Propiedades básicas de la suma y multiplicación de números.

Propiedad conmutativa de la suma: reordenar los términos no cambia el valor de la suma. Para cualquier número a y b la igualdad es verdadera

Propiedad combinativa de la suma: para sumar un tercer número a la suma de dos números, puedes sumar la suma del segundo y el tercero al primer número. Para cualquier número a, b y c la igualdad es verdadera

Propiedad conmutativa de la multiplicación: reordenar los factores no cambia el valor del producto. Para cualquier número a, b y c la igualdad es verdadera

Propiedad combinativa de la multiplicación: para multiplicar el producto de dos números por un tercer número, puedes multiplicar el primer número por el producto del segundo y el tercero.

Para cualquier número a, b y c la igualdad es verdadera

Propiedad distributiva: para multiplicar un número por una suma, puedes multiplicar ese número por cada término y sumar los resultados. Para cualquier número a, b y c la igualdad es verdadera

De las propiedades conmutativas y combinativas de la suma se deduce que en cualquier suma puedes reorganizar los términos como quieras y combinarlos arbitrariamente en grupos.

Ejemplo 1 Calculemos la suma 1,23+13,5+4,27.

Para ello conviene combinar el primer término con el tercero. Obtenemos:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

De las propiedades conmutativas y combinativas de la multiplicación se deduce que en cualquier producto se pueden reorganizar los factores de cualquier forma y combinarlos arbitrariamente en grupos.

Ejemplo 2 Encontremos el valor del producto 1,8·0,25·64·0,5.

Combinando el primer factor con el cuarto y el segundo con el tercero tenemos:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

La propiedad distributiva también se cumple cuando un número se multiplica por la suma de tres o más términos.

Por ejemplo, para cualquier número a, b, cyd la igualdad es verdadera

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Sabemos que la resta se puede sustituir por la suma sumando al minuendo el número opuesto del sustraendo:

Esto permite una expresión numérica. tipo ab se considerará la suma de los números a y -b, una expresión numérica de la forma a+b-c-d se considerará la suma de los números a, b, -c, -d, etc. Las propiedades de las acciones consideradas también son válidas para tales sumas.

Ejemplo 3 Encontremos el valor de la expresión 3,27-6,5-2,5+1,73.

Esta expresión es la suma de los números 3,27, -6,5, -2,5 y 1,73. Aplicando las propiedades de la suma, obtenemos: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Ejemplo 4 Calculemos el producto 36·().

El multiplicador puede considerarse como la suma de los números y -. Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, obtenemos:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Identidades

Definición. Dos expresiones cuyos valores correspondientes son iguales para cualquier valor de las variables se denominan idénticamente iguales.

Definición. Una igualdad que es verdadera para cualquier valor de las variables se llama identidad.

Encontremos los valores de las expresiones 3(x+y) y 3x+3y para x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Obtuvimos el mismo resultado. De propiedades distributivas de ello se deduce que, en general, para cualquier valor de las variables, los valores correspondientes de las expresiones 3(x+y) y 3x+3y son iguales.

Consideremos ahora las expresiones 2x+y y 2xy. Para x=1, y=2 toman valores iguales:

Sin embargo, puede especificar valores de xey de modo que los valores de estas expresiones no sean iguales. Por ejemplo, si x=3, y=4, entonces

Las expresiones 3(x+y) y 3x+3y son idénticamente iguales, pero las expresiones 2x+y y 2xy no son idénticamente iguales.

La igualdad 3(x+y)=x+3y, verdadera para cualquier valor de xey, es una identidad.

Las verdaderas igualdades numéricas también se consideran identidades.

Así, las identidades son igualdades que expresan las propiedades básicas de las operaciones con números:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Se pueden dar otros ejemplos de identidades:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformaciones idénticas de expresiones.

Reemplazar una expresión con otra expresión idénticamente igual se llama transformación idéntica o simplemente transformación de una expresión.

Transformaciones de identidad Las expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.

Para encontrar el valor de la expresión xy-xz cuando valores dados x, y, z, debes realizar tres acciones. Por ejemplo, con x=2,3, y=0,8, z=0,2 obtenemos:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Este resultado se puede obtener realizando sólo dos pasos, si se utiliza la expresión x(y-z), que es idénticamente igual a la expresión xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Hemos simplificado los cálculos reemplazando la expresión xy-xz con la expresión idéntica x(y-z).

Las transformaciones idénticas de expresiones se utilizan ampliamente para calcular los valores de expresiones y resolver otros problemas. Ya se han tenido que realizar algunas transformaciones idénticas, por ejemplo, trayendo términos similares, abriendo paréntesis. Recordemos las reglas para realizar estas transformaciones:

liderar términos similares, debes sumar sus coeficientes y multiplicar el resultado por la parte de letras común;

si hay un signo más antes de los corchetes, entonces los corchetes se pueden omitir, conservando el signo de cada término encerrado entre corchetes;

Si hay un signo menos antes del paréntesis, entonces los paréntesis se pueden omitir cambiando el signo de cada término encerrado entre paréntesis.

Ejemplo 1 Presentemos términos similares en la suma 5x+2x-3x.

Usemos la regla para reducir términos similares:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Esta transformación se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación.

Ejemplo 2 Abramos los corchetes en la expresión 2a+(b-3c).

Usando la regla para abrir paréntesis precedidos por un signo más:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

La transformación llevada a cabo se basa en propiedad asociativa suma.

Ejemplo 3 Abramos los corchetes en la expresión a-(4b-c).

Usemos la regla para abrir paréntesis precedidos por un signo menos:

a-(4b-c)=a-4b+c.

La transformación realizada se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación y la propiedad combinatoria de la suma. Mostrémoslo. Representemos el segundo término -(4b-c) en esta expresión como un producto (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Aplicando las propiedades de acciones especificadas, obtenemos:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Tema No. 2.

Convertir expresiones algebraicas

I. Material teórico

Conceptos básicos

Expresión algebraica: entero, fraccionario, racional, irracional.

Ámbito de definición, valores de expresión válidos.

El significado de una expresión algebraica.

Monomio, polinomio.

Fórmulas de multiplicación abreviadas.

Factorización, paréntesis multiplicador común.

La propiedad principal de una fracción.

Grado, propiedades del grado.

Kortym, propiedades de las raíces.

Transformación de expresiones racionales e irracionales.

Una expresión formada por números y variables que utilizan los signos de suma, resta, multiplicación, división y elevación a grado racional, extraer la raíz y usar paréntesis se llama algebraico.

Por ejemplo: ;
;
;

;
;
;
.

Si la expresión algebraica no contiene división en variables y sacar la raíz de las variables (en particular, elevar a una potencia con indicador fraccionario), entonces se llama entero.

Por ejemplo:
;
;
.

Si una expresión algebraica se compone de números y variables usando las operaciones de suma, resta, multiplicación, exponenciación con indicador natural y se usa división, y división en expresiones con variables, entonces se llama fraccionario.

Por ejemplo:
;
.

entero y expresiones fraccionarias son llamados racional expresiones.

Por ejemplo: ;
;

.

Si una expresión algebraica implica tomar la raíz de variables (o elevar variables a potencia fraccionaria), entonces dicha expresión algebraica se llama irracional.

Por ejemplo:
;
.

Los valores de las variables para las que tiene sentido la expresión algebraica se denominan valores de variables válidos.

muchos de todos valores aceptables las variables se llaman dominio de definición.

El dominio de definición de una expresión algebraica completa es el conjunto de los números reales.

El dominio de definición de una expresión algebraica fraccionaria es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos cuyo denominador es cero.

Por ejemplo: tiene sentido cuando
;

tiene sentido cuando
, es decir, cuando
.

El dominio de definición de una expresión algebraica irracional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que se convierten en número negativo una expresión bajo el signo de la raíz de una potencia par o bajo el signo de elevación a una potencia fraccionaria.

Por ejemplo:
tiene sentido cuando
;

tiene sentido cuando
, es decir, cuando
.

El valor numérico obtenido al sustituir los valores permisibles de las variables en una expresión algebraica se llama el valor de una expresión algebraica.

Por ejemplo: expresión
en
,
adquiere el valor
.

Una expresión algebraica que contiene sólo números, potencias naturales de variables y sus productos se llama monomio.

Por ejemplo:
;
;
.

El monomio, escrito como el producto del factor numérico en primer lugar y las potencias de varias variables, se reduce a vista estándar.

Por ejemplo:
;
.

factor numérico notación estándar monomio se llama coeficiente del monomio. La suma de los exponentes de todas las variables se llama grado de monomio.

Al multiplicar un monomio por un monomio y al elevar un monomio a grado natural obtenemos un monomio que debe llevarse a su forma estándar.

La suma de monomios se llama polinomio.

Por ejemplo:
; ;
.

Si todos los términos del polinomio se escriben en forma estándar y se realiza la reducción miembros similares, entonces el resultado polinomio vista estándar .

Por ejemplo: .

Si un polinomio tiene una sola variable, entonces indicador más alto el grado de esta variable se llama grado de polinomio.

Por ejemplo: Un polinomio tiene quinto grado.

El valor de la variable en la que el valor del polinomio es cero se llama raíz del polinomio.

Por ejemplo: raíces de un polinomio
son los números 1,5 y 2.

Fórmulas de multiplicación abreviadas

Casos especiales de uso de fórmulas de multiplicación abreviadas.

Diferencia de cuadrados:
o

Suma al cuadrado:
o

Diferencia al cuadrado:
o

Suma de cubos:
o

Diferencia de cubos:
o

Cubo de suma:
o

Cubo de diferencia:
o

Convertir un polinomio en un producto de varios factores (polinomios o monomios) se llama factorizar un polinomio.

Por ejemplo:.

Métodos para factorizar un polinomio.

Por ejemplo: .

Usar fórmulas de multiplicación abreviadas.

Por ejemplo: .

Método de agrupación. Las leyes conmutativa y asociativa permiten agrupar los miembros de un polinomio de diversas formas. Uno de los métodos lleva al hecho de que se obtiene la misma expresión entre paréntesis, que a su vez se elimina de los paréntesis.

Por ejemplo:.

Cualquier expresión algebraica fraccionaria se puede escribir como un cociente de dos. expresiones racionales con una variable en el denominador.

Por ejemplo:
.

Una fracción en la que el numerador y el denominador son expresiones racionales y el denominador tiene una variable se llama fracción racional.

Por ejemplo:
;
;
.

Si el numerador y el denominador fracción racional multiplica o divide por el mismo número distinto de cero, monomio o polinomio, el valor de la fracción no cambia. Esta expresión se llama la propiedad principal de una fracción:

.

La acción de dividir el numerador y denominador de una fracción entre un mismo número se llama reduciendo una fracción:

.

Por ejemplo:
;
.

Trabajar norte factores, cada uno de los cuales es igual A, Dónde A– una expresión algebraica arbitraria o numero real, A norte – número natural, llamado gradoA :

.

expresión algebraica A llamado base de grado, número
norte – indicador.

Por ejemplo:
.

Se cree por definición que para cualquier A, No igual a cero:

Y
.

Si
, Eso
.

Propiedades del grado

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Si ,
, entonces la expresión norte-ésimo grado del cual es igual a A, llamado raíznorte grado deA . Generalmente se denota
. Al mismo tiempo A llamado expresión radical, norte llamado índice raíz.

Por ejemplo:
;
;
.

Propiedades de la raíznortegrado de a

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Generalizando el concepto de grado y raíz, obtenemos el concepto de grado con exponente racional:

.

En particular,
.

Acciones realizadas con raíces.

Por ejemplo: .

II. Material practico

Ejemplos de realización de tareas.

Ejemplo 1. Encuentra el valor de la fracción.
.

Respuesta: .

Ejemplo 2. Simplifica la expresión
.

Transformemos la expresión en los primeros paréntesis:

, Si
.

Transformemos la expresión en el segundo paréntesis:

.

Dividamos el resultado del primer paréntesis por el resultado del segundo paréntesis:

Respuesta:

Ejemplo 3. Simplifica la expresión:

.

Ejemplo 4. Simplifica la expresión.

Transformemos la primera fracción:

.

Transformemos la segunda fracción:

.

Como resultado obtenemos:
.

Ejemplo 5. Simplifica la expresión
.

Solución. Decidamos las siguientes acciones:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Respuesta:
.

Ejemplo 6. demostrar la identidad
.

1)
;

2)
;

Ejemplo 7. Simplifica la expresión:

.

Solución. Siga estos pasos:

;

2)
.

Ejemplo 8. demostrar la identidad
.

Solución. Siga estos pasos:

1)
;

2)

;

3)
.

Tareas para trabajo independiente

1. Simplifica la expresión:

A)
;

b)
;

2. Tenga en cuenta:

A)
;

b)
;.Documento

Sujeto N° 5.1. Ecuaciones trigonométricas I. Teoréticomaterial Conceptos básicos ecuación trigonométrica...usando varios algebraico Y fórmulas trigonométricas Y transformaciones. II. Práctico material Ejemplos de realización de tareas...

Ministerio de Educación de la República de Bielorrusia

Institución educativa

"Gómel universidad estatal a ellos. F. Skorina"

Facultad de Matemáticas

Departamento de MPM

Transformaciones idénticas de expresiones y métodos para enseñar a los estudiantes cómo realizarlas.

Ejecutor:

Estudiante Starodubova A.Yu.

supervisor científico:

Candó. fisica y matematicas Ciencias, profesor asociado Lebedeva M.T.

Gómel 2007

Introducción

1 Los principales tipos de transformaciones y etapas de su estudio. Etapas para dominar el uso de transformaciones.

Conclusión

Literatura

Introducción

Las transformaciones más simples de expresiones y fórmulas, basadas en las propiedades de las operaciones aritméticas, se llevan a cabo en escuela primaria y 5to y 6to grados. La formación de habilidades y destrezas para realizar transformaciones se lleva a cabo en un curso de álgebra. Esto se debe tanto al fuerte aumento en el número y variedad de transformaciones que se llevan a cabo, como a la complicación de las actividades para justificarlas y aclarar las condiciones de aplicabilidad, a la identificación y estudio de los conceptos generalizados de identidad, transformación idéntica, transformación equivalente.

1. Principales tipos de transformaciones y etapas de su estudio. Etapas para dominar el uso de transformaciones.

1. Inicios del álgebra

Se utiliza un sistema indiviso de transformaciones, representado por reglas para realizar acciones en una o ambas partes de la fórmula. El objetivo es lograr fluidez en la realización de tareas de resolución de ecuaciones simples, simplificación de fórmulas que definen funciones y realización racional de cálculos basados ​​en las propiedades de las acciones.

Ejemplos típicos:

Resolver ecuaciones:

A) ; b) ; V).

Transformación idéntica (a); equivalentes e idénticos (b).

2. Formación de habilidades de aplicación. tipos específicos transformaciones

Conclusiones: fórmulas de multiplicación abreviadas; transformaciones asociadas con la exponenciación; transformaciones asociadas con varias clases de funciones elementales.

Organización todo el sistema transformaciones (síntesis)

El objetivo es crear un dispositivo flexible y potente adecuado para su uso en la resolución de una variedad de tareas educativas . La transición a esta etapa se realiza durante la repetición final del curso en el transcurso de la comprensión del material ya conocido aprendido en partes, por ciertos tipos Las transformaciones agregan transformaciones de expresiones trigonométricas a los tipos estudiados anteriormente. Todas estas transformaciones pueden denominarse “algebraicas”; las transformaciones “analíticas” incluyen aquellas que se basan en reglas de diferenciación e integración y transformación de expresiones que contienen pasajes a límites. La diferencia de este tipo está en la naturaleza del conjunto por el que recorren las variables de las identidades (ciertos conjuntos de funciones).

Las identidades que se estudian se dividen en dos clases:

I – identidades de multiplicación abreviada válidas en un anillo conmutativo e identidades

feria en el campo.

II – identidades que conectan operaciones aritméticas y funciones elementales básicas.

2 Características de la organización del sistema de tareas al estudiar transformaciones de identidad.

El principio fundamental para organizar un sistema de tareas es presentarlas de simples a complejas.

ciclo de ejercicio– combinar en una secuencia de ejercicios varios aspectos del estudio y técnicas de disposición del material. Al estudiar las transformaciones de identidad, al estudio de una identidad se asocia un ciclo de ejercicios, en torno al cual se agrupan otras identidades que están en conexión natural con ella. El ciclo, junto con los ejecutivos, incluye tareas, exigir el reconocimiento de la aplicabilidad de la identidad en cuestión. La identidad en estudio se utiliza para realizar cálculos en varios dominios numéricos. Las tareas de cada ciclo se dividen en dos grupos.. A primero Estas incluyen tareas realizadas durante el conocimiento inicial de la identidad. ellos sirven material educativo durante varias lecciones consecutivas unidas por un tema.

Segundo grupo Los ejercicios conectan la identidad que se estudia con diversas aplicaciones. Este grupo no forma una unidad compositiva: los ejercicios aquí están dispersos sobre varios temas.

Las estructuras del ciclo descritas se refieren a la etapa de desarrollo de habilidades para aplicar transformaciones específicas.

En la etapa de síntesis, los ciclos cambian, los grupos de tareas se combinan en la dirección de la complicación y la fusión de ciclos relacionados con varias identidades, lo que ayuda a aumentar el papel de las acciones para reconocer la aplicabilidad de una identidad particular.

Ejemplo.

Ciclo de tareas para la identidad:

Grupo de tareas:

a) presente en forma de producto:

b) Comprobar la igualdad:

c) Ampliar los paréntesis en la expresión:

.

d) Calcular:

e) Factorizar:

f) simplificar la expresión:

.

Los estudiantes acaban de familiarizarse con la formulación de una identidad, su escritura en forma de identidad y su prueba.

La tarea a) está asociada a fijar la estructura de la identidad en estudio, a establecer una conexión con conjuntos numéricos(comparación de estructuras de signos de identidad y expresión transformada; sustitución de una letra por un número en una identidad). EN último ejemplo aún es necesario reducirlo a las especies en estudio. En los siguientes ejemplos (e y g) hay una complicación causada por el papel aplicado de la identidad y la complicación de la estructura del signo.

Las tareas del tipo b) tienen como objetivo desarrollar habilidades de reemplazo. en . El papel de la tarea c) es similar.

Ejemplos del tipo d), en los que es necesario elegir una de las direcciones de transformación, completan el desarrollo de esta idea.

Las tareas del grupo I se centran en dominar la estructura de una identidad, la operación de sustitución en los casos más simples, fundamentalmente más importantes, y la idea de la reversibilidad de las transformaciones llevadas a cabo por una identidad. Muy importante también tiene enriquecimiento medios lingüísticos demostración varios aspectos identidades. Los textos de los trabajos dan una idea de estos aspectos.

II grupo de tareas.

g) Usando la identidad para , factoriza el polinomio .

h) Eliminar la irracionalidad en el denominador de la fracción.

i) Demuestre que si - número impar, luego divisible por 4.

j) La función está dada expresión analítica

.

Deshágase del signo del módulo considerando dos casos: , .

k) Resuelve la ecuación .

Estas tareas están dirigidas en la medida de lo posible. uso completo y teniendo en cuenta las características específicas de esta identidad en particular, presupone la formación de habilidades en el uso de la identidad que se está estudiando para la diferencia de cuadrados. El objetivo es profundizar la comprensión de la identidad considerando sus diversas aplicaciones en diferentes situaciones, combinado con el uso de material relacionado con otros temas del curso de matemáticas.

o .

Características de los ciclos de tareas relacionadas con identidades para funciones elementales:

1) se estudian a partir de material funcional;

2) las identidades del primer grupo aparecen más tarde y se estudian utilizando habilidades ya desarrolladas para realizar transformaciones identitarias.

El primer grupo de tareas del ciclo debería incluir tareas para establecer conexiones entre estos nuevos dominios numéricos con el dominio original de los números racionales.

Ejemplo.

Calcular:

;

.

El objetivo de estas tareas es dominar las características de las entradas, incluidos los símbolos de nuevas operaciones y funciones, y desarrollar habilidades matemáticas del habla.

Gran parte del uso de transformaciones de identidad asociadas con funciones elementales, recae en la solución de ecuaciones irracionales y trascendentales. Secuencia de pasos:

a) encuentre la función φ para la cual ecuación dada f(x)=0 se puede representar como:

b) sustituye y=φ(x) y resuelve la ecuación

c) resolver cada una de las ecuaciones φ(x)=y k, donde y k es el conjunto de raíces de la ecuación F(y)=0.

Cuando se utiliza el método descrito, el paso b) a menudo se realiza implícitamente, sin introducir una notación para φ(x). Además, los estudiantes suelen preferir diferentes maneras que conduce a encontrar la respuesta, elija la que conduzca a la ecuación algebraica de forma más rápida y sencilla.

Ejemplo. Resuelve la ecuación 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (paso a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3) = 0; 2x-3=0. (paso b)

Ejemplo. Resuelve la ecuación:

a) 2 2x -3*2x +2=0;

b) 2 2x-3*2x-4=0;

c) 2 2x -3*2x +1=0.

(Sugerir una solución independiente).

Clasificación de tareas en ciclos relacionados con la solución de ecuaciones trascendentales, incluyendo función exponencial:

1) ecuaciones que se reducen a ecuaciones de la forma a x =y 0 y tienen una respuesta general simple:

2) ecuaciones que se reducen a ecuaciones de la forma a x = a k, donde k es un número entero, o a x = b, donde b≤0.

3) ecuaciones que se reducen a ecuaciones de la forma a x =y 0 y requieren un análisis explícito de la forma en que el número y 0 está escrito explícitamente.

Las tareas en las que se utilizan transformaciones de identidad para construir gráficos y al mismo tiempo simplificar fórmulas que definen funciones son de gran beneficio.

a) Grafica la función y=;

b) Resuelve la ecuación lgx+lg(x-3)=1

c) ¿En qué conjunto la fórmula log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) es una identidad?

El uso de transformaciones de identidad en los cálculos (Revista de Matemáticas en la Escuela, No. 4, 1983, p. 45).

Tarea número 1. La función viene dada por la fórmula y=0,3x 2 +4,64x-6. Encuentra los valores de la función en x=1.2

y(1,2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 .36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

Tarea número 2. Calcular la longitud de la pierna triangulo rectángulo, si la longitud de su hipotenusa es de 3,6 cm y el otro cateto mide 2,16 cm.

Tarea número 3. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular que tiene dimensiones a) 0,64 m y 6,25 m; b) 99,8 my 2,6 m?

a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Estos ejemplos permiten identificar aplicación práctica transformaciones de identidad. El estudiante debe estar familiarizado con las condiciones de viabilidad de la transformación (ver diagramas).

Imagen de un polinomio, donde cualquier polinomio encaja en contornos redondos (Diagrama 1).

-

Se da la condición de factibilidad de transformar el producto de un monomio y una expresión que permite la transformación en una diferencia de cuadrados. (esquema 2)

-

aquí los sombreados significan monomios iguales y se da una expresión que se puede convertir en una diferencia de cuadrados (Esquema 3).

una expresión que permite un factor común.

Las habilidades de los estudiantes para identificar condiciones se pueden desarrollar utilizando siguientes ejemplos:

¿Cuál de las siguientes expresiones se puede transformar quitando el factor común de paréntesis?

2)

3) 0,7a2 +0,2b2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

La mayoría de los cálculos en la práctica no satisfacen las condiciones de satisfacibilidad, por lo que los estudiantes necesitan las habilidades para reducirlos a una forma que permita el cálculo de transformaciones. En este caso, las siguientes tareas son apropiadas:

al estudiar sacando el factor común de paréntesis:

esta expresión, si es posible, conviértalo en una expresión, que se muestra en el diagrama 4:

4) 2a*a 2 *a 2;

5) 2norte 4 +3norte 6 +norte 9 ;

8) 15ab2 +5a2b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Al formar el concepto de "transformación idéntica", debe recordarse que esto significa no solo que la expresión dada y resultante como resultado de la transformación toman valores iguales para cualquier valor de las letras incluidas en ella, pero también que durante la misma transformación pasamos de la expresión que define una forma de calcular a una expresión que define otra forma de calcular el mismo valor.

El esquema 5 (la regla para convertir el producto de un monomio y un polinomio) se puede ilustrar con ejemplos.

0,5a(b+c) o 3,8(0,7+).

Ejercicios para aprender a sacar un factor común de paréntesis:

Calcula el valor de la expresión:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc en a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) con a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Ilustremos con ejemplos la formación de habilidades en cálculos y transformaciones de identidad (Revista de Matemáticas en la Escuela, No. 5, 1984, p. 30).

1) las habilidades y capacidades se adquieren más rápido y se conservan por más tiempo si su formación se produce de forma consciente (el principio didáctico de la conciencia).

1) Puedes formular una regla para sumar fracciones con mismos denominadores o anteriormente en ejemplos específicos Considere la esencia de sumar partes iguales.

2) Al factorizar sacando el factor común de entre paréntesis, es importante ver este factor común y luego aplicar la ley de distribución. Al realizar los primeros ejercicios, es útil escribir cada término del polinomio como un producto, uno de los factores que es común para todos los términos:

3a 3 -15a 2 segundo+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Es especialmente útil hacer esto cuando uno de los monomios de un polinomio está fuera de paréntesis:

II. Primera etapa formación de una habilidad - dominio de una habilidad (los ejercicios se realizan con explicaciones detalladas y registros)

(el tema del cartel se resuelve primero)

Segunda etapa– la etapa de automatización de la habilidad eliminando algunas operaciones intermedias

III. La fortaleza de las habilidades se logra resolviendo ejemplos que son variados tanto en contenido como en forma.

Tema: “Sacar el factor común de paréntesis”.

1. Escribe el factor que falta en lugar del polinomio:

2. Factorizar de modo que antes del paréntesis haya un monomio con coeficiente negativo:

3. Factoriza para que el polinomio entre paréntesis tenga coeficientes enteros:

4. Resuelve la ecuación:

IV. El desarrollo de habilidades es más eficaz cuando algunos cálculos o transformaciones intermedias se realizan de forma oral.

(oralmente);

V. Las destrezas y habilidades que se desarrollen deberán formar parte del sistema de conocimientos, destrezas y habilidades previamente formado de los estudiantes.

Por ejemplo, cuando se enseña a factorizar polinomios usando fórmulas de multiplicación abreviadas, se ofrecen los siguientes ejercicios:

Factorizar:

VI. La necesidad de realizar cálculos y transformaciones racionalmente.

V) simplifica la expresión:

La racionalidad radica en abrir el paréntesis, porque

VII. Conversión de expresiones que contienen exponentes.

No. 1011 (Alg.9) Simplifique la expresión:

No. 1012 (Alg.9) Retire el multiplicador de debajo del signo raíz:

No. 1013 (Alg.9) Ingrese un factor debajo del signo raíz:

No. 1014 (Alg.9) Simplifique la expresión:

En todos los ejemplos, primero realice la factorización o la resta del factor común, o "vea" fórmula correspondiente abreviaturas.

No. 1015 (Alg.9) Reducir la fracción:

Muchos estudiantes experimentan algunas dificultades al transformar expresiones que contienen raíces, en particular cuando estudian igualdad:

Por lo tanto, describa en detalle expresiones de la forma o o ir a un grado con exponente racional.

No. 1018 (Alg.9) Encuentra el valor de la expresión:

No. 1019 (Alg.9) Simplifique la expresión:

2.285 (Skanavi) Simplifica la expresión

y luego trazar la función y Para

No. 2.299 (Skanavi) Verificar la validez de la igualdad:

La transformación de expresiones que contienen un título es una generalización de las habilidades y destrezas adquiridas en el estudio de transformaciones idénticas de polinomios.

No. 2.320 (Skanavi) Simplifica la expresión:

El curso de Álgebra 7 proporciona las siguientes definiciones.

Def. Dos expresiones cuyos valores correspondientes son iguales para los valores de las variables se dicen que son idénticamente iguales.

Def. La igualdad es cierta para cualquier valor de las variables llamadas. identidad.

No. 94 (Alg.7) Es la igualdad:

a)

do)

d)

Definición de descripción: Reemplazar una expresión con otra expresión idénticamente igual se llama transformación idéntica o simplemente transformación de una expresión. Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.

No. (Alg.7) Entre las expresiones

Encuentre aquellos que sean idénticamente iguales.

Tema: “Transformaciones idénticas de expresiones” (técnica de pregunta)

El primer tema de "Álgebra-7" - "Expresiones y sus transformaciones" ayuda a consolidar las habilidades computacionales adquiridas en los grados 5-6, sistematizar y generalizar información sobre transformaciones de expresiones y soluciones a ecuaciones.

Encontrar los valores de numérico y expresiones literales permite repetir con los estudiantes las reglas de acción con numeros racionales. Capacidad de realizar operaciones aritméticas con números racionales son la base de todo el curso de álgebra.

Al considerar las transformaciones de expresiones, las habilidades formales y operativas se mantienen en el mismo nivel que se logró en los grados 5 y 6.

Sin embargo, aquí los estudiantes alcanzan un nuevo nivel en el dominio de la teoría. Los conceptos “idénticamente expresiones iguales"", "identidad", "transformaciones idénticas de expresiones", cuyo contenido se irá revelando y profundizando constantemente en el estudio de transformaciones de diversas expresiones algebraicas. Se enfatiza que la base de las transformaciones de identidad son las propiedades de las operaciones con números.

Al estudiar el tema "Polinomios", se forman habilidades operativas formales de transformaciones idénticas de expresiones algebraicas. Las fórmulas de multiplicación abreviadas contribuyen al proceso posterior de desarrollo de la capacidad de realizar transformaciones idénticas de expresiones enteras; la capacidad de aplicar fórmulas tanto para la multiplicación abreviada como para la factorización de polinomios se utiliza no solo para transformar expresiones enteras, sino también en operaciones con fracciones y raíces. , potencias con exponente racional .

En 8º grado se practican las habilidades adquiridas de transformaciones identitarias en acciones con fracciones algebraicas, raíz cuadrada y expresiones que contienen potencias con exponente entero.

En el futuro, las técnicas de transformación de identidad se reflejarán en expresiones que contengan un grado con exponente racional.

grupo especial Las transformaciones de identidad son expresiones trigonométricas y expresiones logarítmicas.

A resultados obligatorios La matrícula para los cursos de álgebra en los grados 7-9 incluye:

1) transformaciones de identidad de expresiones enteras

a) abrir y cerrar soportes;

b) traer miembros similares;

c) suma, resta y multiplicación de polinomios;

d) factorizar polinomios poniendo el factor común entre paréntesis y fórmulas de multiplicación abreviadas;

e) descomposición trinomio cuadrático por multiplicadores.

“Matemáticas en la escuela” (B.U.M.) p.110

2) transformaciones idénticas de expresiones racionales: suma, resta, multiplicación y división de fracciones, así como aplicar las habilidades enumeradas al realizar transformaciones combinadas simples [p. 111]

3) los estudiantes deberían poder realizar transformaciones de expresiones simples que contengan potencias y raíces. (págs. 111-112)

Se consideraron los principales tipos de problemas, cuya capacidad de resolución permite al estudiante recibir una calificación positiva.

Uno de los aspectos más importantes de la metodología para estudiar las transformaciones de identidad es el desarrollo por parte del estudiante de metas para realizar transformaciones de identidad.

1) - simplificación valor numérico expresiones

2) cuál de las transformaciones se debe realizar: (1) o (2) El análisis de estas opciones es una motivación (preferible (1), ya que en (2) el alcance de la definición se reduce)

3) Resuelve la ecuación:

Factorizar al resolver ecuaciones.

4) Calcular:

Apliquemos la fórmula de multiplicación abreviada:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Encuentra el valor de la expresión:

Para encontrar el valor, multiplica cada fracción por su conjugado:

6) Grafica la función:

Seleccionemos la parte completa: .

La prevención de errores al realizar transformaciones de identidad se puede lograr mediante diversos ejemplos de su implementación. En este caso se practican técnicas “pequeñas” que, como componentes, se incluyen en un proceso de transformación mayor.

Por ejemplo:

Dependiendo de las direcciones de la ecuación, se pueden considerar varios problemas: multiplicación de polinomios de derecha a izquierda; de izquierda a derecha - factorización. Lado izquierdo es múltiplo de uno de los factores del lado derecho, etc.

Además de variar los ejemplos, puedes utilizar Apología entre identidades e igualdades numéricas.

La siguiente técnica es la explicación de las identidades.

Para aumentar el interés de los estudiantes, podemos incluir la búsqueda de varias maneras resolución de problemas.

Las lecciones sobre el estudio de las transformaciones de la identidad serán más interesantes si las dedicas a buscando una solución al problema .

Por ejemplo: 1) reducir la fracción:

3) probar la fórmula “ radical complejo»

Considerar:

transformemos lado derecho igualdad:

-

la suma de expresiones conjugadas. Se podrían multiplicar y dividir por su conjugado, pero tal operación nos llevaría a una fracción cuyo denominador es la diferencia de los radicales.

Observa que el primer término de la primera parte de la identidad es un número mayor que el segundo, por lo que podemos elevar ambas partes al cuadrado:

lección practica №3.

Tema: Transformaciones idénticas de expresiones (técnica de la pregunta).

Literatura: “Taller sobre MPM”, págs. 87-93.

Firmar alta cultura cálculos y transformaciones de identidad, los estudiantes tienen un conocimiento sólido de las propiedades y algoritmos de operaciones sobre cantidades exactas y aproximadas y su hábil aplicación; técnicas racionales cálculos y transformaciones y su verificación; capacidad para justificar el uso de métodos y reglas de cálculos y transformaciones, automaticidad de habilidades ejecución sin errores operaciones informáticas.

¿En qué grado deberían los estudiantes comenzar a trabajar en el desarrollo de las habilidades enumeradas?

La línea de transformaciones idénticas de expresiones comienza con el uso de técnicas. calculo racional Comienza con el uso de técnicas para calcular racionalmente los valores de expresiones numéricas. (5to grado)

Al estudiar tales temas. curso escolar se les debe dar matemáticas atención especial!

La implementación consciente de las transformaciones de identidad por parte de los estudiantes se facilita al comprender el hecho de que las expresiones algebraicas no existen por sí solas, sino en conexión irrompible con algún conjunto numérico, son registros generalizados de expresiones numéricas. Analogías entre algebraico y expresiones numéricas(y sus transformaciones) son legales en un sentido lógico, su uso en la enseñanza ayuda a prevenir errores en los estudiantes.

Las transformaciones de identidad no son ninguna un tema separado curso de matemáticas escolar, se estudian a lo largo del curso de álgebra y los inicios del análisis matemático.

El programa de matemáticas para los grados 1 a 5 es material propedéutico para estudiar transformaciones idénticas de expresiones con una variable.

En el curso de álgebra de séptimo grado. Se introduce la definición de identidad y transformaciones de identidad.

Def. Se llaman dos expresiones cuyos valores correspondientes son iguales para cualquier valor de las variables. idénticamente iguales.

AOD. Una igualdad que es verdadera para cualquier valor de las variables se llama identidad.

El valor de la identidad radica en que permite sustituir una expresión determinada por otra idénticamente igual a ella.

Def. Reemplazar una expresión con otra expresión idénticamente igual se llama transformación idéntica o simplemente transformación expresiones.

Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.

La base de las transformaciones de identidad puede considerarse transformaciones equivalentes.

AOD. Se llaman dos oraciones, cada una de las cuales es una consecuencia lógica de la otra. equivalente.

AOD. Se llama oración con variables A. consecuencia de una oración con variables B, si el dominio de verdad B es un subconjunto del dominio de verdad A.

Se puede dar otra definición de oraciones equivalentes: dos oraciones con variables son equivalentes si sus dominios de verdad coinciden.

a) B: x-1=0 sobre R; A: (x-1) 2 sobre R => A~B, porque áreas de verdad (solución) coinciden (x=1)

b) A: x=2 sobre R; B: x 2 =4 sobre R => dominio de verdad A: x = 2; dominio de verdad B: x=-2, x=2; porque el dominio de verdad de A está contenido en B, entonces: x 2 =4 es consecuencia de la proposición x = 2.

La base de las transformaciones de identidad es la capacidad de representar el mismo número en diferentes formas. Por ejemplo,

-

Esta representación ayudará al estudiar el tema "propiedades básicas de las fracciones".

Las habilidades para realizar transformaciones de identidad comienzan a desarrollarse al resolver ejemplos similares al siguiente: “Encuentra el valor numérico de la expresión 2a 3 +3ab+b 2 con a = 0.5, b = 2/3”, que se ofrecen a los estudiantes de grado. 5 y permiten el concepto propedéutico de función.

Al estudiar fórmulas de multiplicación abreviadas, debes prestar atención a su profunda comprensión y fuerte asimilación. Para ello, puede utilizar la siguiente ilustración gráfica:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Pregunta: ¿Cómo explicar a los estudiantes la esencia de las fórmulas dadas basándose en estos dibujos?

Un error común es confundir las expresiones “cuadrado de la suma” y “suma de cuadrados”. La indicación del profesor de que estas expresiones difieren en el orden de operación no parece significativa, ya que los estudiantes creen que estas acciones se realizan sobre los mismos números y por lo tanto el resultado no cambia al cambiar el orden de las acciones.

Tarea: Crear ejercicios orales para desarrollar las habilidades de los estudiantes en el uso de las fórmulas anteriores sin errores. ¿Cómo podemos explicar en qué se parecen estas dos expresiones y en qué se diferencian entre sí?

La gran variedad de transformaciones idénticas dificulta que los estudiantes se orienten en cuanto al propósito para el cual se realizan. El conocimiento confuso del propósito de realizar transformaciones (en cada caso específico) afecta negativamente su conciencia y sirve como fuente. errores masivos estudiantes. Esto sugiere que es importante explicar a los estudiantes los objetivos de realizar diversas transformaciones de identidad. parte integrante métodos para estudiarlos.

Ejemplos de motivaciones para transformaciones de identidad:

1. simplificación de la ubicación valor numérico expresiones;

2. elegir una transformación de la ecuación que no conduzca a la pérdida de la raíz;

3. Al realizar una transformación, puedes marcar su área de cálculo;

4. uso de transformaciones en los cálculos, por ejemplo, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Para gestionar el proceso de decisión, es importante que el profesor tenga la capacidad de dar una descripción precisa de la esencia del error cometido por el alumno. La caracterización precisa del error es clave para la elección correcta acciones posteriores realizadas por el docente.

Ejemplos de errores de estudiantes:

1. realizar la multiplicación: el estudiante recibió -54abx 6 (7 celdas);

2. Al elevar a una potencia (3x 2) 3 el estudiante recibió 3x 6 (7 notas);

3. transformando (m + n) 2 en un polinomio, el estudiante recibió m 2 + n 2 (séptimo grado);

4. Reduciendo la fracción que recibió el estudiante (8 notas);

5. realizar restas: , el estudiante escribe (8vo grado)

6. Al representar una fracción en forma de fracciones, el alumno recibió: (8 grados);

7. Eliminación raíz aritmética el estudiante recibió x-1 (grado 9);

8. resolver la ecuación (noveno grado);

9. transformando la expresión, el alumno recibe: (9º grado).

Conclusión

El estudio de las transformaciones identitarias se lleva a cabo en estrecha conexión con conjuntos numéricos estudiados en una clase particular.

Al principio, se debe pedir al alumno que explique cada paso de la transformación, para que formule las reglas y leyes que se aplican.

En transformaciones idénticas de expresiones algebraicas se utilizan dos reglas: sustitución y reemplazo por iguales. La sustitución se utiliza con mayor frecuencia porque El cálculo mediante fórmulas se basa en ello, es decir encuentre el valor de la expresión a*b con a=5 y b=-3. Muy a menudo, los estudiantes descuidan los paréntesis cuando realizan operaciones de multiplicación, creyendo que el signo de multiplicación está implícito. Por ejemplo, es posible la siguiente entrada: 5*-3.

Literatura

1. I.A. Azárov, S.A. Barvenov “Funcional y métodos gráficos resolver problemas de exámenes”, Mn..Aversev, 2004

2. EN. Piryutko " Errores comunes en pruebas centralizadas", Mn..Aversev, 2006

3. I.A. Azárov, S.A. Barvenov “Tareas trampa en pruebas centralizadas”, Mn.Aversev, 2006

4. I.A. Azárov, S.A. Barvenov “Métodos de solución problemas trigonométricos", Mn..Aversev, 2005

Entre varias expresiones, que se consideran en álgebra, lugar importante ocupan sumas de monomios. A continuación se muestran ejemplos de tales expresiones:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

La suma de monomios se llama polinomio. Los términos de un polinomio se llaman términos del polinomio. Los monomios también se clasifican como polinomios, considerándose un monomio como un polinomio formado por un miembro.

Por ejemplo, un polinomio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
se puede simplificar.

Representemos todos los términos en forma de monomios de la forma estándar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Presentemos términos similares en el polinomio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
El resultado es un polinomio, cuyos términos son monomios de la forma estándar, y entre ellos no hay ninguno similar. Estos polinomios se llaman polinomios de forma estándar.

Para grado de polinomio de forma estándar asumen el más alto de los poderes de sus miembros. Así, el binomio \(12a^2b - 7b\) tiene el tercer grado, y el trinomio \(2b^2 -7b + 6\) tiene el segundo.

Normalmente, los términos de los polinomios en forma estándar que contienen una variable se organizan en orden descendente de exponentes. Por ejemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

La suma de varios polinomios se puede transformar (simplificar) en un polinomio de forma estándar.

A veces es necesario dividir los términos de un polinomio en grupos, encerrando cada grupo entre paréntesis. Dado que encerrar paréntesis es la transformación inversa de abrir paréntesis, es fácil de formular reglas para abrir corchetes:

Si se coloca un signo “+” antes de los corchetes, entonces los términos entre paréntesis se escriben con los mismos signos.

Si se coloca un signo “-” antes de los corchetes, entonces los términos entre paréntesis se escriben con signos opuestos.

Transformación (simplificación) del producto de un monomio y un polinomio

Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, puedes transformar (simplificar) el producto de un monomio y un polinomio en un polinomio. Por ejemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

El producto de un monomio y un polinomio es idénticamente igual a la suma de los productos de este monomio y cada uno de los términos del polinomio.

Este resultado suele formularse como regla.

Para multiplicar un monomio por un polinomio, debes multiplicar ese monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ya hemos utilizado esta regla varias veces para multiplicar por una suma.

Producto de polinomios. Transformación (simplificación) del producto de dos polinomios

En general, el producto de dos polinomios es idénticamente igual a la suma del producto de cada término de un polinomio por cada término del otro.

Generalmente se utiliza la siguiente regla.

Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro y sumar los productos resultantes.

Fórmulas de multiplicación abreviadas. Suma de cuadrados, diferencias y diferencia de cuadrados.

Con algunas expresiones en transformaciones algebraicas tener que lidiar con más frecuencia que otros. Quizás las expresiones más comunes sean \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) y \(a^2 - b^2 \), es decir, el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia y diferencia de cuadrados. ¿Has notado que los nombres expresiones especificadas como si no estuviera completo, por ejemplo, \((a + b)^2 \) es, por supuesto, no solo el cuadrado de la suma, sino el cuadrado de la suma de a y b. Sin embargo, el cuadrado de la suma de a y b no suele aparecer con mucha frecuencia; en lugar de las letras a y b, contiene diversas expresiones, a veces bastante complejas.

Las expresiones \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) se pueden convertir (simplificar) fácilmente en polinomios de la forma estándar; de hecho, ya se ha encontrado con una tarea de este tipo al multiplicar polinomios; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Es útil recordar las identidades resultantes y aplicarlas sin cálculos intermedios. Las formulaciones verbales breves ayudan a esto.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - cuadrado de la suma igual a la suma cuadrados y duplicar el producto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - el cuadrado de la diferencia es igual a la suma de los cuadrados sin el doble producto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia por la suma.

Estas tres identidades permiten en las transformaciones reemplazar sus partes izquierdas por las derechas y viceversa: las partes derechas por las izquierdas. Lo más difícil es ver las expresiones correspondientes y entender cómo se reemplazan en ellas las variables a y b. Veamos varios ejemplos del uso de fórmulas de multiplicación abreviadas.