Potencial vectorial campo magnético.

Del teorema de Gauss para campo vectorial V forma diferencial de ello se deduce que el campo se puede representar como un rotor de un campo vectorial auxiliar llamado potencial vectorial:

porque el . Nótese que la posibilidad descrita también se manifiesta al analizar la ley de Biot-Savart-Laplace (ecuación 2 de la sección 6.1) teniendo en cuenta la relación (7) de la sección 6.4. Esto es natural, ya que el teorema de Gauss para el campo vectorial de inducción magnética es consecuencia de la ley de Biot-Savart-Laplace. El significado físico en magnetostática se atribuye al campo vectorial, por lo que el potencial vectorial, en general, se define hasta el gradiente de cualquier función escalar. De hecho, si , donde es un campo escalar, y , entonces tenemos: , es decir, para , ya que . La arbitrariedad en la determinación del potencial vectorial se puede aprovechar exigiendo adicionalmente el cumplimiento de la condición

La condición (2) se denomina "medidor de Coulomb del potencial vectorial del campo magnético". La condición (2) conlleva consecuencias de gran alcance, por lo que es muy importante la cuestión de si el campo magnético tiene las propiedades indicadas en todos los casos. Que se cumpla la condición

, .

Requerimos que se cumpla la condición (2):

Para la función escalar deseada, la ecuación de Poisson con la conocida lado derecho. Si lo consideramos en un espacio ilimitado y usamos homogéneos condiciones fronterizas del primer tipo en el infinito para la función deseada, luego por analogía con uno de los principales resultados de la electrostática

se puede escribir

.

Por tanto, se demuestra que la calibración de Coulomb del potencial vectorial es factible en condiciones magnetostáticas. Su uso práctico requiere cierta precaución: si se utiliza la calibración de Coulomb del potencial vectorial, es necesario rastrear su implementación de manera consistente en todas las relaciones matemáticas del problema que describen la situación física real.

De la ley de Biot-Savart-Laplace y la relación (4) de la sección 6.1 se deduce que el campo magnético formado por una carga eléctrica puntual separada que se mueve con velocidad constante, tiene la forma:

. (2)

Aquí está el radio vector de la posición instantánea de la carga eléctrica, es el radio vector punto arbitrario espacio, la diferencia es un vector dibujado desde el final del vector (es decir, desde el punto donde se encuentra la carga) hasta el final del vector (es decir, hasta el punto descrito en el espacio).

El potencial vectorial de dicho campo se puede describir mediante la expresión:

. (3)

En la magnetostática moderna no existe ningún método para derivar la expresión (3), sólo hay que adivinarla, pero se puede comprobar:

Recordamos al lector que la operación putrefacción en las relaciones (4) se cumple para variables no primadas, es decir según las coordenadas de un punto arbitrario en el espacio. Comparando la expresión (3) para el potencial vectorial y la expresión para el potencial escalar campo electrostático carga eléctrica puntual separada

, (5)

obtenemos la dependencia:

. (6)

La dependencia (6) es profunda significado fisico: la electrostática y la magnetostática están interconectadas internamente; no se debe pensar que son completamente independientes entre sí.

De las relaciones (5) y (3) podemos obtener:

, (7)

, (8)

donde está la densidad volumétrica de la carga eléctrica, es el vector Densidad a Granel actual, - elemento de volumen, - distancia entre el elemento de volumen y el punto de observación. Si una corriente eléctrica fluye a través de un conductor delgado, el elemento de la línea curva con la corriente genera un elemento de potencial vectorial en el espacio circundante (Fig. 1).

Que es igual al campo vectorial dado.

Formalmente, si v- campo vectorial, potencial vectorial llamado campo vectorial A tal que

$\backslash mathbf(v)\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf(A).$

Si A es el potencial vectorial para el campo v, entonces de la identidad

$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf(A))\; =\; 0$

Para cualquier campo vectorial solenoidal que satisfaga ciertas condiciones, existe un potencial vectorial. En particular, su existencia depende de la región en la que se define el campo; en el caso de una región conexa múltiple, el potencial campo de vórtice normalmente no existe.

Teorema

$\backslash mathbf(v):\; \backslash mathbb\; R^3\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R^3$

Ambigüedad en la elección del potencial.

El potencial vectorial de un campo vectorial solenoidal se determina de forma ambigua. Si A es el potencial vectorial para v, es también

$\backslash mathbf(A)\; +\; \backslash nabla\; m$

Dónde metro- cualquier continuamente diferenciable función escalar. Esto es una consecuencia del hecho de que la curvatura del gradiente es cero.

En electrodinámica, esto genera ambigüedad a la hora de determinar los potenciales. campo electromagnetico y se resuelve imponiendo al potencial Condición adicional calibración

Potencial vectorial en física

ecuaciones de maxwell

Así como el potencial escalar está relacionado con el concepto de energía, el potencial vectorial revela conexión cercana con el concepto de impulso. Así, en el caso de una interrupción rápida del campo magnético, la partícula ubicada en él recibe un impulso adicional qA.

ver también

Escribe una reseña sobre el artículo "Potencial vectorial"

Un extracto que caracteriza el potencial vectorial.

Han pasado cuatro semanas desde la captura de Pierre. A pesar de que los franceses se ofrecieron a trasladarlo de la caseta de un soldado a la de un oficial, permaneció en la caseta en la que entró desde el primer día.
En la devastada y quemada Moscú, Pierre experimentó casi los límites extremos de penurias que una persona puede soportar; pero, gracias a su fuerte constitución y a su salud, de la que hasta ahora no había sido consciente, y especialmente a que estas penurias se acercaban tan imperceptiblemente que era imposible decir cuándo comenzaron, soportó su situación no sólo fácilmente, pero también con alegría. Y fue en ese mismo momento cuando recibió esa paz y satisfacción personal por las que antes se había esforzado en vano. Durante mucho tiempo en su vida buscó con lados diferentes Esta tranquilidad, el acuerdo consigo mismo, lo que tanto le llamó la atención en los soldados en la batalla de Borodino, lo buscó en la filantropía, en la masonería, en la dispersión. vida social, en el vino, en la hazaña heroica del autosacrificio, en amor romántico a Natacha; buscó esto a través del pensamiento, y todas estas búsquedas e intentos lo engañaron. Y él, sin pensarlo, recibió esta paz y este acuerdo consigo mismo sólo a través del horror de la muerte, de las privaciones y de lo que entendió en Karataev. Aquellos terribles minutos que vivió durante la ejecución parecieron borrarse para siempre de su imaginación y recuerdos. pensamientos ansiosos y sentimientos que antes le parecían importantes. Ni siquiera se le ocurrió pensar en Rusia, ni en la guerra, ni en la política, ni en Napoleón. Para él era obvio que todo esto no le concierne, que no estaba llamado y por tanto no podía juzgar todo esto. “No hay tiempo para Rusia, no hay unión”, repitió las palabras de Karataev, y estas palabras lo tranquilizaron extrañamente. Su intención de matar a Napoleón y sus cálculos sobre el número cabalístico y la bestia del Apocalipsis le parecían ahora incomprensibles e incluso ridículos. Su ira contra su esposa y su ansiedad por no deshonrar su nombre ahora le parecían no sólo insignificantes, sino también divertidas. ¿Qué le importaba a él el hecho de que esta mujer estuviera llevando la vida que le gustaba en algún lugar allá afuera? ¿A quién, especialmente a él, le importaba saber o no que el nombre de su prisionero era el Conde Bezujov?
Ahora recordaba a menudo su conversación con el Príncipe Andrei y estaba completamente de acuerdo con él, sólo que entendía el pensamiento del Príncipe Andrei de manera algo diferente. El príncipe Andrés pensó y dijo que la felicidad sólo puede ser negativa, pero lo dijo con un dejo de amargura e ironía. Como si al decir esto expresara otro pensamiento: que todas las aspiraciones de felicidad positiva que tenemos puestas lo son sólo para atormentarnos, no para satisfacernos. Pero Pierre, sin pensarlo dos veces, reconoció la justicia de esto. La ausencia de sufrimiento, la satisfacción de las necesidades y, como resultado, la libertad de elegir ocupaciones, es decir, una forma de vida, ahora le parecía a Pierre la indudable y más alta felicidad de una persona. Aquí, ahora sólo por primera vez, Pierre apreció plenamente el placer de comer cuando tenía hambre, beber cuando tenía sed, dormir cuando tenía sed, calor cuando tenía frío, hablar con una persona cuando quería hablar y escuchar. a una voz humana. La satisfacción de las necesidades (buena comida, limpieza, libertad) ahora que estaba privado de todo esto le parecía a Pierre la felicidad perfecta, y la elección de una ocupación, es decir, la vida, ahora que esta elección era tan limitada, le parecía tan fue un asunto fácil que olvidó que un exceso de las comodidades de la vida destruye toda la felicidad de satisfacer las necesidades, y mayor libertad elección de ocupación, la libertad que la educación, la riqueza y la posición en el mundo le dieron en su vida, que esta libertad hace que la elección de ocupación sea insolublemente difícil y destruye la necesidad y posibilidad misma de la ocupación.

En este capítulo continuaremos la conversación sobre magnetostática, es decir, sobre campos magnéticos constantes y corrientes directas. Campo magnético y Corrientes eléctricas conectado por nuestras ecuaciones básicas:

Esta vez necesitamos resolver estas ecuaciones matemáticamente de la manera más de manera general, en lugar de referirse a alguna simetría o intuición especial. En electrostática hemos encontrado una manera directa de calcular el campo cuando las posiciones de todos cargas eléctricas: El potencial escalar φ viene dado simplemente por la integral sobre las cargas, como en la ecuación (4.25) en la página 77. Si entonces se necesita el campo eléctrico, se obtiene derivando φ. Ahora demostraremos que existe un procedimiento similar para encontrar el campo B si se conoce la densidad de corriente j de todas las cargas en movimiento.

En electrostática, como hemos visto (debido al hecho de que la descomposición de E es igual a cero en todas partes), siempre es posible representar E como un gradiente de campo escalarφ. Pero pudrirse de B no en todas partes es igual a cero, por lo que generalmente es imposible representarlo como un gradiente. Sin embargo divergencia B es igual a cero en todas partes, lo que significa que podemos representar B como rotor de otro campo vectorial. Porque, como vimos en el cap. 2, § 8, la divergencia del rotor es siempre cero. Por tanto, siempre podemos expresar B en términos de un campo, al que llamaremos A:

O, describiendo los componentes:

Escribir B=vxA garantiza el cumplimiento de (14.1), porque es necesario

El campo A se llama potencial vectorial.

Recordemos que el potencial escalar φ no está completamente definido. Si hemos encontrado el potencial φ para un determinado problema, entonces siempre podemos encontrar otro potencial φ′ igualmente bueno sumando una constante:

El nuevo potencial φ′ da los mismos campos eléctricos, porque el gradiente vС es cero; φ′ y φ corresponden a la misma imagen.

De la misma manera, podemos tener varios potenciales vectoriales A que conduzcan a los mismos campos magnéticos. Nuevamente, dado que B se obtiene de A por diferenciación, agregar una constante a A no cambia la física de la materia. Pero para A hay más libertad. Podemos agregar a A cualquier campo que sea un gradiente de algún campo escalar sin cambiar la física. Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Tengamos A, que está en algunos problema real da el campo B correcto. La pregunta es, ¿en qué condiciones otro vector potencial A′, sustituido en (14.3), da lo mismo campo B. Esto significa que A y A′ tienen el mismo rotor

Pero si la curvatura de un vector es cero, entonces el vector debe ser el gradiente de algún campo escalar, digamos ψ, entonces A′—A=vψ. Esto significa que si A es un potencial vectorial correspondiente a un problema dado, entonces para cualquier ψ

también será un vector potencial, en en el mismo grado satisfaciendo este problema y conduciendo al mismo campo B.

Generalmente es conveniente reducir la “libertad” de A imponiéndole arbitrariamente alguna otra condición (casi de la misma manera nos pareció conveniente - bastante a menudo - elegir el potencial φ igual a cero en largas distancias). Podemos, por ejemplo, limitar A imponiéndole una condición tal que la divergencia de A sea igual a algo. Siempre podemos hacer esto sin afectar a B. Esto sucede porque, aunque A′ y A tienen el mismo rotor y dan el mismo B, no tienen por qué tener la misma divergencia. De hecho, v·A` = v·A+ v 2 ψ, y eligiendo el ψ apropiado, podemos darle a v·A′ cualquier valor.

¿A qué debería equipararse v·A? La elección debe proporcionar la mayor comodidad matemática y depende de nuestra tarea. Para magnetostático y haremos una elección sencilla

(Más adelante, cuando pasemos a la electrodinámica, cambiaremos nuestra elección.) Entonces, nuestra definición completa Y en este momento hay vxA = B y v A = 0.

Para acostumbrarnos al potencial vectorial, veamos primero a qué es igual para un campo magnético uniforme B 0. Eligiendo el eje z en la dirección B 0, debemos tener

Al observar estas ecuaciones, vemos que una de soluciones posibles Hay

O también podrías tomar

Otra solución es una combinación de las dos primeras.

Está claro que para cada campo B el potencial vectorial A no es único; hay muchas posibilidades.

La tercera solución [ecuación (14.8)] tiene la serie propiedades interesantes. Dado que la componente x es proporcional a -y, y la componente y es proporcional a +x, entonces el vector A debe ser perpendicular al vector dibujado desde el eje z, que denotaremos por r′ (el signo primo significa que no es un vector distancia desde el origen). Además, la cantidad A es proporcional a √x 2 + y 2 y, por tanto, proporcional a r`. Por lo tanto, A (para un campo homogéneo) se puede escribir simplemente

El potencial vectorial A es igual en magnitud Br′/2 y gira alrededor del eje z como se muestra en la Fig. 14.1. Si, por ejemplo, el campo B es un campo dentro del solenoide a lo largo de su eje, entonces el potencial vectorial circula exactamente de la misma manera que las corrientes en el solenoide.

El potencial vectorial de un campo uniforme se puede obtener de otra forma. La circulación A a lo largo de cualquier circuito cerrado D se puede expresar en términos de integral de superficie de vХА usando el teorema de Stokes [Ecuación (3.38), página 63]

Pero la integral de la derecha igual al flujo A través del bucle, entonces

Entonces, la circulación A a lo largo cualquier El bucle es igual al flujo B a través del bucle. Si tomamos un bucle circular de radio r' en un plano perpendicular a campo homogéneo B, entonces el flujo será exactamente igual

Si elegimos el origen en el centro del bucle, de modo que A pueda considerarse tangencialmente dirigido y una función sólo de r′, entonces la circulación será igual a

Como antes, obtenemos

Consideremos el campo magnético de una corriente estacionaria. Dejemos que la densidad de corriente dependa sólo de las coordenadas y sea distinta de cero en una región finita del espacio. Dado que la corriente estacionaria no tiene fuentes, entonces

y las líneas de densidad de corriente estacionaria están cerradas. El campo eléctrico de dicha distribución de carga estática se determina mediante las fórmulas del artículo 27.

El campo magnético de una corriente estacionaria según (25.03) satisface las ecuaciones

La última igualdad muestra que el campo magnético es un vórtice. Por lo tanto podemos poner

El vector A se llama potencial vectorial del campo magnético. Cuando campo estacionario Y depende sólo de las coordenadas del punto.

El potencial vectorial determina de forma única la intensidad del campo magnético. El campo magnético determina el potencial vectorial hasta el gradiente de algún escalar. De hecho, el potencial vectorial A igual a

donde algún escalar define el mismo campo:

El potencial vectorial puede hacerse inequívoco imponiéndole una condición adicional.

llamada condición de calibración. La condición de calibración siempre puede cumplirse: si entonces siempre es posible seleccionar una función tal que

Para determinar el potencial vectorial, sustituimos B de (34.03) en la primera ecuación (34.02). Entonces

Debido a la condición de calibración (34.05)

Esta ecuación determina el potencial vectorial según distribución dada actual Es similar a la ecuación de Poisson (27.01) para el potencial escalar. Dado que la función de Green para el operador de Laplace está definida en el § 27, la solución (34.06) se puede escribir inmediatamente

Asegurémonos de que se cumpla la condición de calibración (34.05). Denotemos por V el operador tomado según las coordenadas del punto de observación, y por V el operador tomado según las coordenadas del punto fuente. Tenga en cuenta que en aplicación a funciones desde.

Que es igual al campo vectorial dado.

Formalmente, si v- campo vectorial, potencial vectorial llamado campo vectorial A tal que

Si A es el potencial vectorial para el campo v, entonces de la identidad

Para cualquier campo vectorial solenoidal que satisfaga ciertas condiciones, existe un potencial vectorial. En particular, su existencia depende de la región en la que se define el campo; en el caso de una región multiconexa, el potencial del campo de vórtice generalmente no existe.

Teorema

Ambigüedad en la elección del potencial.

El potencial vectorial de un campo vectorial solenoidal se determina de forma ambigua. Si A es el potencial vectorial para v, es también

Dónde metro- cualquier función escalar continuamente diferenciable. Esto es una consecuencia del hecho de que la curvatura del gradiente es cero.

En electrodinámica, esto genera ambigüedad en la determinación de los potenciales del campo electromagnético y se resuelve imponiendo una condición de calibración adicional al potencial.

Potencial vectorial en física

ecuaciones de maxwell

Así como el potencial escalar está asociado con el concepto de energía, el potencial vectorial revela una estrecha conexión con el concepto de impulso. Así, en el caso de una interrupción rápida del campo magnético, la partícula ubicada en él recibe un impulso adicional qA.

ver también

• vector de hercios

Notas

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es "potencial vectorial" en otros diccionarios:

El potencial que determina la parte del vórtice del vector cero. En electrodinámica, el campo es magnético. la inducción B es estrictamente de vórtice; para este campo, se introduce el potencial vectorial A(B = rot A) ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

potencial vectorial- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Diccionario inglés-ruso de ingeniería eléctrica e ingeniería energética, Moscú, 1999] Temas de ingeniería eléctrica, conceptos básicos EN potencial vectorial ... Guía del traductor técnico

potencial vectorial- potencial de velocidad del vórtice; industria potencial vectorial Función vectorial A, cuyo rotor igual a la velocidad movimiento de vórtice de líquido... Diccionario explicativo terminológico politécnico.

potencial vectorial- vektorinis potencialas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis A, kurio rotorius lygus magnetinio srauto tankiui, t. y. B = podredumbre A. atitikmenys: engl. potencial vectorial magnético vok. Potencial vectorial, n rus.…… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas