La dépendance de la coordonnée au temps pour un mouvement uniforme a la forme : . Comme indiqué ci-dessus, cela dépendance linéaire. Le graphique d'une telle relation est une ligne droite

La figure montre certains graphiques caractéristiques dépendance des coordonnées au temps pour un mouvement uniforme. Le point d'intersection de la droite avec l'axe des x correspond à la coordonnée initiale x0. La pente de la droite est déterminée par la projection de la vitesse sur l'axe X. Si vx > 0, alors la droite monte, et si vx.< 0, то вниз. Угол наклона прямой определяется величиной проекции скорости. А именно, если угол наклона прямой к оси времени равен б, то.

L’importance du travail de Tsiolkovsky pour l’astronautique

Le mouvement d'un corps résultant de la séparation d'une partie de sa masse de lui à une certaine vitesse est dit réactif. Tous les types de mouvements, sauf réactifs, sont impossibles sans la présence de forces extérieures à un système donné, c'est-à-dire sans l'interaction des corps d'un système donné avec environnement, et pour la mise en œuvre propulsion à réaction aucune interaction du corps avec l'environnement n'est requise. Initialement, le système est au repos, c'est-à-dire que sa quantité de mouvement totale est égal à zéro. Lorsqu'une partie de sa masse commence à être éjectée du système à une certaine vitesse, alors (puisque l'impulsion totale système fermé selon la loi de conservation de la quantité de mouvement doit rester inchangée), le système reçoit une vitesse dirigée dans la direction opposée. En effet, puisque m1v1+m2v2=0, alors m1v1=-m2v2, soit

De cette formule il résulte que la vitesse v2 obtenue par un système de masse m2 dépend de la masse éjectée m1 et de la vitesse v1 de son éjection.

Un moteur thermique dans lequel la force de traction résultant de la réaction d'un jet de gaz chauds qui s'échappe est appliquée directement sur son corps est appelé moteur réactif. Contrairement aux autres véhicules appareil avec moteur à réaction peut se déplacer dans l’espace.

Le fondateur de la théorie vols spatiaux est l'éminent scientifique russe Tsiolkovsky (1857 - 1935). Il a donné bases générales théorie de la propulsion à réaction, a développé les principes et schémas de base du jet aéronef, a prouvé la nécessité d'utiliser une fusée à plusieurs étages pour les vols interplanétaires. Les idées de Tsiolkovsky ont été mises en œuvre avec succès en URSS lors de la construction satellites artificiels Terre et vaisseaux spatiaux.

Vibrations harmoniques et leurs caractéristiques

Les oscillations sont des mouvements ou des processus caractérisés par une certaine répétabilité dans le temps. Les oscillations sont répandues dans le monde environnant et peuvent être de nature très différente. Ceux-ci peuvent être mécaniques (pendule), électromagnétiques ( circuit oscillatoire) et d'autres types de vibrations.

Les oscillations libres, ou naturelles, sont des oscillations qui se produisent dans un système livré à lui-même après avoir été déséquilibré par une influence extérieure. Un exemple serait les oscillations d’une balle suspendue à une corde.

A un rôle particulier dans les processus oscillatoires forme la plus simple vibrations - vibrations harmoniques. Les vibrations harmoniques sont la base approche commune lors de l'étude des vibrations de nature différente, puisque les vibrations trouvées dans la nature et la technologie sont souvent proches des harmoniques, et que des processus périodiques de forme différente peuvent être représentés comme une superposition de vibrations harmoniques.

Les oscillations harmoniques sont les oscillations dans lesquelles la quantité oscillante change au fil du temps selon la loi du sinus ou du cosinus.

L'équation des vibrations harmoniques a la forme :

où A est l'amplitude des oscillations (l'ampleur du plus grand écart du système par rapport à la position d'équilibre) ; - fréquence circulaire (cyclique). L’argument du cosinus qui change périodiquement est appelé phase d’oscillation. La phase d'oscillation détermine le déplacement de la grandeur oscillante par rapport à la position d'équilibre dans à l'heure actuelle temps t. La constante q représente la valeur de phase au temps t = 0 et est appelée phase initiale de l'oscillation. La valeur de la phase initiale est déterminée par le choix du point de référence. La valeur x peut prendre des valeurs allant de -A à +A.

La période de temps T pendant laquelle certains états du système oscillatoire se répètent est appelée période d'oscillation. Cosinus - fonction périodique avec une période de 2p, donc pendant la période de temps T, après quoi la phase d'oscillation recevra un incrément égal à 2p, l'état du système effectuant des oscillations harmoniques se répétera. Cette période de temps T est appelée période d'oscillations harmoniques.

La période des oscillations harmoniques est égale à : T = 2р/.

Le nombre d’oscillations par unité de temps est appelé fréquence d’oscillation n.

La fréquence des oscillations harmoniques est égale à : n = 1/T. L'unité de fréquence est le hertz (Hz) - une oscillation par seconde.

Fréquence circulaire = 2р/T = 2рn donne le nombre d'oscillations en 2р secondes.

La période d'oscillation est le temps pendant lequel une oscillation se produit. La période d'oscillation est mesurée en unités de temps - secondes, minutes, etc.

La fréquence d'oscillation est le nombre d'oscillations effectuées en 1 s. L'unité SI de fréquence est nommée hertz (Hz) en l'honneur du physicien allemand G. Hertz (1857-1894).

Si la fréquence d'oscillation est de 1 Hz, cela signifie qu'une oscillation se produit toutes les secondes. Si, par exemple, la fréquence v = 50 Hz, cela signifie que 50 oscillations se produisent chaque seconde.

Pour la période T et la fréquence v des oscillations, les mêmes formules sont valables que pour la période et la fréquence de rotation, qui ont été prises en compte lors de l'étude du mouvement uniforme en cercle.

1. Pour trouver la période des oscillations, il faut diviser le temps t, pendant lequel plusieurs oscillations sont effectuées, par le nombre n de ces oscillations :

2. Pour trouver la fréquence des oscillations, vous devez diviser le nombre d'oscillations par le temps pendant lequel elles se sont produites :

Lorsqu'on compte le nombre d'oscillations dans la pratique, il faut clairement comprendre ce qui constitue une oscillation (complète). Si, par exemple, un pendule commence à se déplacer à partir de la position 1 (voir Fig. 30), alors une oscillation est son mouvement lorsqu'il, après avoir dépassé la position d'équilibre 0, puis position extrême 2 revient par la position d’équilibre 0 à la position 1.

En comparant les formules (17.1) et (17.2), nous voyons que la période et la fréquence des oscillations sont des quantités mutuellement inverses, c'est-à-dire

Période pendule mathématique-- la période d'oscillation d'un pendule mathématique dépend de la longueur du fil : à mesure que la longueur du fil diminue, la période d'oscillation diminue

Pour un pendule mathématique, certaines lois sont satisfaites :

• 1 loi. Si, tout en conservant la même longueur du pendule, nous suspendons des charges différentes (par exemple 5 kg et 100 kg), alors la période d'oscillation sera la même, bien que les masses des charges soient très différentes. La période d'un pendule mathématique ne dépend pas de la masse de la charge.
• 2ème loi. Si le pendule est dévié selon des angles différents mais petits, il oscillera alors avec la même période, mais avec des amplitudes différentes. Tant que l'amplitude du pendule est petite, les oscillations dans leur forme seront similaires aux harmoniques, et alors la période du pendule mathématique ne dépend pas de l'amplitude des oscillations. Cette propriété est appelée isochronisme.

La résonance est un phénomène forte augmentation amplitudes oscillations forcées, qui se produit lorsque la fréquence de l'influence externe coïncide avec certaines valeurs (fréquences de résonance) déterminées par les propriétés du système. Une augmentation de l'amplitude n'est qu'une conséquence de la résonance, et la raison en est la coïncidence de la fréquence externe (excitante) avec la fréquence interne (naturelle) du système oscillatoire. Grâce au phénomène de résonance, même les signaux très faibles peuvent être isolés et/ou amplifiés. oscillations périodiques. La résonance est le phénomène selon lequel, à une certaine fréquence de la force motrice, le système oscillatoire est particulièrement sensible à l'action de cette force. Le degré de réactivité dans la théorie des oscillations est décrit par une quantité appelée facteur de qualité. Le phénomène de résonance a été décrit pour la première fois par Galileo Galilei en 1602 dans des ouvrages consacrés à l'étude des pendules et des cordes musicales.

Unité de masse. Propriété d'un corps à maintenir sa vitesse inchangée, c'est-à-dire à maintenir un état de repos ou un mouvement linéaire uniforme en l'absence influences extérieures sur ce corps ou leur compensation mutuelle s'appelle son inertie. L'inertie des corps conduit au fait qu'il est impossible de modifier instantanément la vitesse d'un corps - l'action d'un autre corps sur lui doit durer certaine heure. Plus un corps est inerte, moins sa vitesse évolue dans le temps. temps donné, c'est-à-dire moins ce corps reçoit d'accélération.

La mesure quantitative de l’inertie d’un corps s’appelle sa masse. Plus un corps est inerte, plus sa masse est grande.

Les observations montrent que pour deux corps interagissant entre eux, quelle que soit la méthode de leur interaction, le rapport des modules d'accélération reçus par les corps à la suite de cette interaction est toujours le même. Par conséquent, ce rapport dépend des propriétés inertielles des corps en interaction, c'est-à-dire de leurs masses.

Comme indiqué ci-dessus, que plus de masse corps, moins un corps donné reçoit d'accélération lorsque les corps interagissent les uns avec les autres. Par conséquent, nous pouvons supposer que le rapport des modules d'accélération reçus par les corps lorsqu'ils interagissent les uns avec les autres est égal à l'inverse du rapport des masses de ces corps, c'est-à-dire a1/a2=m2/m1. De (2.1) il résulte que m2=m1a1/a2. La dernière formule permet de mesurer les masses des corps. Il en ressort clairement que pour pouvoir déterminer la masse d'un corps, il faut tout d'abord sélectionner un corps dont la masse me doit être prise comme unité de masse.

Forces élastiques. Pour les déformations solide ses particules (atomes, molécules, ions) situées aux nœuds réseau cristallin, sont déplacés de leur position d’équilibre. Ce déplacement est contrecarré par les forces d’interaction entre les particules d’un corps solide, qui maintiennent ces particules à une certaine distance les unes des autres. Par conséquent, avec tout type de déformation élastique du corps, forces internes, empêchant sa déformation.

Les forces qui apparaissent dans un corps lors de sa déformation élastique et sont dirigées contre la direction de déplacement des particules du corps provoqué par la déformation sont appelées forces élastiques. Les forces élastiques agissent dans n'importe quelle section d'un corps déformé, ainsi qu'au point de contact avec le corps provoquant la déformation. Dans le cas d'une traction ou d'une compression unilatérale, la force élastique est dirigée le long de la ligne droite le long de laquelle le force externe, provoquant une déformation du corps, opposée à la direction de cette force et perpendiculaire à la surface du corps. Nature forces élastiquesélectrique.

Nous considérerons le cas de l'apparition de forces élastiques lors d'un étirement et d'une compression unilatérale d'un corps solide.

la loi de Hooke. Le lien entre la force élastique et la déformation élastique d'un corps (en cas de petites déformations) a été établi expérimentalement par le contemporain de Newton, le physicien anglais Hooke. Expression mathématique La loi de Hooke pour la déformation unilatérale en tension (compression) a la forme

où f est la force élastique ; x - allongement (déformation) du corps ; k est un coefficient de proportionnalité dépendant de la taille et du matériau de la carrosserie, appelé rigidité. L'unité SI de rigidité est le newton par mètre (N/m).

Chute libre des corps. Accélération de la gravité

B11. A l'aide des graphiques de dépendance des coordonnées des corps au temps (Fig. 1), déterminez pour chaque corps :

a) coordonnée initiale ;

b) coordonner après 4 s ;

c) projection de vitesse ;

d) équation de coordonnées (équation du mouvement) ;

e) quand la coordonnée sera-t-elle égale à 20 m ?

Solution

a) Détermine la coordonnée initiale de chaque corps.

Méthode graphique. A l'aide du graphique, on retrouve les valeurs de coordonnées des points d'intersection des graphiques avec l'axe 0x(sur la figure 2a, ces points sont mis en évidence) :

x 01 = 30 m ; x 02 = 10 m ; x 03 = –10 m.

b) Déterminez les coordonnées de chaque corps après 4 s.

Méthode graphique. A l'aide du graphique, on retrouve les valeurs de coordonnées des points d'intersection des graphiques avec la perpendiculaire tracée à l'axe 0t au point t = 4 s (sur la figure 2b, ces points sont mis en évidence) : x 1 (4 s) = 0 ; x 2 (4 s) = 10 m ; x 3 (4 s) ≈ 20 m.

Méthode analytique. Créez une équation de mouvement et utilisez-la pour déterminer la valeur de la coordonnée à t= 4 s (voir point d).

c) Détermine la projection de vitesse pour chaque corps.

Méthode graphique. Projection de la vitesse \(~\upsilon_x = \tan \alpha = \frac(\Delta x)(\Delta t) = \frac(x_2 - x_1)(t_2-t_1)\) , où α est l'angle d'inclinaison de le graphique à l'axe 0t; Δ t = t 2 – t 1 – période de temps arbitraire ; Δ υ = υ 2 – υ 1 – intervalle de vitesse correspondant à l'intervalle de temps Δ t = t 2 – t 1 .

Pour le graphique 1 : soit t 2 = 4 s, t 1 = 0 alors x 2 = 0, x 1 = 30 m et υ 1x= (0 - 30 m)/(4 s - 0) = –7,5 m/s (Fig. 3 a).

Pour le graphique 2 : soit t 2 = 6 s, t 1 = 0 alors x 2 = 10 m, x 1 = 10 m et υ 2x= (10 m - 10 m)/(6 s - 0) = 0 (Fig. 3b).

Pour le graphique 3 : soit t 2 = 5 s, t 1 = 0 alors x 2 = 30 m, x 1 = –10 m et υ 3x= (30 - (-10 m))/(5 s - 0) = 8 m/s (Fig. 3c).

Méthode analytique. Écrivons l'équation de coordonnées pour uniforme mouvement droit V vue générale x = x 0 + υ x · t. En utilisant les valeurs de la coordonnée initiale (voir point a) et les coordonnées à t = 4 s (voir point b), on retrouve la valeur de la projection de vitesse\[~\upsilon_x = \frac(x - x_0)( t)\] .

d) Détermine l’équation des coordonnées de chaque corps.

L'équation de coordonnées pour un mouvement rectiligne uniforme sous la forme générale "x = x 0 + υ x · t .

Pour l'horaire 1 : parce que x 01 = 30 m, υ 1x= –7,5 m/s, alors x 1 = 30 – 7,5t. Vérifions le point b : x 1 (4 s) = 30 – 7,5 4 = 0, ce qui correspond à la réponse.

Pour l'horaire 2 : parce que x 02 = 10 m, υ 2x= 0, alors x 2 = 10. Vérifions le point b : x 2 (4 s) = 10 (m), ce qui correspond à la réponse.

Pour l'horaire 3 : parce que x 03 = –10m, υ 3x= 8 m/s, alors x 3 = –10 + 8t. Vérifions le point b : x 3 (4 s) = –10 + 8 4 = 22 (m), ce qui correspond approximativement à la réponse.

e) Déterminer quand la coordonnée du corps sera de 20 m ?

Méthode graphique. A l'aide du graphique, on retrouve les valeurs temporelles des points d'intersection des graphiques avec la perpendiculaire tracée à l'axe 0x au point x= 20 m (sur la Fig. 4, ces points sont mis en évidence) : t 1 (20 m) ≈ 1,5 s ; t 3 (20 m) ≈ 3,5 s.

Le graphique 2 est parallèle à la perpendiculaire, donc la coordonnée du corps 2 ne sera jamais égale à 20 m.

Méthode analytique. Notez l'équation des coordonnées de chaque corps et trouvez à quelle valeur du temps t la coordonnée devient égale à 20 m.

Mouvement uniforme– il s’agit d’un mouvement à vitesse constante, c’est-à-dire lorsque la vitesse ne change pas (v = const) et qu’il n’y a pas d’accélération ou de décélération (a = 0).

Mouvement en ligne droite- c'est un mouvement en ligne droite, c'est-à-dire que la trajectoire du mouvement rectiligne est une ligne droite.

Mouvement linéaire uniforme- il s'agit d'un mouvement dans lequel un corps effectue des mouvements égaux sur des périodes de temps égales. Par exemple, si nous divisons un certain intervalle de temps en intervalles d'une seconde, alors avec un mouvement uniforme, le corps se déplacera de la même distance pour chacun de ces intervalles de temps.

La vitesse du mouvement rectiligne uniforme ne dépend pas du temps et à chaque point de la trajectoire est dirigée de la même manière que le mouvement du corps. Autrement dit, le vecteur déplacement coïncide en direction avec le vecteur vitesse. Dans ce cas, la vitesse moyenne pour une période de temps quelconque est égale à la vitesse instantanée :

Vitesse d'un mouvement rectiligne uniforme est une grandeur vectorielle physique égale au rapport du mouvement d'un corps sur une période de temps quelconque à la valeur de cet intervalle t :

Ainsi, la vitesse d’un mouvement rectiligne uniforme montre l’ampleur du mouvement effectué par un point matériel par unité de temps.

Mobile avec un mouvement linéaire uniforme est déterminé par la formule :

Distance parcourue en mouvement linéaire est égal au module de déplacement. Si la direction positive de l'axe OX coïncide avec la direction du mouvement, alors la projection de la vitesse sur l'axe OX est égale à la grandeur de la vitesse et est positive :

v x = v, c'est-à-dire v > 0

La projection du déplacement sur l'axe OX est égale à :

s = vt = x – x 0

où x 0 est la coordonnée initiale du corps, x est la coordonnée finale du corps (ou la coordonnée du corps à tout moment)

Équation du mouvement, c'est-à-dire la dépendance des coordonnées du corps au temps x = x(t), prend la forme :

Si la direction positive de l'axe OX est opposée à la direction du mouvement du corps, alors la projection de la vitesse du corps sur l'axe OX est négative, la vitesse est inférieure à zéro (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Dépendance de la vitesse, des coordonnées et du trajet dans le temps

La dépendance de la projection de la vitesse du corps en fonction du temps est représentée sur la Fig. 1.11. Puisque la vitesse est constante (v = const), le graphique de vitesse est une droite parallèle à l’axe du temps Ot.

Riz. 1.11. Dépendance de la projection de la vitesse du corps sur le temps pour un mouvement rectiligne uniforme.

Projection du déplacement sur axe de coordonnées est numériquement égal à l'aire du rectangle OABC (Fig. 1.12), puisque la grandeur du vecteur déplacement est égale au produit du vecteur vitesse et du temps pendant lequel le déplacement a été effectué.

Riz. 1.12. Dépendance de la projection du déplacement du corps dans le temps pour un mouvement rectiligne uniforme.

Un graphique du déplacement en fonction du temps est présenté sur la figure. 1.13. Le graphique montre que la projection de la vitesse est égale à

v = s 1 / t 1 = tan α

où α est l'angle d'inclinaison du graphique par rapport à l'axe du temps.

Plus l'angle α est grand, plus le corps se déplace rapidement, c'est-à-dire plus sa vitesse est grande (plus la distance parcourue par le corps est longue en moins de temps). La tangente de la tangente au graphique des coordonnées en fonction du temps est égale à la vitesse :

Riz. 1.13. Dépendance de la projection du déplacement du corps sur le temps pour un mouvement rectiligne uniforme.

La dépendance de la coordonnée au temps est représentée sur la Fig. 1.14. D'après la figure, il ressort clairement que

bronzage α 1 > bronzage α 2

par conséquent, la vitesse du corps 1 est supérieure à la vitesse du corps 2 (v 1 > v 2).

bronzage α 3 = v 3< 0

Si le corps est au repos, alors le graphique de coordonnées est une ligne droite parallèle à l'axe du temps, c'est-à-dire

Riz. 1.14. Dépendance des coordonnées du corps au temps pour un mouvement rectiligne uniforme.

Relation entre les grandeurs angulaires et linéaires

Les points individuels d'un corps en rotation ont des vitesses linéaires différentes. La vitesse de chaque point, étant dirigée tangentiellement au cercle correspondant, change continuellement de direction. L'amplitude de la vitesse est déterminée par la vitesse de rotation du corps et la distance R du point en question à l'axe de rotation. Laissez le corps tourner d’un angle en peu de temps (Figure 2.4). Un point situé à une distance R de l'axe parcourt un chemin égal à

Vitesse linéaire d'un point par définition.

Accélération tangentielle

En utilisant la même relation (2.6) on obtient

Ainsi, les accélérations normales et tangentielles augmentent linéairement avec la distance du point à l'axe de rotation.

Notions de base.

Oscillation périodique est un processus dans lequel un système (par exemple mécanique) revient au même état après un certain temps. Cette période de temps est appelée période d’oscillation.

restaurer la force- la force sous l'influence de laquelle se produit le processus oscillatoire. Cette force tend vers le corps ou point matériel dévié de la position de repos, revenez à sa position d'origine.

Selon la nature de l'impact sur le corps oscillant, on distingue les vibrations libres (ou naturelles) et les vibrations forcées.

Vibrations gratuites se produisent lorsque seule une force de rappel agit sur le corps oscillant. Si aucune dissipation d'énergie ne se produit, vibrations gratuites ne sont pas amortis. Cependant, les processus oscillatoires réels sont atténués, car le corps oscillant est soumis à des forces de résistance au mouvement (principalement des forces de frottement).

Vibrations forcées sont effectués sous l'influence d'une force externe changeant périodiquement, appelée forçage. Dans de nombreux cas, les systèmes subissent des oscillations qui peuvent être considérées comme harmoniques.

Vibrations harmoniques sont appelés mouvements oscillatoires dans lesquels le déplacement d'un corps par rapport à la position d'équilibre se produit selon la loi du sinus ou du cosinus :

Pour illustrer la signification physique, considérons un cercle et faites pivoter le rayon OK avec vitesse angulaireω dans le sens antihoraire (7.1). Si dans moment de départ le temps OK se trouvait dans un plan horizontal, puis après le temps t, il se déplacera d'un angle. Si l'angle de départ est non nul et égal à φ 0 , alors l'angle de rotation sera égal à La projection sur l'axe XO 1 est égale à . À mesure que le rayon OK tourne, l'ampleur de la projection change et le point oscille par rapport au point - vers le haut, vers le bas, etc. Dans ce cas, la valeur maximale de x est égale à A et est appelée amplitude des oscillations ; ω - fréquence circulaire ou cyclique ; - phase d'oscillation – phase initiale. Pour un tour du point K autour du cercle, sa projection fera une oscillation complète et reviendra au point de départ.

Période T est appelé le temps d’une oscillation complète. Après le temps T, les valeurs de toutes les grandeurs physiques caractérisant les oscillations sont répétées. En une période, le point oscillant parcourt un chemin numériquement égal à quatre amplitudes.

Vitesse angulaire est déterminé à partir de la condition que pendant la période T le rayon OK fera un tour, c'est-à-dire tournera d'un angle de 2π radians :

Fréquence d'oscillation- le nombre d'oscillations d'un point par seconde, c'est-à-dire la fréquence d'oscillation est définie comme la quantité période inverse fluctuations :

Forces élastiques du pendule à ressort.

Un pendule à ressort est constitué d'un ressort et d'une bille massive montée sur une tige horizontale le long de laquelle elle peut coulisser. Laissez une boule avec un trou être attachée à un ressort et glisser le long d'un axe de guidage (tige). Sur la fig. 7.2a montre la position de la balle au repos ; sur la fig. 7.2, b - compression maximale et sur la Fig. 7.2,c - position arbitraire du ballon.

Sous l'influence d'une force de rappel égale à la force de compression, la bille va osciller. Force de compression F = -kx, où k est le coefficient de rigidité du ressort. Le signe moins indique que la direction de la force F et le déplacement x sont opposés. Énergie potentielle d'un ressort comprimé

cinétique

Pour dériver l’équation du mouvement de la balle, il est nécessaire de relier x et t. La conclusion est basée sur la loi de conservation de l’énergie. L'énergie mécanique totale est égale à la somme de l'énergie cinétique et potentielle du système. DANS dans ce cas:

. En position b) : .

Puisque la loi de conservation de l’énergie mécanique est satisfaite dans le mouvement considéré, on peut écrire :

. Déterminons la vitesse à partir d'ici :

Mais à son tour et donc . Séparons les variables . En intégrant cette expression, on obtient : ,

où est la constante d’intégration. De ce dernier il résulte que

Ainsi, sous l’action d’une force élastique, le corps effectue des oscillations harmoniques. Les forces de nature différente de celle élastique, mais dans lesquelles la condition F = -kx est satisfaite, sont dites quasi-élastiques. Sous l’influence de ces forces, les corps effectuent également des vibrations harmoniques. Dans ce cas:

Pendule mathématique.

Un pendule mathématique est un point matériel suspendu à un fil inextensible en apesanteur, effectuant un mouvement oscillatoire dans un plan vertical sous l'influence de la gravité.

Un tel pendule peut être considéré comme une lourde boule de masse m, suspendue à un fil fin dont la longueur l est bien supérieure à la taille de la boule. S'il est dévié d'un angle α (Fig. 7.3.) par rapport à ligne verticale, puis sous l'influence de la force F - l'une des composantes du poids P, il oscillera. L'autre composante, dirigée le long du filetage, n'est pas prise en compte, car est équilibré par la tension du fil. Aux petits angles de déplacement, la coordonnée x peut être mesurée dans la direction horizontale. D'après la figure 7.3, il est clair que la composante du poids perpendiculaire au fil est égale à

Le signe moins sur le côté droit signifie que la force F est dirigée vers la diminution de l’angle α. Prise en compte de la petitesse de l'angle α

Pour dériver la loi du mouvement des mathématiques et pendules physiques nous utilisons l'équation de base de la dynamique du mouvement de rotation

Moment de force par rapport au point O : , et moment d'inertie : M=FL. Moment d'inertie J. dans ce cas Accélération angulaire :

En tenant compte de ces valeurs, nous avons :

Sa décision ,

Comme on peut le constater, la période d'oscillation d'un pendule mathématique dépend de sa longueur et de l'accélération de la gravité et ne dépend pas de l'amplitude des oscillations.

Oscillations amorties.

Tous sont réels systèmes oscillatoires sont dissipatifs. L'énergie des vibrations mécaniques d'un tel système est progressivement dépensée pour lutter contre les forces de frottement, donc les vibrations libres s'éteignent toujours - leur amplitude diminue progressivement. Dans de nombreux cas, lorsqu'il n'y a pas de frottement sec, on peut en première approximation supposer qu'à faibles vitesses de mouvement, les forces provoquant l'atténuation des vibrations mécaniques sont proportionnelles à la vitesse. Ces forces, quelle que soit leur origine, sont appelées forces de résistance.

Réécrivons cette équation comme suit :

et désignent :

où représente la fréquence à laquelle les oscillations libres du système se produiraient en l'absence de résistance environnementale, c'est-à-dire à r = 0. Cette fréquence est appelée fréquence propre d'oscillation du système ; β est le coefficient d'atténuation. Alors

Nous chercherons une solution à l’équation (7.19) sous la forme où U est une fonction de t.

Différencions cette expression deux fois par rapport au temps t et, en substituant les valeurs des dérivées première et seconde dans l'équation (7.19), nous obtenons

La solution de cette équation dépend significativement du signe du coefficient en U. Considérons le cas où ce coefficient est positif. Introduisons la notation alors Avec un ω réel, la solution de cette équation, comme on le sait, est la fonction

Ainsi, dans le cas d'une faible résistance du milieu, la solution de l'équation (7.19) sera la fonction

Le graphique de cette fonction est présenté sur la Fig. 7.8. Les lignes pointillées montrent les limites dans lesquelles se situe le déplacement du point oscillant. Cette quantité est appelée fréquence cyclique naturelle des oscillations du système dissipatif. Les oscillations amorties sont des oscillations non périodiques, car elles ne répètent jamais, par exemple, les valeurs maximales de déplacement, de vitesse et d'accélération. La quantité est généralement appelée période d'oscillations amorties, ou plus correctement, période conditionnelle d'oscillations amorties,

Le logarithme népérien du rapport des amplitudes de déplacement se succédant sur une période de temps, égal à la période T est appelé le décrément d'amortissement logarithmique.

Notons τ la période de temps pendant laquelle l'amplitude des oscillations diminue de e fois. Alors

Par conséquent, le coefficient d'atténuation est une grandeur physique inverse de la durée τ pendant laquelle l'amplitude diminue d'un facteur e. La quantité τ est appelée temps de relaxation.

Soit N le nombre d'oscillations après lequel l'amplitude diminue d'un facteur e, Alors

Par conséquent, le décrément d’amortissement logarithmique δ est grandeur physique, réciproque du nombre d'oscillations N, après quoi l'amplitude diminue de e fois

Vibrations forcées.

Dans le cas d'oscillations forcées, le système oscille sous l'influence d'une force externe (forçante), et grâce au travail de cette force, les pertes d'énergie du système sont périodiquement compensées. La fréquence des oscillations forcées (fréquence de forçage) dépend de la fréquence de changement de la force externe. Déterminons l'amplitude des oscillations forcées d'un corps de masse m, en considérant les oscillations non amorties dues à une force agissant constamment.

Laissez cette force changer avec le temps selon la loi où est l'amplitude de la force motrice. Restaurer la force et résister à la force La deuxième loi de Newton peut alors s'écrire comme suit.

Comme selon le graphique de dépendance des coordonnées

de temps en temps x = x(t) construire un graphique

chemin en fonction du temps s = s(t)?

Notons les caractéristiques suivantes du graphique s = s(t):

1) calendrier s = s(t) part toujours de l'origine, puisqu'à l'instant initial la distance parcourue est toujours nulle ;

2) calendrier s = s(t) ne diminue toujours pas : soit il augmente si le corps est en mouvement, soit il ne change pas si le corps est debout ;

3) fonction s = s(t) ne peut pas prendre une valeur négative.

De ce qui précède, il s'ensuit que le graphique X = X (t) coïncide avec l'horaire s = s(t) seulement si X(0) = 0 et x(t) ne diminue pas tout le temps, c'est-à-dire le corps bouge uniquement dans une direction positive ou reste immobile.

Voici quelques exemples de graphiques de traçage : s = s(t) selon ces graphiques X = X(t).

Exemple 4.2. Dans les délais X = = X(t) sur la fig. 4.4, UN construire un graphique s = s(t).

Calendrier X = X(t) augmente, mais ne commence pas à l'origine, mais au point (0, X 0). Pour obtenir le planning s = s(t) il faut omettre le graphique X = X(t) sur x 0 vers le bas (Fig. 4.4, b).

Exemple 4.3. Dans les délais X = X(t) sur la fig. 4.5, UN construire un graphique s = s(t).

Dans ce cas X(0) = 0, mais le corps entre sens négatif axes X. Dans ce cas c'est juste s(t) = |x(t)|, et pour tracer s = s(t) il suffit d'afficher le graphique X = X(t) réfléchi sur le demi-plan supérieur (Fig. 4.5, b).

Riz. 4.5

Exemple 4.4. Dans les délais X = X(t) sur la fig. 4.6, UN construire un graphique s = s(t).

Abaissons d'abord le graphique X = X(t) sur X 0 jusqu'à X(0) = 0, comme nous l'avons fait dans l'exemple 4.2, puis la droite 2 (Fig. 4.6, b) sera reflété sur le demi-plan supérieur, comme nous l'avons fait dans l'exemple 4.3.

Riz. 4.6

Exemple 4.5. Dans les délais X = X(t) sur la fig. 4.7, UN construire un graphique s = s(t).

Riz. 4.7

Calendrier X = X(t) se compose de deux sections : dans la première section X(t) augmente, et dans la deuxième section, il diminue, c'est-à-dire le corps se déplace dans le sens négatif de l'axe X. Par conséquent, pour tracer un graphique s = s(t) première partie du graphique X = X(t) on laisse inchangé, et on reflète la deuxième partie par rapport à la droite passant par le point tournant (2t, 2 X 0) parallèle à l'axe t(Fig. 4.7,b).

ARRÊT! Résolvez par vous-même : C2 (a, b, c).

Déclaration. Soit le graphique de dépendance υx(t), X(t 1) = x 0 (Fig. 4.8). Valeurs de zone au-dessus du graphique s + et en dessous du graphique s– , exprimés en tenant compte des échelles en unités de longueur, sont connus. Puis le chemin parcouru pendant la période de temps [ t 1 , t 2 ], est égal à :

s = s – + s + . (4.2)

Coordonner à temps t 2 est égal à :

X(t 2) = x 0 – s – + s + . (4.3)

Problème 4.2. D'après le graphique des coordonnées en fonction du temps (Fig. 4.9, UN) créer des graphiques de dépendances υx = υx(t) Et υ = υ (t).

Solution. Considérons une période de temps. Sur cet intervalle D X= = 1 m, D t= 1 s, donc = 1 m/s, υ = = |υx| = 1 m/s.

Considérons une période de temps. Sur cet intervalle D X= 0, ce qui signifie υx = υ = 0.

Considérons une période de temps. Sur cet intervalle D X= (–2) – 1 = = –3 m, D t= 1 s, ce qui signifie = –3 m/s, υ = |υx| = 3 m/s.

Considérons une période de temps. Sur cet intervalle D X= 0, donc, υx = υ = 0.

Les graphiques sont présentés dans la Fig. 4.9, b et 4.9, V.

ARRÊT! Résolvez par vous-même : Q3 (a, b, c).

Problème 4.3. D'après le graphe de dépendance υx = υx(t) (Fig. 4.10) trouver les valeurs du chemin parcouru et les coordonnées aux instants 1s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s, si X(0) = 2,0 m.

Solution.

1. Considérez une période de temps. Dans cet intervalle υx(t) a diminué de 1 m/s à 0, soit le corps s'est déplacé le long de l'axe X lentement et dans l'instant t= 1 s arrêté. Distance parcourue égal à la superficie sous le graphique sur le site : m. Coordonner pour le moment t= 1 s est égal à X(1) = X(0) + s 01 = 2,0 m + 0,5 m = 2,5 m.

2. Considérez une période de temps. Dans cet intervalle υx diminué de 0 à –1 m/s, soit le corps accélère du repos dans la direction direction opposée axes X. Le chemin parcouru pendant cette période de temps est égal à la surface au-dessus du graphique υx = υx(t) sur l'intervalle : m. Par conséquent, chemin commun traversé par le corps en ce moment t= 2 s, égal s(2) = s(1) + s 12 = 0,5 m + 0,5 m = 1,0 m Coordonnée du moment. t= 1 s est égal à X(2) = X(1) – s 12 = 2,5 m – 0,5 m = 2,0 m.

3. Considérez une période de temps. Pendant cet intervalle, le corps se déplace uniformément dans le sens négatif de l'axe X Avec vitesse au sol υ = 1 m/s. La distance parcourue est s 23 = (1 m/s)´ ´(1 s) = 1,0 m Par conséquent, le chemin parcouru jusqu'au moment. t= 3 s, égal s(3) = s(2) + s 23 = 1,0 m + 1,0 m = 2,0 m.

La coordonnée pendant cette période de temps a diminué de la distance parcourue, puisque le corps s'est déplacé vers l'intérieur. revers: X(3) = X(2) – s 23 = 2,0 m – 1,0 m = 1,0 m.