Date de parution : 2016-03-23

Brève description : ...

EXEMPLES DE RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS À L'AIDE DE QUELQUES TECHNIQUES ORIGINALES.

1
. Résoudre des équations irrationnelles.

1.1.1 Résoudre l'équation .

Notez que les signes de x sous le radical sont différents. Introduisons la notation

, .

Alors,

Effectuons l'addition terme par terme des deux côtés de l'équation.

Et nous avons un système d'équations

Parce que a + b = 4, alors

Donc : 9 – x = 8  x = 1. Réponse : x = 1.

1.1.2. Résoudre l'équation .

Introduisons la notation suivante : , ; , .

Moyens:

En additionnant les côtés gauche et droit des équations terme par terme, nous obtenons .

Et nous avons un système d'équations

une + b = 2, , , ,

Revenons au système d'équations :

, .

Après avoir résolu l'équation de (ab), nous avons ab = 9, ab = -1 (-1 racine étrangère, parce que , .).

Ce système n’a pas de solution, ce qui signifie que l’équation d’origine n’a pas non plus de solution.

Réponse : aucune solution.

Introduisons la notation , où . Alors , .

, ,

Considérons trois cas :

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 = 1, a - 1 - a + 2 = 1, a - 1 + a - 2 = 1, a = 1, 1  [ 0;1). [ 1 ; 2). une = 2.

Solution : [ 1 ; 2].

Si , Que , , .

Répondre: .

1.2. Méthode d'estimation des côtés gauche et droit (méthode majorant).

La méthode majorante est une méthode permettant de trouver la limite d’une fonction.

Majorisation – trouver les points limites d'une fonction. M – majorante.

Si on a f(x) = g(x) et que l'ODZ est connue, et si

, , Que

ODZ : .

Considérons côté droitéquations

Présentons la fonction. Le graphe est une parabole de sommet A(3; 2).

Naï valeur inférieure fonction y(3) = 2, c'est-à-dire.

Regardons le côté gauche de l'équation.

Présentons la fonction. En utilisant la dérivée, il n'est pas difficile de trouver le maximum d'une fonction dérivable sur x  (2 ; 4).

À ,

X=3.

G' + -

2 3 4

g(3) = 2.

Nous avons .

En conséquence, alors

Créons un système d'équations basé sur les conditions ci-dessus :

En résolvant la première équation du système, nous avons x = 3. En substituant cette valeur dans la deuxième équation, nous sommes convaincus que x = 3 est une solution du système.

Réponse : x = 3.

1.3. Application de la fonction monotonie.

1.3.1. Résolvez l'équation :

À propos de DZ : , parce que  .

On sait que la somme des fonctions croissantes est une fonction croissante.

Côté gauche est une fonction croissante. Le côté droit est une fonction linéaire (k=0). L'interprétation graphique suggère qu'il n'y a qu'une seule racine. Trouvons-le par sélection, nous avons x = 1.

Preuve:

Supposons qu'il existe une racine x 1 supérieure à 1, alors

Parce que x1 >1,

Nous concluons qu’il n’y a pas de racines supérieures à un.

De même, on peut prouver qu’il n’y a pas de racines inférieures à un.

Cela signifie que x=1 est la seule racine.

Réponse : x = 1.

1.3.2. Résolvez l'équation :

À propos de DZ : [ 0,5 ; + ), car

ceux. .

Transformons l'équation, Le côté gauche est une fonction croissante (produit de fonctions croissantes), le côté droit est une fonction linéaire (k = 0). Interprétation géométrique

montre que l'équation originale doit avoir une racine unique, qui peut être trouvée par sélection, x = 7.

Examen:

Il peut être prouvé qu’il n’y a pas d’autres racines (voir exemple ci-dessus).

Réponse : x = 7.

Méthode d'estimation des côtés gauche et droit. 2 2.1.1. Résoudre l'équation : log 2 (2x - x 2 + 15) = x

- 2x + 5.

Donnons une estimation pour le côté gauche de l’équation.

2x - x 2 + 15 = - (x 2 - 2x - 15) = - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) = - (x - 1) 2 + 16  16.

Connectez-vous ensuite 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Estimons le côté droit de l'équation.

x 2 - 2x + 5 = (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1) 2 + 4  4.

L’équation originale ne peut avoir de solution que si les deux côtés sont égaux à quatre.

Moyens

Réponse : x = 1. Pour.

2.1.2. travail indépendant

2.1.3. log 4 (6x - x 2 + 7) = x 2 - 6x + 11 Réponse : x = 3.

2.1.4. log 5 (8x - x 2 + 9) = x 2 - 8x + 18 Réponse : x = 6.

2.1.5. log 4 (2x - x 2 + 3) = x 2 - 2x + 2 Réponse : x = 1.

log 2 (6x - x 2 - 5) = x 2 - 6x + 11 Réponse : x = 3.

2.2. Utiliser la monotonie d'une fonction, sélectionner des racines. 2 2.2.1. Résoudre l'équation : log 2 (2x - x 2 + 15) = x

(2x - x

Faisons le remplacement 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Alors x 2 - 2x + 5 = 20 - t, ce qui signifie

journal 2 t = 20 - t .

La fonction y = log 2 t est croissante et la fonction y = 20 - t est décroissante. L’interprétation géométrique nous montre clairement que l’équation originale a une racine unique, facile à trouver en sélectionnant t = 16.

Après avoir résolu l'équation 2x - x 2 + 15 = 16, nous trouvons que x = 1.

Moyens

En vérifiant, nous nous assurons que la valeur sélectionnée est correcte.

2.3. Quelques équations logarithmiques « intéressantes ». .

2.3.1. Résoudre l'équation

ODZ : (x - 15) cosx > 0.

, , ,

Passons à l'équation

Passons à l'équation équivalente

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, ou cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 ou cos x = -1, x = 2

 k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Vérifions les valeurs trouvées en les remplaçant dans l'ODZ.

1) si x = 15, alors (15 - 15) cos 15 > 0,

x = 15 n'est pas une racine de l'équation.

2) si x = 2  k, k Z, alors (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, notez que 15  5 . Nous avons

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5,… .

3) si x =  + 2 l, l Z, alors ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2 l< 15,

2l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Nous avons : l< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Réponse : x = 2  k (k = 3,4,5,6,...) ; x =  +2 1(1 = 1,0, -1,- 2,…).

3. Équations trigonométriques.

3.1. Une méthode pour estimer les côtés gauche et droit d’une équation.

4.1.1. Résolvez l'équation cos3x cos2x = -1.

Première façon..

0,5 (cos x+ parce que 5 x) = -1,cos x+ parce que 5 x = -2.

Depuis parce que x - 1, cos 5 x - 1, on conclut que cos x+ parce que 5 x> -2, à partir d'ici

suit un système d'équations

c os x = -1,

parce que 5 x = - 1.

Après avoir résolu l'équation cos x= -1, on obtient X=  + 2 k, où k Z.

Ces valeurs X sont aussi des solutions équations du cos 5x= -1, car

parce que 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Ainsi, X=  + 2 k, où k Z, sont toutes les solutions du système, et donc équation originale.

Répondre: X=  (2k + 1), kZ.

Deuxième façon.

On peut montrer que l’équation originale implique un ensemble de systèmes

parce que 2 x = - 1,

parce que 3 x = 1.

parce que 2 x = 1,

parce que 3 x = - 1.

Après avoir résolu chaque système d’équations, nous trouvons l’union des racines.

Réponse : x = (2  k + 1), k Z.

Pour un travail indépendant.

Résolvez les équations :

3.1.2. 2 pour 3x + 4 sin x/2 = 7. Réponse : pas de solutions.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 péché x/2 = -8. Réponse : aucune solution.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Réponse : x = 2 k, k Z.

3.1.5. péché x péché 3 x = -1. Réponse : x = /2 +  k, k Z.

3.1.6. parce que 8 x + péché 7 x = 1. Réponse : x = m, m Z ; X = /2 + 2  n, n Z.

De vrais chiffres. Approximation de nombres réels par fractions décimales finies.

Nombre réel ou réel - abstraction mathématique, né de la nécessité de mesurer les dimensions géométriques et grandeurs physiques le monde environnant, ainsi qu'effectuer des opérations telles que l'extraction de racines, le calcul de logarithmes, la résolution équations algébriques. Si nombres naturels sont apparus au cours du processus de comptage, rationnels - de la nécessité d'opérer avec des parties d'un tout, alors les nombres réels sont destinés à mesurer quantités continues. Ainsi, l'expansion du stock de nombres considéré a conduit à un ensemble de nombres réels qui, en plus des nombres rationnels, comprennent également d'autres éléments appelés nombres irrationnels .

L'erreur absolue et sa limite.

Supposons qu'il y ait une valeur numérique, et valeur numérique, qui lui est attribué, est considéré comme exact, alors sous erreur de valeur approximative valeur numérique (erreur) comprendre la différence entre la valeur exacte et approximative d'une valeur numérique : . L'erreur peut être positive ou valeur négative. La quantité s'appelle approximation connueà la valeur exacte d'une quantité numérique - tout nombre utilisé à la place valeur exacte. La mesure quantitative d’erreur la plus simple est l’erreur absolue. Erreur absolue une valeur approximative est une grandeur dont on sait que : L'erreur relative et sa limite.

La qualité de l'approximation dépend fortement des unités de mesure et des échelles de grandeurs acceptées, il est donc conseillé de corréler l'erreur d'une grandeur et sa valeur, pour laquelle la notion d'erreur relative est introduite. Erreur relative une valeur approximative est une quantité dont on sait que : . L'erreur relative est souvent exprimée en pourcentage. Usage erreurs relatives pratiques, notamment parce qu'ils ne dépendent pas de l'échelle des quantités et des unités de mesure.

Équations irrationnelles

Les équations qui contiennent une variable sous le signe racine sont dites irrationnelles. Lors de la résolution d'équations irrationnelles, les solutions obtenues nécessitent une vérification, car, par exemple, une égalité incorrecte lors de la mise au carré peut donner une égalité correcte. En fait, une égalité incorrecte au carré donne l'égalité correcte 1 2 = (-1) 2, 1=1. Parfois, il est plus pratique de résoudre des équations irrationnelles en utilisant des transitions équivalentes.

Mettons au carré les deux côtés de cette équation ; Après transformations nous arrivons à une équation quadratique ; et remplaçons.

Nombres complexes. Opérations sur les nombres complexes.

Les nombres complexes sont une extension de l'ensemble des nombres réels, généralement désignés par . Tout nombre complexe peut être représenté comme une somme formelle x + je, Où x Et oui- des nombres réels, je - unité imaginaire Les nombres complexes forment un corps algébriquement fermé - cela signifie qu'un polynôme de degré nà coefficients complexes a exactement n racines complexes, c'est-à-dire que le théorème fondamental de l'algèbre est vrai. C’est l’une des principales raisons de son utilisation généralisée nombres complexes V recherche mathématique. De plus, l'utilisation de nombres complexes nous permet de formuler de manière pratique et compacte de nombreux modèles mathématiques, utilisé dans physique mathématique et dans sciences naturelles- génie électrique, hydrodynamique, cartographie, mécanique quantique, théorie des oscillations et bien d'autres.

Comparaison un + bi = c + di signifie que un = c Et b = d(deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales).

Ajout ( un + bi) + (c + di) = (un + c) + (b + d) je .

Soustraction ( un + bi) − (c + di) = (un − c) + (b − d) je .

Multiplication

Fonction numérique. Méthodes de spécification d'une fonction

En mathématiques fonction numérique est une fonction dont les domaines de définition et de valeurs sont des sous-ensembles ensembles de nombres- généralement un ensemble de nombres réels ou un ensemble de nombres complexes.

Verbal : Avec langage naturel Igrek est égal à partie entière de x. Analytique : utilisation formule analytique f (x) = x !

Graphique Utiliser un graphique Fragment de graphique d'une fonction.

Tabulaire : Utiliser un tableau de valeurs

Propriétés de base d'une fonction

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions . Domaine de fonction x(variable x), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé.

Plage de fonctions oui, ce que la fonction accepte. DANS mathématiques élémentaires les fonctions ne sont étudiées que sur l’ensemble des nombres réels.2 ) Fonction zéro) Monotonie de la fonction . Fonction croissante Fonction décroissante . Même fonction X f(-x) = f(x). Fonction étrange- une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X f (-x) = - f (x. La fonction s'appelle limité illimité .7) Périodicité de la fonction. Fonction f(x) - périodique période de la fonction

Graphiques de fonctions. Les transformations les plus simples de graphiques utilisant la fonction

Graphique d'une fonction- un ensemble de points dont les abscisses sont valeurs acceptables argument x, et les ordonnées sont les valeurs correspondantes de la fonction oui .

Ligne droite- calendrier fonction linéaire y = hache + b. La fonction y augmente de manière monotone pour a > 0 et diminue pour a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabole- graphique de fonction trinôme quadratique y = hache 2 + bx + c. A axe vertical symétrie. Si a > 0, a un minimum si a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего équation quadratique hache 2 + bx +c =0

Hyperbole- graphique de la fonction. Quand a > O il se situe dans les quartiers I et III, quand a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ou y - x (a< 0).

Fonction logarithmique y = log a x(a > 0)

Fonctions trigonométriques. Lors de la construction de fonctions trigonométriques, nous utilisons radian mesure des angles. Alors la fonction oui= péché x est représenté par un graphique (Fig. 19). Cette courbe est appelée sinusoïde .

Graphique d'une fonction oui=cos x montré sur la fig. 20 ; c'est aussi une onde sinusoïdale résultant du déplacement du graphique oui= péché x le long de l'axe X laissé à /2.

Propriétés de base des fonctions. Monotonie, régularité, bizarrerie, périodicité des fonctions.

Domaine de fonction et domaine de fonction . Domaine de fonction est l'ensemble de toutes les valeurs valides valides de l'argument x(variable x), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé.

Plage de fonctions est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.2 ) Fonction zéro- la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est nulle.3 ) Intervalles de signe constant d'une fonction- de tels ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de fonction ne sont que positives ou uniquement négatives.4 ) Monotonie de la fonction .

Fonction croissante(dans un certain intervalle) - une fonction pour laquelle valeur plus élevée l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus grande de la fonction.

Fonction décroissante(dans un certain intervalle) - une fonction pour laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.5 ) Fonction paire (impaire) . Même fonction- une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x). Calendrier même fonction symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Fonction étrange- une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f (-x) = - f (x). Calendrier fonction étrange symétrique par rapport à l'origine.6 ) Fonctions limitées et illimitées. La fonction s'appelle limité, s'il existe un nombre positif M tel que |f (x) | ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimité .7) Périodicité de la fonction. Fonction f(x) - périodique, s'il existe un nombre non nul T tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f (x+T) = f (x). Ce le plus petit nombre appelé période de la fonction. Tous fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

Fonctions périodiques. Règles pour trouver la période principale d'une fonction.

Fonction périodique- une fonction qui répète ses valeurs après une période non nulle, c'est-à-dire qu'elle ne change pas de valeur lorsqu'un nombre fixe non nul (point) est ajouté à l'argument. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. Sont infidèles déclarations concernant le montant fonctions périodiques: Somme de 2 fonctions à périodes comparables (voire basiques) T 1 et T 2 est une fonction avec période LCM ( T 1 ,T 2). Montant 2 fonctions continues avec des périodes incommensurables (voire fondamentales) est une fonction non périodique. Il n'y a pas de fonctions périodiques égal à une constante, dont les périodes sont des nombres incommensurables.

Tracer des graphiques de fonctions de puissance.

Fonction de puissance. Voici la fonction : y = axn, Où un- permanent. À n= 1 on obtient proportionnalité directe : oui =hache; à n = 2 - parabole carrée ; à n = 1 - proportionnalité inverse ou hyperbole. Ces fonctions sont donc des cas particuliers de la fonction puissance. Nous savons que la puissance nulle de tout nombre autre que zéro est 1, donc lorsque n = 0 fonction de puissance se transforme en valeur constante: oui =un, c'est-à-dire son graphique est une droite parallèle à l'axe X, à l'exclusion de l'origine (veuillez expliquer pourquoi ?). Tous ces cas (avec un= 1) sont illustrés à la Fig. 13 ( n 0) et la figure 14 ( n < 0). Отрицательные значения x ne sont pas abordées ici, puisque certaines fonctions :

Fonction inverse

Fonction inverse- une fonction qui inverse la dépendance exprimée par cette fonction. Une fonction est inverse d'une fonction si les identités suivantes sont satisfaites : pour tout pour tout le monde

Limite d'une fonction en un point. Propriétés de base de la limite.

La nième racine et ses propriétés.

La racine nième d'un nombre est un nombre dont la puissance nième est égale à a.

Définition: Racine arithmétique La nième puissance du nombre a est appelée nombre non négatif, dont le nième degré est égal à a.

Propriétés de base des racines :

Une puissance avec un exposant réel arbitraire et ses propriétés.

Soit un nombre positif et un nombre réel arbitraire. Le nombre s’appelle la puissance, le nombre est la base de la puissance et le nombre est l’exposant.

Par définition, ils croient :

Si et - nombres positifs, et - n'importe quel nombres réels, alors ils sont justes propriétés suivantes:

Fonction puissance, ses propriétés et graphiques

Fonction d'alimentation variable complexe f (z) = z n avec un exposant entier est déterminé en utilisant la continuation analytique d'une fonction similaire de l'argument réel. À cette fin, la forme exponentielle d’écriture des nombres complexes est utilisée. une fonction puissance à exposant entier est analytique dans tout le plan complexe, comme le produit nombre fini instances de cartographie d'identité f (z) = z. Selon le théorème d’unicité, ces deux critères suffisent pour l’unicité de la suite analytique résultante. En utilisant cette définition, nous pouvons immédiatement conclure que la fonction puissance d'une variable complexe présente des différences significatives par rapport à son homologue réelle.

Ceci est fonction de la forme , . Les cas suivants sont considérés :

UN). Si, alors. Alors , ; si le nombre est pair, alors la fonction est paire (c'est-à-dire devant tout le monde); si le nombre est impair, alors la fonction est impaire (c'est-à-dire devant tout le monde).

Fonction exponentielle, ses propriétés et graphiques

Fonction exponentielle - fonction mathématique.

Dans le cas réel, la base du diplôme est une certaine valeur non négative nombre réel, et l'argument de la fonction est un véritable exposant.

Théoriquement fonctions complexes d'autres sont à l'étude cas général, lorsque l'argument et l'exposant peuvent être un nombre complexe arbitraire.

Dans le très vue générale - tu v, introduit par Leibniz en 1695

Il convient particulièrement de noter le cas où le nombre e sert de base au diplôme. Une telle fonction est appelée exponentielle (réelle ou complexe).

Propriétés ; ; .

Équations exponentielles.

Passons directement aux équations exponentielles. Afin de décider équation exponentielle il faut utiliser le théorème suivant : Si les puissances sont égales et les bases sont égales, positives et différentes de un, alors leurs exposants sont égaux. Démontrons ce théorème : Soit a>1 et a x =a y.

Montrons que dans ce cas x=y. Supposons le contraire de ce qui doit être prouvé, c'est-à-dire supposons que x>y ou que x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ouais. Ces deux résultats contredisent les conditions du théorème. Par conséquent, x = y, c’est ce qui devait être prouvé.

Le théorème est également prouvé pour le cas où 0 0 et a≠1.

Inégalités exponentielles

Inégalités de forme (ou moins) à une(x) >0 et sont résolus en fonction des propriétés de la fonction exponentielle : pour 0 < а (х) < 1 en comparant f(x) Et g(x) le signe de l'inégalité change, et quand une(x) > 1- est sauvegardé. Le cas le plus difficile hache)< 0 . Nous ne pouvons ici donner qu'une indication générale : déterminer à quelles valeurs X indicateurs f(x) Et g(x) seront des entiers, et choisissez parmi eux ceux qui satisfont à la condition. Enfin, si l’inégalité initiale est vraie pour une(x) = 0 ou une(x) = 1(par exemple, lorsque les inégalités ne sont pas strictes), alors ces cas doivent également être pris en compte.

Logarithmes et leurs propriétés

Logarithme d'un nombre b basé sur un (du grec λόγος - « mot », « relation » et ἀριθμός - « nombre ») est défini comme un indicateur de la puissance à laquelle la base doit être élevée. un pour obtenir le numéro b. Désignation: . De la définition, il résulte que les enregistrements et sont équivalents. Exemple : , parce que . Propriétés

Identité logarithmique de base :

Fonction logarithmique, ses propriétés et graphiques.

Une fonction logarithmique est une fonction de la forme f (x) = journal un x, défini à

Portée:

Le graphique de toute fonction logarithmique passe par le point (1 ; 0)

La dérivée de la fonction logarithmique est :

Équations logarithmiques

Une équation contenant une variable sous le signe du logarithme est dite logarithmique. L'exemple le plus simple d'une équation logarithmique est l'équation log a x = b (où a > 0, a 1). Sa décision x = un b .

Résoudre des équations basées sur la définition du logarithme, telles que l'équation. log a x = b (a > 0, a 1) a une solution x = un b .

Méthode de potentialisation. Par potentialisation, nous entendons le passage d'une égalité contenant des logarithmes à une égalité n'en contenant pas :

Si log a f (x) = log a g (x), Que f(x) = g(x), f(x)>0 ,g(x)>0 ,une > 0 , un 1 .

Méthode pour réduire une équation logarithmique à une équation quadratique.

Méthode pour prendre les logarithmes des deux côtés d’une équation.

Une méthode pour réduire les logarithmes à la même base.

Inégalités logarithmiques.

Une inégalité contenant une variable uniquement sous le signe logarithmique est dite logarithmique : log a f (x) > log a g (x).

Lors de la résolution d'inégalités logarithmiques, il convient de prendre en compte les propriétés générales des inégalités, la propriété de monotonie de la fonction logarithmique et le domaine de sa définition. Inégalité log a f (x) > log a g (x)équivalent au système f (x) > g (x) > 0 pour a > 1 et le système 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Mesure radian des angles et des arcs. Sinus, cosinus, tangente, cotangente.

Mesure du degré. Ici, l'unité de mesure est degré ( désignation ) - Il s'agit de la rotation du faisceau de 1/360 d'un tour complet. Ainsi, la rotation complète du faisceau est de 360. Un diplôme est composé de 60 minutes ( leur désignation’); une minute - respectivement sur 60 secondes ( sont indiqués par « ).

Mesure des radians. Comme on le sait grâce à la planimétrie (voir le paragraphe « Longueur de l'arc » dans la section « Localisation géométrique des points. Cercle et cercle »), la longueur de l'arc je, rayon r et l'angle au centre correspondant sont liés par : =l/r.

Cette formule est à la base de la définition de la mesure des angles en radian. Alors, si je = r, alors = 1, et on dit que l'angle est égal à 1 radian, ce qui est noté : = 1 content. Ainsi, nous avons la définition suivante de l’unité de mesure radian :

Le radian est l'angle central dont la longueur et le rayon de l'arc sont égaux(UN m B = AO, fig.1). Donc, La mesure en radian d'un angle est le rapport entre la longueur d'un arc tracé avec un rayon arbitraire et enfermé entre les côtés de cet angle et le rayon de l'arc.

Les fonctions trigonométriques des angles aigus peuvent être définies comme le rapport des longueurs des côtés d'un triangle rectangle.

Sinus:

Cosinus:

Tangente:

Cotangente:

Fonctions trigonométriques de l'argument numérique

Définition .

Le sinus de x est le nombre égal au sinus de l'angle en x radians. Le cosinus d'un nombre x est le nombre égal au cosinus de l'angle en x radians .

D'autres fonctions trigonométriques d'un argument numérique sont définies de la même manière X .

Formules fantômes.

Formules d'addition. Formules pour arguments doubles et demi.

Double.

( ; .

Fonctions trigonométriques et leurs graphiques. Propriétés de base des fonctions trigonométriques.

Fonctions trigonométriques- type de fonctions élémentaires. Ils comprennent généralement sinus (péché x), cosinus (parce que x), tangente (tgx), cotangente (ctg x), Les fonctions trigonométriques sont généralement définies géométriquement, mais elles peuvent être définies analytiquement à travers des sommes de séries ou comme solutions de certaines équations différentielles, ce qui permet d'étendre le champ de définition de ces fonctions aux nombres complexes.

Fonction y sinx ses propriétés et son graphique

Propriétés:

2. E (y) = [-1 ; 1].

3. La fonction y = sinx est impaire, puisque par définition du sinus d'un angle trigonométrique péché(- x)= - y/R = - péché, où R est le rayon du cercle, y est l'ordonnée du point (Fig.).

4. T = 2l - la plus petite période positive. Vraiment,

péché(x+p) = péchéx.

avec axe Ox : péché= 0 ; x = pn, nОZ ;

avec l'axe Oy : si x = 0, alors y = 0,6. Intervalles de constance des signes :

sinx > 0, si xО (2pn ; p + 2pn), nОZ ;

péché< 0 , si xО (p + 2pn ; 2p+pn), nОZ.

Signes sinusoïdaux en quarts

y > 0 pour les angles a du premier et du deuxième quartier.

à< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Intervalles de monotonie :

y = péché augmente sur chacun des intervalles [-p/2 + 2pn ; p/2 + 2pn],

nÎz et diminue sur chacun des intervalles , nÎz.

8. Points extremum et extremum de la fonction :

xmax= p/2 + 2pn, nÎz; oui maximum = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nÎz; ymin = - 1.

Propriétés de la fonction y = cosx et son emploi du temps :

Propriétés:

2. E (y) = [-1 ; 1].

3. Fonction y = cosx- même, puisque par définition du cosinus d'un angle trigonométrique cos (-a) = x/R = cosa sur un cercle trigonométrique (Fig)

4. T = 2p - la plus petite période positive. Vraiment,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Points d'intersection avec les axes de coordonnées :

avec l'axe Ox : cosx = 0 ;

x = p/2 + pn, nÎZ ;

avec l'axe Oy : si x = 0, alors y = 1.

6. Intervalles de constance du signe :

cosx > 0, si xО (-p/2+2pn ; p/2 + 2pn), nОZ ;

cosx< 0 , si xО (p/2 + 2pn ; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Ceci est prouvé sur un cercle trigonométrique (Fig.). Signes cosinus en quarts :

x > 0 pour les angles a des premier et quatrième quarts.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Intervalles de monotonie :

y = cosx augmente sur chacun des intervalles [-p + 2pn; 2pn],

nÎz et diminue sur chacun des intervalles , nÎz.

Propriétés de la fonction y = tgx et son graphique : propriétés -

1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).

3. Fonction y = tgx - impair

tgx > 0

tgx< 0 pour xО (-p/2 + pn; pn), nОZ.

Voir la figure pour les signes tangents des quartiers.

6. Intervalles de monotonie :

y = tgx augmente à chaque intervalle

(-p/2 + pn ; p/2 + pn),

7. Points extremum et extremum de la fonction :

8. x = p/2 + pn, nÎz - asymptotes verticales

Propriétés de la fonction y = ctgx et son emploi du temps :

Propriétés:

1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) = R.

3. Fonction y = ctgx- impair.

4. T = p - la plus petite période positive.

5. Intervalles de constance des signes :

ctgx > 0 pour xО (pn ; p/2 + pn ;), nОZ ;

ctgx< 0 pour xО (-p/2 + pn; pn), nОZ.

Voir la figure pour les signes cotangents par quartiers.

6. Fonction à= ctgx augmente sur chacun des intervalles (pn; p + pn), nÎZ.

7. Points extremum et extremum d'une fonction y = ctgx Non.

8. Graphique de fonction y = ctgx est tangente, obtenu en décalant le graphique y = tgx le long de l'axe Ox vers la gauche par p/2 et en multipliant par (-1) (fig)

Fonctions trigonométriques inverses, leurs propriétés et graphiques

Fonctions trigonométriques inverses (fonctions circulaires , fonctions d'arc) - fonctions mathématiques qui sont l'inverse des fonctions trigonométriques. Six fonctions sont généralement classées comme fonctions trigonométriques inverses : arc sinus , arc cosinus , arctangente ,arccotanges. Le nom de la fonction trigonométrique inverse est formé à partir du nom de la fonction trigonométrique correspondante en ajoutant le préfixe « arc- » (de lat. arc-arc). Cela est dû au fait que géométriquement la valeur de la fonction trigonométrique inverse peut être associée à la longueur de l'arc de cercle unité (ou à l'angle sous-tendant cet arc) correspondant à un segment particulier. Parfois dans la littérature étrangère, des notations comme sin −1 sont utilisées pour l'arc sinus, etc. ; cela n'est pas considéré comme tout à fait correct, car il peut y avoir une confusion avec l'élévation d'une fonction à la puissance −1. Rapport de base

Fonction y=arcsinX, ses propriétés et graphiques.

Arc sinus Nombres m cet angle s'appelle x, pour quelle fonction oui= péché x oui= arc sinus x est strictement en augmentation. (la fonction est étrange).

Fonction y=arccosX, ses propriétés et graphiques.

arc cosinus Nombres m cet angle s'appelle x, pour lequel

Fonction oui=cos x est continue et délimitée sur toute sa droite numérique. Fonction oui= arccos x est strictement décroissante. cos(arccos x) = xà arccos (cos oui) = ouià D(arccos x) = [− 1 ; 1], (domaine), E(arccos x) = . (plage de valeurs). Propriétés de la fonction arccos (la fonction est à symétrie centrale par rapport au point

Fonction y=arctgX, ses propriétés et ses graphiques.

Arctangente Nombres m est l'angle α pour lequel la Fonction est continue et bornée sur toute sa ligne réelle. La fonction est strictement croissante.

Propriétés de la fonction arctg

Fonction y=arcctg, ses propriétés et ses graphiques.

Arccotangente Nombres m cet angle s'appelle x, pour lequel

La fonction est continue et délimitée sur toute sa droite numérique.

La fonction est strictement décroissante. à à 0< oui < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки pour tout x .

Les équations trigonométriques les plus simples.

Définition.Équations Wada péché x = a ; cos x = une ; bronzage x = une ; ctg x = a, Où x

Cas particuliers d'équations trigonométriques

Définition.Équations Wada péché x = a ; cos x = une ; bronzage x = une ; ctg x = a, Où x- la variable aR est appelée les équations trigonométriques les plus simples.

Équations trigonométriques

Axiomes de stéréométrie et leurs conséquences

Figures de base dans l'espace : points, lignes et plans. Les propriétés fondamentales des points, des lignes et des plans concernant leurs positions relatives sont exprimées sous forme d'axiomes.

A1. Par trois points quelconques qui ne se trouvent pas sur la même droite, passe un plan, et un seul. A2. Si deux points d'une droite se trouvent dans un plan, alors tous les points de la droite se trouvent dans ce plan

Commentaire. Si une droite et un plan n’ont qu’un seul point commun, alors on dit qu’ils se coupent.

A3. Si deux plans ont un point commun, alors ils ont une droite commune sur laquelle se trouvent tous les points communs de ces plans.

	A et se coupent selon la droite a.

Corollaire 1. Un plan passe par une droite et un point qui ne s'y trouve pas, et de surcroît un seul plan. Corollaire 2. Un avion passe par deux lignes qui se croisent, et une seule.

La position relative de deux lignes dans l'espace

Deux droites données par des équations

se croisent en un point.

Parallélisme d'une droite et d'un plan.

Définition 2.3 Une droite et un plan sont dits parallèles s’ils n’ont pas de points communs. Si la droite a est parallèle au plan α, alors écrivez a || α. Théorème 2.4 Test du parallélisme d'une droite et d'un plan. Si une ligne à l’extérieur du plan est parallèle à une ligne sur le plan, alors cette ligne est parallèle au plan lui-même. Preuve Soit b α, a || b et a α (dessin 2.2.1). Nous effectuerons la preuve par contradiction. Soit a ne soit pas parallèle à α, alors la droite a coupe le plan α en un point A. De plus, A b, puisque a || b. Selon le critère des lignes asymétriques, les lignes a et b sont asymétriques. Nous sommes arrivés à une contradiction. Théorème 2.5 Si le plan β passe par une droite a parallèle au plan α et coupe ce plan le long d'une droite b, alors b || un. Preuve En effet, les droites a et b ne sont pas asymétriques, puisqu'elles se situent dans le plan β. De plus, ces lignes n'ont pas de points communs, puisqu'un || α. Définition 2.4 La droite b est parfois appelée trace du plan β sur le plan α.

Traverser des lignes droites. Signe de croisement de lignes

Les droites sont dites sécantes si la condition suivante est remplie : Si l'on imagine que l'une des droites appartient à un plan arbitraire, alors l'autre droite coupera ce plan en un point n'appartenant pas à la première droite. En d’autres termes, deux lignes dans l’espace euclidien tridimensionnel se coupent si aucun plan ne les contient. En termes simples, deux lignes dans l'espace qui n'ont pas de points communs, mais qui ne sont pas parallèles.

Théorème (1) : Si l'une des deux droites se trouve dans un certain plan et que l'autre droite coupe ce plan en un point qui ne se trouve pas sur la première droite, alors ces droites se coupent.

Théorème (2) : Par chacune de deux droites obliques passe un plan parallèle à l’autre droite, et de plus un seul.

Théorème (3) : Si les côtés de deux angles sont respectivement alignés, alors ces angles sont égaux.

Parallélisme des lignes. Propriétés des plans parallèles.

Lignes parallèles (parfois équilatérales) sont appelées lignes droites qui se trouvent dans le même plan et coïncident ou ne se coupent pas. Dans certaines définitions scolaires, les lignes coïncidentes ne sont pas considérées comme parallèles ; une telle définition n'est pas prise en compte ici. Propriétés Le parallélisme est une relation d'équivalence binaire, il divise donc l'ensemble des lignes en classes de lignes parallèles les unes aux autres. Par n’importe quel point, vous pouvez tracer exactement une ligne droite parallèle à celle donnée. C'est une propriété distinctive de la géométrie euclidienne ; dans d'autres géométries, le chiffre 1 est remplacé par d'autres (dans la géométrie de Lobatchevsky, il y a au moins deux de ces lignes) 2 lignes parallèles dans l'espace se trouvent dans le même plan. b Lorsque 2 droites parallèles en coupent une troisième, appelée sécante: Une sécante coupe nécessairement les deux lignes. Lors de leur intersection, 8 angles se forment, dont certaines paires caractéristiques ont des noms et des propriétés particulières : Allongé en travers les angles sont égaux. Pertinent les angles sont égaux. Unilatéral les angles totalisent 180°.

Perpendiculaire d'une droite et d'un plan.

Une droite coupant un plan s'appelle perpendiculaire ce plan s'il est perpendiculaire à toute droite qui se trouve dans ce plan et passe par le point d'intersection.

SIGNE DE PERPENDICULARITÉ DE DROITE ET PLAN.

Si une droite coupant un plan est perpendiculaire à deux droites de ce plan passant par le point d'intersection de cette droite et du plan, alors elle est perpendiculaire au plan.

1ère PROPRIÉTÉ DE DROITE PERPENDICULAIRE ET PLAN .

Si un plan est perpendiculaire à l’une des deux droites parallèles, alors il est également perpendiculaire à l’autre.

2ème PROPRIÉTÉ DE DROITE PERPENDICULAIRE ET PLAN .

Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

Théorème des trois perpendiculaires

Laisser AB- perpendiculaire au plan α, A.C.- incliné et c- une droite dans le plan α passant par le point C et perpendiculaire à la projection Colombie-Britannique. Faisons un direct CK parallèle à la ligne AB. Droit CK est perpendiculaire au plan α (puisqu'il est parallèle AB), et donc toute droite de ce plan, donc, CK perpendiculaire à une droite c AB Et CK plan β (les droites parallèles définissent un plan, et un seul). Droit c perpendiculaire à deux lignes sécantes situées dans le plan β, c'est Colombie-Britannique selon l'état et CK par construction, cela signifie qu'il est perpendiculaire à toute ligne appartenant à ce plan, ce qui signifie qu'il est perpendiculaire à la ligne A.C. .

Réverse du théorème des trois perpendiculaires

Si une ligne droite tracée sur un plan passant par la base d'un plan incliné est perpendiculaire à celui-ci, alors elle est également perpendiculaire à sa projection.

Laisser AB- perpendiculaire au plan un , CA- incliné et Avec- ligne droite dans le plan un, passant par la base du plan incliné AVEC. Faisons un direct Sask., parallèle à la droite AB. Droit Sask. perpendiculaire au plan un(d'après ce théorème, puisqu'il est parallèle AB), et donc toute droite de ce plan, donc, Sask. perpendiculaire à une droite Avec. Traçons des lignes parallèles AB Et Sask. avion b(les lignes parallèles définissent un plan, et un seul). Droit Avec perpendiculaire à deux droites situées dans le plan b, Ce CA selon l'état et Sask. par construction, cela signifie qu'il est perpendiculaire à toute ligne appartenant à ce plan, ce qui signifie qu'il est perpendiculaire à la ligne Soleil. En d'autres termes, la projection Soleil perpendiculaire à une droite Avec, allongé dans l'avion un .

Perpendiculaire et oblique.

Perpendiculaire, abaissé d'un point donné sur un plan donné, est un segment reliant un point donné à un point du plan et situé sur une droite perpendiculaire au plan. La fin de ce segment situé dans le plan s'appelle base de la perpendiculaire .

Incliné tiré d'un point donné à un plan donné est tout segment reliant un point donné à un point du plan qui n'est pas perpendiculaire au plan. La fin d'un segment situé dans un plan s'appelle base inclinée. Un segment reliant les bases d'une perpendiculaire à une inclinée tirée du même point est appelé projection oblique .

Définition 1. Une perpendiculaire à une droite donnée est un segment de droite perpendiculaire à une droite donnée, dont l'une de ses extrémités est à leur point d'intersection. L'extrémité d'un segment situé sur une ligne donnée est appelée la base de la perpendiculaire.

Définition 2. La pente tracée d'un point donné à une ligne donnée est appelée un segment reliant ce point avec n'importe quel point sur une ligne qui n'est pas la base d'une perpendiculaire tombée du même point sur une ligne donnée. AB est perpendiculaire au plan α.

AC - oblique, CB - projection.

C est la base de l'incliné, B est la base de la perpendiculaire.

L'angle entre une ligne droite et un plan.

L'angle entre une droite et un plan Tout angle entre une ligne droite et sa projection sur ce plan est appelé.

Angle dièdre.

Angle dièdre- spatial figure géométrique, formé de deux demi-plans issus d'une même ligne droite, ainsi que d'une partie de l'espace limitée par ces demi-plans. Les demi-plans sont appelés bords angle dièdre, et leur ligne droite commune est bord. Les angles dièdres sont mesurés angle linéaire, c'est-à-dire l'angle formé par l'intersection d'un angle dièdre avec un plan perpendiculaire à son bord. Tout polyèdre, régulier ou irrégulier, convexe ou concave, possède un angle dièdre sur chaque arête.

Perpendiculaire de deux plans.

SIGNE DE PERPENDICULARITÉ DES PLANS.

Si un plan passe par une droite perpendiculaire à un autre plan, alors ces plans sont perpendiculaires.

1.1 Équations irrationnelles

Les équations irrationnelles se retrouvent souvent dans examens d'entrée en mathématiques, car avec leur aide, il est facile de diagnostiquer la connaissance de concepts tels que transformations équivalentes, domaine de définition et autres. Les méthodes de résolution d'équations irrationnelles sont généralement basées sur la possibilité de remplacer (à l'aide de certaines transformations) ir équation rationnelle rationnel, qui est soit équivalent à l’équation irrationnelle originale, soit en est la conséquence. Le plus souvent, les deux membres de l’équation sont élevés à la même puissance. L'équivalence n'est pas violée lorsque les deux parties sont intégrées degré étrange. Sinon, il faut vérifier les solutions trouvées ou évaluer le signe des deux côtés de l'équation. Mais il existe d’autres techniques qui pourraient s’avérer plus efficaces pour résoudre des équations irrationnelles. Par exemple, la méthode substitution trigonométrique.

Exemple 1 : Résoudre l'équation

Depuis lors. On peut donc mettre . L'équation prendra la forme

Mettons où, alors

Répondre: .

Solution algébrique

Depuis lors . Moyens, , afin que vous puissiez étendre le module

Répondre: .

La résolution algébrique d’une équation nécessite de bonnes compétences. transformations identitaires et une gestion compétente des transitions équivalentes. Mais en général, les deux méthodes de décision sont équivalentes.

Exemple 2 : Résoudre l'équation

Solution utilisant la substitution trigonométrique

Le domaine de définition de l’équation est donné par l’inégalité, qui équivaut alors à la condition. Vous pouvez donc mettre . L'équation prendra la forme

Depuis lors. Ouvrons le module interne

Mettons , Alors

La condition est satisfaite par deux valeurs et .

Répondre: .

Solution algébrique

Mettons au carré l'équation du premier système de population et obtenons

Qu'il en soit ainsi. L'équation sera réécrite comme

En vérifiant on établit qu'il s'agit d'une racine, puis en divisant le polynôme par un binôme on obtient la décomposition du côté droit de l'équation en facteurs

Passons de variable en variable, on obtient

Condition satisfaire deux valeurs

En substituant ces valeurs dans l'équation d'origine, nous constatons que c'est la racine.

En résolvant de la même manière l’équation du deuxième système de l’ensemble original, nous constatons qu’il s’agit également d’une racine.

Répondre: .

Si dans l’exemple précédent la solution algébrique et la solution utilisant la substitution trigonométrique étaient équivalentes, alors dans dans ce cas la solution par substitution est plus rentable. Lorsque vous résolvez une équation en utilisant l’algèbre, vous devez résoudre un ensemble de deux équations, c’est-à-dire le mettre au carré deux fois. Après cette transformation inégale, on obtient deux équations du quatrième degré à coefficients irrationnels, qui peuvent être éliminées par substitution. Une autre difficulté consiste à vérifier les solutions trouvées en les substituant dans l'équation originale.

Exemple 3 : Résoudre l'équation

Solution utilisant la substitution trigonométrique

Depuis lors. Notez qu’une valeur négative de l’inconnu ne peut pas être une solution au problème. En effet, transformons l'équation originale sous la forme

Le facteur entre parenthèses du côté gauche de l’équation est positif, le côté droit de l’équation est également positif, donc le facteur du côté gauche de l’équation ne peut pas être négatif. C'est pourquoi, alors, c'est pourquoi vous pouvez mettre L'équation originale sera réécrite comme

Depuis, alors et . L'équation prendra la forme

Laisser . Passons de l'équation à un système équivalent

Les nombres et sont les racines de l'équation quadratique

Solution algébrique Mettons au carré les deux côtés de l'équation

Présentons le remplacement , alors l'équation s'écrira sous la forme

La deuxième racine est superflue, alors considérons l'équation

Depuis lors.

Dans ce cas, la solution algébrique dans techniquement plus simple, mais il est nécessaire de considérer la solution donnée en utilisant la substitution trigonométrique. Cela est dû, d'une part, au caractère non standard de la substitution elle-même, qui détruit le stéréotype selon lequel l'utilisation de la substitution trigonométrique n'est possible que lorsque. Il s'avère que la substitution trigonométrique trouve également une application. Deuxièmement, il est difficile de résoudre l'équation trigonométrique , qui est réduit en introduisant une substitution dans un système d'équations. Dans un certain sens, ce remplacement peut également être considéré comme non standard, et sa connaissance vous permet d'enrichir votre arsenal de techniques et de méthodes de résolution. équations trigonométriques.

Exemple 4 : Résoudre l'équation

Solution utilisant la substitution trigonométrique

Puisque la variable peut prendre n'importe quel de vraies valeurs, mettons . Alors

Parce que .

L'équation originale, compte tenu des transformations effectuées, prendra la forme

Puisque nous divisons les deux côtés de l’équation par , nous obtenons

Laisser , Alors . L'équation prendra la forme

Étant donné la substitution , on obtient un ensemble de deux équations

Résolvons chaque équation de l'ensemble séparément.

Ne peut pas être une valeur sinusoïdale, car pour toutes les valeurs de l'argument.

Parce que et le côté droit de l’équation originale est positif, alors . D'où il résulte que .

Cette équation n'a pas de racines, puisque .

Ainsi, l’équation originale a une seule racine

Solution algébrique

Cette équation peut être facilement « transformé » en une équation rationnelle du huitième degré en mettant au carré les deux côtés de l’équation originale. Trouver les racines de l’équation rationnelle résultante est difficile, et il est nécessaire d’avoir haut degré ingéniosité pour faire face à la tâche. Il convient donc de connaître une autre façon de résoudre, moins traditionnelle. Par exemple, la substitution proposée par I. F. Sharygin.

Mettons , Alors

Transformons le côté droit de l'équation :

Compte tenu des transformations, l'équation prendra la forme

Introduisons le remplacement, puis

La deuxième racine est donc superflue et .

Si l'idée pour résoudre l'équation n'est pas connue à l'avance , alors résoudre la solution standard en mettant au carré les deux côtés de l'équation est problématique, car le résultat est une équation du huitième degré dont les racines sont extrêmement difficiles à trouver. La solution utilisant la substitution trigonométrique semble lourde. Il peut être difficile de trouver les racines d’une équation si l’on ne remarque pas qu’elle est réciproque. La solution de cette équation se produit à l’aide d’un appareil d’algèbre, on peut donc dire que la solution proposée est une solution combinée. Dans ce document, les informations de l'algèbre et de la trigonométrie travaillent ensemble dans un seul objectif : obtenir une solution. De plus, la résolution de cette équation nécessite un examen attentif de deux cas. La solution par substitution est techniquement plus simple et plus belle que la substitution trigonométrique. Il est conseillé aux élèves de connaître cette méthode de substitution et de l'utiliser pour résoudre des problèmes.

Nous soulignons que le recours à la substitution trigonométrique pour résoudre des problèmes doit être conscient et justifié. Il est conseillé d'utiliser la substitution dans les cas où la solution d'une autre manière est plus difficile ou totalement impossible. Donnons un autre exemple qui, contrairement au précédent, peut être résolu plus facilement et plus rapidement en utilisant la méthode standard.