Pero los conjuntos considerados son conexos, lo que significa que la dimensión no puede ser menor que 1. La única solución es: .

GRADO DE RAMIFICACIÓN DE LA CURVA

La dimensión topológica y los conceptos correspondientes de polvo, curva y superficie nos dan sólo una clasificación de primer nivel.

De hecho, dos conjuntos finitos, que contienen puntos respectivamente, tienen la misma dimensión pero difieren topológicamente. Y el polvo de Cantor es diferente de cualquier polvo finito.

Veamos cómo podemos aplicar una distinción paralela a las curvas según el número de puntos contenidos en un conjunto (< его «мощности» ), что приведет нас к топологическому понятию степени ветвления, определенному в начале двадцатых годов Паулем Урысоном и Карлом Менгером. Это понятие почти не упоминается в математической литературе (за исключением трудов самих первопроходцев), зато приобретает все большее значение в физике - любое чудовище проще изучать в прирученном виде, нежели в диком. Оно показывает также, что, рассматривая сначала салфетку, а лишь затем ковер, мы будем руководствоваться не только эстетическими соображениями или стремлением к завершенности.

El concepto de grado de ramificación incluye una sección de un conjunto que contiene el menor número de puntos que deben eliminarse para separar el conjunto. Además, incluye las vecindades de todos los puntos pertenecientes al conjunto.

Círculo. Para una transición suave de la geometría estándar a la fractal, comencemos llamando conjunto a un círculo de radio 1. Un círculo con un centro en un punto se cruza en los puntos, excepto en los casos en que el radio es mayor que 2, en este caso. Un disco delimitado por una circunferencia se llama vecindad de un punto. Por tanto, cualquier punto se encuentra en una vecindad arbitrariamente pequeña, cuyo límite se cruza en puntos. Eso es todo: si el límite de alguna vecindad general de un punto no es necesariamente redondo, pero "no demasiado grande", entonces igual a al menos 2. Las palabras "no demasiado grande" en la oración anterior sin duda pueden causar confusión, sin embargo , lamentablemente no es posible evitarlos. El valor se llama grado de ramificación del círculo. Tenga en cuenta que para todos los puntos del círculo este valor es constante.

Servilleta. Supongamos ahora que el conjunto es una servilleta de Sierpinski construida con tres. Aquí ya no es igual para todos los puntos. Permítanme utilizar el razonamiento de Sierpinski para mostrar que en todos los puntos del conjunto excepto en los vértices iniciadores, el valor puede ser o.

El valor se refiere a los vértices de cualquier aproximación finita al uso de triángulos. El vértice para la aproximación de orden es el vértice común de dos triángulos con longitud de lado 2. Los círculos con centro en el punto y radio (en) intersecan el conjunto en 4 puntos y limitan vecindades arbitrariamente pequeñas del punto. Y si limita una vecindad "suficientemente pequeña" de un punto (dado que los vértices del iniciador se encuentran fuera de ), entonces se puede demostrar que interseca al menos 4 puntos.

El valor caracteriza cualquier punto del conjunto que sea el límite de una secuencia infinita de triángulos, cada uno de los cuales está contenido dentro del triángulo que lo precede y tiene vértices diferentes de los vértices de su predecesor. Los círculos descritos alrededor de estos triángulos intersecan el conjunto en 3 puntos, limitando al mismo tiempo vecindades arbitrariamente pequeñas del punto. En este caso, si limita una vecindad suficientemente pequeña del punto (los vértices del iniciador también deben estar fuera), entonces se puede demostrar que se cruza en al menos 3 puntos.

Alfombras. Cuando un conjunto es una alfombra de Sierpinski, obtenemos un resultado radicalmente diferente. La intersección del límite de cualquier vecindad suficientemente pequeña representa un conjunto infinito e incontable de puntos, independientemente de los parámetros , o .

Comentario. En esta dicotomía finito/infinito, las servilletas difieren poco de las curvas estándar, mientras que las alfombras son indistinguibles de los aviones.

Uniformidad. Unicidad. Uryson, que denota tanto por los valores más pequeños como más grandes alcanzables en un punto perteneciente al conjunto, demuestra que . La ramificación se llama homogénea si se cumple la igualdad, esto sucede cuando , como en las curvas cerradas simples, o cuando .

Para otras celosías, donde , propongo el término cuasihomogéneo. El ejemplo más simple y conocido de este tipo de redes es la servilleta autosimilar de Sierpinski. Otros ejemplos no aleatorios se incluyen en la colección recopilada por Uryson (ver) y no son autosimilares. Por lo tanto, las condiciones de cuasi-homogeneidad y autosimilitud se satisfacen simultáneamente con un solo conjunto conocido: la servilleta de Sierpinski. ¿Es posible confirmar estrictamente esta aparentemente unicidad?

Rejillas estándar. Aquí, el grado de ramificación varía desde un valor mínimo de 2 para todos los puntos de la red excepto los nodos, hasta un valor máximo final variable alcanzado en los nodos de la red: 4 (red cuadrada), 6 (red triangular o cúbica) o 3 (red hexagonal). ). Sin embargo, a medida que disminuye el tamaño de celda de una red estándar de cualquier tipo, se transforma de una región curva a una región plana y el grado de ramificación tiende a infinito.

Esto último se vuelve más obvio si reemplazamos lo infinitesimal por lo infinitamente grande en una red con un tamaño de celda fijo. Para aislar un área cada vez mayor de la red, será necesario cruzar un número infinitamente grande de puntos.

Definición formal. < См. и , с. 442.

APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA RAMIFICACIÓN

Hagámonos la pregunta de siempre. Por muy fascinados que estén los matemáticos con las figuras de Sierpinski, Menger y similares, ¿no es obvio que para una persona que estudia la naturaleza, el grado de ramificación no puede tener ningún interés? La respuesta es igual de familiar: ¡para ti y para mí! - me gusta la pregunta. El grado de ramificación ya se vuelve significativo en " mundo real» aproximaciones finitas obtenidas al detener la interpolación que conduce al fractal en algún umbral interno finito positivo.

De hecho, si se da una aproximación de servilleta de Sierpinski compuesta por triángulos rellenos con longitud de lado , entonces se puede separar la región escala lineal que excede, simplemente eliminando tres o cuatro puntos, cada uno de los cuales pertenece al límite entre dos vacíos adyacentes. Este número (3 o 4) no cambia a medida que mejora la aproximación. Por tanto, desde el punto de vista de la ramificación, todas las aproximaciones de la servilleta pueden considerarse curvas.

Todas las alfombras, por el contrario, tienen una propiedad común: ningún par de huecos tiene un límite común. Para separar la aproximación finita de dicha figura, al considerar que ignoramos los vacíos menores que , es necesario eliminar intervalos enteros. Y el número de estos intervalos aumenta a medida que . Wyburn demostró que todas las curvas fractales que tienen esta propiedad son topológicamente idénticas (< гомеоморфны ) и характеризуются тем, что никакая их часть не может быть отделена удалением одной точки.

En vista de las observaciones anteriores, no sorprende que la finitud de la ramificación encuentre áreas de aplicación tan obvias y bien definidas en aquellos casos en los que la geometría fractal debe determinar en detalle en qué proporción una curva fractal plana combina sus dos estándares. límites: recta y plana. En resumen, podemos decir que conocer la dimensión fractal de una curva no es suficiente. Por ejemplo, al estudiar fenómenos críticos para los modelos de Ising en una red fractal, los autores del trabajo encontraron que los resultados más importantes (< будь то при нулевой или при положительной температуре ) непосредственно зависят от конечности величины .

Ahora ha llegado el momento de dar una explicación para la que antes no estábamos preparados. El siguiente descubrimiento de Kirkpatrick aclara la razón por la que la columna vertebral del cúmulo en la percolación crítica de Bernoulli se modela mejor con una servilleta de Sierpinski que con una alfombra. Incluso en redes extremadamente grandes, la línea crítica se puede desconectar eliminando un cierto número pequeño de conexiones, esencialmente sin cambios (valores del orden de 2). Incluso teniendo en cuenta todas las posibles desviaciones, este descubrimiento me parece una prueba muy convincente de que .

FORMA ALTERNATIVA DE RAMIFICACIÓN

Existen dos variantes del copo de nieve de Koch que consiguen ramificarse sin formar bucles. La primera es una curva plana cuyo iniciador es un cuadrado y el generador tiene este aspecto:

Como puede ver en la figura, la curva resultante no se parece en nada a un copo de nieve:

Otro ejemplo es una superficie con volumen cero, área infinita y dimensión igual a. El iniciador es un tetraedro regular. Al cuarto medio de cada cara (es decir, a un triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los bordes que limitan la cara) se le adjunta otro tetraedro, cuyas dimensiones lineales se dividen por la mitad. El procedimiento se repite con cada cara de la cara resultante regular (asimétrica y no convexa) de 24 lados, y luego una y otra vez hasta el infinito. A partir de la segunda etapa de construcción, los tetraedros agregados se tocan entre sí con sus caras sin autointersecciones. Finalmente llenan toda la superficie del iniciador. Llamemos a cada cuarto de esta estructura, que crece en una de las caras del iniciador, pirámide de Koch.

SECRETOS DE LA PIRÁMIDE DE KOCH

La pirámide de Koch es realmente maravillosa: vista desde arriba, su forma es muy simple, pero contiene muchos pasajes y cámaras secretos que sorprenderán incluso a la imaginación más salvaje.

Vista desde arriba, la pirámide de Koch es un tetraedro cuya base es un triángulo equilátero. En cuanto a las otras tres caras, son triángulos isósceles rectos conectados por vértices en ángulo recto. Si aplicamos tres pirámides de Koch a tres caras tetraedro regular, entonces obtienes un cubo simple.

Ahora levantemos nuestra pirámide y sacudámonos la arena del desierto. Mirando su base desde cierta distancia, vemos que está dividida en cuatro triángulos equiláteros iguales. Sin embargo, en lugar del triángulo del medio hay un agujero que conduce a una "cámara de primer orden", que tiene la forma de un tetraedro regular, cuyo cuarto vértice coincide con la cima de la pirámide. Acercándonos y teniendo la oportunidad de ver detalles más pequeños, descubrimos que tanto los triángulos regulares ubicados en las esquinas de la base como bordes superiores Las cámaras de primer orden tampoco son superficies lisas. Su suavidad se ve alterada por cámaras tetraédricas de segundo orden. De manera similar, al examinar las cámaras de segundo orden, vemos que en el medio de cada pared triangular hay un agujero triangular que conduce a la cámara de tercer orden. Cuanto más nos sumergimos en la pirámide, más pequeñas se abren las cámaras a nuestros ojos y no hay un final a la vista.

La suma de los volúmenes de todas las cámaras es exactamente igual al volumen de toda la pirámide de Koch. Por otro lado, si suponemos que las bases de las cámaras forman parte de estas cámaras, y las otras tres caras no, entonces resulta que las cámaras no se cruzan en ningún punto. Si los constructores de nuestra pirámide hubieran tenido que excavar cámaras en el espesor de la roca, habrían tenido que quitar toda la roca, dejando sólo una delgada capa. La curva con la que se apoya la pirámide de Koch sobre el plano y las "paredes" de las cámaras son las servilletas de Sierpinski.

TRIMESTRE ESFÉRICOS Y CELOSÍAS

Los autores del trabajo, sin saberlo, hicieron una contribución significativa a la geometría fractal al intentar llenar con bolas, cuyo radio tiene la forma , donde ; el número de bolas de radio por unidad de volumen tiene la forma) y así sucesivamente. Este diseño implica los siguientes límites superiores del valor.

ANUNCIO: LACUNARIDAD

Incluso después de añadir el grado de ramificación a las dimensiones, el fractal sigue estando mal definido en muchos aspectos. De particular importancia es otra propiedad adicional, a la que llamé lacunaridad. Los vacíos en un fractal muy lagunar tienen muy gran tamaño, y viceversa. Las definiciones básicas podrían darse aquí, pero me parece más apropiado posponer esto hasta el Capítulo 34.

Arroz. 205. FLECHA SIERPINSKI (DIMENSIÓN LÍMITE D ~1.5849)

En Sierpinski, construye una curva cuyo iniciador es el intervalo, y el generador y el segundo terágono tienen este aspecto:

Las siguientes etapas de construcción son las siguientes:

¿Cómo se verá esta curva en uno de etapas posteriores construcción, puede hacerse una idea mirando el contorno de la “costa” en la parte superior de la Fig. 205 (arriba del triángulo negro más grande).

Auto-tocarse. Las aproximaciones finitas de una curva no tienen puntos autotangenciales (como en el capítulo 6), pero la curva límite contiene un número infinito de dichos puntos.

Flechas llenando el avión. Flecha en la Fig. 205 (si lo colocas de lado, se parecerá más a un pez tropical) se define como la sección de la curva de Sierpinski entre dos retornos sucesivos al punto de auto-toque, en este caso, la mitad del intervalo. Estas flechas pueden llenar un avión; mientras que las flechas adyacentes están conectadas entre sí en una especie de extrapolación loca del cierre de velcro. (O, para volver a la metáfora anterior, las aletas de un pez encajan exactamente entre las aletas de otros dos peces). Además, al fusionar cuatro flechas adyacentes correctamente elegidas, obtenemos exactamente la misma flecha, el doble de tamaño.

Tres servilletas Sierpinski. Llamo curva de la servilleta de Sierpinski por una forma alternativa de construirla, que se basa en recortar el "tres", un método ampliamente utilizado en los capítulos 8 y 31-35. Obtenemos la servilleta de Sierpinski teniendo como iniciador lo siguiente: un generador, y dos etapas constructivas posteriores en conjuntos cerrados:

Este generador trema contiene el generador lineal anterior como su propio subconjunto.

Cuenca. La primera vez que me encontré con la flecha de Sierpinski (aunque no sabía nada de Sierpinski en ese momento) fue mientras estudiaba la forma de una cuenca.

Arroz. 207. WEB FRACTAL ASIMÉTRICA (DIMENSIÓN)

Esta red se obtiene construyendo recursivamente un tetraedro cerrado (iniciador) y un conjunto de cuatro tetraedros más pequeños (que sirven como generador).

Su dimensión. Intentemos proyectarlo a lo largo de la línea que conecta los puntos medios de cualquier par de aristas opuestas. La proyección del tetraedro iniciador será un cuadrado, al que llamaremos inicial. Cada tetraedro de segunda generación se proyecta sobre un subcuadrado, cuya longitud lateral es 1/4 de la longitud lateral del cuadrado original, etc. Por lo tanto, toda la red se proyecta sobre el cuadrado original. Los límites de los subcuadrados se superponen.

Arroz. 208. ALFOMBRA SIERPINSKI (DIMENSIÓN) Y ESPONJA MENGER (DIMENSIÓN)

Alfombra Sierpinski. Sierpinski construye una curva cuyo iniciador es un cuadrado sólido, y el generador y los dos terágonos siguientes se presentan a continuación:

El área de dicha alfombra desaparece y el perímetro total de sus huecos tiende al infinito.

Arroz. 208. Esponja de Menger. El principio de construcción es obvio. Continuando la construcción hasta el infinito, obtenemos un resto determinado llamado esponja de Menger. Lamento que en mis ensayos anteriores haya atribuido erróneamente su autoría a Sierpinski. (La figura es una reproducción del libro Geométrico Studies de Leonard M. Blumenthal y Carl Menger con el amable permiso de sus editores, W. H. Freeman & Co. © 1970.) Las intersecciones de la esponja con las medianas o diagonales del cubo original son conjuntos ternarios de Cantor.

Fusionando islas. Tanto la alfombra como la servilleta de Sierpinski se pueden obtener de otra manera: otra generalización de la recursividad de Koch, que permite la autosuperposición, que, sin embargo, se tiene en cuenta sólo una vez.

Para obtener una servilleta, el iniciador debe tomar un triángulo regular y el generador debe tomar la figura que se muestra a la izquierda en la siguiente figura. Para obtener una alfombra tomaremos un cuadrado como iniciador, y la figura que se muestra a la derecha nos servirá como generador.

Aquí volvemos a encontrarnos con dos fenómenos que nos son familiares desde el Capítulo 13: la línea costera de cada isla es rectificable, por lo tanto, su dimensión es 1, mientras que la dimensión de una servilleta o alfombra expresa el grado de fragmentación de la tierra (es decir, el grado de su división en islas) más que el grado de irregularidad de las costas de las islas.

Por lo demás, el resultado es completamente nuevo: en el capítulo 13 el mar es un conjunto conexo, lo que parece una interpretación topológica adecuada del espacio marino abierto. También es abierto en el sentido de topología de conjuntos, es decir, su límite no le pertenece. La novedad que introduce esta construcción radica en el hecho de que las islas Koch ahora pueden “fusionarse” asintóticamente en una especie de superisla continua, pero de ella no emerge un continente, y las costas forman en combinación una red.

< С точки зрения топологии, всякий ковер Серпинского является плоской универсальной кривой, а губка Менгера представляет собой пространственную универсальную кривую. То есть (см. , с. 433 и 501) эти фигуры оказываются самыми сложными кривыми соответственно в плоскости и в пространстве любой более высокой размерности.

Arroz. 210. DIVISIÓN EN LAS CÁMARAS DE NIEVE (DIMENSIÓN D ~1.8687)

Hace mucho tiempo, en un país lejano, en las hermosas Cámaras Nevadas, el Gran Gobernante se sentó con su séquito. Sin embargo, se produjo una división entre sus súbditos, seguida de una guerra en la que ninguno de los bandos ganó. Y luego los Sabios Ancianos trazaron un límite que dividió las Cámaras en dos, de modo que tanto los representantes del Norte como los representantes del Sur pudieran entrar allí sin temor a pisar territorio hostil.

Misterios del laberinto.¿Quién controla la Gran Cámara y cómo se puede entrar desde el exterior? ¿Por qué algunas cámaras pequeñas no están orientadas a ningún lado del mundo? Se puede encontrar una pista en el árbol del mono de la Fig. 55.

Primero, hablemos de los problemas paradójicos asociados con las alfombras.

La primera tarea se llama “un poco sobre morder”.

Imagine que ha entrenado ratas: han aprendido a morder exactamente la mitad del queso disponible. Si los sueltas en el queso no como un montón, sino uno a la vez, cada rata siguiente morderá la mitad de lo que queda, y la parte restante disminuirá y disminuirá con cada rata que muerda el queso. Pero si tienes numero infinito ratas, entonces al final (suena gracioso en relación al infinito, pero sinceramente) no quedará nada del queso. De hecho, el primero come la mitad del queso, el segundo, un cuarto, es decir. la mitad de la mitad, un tercio - un octavo, es decir la mitad de la mitad de la mitad. Todo lo consumido se considera lo siguiente: .

lo que significa que al final del infinito las ratas se comerán todo el queso que les diste.

Pero si entrenas a los roedores para que muerdan un tercio de todo el dinero en efectivo, todo será un poco más complicado. El primero se comerá un tercio. Pero el segundo no es el noveno. ¿Por qué?

La explicación es bastante sencilla. Después de que la primera rata comió su parte, quedó queso, lo que significa que la segunda rata comerá, es decir, . El tercero, como se puede calcular, comerá, es decir. , el cuarto - de, es decir. ¿Entiendes el principio? Al final no quedará nada del queso.

Ahora imagina que dividiste el queso por la mitad, y una de las partes (mitades, pero las ratas no lo saben) fue declarada prohibida - por ejemplo, rociada con veneno - y a las ratas se les permitió morder la mitad del queso. segundo. Como habrás adivinado, de la mitad permitida no quedará nada y quedará toda la mitad prohibida.

Particularmente interesante es este tipo de adiestramiento de ratas, en el que no se rocía veneno en ninguna mitad del queso, pero aun así se obtiene algo (esto es para que no se envenene). Para ello, por ejemplo, puedes enseñar a las ratas a morder una cantidad inicial de queso. Al final del interminable almuerzo, las ratas te dejarán 1/3 del queso; esto se calcula de la siguiente manera:

En nuestro caso, debes restar dos de cinco, obtienes tres, y si divides uno entre tres, obtienes solo un tercio.

Si por alguna razón se te pasó este número, volverás a él en un par de minutos. O años. O después de leer el post. O por lectura secundaria. O en la próxima vida. Después de todo, una persona alcanza la perfección sólo cuando en una de sus vidas pasadas fue matemático.

Pero incluso si vuelves a los números sólo en tu próxima vida, inevitablemente recordarás esto: .

La segunda tarea se llama "Un poco sobre dividir".

Imagina que decides colgar un plato en la pared. No hay pegamento ni cinta adhesiva en la casa, sólo clavos. Intentas clavar un plato y, por supuesto, se parte en varios pedazos. Además, en el lugar donde golpeaste el clavo, parte de la placa se desmoronó por completo.

Pero eres persistente. Y tratas de clavar cada trozo de plato a la pared. Quizás lleve uñas más pequeñas. Por supuesto, cada uno de los fragmentos se desmorona en sus propios fragmentos más pequeños, y en medio de los fragmentos anteriores algo se desmorona irrevocablemente. Que así sea.

Si sois infinitamente persistentes e intentáis clavar los fragmentos resultantes de infinitos intentos, no quedará un trozo del plato que no haya sido atravesado por un clavo y no tenga un agujero desmenuzado. Pero, como ya podrás adivinar, no es necesario en absoluto que no quede nada del plato. Todo depende de cómo entrenaste tus uñas. Si no quitan demasiado de la placa, entonces el área total de la placa astillada puede ser menor que el área de los fragmentos restantes. O tal vez más, lo principal es que ella lo hará. menos área toda la placa anterior.

El científico polaco Waclaw Sierpinski (1882-1969) no entrenó ratas ni rompió platos. Era matemático. Y su acción matemático-surrealista más famosa fue tallar en servilletas y alfombras.

Figura 1. “Servilleta” Figura 2. Alfombra

los dos mas figuras famosas, inventado por Sierpinski: una "servilleta" (un triángulo del que se cortan sucesivamente triángulos cada vez más pequeños, cada uno con un área cuatro veces menor que el anterior) y una alfombra (un cuadrado con un corte de cuadrados, cada uno cuadrado con un área nueve veces menor que el anterior).

El área de la figura resultante después de un número infinito de cortes, tanto la servilleta como la alfombra, es cero. Y estas no son exactamente cifras. Aquí debemos detenernos y formular la diferencia entre una figura y una recta. Por un lado, la figura parece tener un área, pero la línea no. Euclides también escribió que una línea es largo sin ancho y ¿qué es el área sin ancho? ¡Sin libertad! Pero los matemáticos no quedaron satisfechos con esto y decidieron aclarar qué significa "sin ancho". Y estuvimos de acuerdo: si seleccionamos un punto en algo y describimos un círculo sin borde alrededor de este punto (los matemáticos lo llaman la palabra aldeana "barrio"), y luego comenzamos a reducirlo, entonces, tarde o temprano, todo el vecindario cae dentro. Este algo, entonces, entonces era una figura. Y si siempre hay puntos "extraños" en los alrededores, entonces era una línea de algo.

Así que aquí está. Dado que las alfombras y servilletas de Sierpinski están astilladas, como nuestro plato, cada vez más pequeñas, y en el centro de cada fragmento hay una zona "desmenuzada", con infinitas astillas y rajaduras, "vacíos" caerán en las proximidades de cualquier punto de conservación conservado. La figura de Sierpinski. Entonces esta es una línea. Bueno, sí, todo es como debería ser: esta es una línea hábilmente enredada y el área de la línea es cero.

Pero si corta cuadrados de un área un poco más pequeña de la alfombra, puede resultar que la parte restante tenga un área mayor que cero. Digamos que si primero tiras un veinticinco (un cuadrado con un lado cinco veces más pequeño que el original), luego ocho cuadrados, veinticinco veces más pequeños que el cortado en el primer paso, luego sesenta y cuatro. los más pequeños cinco veces más pequeños... en una palabra, recuerde lo que le sugerí que recuerde y asegúrese de que solo se corte 1/17 de dicha alfombra. Y quedará el 16/17. Pero en las proximidades de cualquier punto de lo que quede, todavía habrá agujeros. Esta es la línea con el área.

¡Pero puedes recortar cuadrados aún más pequeños! Y no tienen por qué ser cuadrados; habría una regla claramente definida según la cual cortamos agujeros y dividimos lo que queda en pedazos nuevos. Debe aparecer un agujero en cada pieza; ese es el secreto para hacer líneas a partir de formas. Y el tamaño de los agujeros determina si las líneas tendrán un área o permanecerán “largo sin ancho”.

Las figuras de Sierpinski son quizás los fractales más simples y bellos que conozco.

La alfombra de Sierpinski (cuadrado de Sierpinski) es un fractal, uno de los análogos bidimensionales del conjunto de Cantor, propuesto por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1915.

Figura 3. Alfombra Figura 4. Alfombra

La construcción de una alfombra de Sierpinski se obtiene a partir de un cuadrado recortando sucesivamente los cuadrados del medio. Es decir, dividimos cuadrado dado a las nueve cuadrados iguales y recorta el cuadrado del medio. Obtenemos un cuadrado con un agujero. Para los ocho cuadrados restantes, repita este procedimiento. Divide cada uno de ellos en nueve cuadrados iguales y recorta los cuadrados del medio. Repitiendo este procedimiento conseguiremos una figura cada vez más agujereada. Lo que quedará después de todos los recortes será la deseada alfombra de Sierpinski.

Figura 5. La forma correcta de cortar cuadrados en una alfombra de Sierpinski

Como los cuadrados cortados se espacian cada vez más, no quedará ni un solo cuadrado en la alfombra de Sierpinski, ni siquiera el más pequeño, sin agujero.

Calculemos el área de la alfombra de Sierpinski, considerando el cuadrado original como unitario. Para hacer esto, basta con calcular el área de los cuadrados cortados. En el primer paso, se corta un cuadrado de área. En el segundo paso, se cortan ocho cuadrados, cada uno de los cuales tiene un área de .

En cada paso posterior, el número de cuadrados cortados aumenta ocho veces y el área de cada uno de ellos disminuye nueve veces. Así, el área total de los cuadrados cortados es la suma de progresiones geométricas con miembro inicial y el denominador. Usando la fórmula para la suma de una progresión geométrica, encontramos que este número es igual a uno, es decir, el área de la alfombra de Sierpinski es igual a cero.

Ahora toma un cuadrado con un área igual a dos y recorta un cuadrado con el mismo centro con un área de 2. Imaginemos la parte restante en forma de ocho rectángulos y en cada uno de ellos recortamos un cuadrado con el mismo centro del área. . Así, el área total de los cuadrados pequeños será igual a . Repitiendo este procedimiento obtendremos una figura cada vez más agujereada, que también recibe el nombre de alfombra de Sierpinski.

Además, como antes, en esta alfombra de Sierpinski no quedará un solo cuadrado, ni siquiera el más pequeño, sin agujero. Sin embargo, a diferencia de una alfombra de Sierpinski normal, su área no es cero. De hecho, el área de los cuadrados recortados es la suma de una progresión geométrica con el término inicial y el denominador, es decir, igual a 1. Por tanto, el área de la parte restante es igual a la unidad.

Podemos considerar un triángulo y una alfombra de Sierpinski en el plano complejo y aplicarle varias transformaciones del plano complejo. Por ejemplo, construyamos el triángulo de Sierpinski sobre un segmento unitario del eje real.

Y ahora aplicamos la transformación de inversión relativa al centro del triángulo al plano complejo: . Luego obtenemos la siguiente imagen (Figura 6).

Figura 6. Inversión sobre el centro.

A continuación se muestran imágenes de.

Figura 7. Patrón para

Lo mismo se puede hacer con la alfombra de Sierpinski. Que se construya sobre un cuadrado unitario.

La transformación de inversión relativa al centro de la alfombra tiene la forma .

Figura 8. Transformación relativa al centro de la alfombra.

También puedes aplicar inversión con respecto al ángulo o cuadrarlo.

Figura 10. Inversión con respecto al ángulo

Referencias:

1. Weinberg, MM. Análisis funcional [recurso electrónico]/ M.M. Weinberg Curso especial para institutos pedagógicos. Educación, 1979. 128 págs. http://rgho.st/49518130 (fecha de acceso 12/05/2018)
2. Kolmogorov, A.N. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional [Texto]/ A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, M.: Ciencia. 1981
3. Makárov, I.P. Capítulos adicionales análisis matemático[texto]/ I.P. Makárov. Libro de texto para estudiantes de los departamentos de física y matemáticas. Ilustración, M.: 1968
4. Morózov, A.D. Introducción a la teoría de los fractales [Texto]/ A.D. Morozov, M.: "Instituto de Investigaciones Informáticas", 2002.
5. Sadovnichy, V. A. Teoría de los operadores [Texto] / V. A. Sadovnichy 5ª ed. Avutarda, 2004. 384 págs. ISBN 5-7107-8699-3.

Figura tipo auto, inventado El matemático polaco W. Sierpinski, llamado alfombra sierpinski.

Construcción de una alfombra de Sierpinski

Se obtiene a partir de un cuadrado recortando sucesivamente los cuadrados del medio. Es decir, dividimos este cuadrado en nueve cuadrados iguales y recortamos el cuadrado del medio. Obtenemos un cuadrado con un agujero.

Para los ocho cuadrados restantes, repita este procedimiento. Divide cada uno de ellos en nueve cuadrados iguales y recorta los cuadrados del medio. Repitiendo este procedimiento conseguiremos una figura cada vez más agujereada. Lo que quede después de todos los esquejes será lo que buscas alfombra sierpinski.

Dado que los cuadrados cortados se colocan cada vez con más frecuencia, en la alfombra de Sierpiski no quedará un solo cuadrado, ni siquiera el más pequeño, sin un agujero.

Zona de la alfombra de Sierpinski

En el segundo paso, se recortan ocho cuadrados, cada uno con un área de 1/81. En cada paso posterior, el número de cuadrados cortados aumenta ocho veces y el área de cada uno de ellos disminuye nueve veces.

Así, el área total de los cuadrados cortados es la suma de una progresión geométrica con término inicial de 1/9 y denominador de 8/9. Usando la fórmula para la suma de una progresión geométrica, encontramos que este número es igual a uno, es decir El área de la alfombra de Sierpinski es cero.

Ahora toma un cuadrado con un área de 2 y recorta un cuadrado con el mismo centro con un área de 1/2. Imaginemos la parte restante en forma de ocho rectángulos y en cada uno de ellos recortamos un cuadrado con el mismo centro de área 1/32.

Así, el área total de los cuadrados pequeños será igual a 1/4. Repitiendo este procedimiento conseguiremos una figura cada vez más agujereada. El área de esta alfombra de Sierpinski será distinta de cero .

El área de los cuadrados cortados es la suma de una progresión geométrica con término inicial de 1/2 y denominador de 1/2, es decir es igual a 1.

Empezando no con un cuadrado, sino con triangulo regular, y recortando los triángulos centrales, obtenemos una figura autosimilar, similar a la alfombra de Sierpinski y llamada servilleta sierpinski.