Módulo de números este número en sí se llama si no es negativo, o el mismo número con el signo opuesto si es negativo.

Por ejemplo, el módulo del número 6 es 6 y el módulo del número -6 también es 6.

Es decir, el módulo de un número se entiende como un valor absoluto, valor absoluto este número sin tener en cuenta su signo.

Se designa de la siguiente manera: |6|, | X|, |A| etc.

(Más detalles en el apartado “Módulo numérico”).

Ecuaciones con módulo.

Ejemplo 1 . Resuelve la ecuación|10 X - 5| = 15.

Solución.

Según la regla, la ecuación equivale a la combinación de dos ecuaciones:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Nosotros decidimos:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Respuesta: X 1 = 2, X 2 = -1.

Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación|2 X + 1| = X + 2.

Solución.

Dado que el módulo es un número no negativo, entonces X+ 2 ≥ 0. En consecuencia:

X ≥ -2.

Hagamos dos ecuaciones:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Nosotros decidimos:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ambos números son mayores que -2. Entonces ambas son raíces de la ecuación.

Respuesta: X 1 = -1, X 2 = 1.

Ejemplo 3 . Resuelve la ecuación

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Solución.

La ecuación tiene sentido si el denominador no es igual a cero- significa si X≠ 1. Tengamos en cuenta esta condición. Nuestra primera acción es simple: no sólo nos deshacemos de la fracción, sino que la transformamos para obtener el módulo en su forma pura:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Ahora sólo tenemos una expresión bajo el módulo en el lado izquierdo de la ecuación. Adelante.
El módulo de un número es un número no negativo, es decir, debe ser Por encima de cero o igual a cero. En consecuencia, resolvemos la desigualdad:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Por tanto, tenemos una segunda condición: la raíz de la ecuación debe ser al menos 3/4.

De acuerdo con la regla, formamos un conjunto de dos ecuaciones y las resolvemos:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Recibimos dos respuestas. Comprobemos si son raíces de la ecuación original.

Teníamos dos condiciones: la raíz de la ecuación no puede ser igual a 1 y debe ser al menos 3/4. Eso es X ≠ 1, X≥ 3/4. Ambas condiciones corresponden solo a una de las dos respuestas recibidas: el número 2. Esto significa que solo esta es la raíz de la ecuación original.

Respuesta: X = 2.

Desigualdades con módulo.

Ejemplo 1 . Resolver desigualdad| X - 3| < 4

Solución.

La regla del módulo establece:

|A| = A, Si A ≥ 0.

|A| = -A, Si A < 0.

El módulo puede tener números negativos y no negativos. Entonces tenemos que considerar ambos casos: X- 3 ≥ 0 y X - 3 < 0.

1) cuando X- 3 ≥ 0 nuestra desigualdad original permanece como está, sólo que sin el signo del módulo:
X - 3 < 4.

2) cuando X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Abriendo los paréntesis obtenemos:

-X + 3 < 4.

Así, de estas dos condiciones llegamos a la unificación de dos sistemas de desigualdades:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Resolvámoslos:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Entonces, nuestra respuesta es una unión de dos conjuntos:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Determine el menor y valor más alto. Estos son -1 y 7. Además X mayor que -1 pero menor que 7.
Además, X≥ 3. Esto significa que la solución a la desigualdad es el conjunto completo de números del -1 al 7, excluyendo estos números extremos.

Respuesta: -1 < X < 7.

O: X ∈ (-1; 7).

Complementos.

1) Existe una forma más sencilla y breve de resolver nuestra desigualdad: gráficamente. Para hacer esto necesitas dibujar eje horizontal(Figura 1).

Expresión | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X al punto 3 es inferior a cuatro unidades. Marcamos el número 3 en el eje y contamos 4 divisiones a la izquierda y a la derecha del mismo. A la izquierda llegaremos al punto -1, a la derecha - al punto 7. Así, los puntos X simplemente los vimos sin calcularlos.

Además, según la condición de desigualdad, -1 y 7 no están incluidos en el conjunto de soluciones. Así, obtenemos la respuesta:

1 < X < 7.

2) Pero hay otra solución que es incluso más sencilla que el método gráfico. Para ello, nuestra desigualdad debe presentarse de la siguiente forma:

4 < X - 3 < 4.

Después de todo, así es según la regla del módulo. El número no negativo 4 y el número negativo similar -4 son los límites para resolver la desigualdad.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Ejemplo 2 . Resolver desigualdad| X - 2| ≥ 5

Solución.

Este ejemplo es significativamente diferente del anterior. El lado izquierdo es mayor que 5 o igual a 5. Desde un punto de vista geométrico, la solución a la desigualdad son todos los números que están a una distancia de 5 unidades o más del punto 2 (Fig. 2). El gráfico muestra que estos son todos números menores o iguales a -3 y mayores o iguales a 7. Esto significa que ya hemos recibido la respuesta.

Respuesta: -3 ≥ X ≥ 7.

De paso, resolvamos la misma desigualdad reordenando miembro gratuito izquierda y derecha con signo opuesto:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

La respuesta es la misma: -3 ≥ X ≥ 7.

O: X ∈ [-3; 7]

El ejemplo está solucionado.

Ejemplo 3 . Resolver desigualdad 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Solución.

Número X puede ser un número positivo, un número negativo o cero. Por tanto, debemos tener en cuenta las tres circunstancias. Como sabes, se tienen en cuenta en dos desigualdades: X≥ 0 y X < 0. При X≥ 0 simplemente reescribimos nuestra desigualdad original tal como está, solo que sin el signo del módulo:

6x2- X - 2 ≤ 0.

Ahora sobre el segundo caso: si X < 0. Модулем numero negativo es el mismo número con el signo opuesto. Es decir, escribimos el número debajo del módulo con el signo opuesto y nuevamente nos liberamos del signo del módulo:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Ampliando los corchetes:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Así, obtuvimos dos sistemas de ecuaciones:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Necesitamos resolver desigualdades en sistemas, y esto significa encontrar las raíces de dos ecuaciones cuadráticas. Para hacer esto, igualamos los lados izquierdos de las desigualdades a cero.

Empecemos por el primero:

6X 2 - X - 2 = 0.

Cómo resolver una ecuación cuadrática: consulte la sección "Ecuación cuadrática". Inmediatamente nombraremos la respuesta:

X 1 = -1/2, x2 = 2/3.

Del primer sistema de desigualdades obtenemos que la solución a la desigualdad original es el conjunto completo de números desde -1/2 hasta 2/3. Escribimos la unión de soluciones en X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ahora resolvamos la segunda ecuación cuadrática:

6X 2 + X - 2 = 0.

Sus raices:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Conclusión: cuando X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Combinemos las dos respuestas y obtengamos la respuesta final: la solución es el conjunto completo de números desde -2/3 hasta 2/3, incluidos estos números extremos.

Respuesta: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

O: X ∈ [-2/3; 2/3].

Esta calculadora matemática en línea te ayudará resolver una ecuación o desigualdad con módulos. Programa para resolver ecuaciones y desigualdades con módulos no sólo da la respuesta al problema, sino que conduce solución detallada con explicaciones

, es decir. muestra el proceso de obtención del resultado. Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas secundarias En preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra.¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible?

tarea

De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.

Ingrese una ecuación o desigualdad con módulos
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Resolver una ecuación o desigualdad

JavaScript está deshabilitado en su navegador.
Para que aparezca la solución, debe habilitar JavaScript.
Aquí hay instrucciones sobre cómo habilitar JavaScript en su navegador. Porque Hay mucha gente dispuesta a solucionar el problema, tu solicitud ha quedado en cola.

En unos segundos la solución aparecerá a continuación. Espere por favor segundo...
Si usted Noté un error en la solución., entonces puedes escribir sobre esto en el formulario de comentarios. No lo olvide.

indicar que tarea

tu decides que

entrar en los campos

Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores: Un poco de teoría. Ecuaciones y desigualdades con módulos.

En un curso de álgebra escolar básico, es posible que encuentres las ecuaciones y desigualdades con módulos más simples. Para solucionarlos puedes utilizar

Pero la principal forma de resolver ecuaciones y desigualdades con módulos está asociada a la llamada “revelación del módulo por definición”:
si \(a \geq 0 \), entonces \(|a|=a \);
si \(a Como regla general, una ecuación (desigualdad) con módulos se reduce a un conjunto de ecuaciones (desigualdades) que no contienen el signo del módulo.

Además de la definición anterior, se utilizan las siguientes declaraciones:
1) Si \(c > 0\), entonces la ecuación \(|f(x)|=c \) es equivalente al conjunto de ecuaciones: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| > c \) es equivalente a un conjunto de desigualdades: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si ambos lados de la desigualdad \(f(x) EJEMPLO 1. Resuelve la ecuación \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), entonces \(|x-1| = x-1\) y ecuación dada toma la forma
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Por tanto, la ecuación dada debe considerarse por separado en cada uno de los dos casos indicados.
1) Sea \(x-1 \geq 0 \), es decir \(x\geq 1\). De la ecuación \(x^2 +2x -8 = 0\) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\).
La condición \(x \geq 1 \) se cumple únicamente con el valor \(x_1=2\).

2) Sea \(x-1 Respuesta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). primera manera
(expansión del módulo por definición).

Razonando como en el ejemplo 1, llegamos a la conclusión de que la ecuación dada debe considerarse por separado si se cumplen dos condiciones: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) o \(x^2-6x+7
1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), entonces \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) y la ecuación dada toma la forma \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, obtenemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). Averigüemos si el valor \(x_1=6\) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0\). Para hacer esto, sustituyamos valor específico V desigualdad cuadrática . Obtenemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), es decir \(7 \geq 0 \) es una desigualdad verdadera..
Esto significa que \(x_1=6\) es la raíz de

2) Si \(x^2-6x+7 Valor \(x_3=3\) satisface la condición \(x^2-6x+7 Valor \(x_4=\frac(4)(3) \) no satisface la condición \ (x^2-6x+7 Entonces, la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6, \; x=3 \).

Segunda vía. Si se da la ecuación \(|f(x)| = h(x) \), entonces con \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Ambas ecuaciones se resolvieron anteriormente (usando el primer método para resolver la ecuación dada), sus raíces son las siguientes: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condición \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de estos cuatro valores se satisface solo con dos: 6 y 3. Esto significa que la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6 ,\;x=3\).

Tercera vía(gráfico).
1) Construyamos una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \). Primero, construyamos una parábola \(y = x^2-6x+7\).
Tenemos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). La gráfica de la función \(y = (x-3)^2-2\) se puede obtener a partir de la gráfica de la función \(y = x^2 \) desplazándola 3 unidades de escala hacia la derecha (junto el eje x) y 2 unidades de escala hacia abajo (a lo largo del eje y).
La recta x=3 es el eje de la parábola que nos interesa. Como puntos de control para un trazado más preciso, es conveniente tomar el punto (3; -2): el vértice de la parábola, el punto (0; 7) y el punto (6; 7) simétrico con respecto al eje de la parábola. .

Para construir ahora una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \), debes dejar sin cambios aquellas partes de la parábola construida que no se encuentran debajo del eje x, y reflejar esa parte de la parábola construida. parábola que se encuentra debajo del eje x con respecto al eje x.

2) Construyamos una gráfica de la función lineal \(y = \frac(5x-9)(3)\). Es conveniente tomar los puntos (0; –3) y (3; 2) como puntos de control.. Es importante que el punto x = 1,8 de la intersección de la línea recta con el eje de abscisas esté ubicado a la derecha del punto izquierdo de intersección de la parábola con el eje de abscisas; este es el punto \(x=3-\ sqrt(2) \) (ya que \(3-\sqrt(2 ) 3) A juzgar por el dibujo, las gráficas se cruzan en dos puntos: A(3; 2) y B(6; 7). Sustituyendo las abscisas de estas puntos x = 3 y x = 6 en la ecuación dada, estamos convencidos de que en ambos casos, en otro valor, se obtiene la igualdad numérica correcta. Esto significa que nuestra hipótesis fue confirmada: la ecuación tiene dos raíces: x = 3 y. x = 6. Respuesta: 3; Comentario

Método gráfico

EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
A pesar de su elegancia, no es muy confiable. En el ejemplo considerado, funcionó sólo porque las raíces de la ecuación son números enteros.

Considere el primer intervalo: \((-\infty; \; -3) \).
Si x Considere el segundo intervalo: \([-3; \; 2) \).
Si \(-3 \leq x Considere el tercer intervalo: \(

Discurso en lenguaje sencillo, el módulo es "un número sin menos". Y es en esta dualidad (en algunos lugares no tienes que hacer nada con el número original, pero en otros tendrás que eliminar algún tipo de signo negativo) donde radica toda la dificultad para los estudiantes principiantes.

¿Hay algo más? definición geométrica. También es útil saberlo, pero recurriremos a él sólo en casos complejos y algunos especiales, donde el enfoque geométrico es más conveniente que el algebraico (spoiler: hoy no).

Definición. Sea el punto $a$ marcado en la recta numérica. Entonces el módulo $\left| x-a \right|$ es la distancia desde el punto $x$ al punto $a$ en esta línea.

Si haces un dibujo, obtendrás algo como esto:

De una forma u otra, de la definición de un módulo se desprende inmediatamente su propiedad clave: el módulo de un número es siempre una cantidad no negativa. Este hecho será un hilo rojo que recorrerá toda nuestra historia de hoy.

Resolver desigualdades. método de intervalo

Ahora veamos las desigualdades. Hay muchísimos de ellos, pero nuestra tarea ahora es poder resolver al menos el más simple de ellos. Las que se reducen a desigualdades lineales, así como al método de intervalos.

Tengo dos grandes lecciones sobre este tema (por cierto, muy, MUY útiles; recomiendo estudiarlas):

1. Método de intervalos para desigualdades (especialmente mire el video);
2. Las desigualdades racionales fraccionarias son muy lección extensa, pero después no tendrás ninguna pregunta.

Si sabes todo esto, si la frase “pasemos de la desigualdad a la ecuación” no te provoca un vago deseo de darte contra la pared, entonces estás listo: bienvenido al infierno al tema principal de la lección :)

1. Desigualdades de la forma “El módulo es menor que la función”

Este es uno de los problemas más comunes con los módulos. Se requiere resolver una desigualdad de la forma:

\[\izquierda| miedo\derecho| \ltg\]

Las funciones $f$ y $g$ pueden ser cualquier cosa, pero normalmente son polinomios. Ejemplos de tales desigualdades:

\[\begin(alinear) & \left| 2x+3 \derecha| \ltx+7; \\ & \izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \izquierda| ((x)^(2))-2\izquierda| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Todos ellos se pueden resolver literalmente en una línea según el siguiente esquema:

\[\izquierda| miedo\derecho| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \bien bien)\]

Es fácil ver que nos deshacemos del módulo, pero a cambio obtenemos una doble desigualdad (o, lo que es lo mismo, un sistema de dos desigualdades). Pero esta transición tiene en cuenta absolutamente todo. Posibles problemas: si el número bajo el módulo es positivo, el método funciona; si es negativo, todavía funciona; e incluso con la función más inadecuada en lugar de $f$ o $g$, el método seguirá funcionando.

Naturalmente, surge la pregunta: ¿no podría ser más sencillo? Lamentablemente, no es posible. Este es el objetivo del módulo.

Pero basta ya de filosofar. Resolvamos un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha| \ltx+7\]

Solución. Entonces, tenemos ante nosotros una desigualdad clásica de la forma “el módulo es menor”: ni siquiera hay nada que transformar. Trabajamos según el algoritmo:

\[\begin(alinear) & \left| miedo\derecho| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \izquierda| 2x+3 \derecha| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

No te apresures a abrir los paréntesis que delante tienen un “menos”: es muy posible que por tu prisa cometas un error ofensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

El problema se redujo a dos desigualdades elementales. Observemos sus soluciones en rectas numéricas paralelas:

Intersección de muchos

La intersección de estos conjuntos será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solución. Esta tarea es un poco más difícil. Primero, aislamos el módulo moviendo el segundo término hacia la derecha:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Obviamente, nuevamente tenemos una desigualdad de la forma “el módulo es más pequeño”, por lo que nos deshacemos del módulo usando el algoritmo ya conocido:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ahora atención: alguien dirá que soy un poco pervertido con todos estos paréntesis. Pero permítanme recordarles una vez más que nuestro objetivo clave es resuelve correctamente la desigualdad y obtén la respuesta. Más adelante, cuando hayas dominado perfectamente todo lo descrito en esta lección, podrás pervertirlo tú mismo como quieras: abrir corchetes, añadir menos, etc.

Para empezar, simplemente nos desharemos del doble menos de la izquierda:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\izquierda(x+1 \derecha)\]

Ahora abramos todos los corchetes en la doble desigualdad:

Pasemos a la doble desigualdad. Esta vez los cálculos serán más serios:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( alinear)\derecha.\]

Ambas desigualdades son cuadráticas y se pueden resolver usando el método de intervalos (por eso digo: si no sabes qué es esto, mejor no tomar módulos todavía). Pasemos a la ecuación de la primera desigualdad:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(alinear)\]

Como puede ver, el resultado es una ecuación cuadrática incompleta, que se puede resolver de forma elemental. Ahora veamos la segunda desigualdad del sistema. Allí tendrás que aplicar el teorema de Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(alinear)\]

Marcamos los números resultantes en dos líneas paralelas (separadas para la primera desigualdad y separadas para la segunda):

Nuevamente, dado que estamos resolviendo un sistema de desigualdades, nos interesa la intersección de los conjuntos sombreados: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Esta es la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Creo que después de estos ejemplos el esquema de solución es sumamente claro:

1. Aísle el módulo moviendo todos los demás términos a la parte opuesta desigualdades. Así obtenemos una desigualdad de la forma $\left| Miedo| \ltg$.
2. Resuelva esta desigualdad deshaciéndose del módulo según el esquema descrito anteriormente. En algún momento será necesario pasar de la doble desigualdad a un sistema de dos expresiones independientes, cada uno de los cuales ya se puede resolver por separado.
3. Finalmente, todo lo que queda es intersecar las soluciones de estas dos expresiones independientes, y eso es todo, obtendremos la respuesta final.

Existe un algoritmo similar para las desigualdades. siguiente tipo, cuando el módulo más características. Sin embargo, hay un par de “peros” serios. Hablaremos ahora de estos “peros”.

2. Desigualdades de la forma “El módulo es mayor que la función”

Se ven así:

\[\izquierda| Miedo| \gtg\]

¿Parecido al anterior? Parece. Y, sin embargo, estos problemas se resuelven de una manera completamente diferente. Formalmente, el esquema es el siguiente:

\[\izquierda| Miedo| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

En otras palabras, consideramos dos casos:

1. Primero, simplemente ignoramos el módulo y resolvemos la desigualdad habitual;
2. Luego, en esencia, expandimos el módulo con el signo menos y luego multiplicamos ambos lados de la desigualdad por −1, mientras tengo el signo.

Las opciones se combinan corchete, es decir. Tenemos ante nosotros una combinación de dos requisitos.

Tenga en cuenta nuevamente: esto no es un sistema, sino una totalidad, por lo tanto en la respuesta los conjuntos se combinan en lugar de cruzarse. Este diferencia fundamental del punto anterior!

En general, muchos estudiantes están completamente confundidos con las uniones y las intersecciones, así que solucionemos este problema de una vez por todas:

• "∪" es un signo sindical. De hecho, esta es una letra estilizada "U" que nos llegó desde en Inglés y es una abreviatura de “Unión”, es decir "Asociaciones".
• "∩" es la señal de intersección. Esta basura no surgió de ninguna parte, sino que simplemente apareció como un contrapunto a “∪”.

Para que sea aún más fácil de recordar, simplemente dibuje piernas en estos carteles para hacer anteojos (pero no me acuse ahora de promover la adicción a las drogas y el alcoholismo: si está estudiando seriamente esta lección, entonces ya es un drogadicto):

Traducido al ruso, esto significa lo siguiente: la unión (totalidad) incluye elementos de ambos conjuntos, por lo tanto, de ninguna manera es menos que cada uno de ellos; pero la intersección (sistema) incluye solo aquellos elementos que están simultáneamente tanto en el primer conjunto como en el segundo. Por lo tanto, la intersección de conjuntos nunca es mayor que los conjuntos fuente.

¿Entonces quedó más claro? Eso es genial. Pasemos a la práctica.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\]

Solución. Procedemos según el esquema:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ bien.\]

Resolvemos cada desigualdad de la población:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcamos cada conjunto resultante en la recta numérica y luego los combinamos:

unión de conjuntos

Es bastante obvio que la respuesta será $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Respuesta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gtx\]

Solución. ¿Bien? Nada, todo es igual. Pasamos de una desigualdad con módulo a un conjunto de dos desigualdades:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Resolvemos cada desigualdad. Desafortunadamente, las raíces allí no serán muy buenas:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(alinear)\]

La segunda desigualdad también es un poco descabellada:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(alinear)\]

Ahora necesitas marcar estos números en dos ejes: un eje para cada desigualdad. Sin embargo, es necesario marcar los puntos en el orden correcto: que numero mayor, cuanto más desplazamos el punto hacia la derecha.

Y aquí nos espera una configuración. Si todo está claro con los números $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (los términos en el numerador del primer fracción son menores que los términos en el numerador de la segunda, por lo que la suma también es menor), con los números $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tampoco habrá dificultades (un número positivo obviamente es más negativo), luego con el último par no todo está tan claro. ¿Cuál es mayor: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? La ubicación de los puntos en las rectas numéricas y, de hecho, la respuesta dependerán de la respuesta a esta pregunta.

Entonces comparemos:

\[\begin(matriz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriz)\]

Aislamos la raíz, obtuvimos números no negativos a ambos lados de la desigualdad, por lo tanto tenemos derecho a elevar al cuadrado ambos lados:

\[\begin(matriz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriz)\]

Creo que es una obviedad que $4\sqrt(13) \gt 3$, entonces $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, los puntos finales de los ejes se colocarán así:

Un caso de raíces feas

Permítanme recordarles que estamos resolviendo una colección, por lo que la respuesta será una unión, no una intersección de conjuntos sombreados.

Respuesta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Como puede ver, nuestro esquema funciona muy bien para ambos. tareas simples, y para los muy duros. La única cosa " debilidad"En este enfoque, es necesario comparar de manera competente los numeros racionales(y créanme: no son sólo las raíces). Pero se dedicará una lección separada (y muy seria) a las cuestiones de comparación. Y seguimos adelante.

3. Desigualdades con “colas” no negativas

Ahora llegamos a la parte más interesante. Estas son desigualdades de la forma:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gt\izquierda| g\derecho|\]

En términos generales, el algoritmo del que hablaremos ahora es correcto sólo para el módulo. Funciona en todas las desigualdades donde se garantizan expresiones no negativas a la izquierda y a la derecha:

¿Qué hacer con estas tareas? Solo recuerda:

En desigualdades con “colas” no negativas, ambos lados pueden elevarse a cualquier grado natural. No habrá restricciones adicionales.

En primer lugar, nos interesará la cuadratura: quema módulos y raíces:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(alinear)\]

Pero no confundas esto con sacar la raíz de un cuadrado:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\izquierda| f \right|\ne f\]

¡Se cometieron innumerables errores cuando un estudiante olvidó instalar un módulo! Pero esa es una historia completamente diferente (es como ecuaciones irracionales), por lo que no entraremos en esto ahora. Resolvamos mejor un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \derecha|\]

Solución. Notemos inmediatamente dos cosas:

1. Esta no es una desigualdad estricta. Se perforarán los puntos de la recta numérica.
2. Ambos lados de la desigualdad son obviamente no negativos (esta es una propiedad del módulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Por lo tanto, podemos elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad para deshacernos del módulo y resolver el problema. el método habitual intervalos:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(alinear)\]

En el último paso hice un poco de trampa: cambié la secuencia de términos, aprovechando la uniformidad del módulo (de hecho, multipliqué la expresión $1-2x$ por −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ derecha)\derecha)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Resolvemos usando el método del intervalo. Pasemos de la desigualdad a la ecuación:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(alinear)\]

Marcamos las raíces encontradas en la recta numérica. Una vez más: ¡todos los puntos están sombreados porque la desigualdad original no es estricta!

Deshacerse del signo del módulo

Permítanme recordarles a aquellos que son especialmente testarudos: tomamos los signos de la última desigualdad, que fue escrita antes de pasar a la ecuación. Y pintamos sobre las áreas requeridas en la misma desigualdad. En nuestro caso es $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, todo ha terminado. El problema esta resuelto.

Respuesta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \derecha|\]

Solución. Hacemos todo igual. No haré comentarios, solo mira la secuencia de acciones.

Encuadrelo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \derecha| \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ derecha))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Método de intervalo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flecha derecha x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Sólo hay una raíz en la recta numérica:

La respuesta es un intervalo completo.

Respuesta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una pequeña nota sobre última tarea. Como señaló con precisión uno de mis alumnos, ambas expresiones submodulares en esta desigualdad son obviamente positivos, por lo que el signo del módulo puede omitirse sin dañar la salud.

Pero este es un nivel de pensamiento completamente diferente y un enfoque diferente: convencionalmente se le puede llamar el método de las consecuencias. Sobre esto, en una lección separada. Ahora pasemos a la parte final de la lección de hoy y veamos un algoritmo universal que siempre funciona. Incluso cuando todos los enfoques anteriores fueron impotentes :)

4. Método de enumeración de opciones.

¿Qué pasa si todas estas técnicas no ayudan? Si la desigualdad no es reducible colas no negativas, si no se puede aislar el módulo, si es que hay dolor, tristeza, melancolía?

Entonces entra en escena la “artillería pesada” de todas las matemáticas: el método de la fuerza bruta. En relación con las desigualdades con módulo, se ve así:

1. Escriba todas las expresiones submodulares e igualelas a cero;
2. Resuelve las ecuaciones resultantes y marca las raíces encontradas en una recta numérica;
3. La línea recta se dividirá en varios tramos, dentro de los cuales cada módulo tiene un signo fijo y por tanto se revela de forma única;
4. Resuelva la desigualdad en cada una de estas secciones (puede considerar por separado los límites de las raíces obtenidos en el paso 2, para mayor confiabilidad). Combine los resultados: esta será la respuesta :)

¿Así que cómo? ¿Débil? ¡Fácilmente! Sólo por mucho tiempo. Veamos en la práctica:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \derecha| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solución. Esta basura no se reduce a desigualdades como $\left| Miedo| \lt g$, $\izquierda| Miedo| \gt g$ o $\left| Miedo| \lt \left| g \right|$, entonces actuamos con anticipación.

Escribimos expresiones submodulares, las igualamos a cero y encontramos las raíces:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Flecha derecha x=1. \\\end(alinear)\]

En total, tenemos dos raíces que dividen la recta numérica en tres secciones, dentro de las cuales cada módulo se revela de forma única:

Partición de la recta numérica por ceros de funciones submodulares

Veamos cada sección por separado.

1. Sea $x \lt -2$. Entonces ambas expresiones submodulares son negativas y la desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Tenemos una limitación bastante simple. Crucémoslo con la suposición inicial de que $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obviamente, la variable $x$ no puede ser simultáneamente menor que −2 y mayor que 1,5. No hay soluciones en este ámbito.

1.1. Consideremos por separado el caso límite: $x=-2$. Simplemente sustituyamos este número en la desigualdad original y comprobemos: ¿es cierto?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\derecha|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Es obvio que la cadena de cálculos nos ha llevado a una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, la desigualdad original también es falsa y $x=-2$ no está incluido en la respuesta.

2. Sea ahora $-2 \lt x \lt 1$. El módulo izquierdo ya se abrirá con un "más", pero el derecho todavía se abrirá con un "menos". Tenemos:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(alinear)\]

Nuevamente nos cruzamos con el requisito original:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Y nuevamente, el conjunto de soluciones está vacío, ya que no hay números que sean menores que −2,5 y mayores que −2.

2.1. Y otra vez caso especial: $x=1$. Sustituimos en la desigualdad original:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ &\izquierda| 3\derecha| \lt \left| 0 \derecha|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Al igual que en el “caso especial” anterior, el número $x=1$ claramente no está incluido en la respuesta.

3. La última parte de la línea: $x \gt 1$. Aquí todos los módulos se abren con un signo más:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Y nuevamente cruzamos el conjunto encontrado con la restricción original:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

¡Finalmente! Hemos encontrado un intervalo que será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Finalmente, una observación que puede salvarle de errores estúpidos al resolver problemas reales:

Las soluciones a desigualdades con módulos suelen representar conjuntos continuos en la recta numérica: intervalos y segmentos. Mucho menos común puntos aislados. Y con menos frecuencia sucede que el límite de la solución (el final del segmento) coincide con el límite del rango considerado.

En consecuencia, si los límites (los mismos “casos especiales”) no se incluyen en la respuesta, entonces es casi seguro que las áreas a la izquierda y a la derecha de estos límites no se incluirán en la respuesta. Y viceversa: la frontera entró en la respuesta, lo que significa que algunas áreas a su alrededor también serán respuestas.

Tenga esto en cuenta al revisar sus soluciones.

Este artículo está dedicado a las soluciones. diferentes ecuaciones y desigualdades que contienen
variable bajo el signo del módulo.

Si te encuentras con una ecuación o desigualdad con un módulo en el examen, puedes resolverla mediante
sin saber nada métodos especiales y usando solo la definición del módulo. Es verdad,
Esto puede llevar una hora y media de valioso tiempo de examen.

Por eso queremos hablarte de técnicas que simplifican la resolución de este tipo de problemas.

Antes que nada, recordemos que

Consideremos Varios tipos ecuaciones con módulo. (Más adelante pasaremos a las desigualdades.)

Módulo a la izquierda, número a la derecha

Este es el caso más simple. Resolvamos la ecuación | X 2 − 5X + 4| = 4.

Sólo hay dos números cuyos módulos son iguales a cuatro. Estos son 4 y −4. Por lo tanto la ecuación
equivale a la combinación de dos simples:

X 2 − 5X+ 4 = 4 o X 2 − 5X + 4 = −4.

La segunda ecuación no tiene soluciones. Primeras soluciones: X= 0 y X = 5.

Respuesta: 0; 5.

Variable tanto debajo del módulo como fuera del módulo.

Aquí tenemos que ampliar el módulo por definición. . . o pensar!

1. |2 − X| = 5 − 4X

La ecuación se divide en dos casos, según el signo de la expresión bajo el módulo.
Es decir, equivale a una combinación de dos sistemas:

Solución del primer sistema: X= 1. El segundo sistema no tiene soluciones.
Respuesta 1.

2 . X 2 + 4|X − 3| − 7X + 11 = 0.

Primer caso: X≥ 3. Retire el módulo:

Número X 2, al ser negativo, no cumple la condición X≥ 3 y por tanto no es raíz de la ecuación original.

Averigüemos si el número cumple esta condición. X 1 . Para ello, componemos la diferencia y determinamos su signo:

Medio, X 1 es mayor que tres y por lo tanto es la raíz de la ecuación original

Segundo caso: X < 3. Снимаем модуль:

Número X 3 es mayor que y por lo tanto no satisface la condición X < 3. Проверим X 4:

Medio, X 4 es la raíz de la ecuación original.

3. |2X 2 − 3X − 4| = 6X − 1.

¿Eliminar un módulo por definición? Da miedo siquiera pensar en ello, porque el discriminante no es un cuadrado exacto. Utilicemos mejor la siguiente consideración: una ecuación de la forma |A| = B equivale a la combinación de dos sistemas:

Lo mismo, pero un poco diferente:

En otras palabras, resolvemos dos ecuaciones, A = B y A = −B, y luego seleccionamos raíces que satisfacen la condición B ≥ 0.

Empecemos. Primero resolvemos la primera ecuación:

Luego resolvemos la segunda ecuación:

Ahora en cada caso comprobamos el signo del lado derecho:

Por lo tanto, sólo son adecuados X 1 y X 3 .

Ecuaciones cuadráticas con reemplazo | X| = t

Resolvamos la ecuación: X 2 + 2|X| − 3 = 0.

Porque el X 2 = |X| 2, conviene realizar un recambio | X| = t. Obtenemos:

Respuesta: ±1.

Módulo igual al módulo

Estamos hablando de ecuaciones de la forma |A| = |B|. Este es un regalo del destino. ¡No hay divulgaciones de módulos por definición! Es sencillo:

Por ejemplo, considere la ecuación: |3 X 2 + 5X − 9| = |6X+ 15|. Es equivalente al siguiente conjunto:

Queda por resolver cada una de las ecuaciones del conjunto y anotar la respuesta.

Dos o más módulos

Resolvamos la ecuación: | X − 1| − 2|X − 2| + 3|X − 3| = 4.

No nos molestemos con cada módulo por separado y lo abramos por definición: habrá demasiadas opciones. Hay mas manera racional- método de intervalo.

Las expresiones debajo de los módulos desaparecen en algunos puntos. X = 1, X= 2 y X= 3. Estos puntos dividen la recta numérica en cuatro espacios (intervalos). Marquemos estos puntos en la recta numérica y coloquemos signos para cada una de las expresiones debajo de los módulos en los intervalos resultantes. (El orden de los signos coincide con el orden de los módulos correspondientes en la ecuación).

Así pues, debemos considerar cuatro casos: cuando X se ubica en cada uno de los intervalos.

Caso 1: X≥ 3. Todos los módulos se eliminan "con un plus":

Valor recibido X= 5 satisface la condición X≥ 3 y por tanto es la raíz de la ecuación original.

Caso 2: 2 ≤ X≤ 3. El último módulo ahora se elimina "con un signo menos":

Valor recibido X También es adecuado: pertenece al intervalo considerado.

Caso 3: 1 ≤ X≤ 2. El segundo y tercer módulo se eliminan "con un menos":

Hemos obtenido la igualdad numérica correcta para cualquier X del intervalo considerado sirven como soluciones a esta ecuación.

Caso 4:x≤ 1 ≤ 1. El segundo y tercer módulo se eliminan "con un menos":

Nada nuevo. eso ya lo sabemos X= 1 es la solución.

Respuesta: ∪ (5).

Módulo dentro de un módulo

Resolvamos la ecuación: ||3 − X| − 2X + 1| = 4X − 10.

Empezamos abriendo el módulo interno.

1) X≤ 3. Obtenemos:

La expresión bajo el módulo desaparece en . Este punto pertenece al que esta en cuestion
entre. Por tanto, tenemos que analizar dos subcasos.

1.1) En este caso obtenemos:

Este es el significado X no es adecuado ya que no pertenece al intervalo considerado.

1.2). Entonces:

Este es el significado X Tampoco es adecuado.

Así que cuando X≤ 3 sin soluciones. Pasemos al segundo caso.

2) X≥ 3. Tenemos:

Aquí tenemos suerte: expresión. X¡+ 2 es positivo en el intervalo considerado! Por tanto, no habrá más subcasos: el módulo se elimina “con un plus”:

Este es el significado X está en el intervalo considerado y por lo tanto es la raíz de la ecuación original.

Así se solucionan todos los problemas. de este tipo- ampliar los módulos anidados uno por uno, empezando por el interior.

Desigualdades con módulo

Aquí no surgen ideas fundamentalmente nuevas. Todos conocimientos necesarios ya eres dueño. Por tanto, analizaremos sólo dos problemas. El resto se hace en clases y tareas.

1. 2|X − 4| + |3X + 5| ≥ 16.

1) X≥ 4. Tenemos:

La desigualdad resultante se satisface para todos los considerados. X≥ 4. En otras palabras, todos los números del intervalo .

3). Tenemos:

Desde − , entonces todos los valores X del intervalo resultante sirven como soluciones a la desigualdad original.

Queda por combinar los conjuntos de soluciones obtenidas en los tres casos considerados.

2. |X 2 − 2X − 3| < 3X − 3.

Esta es la tarea número 6 de la parte teórica de la lección 8 del libro de V. V. Tkachuk "Matemáticas para solicitantes". El autor lo resuelve utilizando el método del intervalo. ¡Asegúrese de examinar la solución del autor!

Tenga en cuenta que el método del intervalo aquí es muy sencillo porque las raíces del trinomio cuadrado bajo el módulo son números enteros. ¿Qué pasa si el discriminante no es un cuadrado exacto? Reemplace, por ejemplo, el módulo −3 con −5. La cantidad de trabajo computacional aumentará entonces significativamente.

Le mostraremos otra forma de resolver este problema, una que no depende de los caprichos del discriminante.

Nuestra desigualdad tiene la forma |A|< B. Очевидны следующие утверждения.

Si B ≤ 0, entonces la desigualdad no tiene soluciones.

Si B > 0, entonces la desigualdad es equivalente a la doble desigualdad −B< A < B или, что то же самое, системе

En otras palabras, tomamos la intersección del conjunto de soluciones de un sistema dado con el conjunto de soluciones de la desigualdad B > 0, es decir, resolvemos el sistema

En nuestro problema obtenemos:

Representemos los conjuntos de soluciones a estas desigualdades en la figura. Las soluciones a la primera (doble) desigualdad se muestran en negro; color verde- soluciones de la totalidad; Color azul- soluciones a la última desigualdad del sistema.

La solución del sistema es la intersección de estos conjuntos, es decir, un conjunto sobre el cual hay líneas de todos tres colores. Está sombreado.