Graphique du trajet en fonction du temps. Mouvement linéaire uniforme

Le graphique est utilisé pour montrer la dépendance d’une quantité par rapport à une autre. Dans ce cas, la variation d’une quantité est tracée sur un axe et la variation d’une autre quantité est tracée sur l’autre axe. Dans un mouvement rectiligne uniforme, la vitesse du corps reste constante, seuls le temps et le chemin parcouru qui en dépend changent. Par conséquent, le plus grand intérêt pour un tel mouvement est le graphique reflétant la dépendance du chemin au temps.

Lors de la construction d'un tel graphique sur l'un des axes plan de coordonnées un changement de temps (t) est constaté. Par exemple, 1s, 2s, 3s, etc. Soit l'axe des x. Sur l'autre axe (en dans ce cas y ) un changement dans la distance parcourue est constaté. Par exemple, 10 m, 20 m, 30 m, etc.

L'origine du système de coordonnées est considérée comme l'origine du mouvement. C'est le point de départ à partir duquel la période de temps passé à se déplacer égal à zéro, et la distance parcourue est également nulle. Il s’agit du premier point du graphique chemin en fonction du temps.

Ensuite, le deuxième point du graphique se trouve sur le plan de coordonnées. Pour ce faire, pour un temps donné, on retrouve le chemin parcouru pendant ce temps. Si la vitesse du corps est de 30 m/s, alors il peut s'agir d'un point de coordonnées (1 ; 30) ou (2 ; 60) et ainsi de suite.

Une fois le deuxième point marqué, tracez un rayon passant par deux points (le premier est l’origine). L'origine du rayon est l'origine des coordonnées. Ce rayon est un graphique de la trajectoire en fonction du temps pour un mouvement rectiligne uniforme. Le faisceau n’a pas de fin, ce qui signifie que plus le temps passé sur le chemin est long, plus la distance parcourue est longue.

En général, on dit que le graphique du chemin en fonction du temps est une ligne droite passant par l'origine des coordonnées.

Prouver que le graphique est une ligne droite, et, disons, non ligne brisée, vous pouvez construire une série de points sur le plan de coordonnées. Par exemple, si la vitesse est de 5 km/h, alors les points (1 ; 5), (2 ; 10), (3 ; 15), (4 ; 20) peuvent être marqués sur le plan de coordonnées. Connectez-les ensuite en série les uns aux autres. Vous verrez que ce sera droit.

Plus la vitesse du corps est élevée, plus la distance parcourue augmente rapidement. Si sur le même plan de coordonnées nous dessinons la dépendance du chemin au temps pour deux corps se déplaçant avec à des vitesses différentes, alors le graphique du corps qui se déplace plus vite aura angle plus grand avec une direction positive de l’axe du temps.

Par exemple, si un corps se déplace à une vitesse de 10 km/h et le second à 20 km/h, alors sur le plan de coordonnées, vous pouvez marquer les points (1 ; 10) pour un corps et (1 ; 20) pour le autre. Il est clair que le deuxième point est situé plus loin de l'axe du temps et que la ligne droite qui le traverse forme un angle plus grand que la ligne droite passant par le point marqué pour le premier corps.

Les graphiques de la trajectoire en fonction du temps pour un mouvement rectiligne uniforme peuvent être utilisés pour trouver rapidement le temps écoulé en valeur connue le chemin parcouru ou le chemin sur une durée connue. Pour ce faire, vous devez tracer une ligne perpendiculaire à partir de la valeur axe de coordonnées, qui est connu, avant de croiser le graphe. Ensuite, à partir du point d'intersection résultant, tracez une perpendiculaire à l'autre axe, obtenant ainsi la valeur souhaitée.

En plus des graphiques de trajet en fonction du temps, vous pouvez tracer des graphiques de trajet en fonction de la vitesse et de la vitesse en fonction du temps. Cependant, comme dans un mouvement rectiligne uniforme la vitesse est constante, ces graphiques sont des droites parallèles aux axes de la trajectoire ou du temps et passant au niveau de la vitesse déclarée.

Instructions

Considérons la fonction f(x) = |x|. Pour commencer, il s’agit d’un module non signé, c’est-à-dire le graphique de la fonction g(x) = x. Ce graphique est une ligne droite passant par l'origine et l'angle entre cette ligne droite et la direction positive de l'axe des x est de 45 degrés.

Puisque le module est une quantité non négative, la partie qui se trouve en dessous de l'axe des abscisses doit être reflétée par rapport à celui-ci. Pour la fonction g(x) = x, nous constatons que le graphique après une telle cartographie ressemblera à V. Ceci nouvel horaire et sera une interprétation graphique de la fonction f(x) = |x|.

Vidéo sur le sujet

Veuillez noter

Le graphique du module d'une fonction ne sera jamais aux 3ème et 4ème trimestres, puisque le module ne peut pas prendre de valeurs négatives.

Conseils utiles

Si une fonction contient plusieurs modules, ils doivent alors être développés séquentiellement puis empilés les uns sur les autres. Le résultat sera le graphique souhaité.

Sources :

comment tracer graphiquement une fonction avec des modules

Problèmes cinématiques dans lesquels vous devez calculer vitesse, temps ou le chemin de corps en mouvement uniforme et rectiligne qui se rencontrent dans cours scolaire algèbre et physique. Pour les résoudre, trouvez dans la condition les quantités qui peuvent être égalisées. Si la condition nécessite de définir tempsà une vitesse connue, suivez les instructions suivantes.

Vous aurez besoin

- stylo;
- du papier pour les notes.

Instructions

Le cas le plus simple est le mouvement d'un corps avec un uniforme donné vitesse Yu. La distance parcourue par le corps est connue. Trouver en chemin : t = S/v, heure, où S est la distance, v est la moyenne vitesse corps.

Le deuxième est en marche trafic venant en sens inverse tél. Une voiture se déplace d'un point A à un point B vitesse 50km/h. Un cyclomoteur avec un vitesse 30km/h. La distance entre les points A et B est de 100 km. Il faut trouver tempsà travers lequel ils se rencontreront.

Étiquetez le point de rendez-vous K. Soit la distance AK de la voiture de x km. Ensuite, le parcours du motocycliste sera de 100 km. Des conditions problématiques, il s'ensuit que temps Sur la route, une voiture et un cyclomoteur vivent la même expérience. Composez l’équation : x/v = (S-x)/v’, où v, v’ – et le cyclomoteur. En remplaçant les données, résolvez l'équation : x = 62,5 km. Maintenant temps: t = 62,5/50 = 1,25 heures ou 1 heure 15 minutes.

Créez une équation similaire à la précédente. Mais dans ce cas temps le trajet en cyclomoteur sera 20 minutes plus long que celui en voiture. Pour égaliser les parties, soustrayez un tiers d’heure du côté droit de l’expression : x/v = (S-x)/v’-1/3. Trouvez x – 56,25. Calculer temps: t = 56,25/50 = 1,125 heures ou 1 heure 7 minutes 30 secondes.

Le quatrième exemple est un problème impliquant le mouvement de corps dans une direction. Une voiture et un cyclomoteur partent du point A aux mêmes vitesses. On sait que la voiture est partie une demi-heure plus tard. Après quoi temps va-t-il rattraper le cyclomoteur ?

Dans ce cas, la distance parcourue par les véhicules sera la même. Laisser temps la voiture voyagera x heures, puis temps le trajet du cyclomoteur sera de x+0,5 heures. Vous avez l’équation : vx = v’(x+0,5). Résolvez l’équation en substituant et trouvez x – 0,75 heure ou 45 minutes.

Cinquième exemple – une voiture et un cyclomoteur se déplacent à la même vitesse dans la même direction, mais le cyclomoteur a quitté le point B, situé à 10 km du point A, une demi-heure plus tôt. Calculer après quoi temps Après le départ, la voiture rattrapera le cyclomoteur.

La distance parcourue par la voiture est de 10 km de plus. Ajoutez cette différence au parcours du motocycliste et égalisez les parties de l’expression : vx = v’(x+0.5)-10. En substituant les valeurs de vitesse et en les résolvant, vous obtenez : t = 1,25 heures ou 1 heure 15 minutes.

Sources :

quelle est la vitesse de la machine à voyager dans le temps

Instructions

Calculez la moyenne d’un corps se déplaçant uniformément le long d’une section de chemin. Tel vitesse est le plus simple à calculer, car il ne change pas sur l'ensemble du segment mouvement et est égal à la moyenne. Cela peut être exprimé sous la forme : Vрд = Vср, où Vрд – vitesse uniforme mouvement, et Vav – moyenne vitesse.

Calculer la moyenne vitesse uniformément lent (uniformément accéléré) mouvement dans cette zone, pour laquelle il faut ajouter l'initiale et la finale vitesse. Divisez le résultat par deux, qui est la moyenne vitesse Yu. Cela peut s'écrire plus clairement sous la forme d'une formule : Vср = (Vн + Vк)/2, où Vн représente

« Physique - 10e année"

En quoi est-ce différent ? mouvement uniforme d'une accélération uniforme ?
En quoi l'horaire des itinéraires est-il différent ? mouvement uniformément accéléréà partir du graphique de chemin pour un mouvement uniforme ?
Qu'est-ce que la projection d'un vecteur sur n'importe quel axe ?

Dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme, vous pouvez déterminer la vitesse à partir d'un graphique des coordonnées en fonction du temps.

La projection de vitesse est numériquement égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite x(t) à l'axe des abscisses. De plus, plus la vitesse est élevée, plus l’angle d’inclinaison est grand.

Mouvement rectiligne uniformément accéléré.

La figure 1.33 montre des graphiques de la projection de l'accélération en fonction du temps pour trois différents valeurs d'accélération pour le mouvement rectiligne uniformément accéléré d'un point. Ce sont des droites parallèles à l'axe des abscisses : a x = const. Les graphiques 1 et 2 correspondent au mouvement lorsque le vecteur accélération est dirigé le long de l'axe OX, le graphique 3 - lorsque le vecteur accélération est dirigé dans le sens opposé à l'axe OX.

Avec un mouvement uniformément accéléré, la projection de la vitesse dépend linéairement du temps : υ x = υ 0x + a x t. La figure 1.34 montre des graphiques de cette dépendance pour le trois cas. Dans ce cas, la vitesse initiale du point est la même. Analysons ce graphique.

Projection de l'accélération D'après le graphique, il est clair que, que plus d'accélération points, plus l'angle d'inclinaison de la ligne droite par rapport à l'axe t est grand et, par conséquent, plus la tangente de l'angle d'inclinaison, qui détermine la valeur de l'accélération, est grande.

Sur la même période de temps, avec différentes accélérations, la vitesse prend des valeurs différentes.

À valeur positive projection de l'accélération sur la même période de temps, la projection de la vitesse dans le cas 2 augmente 2 fois plus vite que dans le cas 1. Lorsque valeur négative projection de l'accélération sur l'axe OX, la projection de vitesse modulo prend la même valeur que dans le cas 1, mais la vitesse diminue.

Pour les cas 1 et 3, les graphiques du module de vitesse en fonction du temps seront les mêmes (Fig. 1.35).

A l'aide du graphique de la vitesse en fonction du temps (Figure 1.36), on retrouve l'évolution des coordonnées du point. Ce changement est numériquement égal à l'aire du trapèze ombré, en l'occurrence le changement de coordonnée en 4 s Δx = 16 m.

Nous avons trouvé un changement de coordonnées. Si vous avez besoin de trouver la coordonnée d'un point, vous devez l'ajouter au numéro trouvé valeur initiale. Laisser entrer moment de départ temps x 0 = 2 m, alors la valeur de la coordonnée du point dans à l'heure actuelle un temps égal à 4 s est égal à 18 m. Dans ce cas, le module de déplacement. égal au chemin traversé par le point, ou un changement de ses coordonnées, soit 16 m.

Si le mouvement est uniformément lent, alors le point pendant l'intervalle de temps sélectionné peut s'arrêter et commencer à se déplacer dans la direction opposée à la direction initiale. La figure 1.37 montre la dépendance de la projection de la vitesse au temps pour un tel mouvement. On voit qu'à un temps égal à 2 s, la direction de la vitesse change. Le changement de coordonnées sera numériquement égal à somme algébrique zones de triangles ombrés.

En calculant ces surfaces, on voit que le changement de coordonnée est de -6 m, ce qui signifie que dans la direction opposée à l'axe OX, le point est passé distance plus longue que dans la direction de cet axe.

Carré sur on prend l'axe t avec un signe plus, et l'aire sous l'axe t, où la projection de vitesse est négative, avec un signe moins.

Si à l'instant initial la vitesse d'un certain point était égale à 2 m/s, alors sa coordonnée à l'instant égal à 6 s est égale à -4 m. Le module de mouvement du point dans ce cas. est également égal à 6 m - le module de changement de coordonnées. Cependant, le chemin parcouru par ce point est égal à 10 m – la somme des aires des triangles ombrés représentés sur la figure 1.38.

Traçons la dépendance de la coordonnée x d'un point dans le temps. D'après l'une des formules (1.14), la courbe des coordonnées en fonction du temps - x(t) - est une parabole.

Si le point se déplace à une vitesse dont le graphique en fonction du temps est représenté sur la figure 1.36, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, puisque a x > 0 (Figure 1.39). A partir de ce graphique, nous pouvons déterminer la coordonnée du point, ainsi que la vitesse à tout moment. Ainsi, à un instant égal à 4 s, la coordonnée du point est de 18 m.

Pour l'instant initial, en traçant une tangente à la courbe au point A, on détermine la tangente de l'angle d'inclinaison α 1, qui est numériquement égale à la vitesse initiale, soit 2 m/s.

Pour déterminer la vitesse au point B, tracez une tangente à la parabole en ce point et déterminez la tangente de l'angle α 2. Elle est égale à 6, donc la vitesse est de 6 m/s.

Le graphique du trajet en fonction du temps est la même parabole, mais tracée à partir de l'origine (Fig. 1.40). Nous voyons que le chemin augmente continuellement avec le temps, le mouvement se produit dans une seule direction.

Si le point se déplace à une vitesse dont le graphique de projection en fonction du temps est représenté sur la figure 1.37, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas, puisqu'un x< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.

A partir de l'instant t = 2 s, la tangente de l'angle d'inclinaison devient négative, et son module augmente, cela signifie que le point se déplace dans le sens opposé au sens initial, tandis que le module de la vitesse de déplacement augmente.

Le module de déplacement est égal au module de la différence entre les coordonnées du point aux instants final et initial et est égal à 6 m.

Le graphique de la distance parcourue par un point en fonction du temps, présenté sur la figure 1.42, diffère du graphique du déplacement en fonction du temps (voir la figure 1.41).

Quelle que soit la direction de la vitesse, le chemin parcouru par le point augmente continuellement.

Dérivons la dépendance des coordonnées du point sur la projection de la vitesse. Vitesse υx = υ 0x + a x t, donc

Dans le cas de x 0 = 0 et x > 0 et υ x > υ 0x, le graphique des coordonnées en fonction de la vitesse est une parabole (Fig. 1.43).

Dans ce cas, plus l’accélération est importante, moins la branche de la parabole sera raide. Ceci est facile à expliquer, car plus l'accélération est grande, moins la distance que le point doit parcourir pour que la vitesse augmente du même montant que lors d'un déplacement avec moins d'accélération.

Dans le cas d'un x< 0 и υ 0x >0, la projection de vitesse diminuera. Réécrivons l'équation (1.17) sous la forme où a = |a x |. Le graphique de cette relation est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas (Fig. 1.44).

Mouvement accéléré.

À l’aide de graphiques de projection de vitesse en fonction du temps, vous pouvez déterminer la projection des coordonnées et de l’accélération d’un point à tout moment pour tout type de mouvement.

Laissez la projection de la vitesse du point dépendre du temps, comme le montre la figure 1.45. Il est évident que dans l'intervalle de temps de 0 à t 3, le mouvement du point le long de l'axe X s'est produit avec une accélération variable. A partir de l'instant t 3, le mouvement est uniforme avec vitesse constanteυDx. D'après le graphique, on voit que l'accélération avec laquelle le point s'est déplacé a continuellement diminué (comparez l'angle d'inclinaison de la tangente aux points B et C).

Le changement de la coordonnée x d'un point pendant le temps t 1 est numériquement égal à l'aire trapèze courbé OABt 1, pour le temps t 2 - zone OACt 2, etc. Comme le montre le graphique de projection de vitesse en fonction du temps, vous pouvez déterminer le changement des coordonnées du corps sur n'importe quelle période de temps.

A partir d'un graphique de coordonnées en fonction du temps, vous pouvez déterminer la valeur de la vitesse à tout instant en calculant la tangente de la tangente à la courbe au point correspondant à un instant donné. De la figure 1.46, il s'ensuit qu'au temps t 1, la projection de vitesse est positive. Dans l'intervalle de temps de t 2 à t 3, la vitesse est nulle, le corps est immobile. A l'instant t 4 la vitesse est également nulle (la tangente à la courbe au point D est parallèle à l'axe des x). Ensuite, la projection de vitesse devient négative, la direction du mouvement du point change dans le sens opposé.

Si le graphique de la projection de vitesse en fonction du temps est connu, vous pouvez déterminer l'accélération du point et, connaissant la position initiale, déterminer les coordonnées du corps à tout moment, c'est-à-dire résoudre le problème principal de la cinématique. À partir du graphique des coordonnées en fonction du temps, on peut déterminer l'un des éléments les plus importants caractéristiques cinématiques mouvement - vitesse. De plus, à partir des graphiques indiqués, vous pouvez déterminer le type de mouvement le long de l'axe sélectionné : uniforme, avec accélération constante ou mouvement à accélération variable.

3. Considérez la figure 4.6.
a) En quels points du graphique l’angle d’inclinaison de la tangente est-il le plus grand ?

Vitesse instantanée et moyenne

moins?

2. Vitesse moyenne

vav = l/t. (1)

5. Recherchez :

c) La vitesse moyenne de Sasha.

6. Recherchez :

b) La vitesse moyenne de Sasha.

Analyse test pratique Olympiade Internet de physique 2008/2009

11e année. Cinématique

Question n°1

À l'aide du graphique présenté sur la figure, déterminez la vitesse du cycliste trois secondes après le début du mouvement.

Solution.

La figure montre un graphique du chemin en fonction du temps. Le graphique est une ligne droite, ce qui signifie que le cycliste s'est déplacé uniformément. Déterminons à partir du graphique la distance parcourue par le cycliste dans un laps de temps déterminé. Par exemple, en 3 s, un cycliste a parcouru 9 m. La vitesse du cycliste est V = L / t = 9/3 = 3 m/s.

Question n°2

Le piéton et le cycliste ont commencé à se rapprocher en même temps. Leurs vitesses sont respectivement égales à V1 = et V2 = . Déterminez le temps de déplacement jusqu'à la rencontre si la distance initiale entre eux est L = .

Solution.

Déterminons la vitesse du cycliste dans le référentiel piéton V12 = V1 + V2 = 6 + 30 = 36 km/h = 10 m/s. Ainsi, un piéton et un cycliste se rapprochent à une vitesse de 10 m/s, alors leur temps de trajet avant de se rencontrer est t = L / V12 = 700/10 = 70 s.

Question n°3

La voiture roulait à une vitesse de 15 m/s pendant 5 s. Quelle distance a-t-il parcouru pendant cette période ?

Solution.

La voiture s'est déplacée uniformément, donc la distance parcourue est L = Vt = 155 = 75 m.

Question n°4

Une balle lancée verticalement vers le haut revient à sa position initiale. La figure montre un graphique de sa vitesse en fonction du temps. À quel moment le ballon est-il arrivé hauteur maximale?

Solution.

Au moment où la balle atteint sa hauteur maximale, sa vitesse est nulle. D'après le graphique présenté sur la figure, on détermine que la vitesse de la balle est nulle au temps t = 2 s.

Question n°5

Parmi les grandeurs ci-dessus, lesquelles sont des grandeurs vectorielles ?

(Cochez toutes les quantités vectorielles)

Solution.

Parmi ces grandeurs, la vitesse, l’accélération et le déplacement sont des grandeurs vectorielles. Le chemin est une quantité scalaire.

Question n°6

L'athlète a parcouru une distance de 400 m le long de la piste du stade et est revenu au point de départ. Déterminer le chemin L parcouru par l'athlète et le module de son mouvement S.

Solution.

La distance parcourue par l'athlète est L = 400 m. Le module de déplacement est S = 0, puisque l'athlète est revenu au point à partir duquel il a commencé à bouger.

Question n°7

La vitesse d'un corps se déplaçant de manière rectiligne et uniformément accélérée changeait lors du passage du point 1 au point 2, comme le montre la figure. Quelle direction a le vecteur accélération sur cette section du chemin ?

Solution.

On peut voir sur la figure que le module de vitesse du corps diminue à mesure qu'il se déplace, ce qui signifie que le vecteur accélération est dirigé vers le mouvement, c'est-à-dire vers la gauche.

Question n°8

À l'aide du graphique du module de vitesse en fonction du temps, déterminez l'accélération d'un corps en mouvement rectiligne au temps t = 2 s.

Solution.

À l’aide du graphique, nous déterminons la variation de la vitesse d’un corps à un moment donné. Par exemple, au cours des deux premières secondes, la vitesse du corps a changé de 6 m/s (de V0 = 3 m/s à Vt = 9 m/s). Accélération a = (Vt – V0) / t = 6/2 = 3 m/s2.

Question n°9

Lorsqu'une voiture se déplace avec une accélération uniforme pendant cinq secondes, sa vitesse augmente de 10 à 15 m/s. Pourquoi le module est égal accélération de la voiture ?

Solution.

Accélération de la voiture a = (Vt – V0) / t= (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 m/s2.

Question n°10

La voiture démarre au repos avec une accélération constante a = 1 m/s2. Quelle distance la voiture parcourt-elle au cours des dix premières secondes de mouvement ?

Solution.

La voiture se déplace uniformément accélérée sans vitesse initiale - la distance parcourue est L = at2/2 = 1102/2 = 50 m.

Question n°11

Un radeau flotte uniformément sur une rivière à une vitesse de 3 km/h. Le chevron se déplace sur le radeau à une vitesse de 4 km/h. Quelle est la vitesse du chevron dans le repère associé au rivage ?

Solution.

La vitesse du chevron dans le référentiel associé au rivage

Question n°12

L'hélicoptère s'élève verticalement à vitesse constante. Quelle est la trajectoire d'un point situé à l'extrémité d'une pale de rotor d'hélicoptère dans le référentiel associé au corps de l'hélicoptère ?

Solution.

Imaginez que vous êtes dans le cockpit d'un hélicoptère, c'est-à-dire que vous êtes immobile par rapport au corps de l'hélicoptère. Dans ce cas, vous pouvez voir que n’importe quel point du rotor de l’hélicoptère décrit un cercle.

Question n°13

Le corps se déplace le long de l'axe X selon la loi présentée sur la figure, où x est la coordonnée en mètres, t est le temps en secondes. Déterminez le module d’accélération du corps.

Solution.

Équation pour la dépendance des coordonnées au temps pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré dans vue générale a la forme X(t) = X0 + V0xt + aht2/2, où X0 est la coordonnée initiale, et V0x et ah sont les projections de la vitesse et de l'accélération initiales sur l'axe X.

En égalisant les termes qui incluent t2, nous obtenons akht2/2 = –4,5t2. D'où vient la projection de l'accélération aх = –9 m/s2, et le module d'accélération a= 9 m/s2.

Question n°14

La figure montre des graphiques du module de vitesse en fonction du temps pour quatre corps. Lequel de ces corps (ou quels corps) a voyagé le plus loin ?

Solution.

La figure montre des graphiques de la vitesse des corps en mouvement en fonction du temps. Comme vous le savez, le chemin parcouru par un corps est la zone située sous le graphique de vitesse. D'après la figure, il est clair que la figure superficie maximale se trouve sous le graphique du corps 4. Cela signifie que pendant la période de temps de 0 à t0, le corps 4 a parcouru la plus longue distance.

Question n°15

Le corps se déplace en ligne droite. La figure montre un graphique de la vitesse du corps en fonction du temps. À quel(s) intervalle(s) de temps la projection d’accélération est-elle négative ?

Solution.

Analysons le graphique :

1. sur la période de temps de 0 à 1 s, la vitesse du corps est constante, donc ax = 0 ;

2. sur une période de temps de 1 s à 2 s, la vitesse du corps diminue, donc la projection de l'accélération est ah< 0;

3. dans l'intervalle de temps de 2s à 3s, le corps est au repos, donc ax = 0 ;

4. sur l'intervalle de temps de 3s à 4s, la vitesse du corps augmente, donc la projection de l'accélération ax > 0.

Ainsi, la projection de l’accélération est négative sur l’intervalle de temps de 1 s à 2 s.

Question n°16

Une voiture se déplaçant avec une vitesse initiale de 20 m/s accélère avec une accélération constante a = 2 m/s2 pendant 5 s. Quelle distance a-t-il parcouru pendant cette période ?

Solution.

Pour calculer le chemin, vous pouvez utiliser la formule L = V0t + at2/2 = 205 + 252/2 = .

Comment trouver la vitesse moyenne à partir d'un graphique

1. Vitesse instantanée

Dans ce paragraphe, nous considérerons mouvement irrégulier. Cependant, dans ce cas, nous aurons besoin de ce que nous savons sur le mouvement rectiligne uniforme.

La figure 4.1 montre les positions d'une voiture en accélération sur autoroute droite avec un intervalle de temps de 1 s. La flèche pointe vers le rétroviseur, dont nous examinerons la position plus en détail.

On voit qu'à intervalles de temps égaux la voiture passe différentes manières, c'est-à-dire qu'il se déplace de manière inégale.

Réduisons maintenant les intervalles de temps successifs de 20 fois - à 0,05 s - et surveillons le changement de position de la voiture pendant une demi-seconde (ce n'est pas difficile à faire, par exemple en utilisant l'enregistrement vidéo).

Afin de ne pas encombrer la figure 4.2, elle ne montre que deux positions de la voiture avec un intervalle de temps de 0,5 s. Les positions successives du véhicule à 0,05 s d'intervalle sont marquées par la position de son rétroviseur (représenté en rouge).

On voit que lorsque des intervalles de temps égaux successifs sont suffisamment petits, alors les distances parcourues par la voiture pendant ces intervalles de temps sont pratiquement les mêmes. Cela signifie que le mouvement de la voiture sur des périodes de temps aussi courtes peut être considéré comme rectiligne et uniforme avec une bonne précision.

Il s'avère que ceci propriété remarquable tout mouvement (même curviligne) a : si on le considère sur une période de temps suffisamment courte Δt, il s'apparente beaucoup au mouvement rectiligne uniforme ! Et quoi ? moins d'écart temps, plus la similitude est grande.

La vitesse d'un corps sur une période de temps suffisamment courte est appelée sa vitesse à un instant donné t si cet instant est compris dans l'intervalle Δt. Et son nom plus précis est vitesse instantanée.

La brièveté de l’intervalle de temps Δt pour que pendant cet intervalle le mouvement du corps puisse être considéré comme rectiligne et uniforme dépend de la nature du mouvement du corps.

Dans le cas de l’accélération d’une voiture, cela représente une fraction de seconde. Et, par exemple, le mouvement de la Terre autour du Soleil peut être considéré avec une bonne précision comme étant rectiligne et uniforme même pendant la journée, bien que la Terre vole plus de deux millions et demi de kilomètres dans l'espace pendant cette période !

1. À l’aide de la figure 4.2, déterminez la vitesse instantanée de la voiture. Considérons que la longueur de la voiture est de 5 m.

La valeur de la vitesse instantanée de la voiture est indiquée par le compteur de vitesse (Fig. 4.3).

Comment trouver la vitesse instantanée à partir d'un graphique de coordonnées en fonction du temps

La figure 4.4 montre un graphique des coordonnées en fonction du temps pour une voiture se déplaçant sur une autoroute droite.

Nous voyons qu’il se déplace de manière inégale, car le graphique de ses coordonnées en fonction du temps est une courbe et non un segment de ligne droite.

Montrons comment déterminer à partir de ce graphique la vitesse instantanée d'une voiture à tout moment - disons, à t = 3 s (point sur le graphique).

Pour ce faire, considérons le mouvement d’une voiture sur une période de temps si courte pendant laquelle son mouvement peut être considéré comme linéaire et uniforme.

La figure 4.5 montre la section du graphique qui nous intéresse en décuplant (voir par exemple l'échelle de temps).

On voit que cette section du graphique est pratiquement impossible à distinguer d'un segment de droite (segment rouge). Dans des intervalles de temps égaux successifs de 0,1 s, la voiture parcourt des distances presque identiques - 1 m chacune.

2. Quelle est la vitesse instantanée de la voiture à l'instant t = 3 s ?

En revenant à l'échelle précédente du dessin, nous verrons que la droite rouge, avec laquelle une petite section du graphique coïncidait pratiquement, est tangente au graphique de la dépendance de la coordonnée au temps à un instant donné (Fig. .4.6).

Ainsi, la vitesse instantanée d'un corps peut être jugée par le coefficient angulaire de la tangente au graphique des coordonnées en fonction du temps : plus pente tangente, plus la vitesse du corps est grande. (La méthode décrite pour déterminer la vitesse instantanée à l'aide d'une tangente à un graphique de la dépendance d'une coordonnée au temps est associée au concept de dérivée d'une fonction. Vous étudierez ce concept dans le cours « Algèbre et les débuts d'aialis. ") Et aux points du graphique où l'angle d'inclinaison de la tangente est nul, alors il y a une tangente parallèle à l'axe du temps t, la vitesse instantanée du corps est nulle.

3. Considérez la figure 4.6.
b) Trouvez la vitesse instantanée maximale et minimale de la voiture pendant les 6 premières secondes de son mouvement.

2. Vitesse moyenne

De nombreux problèmes utilisent la vitesse moyenne associée à la distance parcourue :

vav = l/t. (1)

La vitesse moyenne ainsi définie est une quantité scalaire, puisque le chemin est quantité scalaire. (Parfois, pour éviter toute confusion, on parle de vitesse sol moyenne.)

Par exemple, si une voiture parcourait 120 km en ville pendant trois heures (en même temps elle pouvait accélérer, freiner et s'arrêter aux intersections), alors sa vitesse moyenne est de 40 km/h.

4. Dans quelle mesure la vitesse moyenne de la voiture que nous venons de mentionner diminuera-t-elle en raison d'arrêts de circulation ? temps total le mouvement va augmenter d'1 heure ?

Vitesse moyenne sur deux tronçons de circulation

Dans de nombreux problèmes, le mouvement d’un corps est considéré dans deux domaines, dans chacun desquels le mouvement peut être considéré comme uniforme. Dans ce cas, selon la définition vitesse moyenne(1), on peut écrire :

vav = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

où l1 et t1 sont le chemin et le temps pour la première section, et l2 et t2 pour la seconde. Regardons des exemples.
Sasha a quitté le village à vélo à une vitesse de 15 km/h et a roulé pendant une heure. Et puis le vélo est tombé en panne et Sasha a marché encore une heure à une vitesse de 5 km/h.

5. Recherchez :
a) le chemin parcouru par Sasha pendant tout le mouvement ;
b) la durée totale du mouvement de Sasha ;
c) La vitesse moyenne de Sasha.

Dans le cas considéré, la vitesse moyenne s'est avérée être égale à la moyenne arithmétique des vitesses auxquelles Sasha chevauchait et marchait. Est-ce toujours juste ? Considérons exemple suivant.
Laissez Sasha faire du vélo pendant une heure à une vitesse de 15 km/h, puis parcourir la même distance à pied à une vitesse de 5 km/h.

6. Recherchez :
a) le chemin que Sasha a parcouru à pied ;
b) le chemin parcouru par Sasha pendant tout le mouvement ;
c) la durée totale du mouvement de Sasha ;
b) La vitesse moyenne de Sasha.

En regardant ce cas, vous verrez que cette fois la vitesse moyenne n'est pas égale à la moyenne arithmétique des vitesses de conduite et de marche. Et si vous regardez encore plus attentivement, vous remarquerez que dans le deuxième cas la vitesse moyenne est inférieure à celle du premier. Pourquoi?

7. Comparez les périodes pendant lesquelles Sasha conduisait et marchait dans le premier et le deuxième cas.

Résumons les situations évoquées ci-dessus.

Considérons d'abord le cas où le corps se déplaçait à des vitesses différentes pendant des périodes de temps égales.

Laissez le corps se déplacer à la vitesse v1 pendant la première moitié de toute la durée du mouvement et pendant la seconde moitié à la vitesse v2. Est-il possible de connaître la vitesse moyenne de déplacement sur toute la section si ni la durée totale du mouvement ni la distance parcourue par le corps pendant tout le mouvement ne sont connues ?

Vous pouvez : pour ce faire, nous introduisons des notations pour toutes les quantités dont nous avons besoin, qu'elles soient connues ou inconnues. Il s'agit d'une technique courante pour résoudre de nombreux problèmes.

Notons le temps de mouvement entier par t, le chemin entier par l et les chemins parcourus pendant la première et la seconde moitié du temps de mouvement par l1 et l2, respectivement.

8. Exprimer en termes de v1, v2 et t :
a) l1 et l2 ; b) je; c) vitesse moyenne.

En trouvant les réponses à ces questions, vous saurez si le cas général déclaration : si un corps se déplaçait en deux sections avec des vitesses différentes pendant des périodes de temps égales, alors sa vitesse moyenne sur tout le trajet est égale à la moyenne arithmétique des vitesses de mouvement dans les deux sections.

Considérons maintenant le cas où le corps se déplaçait à des vitesses différentes pendant la première et la seconde moitié du trajet.

Laissez maintenant le corps se déplacer pendant la première moitié du trajet entier à la vitesse v1 et pendant la seconde moitié à la vitesse v2. Notons à nouveau le temps entier du mouvement par t, le trajet entier par l, et les intervalles de temps pendant lesquels le corps s'est déplacé dans les première et deuxième sections seront désignés respectivement par t1 et t2.

9. Exprimer en termes de v1, v2 et l :
a) t1 et t2 ; b) t; c) vitesse moyenne.

En répondant à ces questions, vous découvrirez si l'affirmation est vraie dans le cas général : si le corps bougeait dans deux zones longueur égale avec des vitesses différentes, alors sa vitesse moyenne sur tout le trajet n'est pas égale à la moyenne arithmétique de ces vitesses.

10. Prouver que la vitesse moyenne d'un corps qui se déplaçait en deux sections de même longueur avec des vitesses différentes est inférieure à celle s'il se déplaçait en deux sections avec les mêmes vitesses pendant des périodes de temps égales.
Indice. Pour chacun des deux cas, exprimez la vitesse moyenne en fonction des vitesses dans les première et deuxième sections et comparez les expressions obtenues.

11. Sur la première section du chemin, le corps se déplaçait à la vitesse v1, et sur la seconde – à la vitesse v2. Quel est le rapport des longueurs de ces tronçons si la vitesse moyenne de déplacement s'avère égale à la moyenne arithmétique de v1 et v2 ?

Questions et tâches supplémentaires

12. Pendant un tiers du temps total, le train a circulé à la vitesse v1 et le reste du temps à la vitesse v2.
a) Exprimer la distance parcourue par le train en fonction de v1, v2 et du temps de trajet total t.
b) Exprimez la vitesse moyenne du train en termes de v1 et v2.
c) Trouver valeur numérique vitesse moyenne à v1 = 60 km/h, v2 = 90 km/h.

13. La voiture a parcouru les trois quarts de la distance totale à la vitesse v1 et le reste du trajet à la vitesse v2.
a) Exprimer tout le temps de déplacement de la voiture en termes de v1, v2 et la distance totale parcourue l.
b) Exprimez la vitesse moyenne de la voiture en termes de v1 et v2.
c) Trouvez la valeur numérique de la vitesse moyenne à v1 = 80 km/h, v2 = 100 km/h.

14. La voiture a roulé pendant 2 heures à une vitesse de 60 km/h. Combien de temps après doit-il rouler à une vitesse de 80 km/h pour que sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet devienne égale à 66,7 km/h ?

15. Transférez dans votre cahier (par cellules) le graphique de la dépendance des coordonnées de la voiture au temps, illustré à la figure 4.4. Considérons que la voiture se déplace le long de l'axe des x.
a) Déterminez graphiquement la vitesse moyenne pendant 6 s.
b) À l'aide de la tangente, déterminez à quels instants approximativement la vitesse instantanée de la voiture était égale à sa vitesse moyenne sur 6 s.

16. Un corps se déplace le long de l’axe x. La dépendance des coordonnées du corps au temps est exprimée par la formule x = 0,2 * t2.
a) Choisissez une échelle pratique et tracez x(t) pour les 6 premières s.
b) À l'aide de ce graphique, trouvez l'instant auquel la vitesse instantanée du corps était égale à la vitesse moyenne pour toute la durée du mouvement.

§ 12. Graphiques du chemin en fonction du temps.

Si la trajectoire du mouvement d’un point est connue, alors la dépendance du chemin parcouru par le point sur l’intervalle de temps écoulé donne description complète ce mouvement. Nous avons vu que pour un mouvement uniforme, une telle dépendance peut être donnée sous la forme de la formule (9.2). La relation entre et pour des moments individuels peut également être spécifiée sous la forme d'un tableau contenant les valeurs correspondantes de la période de temps et de la distance parcourue. Supposons que la vitesse d'un mouvement uniforme soit de 2 m/s. La formule (9.2) dans ce cas a la forme . Faisons un tableau du chemin et du temps d'un tel mouvement :

Il est souvent pratique de représenter la dépendance d'une quantité par rapport à une autre non pas avec des formules ou des tableaux, mais avec des graphiques qui montrent plus clairement l'image du changement. variables et peut faciliter les calculs. Construisons un graphique de la distance parcourue en fonction du temps pour le mouvement en question. Pour ce faire, prenez deux lignes droites mutuellement perpendiculaires - axes de coordonnées ; Nous appellerons l’un d’eux (l’axe des abscisses) l’axe du temps, et l’autre (l’axe des ordonnées) l’axe du chemin. Choisissons des échelles pour représenter les intervalles de temps et les chemins et prenons le point d'intersection des axes comme moment initial et comme point de départ de la trajectoire. Traçons sur les axes les valeurs du temps et de la distance parcourue pour le mouvement considéré (Fig. 18). Pour « lier » les valeurs de la distance parcourue à des instants dans le temps, on trace des perpendiculaires aux axes à partir des points correspondants sur les axes (par exemple, les points 3 s et 6 m). Le point d'intersection des perpendiculaires correspond simultanément aux deux grandeurs : trajectoire et moment, et ainsi la « liaison » est réalisée. La même construction peut être effectuée pour n'importe quel autre point dans le temps et les chemins correspondants, obtenant pour chacune de ces paires de valeurs temps-chemin un point sur le graphique. Sur la fig.

Déterminer à partir du graphique la vitesse moyenne du corps pendant des périodes de temps

18, une telle construction est réalisée, en remplaçant les deux rangées du tableau par une rangée de points. Si une telle construction était effectuée pour tous les points dans le temps, alors au lieu de points individuels, une ligne continue serait obtenue (également illustrée sur la figure). Cette ligne est appelée un graphique de chemin en fonction du temps ou, en bref, un graphique de chemin.

Riz. 18. Graphique de la trajectoire d'un mouvement uniforme à une vitesse de 2 m/s

Riz. 19. Pour l'exercice 12.1

Dans notre cas, le graphique du chemin s’est avéré être une ligne droite. On peut montrer que le graphique de la trajectoire d’un mouvement uniforme est toujours une ligne droite ; et vice versa : si le graphique du chemin en fonction du temps est une ligne droite, alors le mouvement est uniforme.

En répétant la construction pour une vitesse différente, nous constatons que les points du graphique pour les vitesses plus élevées se situent plus haut que les points du graphique correspondant pour les vitesses inférieures (Fig. 20). Ainsi, plus la vitesse du mouvement uniforme est grande, plus la pente est forte. graphique en ligne droite chemin, c'est-à-dire plus l'angle qu'il fait avec l'axe du temps est grand.

Riz. 20. Graphiques de la trajectoire des mouvements uniformes avec des vitesses de 2 et 3 m/s

Riz. 21. Graphique du même mouvement que sur la Fig. 18, dessiné à une échelle différente

La pente du graphique dépend bien entendu non seulement de la valeur numérique de la vitesse, mais également du choix des échelles de temps et de longueur. Par exemple, le graphique présenté à la Fig. 21 donne le chemin en fonction du temps pour le même mouvement que le graphique de la Fig. 18, bien qu'il ait une pente différente. De là, il est clair qu'il n'est possible de comparer les mouvements par la pente des graphiques que s'ils sont tracés à la même échelle.

À l'aide de graphiques de chemin, vous pouvez facilement résoudre différentes tâches sur le mouvement. Par exemple sur la Fig. 18 lignes pointillées montrent les constructions nécessaires pour résoudre les problèmes suivants pour de ce mouvement: a) trouver le chemin parcouru en 3,5 s ; b) trouve le temps qu'il faut pour parcourir 9 m sur la figure. graphiquement(lignes pointillées) réponses trouvées : a) 7 m ; b) 4,5 s.

Sur les graphiques décrivant l'uniforme mouvement droit, vous pouvez tracer les coordonnées du point en mouvement le long de l'ordonnée plutôt que du chemin. Cette description révèle de belles opportunités. Il permet notamment de distinguer le sens de déplacement par rapport à l'axe. De plus, en prenant l’origine du temps égale à zéro, il est possible de montrer le mouvement du point à des instants antérieurs, qui doivent être considérés comme négatifs.

Riz. 22. Graphiques de mouvements avec la même vitesse, mais à différentes positions initiales du point en mouvement

Riz. 23. Graphiques de plusieurs mouvements avec vitesses négatives

Par exemple, sur la Fig. 22 la droite I est un graphique d'un mouvement se produisant à une vitesse positive de 4 m/s (c'est-à-dire dans la direction de l'axe), et au moment initial le point en mouvement se trouvait à un point de coordonnée m. À titre de comparaison, le même. La figure montre un graphique du mouvement qui se produit avec la même vitesse, mais auquel, au moment initial, le point en mouvement se trouve au point avec la coordonnée (ligne II). Droit. III correspond au cas où à l'instant le point mobile se trouvait à un point de coordonnée m Enfin, la droite IV décrit le mouvement dans le cas où le point mobile avait une coordonnée à l'instant c.

On voit que les pentes des quatre graphiques sont les mêmes : la pente dépend uniquement de la vitesse du point en mouvement, et non de sa vitesse. position initiale. Lors du changement de position initiale, l'ensemble du graphique est simplement transféré parallèlement à lui-même le long de l'axe haut ou bas à la distance appropriée.

Graphiques de mouvements se produisant à des vitesses négatives (c'est-à-dire dans la direction direction opposée axe) sont représentés sur la Fig. 23. Ils sont droits, inclinés vers le bas. Pour de tels mouvements, la coordonnée du point diminue avec le temps.

12.3. Le graphique de trajectoire d'un point se déplaçant à une vitesse coupe un segment sur l'axe des ordonnées. Comment la distance au temps dépend-elle du temps ? point de départ? Écrivez la formule de cette relation.

12.4. Un point se déplaçant à une vitesse est actuellement éloigné du point initial.

Comment la distance dépend-elle du temps ?

12.5. Le point, se déplaçant uniformément le long de l'axe, avait les coordonnées m et m à des instants s et s, respectivement. Trouvez graphiquement à quel moment le point est passé par l'origine des coordonnées et quelle était la coordonnée au moment initial. Trouvez la projection de la vitesse sur l'axe.

12.6. À l'aide d'un graphique de trajectoire, déterminez quand et à quelle distance du point A une voiture partant du point A sera dépassée par une deuxième voiture quittant le même point 20 minutes après la première, si la première voiture roule à une vitesse de 40 km/h. , et le second se déplace à une vitesse de 40 km/h à une vitesse de 60 km/h.

12.7. A l'aide d'un graphique, trouvez où et quand les véhicules se croiseront, partant en même temps l'un vers l'autre à des vitesses de 40 et 60 km/h à partir de points A et B, situés à 100 km l'un de l'autre.

Des graphiques de trajectoire peuvent également être construits pour les cas dans lesquels un corps se déplace uniformément pendant une certaine période de temps, puis se déplace uniformément mais à une vitesse différente pendant une autre période de temps, puis change à nouveau de vitesse, etc. Par exemple, sur la Fig. La figure 26 montre un graphique de mouvement dans lequel le corps s'est déplacé pendant la première heure à une vitesse de 20 km/h, pendant la deuxième heure à une vitesse de 40 km/h et pendant la troisième heure à une vitesse de 15 km/h.

Exercice:12.8. Construisez un graphique de la trajectoire de déplacement dans laquelle, sur des intervalles horaires successifs, le corps avait des vitesses de 10, -5, 0, 2, -7 km/h. Quel est le déplacement total du corps ?

1. Trouver un chemin à l'aide d'un graphique de vitesse en fonction du temps

Montrons comment trouver le chemin parcouru par un corps à l'aide d'un graphique de la vitesse en fonction du temps.

Commençons par le tout début cas simple– un mouvement uniforme. La figure 6.1 montre un graphique de v(t) – vitesse en fonction du temps. Il représente un segment de ligne droite parallèle à la base du temps, car avec un mouvement uniforme, la vitesse est constante.

La figure placée sous ce graphique est un rectangle (elle est ombrée sur la figure). Son aire est numériquement égale au produit de la vitesse v et du temps de mouvement t. En revanche, le produit vt est égal au chemin l parcouru par le corps. Donc, avec un mouvement uniforme

manière numérique égal à la superficie le chiffre placé sous le graphique de la vitesse en fonction du temps.

Montrons maintenant qu'un mouvement inégal possède également cette propriété remarquable.

Supposons, par exemple, que le graphique de la vitesse en fonction du temps ressemble à la courbe présentée dans la figure 6.2.

Divisons mentalement tout le temps de mouvement en intervalles si petits que pendant chacun d'eux le mouvement du corps peut être considéré comme presque uniforme (cette division est représentée par des lignes pointillées sur la figure 6.2).

Ensuite, le chemin parcouru au cours de chacun de ces intervalles est numériquement égal à l'aire de la figure sous la masse correspondante du graphique. Par conséquent, le chemin entier est égal à l'aire des chiffres contenus sous l'ensemble du graphique. (La technique que nous avons utilisée est la base calcul intégral, dont vous étudierez les bases dans le cours « Débuts de l'analyse mathématique ».)

2. Trajectoire et déplacement lors d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré

Appliquons maintenant la méthode décrite ci-dessus pour trouver le chemin vers un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

La vitesse initiale du corps est nulle

Dirigons l'axe des x dans la direction de l'accélération du corps. Alors ax = a, vx = v. Ainsi,

La figure 6.3 montre un graphique de v(t).

1. À l'aide de la figure 6.3, prouver qu'en cas de mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale, la trajectoire l est exprimée en termes du module d'accélération a et du temps de mouvement t par la formule

Principale conclusion :

En cas de mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale, la distance parcourue par le corps est proportionnelle au carré du temps de mouvement.

De cette manière, un mouvement uniformément accéléré diffère considérablement d’un mouvement uniforme.

La figure 6.4 montre des graphiques de la trajectoire en fonction du temps pour deux corps, dont l'un se déplace uniformément et l'autre accélère uniformément sans vitesse initiale.

2. Regardez la figure 6.4 et répondez aux questions.
a) De quelle couleur est le graphique d'un corps se déplaçant avec une accélération uniforme ?
b) Quelle est l'accélération de ce corps ?
c) Quelles sont les vitesses des corps au moment où ils ont parcouru le même chemin ?
d) À quel moment les vitesses des corps sont-elles égales ?

3. Après avoir démarré, la voiture a parcouru une distance de 20 m au cours des 4 premières secondes. Considérez que le mouvement de la voiture est linéaire et uniformément accéléré. Sans calculer l'accélération de la voiture, déterminez la distance que la voiture parcourra :
a) en 8 s ? b) en 16 s ? c) en 2 s ?

Trouvons maintenant la dépendance de la projection de déplacement sx au temps. Dans ce cas, la projection de l'accélération sur l'axe des x est positive, donc sx = l, ax = a. Ainsi, de la formule (2) il résulte :

sx = axt2/2. (3)

Les formules (2) et (3) sont très similaires, ce qui conduit parfois à des erreurs de résolution tâches simples. Le fait est que la valeur de projection du déplacement peut être négative. Cela se produira si l'axe x est dirigé à l'opposé du déplacement : alors sx< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. La figure 6.5 montre des graphiques du temps de trajet et de la projection du déplacement pour un certain corps. De quelle couleur est le graphique de projection de déplacement ?

La vitesse initiale du corps n'est pas nulle

Rappelons que dans ce cas la dépendance de la projection de vitesse au temps est exprimée par la formule

vx = v0x + axt, (4)

où v0x est la projection de la vitesse initiale sur l'axe des x.

Nous examinerons plus en détail le cas où v0x > 0, ax > 0. Dans ce cas, nous pouvons à nouveau profiter du fait que le chemin est numériquement égal à l'aire de la figure sous le graphique vitesse en fonction du temps. (Considérez vous-même d'autres combinaisons de signes pour la projection de la vitesse initiale et de l'accélération : le résultat sera le même formule générale (5).

La figure 6.6 montre un graphique de vx(t) pour v0x > 0, ax > 0.

5. À l'aide de la figure 6.6, prouver qu'en cas de mouvement rectiligne uniformément accéléré avec une vitesse initiale, la projection du déplacement

sx = v0x + axt2/2.

Cette formule vous permet de trouver la dépendance de la coordonnée x du corps au temps. Rappelons (voir formule (6), § 2) que la coordonnée x du corps est liée à la projection de son déplacement sx par la relation

où x0 est la coordonnée initiale du corps. Ainsi,

x = x0 + sx, (6)

A partir des formules (5), (6) on obtient :

x = x0 + v0xt + axt2/2. (7)

6. La dépendance des coordonnées au temps pour un certain corps se déplaçant le long de l'axe des x est exprimée en unités SI par la formule x = 6 – 5t + t2.
a) Quelle est la coordonnée initiale du corps ?
b) Quelle est la projection de la vitesse initiale sur l'axe des x ?
c) Quelle est la projection de l’accélération sur l’axe des x ?
d) Dessine un graphique de la coordonnée x en fonction du temps.
e) Dessinez un graphique de la vitesse projetée en fonction du temps.
f) A quel moment la vitesse du corps est-elle égale à zéro ?
g) Le corps reviendra-t-il au point de départ ? Si oui, à quel(s) moment(s) ?
h) Le corps passera-t-il par l'origine ? Si oui, à quel(s) moment(s) ?
i) Dessinez un graphique de la projection du déplacement en fonction du temps.
j) Dessinez un graphique de la distance en fonction du temps.

3. Relation entre trajectoire et vitesse

Lors de la résolution de problèmes, les relations entre la trajectoire, l’accélération et la vitesse (v0 initial, v final ou les deux) sont souvent utilisées. Dérivons ces relations. Commençons par un mouvement sans vitesse initiale. De la formule (1) on obtient pour le temps du mouvement :

Remplaçons cette expression dans la formule (2) pour le chemin :

l = at2/2 = a/2(v/a)2 = v2/2a. (9)

Principale conclusion :

dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale, la distance parcourue par le corps est proportionnelle au carré vitesse finale.

7. Après avoir démarré, la voiture a pris une vitesse de 10 m/s sur une distance de 40 m. Considérons que le mouvement de la voiture est linéaire et uniformément accéléré. Sans calculer l'accélération de la voiture, déterminez quelle distance depuis le début du mouvement la voiture a parcourue lorsque sa vitesse était égale à : a) 20 m/s ? b) 40 m/s ? c) 5 m/s ?

La relation (9) peut également être obtenue en rappelant que le chemin est numériquement égal à l'aire de la figure placée sous le graphique de la vitesse en fonction du temps (Fig. 6.7).

Cette considération vous aidera à faire face facilement à la tâche suivante.

8. À l'aide de la figure 6.8, prouvez que lors d'un freinage avec une accélération constante, le corps parcourt la distance lт = v02/2a jusqu'à un arrêt complet, où v0 est la vitesse initiale du corps, a est le module d'accélération.

En cas de freinage véhicule(voiture, train) la distance parcourue jusqu'à un arrêt complet est appelée distance de freinage. Attention : la distance de freinage à la vitesse initiale v0 et la distance parcourue lors de l'accélération de l'arrêt à la vitesse v0 avec la même accélération a sont identiques.

9. Lors d'un freinage d'urgence sur asphalte sec, l'accélération de la voiture est égale en valeur absolue à 5 m/s2. Quelle est la distance de freinage d'une voiture à la vitesse initiale : a) 60 km/h (vitesse maximale autorisée en ville) ; b) 120 km/h ? Trouvez la distance de freinage aux vitesses indiquées dans des conditions glaciales, lorsque le module d'accélération est de 2 m/s2. Comparez les distances de freinage que vous avez trouvées avec la longueur de la salle de classe.

10. À l'aide de la figure 6.9 et de la formule exprimant l'aire d'un trapèze par sa hauteur et la moitié de la somme des bases, prouver que pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré :
a) l = (v2 – v02)/2a, si la vitesse du corps augmente ;
b) l = (v02 – v2)/2a, si la vitesse du corps diminue.

11. Montrer que les projections du déplacement, de la vitesse initiale et finale, ainsi que de l'accélération sont liées par la relation

sx = (vx2 – v0x2)/2ax (10)

12. Une voiture sur un trajet de 200 m a accéléré d'une vitesse de 10 m/s à 30 m/s.
a) À quelle vitesse la voiture roulait-elle ?
b) Combien de temps la voiture a-t-elle mis pour voyager ? chemin spécifié?
c) Quelle est la vitesse moyenne de la voiture ?

Questions et tâches supplémentaires

13. Le dernier wagon est désaccouplé d'un train en mouvement, après quoi le train se déplace uniformément et le wagon se déplace avec une accélération constante jusqu'à son arrêt complet.
a) Dessine sur un dessin des graphiques de vitesse en fonction du temps pour un train et un wagon.
b) Combien de fois la distance parcourue par la voiture jusqu'à l'arrêt ? moins de chemin voyagé en train en même temps ?

14. Après avoir quitté la gare, le train a roulé à accélération uniforme pendant un certain temps, puis pendant 1 minute – uniformément à une vitesse de 60 km/h, après quoi il a de nouveau accéléré uniformément jusqu'à s'arrêter à la gare suivante. Les modules d'accélération lors de l'accélération et du freinage étaient différents. Le train a parcouru la distance entre les gares en 2 minutes.
a) Dessinez un graphique schématique de la projection de la vitesse du train en fonction du temps.
b) À l'aide de ce graphique, trouve la distance entre les stations.
c) Quelle distance parcourrait le train s'il accélérait sur le premier tronçon du trajet et ralentissait sur le second ? Quelle serait sa vitesse maximale ?

15. Un corps se déplace uniformément accéléré le long de l’axe x. A l'instant initial il était à l'origine des coordonnées, et la projection de sa vitesse était égale à 8 m/s. Après 2 s, la coordonnée du corps est devenue 12 m.
a) Quelle est la projection de l’accélération du corps ?
b) Tracez un graphique de vx(t).
c) Écrivez une formule exprimant la dépendance x(t) en unités SI.
d) La vitesse du corps sera-t-elle nulle ? Si oui, à quel moment ?
e) Le corps visitera-t-il le point de coordonnées 12 m une deuxième fois ? Si oui, à quel moment ?
f) Le corps reviendra-t-il au point de départ ? Si oui, à quel moment et quelle sera la distance parcourue ?

16. Après la poussée, la balle roule plan incliné, après quoi il revient au point de départ. Le ballon se trouvait à une distance b du point initial à deux reprises aux intervalles de temps t1 et t2 après la poussée. La balle se déplaçait de haut en bas le long du plan incliné avec la même ampleur d’accélération.
a) Dirigez l'axe des x vers le haut le long du plan incliné, sélectionnez l'origine au point de position initiale de la balle et écrivez une formule exprimant la dépendance x(t), qui inclut le module de la vitesse initiale de la balle v0 et le module d'accélération de la balle a.
b) En utilisant cette formule et le fait que la balle était à une distance b du point de départ aux instants t1 et t2, créez un système de deux équations à deux inconnues v0 et a.
c) Après avoir résolu ce système d'équations, exprimez v0 et a en fonction de b, t1 et t2.
d) Exprimer le chemin entier l parcouru par la balle en fonction de b, t1 et t2.
e) Trouver les valeurs numériques de v0, a et l pour b = 30 cm, t1 = 1s, t2 = 2s.
f) Tracer des graphiques de vx(t), sx(t), l(t).
g) À l’aide du graphique sx(t), déterminez le moment où le module de déplacement de la balle était maximum.

1. Vitesse instantanée

Dans cette section, nous considérerons les mouvements inégaux. Cependant, dans ce cas, nous aurons besoin de ce que nous savons sur le mouvement rectiligne uniforme.

La figure 4.1 montre les positions d'une voiture en accélération sur une autoroute rectiligne avec un intervalle de temps de 1 s. La flèche pointe vers le rétroviseur, dont nous examinerons la position plus en détail.

Nous voyons qu'à intervalles de temps égaux, la voiture parcourt des chemins différents, c'est-à-dire qu'elle se déplace de manière inégale.

Il s’avère que tout mouvement (même curviligne) possède cette propriété remarquable : si on le considère sur une période de temps Δt suffisamment courte, il s’apparente beaucoup à un mouvement uniforme rectiligne ! De plus, plus la période est courte, plus la similitude est grande.

La brièveté de l’intervalle de temps Δt pour que pendant cet intervalle le mouvement du corps puisse être considéré comme rectiligne et uniforme dépend de la nature du mouvement du corps.

1. À l’aide de la figure 4.2, déterminez la vitesse instantanée de la voiture. Considérons que la longueur de la voiture est de 5 m.

La valeur de la vitesse instantanée de la voiture est indiquée par le compteur de vitesse (Fig. 4.3).

Comment trouver la vitesse instantanée à partir d'un graphique de coordonnées en fonction du temps

La figure 4.4 montre un graphique des coordonnées en fonction du temps pour une voiture se déplaçant sur une autoroute droite.

Nous voyons qu’il se déplace de manière inégale, car le graphique de ses coordonnées en fonction du temps est une courbe et non un segment de ligne droite.

Montrons comment déterminer à partir de ce graphique la vitesse instantanée d'une voiture à tout moment - disons, à t = 3 s (point sur le graphique).

Pour ce faire, considérons le mouvement d’une voiture sur une période de temps si courte pendant laquelle son mouvement peut être considéré comme linéaire et uniforme.

La figure 4.5 montre la section du graphique qui nous intéresse en décuplant (voir par exemple l'échelle de temps).

2. Quelle est la vitesse instantanée de la voiture à l'instant t = 3 s ?

Ainsi, la vitesse instantanée d'un corps peut être jugée par le coefficient angulaire de la tangente au graphique des coordonnées en fonction du temps : plus le coefficient angulaire de la tangente est grand, plus la vitesse du corps est grande. (La méthode décrite pour déterminer la vitesse instantanée à l'aide d'une tangente à un graphique de la dépendance d'une coordonnée au temps est associée au concept de dérivée d'une fonction. Vous étudierez ce concept dans le cours « Algèbre et les débuts d'aialis. ") Et aux points du graphique où l'angle d'inclinaison de la tangente est nul, alors il y a une tangente parallèle à l'axe du temps t, la vitesse instantanée du corps est nulle.

3. Considérez la figure 4.6.
a) En quels points du graphique l’angle d’inclinaison de la tangente est-il le plus grand ? moins?
b) Trouvez la vitesse instantanée maximale et minimale de la voiture pendant les 6 premières secondes de son mouvement.

2. Vitesse moyenne

De nombreux problèmes utilisent la vitesse moyenne associée à la distance parcourue :

vav = l/t. (1)

La vitesse moyenne ainsi définie est une grandeur scalaire, puisque le chemin est une grandeur scalaire. (Parfois, pour éviter toute confusion, on parle de vitesse sol moyenne.)

4. De combien la vitesse moyenne de la voiture que nous venons de mentionner diminuera-t-elle si la durée totale de conduite augmente d'une heure en raison des arrêts de la circulation ?

Vitesse moyenne sur deux tronçons de circulation

Dans de nombreux problèmes, le mouvement d’un corps est considéré dans deux domaines, dans chacun desquels le mouvement peut être considéré comme uniforme. Dans ce cas, d’après la définition de la vitesse moyenne (1), on peut écrire :

vav = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

5. Recherchez :
a) le chemin parcouru par Sasha pendant tout le mouvement ;
b) la durée totale du mouvement de Sasha ;
c) La vitesse moyenne de Sasha.

Dans le cas considéré, la vitesse moyenne s'est avérée être égale à la moyenne arithmétique des vitesses auxquelles Sasha chevauchait et marchait. Est-ce toujours juste ? Considérez l'exemple suivant.
Laissez Sasha faire du vélo pendant une heure à une vitesse de 15 km/h, puis parcourir la même distance à pied à une vitesse de 5 km/h.

6. Recherchez :
a) le chemin que Sasha a parcouru à pied ;
b) le chemin parcouru par Sasha pendant tout le mouvement ;
c) la durée totale du mouvement de Sasha ;
b) La vitesse moyenne de Sasha.

7. Comparez les périodes pendant lesquelles Sasha conduisait et marchait dans le premier et le deuxième cas.

Résumons les situations évoquées ci-dessus.

Considérons d'abord le cas où le corps se déplaçait à des vitesses différentes pendant des périodes de temps égales.

Notons le temps de mouvement entier par t, le chemin entier par l et les chemins parcourus pendant la première et la seconde moitié du temps de mouvement par l1 et l2, respectivement.

8. Exprimer en termes de v1, v2 et t :
a) l1 et l2 ; b) je; c) vitesse moyenne.

Après avoir trouvé les réponses à ces questions, vous découvrirez si l'affirmation est vraie dans le cas général : si un corps se déplaçait en deux sections avec des vitesses différentes pendant des périodes de temps égales, alors sa vitesse moyenne sur tout le trajet est égale à la moyenne arithmétique des vitesses dans les deux sections.

Considérons maintenant le cas où le corps se déplaçait à des vitesses différentes pendant la première et la seconde moitié du trajet.

9. Exprimer en termes de v1, v2 et l :
a) t1 et t2 ; b) t; c) vitesse moyenne.

En répondant à ces questions, vous découvrirez si l'affirmation est vraie dans le cas général : si un corps se déplaçait sur deux tronçons d'égale longueur avec des vitesses différentes, alors sa vitesse moyenne sur tout le trajet n'est pas égale à la moyenne arithmétique de ces vitesses.

Questions et tâches supplémentaires

12. Pendant un tiers du temps total, le train a circulé à la vitesse v1 et le reste du temps à la vitesse v2.
a) Exprimer la distance parcourue par le train en fonction de v1, v2 et du temps de trajet total t.
b) Exprimez la vitesse moyenne du train en termes de v1 et v2.
c) Trouvez la valeur numérique de la vitesse moyenne à v1 = 60 km/h, v2 = 90 km/h.

La voiture a parcouru les trois quarts de la distance totale à la vitesse v1 et le reste du trajet à la vitesse v2.
a) Exprimer tout le temps de déplacement de la voiture en termes de v1, v2 et la distance totale parcourue l.
b) Exprimez la vitesse moyenne de la voiture en termes de v1 et v2.
c) Trouvez la valeur numérique de la vitesse moyenne à v1 = 80 km/h, v2 = 100 km/h.