Fractales en chimie. Laboratoire de recherche spatiale

Fractale

Fractale (lat. fracturé- écrasé, brisé, brisé) est une figure géométrique qui a la propriété d'autosimilarité, c'est-à-dire composée de plusieurs parties dont chacune est similaire à la figure entière. En mathématiques, les fractales sont comprises comme des ensembles de points en euclidien. espaces qui ont une dimension métrique fractionnaire (au sens de Minkowski ou Hausdorff), ou une dimension métrique différente de la dimension topologique. La fractasme est une science exacte indépendante d'étude et de composition de fractales.

En d’autres termes, les fractales sont des objets géométriques ayant une dimension fractionnaire. Par exemple, la dimension d'une ligne est 1, l'aire est 2 et le volume est 3. Pour une fractale, la valeur de dimension peut être comprise entre 1 et 2 ou entre 2 et 3. Par exemple, la dimension fractale d'un objet froissé la boule de papier mesure environ 2,5. En mathématiques, il existe une formule complexe spéciale pour calculer la dimension des fractales. Les branches des tubes trachéaux, les feuilles des arbres, les veines de la main, une rivière – ce sont des fractales. En termes simples, une fractale est une figure géométrique dont une certaine partie est répétée encore et encore, changeant de taille - c'est le principe d'autosimilarité. Les fractales sont similaires à elles-mêmes, elles se ressemblent à tous les niveaux (c'est-à-dire à n'importe quelle échelle). Il existe de nombreux types de fractales. En principe, on peut affirmer que tout ce qui existe dans le monde réel est une fractale, qu'il s'agisse d'un nuage ou d'une molécule d'oxygène.

Le mot « chaos » fait penser à quelque chose d’imprévisible, mais en réalité, le chaos est tout à fait ordonné et obéit à certaines lois. L’objectif de l’étude du chaos et des fractales est de prédire des modèles qui, à première vue, peuvent sembler imprévisibles et complètement chaotiques.

Le pionnier dans ce domaine de connaissance fut le mathématicien franco-américain, le professeur Benoit B. Mandelbrot. Au milieu des années 1960, il développe la géométrie fractale dont le but est d’analyser les formes brisées, ridées et floues. L'ensemble de Mandelbrot (représenté sur la figure) est la première association qui surgit chez une personne lorsqu'elle entend le mot « fractale ». À propos, Mandelbrot a déterminé que la dimension fractale du littoral anglais est de 1,25.

Les fractales trouvent tout une plus grande application en sciences. Ils décrivent monde réel encore mieux que la physique ou les mathématiques traditionnelles. Mouvement brownien- c'est par exemple le mouvement aléatoire et chaotique des particules de poussières en suspension dans l'eau. Ce type de mouvement est peut-être l’aspect de la géométrie fractale qui a l’utilité la plus pratique. Le mouvement brownien aléatoire a une réponse en fréquence qui peut être utilisée pour prédire des phénomènes tels que grandes quantités données et statistiques. Par exemple, Mandelbrot a prédit les changements dans les prix de la laine en utilisant le mouvement brownien.

Le mot « fractale » peut être utilisé non seulement comme terme mathématique. Dans la presse et la littérature scientifique populaire, une fractale peut être appelée une figure qui possède l'une des propriétés suivantes :

Sa structure est non triviale à toutes les échelles. Ceci contraste avec les figures régulières (comme un cercle, une ellipse, un graphique d'une fonction lisse) : si l'on considère un petit fragment d'une figure régulière à très grande échelle, il ressemblera à un fragment de ligne droite. Pour une fractale, augmenter l’échelle ne conduit pas à une simplification de la structure ; à toutes les échelles, nous verrons une image tout aussi complexe.

Est auto-similaire ou approximativement auto-similaire.

Il a une dimension métrique fractionnaire ou une dimension métrique qui dépasse la dimension topologique.

L’utilisation la plus utile des fractales en technologie informatique est la compression des données fractales. Dans le même temps, les images sont bien mieux compressées qu'avec les méthodes conventionnelles - jusqu'à 600:1. Un autre avantage de la compression fractale est que lorsqu'elle est agrandie, il n'y a pas d'effet de pixellisation, ce qui détériore considérablement l'image. De plus, une image fractalement compressée est souvent encore meilleure après agrandissement qu’avant. Les informaticiens savent également que des fractales d’une complexité et d’une beauté infinies peuvent être générées par des formules simples. L'industrie cinématographique utilise largement la technologie graphique fractale pour créer des éléments paysagers réalistes (nuages, rochers et ombres).

L'étude de la turbulence dans les écoulements s'adapte très bien aux fractales. Cela nous permet de mieux comprendre la dynamique des flux complexes. En utilisant des fractales, vous pouvez également simuler des flammes. Les matériaux poreux sont bien représentés sous forme fractale du fait de leur géométrie très complexe. Pour transmettre des données à distance, des antennes aux formes fractales sont utilisées, ce qui réduit considérablement leur taille et leur poids. Les fractales sont utilisées pour décrire la courbure des surfaces. Une surface inégale est caractérisée par une combinaison de deux fractales différentes.

De nombreux objets dans la nature ont des propriétés fractales, par exemple les côtes, les nuages, les cimes des arbres, les flocons de neige, le système circulatoire et le système alvéolaire des humains ou des animaux.

Les fractales, en particulier dans un avion, sont populaires en raison de la combinaison de la beauté et de la facilité de construction à l'aide d'un ordinateur.

Les premiers exemples d'ensembles auto-similaires aux propriétés inhabituelles sont apparus au XIXe siècle (par exemple, la fonction de Bolzano, la fonction de Weierstrass, l'ensemble de Cantor). Le terme « fractale » a été inventé par Benoît Mandelbrot en 1975 et a gagné en popularité avec la publication de son livre « La géométrie fractale de la nature » en 1977.

L'image de gauche montre un exemple simple de la fractale du Pentagone Darer, qui ressemble à un groupe de pentagones écrasés ensemble. En fait, il est formé en utilisant un pentagone comme initiateur et des triangles isocèles, dans lesquels le rapport du plus grand côté au plus petit est exactement égal au soi-disant nombre d'or (1,618033989 ou 1/(2cos72°)) comme un générateur. Ces triangles sont découpés au milieu de chaque pentagone, ce qui donne une forme qui ressemble à 5 petits pentagones collés à un grand.

La théorie du chaos dit que les systèmes non linéaires complexes sont héréditairement imprévisibles, mais en même temps elle affirme que la manière d'exprimer de tels systèmes imprévisibles s'avère correcte non pas dans des égalités exactes, mais dans des représentations du comportement du système - dans des graphiques. d'étranges attracteurs, ayant la forme de fractales. Ainsi, la théorie du chaos, que beaucoup considèrent comme l’imprévisibilité, s’avère être la science de la prévisibilité, même dans les systèmes les plus instables. L'étude des systèmes dynamiques montre que des équations simples peuvent donner lieu à un comportement chaotique dans lequel le système ne revient jamais à un état stable et aucun modèle n'apparaît. Souvent, de tels systèmes se comportent tout à fait normalement jusqu'à une certaine valeur d'un paramètre clé, puis connaissent une transition dans laquelle il existe deux possibilités de développement ultérieur, puis quatre, et enfin un ensemble chaotique de possibilités.

Les schémas de processus se produisant dans des objets techniques ont une structure fractale clairement définie. Structure minimale système technique(TS) implique l'apparition au sein du TS de deux types de processus - le principal et les processus de support, et cette division est conditionnelle et relative. Tout processus peut être le principal par rapport aux processus de support, et n'importe lequel des processus de support peut être considéré comme le principal par rapport à « ses » processus de support. Les cercles du diagramme indiquent des effets physiques qui garantissent l'apparition de processus pour lesquels il n'est pas nécessaire de créer spécialement « vos propres » véhicules. Ces processus sont le résultat d'interactions entre substances, champs, substances et champs. Pour être précis, un effet physique est un véhicule dont nous ne pouvons pas influencer le principe de fonctionnement, et nous ne voulons pas ou n'avons pas la possibilité d'interférer avec sa conception.

Le déroulement du processus principal représenté dans le diagramme est assuré par l'existence de trois processus supports, qui sont les principaux pour le TS qui les génère. Pour être juste, notons que pour le fonctionnement même d'un TS minimal, trois processus ne suffisent clairement pas, c'est-à-dire Le schéma est très, très exagéré.

Tout est loin d’être aussi simple que le montre le schéma. Utile ( nécessaire à une personne), le processus ne peut pas être réalisé avec une efficacité de 100 %. L'énergie dissipée est dépensée pour créer des processus nocifs - chauffage, vibrations, etc. En conséquence, des processus nuisibles surviennent parallèlement au processus bénéfique. Il n'est pas toujours possible de remplacer un « mauvais » processus par un « bon », il est donc nécessaire d'organiser de nouveaux processus visant à compenser les conséquences néfastes pour le système. Un exemple typique est la nécessité de lutter contre la friction, qui oblige à organiser des programmes de lubrification ingénieux, à utiliser des matériaux antifriction coûteux ou à consacrer du temps à la lubrification des composants et des pièces ou à leur remplacement périodique.

En raison de l’influence inévitable d’un environnement changeant, il peut être nécessaire de gérer un processus utile. Le contrôle peut être effectué soit à l'aide d'appareils automatiques, soit directement par une personne. Le diagramme de processus est en fait un ensemble de commandes spéciales, c'est-à-dire algorithme. L'essence (description) de chaque commande est la totalité d'un seul processus utile qui l'accompagne processus nuisibles et un ensemble de processus de contrôle nécessaires. Dans un tel algorithme, l'ensemble des processus de support est un sous-programme régulier - et ici nous découvrons également une fractale. Créée il y a un quart de siècle, la méthode de R. Koller permet de créer des systèmes avec un ensemble assez limité de seulement 12 couples de fonctions (processus).

Ensembles autosimilaires aux propriétés inhabituelles en mathématiques

À partir de fin XIX siècle, des exemples d'objets auto-similaires avec des propriétés pathologiques du point de vue de l'analyse classique apparaissent en mathématiques. Ceux-ci incluent les éléments suivants :

L’ensemble Cantor est un ensemble parfait et indénombrable, nulle part dense. En modifiant la procédure, on peut également obtenir un ensemble nulle part dense de longueur positive.

le triangle Sierpinski (« nappe ») et le tapis Sierpinski sont des analogues du décor Cantor dans l'avion.

L'éponge de Menger est un analogue de l'éponge de Cantor située dans un espace tridimensionnel ;

exemples de Weierstrass et Van der Waerden nulle part différenciables fonction continue.

Courbe de Koch - courbe continue sans auto-intersection longueur infinie, n'ayant de tangente en aucun point ;

La courbe Peano est une courbe continue passant par tous les points du carré.

la trajectoire d'une particule brownienne n'est également nulle part différentiable avec une probabilité de 1.

Sa dimension Hausdorff est de deux

Procédure récursive pour obtenir des courbes fractales

Il existe une procédure récursive simple pour obtenir des courbes fractales sur un plan. Définissons une ligne brisée arbitraire avec un nombre fini de liens, appelée générateur. Ensuite, remplaçons chaque segment par un générateur (plus précisément, une ligne brisée semblable à un générateur). Dans la ligne brisée résultante, nous remplaçons à nouveau chaque segment par un générateur. En continuant vers l'infini, à la limite on obtient une courbe fractale. La figure de droite montre les quatre premières étapes de cette procédure pour la courbe de Koch.

Des exemples de telles courbes sont :

Courbe de dragon,

Courbe de Koch (flocon de neige de Koch),

Courbe de Lewy,

Courbe de Minkowski,

courbe de Hilbert,

Cassé (courbe) d'un dragon (Harter-Haithway Fractal),

Courbe de Peano.

En utilisant une procédure similaire, l’arbre de Pythagore est obtenu.

Des fractales comme points fixes cartographies de contraction

La propriété d’autosimilarité peut être exprimée mathématiquement strictement comme suit. Soit des cartographies contractuelles du plan. Considérons le mappage suivant sur l'ensemble de tous les sous-ensembles compacts (fermés et délimités) du plan :

On peut montrer que la cartographie est une cartographie de contraction sur l'ensemble des compacta avec la métrique Hausdorff. Par conséquent, d'après le théorème de Banach, cette cartographie a un point fixe unique. Ce point fixe sera notre fractale.

La procédure récursive d'obtention de courbes fractales décrite ci-dessus est un cas particulier de cette construction. Dans celui-ci, tous les mappages sont des mappages de similarité et - le nombre de liens générateurs.

Pour le triangle de Sierpinski et l'application , , sont des homothéties de centres aux sommets d'un triangle régulier et de coefficient 1/2. Il est facile de voir que le triangle de Sierpinski se transforme en lui-même une fois cartographié.

Dans le cas où les mappages sont des transformations de similarité avec des coefficients, la dimension de la fractale (sous certaines conditions techniques supplémentaires) peut être calculée comme solution à l'équation. Ainsi, pour le triangle de Sierpinski on obtient .

Par le même théorème de Banach, en partant de n'importe quel ensemble compact et en lui appliquant des itérations de l'application, nous obtenons une séquence d'ensembles compacts convergeant (au sens de la métrique de Hausdorff) vers notre fractale.

Fractales dans une dynamique complexe

Ensemble Julia

Un autre ensemble Julia

Les fractales apparaissent naturellement lors de l’étude des systèmes dynamiques non linéaires. Le cas le plus étudié est celui où un système dynamique est défini par des itérations d'un polynôme ou d'une fonction holomorphe d'une variable complexe sur le plan. Les premières études dans ce domaine remontent au début du XXe siècle et sont associées aux noms de Fatou et Julia.

Laisser F(z) - polynôme, z 0 est un nombre complexe. Considérons la séquence suivante : z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Nous nous intéressons au comportement de cette séquence telle qu'elle tend nà l'infini. Cette séquence peut :

aspirer vers l'infini,

s'efforcer d'atteindre la limite ultime

présentent un comportement cyclique dans la limite, par exemple : z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

se comporter de manière chaotique, c’est-à-dire ne démontrer aucun des trois types de comportements mentionnés.

Ensembles de valeurs z 0, pour lequel la séquence présente un type de comportement particulier, ainsi que plusieurs points de bifurcation entre différents types, ont souvent des propriétés fractales.

Ainsi, l'ensemble de Julia est l'ensemble des points de bifurcation du polynôme F(z)=z 2 +c(ou autre fonction similaire), c'est-à-dire ces valeurs z 0 pour lequel le comportement de la séquence ( z n) peut changer radicalement avec des changements arbitrairement petits z 0 .

Une autre option pour obtenir des ensembles fractals consiste à introduire un paramètre dans le polynôme F(z) et prise en compte de l'ensemble des valeurs de paramètres pour lesquelles la séquence ( z n) présente un certain comportement à une heure fixe z 0 . Ainsi, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble de tous , pour lesquels ( z n) Pour F(z)=z 2 +c Et z 0 ne va pas à l’infini.

Un autre exemple célèbre Les piscines de Newton sont de ce genre.

Il est courant de créer de belles images graphiques basées sur des dynamiques complexes en colorant des points plans en fonction du comportement des systèmes dynamiques correspondants. Par exemple, pour compléter l'ensemble de Mandelbrot, vous pouvez colorer les points en fonction de la vitesse d'aspiration ( z n) à l'infini (défini, par exemple, comme le plus petit nombre n, à laquelle | z n| dépassera une grande valeur fixe UN.

Les biomorphes sont des fractales construites sur la base de dynamiques complexes et rappelant les organismes vivants.

Fractales stochastiques

Fractale randomisée basée sur l'ensemble de Julia

Les objets naturels ont souvent une forme fractale. Des fractales stochastiques (aléatoires) peuvent être utilisées pour les modéliser. Exemples de fractales stochastiques :

trajectoire du mouvement brownien dans le plan et dans l'espace ;

limite de la trajectoire du mouvement brownien sur un plan. En 2001, Lawler, Schramm et Werner ont prouvé l'hypothèse de Mandelbrot selon laquelle sa dimension est de 4/3.

Les évolutions de Schramm-Löwner sont des courbes fractales conformes et invariantes qui apparaissent dans les modèles bidimensionnels critiques de mécanique statistique, par exemple dans le modèle d'Ising et la percolation.

différents types de fractales randomisées, c'est-à-dire des fractales obtenues à l'aide d'une procédure récursive dans laquelle un paramètre aléatoire est introduit à chaque étape. Le plasma est un exemple d'utilisation d'une telle fractale dans infographie.

Dans la nature

Vue de face de la trachée et des bronches

Arbre bronchique

Réseau de vaisseaux sanguins

Application

Sciences naturelles

En physique, les fractales apparaissent naturellement lors de la modélisation de processus non linéaires, tels que l'écoulement turbulent d'un fluide, processus complexes diffusion-adsorption, flammes, nuages, etc. Les fractales sont utilisées dans la modélisation de matériaux poreux, par exemple en pétrochimie. En biologie, ils sont utilisés pour modéliser des populations et décrire des systèmes d’organes internes (le système vasculaire).

Ingénierie radio

Antennes fractales

L'utilisation de la géométrie fractale dans la conception des antennes a été utilisée pour la première fois par l'ingénieur américain Nathan Cohen, qui vivait alors dans le centre-ville de Boston, où l'installation d'antennes externes sur les bâtiments était interdite. Nathan a découpé une forme de courbe de Koch dans du papier d'aluminium et l'a collée sur un morceau de papier, puis l'a fixée au récepteur. Cohen a fondé sa propre entreprise et a commencé sa production en série.

Informatique

Compression d'images

Article principal : Algorithme de compression fractale

Arbre fractal

Il existe des algorithmes de compression d'images utilisant des fractales. Ils sont basés sur l'idée qu'au lieu de l'image elle-même, on peut stocker une carte de compression pour laquelle cette image (ou une image proche) est un point fixe. Une des variantes de cet algorithme a été utilisée [ source non précisée 895 jours] par Microsoft lors de la publication de son encyclopédie, mais répandu ces algorithmes n'ont pas été reçus.

Infographie

Un autre arbre fractal

Les fractales sont largement utilisées en infographie pour construire des images d’objets naturels, tels que des arbres, des buissons, des paysages de montagne, des surfaces marines, etc. Il existe de nombreux programmes utilisés pour générer des images fractales, voir Fractal Generator (programme).

Réseaux décentralisés

Le système d'attribution d'adresses IP du réseau Netsukuku utilise le principe de compression des informations fractales pour stocker de manière compacte les informations sur les nœuds du réseau. Chaque nœud du réseau Netsukuku ne stocke que 4 Ko d'informations sur l'état des nœuds voisins, tandis que tout nouveau nœud se connecte au réseau commun sans avoir besoin d'une régulation centrale de la distribution des adresses IP, ce qui, par exemple, est typique du Internet. Ainsi, le principe de compression des informations fractales garantit un fonctionnement totalement décentralisé, et donc le plus stable, de l'ensemble du réseau.

Souvent de brillantes découvertes, perfectionné en science, peut changer radicalement nos vies. Par exemple, l’invention d’un vaccin peut sauver de nombreuses personnes, mais la création de nouvelles armes conduit au meurtre. Hier (à l’échelle de l’histoire) l’homme a « apprivoisé » l’électricité, et aujourd’hui il ne peut plus imaginer sa vie sans elle. Cependant, il y a aussi des découvertes qui, comme on dit, restent dans l'ombre, même si elles ont aussi un impact particulier sur nos vies. L'une de ces découvertes était la fractale. La plupart des gens n’ont jamais entendu parler de ce concept et ne seront pas en mesure d’en expliquer la signification. Dans cet article, nous essaierons de comprendre la question de savoir ce qu'est une fractale et de considérer la signification de ce terme du point de vue de la science et de la nature.

L'ordre dans le chaos

Afin de comprendre ce qu'est une fractale, nous devrions commencer le débriefing du point de vue des mathématiques, mais avant d'y plonger, nous allons philosopher un peu. Chaque personne a une curiosité naturelle, grâce à laquelle il apprend le monde qui nous entoure. Souvent, dans sa quête de connaissances, il essaie d’utiliser la logique dans ses jugements. Ainsi, en analysant les processus qui se produisent autour de lui, il tente de calculer les relations et d'en déduire certains modèles. Le plus grands esprits les planètes sont occupées à résoudre ces problèmes. En gros, nos scientifiques recherchent des modèles là où il n’y en a pas, et il ne devrait pas y en avoir. Et pourtant, même dans le chaos, il existe un lien entre certains événements. Cette connexion est ce qu’est la fractale. À titre d’exemple, considérons une branche cassée qui traîne sur la route. Si nous le regardons attentivement, nous verrons qu'avec toutes ses branches et brindilles, il ressemble lui-même à un arbre. Cette similitude d'une partie séparée avec un tout unique indique ce qu'on appelle le principe d'autosimilarité récursive. Les fractales peuvent être trouvées partout dans la nature, car de nombreuses formes inorganiques et organiques se forment de la même manière. Ce sont des nuages, des coquillages, des coquilles d'escargots, des cimes d'arbres et même système circulatoire. Cette liste nous pouvons continuer à l'infini. Toutes ces formes aléatoires sont facilement décrites par un algorithme fractal. Nous en sommes maintenant venus à considérer ce qu’est une fractale du point de vue des sciences exactes.

Quelques faits secs

Le mot « fractal » lui-même est traduit du latin par « partiel », « divisé », « fragmenté », et quant au contenu de ce terme, il n'y a pas de formulation en tant que telle. Il est généralement interprété comme un ensemble auto-similaire, une partie du tout, qui répète sa structure au niveau micro. Ce terme a été inventé dans les années soixante-dix du XXe siècle par Benoit Mandelbrot, qui est aujourd'hui reconnu comme le père du concept de fractale. image graphique une certaine structure qui, une fois agrandie, sera semblable à elle-même. Cependant, la base mathématique de la création de cette théorie a été posée avant même la naissance de Mandelbrot lui-même, mais elle n'a pu se développer qu'après l'apparition des ordinateurs électroniques.

Contexte historique, ou Comment tout a commencé

Au tournant des XIXe et XXe siècles, l’étude de la nature des fractales était sporadique. Cela s'explique par le fait que les mathématiciens ont préféré étudier des objets pouvant être étudiés sur la base de théories générales et les méthodes. En 1872, le mathématicien allemand K. Weierstrass a construit un exemple de fonction continue qui n'est différentiable nulle part. Cependant, cette construction s’est révélée entièrement abstraite et difficile à percevoir. Vint ensuite le Suédois Helge von Koch, qui construisit en 1904 une courbe continue sans tangente nulle part. Il est assez facile à dessiner et s'avère avoir des propriétés fractales. L'une des variantes de cette courbe porte le nom de son auteur - "Flocon de neige de Koch". L'idée d'autosimilarité des figures a été développée par futur mentor B. Mandelbrot Français Paul Levy. En 1938, il publie l'article « Courbes et surfaces planes et spatiales constituées de parties semblables au tout ». Il y décrit nouveau look- Courbe C de Levi. Toutes les figures ci-dessus sont classiquement classées comme fractales géométriques.

Fractales dynamiques ou algébriques

À cette classe fait référence à l'ensemble de Mandelbrot. Les premiers chercheurs dans cette direction furent Mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia. En 1918, Julia publia un article basé sur l'étude des itérations de logiques rationnelles. fonctions complexes. Il décrit ici une famille de fractales étroitement liées à l’ensemble de Mandelbrot. Bien que ce travail glorifiait l'auteur parmi les mathématiciens, elle fut vite oubliée. Et seulement un demi-siècle plus tard, grâce aux ordinateurs, le travail de Julia a reçu une seconde vie. Les ordinateurs ont permis de rendre visible à chacun la beauté et la richesse du monde des fractales que les mathématiciens pouvaient « voir » en les affichant à travers des fonctions. Mandelbrot a été le premier à utiliser un ordinateur pour effectuer des calculs (un tel volume ne peut être effectué manuellement) permettant de construire une image de ces chiffres.

Une personne avec une imagination spatiale

Mandelbrot a commencé son carrière scientifique V centre de recherche IBM. Explorer les possibilités de transfert de données vers longues distances, les scientifiques sont confrontés au fait grosses pertes qui sont dus à des interférences sonores. Benoit cherchait des moyens de résoudre ce problème. En parcourant les résultats des mesures, il a remarqué une tendance étrange, à savoir : les graphiques de bruit se ressemblaient à différentes échelles de temps.

Une image similaire a été observée à la fois pendant une journée et pendant sept jours ou pendant une heure. Benoît Mandelbrot lui-même a souvent répété qu'il ne travaillait pas avec des formules, mais jouait avec des images. Ce scientifique était différent pensée imaginative, n'importe lequel problème algébrique il a traduit dans la région géométrique, où la bonne réponse est évidente. Il n’est donc pas surprenant qu’il soit riche et qu’il soit devenu le père de la géométrie fractale. Après tout, la conscience de cette figure ne peut venir que lorsque vous étudiez les dessins et réfléchissez à la signification de ces étranges tourbillons qui forment le motif. Les modèles fractaux ne comportent pas d’éléments identiques, mais ils sont similaires à toutes les échelles.

Julia-Mandelbrot

L'un des premiers dessins de cette figure était une interprétation graphique de l'ensemble, née de l'œuvre de Gaston Julia et développée par Mandelbrot. Gaston a essayé d'imaginer à quoi ressemble un ensemble, construit sur la base d'une formule simple itérée dans une boucle retour. Essayons d'expliquer ce qui a été dit langage humain, pour ainsi dire, sur les doigts. Pour un spécifique valeur numérique en utilisant la formule, nous trouvons la nouvelle valeur. Nous le substituons dans la formule et trouvons ce qui suit. Le résultat est volumineux. Pour représenter un tel ensemble, vous devez effectuer cette opération. quantité énorme fois : des centaines, des milliers, des millions. C'est ce qu'a fait Benoît. Il a traité la séquence et transféré les résultats à forme graphique. Par la suite, il a colorié la figure obtenue (chaque couleur correspond à un certain nombre itérations). Cette image graphique a été nommée « fractale de Mandelbrot ».

L. Carpenter : l'art créé par la nature

La théorie des fractales a rapidement trouvé une application pratique. Puisqu'il est très étroitement lié à la visualisation d'images auto-similaires, les premiers à adopter les principes et les algorithmes pour construire ces images formes inhabituelles, sont devenus artistes. La première d'entre elles était la future fondatrice de Pixar, Lauren Carpenter. Alors qu'il travaillait sur une présentation de prototypes d'avions, il a eu l'idée d'utiliser une image de montagnes comme arrière-plan. Aujourd'hui, presque tous les utilisateurs d'ordinateurs peuvent faire face à une telle tâche, mais dans les années soixante-dix du siècle dernier, les ordinateurs n'étaient pas en mesure d'effectuer de tels processus, car à cette époque, il n'existait pas d'éditeurs graphiques ni d'applications pour les graphiques tridimensionnels. Et puis Loren est tombé sur le livre de Mandelbrot « Fractals : Form, Randomness and Dimension ». Benoit y donne de nombreux exemples, montrant que les fractales existent dans la nature (fyva), il en décrit les formes variées et prouve qu'elles sont faciles à décrire. expressions mathématiques. Le mathématicien a cité cette analogie comme argument en faveur de l’utilité de la théorie qu’il développait en réponse aux nombreuses critiques de ses collègues. Ils ont soutenu qu'une fractale est simplement belle photo, n'ayant aucune valeur, étant un sous-produit du travail machines électroniques. Carpenter a décidé d'essayer cette méthode dans la pratique. Après avoir étudié attentivement le livre, le futur animateur a commencé à chercher un moyen de mettre en œuvre la géométrie fractale en infographie. Il ne lui a fallu que trois jours pour restituer une image totalement réaliste du paysage de montagne sur son ordinateur. Et aujourd'hui, ce principe est largement utilisé. Il s’avère que créer des fractales ne demande pas beaucoup de temps et d’efforts.

La solution du menuisier

Le principe utilisé par Lauren était simple. Cela consiste à diviser les plus grands en petits éléments, et ceux-ci en éléments plus petits similaires, et ainsi de suite. Carpenter, à l'aide de grands triangles, les a divisés en 4 petits, et ainsi de suite, jusqu'à obtenir un paysage de montagne réaliste. Ainsi, il est devenu le premier artiste à utiliser un algorithme fractal en infographie pour construire l’image requise. Aujourd'hui, ce principe est utilisé pour imiter diverses formes naturelles réalistes.

La première visualisation 3D utilisant un algorithme fractal

En quelques années, Lauren a appliqué ses développements dans projet à grande échelle- vidéo d'animation Vol Libre, diffusée sur Siggraph en 1980. Cette vidéo en a choqué plus d'un et son créateur a été invité à travailler chez Lucasfilm. Ici, l'animateur a pu réaliser tout son potentiel : il a créé des paysages en trois dimensions (une planète entière) pour le long métrage "Star Trek". N'importe lequel programme moderne(« Fractals ») ou une application graphique 3D (Terragen, Vue, Bryce) utilise le même algorithme pour modéliser les textures et les surfaces.

Tom Bédard

Ancien physicien du laser et maintenant artiste et artiste numérique, Beddard a créé un certain nombre de formes géométriques très intrigantes, qu'il a appelées fractales de Fabergé. Extérieurement, ils ressemblent à des œufs décoratifs d'un bijoutier russe ; ils ont le même motif brillant et complexe. Beddard a utilisé une méthode de modèle pour créer ses rendus numériques des modèles. Les produits obtenus étonnent par leur beauté. Bien que beaucoup refusent de comparer le produit fait soi-même avec un programme informatique, mais il faut admettre que les formes obtenues sont extrêmement belles. Le point culminant est que n’importe qui peut construire une telle fractale en utilisant la bibliothèque logicielle WebGL. Il vous permet d'explorer diverses structures fractales en temps réel.

Fractales dans la nature

Peu de gens y prêtent attention, mais ceux-ci des chiffres étonnants sont présents partout. La nature est créée d'elle-même chiffres similaires, nous ne le remarquons tout simplement pas. Il suffit de regarder à la loupe notre peau ou une feuille d'arbre, et nous verrons des fractales. Ou prenez, par exemple, un ananas ou même une queue de paon - ils sont constitués de figures similaires. Et la variété de brocoli Romanescu frappe généralement par son apparence, car on peut vraiment la qualifier de miracle de la nature.

Pause musicale

Il s'avère que les fractales ne sont pas seulement formes géométriques, ils peuvent aussi être des sons. Ainsi, le musicien Jonathan Colton écrit de la musique en utilisant des algorithmes fractals. Elle prétend correspondre à l’harmonie naturelle. Le compositeur publie toutes ses œuvres sous une licence CreativeCommons Attribution-Non commerciale, qui prévoit la distribution, la copie et le transfert gratuits des œuvres à des tiers.

Indicateur fractal

Cette technique a trouvé une application très inattendue. Sur cette base, un outil d'analyse du marché boursier a été créé et, par conséquent, il a commencé à être utilisé sur le marché Forex. De nos jours, l'indicateur fractal se retrouve sur toutes les plateformes de trading et est utilisé dans une technique de trading appelée rupture de prix. Cette technique a été développée par Bill Williams. Comme l'auteur commente son invention, cet algorithme est une combinaison de plusieurs « bougies », dans laquelle celle centrale reflète le point extrême maximum ou, à l'inverse, le point extrême minimum.

En conclusion

Nous avons donc examiné ce qu'est une fractale. Il s'avère que dans le chaos qui nous entoure, il existe réellement formes parfaites. La nature est le meilleur architecte, le constructeur et ingénieur idéal. C’est organisé de manière très logique, et si nous ne trouvons pas de modèle, cela ne veut pas dire qu’il n’existe pas. Peut-être devrions-nous regarder à une autre échelle. Nous pouvons affirmer avec certitude que les fractales recèlent encore de nombreux secrets que nous n'avons pas encore découvert.

Pour présenter toute la variété des fractales, il convient de recourir à leur classification généralement acceptée.

2.1 Fractales géométriques

Les fractales de cette classe sont les plus visuelles. Dans le cas bidimensionnel, ils sont obtenus à l'aide d'une ligne brisée (ou surface dans le cas tridimensionnel), appelée générateur. En une étape de l'algorithme, chacun des segments qui composent la polyligne est remplacé par une polyligne génératrice, à l'échelle appropriée. Grâce à la répétition sans fin de cette procédure, une fractale géométrique est obtenue.

Fig 1. Construction de la courbe de la triade de Koch.

Considérons l'un de ces objets fractals : la courbe de Koch triadique. La construction de la courbe commence par un segment de longueur unitaire (Fig. 1) - il s'agit de la 0ème génération de la courbe de Koch. Ensuite, chaque lien (un segment dans la génération zéro) est remplacé par élément formatif, désigné sur la figure 1 par n=1. Grâce à ce remplacement, la prochaine génération de la courbe de Koch est obtenue. En 1ère génération, il s'agit d'une courbe de quatre maillons droits, de chaque longueur 1/3 . Pour obtenir la 3ème génération, les mêmes actions sont réalisées : chaque maillon est remplacé par un élément formant réduit. Ainsi, pour obtenir chaque génération suivante, tous les maillons de la génération précédente doivent être remplacés par un élément formant réduit. Courbe n-ème génération pour tout fini n appelé préfractal. La figure 1 montre cinq générations de la courbe. À nÀ mesure que la courbe de Koch s’approche de l’infini, elle devient un objet fractal.

Figure 2. Construction du « dragon » Harter-Haithway.

Pour obtenir un autre objet fractal, vous devez modifier les règles de construction. Soit l'élément formant deux segments égaux reliés à angle droit. Dans la génération zéro, nous remplacerons segment unitaire sur cet élément formant de manière à ce que le coin soit au dessus. On peut dire qu'avec un tel remplacement il y a un déplacement du milieu du maillon. Lors de la construction des générations suivantes, la règle est respectée : le tout premier maillon de gauche est remplacé par un élément formant de sorte que le milieu du maillon soit décalé vers la gauche du sens de déplacement, et lors du remplacement des maillons suivants, les directions de le déplacement des milieux des segments doit alterner. La figure 2 montre les premières générations et la 11ème génération de la courbe construite selon le principe décrit ci-dessus. Courbe fractale limite (à n tendant vers l'infini) s'appelle Le dragon de Harter-Haithway .

DANS graphiques de machines l'utilisation de fractales géométriques est nécessaire pour obtenir des images d'arbres, d'arbustes et de littoraux. Les fractales géométriques bidimensionnelles sont utilisées pour créer des textures tridimensionnelles (motifs sur la surface d'un objet).

2.2 Fractales algébriques

C'est le plus grand groupe fractales. Ils sont obtenus à l'aide de processus non linéaires dans n-espaces dimensionnels. Les processus bidimensionnels sont les plus étudiés. En interprétant un processus itératif non linéaire comme un système dynamique discret, on peut utiliser la terminologie de la théorie de ces systèmes : portrait de phase, processus régulier, attracteur etc.

On sait que les systèmes dynamiques non linéaires possèdent plusieurs états stables. L'état dans lequel se trouve le système dynamique après un certain nombre d'itérations dépend de son état initial. Par conséquent, chaque état stable (ou, comme on dit, attracteur) possède une certaine région d'états initiaux, à partir de laquelle le système tombera nécessairement dans les états finaux considérés. Ainsi, l’espace des phases du système est divisé en zones d'attraction attracteurs. Si l’espace des phases est bidimensionnel, alors en colorant les zones d’attraction avec des couleurs différentes, on peut obtenir portrait en phase de couleur ce système (processus itératif). En modifiant l'algorithme de sélection des couleurs, vous pouvez obtenir des motifs fractals complexes avec des motifs multicolores bizarres. Une surprise pour les mathématiciens a été la capacité de générer des structures non triviales très complexes à l'aide d'algorithmes primitifs.

Fig 3. Ensemble de Mandelbrot.

À titre d'exemple, considérons l'ensemble de Mandelbrot (voir Fig. 3 et Fig. 4). L'algorithme pour sa construction est assez simple et repose sur une expression itérative simple :

Z = Z[je] * Z[je] + C,

Où Z moi et C- variables complexes. Des itérations sont effectuées pour chaque point de départ C région rectangulaire ou carrée - un sous-ensemble du plan complexe. Le processus itératif se poursuit jusqu'à Z[i] ne dépassera pas le cercle de rayon 2 dont le centre se situe au point (0,0), (cela signifie que l'attracteur du système dynamique est à l'infini), ou après un nombre d'itérations suffisamment grand (par exemple, 200-500) Z[i] convergera vers un point du cercle. En fonction du nombre d'itérations pendant lesquelles Z[i] est resté à l'intérieur du cercle, vous pouvez définir la couleur du point C(Si Z[i] reste à l'intérieur du cercle pendant un nombre suffisamment grand d'itérations, le processus d'itération s'arrête et ce point raster est peint en noir).

Fig. 4. Une coupe de la limite de l'ensemble de Mandelbrot, agrandie 200 fois.

L'algorithme ci-dessus donne une approximation de ce que l'on appelle l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble de Mandelbrot contient des points qui, au cours infini le nombre d'itérations ne va pas à l'infini (les points sont noirs). Points appartenant à la frontière de l'ensemble (c'est là que structures complexes) aller à l'infini pour numéro final itérations, et les points situés en dehors de l'ensemble vont à l'infini après plusieurs itérations (fond blanc).

2.3 Fractales stochastiques

Une autre classe bien connue de fractales sont les fractales stochastiques, qui sont obtenues si certains de leurs paramètres sont modifiés de manière aléatoire au cours d'un processus itératif. Dans ce cas, les objets résultants sont très similaires aux objets naturels - arbres asymétriques, accidentés les côtes etc. Les fractales stochastiques bidimensionnelles sont utilisées dans la modélisation du terrain et de la surface de la mer.

Il existe d'autres classifications des fractales, par exemple, divisant les fractales en déterministes (algébriques et géométriques) et non déterministes (stochastiques).

Exemple fractal

La « fractale » a été introduite dans l'usage des mathématiciens il y a moins d'un demi-siècle et est rapidement devenue, avec la synergie et l'attracteur, l'un des « trois piliers » de la jeune théorie du chaos déterministe, et est aujourd'hui déjà reconnue comme l'un des éléments fondamentaux de la structure de l'univers.

AVEC le mot latin fractus est traduit comme "cassé", moderne Langues latines lui a donné le sens de « déchiré ». Une fractale est quelque chose qui est identique au tout/plus grand dont elle fait partie et, en même temps, copie chacun de ses propres éléments. composant. Ainsi, la « fractalité » est une similitude infinie de « tout » avec ses composants, c’est-à-dire une autosimilarité à tous les niveaux. Chaque niveau d'une branche fractale est appelé une « itération » ; plus le système décrit ou représenté graphiquement est développé, plus l'observateur voit d'itérations fractales. Dans ce cas, le point de division (par exemple, un tronc en branches, une rivière en deux ruisseaux, etc.) est appelé point de bifurcation.

Le terme fractus a été choisi par le mathématicien Benoît Mandelbrot en 1975 pour décrire découverte scientifique et est devenu populaire quelques années plus tard - après avoir développé le sujet pour un public plus large dans son livre Fractal Geometry of Nature.

Aujourd'hui, la fractale est largement connue sous le nom de modèles fantastiques de ce qu'on appelle « l'art fractal » créé par programmes informatiques. Mais avec l'aide d'un ordinateur, vous pouvez générer non seulement de belles images abstraites, mais aussi des paysages naturels très crédibles - montagnes, rivières, forêts. C'est là, en fait, le point de transition de la science vers la vraie vie, ou vice versa, si l'on suppose qu'il est généralement possible de les séparer.

Le fait est que principe fractal convient non seulement pour décrire les découvertes dans sciences exactes. C'est avant tout le principe de la structure et du développement de la nature elle-même. Tout autour de nous est fractal ! Les exemples les plus évidents sont les rivières avec leurs affluents, le système veineux avec les capillaires, la foudre, les gelées, les arbres... Plus récemment, des scientifiques ont testé théorie fractale, ont vérifié expérimentalement qu'à partir du diagramme d'un arbre, on pouvait tirer des conclusions sur la zone forestière où poussent ces arbres. Autres exemples de groupes fractals : atome – molécule – système planétaire – système solaire- galaxies - univers... Minute - heure - jour - semaine - mois - année - siècle... Même la communauté des personnes s'organise selon les principes de fractalité : I - famille - clan - nationalité - nationalités - races.. . Individu – groupe – parti – État. Employé - département - département - entreprise - préoccupation... Même les panthéons divins des différentes religions sont construits sur le même principe, y compris le christianisme : Dieu le Père - Trinité - saints - église - croyants, sans oublier l'organisation des panthéons divins de religions païennes.

Histoire déclare que des ensembles auto-similaires ont été remarqués pour la première fois au 19ème siècle dans les travaux de scientifiques - Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, mais la vérité est que déjà les Slaves païens nous ont laissé la preuve que les gens comprenaient l'existence individuelle comme un petit détail dans l'infini de l'univers. Il s'agit d'un objet étudié par les historiens de l'art de Biélorussie et d'Ukraine. culture populaire, appelée « araignée ». C'est une sorte de prototype de sculpture style moderne"mobile" (les pièces sont en mouvement constant les uns par rapport aux autres). L'« araignée » est souvent faite de paille et se compose de petites, moyennes, gros éléments, suspendus les uns aux autres de sorte que chaque partie plus petite répète exactement la plus grande et la structure entière dans son ensemble. Ce dessin était accroché dans le coin principal de la maison, comme pour désigner la maison en tant qu’élément du monde entier.

La théorie de la fractalité fonctionne partout aujourd'hui, y compris en philosophie, qui dit qu'au cours de chaque vie, et de toute vie dans son ensemble, est fractale, des « points de bifurcation » se produisent, lorsque plus niveaux élevés le développement peut aller de différentes manières et le moment où une personne « se trouve devant un choix » est le véritable « point de bufurcation » dans les fractales de sa vie.

La théorie du Chaos Déterministe dit que le développement de chaque fractale n’est pas infini. Les scientifiques pensent qu'à un certain moment, il existe une limite au-delà de laquelle la croissance des itérations s'arrête et la fractale commence à se « rétrécir », atteignant progressivement son unité de mesure d'origine, puis le processus se déroule à nouveau en cercle - semblable à l'inspiration et à l'expiration. les changements du matin et de la nuit, de l'hiver et de l'été dans la nature.

Les rédacteurs de NNN sont tombés par hasard sur un matériel intéressant, présenté dans le blog de l'utilisateur xtsarx, dédié aux éléments de la théorie fractales et elle application pratique. Comme on le sait, la théorie des fractales joue loin de dernier rôle en physique et chimie des nanosystèmes. Ayant contribué à ce bon matériel, présenté dans un langage accessible à large gamme lecteurs et soutenu par une abondance de matériel graphique et même vidéo, nous le présentons à votre attention. Nous espérons que les lecteurs de NNN trouveront ce matériel intéressant.

La nature est si mystérieuse que plus vous l'étudiez, plus de questions apparaissent... Éclairs nocturnes - «jets» bleus de décharges ramifiées, motifs givrés sur la fenêtre, flocons de neige, montagnes, nuages, écorces d'arbres - tout cela va au-delà de l'habituel Géométrie euclidienne. Nous ne pouvons pas décrire un rocher ou les limites d’une île à l’aide de lignes droites, de cercles et de triangles. Et ici ils viennent à notre aide fractales. Quels sont ces inconnus familiers ?

« Au microscope, il a découvert que sur la puce
Une puce qui pique vit ;
Sur cette puce il y a une petite puce,
Une dent perce une puce avec colère
Petite puce, et ainsi à l’infini. D. Swift.

Un peu d'histoire

Premières idées géométrie fractale est apparu au 19ème siècle. Cantor, en utilisant une simple procédure récursive (répétitive), a transformé la ligne en un ensemble de points non connectés (ce qu'on appelle Cantor Dust). Il prenait une ligne et supprimait le tiers central, puis répétait la même chose avec les sections restantes.

Riz. 1. Courbe de Peano 1,2 à 5 itérations.

Peano a dessiné genre spécial lignes. Peano a fait ce qui suit :: Dans un premier temps, il a pris une ligne droite et l'a remplacée par 9 segments 3 fois plus courts que la longueur de la ligne originale. Ensuite, il a fait la même chose avec chaque segment de la ligne résultante. Et ainsi de suite à l’infini. Sa particularité est qu'il remplit tout l'avion. Il a été prouvé que pour chaque point du plan on peut trouver un point appartenant à la ligne Péano. La courbe de Peano et la poussière de Cantor allaient au-delà des objets géométriques ordinaires. Ils n'avaient pas de dimension claire. La poussière de Cantor semblait construite sur la base d'une ligne droite unidimensionnelle, mais était constituée de points (dimension 0). Et la courbe de Peano a été construite sur la base d'une ligne unidimensionnelle, et le résultat était un plan. Dans de nombreux autres domaines scientifiques, des problèmes sont apparus dont la solution a conduit à des résultats étranges similaires à ceux décrits ci-dessus (mouvement brownien, cours des actions). Chacun de nous peut effectuer cette procédure...

Père des fractales

Jusqu'au 20ème siècle, les données sur ces objets étranges, sans aucune tentative de les systématiser. C'était jusqu'à ce que je les prenne Benoît Mandelbrot – père de la géométrie fractale moderne et du mot fractal.

Riz. 2. Benoît Mandelbrot.

Alors qu'il travaillait comme analyste mathématique chez IBM, il a étudié le bruit dans circuits électroniques, qui ne pouvait pas être décrit à l’aide de statistiques. En comparant progressivement les faits, il découvrit une nouvelle direction en mathématiques - géométrie fractale.

Le terme « fractale » a été introduit par B. Mandelbrot en 1975. Selon Mandelbrot, fractale(du latin « fractus » - fractionné, brisé, brisé) est appelé structure composée de parties semblables à l'ensemble. La propriété d'autosimilarité distingue nettement les fractales des objets de géométrie classique. Terme autosimilarité moyens la présence d'une structure fine et répétitive, à la fois aux plus petites échelles de l'objet et à l'échelle macro.

Riz. 3. Vers la définition du concept « fractal ».

Des exemples d'autosimilarité sont: Koch, Levy, courbes de Minkowski, triangle de Sierpinski, éponge de Menger, arbre de Pythagore, etc.

AVEC point mathématique vision, fractale- c'est avant tout, défini avec une dimension fractionnaire (intermédiaire, « non entière »). Alors qu'une ligne euclidienne lisse remplit exactement un espace unidimensionnel, une courbe fractale s'étend au-delà des limites de l'espace unidimensionnel, empiétant au-delà des limites dans l'espace bidimensionnel. Ainsi, la dimension fractale d'une courbe de Koch sera comprise entre 1 et 2. . Cela signifie tout d’abord que pour un objet fractal, il est impossible de mesurer avec précision sa longueur ! Parmi ces fractales géométriques, la première est très intéressante et assez célèbre : Le flocon de neige de Koch.

Riz. 4. Vers la définition du concept « fractal ».

Il est construit sur la base triangle équilatéral . Dont chaque ligne est remplacée par 4 lignes, chacune 1/3 de la longueur d'origine. Ainsi, à chaque itération, la longueur de la courbe augmente d’un tiers. Et si nous le faisons nombre infini itérations - nous obtenons une fractale - un flocon de neige de Koch de longueur infinie. Il s'avère que notre courbe infinie couvre zone limitée. Essayez de faire de même en utilisant des méthodes et des figures de la géométrie euclidienne.
Dimension du flocon de neige de Koch(lorsqu'un flocon de neige augmente de 3 fois, sa longueur augmente de 4 fois) D=log(4)/log(3)=1,2619.

À propos de la fractale elle-même

Les fractales trouvent de plus en plus d’applications en science et technologie. La principale raison en est qu’ils décrivent le monde réel, parfois même mieux que la physique ou les mathématiques traditionnelles. Vous pouvez donner à l'infini des exemples d'objets fractals dans la nature - ce sont des nuages, des flocons de neige, des montagnes, un éclair et enfin du chou-fleur. Comme une fractale objet naturel– c’est un mouvement éternel et continu, une nouvelle formation et un nouveau développement.

Riz. 5. Fractales en économie.

En plus, les fractales trouvent une application dans les systèmes décentralisés réseaux informatiques Et "antennes fractales" . Les « fractales browniennes » sont très intéressantes et prometteuses pour modéliser divers processus « aléatoires » stochastiques (non déterministes). Dans le cas de la nanotechnologie, les fractales jouent également un rôle rôle important , car en raison de leur auto-organisation hiérarchique, de nombreux les nanosystèmes ont une dimension non entière, c'est-à-dire qu'ils sont fractals dans leur nature géométrique, physico-chimique ou fonctionnelle. Par exemple, un exemple brillant les systèmes fractals chimiques sont des molécules "dendrimères" . De plus, le principe de fractalité (structure auto-similaire et évolutive) reflète la structure hiérarchique du système et est donc plus général et universel que les approches standard pour décrire la structure et les propriétés des nanosystèmes.

Riz. 6. Molécules « Dendrimères ».

Riz. 7. Modèle graphique de communication dans le processus architectural et de construction. Le premier niveau d'interaction du point de vue des microprocessus.

Riz. 8. Modèle graphique de communication dans le processus architectural et de construction. Le deuxième niveau d'interaction du point de vue des processus macro (un fragment du modèle).

Riz. 9. Modèle graphique de communication dans le processus architectural et de construction. Le deuxième niveau d'interaction du point de vue des processus macro (modèle entier)

Riz. 10. Développement planaire du modèle graphique. Le premier état homéostatique.

Fractales et nombre d'or "Fractales" partie 1 "Fractales" partie 2 "Fractales" partie 3 "Fractales" partie 4 "Fractales" partie 5