Comment faire une section d'un cube en utilisant trois points. Section d'un cube

Tâches de construction de sections d'un cubeD1
C1
E
A1
B1
D
UN
F
B
AVEC

Travail d'essai.

Un plan de coupe d'un cube est tout plan des deux côtés duquel se trouvent des points d'un cube donné.

trois points donnés qui sont les milieux des arêtes. Trouver le périmètre de la section si le bord

Construire une section du cube avec un plan passant par trois points donnés, qui sont ses sommets. Trouver le périmètre de la section si le bord du cube

Construire une section du cube avec un plan passant par trois points donnés. Trouvez le périmètre de la section si le bord du cube est égal à a.

Construisez une section du cube avec un plan passant par trois points donnés, qui sont les milieux de ses arêtes.

B1. V.Cube. Niveau B. Aide. Construire une section d'un cube traversée par un plan points A, K et E. Trouver la ligne d'intersection de ce plan a) avec l'arête BB1 ​​; b) avion (CC1D). E.C1. K.A1. D1. Menu C.D.A.

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" Mystère trois points» Projet d'information et de recherche

Objectifs du projet : construire des sections dans un cube passant par trois points ; composer des problèmes sur le thème « Section d'un cube par un plan » ; conception de présentations; préparer un discours.

Pas en géométrie voie royale Euclide

Axiomes de stéréométrie Par trois points quelconques de l'espace qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite, il existe un seul plan.

Pour résoudre beaucoup problèmes géométriques lié à un cube, il est utile de pouvoir dessiner leurs sections dans un dessin différents avions. Par section, nous entendons tout plan (appelons-le plan de coupe), des deux côtés duquel se trouvent les points d'une figure donnée. Un plan de coupe coupe un polyèdre le long de segments. Le polygone qui sera formé par ces segments est la section transversale de la figure.

Règles de construction de sections de polyèdres : 1) tracer des lignes droites passant par des points situés dans le même plan ; 2) on recherche les intersections directes du plan de coupe avec les faces du polyèdre, pour cela : a) on recherche les points d'intersection d'une droite appartenant au plan de coupe avec une droite appartenant à l'un des visages (situés dans le même plan); b) le plan de coupe coupe des faces parallèles le long de lignes droites parallèles.

Le cube a six côtés. Sa section transversale peut être : des triangles, des quadrangles, des pentagones, des hexagones.

Considérons la construction de ces sections.

Triangle

Le triangle EFG résultant sera la section souhaitée. Construire une section du cube avec un plan passant par les points E, F, G situés sur les arêtes du cube.

Construisez une section du cube avec un plan passant par les points A, C et M.

Pour construire une section de cube passant par des points situés sur les arêtes du cube émergeant d'un sommet, il suffit simplement de relier ces points par des segments. La section transversale formera un triangle.

Quadrilatère

Construire une section du cube avec un plan passant par les points E, F, G situés sur les arêtes du cube.

Le rectangle résultant BCFE sera la section souhaitée. Construire une section du cube avec un plan passant par les points E, F, G situés sur les arêtes du cube, pour lesquels AE = DF. Solution. Pour construire une section d'un cube passant par les points E, F, G, reliez les points E et F. La ligne EF sera parallèle à AD et donc BC. Relions les points E et B, F et C.

Construire une section du cube avec un plan passant par les points E, F situés sur les arêtes du cube et le sommet B. Solution. Pour construire une section d'un cube passant par les points E, F et le sommet B, reliez les points E et B, F et B avec des segments. Par les points E et F, nous traçons des lignes parallèles à BF et BE, respectivement.

Le parallélogramme résultant BFGE sera la section requise Construire une section du cube avec un plan passant par les points E, F situés sur les arêtes du cube et le sommet B. Solution. Pour construire une section d'un cube passant par les points E, F et le sommet B, reliez les points E et B, F et B avec des segments. Par les points E et F, nous traçons des lignes parallèles à BF et BE, respectivement.

Le plan de coupe est parallèle à une des arêtes du cube ou passe par l'arête (rectangle) Le plan de coupe coupe quatre arêtes parallèles du cube (parallélogramme)

Pentagone

Le pentagone résultant EFSGQ sera la section requise. Construisez une section du cube avec un plan passant par les points E, F, G situés sur les arêtes du cube. Solution. Pour construire une section de cube passant par les points E, F, G, tracez une droite EF et désignez P son point d'intersection avec AD. Notons Q, R les points d'intersection de la droite PG avec AB et DC. Notons S le point d'intersection de FR avec CC 1. Relions les points E et Q, G et S.

Par le point P on trace une droite parallèle à MN. Elle coupe l'arête BB1 ​​​​au point S. PS est la trace du plan coupant dans la face (BCC1). On trace une droite passant par les points M et S situés dans le même plan (ABB1). Nous avons reçu une trace de MS (visible). Les plans (ABB1) et (CDD1) sont parallèles. Il y a déjà une droite MS dans le plan (ABB1), donc passant par le point N dans le plan (CDD1) on trace une droite parallèle à MS. Cette ligne coupe le bord D1C1 au point L. Sa trace est NL (invisible). Les points P et L se trouvent dans le même plan (A1B1C1), nous traçons donc une ligne droite qui les traverse. Pentagone MNLPS est la section requise.

Lorsqu’un cube est coupé par un plan, le seul pentagone pouvant être formé est celui qui possède deux paires de côtés parallèles.

Hexagone

Construisez une section du cube avec un plan passant par les points E, F, G situés sur les arêtes du cube. Solution. Pour construire une section d'un cube passant par les points E, F, G, on trouve le point P d'intersection de la droite EF et du plan de la face ABCD. Notons Q, R les points d'intersection de la droite PG avec AB et CD. Traçons une ligne RF et notons S, T ses points d'intersection avec CC 1 et DD 1. Traçons une ligne TE et notons U son point d'intersection avec A 1 D 1. Relions les points E et Q, G et S, F et U. L’hexagone EUFSGQ résultant sera la section souhaitée.

Lorsqu’un cube est coupé par un plan, le seul hexagone pouvant être formé est celui qui possède trois paires de côtés parallèles.

Donné : M€AA1 , N€B1C1,L€AD Build : (MNL)

Type de cours : Cours combiné.

Buts et objectifs :

• pédagogique – formation et développement de concepts spatiaux chez les étudiants; développer des compétences dans la résolution de problèmes impliquant la construction de sections des polyèdres les plus simples ;
• pédagogique - cultiver la volonté et la persévérance pour obtenir les résultats finaux lors de la construction de sections des polyèdres les plus simples ; cultiver l’amour et l’intérêt pour l’apprentissage des mathématiques.
• développement – développement des étudiants pensée logique, représentations spatiales, développement des compétences de maîtrise de soi.

Équipement : ordinateurs avec un programme spécialement développé, polycopiés sous forme de dessins prêts à l'emploi avec des tâches, corps de polyèdres, cartes individuelles avec les devoirs.

Structure de la leçon :

1. Énoncez le sujet et le but de la leçon (2 min).
2. Instructions sur la façon d'effectuer des tâches sur un ordinateur (2 min).
3. Mise à jour connaissances de base et les compétences des élèves (4 min).
4. Autotest (3 min).
5. Résolution de problèmes avec explication de la solution par l'enseignant (15 min).
6. Travail indépendant avec autotest (10 min).
7. Mise en scène devoirs(2 minutes).
8. Résumé (2 minutes).

Progression de la leçon

1. Communiquer le sujet et le but de la leçon

Après avoir vérifié l'état de préparation de la classe pour la leçon, l'enseignant rapporte qu'aujourd'hui il y a une leçon sur le thème « Construction de sections de polyèdres » ; des problèmes seront examinés sur la construction de sections de polyèdres simples avec des plans passant par trois points appartenant aux arêtes de ; les polyèdres. La leçon sera enseignée à l'aide d'une présentation informatique réalisée sous Power Point.

2. Consignes de sécurité lors du travail dans un laboratoire informatique

Professeur. J'attire votre attention sur le fait que vous commencez à travailler dans un cours d'informatique, et que vous devez suivre les règles de conduite et travailler à l'ordinateur. Sécurisez les plateaux rétractables et assurez un bon ajustement.

3. Actualisation des connaissances et compétences de base des étudiants

Professeur. Pour résoudre de nombreux problèmes géométriques liés aux polyèdres, il est utile de pouvoir construire leurs sections dans un dessin en utilisant différents plans, trouver le point d'intersection d'une droite donnée avec un plan donné, et trouver la droite d'intersection de deux plans donnés. . Dans les leçons précédentes, nous avons examiné des sections de polyèdres par plans parallèles aux arêtes et aux faces des polyèdres. Dans cette leçon, nous examinerons des problèmes impliquant la construction de sections avec un plan passant par trois points situés sur les arêtes de polyèdres. Pour ce faire, considérons les polyèdres les plus simples. Quels sont ces polyèdres ? (Modèles de cube, tétraèdre, pyramide quadrangulaire régulière, droite prisme triangulaire).

Les élèves doivent déterminer le type de polyèdre.

Professeur. Voyons à quoi ils ressemblent sur l'écran du moniteur. On passe d'image en image en appuyant sur le bouton gauche de la souris.

Les images des polyèdres nommés apparaissent à l'écran les unes après les autres.

Professeur. Rappelons ce qu'on appelle une section d'un polyèdre.

Étudiant. Polygone dont les côtés sont des segments appartenant aux faces du polyèdre, avec des extrémités sur les bords du polyèdre, obtenu en coupant le polyèdre avec un plan de coupe arbitraire.

Professeur. Quels polygones peuvent être des sections de ces polyèdres.

Étudiant. Sections d'un cube : trois - hexagones. Sections d'un tétraèdre : triangles, quadrangles. Sections d'une pyramide quadrangulaire et d'un prisme triangulaire : trois - pentagones.

4. Auto-test

Professeur. Conformément à la notion de sections de polyèdres, à la connaissance des axiomes de stéréométrie et à la position relative des lignes et des plans dans l'espace, il vous est demandé de répondre aux questions du test. L'ordinateur vous appréciera. Score maximum 3 points - pour 3 réponses correctes. Sur chaque diapositive, vous devez cliquer sur le bouton avec le numéro de la bonne réponse. Vous travaillez en binôme, chacun de vous recevra donc le même nombre de points spécifié par l'ordinateur. Cliquez sur l'indicateur de diapositive suivant. Vous disposez de 3 minutes pour terminer la tâche.

I. Quelle figure montre une section d'un cube par un plan abc?

II. Quelle figure représente une coupe transversale d’une pyramide avec un plan passant par la diagonale de la base ? BD parallèle au bord S.A.?

III. Quelle figure montre une coupe transversale d'un tétraèdre passant par un point M parallèle au plan ABS?

5. Résoudre des problèmes avec explication de la solution par l'enseignant

Professeur. Passons directement à la résolution des problèmes. Cliquez sur l'indicateur de diapositive suivant.

Problème 1 Cette tâche Regardons-le oralement avec une démonstration étape par étape de la construction sur l'écran du moniteur. La transition s'effectue en cliquant sur la souris.

Étant donné un cube ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1. À son bord BB 1 point donné M. Trouver le point d'intersection d'une ligne C1M avec le plan de la face du cube ABCD.

Considérons l'image d'un cube ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1 avec un point M sur le bord BB 1 point M Et AVEC 1 appartenir à l'avion BB 1 AVEC 1 Que peut-on dire de la ligne droite C1M ?

Étudiant. Droit C1M appartient à l'avion BB 1 AVEC 1

Professeur. Point recherché X appartient à la ligne C 1 M, et donc des avions BB 1 AVEC 1. Comment ça se passe position relative avions BB 1 AVEC 1 et abc?

Étudiant. Ces plans se coupent en ligne droite Colombie-Britannique.

Professeur. Cela veut dire tout points communs avions BB 1 AVEC 1 et abc appartenir à la ligne Colombie-Britannique. Point recherché X doit appartenir simultanément aux plans de deux faces : ABCD Et BB 1 C 1 C; il s'ensuit que le point X doit se trouver sur la ligne de leur intersection, c'est-à-dire sur la droite Soleil. Cela signifie que le point X doit se trouver simultanément sur deux droites : AVEC 1 M Et Soleil et, par conséquent, c’est leur point d’intersection. Regardons la construction du point souhaité sur l'écran du moniteur. Vous verrez la séquence de construction en appuyant sur le bouton gauche de la souris : continuer AVEC 1 M Et Soleil jusqu'à l'intersection au point X, qui est le point d'intersection souhaité de la ligne AVEC 1 M avec plan facial ABCD.

Professeur. Pour passer à la tâche suivante, utilisez l'indicateur de diapositive suivante. Considérons ce problème avec une brève description de la construction.

UN) Construire une section d'un cube avec un plan passant par les points UN 1 , MD 1 C 1 et NDD 1 et b) Trouvez la ligne d'intersection du plan de coupe avec le plan de la base inférieure du cube.

Solution. I. Le plan de coupe a une face UN 1 B 1 C 1 D 1 deux points communs UN 1 et M et, par conséquent, le coupe le long d'une ligne droite passant par ces points. Relier les points UN 1 et M segment de droite, on retrouve la ligne d'intersection du plan de la future coupe et du plan bord supérieur. Nous écrirons ce fait comme suit : UN 1 M. Appuyez sur le bouton gauche de la souris, appuyez à nouveau pour construire cette ligne droite.

De même, on retrouve les lignes d'intersection du plan de coupe avec les faces AA 1 D 1 D Et DD 1 AVEC 1 AVEC. En cliquant sur le bouton de la souris, vous verrez un bref enregistrement et la progression de la construction.

Ainsi, UN 1 Nouveau-Mexique? la rubrique souhaitée.

Passons à la deuxième partie du problème. Trouvons la ligne d'intersection du plan de coupe avec le plan de la base inférieure du cube.

II. Le plan de coupe coupe le plan de la base du cube en ligne droite. Pour représenter cette droite, il suffit de trouver deux points appartenant à cette droite, c'est-à-dire points communs du plan de coupe et du plan de face ABCD. Basé sur tâche précédente ces points seront : point X=. Appuyez sur la touche, vous verrez un court enregistrement et une construction. Et point final Oui, qu'en pensez-vous, comment l'obtenir ?

Étudiant. Oui =

Professeur. Regardons sa construction à l'écran. Cliquez sur le bouton de la souris. Relier les points X Et Oui(Enregistrer X-Oui), on obtient la droite souhaitée - la ligne d'intersection du plan de coupe avec le plan de la base inférieure du cube. Cliquez sur le bouton gauche de la souris – brève note et le bâtiment.

Problème 3 Construire une section du cube avec un plan passant par les points :

De plus, en appuyant sur le bouton de la souris, vous verrez la progression de la construction et un court enregistrement sur l'écran du moniteur. Basé sur la notion de section, il suffit de trouver deux points dans le plan de chaque face pour construire la ligne d'intersection du plan de coupe et du plan de chaque face du cube. Points M Et N appartenir à l'avion UN 1 DANS 1 AVEC 1. En les reliant, on obtient la ligne d'intersection du plan de coupe et du plan de la face supérieure du cube (appuyez sur le bouton de la souris). Continuons les lignes droites MN Et D 1 C 1 avant le carrefour. Mettons un point sur X, appartenant à la fois à l'avion UN 1 DANS 1 AVEC 1 et avion DD 1 C 1 (clic de souris). Points N Et À appartenir à l'avion BB 1 AVEC 1. En les reliant, on obtient la ligne d'intersection du plan de coupe et de la face BB 1 AVEC 1 AVEC. (clic de souris). Relier les points X Et À, et continue tout droit HCà l'intersection avec la ligne CC. Mettons un point sur un point R. et segmenter KR – ligne d'intersection du plan de coupe et de la face DD 1 C 1 C. (clic de souris). Continuer tout droit KR Et DD 1 avant l'intersection, on obtient un point Oui, appartenant à l'avion AA 1 D 1. (clic de souris). Dans le plan de cette face, nous avons besoin d'un point supplémentaire, que nous obtenons à la suite de l'intersection de lignes MN Et UN 1 D 1. C'est le point . (clic de souris). Relier les points Oui Et Z, nous obtenons Et . (clic de souris). De liaison Q Et R., R. Et M, est-ce qu'on l'aura ? la rubrique souhaitée.

Brève description de la construction :

2) ;

6) ;

7) ;

13) ? la rubrique souhaitée.

Les problèmes impliquant la construction de sections d'un cube à l'aide d'un plan sont, en règle générale, plus simples que, par exemple, les problèmes impliquant des sections d'une pyramide.

On peut tracer une ligne droite passant par deux points s’ils se trouvent dans le même plan. Lors de la construction de sections d'un cube, une autre option est possible pour construire une trace d'un plan coupant. Puisque le troisième plan coupe deux plans parallèles le long de lignes droites parallèles, alors si une ligne droite a déjà été construite sur l'une des faces et que dans l'autre il y a un point par lequel passe la section, alors nous pouvons tracer une ligne parallèle à ce point à travers ce point.

Regardons exemples spécifiques, comment construire des sections d'un cube à l'aide d'un plan.

1) Construire une section du cube avec un plan passant par les points A, C et M.

Les problèmes de ce type sont les plus simples de tous les problèmes de construction de sections d’un cube. Puisque les points A et C se trouvent dans le même plan (ABC), nous pouvons tracer une ligne droite qui les traverse. Sa trace est le segment AC. Il est invisible, nous représentons donc AC d'un trait. De même, nous connectons les points M et C, qui se trouvent dans le même plan (CDD1), et les points A et M, qui se trouvent dans le même plan (ADD1). Triangle ACM est la section requise.

2) Construire une section du cube avec un plan passant par les points M, N, P.

Ici, seuls les points M et N se trouvent dans le même plan (ADD1), nous traçons donc une ligne droite qui les traverse et obtenons une trace MN (invisible). Parce que visages opposés les cubes se trouvent dedans plans parallèles, alors le plan de coupe coupe les plans parallèles (ADD1) et (BCC1) le long de lignes parallèles. Nous avons déjà construit l'une des lignes parallèles - c'est MN.

Par le point P on trace une droite parallèle à MN. Elle coupe l'arête BB1 ​​​​au point S. PS est la trace du plan coupant dans la face (BCC1).

On trace une droite passant par les points M et S situés dans le même plan (ABB1). Nous avons reçu une trace de MS (visible).

Les plans (ABB1) et (CDD1) sont parallèles. Il y a déjà une droite MS dans le plan (ABB1), donc passant par le point N dans le plan (CDD1) on trace une droite parallèle à MS. Cette ligne coupe le bord D1C1 au point L. Sa trace est NL (invisible). Les points P et L se trouvent dans le même plan (A1B1C1), nous traçons donc une ligne droite qui les traverse.

Pentagone MNLPS est la section requise.

3) Construire une section du cube avec un plan passant par les points M, N, P.

Les points M et N se trouvent dans le même plan (ВСС1), une ligne droite peut donc être tracée à travers eux. On obtient la trace MN (visible). Le plan (BCC1) est parallèle au plan (ADD1), donc, passant par le point P situé dans (ADD1), on trace une droite parallèle à MN. Elle coupe l'arête AD au point E. Nous avons obtenu une trace PE (invisible).

Il n'y a plus de points situés dans un même plan, ni de droite et de points situés dans des plans parallèles. Nous devons donc continuer l’une des lignes existantes pour obtenir un point supplémentaire.

Si l'on continue la droite MN, alors, puisqu'elle se situe dans le plan (BCC1), il faut chercher le point d'intersection de MN avec l'une des droites de ce plan. Il existe déjà des points d'intersection avec CC1 et B1C1 - ce sont M et N. Il ne reste que les droites BC et BB1. Continuons BC et MN jusqu'à ce qu'ils se coupent au point K. Le point K se trouve sur la ligne BC, ce qui signifie qu'il appartient au plan (ABC), nous pouvons donc tracer une ligne droite qui le traverse et le point E, qui se trouve dans ce plan. Il coupe l'arête CD au point H. EH est sa trace (invisible). Puisque H et N se trouvent dans le même plan (CDD1), une ligne droite peut être tracée à travers eux. On obtient une trace HN (invisible).

Les plans (ABC) et (A1B1C1) sont parallèles. Dans l'un d'eux il y a une droite EH, dans l'autre il y a un point M. On peut tracer une droite parallèle à EH passant par M. On obtient la trace MF (visible). Tracez une ligne droite passant par les points M et F.

L'hexagone MNHEPF est la section obligatoire.

Si l’on continue la droite MN jusqu’à ce qu’elle croise un autre plan droit (BCC1), BB1, on obtiendrait le point G appartenant au plan (ABB1). Cela signifie que passant par G et P on peut tracer une droite dont la trace est PF. Ensuite, nous traçons des lignes droites passant par des points situés dans des plans parallèles et arrivons au même résultat.

Travailler avec du PE droit donne la même section MNHEPF.

4) Construire une section du cube avec un plan passant par les points M, N, P.

Ici, nous pouvons tracer une ligne droite passant par les points M et N situés dans le même plan (A1B1C1). Son empreinte est MN (visible). Il n'y a plus de points situés dans le même plan ou dans des plans parallèles.

Continuons la ligne droite MN. Il se trouve dans le plan (A1B1C1), il ne peut donc couper qu'une des droites de ce plan. Il existe déjà des points d'intersection avec A1D1 et C1D1 - N et M. Deux autres lignes droites de ce plan - A1B1 et B1C1. Le point d'intersection de A1B1 et MN est S. Puisqu'il se trouve sur la droite A1B1, il appartient au plan (ABB1), ce qui signifie qu'une ligne droite peut être tracée à travers lui et le point P, qui se trouve dans le même plan. La droite PS coupe le bord AA1 au point E. PE est sa trace (visible). Par les points N et E, situés dans le même plan (ADD1), on peut tracer une droite dont la trace est NE (invisible). Dans le plan (ADD1) il y a une ligne NE, dans le plan parallèle à celle-ci (BCC1) il y a un point P. Par le point P on peut tracer une ligne PL parallèle à NE. Elle coupe le bord CC1 au point L. PL est la trace de cette ligne (visible). Les points M et L se trouvent dans le même plan (CDD1), ce qui signifie qu'une ligne droite peut être tracée à travers eux. Sa trace est ML (invisible). Pentagon MLPEN est la section requise.

Il a été possible de continuer la droite NM dans les deux sens et de rechercher ses points d'intersection non seulement avec la droite A1B1, mais aussi avec la droite B1C1, qui se trouve également dans le plan (A1B1C1). Dans ce cas, par le point P on trace deux lignes à la fois : une dans le plan (ABB1) passant par les points P et S, et la seconde dans le plan (BCC1), passant par les points P et R. Après quoi il reste à relier le points situés dans le même plan : M c L, E - avec N.