Comment connaître le volume d'une pyramide triangulaire régulière. Hauteur de la pyramide

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Objectifs de la leçon.

Éducatif : Dériver une formule pour calculer le volume d'une pyramide

Développemental : développer l’intérêt cognitif des étudiants pour les disciplines académiques, la capacité d’appliquer leurs connaissances dans la pratique.

Éducatif : cultiver l’attention, la précision, élargir les horizons des étudiants.

Équipements et matériels : ordinateur, écran, projecteur, présentation « Volume de la Pyramide ».

1. Enquête frontale. Diapositives 2, 3

Ce qu'on appelle une pyramide, base de la pyramide, nervures, hauteur, axe, apothème. Quelle pyramide est appelée pyramide régulière, tétraèdre, pyramide tronquée ?

Une pyramide est un polyèdre constitué d'un plat polygone, points, ne se trouvant pas dans le plan de ce polygone et tous les segments, reliant ce point aux points du polygone.

Ce point appelé haut pyramides, et un polygone plat est la base de la pyramide. Segments reliant le sommet de la pyramide aux sommets de la base sont appelés côtes . Hauteur pyramides - perpendiculaire, abaissé du sommet de la pyramide jusqu'au plan de la base. Apothème - hauteur du bord latéral pyramide régulière. La pyramide, qui à la base est correct n-gon, UN hauteur de base coïncide avec centre de la base appelé correct pyramide n-gonale. Axe d'une pyramide régulière est la ligne droite contenant sa hauteur. Une pyramide triangulaire régulière s’appelle un tétraèdre. Si la pyramide est coupée par un plan parallèle au plan de la base, alors elle coupera la pyramide, similaire donné. La partie restante s'appelle pyramide tronquée.

2. Dérivation de la formule de calcul du volume de la pyramide V=SH/3 Diapositives 4, 5, 6

1. Soit SABC une pyramide triangulaire de sommet S et de base ABC.

2. Ajoutons cette pyramide à un prisme triangulaire de même base et de même hauteur.

3. Ce prisme est composé de trois pyramides :

1) de cette pyramide SABC.

2) pyramides SCC 1 B 1.

3) et les pyramides SCBB 1.

4. Les deuxième et troisième pyramides ont des bases égales CC 1 B 1 et B 1 BC et une hauteur totale tirée du sommet S jusqu'à la face du parallélogramme BB 1 C 1 C. Elles ont donc des volumes égaux.

5. Les première et troisième pyramides ont également des bases égales SAB et BB 1 S et des hauteurs coïncidantes tirées du sommet C jusqu'à la face du parallélogramme ABB 1 S. Par conséquent, elles ont également des volumes égaux.

Cela signifie que les trois pyramides ont le même volume. Puisque la somme de ces volumes est égale au volume du prisme, les volumes des pyramides sont égaux à SH/3.

N'importe quel volume pyramide triangulaireégal au tiers du produit de l'aire de la base et de la hauteur.

3. Consolidation du nouveau matériel. Solution d'exercices.

1) Tâche № 33 du manuel d'A.N. Pogorelova. Diapositives 7, 8, 9

Du côté de la base ? et côté bord b, trouvez le volume d'une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve :

1) triangles,

2) quadrilatère,

3) hexagone.

Dans une pyramide régulière, la hauteur passe par le centre du cercle circonscrit à la base. Puis : (Annexe)

4. Informations historiques sur les pyramides. Diapositives 15, 16, 17

Le premier de nos contemporains à établir une série phénomènes inhabituels associé à la pyramide était le scientifique français Antoine Bovy. En explorant la pyramide de Khéops dans les années 30 du XXe siècle, il a découvert que les corps de petits animaux tombés accidentellement dans chambre royale, momifié. Bovey s'en expliqua la raison par la forme d'une pyramide et, comme il s'est avéré, il ne s'était pas trompé. Ses œuvres constituent la base recherche moderne, à la suite de quoi, au cours des 20 dernières années, de nombreux livres et publications sont parus confirmant que l'énergie des pyramides peut avoir une signification pratique.

Le mystère des pyramides

Certains chercheurs affirment que la pyramide contient une énorme quantité d'informations sur la structure de l'Univers, du système solaire et de l'homme, codées dans sa forme géométrique, ou plus précisément, sous la forme d'un octaèdre, dont la pyramide représente la moitié. La pyramide avec son sommet vers le haut symbolise la vie, avec son sommet vers le bas – la mort, l'autre monde. Tout comme les composants de l'Étoile de David (Magen David), où un triangle dirigé vers le haut symbolise la montée vers le Mental Supérieur, Dieu, et un triangle dont le sommet est vers le bas symbolise la descente de l'âme sur Terre, l'existence matérielle...

La valeur numérique du code avec lequel les informations sur l'Univers sont cryptées dans la pyramide, le nombre 365, n'a pas été choisie par hasard. Tout d’abord, il s’agit du cycle de vie annuel de notre planète. Aussi, le nombre 365 est composé de trois chiffres 3, 6 et 5. Que signifient-ils ? Si dans système solaire Le Soleil passe au numéro 1, Mercure - 2, Vénus - 3, Terre - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturne - 7, Uranus - 8, Neptune - 9, Pluton - 10, puis 3 est Vénus, 6 - Jupiter et 5 – Mars. La Terre est donc liée d’une manière particulière à ces planètes. En additionnant les nombres 3, 6 et 5, nous obtenons 14, dont 1 est le Soleil et 4 est la Terre.

Le nombre 14 a généralement importance mondiale: en particulier, la structure des mains humaines est basée sur elle, le nombre total de phalanges des doigts de chacune d'elles est également de 14. Ce code est également lié à la constellation la Grande Ourse, qui comprend notre Soleil, et dans lequel il y avait autrefois une autre étoile qui a détruit Phaéton, une planète située entre Mars et Jupiter, après quoi Pluton est apparu dans le système solaire et les caractéristiques des planètes restantes ont changé.

De nombreuses sources ésotériques affirment que l’humanité sur Terre a déjà connu quatre fois une catastrophe mondiale. La troisième race lémurienne connaissait la science divine de l'Univers, puis cette doctrine secrète n'était transmise qu'aux initiés. Au début des cycles et demi-cycles de l’année sidérale, ils construisaient des pyramides. Ils étaient sur le point de découvrir le code de la vie. La civilisation de l'Atlantide a réussi dans beaucoup de choses, mais à un certain niveau de connaissance, elle a été stoppée par une autre catastrophe planétaire, accompagnée d'un changement de race. Probablement, les initiés voulaient nous faire comprendre que les pyramides contiennent la connaissance des lois cosmiques...

Des dispositifs spéciaux sous forme de pyramides neutralisent le rayonnement électromagnétique négatif sur une personne provenant d'un ordinateur, d'un téléviseur, d'un réfrigérateur et d'autres appareils électroménagers.

L'un des livres décrit un cas dans lequel une pyramide installée dans l'habitacle d'une voiture a réduit la consommation de carburant et la teneur en CO des gaz d'échappement.

Les graines des cultures maraîchères conservées dans des pyramides avaient une meilleure germination et un meilleur rendement. Des publications recommandaient même de tremper les graines dans de l’eau pyramidale avant de les semer.

Il a été démontré que les pyramides ont des effets bénéfiques sur situation environnementale. Élimine les zones pathogènes dans les appartements, bureaux et chalets d'été, créant une aura positive.

Le chercheur néerlandais Paul Dickens donne dans son livre des exemples des propriétés curatives des pyramides. Il a remarqué qu'avec leur aide, vous pouvez soulager les maux de tête, les douleurs articulaires, arrêter les saignements dus à de petites coupures et que l'énergie des pyramides stimule le métabolisme et renforce le système immunitaire.

Certaines publications modernes notent que les médicaments conservés dans une pyramide raccourcissent la durée du traitement et que le pansement, saturé d'énergie positive, favorise la cicatrisation des plaies.

Les crèmes et onguents cosmétiques améliorent leur effet.

Les boissons, y compris alcoolisées, améliorent leur goût et l'eau contenue dans 40 % de vodka devient cicatrisante. Certes, pour charger une bouteille standard de 0,5 litre d'énergie positive, vous aurez besoin d'une haute pyramide.

Un article de journal dit que si les bijoux sont stockés sous une pyramide, ils s'auto-nettoient et acquièrent un éclat particulier, et les pierres précieuses et semi-précieuses accumulent de la bioénergie positive puis la libèrent progressivement.

Selon des scientifiques américains, les produits alimentaires, tels que les céréales, la farine, le sel, le sucre, le café, le thé, après avoir été dans la pyramide, améliorent leur goût et les cigarettes bon marché deviennent semblables à leurs homologues nobles.

Cela n'est peut-être pas pertinent pour beaucoup, mais dans une petite pyramide, les vieilles lames de rasoir s'affûtent toutes seules, et dans une grande pyramide, l'eau ne gèle pas à -40 degrés Celsius.

Selon la plupart des chercheurs, tout cela est la preuve de l’existence de l’énergie pyramidale.

Au cours de ses 5 000 ans d'existence, les pyramides sont devenues une sorte de symbole personnifiant le désir de l'homme d'atteindre le sommet de la connaissance.

5. Résumer la leçon.

Liste de la littérature utilisée.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A.V. Géométrie 10-11, maison d'édition Prosveshchenie.

3) Encyclopédie « Arbre de la connaissance » Marshall K.

Buts et objectifs de la leçon :

dériver des formules pour le volume d'une pyramide en utilisant la formule de base pour le volume des corps et le volume d'une pyramide tronquée.
systématiser connaissances théoriques sur le thème de la recherche du volume d'une pyramide.
développer l'habileté de trouver le volume d'une pyramide dont le sommet est projeté au centre d'un cercle inscrit ou circonscrit près de la base.
développer des compétences en matière de solutions tâches typiques sur l'application des formules pour le volume d'une pyramide et d'une pyramide tronquée.

Progression de la leçon

JE.Explicationnouveau matériel.

La preuve du théorème est réalisée à l'aide d'un projecteur multimédia

Démontrons le théorème : le volume de la pyramide estun tiers, le produit de l'aire de la base et de la hauteur.

Preuve:

Nous prouvons d'abord le théorème pour une pyramide triangulaire, puis pour une pyramide arbitraire.

1. Considérons une pyramide triangulaire OABC avec volume V, surface de base S et la hauteur h. Dessinons l'axe oh (OM 2- hauteur), considérez la section A1B1C1 pyramide avec un plan perpendiculaire à l'axe Oh et donc parallèle au plan de la base. Notons par X point d'abscisse M 1 intersection de ce plan avec l'axe des x, et passant par S(x)- surface transversale. Exprimons S(x)à travers S, h Et X. Noter que

En effet , ainsi, .

Triangles rectangles , sont également similaires (ils ont un point commun angle aigu avec dessus À PROPOS DE).

Postulons maintenant formule de base calculer les volumes des corps à un = 0, b =h nous obtenons

2. Démontrons maintenant le théorème d'une pyramide arbitraire de hauteur h et surface de base S. Une telle pyramide peut être divisée en pyramides triangulaires d'une hauteur totale h. Exprimons le volume de chaque pyramide triangulaire en utilisant la formule que nous avons prouvée et additionnons ces volumes. Bracketing multiplicateur commun, on obtient entre parenthèses la somme des bases des pyramides triangulaires, soit zone S des bases de la pyramide originale.

Le volume de la pyramide originale est donc . Le théorème a été prouvé.

II. résoudre des problèmes à l'aide de dessins prêts à l'emploi.

Tâche 1. (Fig. 3)

Donné:abcD- pyramide régulière AB = 3; AD= . Trouver: UN) Sbasique; b) JSC ; V) FAIRE g) V .

Tâche 2. (Fig. 4)

Donné:abcDF- pyramide régulière .

Tâche 3. (Fig.5)

Donné:abcDEKF- pyramide régulière

Trouver: UN) Sbasique ; b) V.

Tâche4. (fig.. 6)

Trouver: V.

La vérification des tâches est effectuée à l'aide d'un projecteur multimédia avec analyse détaillée solution étape par étape.

Tâche 1. (Fig. 3)

a) (la formule est utilisée pour calculer l'aire d'un triangle régulier)
AB = = 3, nous avons

b) (formule pour le rayon d'un cercle circonscrit utilisant le côté d'un triangle équilatéral) .

Tâche 2. (Fig. 4)

1) Considérons donc
– isocèle, OS = FO = 2.

Tâche 3. (Fig.5)

Tâche 4. (Fig. 6)

III. Vérification du résultat de la formule de calcul du volume d'une pyramide tronquée (le message de l'élève au tableau se fait à l'aide d'un projecteur multimédia)

Réponse de l'élève :

On considère le volume d'une pyramide tronquée comme la différence de volumes pyramide complète et celui qui en est coupé par un avion, parallèle à la base(Fig.1).

Remplaçons cette expression par X dans la première formule,

Travail sous forme de test, avec vérification via un projecteur multimédia.

1.B prisme incliné côte latérale est égal à 7 cm, la section perpendiculaire est un triangle rectangle avec des pattes : 4 cm et 3 cm Trouvez le volume du prisme.

a) 10 cm 3, b) 42 cm 3, c) 60 cm 3, d) 30 cm 3.

2. De la bonne manière pyramide hexagonale Le côté de sa base mesure 2 cm. Le volume de la pyramide est de 6 cm 3. Quelle est la hauteur ?

3. Le volume de la pyramide est de 56 cm 3, la surface de la base est de 14 cm 2. Quelle est la hauteur ?

a) 14 cm, b) 12 cm, c) 16 cm.

4. Dans une pyramide triangulaire régulière, la hauteur est de 5 cm, les côtés de la base sont de 3 cm. Quel est le volume de la pyramide ?

5. De la bonne manière pyramide quadrangulaire la hauteur est de 9 cm. Le côté de la base est de 4 cm. Trouvez le volume de la pyramide.

a) 50 cm 3, b) 48 cm 3, c) 16 cm 3.

6. Le volume d'une pyramide quadrangulaire régulière est de 27 cm 3 et la hauteur de 9 cm. Trouvez le côté de la base.

a) 12 cm, b) 9 cm, c) 3 cm.

7. Le volume d'une pyramide tronquée est de 210 cm 3, l'aire de la base inférieure est de 36 cm 2, la supérieure est de 9 cm 2. Trouvez la hauteur de la pyramide.

a) 1 cm, b) 15 cm, c) 10 cm.

8. Un prisme de taille égale et une pyramide quadrangulaire régulière ont hauteurs égales. Quel est le côté de la base de la pyramide si l'aire de la base du prisme est S ?

Tableau de réponses.

Tâche	1	2	3	4	5	6	7	8
Répondre	b	UN	b	UN	b	V	V	V

Devoirs : 1. Résoudre les problèmes n° 695v, n° 697, n° 690

2. Considérez tâches de base

Tâche 1.

Montrer que si les arêtes latérales de la pyramide sont égales (ou égales angles égaux avec le plan de la base), alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle décrit autour de la base.

Prouver que si angles dièdres si la base de la pyramide est égale (ou si les hauteurs des faces latérales tirées du sommet de la pyramide sont égales), alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle inscrit dans la base de la pyramide.

L'un des plus simples chiffres volumétriques est une pyramide triangulaire car elle est constituée de le plus petit nombre visages à partir desquels une figure peut être formée dans l’espace. Dans cet article, nous examinerons les formules qui peuvent être utilisées pour trouver le volume d'une pyramide triangulaire régulière.

Pyramide triangulaire

Selon définition générale une pyramide est un polygone dont tous les sommets sont reliés à un point non situé dans le plan de ce polygone. Si cette dernière est un triangle, alors la figure entière est appelée une pyramide triangulaire.

La pyramide en question se compose d'une base (triangle) et de trois faces latérales (triangles). Le point où trois sont connectés faces latérales, est appelé le sommet de la figure. La perpendiculaire depuis ce sommet jusqu'à la base est la hauteur de la pyramide. Si le point d'intersection de la perpendiculaire avec la base coïncide avec le point d'intersection des médianes du triangle à la base, alors on parle de pyramide régulière. Sinon, ce sera incliné.

Comme indiqué, la base d'une pyramide triangulaire peut être un triangle type général. Cependant, si elle est équilatérale et que la pyramide elle-même est droite, alors on parle d'une figure tridimensionnelle régulière.

Toute pyramide triangulaire possède 4 faces, 6 arêtes et 4 sommets. Si les longueurs de toutes les arêtes sont égales, alors une telle figure est appelée un tétraèdre.

type général

Avant d’écrire une pyramide triangulaire régulière, donnons l’expression de ceci grandeur physique pour une pyramide de type général. Cette expression ressemble à :

Ici S o est l'aire de la base, h est la hauteur de la figure. Cette égalité sera valable pour tout type de base de polygone pyramidal, ainsi que pour un cône. Si à la base il y a un triangle avec une longueur de côté a et une hauteur h o abaissée dessus, alors la formule du volume s'écrira comme suit :

Formules pour le volume d'une pyramide triangulaire régulière

Une pyramide triangulaire régulière a triangle équilatéralà la base. On sait que la hauteur de ce triangle est liée à la longueur de son côté par l'égalité :

En substituant cette expression dans la formule du volume d'une pyramide triangulaire écrite au paragraphe précédent, on obtient :

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Volume d'une pyramide régulière avec base triangulaire est fonction de la longueur du côté de la base et de la hauteur de la figure.

Puisque tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle dont le rayon déterminera de manière unique la longueur du côté du polygone, alors cette formule peut s'écrire par le rayon r correspondant :

Cette formule peut être facilement obtenue à partir de la précédente, si l'on tient compte du fait que le rayon r du cercle circonscrit passant par la longueur du côté a du triangle est déterminé par l'expression :

Problème de détermination du volume d'un tétraèdre

Nous allons vous montrer comment utiliser les formules ci-dessus pour résoudre tâches spécifiques géométrie.

On sait qu'un tétraèdre a une longueur d'arête de 7 cm. Trouvez le volume d'une pyramide-tétraèdre triangulaire régulière.

Rappelons qu'un tétraèdre est régulier dans lequel toutes les bases sont égales entre elles. Pour utiliser la formule du volume triangulaire, vous devez calculer deux quantités :

longueur du côté du triangle ;
hauteur de la figure.

La première quantité est connue à partir de l’énoncé du problème :

Pour déterminer la hauteur, considérez le chiffre indiqué sur la figure.

Marqué triangle ABC est rectangulaire, où l’angle ABC est de 90°. Le côté AC est l'hypoténuse et sa longueur est a. En utilisant un raisonnement géométrique simple, nous pouvons montrer que le côté BC a la longueur :

Notez que la longueur BC est le rayon du cercle circonscrit au triangle.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2/3) = a*√(2/3).

Maintenant, vous pouvez remplacer h et a par formule correspondante pour le volume :

V = √3/12*une 2 *une*√(2/3) = √2/12*une 3 .

Ainsi, nous avons obtenu la formule du volume d'un tétraèdre. On voit que le volume dépend uniquement de la longueur du bord. Si nous remplaçons la valeur de la condition problématique dans l’expression, nous obtenons la réponse :

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm3.

Si l’on compare cette valeur avec le volume d’un cube ayant la même arête, on constate que le volume du tétraèdre est 8,5 fois inférieur. Cela indique que le tétraèdre est une figure compacte, réalisée dans certains substances naturelles. Par exemple, la molécule de méthane a une forme tétraédrique et chaque atome de carbone du diamant est connecté à quatre autres atomes pour former un tétraèdre.

Problème de pyramide homothétique

Résolvons un curieux problème géométrique. Supposons qu'il existe une pyramide triangulaire régulière d'un certain volume V 1. Combien de fois faut-il réduire la taille de cette figure pour obtenir une pyramide homothétique avec un volume trois fois plus petit que l'originale ?

Commençons par résoudre le problème en écrivant la formule de la pyramide régulière originale :

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Supposons que le volume de la figure requis par les conditions du problème soit obtenu en multipliant ses paramètres par le coefficient k. Nous avons:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Puisque le rapport des volumes des figures est connu à partir de la condition, on obtient la valeur du coefficient k :

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

A noter qu'on obtiendrait une valeur similaire pour le coefficient k pour la pyramide type arbitraire, et pas seulement pour les triangulaires réguliers.

L'une des figures tridimensionnelles les plus simples est la pyramide triangulaire, car elle se compose du plus petit nombre de faces à partir desquelles une figure peut être formée dans l'espace. Dans cet article, nous examinerons les formules qui peuvent être utilisées pour trouver le volume d'une pyramide triangulaire régulière.

Pyramide triangulaire

Selon la définition générale, une pyramide est un polygone dont tous les sommets sont reliés à un point qui n'est pas situé dans le plan de ce polygone. Si cette dernière est un triangle, alors la figure entière est appelée une pyramide triangulaire.

La pyramide en question se compose d'une base (triangle) et de trois faces latérales (triangles). Le point auquel les trois faces latérales sont reliées est appelé le sommet de la figure. La perpendiculaire depuis ce sommet jusqu'à la base est la hauteur de la pyramide. Si le point d'intersection de la perpendiculaire avec la base coïncide avec le point d'intersection des médianes du triangle à la base, alors on parle de pyramide régulière. Sinon, ce sera incliné.

Comme indiqué, la base d’une pyramide triangulaire peut être un type général de triangle. Cependant, si elle est équilatérale et que la pyramide elle-même est droite, alors on parle d'une figure tridimensionnelle régulière.

Toute pyramide triangulaire possède 4 faces, 6 arêtes et 4 sommets. Si les longueurs de toutes les arêtes sont égales, alors une telle figure est appelée un tétraèdre.

Volume d'une pyramide triangulaire générale

Avant d'écrire la formule du volume d'une pyramide triangulaire régulière, donnons une expression de cette grandeur physique pour une pyramide de type général. Cette expression ressemble à :

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V = 1/6*a*h o *h.

Formules pour le volume d'une pyramide triangulaire régulière

Une pyramide triangulaire régulière a un triangle équilatéral à la base. On sait que la hauteur de ce triangle est liée à la longueur de son côté par l'égalité :

En substituant cette expression dans la formule du volume d'une pyramide triangulaire écrite au paragraphe précédent, on obtient :

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Le volume d’une pyramide régulière à base triangulaire est fonction de la longueur du côté de la base et de la hauteur de la figure.

Puisque tout polygone régulier peut être inscrit dans un cercle dont le rayon déterminera de manière unique la longueur du côté du polygone, alors cette formule peut être écrite en termes de rayon r correspondant :

V = √3/4*h*r2 .

Problème de détermination du volume d'un tétraèdre

Nous montrerons comment utiliser les formules ci-dessus pour résoudre des problèmes de géométrie spécifiques.

On sait qu'un tétraèdre a une longueur d'arête de 7 cm. Trouvez le volume d'une pyramide-tétraèdre triangulaire régulière.

Rappelons qu'un tétraèdre est une pyramide triangulaire régulière dans laquelle toutes les bases sont égales les unes aux autres. Pour utiliser la formule du volume d'une pyramide triangulaire régulière, vous devez calculer deux quantités :

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longueur du côté du triangle ;
hauteur de la figure.

La première quantité est connue à partir de l’énoncé du problème :

Pour déterminer la hauteur, considérez le chiffre indiqué sur la figure.

Le triangle ABC est un triangle rectangle dont l'angle ABC est de 90°. Le côté AC est l'hypoténuse et sa longueur est a. En utilisant un raisonnement géométrique simple, nous pouvons montrer que le côté BC a la longueur :

Notez que la longueur BC est le rayon du cercle circonscrit au triangle.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2/3) = a*√(2/3).

Vous pouvez maintenant remplacer h et a dans la formule de volume correspondante :

V = √3/12*une 2 *une*√(2/3) = √2/12*une 3 .

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm3.

Si l’on compare cette valeur avec le volume d’un cube ayant la même arête, on constate que le volume du tétraèdre est 8,5 fois inférieur. Cela indique que le tétraèdre est une figure compacte présente dans certaines substances naturelles. Par exemple, la molécule de méthane a une forme tétraédrique et chaque atome de carbone du diamant est connecté à quatre autres atomes pour former un tétraèdre.

Problème de pyramide homothétique

Nous examinerons ici des exemples liés à la notion de volume. Pour résoudre de tels problèmes, vous devez connaître la formule du volume d'une pyramide :

h – hauteur de la pyramide

La base peut être n'importe quel polygone. Mais dans la plupart des problèmes Dans l'examen d'État unifié, en règle générale, les conditions concernent des pyramides régulières. Permettez-moi de vous rappeler une de ses propriétés :

Le sommet d'une pyramide régulière est projeté au centre de sa base

Regardez la projection des pyramides régulières triangulaires, quadrangulaires et hexagonales (VUE DE DESSUS) :

Vous pouvez le faire sur le blog, où les problèmes liés à la recherche du volume d'une pyramide ont été discutés.Considérons les tâches :

27087. Trouvez le volume d'une pyramide triangulaire régulière dont les côtés de la base sont égaux à 1 et dont la hauteur est égale à la racine de trois.

S– aire de la base de la pyramide

h– hauteur de la pyramide

Trouvons l'aire de la base de la pyramide, c'est triangle régulier. Utilisons la formule - l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit des côtés adjacents et du sinus de l'angle qui les sépare, ce qui signifie :

Réponse : 0,25

27088. Trouver la hauteur d'une pyramide triangulaire régulière dont les côtés de la base sont égaux à 2 et dont le volume est égal à la racine sur trois.

Des concepts tels que la hauteur d'une pyramide et les caractéristiques de sa base sont liés par la formule du volume :

S– aire de la base de la pyramide

h– hauteur de la pyramide

Nous connaissons le volume lui-même, nous pouvons trouver l'aire de la base, puisque nous connaissons les côtés du triangle, qui est la base. Connaissant les valeurs indiquées, on peut facilement trouver la hauteur.

Pour trouver l'aire de la base, nous utilisons la formule - l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit des côtés adjacents et du sinus de l'angle entre eux, ce qui signifie :

Ainsi, en substituant ces valeurs dans la formule de volume, on peut calculer la hauteur de la pyramide :

La hauteur est de trois.

Réponse : 3

27109. Dans une pyramide quadrangulaire régulière, la hauteur est de 6 et le bord latéral est de 10. Trouvez son volume.

Le volume de la pyramide est calculé par la formule :

S– aire de la base de la pyramide

h– hauteur de la pyramide

Nous connaissons la hauteur. Vous devez trouver l'aire de la base. Permettez-moi de vous rappeler que le sommet d'une pyramide régulière est projeté au centre de sa base. La base d’une pyramide quadrangulaire régulière est un carré. On peut trouver sa diagonale. Considérons un triangle rectangle (surligné en bleu) :

Le segment reliant le centre du carré au point B est la jambe, qui égal à la moitié diagonales d'un carré. Nous pouvons calculer cette jambe en utilisant le théorème de Pythagore :

Cela signifie BD = 16. Calculons l'aire du carré en utilisant la formule de l'aire d'un quadrilatère :

Ainsi:

Le volume de la pyramide est donc :

Réponse : 256

27178. Dans une pyramide quadrangulaire régulière, la hauteur est de 12 et le volume est de 200. Trouvez le bord latéral de cette pyramide.

La hauteur de la pyramide et son volume sont connus, ce qui permet de trouver l'aire du carré qui constitue la base. Connaissant l'aire d'un carré, on peut trouver sa diagonale. Ensuite, en considérant un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore, nous calculons le bord latéral :

Trouvons l'aire du carré (base de la pyramide) :

Calculons la diagonale du carré. Puisque son aire est de 50, le côté sera égal à la racine de cinquante et selon le théorème de Pythagore :

Le point O divise la diagonale BD en deux, ce qui signifie la jambe triangle rectangle OB = 5.

Ainsi, on peut calculer à quoi est égal le bord latéral de la pyramide :

Réponse : 13

245353. Trouvez le volume de la pyramide indiqué sur la figure. Sa base est un polygone dont les côtés adjacents sont perpendiculaires, et l'une des arêtes latérales est perpendiculaire au plan de la base et égale à 3.

Comme cela a été dit à plusieurs reprises, le volume de la pyramide est calculé par la formule :

S– aire de la base de la pyramide

h– hauteur de la pyramide

Le bord latéral perpendiculaire à la base est égal à trois, ce qui signifie que la hauteur de la pyramide est trois. La base de la pyramide est un polygone dont l'aire est égale à :

Ainsi: