Comment résoudre une équation fractionnaire avec différents dénominateurs. Équations en ligne

Continuons à parler de résoudre des équations. Dans cet article, nous détaillerons équations rationnelles et principes de solution équations rationnelles avec une variable. Tout d'abord, voyons quels types d'équations sont appelées rationnelles, donnons une définition des équations rationnelles entières et fractionnaires et donnons des exemples. Ensuite, nous obtiendrons des algorithmes pour résoudre des équations rationnelles et, bien sûr, considérerons les solutions exemples typiques avec toutes les explications nécessaires.

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Sur la base des définitions énoncées, nous donnons plusieurs exemples d'équations rationnelles. Par exemple, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , sont toutes des équations rationnelles.

D'après les exemples présentés, il est clair que les équations rationnelles, ainsi que les équations d'autres types, peuvent être à une variable, ou à deux, trois, etc. variables. Dans les paragraphes suivants, nous parlerons de la résolution d’équations rationnelles à une variable. Résoudre des équations à deux variables et eux un grand nombre méritent une attention particulière.

En plus de diviser les équations rationnelles par le nombre de variables inconnues, elles sont également divisées en variables entières et fractionnaires. Donnons les définitions correspondantes.

Définition.

L'équation rationnelle s'appelle entier, si ses côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles entières.

Définition.

Si au moins une des parties d'une équation rationnelle est une expression fractionnaire, alors une telle équation est appelée fractionnement rationnel(ou fractionnaire rationnel).

Il est clair que les équations entières ne contiennent pas de division par une variable ; au contraire, les équations rationnelles fractionnaires contiennent nécessairement une division par une variable (ou une variable au dénominateur). Donc 3x+2=0 et (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– ce sont des équations rationnelles entières, leurs deux parties sont des expressions entières. A et x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sont des exemples d'équations rationnelles fractionnaires.

Pour conclure ce point, prêtons attention au fait que les équations linéaires et quadratiques connues jusqu'à présent sont des équations rationnelles entières.

Résoudre des équations entières

L'une des principales approches pour résoudre des équations entières consiste à les réduire à des équations équivalentes. équations algébriques. Cela peut toujours être fait en effectuant les transformations équivalentes suivantes de l'équation :

Tout d’abord, l’expression du côté droit de l’équation entière originale est transférée vers côté gauche Avec signe opposé pour obtenir zéro du côté droit ;
après cela, sur le côté gauche de l'équation, le résultat vue générale.

Le résultat est équation algébrique, ce qui équivaut à l'équation entière originale. Donc dans la plupart cas simples résoudre des équations entières se réduit à résoudre des équations linéaires ou quadratiques, et en cas général– résoudre une équation algébrique de degré n. Pour plus de clarté, regardons la solution de l'exemple.

Exemple.

Trouver les racines de toute l'équation 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Solution.

Réduisons la solution de toute cette équation à la solution d’une équation algébrique équivalente. Pour ce faire, dans un premier temps, nous transférons l'expression du côté droit vers la gauche, nous arrivons ainsi à l'équation 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Et, d'autre part, on transforme l'expression formée du côté gauche en un polynôme de forme standard en complétant le nécessaire : 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Ainsi, la solution de l’équation entière originale se réduit à la solution équation quadratique x 2 −5 x−6=0 .

On calcule son discriminant D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, il est positif, ce qui signifie que l'équation a deux racines réelles, que l'on retrouve à l'aide de la formule des racines d'une équation quadratique :

Pour en être complètement sûr, faisons-le vérifier les racines trouvées de l'équation. Nous vérifions d'abord la racine 6 et la remplaçons à la place de la variable x dans l'équation entière d'origine : 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, ce qui revient au même, 63=63. Il s’agit d’une équation numérique valide, donc x=6 est bien la racine de l’équation. Maintenant on vérifie la racine −1, on a 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, d'où, 0=0 . À x=−1 équation originaleégalement transformé en une véritable égalité numérique, donc x=−1 est également une racine de l'équation.

Répondre:

6 , −1 .

Il convient également de noter ici que le terme « degré de l'équation entière » est associé à la représentation d'une équation entière sous la forme d'une équation algébrique. Donnons la définition correspondante :

Définition.

La puissance de toute l’équation s'appelle le degré d'une équation algébrique équivalente.

Selon cette définition, toute l’équation de l’exemple précédent a le deuxième degré.

Cela aurait pu être la fin de la résolution d’équations rationnelles entières, si ce n’était pour une chose…. Comme on le sait, la résolution d'équations algébriques de degré supérieur au second est associée à des difficultés importantes, et pour les équations de degré supérieur au quatrième, il n'y a pas formules générales racines Par conséquent, pour résoudre des équations entières du troisième, du quatrième et plus diplômes élevés Vous devez souvent recourir à d’autres méthodes de résolution.

Dans de tels cas, une approche pour résoudre des équations rationnelles entières basée sur méthode de factorisation. Dans ce cas, l'algorithme suivant est respecté :

d'abord, ils s'assurent qu'il y a un zéro du côté droit de l'équation ; pour ce faire, ils transfèrent l'expression du côté droit de toute l'équation vers la gauche ;
ensuite, l’expression résultante du côté gauche est présentée comme un produit de plusieurs facteurs, ce qui nous permet de passer à un ensemble de plusieurs équations plus simples.

L'algorithme donné pour résoudre une équation entière par factorisation nécessite une explication détaillée à l'aide d'un exemple.

Exemple.

Résoudre toute l'équation (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Solution.

Tout d'abord, comme d'habitude, on transfère l'expression du côté droit au côté gauche de l'équation, sans oublier de changer le signe, on obtient (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Ici, il est bien évident qu'il n'est pas conseillé de transformer le membre gauche de l'équation résultante en un polynôme de forme standard, car cela donnerait une équation algébrique du quatrième degré de la forme x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, dont la solution est difficile.

D'un autre côté, il est évident que sur le côté gauche de l'équation résultante, nous pouvons x 2 −10 x+13 , la présentant ainsi comme un produit. Nous avons (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. L'équation résultante est équivalente à l'équation entière d'origine et elle, à son tour, peut être remplacée par un ensemble de deux équations quadratiques x 2 −10·x+13=0 et x 2 −2·x−1=0. Trouver leurs racines en formules connues les racines à travers le discriminant ne sont pas difficiles, les racines sont égales. Ce sont les racines souhaitées de l’équation originale.

Répondre:

Également utile pour résoudre des équations rationnelles entières méthode pour introduire une nouvelle variable. Dans certains cas, cela permet de passer à des équations dont le degré est inférieur au degré de l'équation entière d'origine.

Exemple.

Trouver les vraies racines d'une équation rationnelle (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Solution.

Réduire toute cette équation rationnelle à une équation algébrique n'est, pour le moins, pas une très bonne idée, car dans ce cas nous arriverons à la nécessité de résoudre une équation du quatrième degré qui n'a pas racines rationnelles. Il faudra donc chercher une autre solution.

Ici, il est facile de voir que vous pouvez introduire une nouvelle variable y et remplacer l'expression x 2 +3·x par elle. Ce remplacement nous amène à l'équation entière (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , qui, après avoir déplacé l'expression −2·(y−4) vers la gauche et transformé ultérieurement l'expression formé là, se réduit à une équation quadratique y 2 +4·y+3=0. Les racines de cette équation y=−1 et y=−3 sont faciles à trouver, par exemple, elles peuvent être sélectionnées sur la base du théorème inverse du théorème de Vieta.

Passons maintenant à la deuxième partie de la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, c'est-à-dire à effectuer un remplacement inverse. Après avoir effectué la substitution inverse, nous obtenons deux équations x 2 +3 x=−1 et x 2 +3 x=−3, qui peuvent être réécrites comme x 2 +3 x+1=0 et x 2 +3 x+3 =0 . En utilisant la formule des racines d'une équation quadratique, nous trouvons les racines de la première équation. Et la deuxième équation quadratique n'a pas de racines réelles, puisque son discriminant est négatif (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Répondre:

En général, lorsque nous traitons d’équations entières de degrés élevés, nous devons toujours être prêts à chercher méthode non standard ou une méthode artificielle pour les résoudre.

Résoudre des équations rationnelles fractionnaires

Tout d’abord, il sera utile de comprendre comment résoudre des équations rationnelles fractionnaires de la forme , où p(x) et q(x) sont des expressions rationnelles entières. Et puis nous montrerons comment réduire la solution d'autres équations fractionnellement rationnelles à la solution d'équations du type indiqué.

L'une des approches pour résoudre l'équation est basée sur la déclaration suivante: fraction numérique u/v , où v est un nombre non nul (sinon on rencontrera , qui n'est pas défini), est égal à zéro si et seulement si son numérateur égal à zéro, c'est-à-dire si et seulement si u=0. En vertu de cet énoncé, la résolution de l’équation se réduit à remplir deux conditions p(x)=0 et q(x)≠0.

Cette conclusion correspond à ce qui suit algorithme pour résoudre une équation rationnelle fractionnaire. Pour résoudre une équation rationnelle fractionnaire de la forme , il vous faut

résoudre toute l’équation rationnelle p(x)=0 ;
et vérifier si la condition q(x)≠0 est satisfaite pour chaque racine trouvée, tandis que

si c'est vrai, alors cette racine est la racine de l'équation d'origine ;
si elle n’est pas satisfaite, alors cette racine est étrangère, c’est-à-dire qu’elle n’est pas la racine de l’équation originale.

Regardons un exemple d'utilisation de l'algorithme annoncé lors de la résolution d'une équation rationnelle fractionnaire.

Exemple.

Trouvez les racines de l’équation.

Solution.

Il s'agit d'une équation rationnelle fractionnaire, de la forme , où p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Selon l'algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires de ce type, nous devons d'abord résoudre l'équation 3 x−2=0. Ce équation linéaire, dont la racine est x=2/3.

Il reste à vérifier cette racine, c'est-à-dire vérifier si elle satisfait à la condition 5 x 2 −2≠0. Nous substituons le nombre 2/3 dans l'expression 5 x 2 −2 au lieu de x, et nous obtenons . La condition est remplie, donc x=2/3 est la racine de l’équation d’origine.

Répondre:

2/3 .

Vous pouvez aborder la résolution d’une équation rationnelle fractionnaire à partir d’une position légèrement différente. Cette équation est équivalente à l'équation entière p(x)=0 sur la variable x de l'équation d'origine. Autrement dit, vous pouvez vous en tenir à cela algorithme pour résoudre une équation rationnelle fractionnaire :

résoudre l'équation p(x)=0 ;
trouver l'ODZ de la variable x ;
prendre des racines appartenant à la région valeurs acceptables, - ce sont les racines souhaitées de l'équation rationnelle fractionnaire originale.

Par exemple, résolvons une équation rationnelle fractionnaire en utilisant cet algorithme.

Exemple.

Résous l'équation.

Solution.

Tout d’abord, nous résolvons l’équation quadratique x 2 −2·x−11=0. Ses racines peuvent être calculées à l'aide de la formule racine du deuxième coefficient pair, nous avons ré 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Et .

Deuxièmement, nous trouvons l'ODZ de la variable x pour l'équation d'origine. Il se compose de tous les nombres pour lesquels x 2 +3·x≠0, ce qui est identique à x·(x+3)≠0, d'où x≠0, x≠−3.

Reste à vérifier si les racines trouvées lors de la première étape sont incluses dans l'ODZ. Évidemment oui. Par conséquent, l’équation rationnelle fractionnaire originale a deux racines.

Répondre:

A noter que cette approche est plus rentable que la première si l'ODZ est facile à trouver, et est particulièrement bénéfique si les racines de l'équation p(x) = 0 sont irrationnelles par exemple, ou rationnelles, mais avec un numérateur assez grand et /ou dénominateur, par exemple, 127/1101 et −31/59. Cela est dû au fait que dans de tels cas, vérifier la condition q(x)≠0 nécessitera un effort de calcul important et qu'il est plus facile d'exclure les racines superflues à l'aide de l'ODZ.

Dans d'autres cas, lors de la résolution de l'équation, notamment lorsque les racines de l'équation p(x) = 0 sont des nombres entiers, il est plus rentable d'utiliser le premier des algorithmes donnés. Autrement dit, il est conseillé de trouver immédiatement les racines de l'équation entière p(x)=0, puis de vérifier si la condition q(x)≠0 est satisfaite pour elles, plutôt que de trouver l'ODZ, puis de résoudre l'équation. p(x)=0 sur ce ODZ . Cela est dû au fait que dans de tels cas, il est généralement plus facile de vérifier que de trouver la DZ.

Considérons la solution de deux exemples pour illustrer les nuances spécifiées.

Exemple.

Trouvez les racines de l’équation.

Solution.

Tout d’abord, trouvons les racines de toute l’équation (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, composé en utilisant le numérateur de la fraction. Le côté gauche de cette équation est un produit et le côté droit est nul, donc, selon la méthode de résolution des équations par factorisation, cette équation est équivalente à un ensemble de quatre équations 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trois de ces équations sont linéaires et une est quadratique ; nous pouvons les résoudre. De la première équation on trouve x=1/2, de la deuxième - x=6, de la troisième - x=7, x=−2, de la quatrième - x=−1.

Avec les racines trouvées, il est assez facile de vérifier si le dénominateur de la fraction du côté gauche de l'équation originale disparaît, mais déterminer l'ODZ, au contraire, n'est pas si simple, car pour cela vous devrez résoudre un équation algébrique du cinquième degré. Par conséquent, nous abandonnerons la recherche de l’ODZ au profit de la vérification des racines. Pour ce faire, on les substitue une à une à la place de la variable x dans l'expression x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obtenus après substitution, et comparez-les à zéro : (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Ainsi, 1/2, 6 et −2 sont les racines souhaitées de l’équation rationnelle fractionnaire originale, et 7 et −1 sont des racines superflues.

Répondre:

1/2 , 6 , −2 .

Exemple.

Trouvez les racines d’une équation rationnelle fractionnaire.

Solution.

Tout d'abord, trouvons les racines de l'équation (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Cette équation est équivalente à un ensemble de deux équations : carré 5·x 2 −7·x−1=0 et linéaire x−2=0. En utilisant la formule des racines d’une équation quadratique, nous trouvons deux racines, et à partir de la deuxième équation nous avons x=2.

Vérifier si le dénominateur passe à zéro aux valeurs trouvées de x est assez désagréable. Et déterminer la plage de valeurs admissibles de la variable x dans l'équation originale est assez simple. Par conséquent, nous agirons via ODZ.

Dans notre cas, l'ODZ de la variable x de l'équation rationnelle fractionnaire originale est constituée de tous les nombres sauf ceux pour lesquels la condition x 2 +5·x−14=0 est satisfaite. Les racines de cette équation quadratique sont x=−7 et x=2, d'où nous tirons une conclusion sur l'ODZ : elle est constituée de tout x tel que .

Reste à vérifier si les racines trouvées et x=2 appartiennent à la plage de valeurs acceptables. Les racines appartiennent, donc ce sont des racines de l’équation originale, et x=2 n’appartient pas, c’est donc une racine étrangère.

Répondre:

Il sera également utile de s'attarder séparément sur les cas où dans une équation rationnelle fractionnaire de la forme il y a un nombre au numérateur, c'est-à-dire lorsque p(x) est représenté par un nombre. Où

si ce nombre est non nul, alors l'équation n'a pas de racine, puisqu'une fraction est égale à zéro si et seulement si son numérateur est égal à zéro ;
si ce nombre est zéro, alors la racine de l'équation est n'importe quel nombre de l'ODZ.

Exemple.

Solution.

Puisque le numérateur de la fraction du côté gauche de l'équation contient un nombre non nul, alors pour tout x, la valeur de cette fraction ne peut pas être égale à zéro. Ainsi, équation donnée n'a pas de racines.

Répondre:

pas de racines.

Exemple.

Résous l'équation.

Solution.

Le numérateur de la fraction du côté gauche de cette équation rationnelle fractionnaire contient zéro, donc la valeur de cette fraction est nulle pour tout x pour lequel elle a un sens. En d’autres termes, la solution de cette équation est n’importe quelle valeur de x issue de l’ODZ de cette variable.

Reste à déterminer cette plage de valeurs acceptables. Il comprend toutes les valeurs de x pour lesquelles x 4 +5 x 3 ≠0. Les solutions de l'équation x 4 +5 x 3 =0 sont 0 et −5, puisque cette équation est équivalente à l'équation x 3 (x+5)=0, et elle est à son tour équivalente à la combinaison de deux équations x 3 =0 et x +5=0, d'où ces racines sont visibles. Par conséquent, la plage souhaitée de valeurs acceptables est n'importe quel x sauf x=0 et x=−5.

Ainsi, une équation rationnelle fractionnaire a une infinité de solutions, qui sont des nombres quelconques sauf zéro et moins cinq.

Répondre:

Enfin, il est temps de parler de résolution d'équations rationnelles fractionnaires type arbitraire. Ils peuvent s'écrire sous la forme r(x)=s(x), où r(x) et s(x) sont des expressions rationnelles, et au moins l'une d'entre elles est fractionnaire. Pour l'avenir, disons que leur solution revient à résoudre des équations de la forme qui nous est déjà familière.

On sait que transférer un terme d'une partie de l'équation à une autre de signe opposé conduit à une équation équivalente, donc l'équation r(x)=s(x) est équivalente à l'équation r(x)−s(x )=0.

Nous savons également que n'importe quelle expression identiquement égale à cette expression est possible. Ainsi, expression rationnelle du côté gauche de l'équation r(x)−s(x)=0 on peut toujours la transformer en une fraction rationnelle identiquement égale de la forme .

Nous passons donc de l’équation rationnelle fractionnaire originale r(x)=s(x) à l’équation, et sa solution, comme nous l’avons découvert ci-dessus, se réduit à résoudre l’équation p(x)=0.

Mais ici, il faut prendre en compte le fait qu'en remplaçant r(x)−s(x)=0 par , puis par p(x)=0, la plage des valeurs admissibles de la variable x peut s'élargir .

Par conséquent, l'équation originale r(x)=s(x) et l'équation p(x)=0 à laquelle nous sommes arrivés peuvent s'avérer inégales, et en résolvant l'équation p(x)=0, nous pouvons obtenir des racines ce seront des racines superflues de l'équation originale r(x)=s(x) . Vous pouvez identifier et ne pas inclure les racines superflues dans la réponse soit en effectuant une vérification, soit en vérifiant qu'elles appartiennent à l'ODZ de l'équation d'origine.

Résumons ces informations dans algorithme pour résoudre l'équation rationnelle fractionnaire r(x)=s(x). Pour résoudre l’équation rationnelle fractionnaire r(x)=s(x) , vous avez besoin

Obtenez zéro à droite en déplaçant l’expression du côté droit avec le signe opposé.
Effectuez des opérations avec des fractions et des polynômes sur le côté gauche de l'équation, la transformant ainsi en une fraction rationnelle de la forme.
Résolvez l’équation p(x)=0.
Identifiez et éliminez les racines superflues, ce qui se fait en les substituant dans l'équation d'origine ou en vérifiant leur appartenance à l'ODZ de l'équation d'origine.

Pour plus de clarté, nous montrerons toute la chaîne de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :
.

Examinons les solutions de plusieurs exemples avec une explication détaillée du processus de résolution afin de clarifier le bloc d'informations donné.

Exemple.

Résolvez une équation rationnelle fractionnaire.

Solution.

Nous agirons conformément à l'algorithme de solution qui vient d'être obtenu. Et d'abord, nous déplaçons les termes du côté droit de l'équation vers la gauche, nous passons ainsi à l'équation.

Dans la deuxième étape, nous devons convertir l’expression rationnelle fractionnaire du côté gauche de l’équation résultante sous la forme d’une fraction. Pour ce faire, nous effectuons un casting fractions rationnellesà un dénominateur commun et simplifier l'expression résultante : . Nous arrivons donc à l'équation.

À l’étape suivante, nous devons résoudre l’équation −2·x−1=0. On trouve x=−1/2.

Reste à vérifier si le nombre trouvé est −1/2 racine étrangèreéquation originale. Pour ce faire, vous pouvez vérifier ou trouver la VA de la variable x de l'équation d'origine. Montrons les deux approches.

Commençons par vérifier. Nous remplaçons le nombre −1/2 dans l'équation d'origine au lieu de la variable x, et nous obtenons la même chose, −1=−1. La substitution donne l'égalité numérique correcte, donc x=−1/2 est la racine de l'équation d'origine.

Nous allons maintenant montrer comment le dernier point de l'algorithme est exécuté via ODZ. La plage des valeurs acceptables de l'équation d'origine est l'ensemble de tous les nombres sauf −1 et 0 (à x=−1 et x=0 les dénominateurs des fractions disparaissent). La racine x=−1/2 trouvée à l'étape précédente appartient à l'ODZ, donc x=−1/2 est la racine de l'équation d'origine.

Répondre:

−1/2 .

Regardons un autre exemple.

Exemple.

Trouvez les racines de l’équation.

Solution.

Nous devons résoudre une équation rationnelle fractionnaire, passons en revue toutes les étapes de l'algorithme.

Tout d'abord, nous déplaçons le terme du côté droit vers la gauche, nous obtenons .

Deuxièmement, on transforme l'expression formée sur le côté gauche : . En conséquence, nous arrivons à l’équation x=0.

Sa racine est évidente : elle est nulle.

À la quatrième étape, il reste à déterminer si la racine trouvée est étrangère à l'équation rationnelle fractionnaire d'origine. Lorsqu'elle est remplacée dans l'équation d'origine, l'expression est obtenue. Évidemment, cela n’a pas de sens car il contient une division par zéro. D’où nous concluons que 0 est une racine étrangère. L’équation originale n’a donc pas de racine.

7, ce qui conduit à l’équation. De là, nous pouvons conclure que l'expression au dénominateur du côté gauche doit être égale à celle du côté droit, c'est-à-dire . Maintenant, nous soustrayons des deux côtés du triplet : . Par analogie, d'où et plus loin.

La vérification montre que les deux racines trouvées sont les racines de l’équation rationnelle fractionnaire originale.

Répondre:

Bibliographie.

Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. À 14h00 Partie 1. Manuel pour les étudiants les établissements d'enseignement/ A.G. Mordkovitch. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
Algèbre: 9e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2009. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-021134-5.

Les équations contenant une variable au dénominateur peuvent être résolues de deux manières :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Utiliser la propriété de base de proportion

Quelle que soit la méthode choisie, après avoir trouvé les racines de l'équation, il est nécessaire de sélectionner parmi les valeurs valides trouvées, c'est-à-dire celles qui ne font pas tourner le dénominateur à $0$.

1 façon. Réduire les fractions à un dénominateur commun.

Exemple 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Solution:

1. Transférons la fraction du côté droit de l'équation vers la gauche

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Pour le faire correctement, rappelez-vous que lorsque vous déplacez des éléments vers une autre partie de l'équation, le signe devant les expressions change à l'opposé. Cela signifie que si sur le côté droit il y avait un signe « + » devant la fraction, alors sur le côté gauche il y aura un signe « - » devant elle. Ensuite, sur le côté gauche, nous obtenons la différence des fractions. fractions.

2. Notez maintenant que les fractions ont des dénominateurs différents, ce qui signifie que pour combler la différence, il est nécessaire de ramener les fractions à un dénominateur commun. Le dénominateur commun sera le produit des polynômes dans les dénominateurs des fractions originales : $(2x-1)(x+3)$

Afin de recevoir expression identique, le numérateur et le dénominateur de la première fraction doivent être multipliés par le polynôme $(x+3)$, et la seconde par le polynôme $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Effectuons une transformation au numérateur de la première fraction - multiplions les polynômes. Rappelons que pour cela il faut multiplier le premier terme du premier polynôme par chaque terme du deuxième polynôme, puis multiplier le deuxième terme du premier polynôme par chaque terme du deuxième polynôme et additionner les résultats

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Donne moi termes similaires dans l'expression résultante

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Effectuons une transformation similaire au numérateur de la deuxième fraction - multiplions les polynômes

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$

L’équation prendra alors la forme :

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Maintenant les fractions avec même dénominateur, ce qui signifie que vous pouvez soustraire. Rappelez-vous que lorsque vous soustrayez des fractions ayant le même dénominateur du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction, en laissant le dénominateur le même.

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Transformons l'expression en numérateur. Pour ouvrir les parenthèses précédées du signe « - », vous devez remplacer tous les signes devant les termes entre parenthèses par des signes opposés.

\[(2x)^2+9x+9-\gauche((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Présentons des termes similaires

$(2x)^2+9x+9-\gauche((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

La fraction prendra alors la forme

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Une fraction est égale à 0$ si son numérateur est 0. Par conséquent, nous assimilons le numérateur de la fraction à 0$.

\[(\rm 20х+4=0)\]

Résolvons l'équation linéaire :

4. Échantillonnons les racines. Cela signifie qu'il est nécessaire de vérifier si les dénominateurs des fractions originales deviennent 0$ lorsque les racines sont trouvées.

Posons la condition que les dénominateurs ne soient pas égaux à $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Cela signifie que toutes les valeurs de variables sont acceptables sauf $-3$ et $0,5$.

La racine que nous avons trouvée est une valeur acceptable, ce qui signifie qu’elle peut être considérée en toute sécurité comme la racine de l’équation. Si la racine trouvée n’était pas une valeur valide, alors une telle racine serait superflue et, bien sûr, ne serait pas incluse dans la réponse.

Répondre:$-0,2.$

Nous pouvons maintenant créer un algorithme pour résoudre une équation contenant une variable au dénominateur.

Algorithme pour résoudre une équation contenant une variable au dénominateur

Déplacez tous les éléments du côté droit de l’équation vers la gauche. Pour obtenir équation identique il faut changer tous les signes précédant les expressions du côté droit par le contraire

Si sur le côté gauche on obtient une expression avec différents dénominateurs, puis nous les ramenons à une valeur commune en utilisant la propriété de base d'une fraction. Effectuer des transformations en utilisant transformations identitaires et obtenez une fraction finale égale à 0$.

Égalez le numérateur à $0$ et trouvez les racines de l'équation résultante.

Échantillonnons les racines, c'est-à-dire trouver des valeurs valides de variables qui ne font pas le dénominateur $0$.

Méthode 2. Nous utilisons la propriété fondamentale de proportion

La propriété principale de la proportion est que le produit des termes extrêmes de la proportion est égal au produit des termes moyens.

Exemple 2

Nous utilisons cette propriété pour résoudre cette tâche

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Trouvons et égalisons le produit des termes extrêmes et moyens de la proportion.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Après avoir résolu l'équation résultante, nous trouverons les racines de l'original

2. Trouvons les valeurs acceptables de la variable.

À partir de la solution précédente (méthode 1), nous avons déjà constaté que toutes les valeurs sont acceptables sauf $-3$ et $0,5$.

Ensuite, après avoir établi que la racine trouvée est une valeur valide, nous avons découvert que $-0,2$ sera la racine.

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Résoudre des équations avec des fractions Regardons des exemples. Les exemples sont simples et illustratifs. Avec leur aide, vous pourrez comprendre de la manière la plus compréhensible.
Par exemple, vous devez résoudre l’équation simple x/b + c = d.

Une équation de ce type est dite linéaire, car Le dénominateur ne contient que des nombres.

La solution est effectuée en multipliant les deux côtés de l’équation par b, alors l’équation prend la forme x = b*(d – c), c’est-à-dire le dénominateur de la fraction du côté gauche s’annule.

Par exemple, comment résoudre équation fractionnaire:
x/5+4=9
On multiplie les deux côtés par 5. On obtient :
x+20=45
x=45-20=25

Autre exemple où l'inconnue est au dénominateur :

Les équations de ce type sont appelées fractionnaires-rationnelles ou simplement fractionnaires.

Nous résoudrions une équation fractionnaire en nous débarrassant des fractions, après quoi cette équation se transforme le plus souvent en une équation linéaire ou quadratique, qui est résolue de la manière habituelle. Il vous suffit de considérer les points suivants :

la valeur d'une variable qui fait passer le dénominateur à 0 ne peut pas être une racine ;
Vous ne pouvez pas diviser ou multiplier une équation par l’expression =0.

C'est ici qu'entre en vigueur le concept de région des valeurs admissibles (ADV) - ce sont les valeurs des racines de l'équation pour lesquelles l'équation a un sens.

Ainsi, lors de la résolution de l'équation, il est nécessaire de trouver les racines, puis de vérifier leur conformité à l'ODZ. Les racines qui ne correspondent pas à notre ODZ sont exclues de la réponse.

Par exemple, vous devez résoudre une équation fractionnaire :

D'après la règle ci-dessus, x ne peut pas être = 0, c'est-à-dire ODZ dans dans ce cas: x – toute valeur autre que zéro.

On se débarrasse du dénominateur en multipliant tous les termes de l'équation par x

Et nous résolvons l'équation habituelle

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Réponse : x = 1/3

Résolvons une équation plus compliquée :

ODZ est également présent ici : x -2.

Lors de la résolution de cette équation, nous ne déplacerons pas tout d'un côté et ne ramènerons pas les fractions à un dénominateur commun. Nous multiplierons immédiatement les deux côtés de l’équation par une expression qui annulera tous les dénominateurs d’un coup.

Pour réduire les dénominateurs, vous devez multiplier le côté gauche par x+2 et le côté droit par 2. Cela signifie que les deux côtés de l'équation doivent être multipliés par 2(x+2) :

Exactement ça multiplication ordinaire fractions, dont nous avons déjà parlé ci-dessus

Écrivons la même équation, mais légèrement différemment

Le côté gauche est réduit de (x+2), et le côté droit de 2. Après réduction, on obtient l'équation linéaire habituelle :

x = 4 – 2 = 2, ce qui correspond à notre ODZ

Réponse : x = 2.

Résoudre des équations avec des fractions pas aussi difficile que cela puisse paraître. Dans cet article, nous l'avons montré avec des exemples. Si vous rencontrez des difficultés avec comment résoudre des équations avec des fractions, puis désabonnez-vous dans les commentaires.

Équations fractionnaires. ODZ.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Nous continuons à maîtriser les équations. Nous savons déjà travailler avec des équations linéaires et quadratiques. La dernière vue restante - équations fractionnaires. Ou ils sont aussi appelés beaucoup plus respectablement - équations rationnelles fractionnaires. C'est le même.

Équations fractionnaires.

Comme leur nom l’indique, ces équations contiennent nécessairement des fractions. Mais pas seulement des fractions, mais des fractions qui ont inconnu au dénominateur. Au moins dans un. Par exemple:

Permettez-moi de vous rappeler que si les dénominateurs sont seulement Nombres, ce sont des équations linéaires.

Comment décider équations fractionnaires? Tout d’abord, débarrassez-vous des fractions ! Après cela, l'équation se transforme le plus souvent en linéaire ou quadratique. Et puis on sait quoi faire... Dans certains cas, cela peut se transformer en une identité, comme 5=5 ou une expression incorrecte, comme 7=2. Mais cela arrive rarement. Je le mentionnerai ci-dessous.

Mais comment se débarrasser des fractions !? Très simple. Appliquer les mêmes transformations identiques.

Nous devons multiplier l’équation entière par la même expression. Pour que tous les dénominateurs soient réduits ! Tout deviendra immédiatement plus facile. Laissez-moi vous expliquer avec un exemple. Il faut résoudre l'équation :

Comme enseigné dans classes juniors? On met tout de côté, on le ramène à un dénominateur commun, etc. Oubliez ça comme un mauvais rêve ! C'est ce que vous devez faire lorsque vous ajoutez ou soustrayez. expressions fractionnaires. Ou alors vous travaillez avec les inégalités. Et dans les équations, nous multiplions immédiatement les deux côtés par une expression qui nous donnera la possibilité de réduire tous les dénominateurs (c'est-à-dire, en substance, par dénominateur commun). Et quelle est cette expression ?

Du côté gauche, réduire le dénominateur nécessite de multiplier par x+2. Et à droite, il faut multiplier par 2. Cela signifie que l'équation doit être multipliée par. 2(x+2). Multiplier:

Il s'agit d'une multiplication courante de fractions, mais je vais la décrire en détail :

Veuillez noter que je n'ouvre pas encore le support (x + 2)! Alors, dans son intégralité, je l'écris :

Sur le côté gauche il se contracte entièrement (x+2), et à droite 2. C'est ce qu'il fallait ! Après réduction on obtient linéaire l'équation:

Et tout le monde peut résoudre cette équation ! x = 2.

Résolvons un autre exemple, un peu plus compliqué :

Si l'on se souvient que 3 = 3/1, et 2x = 2x/ 1, on peut écrire :

Et encore une fois, nous nous débarrassons de ce que nous n'aimons pas vraiment : les fractions.

On voit que pour réduire le dénominateur par X, il faut multiplier la fraction par (x-2). Et quelques-uns ne nous gênent pas. Eh bien, multiplions. Tous côté gauche et tous côté droit:

Encore des parenthèses (x-2) Je ne le révèle pas. Je travaille avec le support dans son ensemble comme s'il s'agissait d'un seul numéro ! Cela doit toujours être fait, sinon rien ne sera réduit.