Une surface réglée est une surface formée en déplaçant une ligne droite dans l’espace selon une certaine loi. La nature du mouvement de la génératrice rectiligne détermine le type de surface réglée. Habituellement, la loi du mouvement de la génératrice est spécifiée à l'aide de lignes directrices. DANS cas général Pour définir une surface réglée, trois lignes de guidage sont nécessaires, qui peuvent définir sans ambiguïté la loi de mouvement du guide. Sélectionnons trois lignes a, b et c sur la surface réglée et prenons-les comme guides (Fig. 7.17).

Riz. 7.17. Surface réglée en général

L'étude d'un groupe de surfaces réglées non développables peut commencer par les cylindres - surfaces avec un plan de parallélisme (surfaces catalanes), surfaces formées par le mouvement d'une droite glissant le long de deux guides courbes qui ne se trouvent pas dans le même plan, et restant tout le temps parallèle au soi-disant plan de parallélisme (Fig. .7.18).

Riz. 7.18. Exemple de cylindroïde : a - dans l'espace ; b - sur un dessin complexe

La surface suivante dans ce groupe est le conoïde, qui est une surface réglée non développable, formée par le mouvement d'une ligne droite glissant le long de deux guides qui ne se trouvent pas dans le même plan et restant tout le temps parallèle à le soi-disant plan de parallélisme.

En même temps, il faut savoir que l'un de ces guides est une ligne droite (Fig. 7.19).

Riz. 7.19. Exemple de conoïde : a - dans un dessin complexe ; b - dans l'espace

Si les deux guides du cylindre sont remplacés par des lignes droites (croisement), alors une surface réglée non développable avec un plan de parallélisme est formée - un plan oblique, ou un paraboloïde réglé, ou paraboloïde hyperbolique(Fig. 7.20).

La surface réglée tire son nom (paraboloïde hyperbolique) du fait que lorsqu'elle est coupée par les plans correspondants dans la section, des paraboles et des hyperboles peuvent être obtenues

Les variétés de surfaces obliques sont des surfaces réglées avec un plan de guidage et leurs types particuliers sont des surfaces réglées avec un plan de parallélisme (surfaces catalanes).

Dans le premier cas (Fig. 7.20, a), la surface est définie de manière unique par deux lignes rectilignes sécantes d, n et un plan guide γ, qui remplace la troisième ligne guide. La droite génératrice glisse le long de deux guides et reste parallèle au plan parallélisme γ.

Si les plans de parallélisme sont perpendiculaires entre eux γ ⊥ π1, alors le paraboloïde hyperbolique est appelé droit.

Sur la fig. 7.20, b montre un dessin complexe d'un plan oblique. En apparence, cette surface ressemble à une selle.

Riz. 7h20. Paraboloïde hyperbolique :
a - dans l'espace ; b - sur un dessin complexe

Les surfaces avec un plan de guidage sont appelées cylindres obliques si les deux guides sont des lignes courbes ; conoïdes obliques - si l'un des guides est une ligne droite ; double plan oblique si les guides coupent des lignes droites.

Un cylindre doublement oblique, comme une surface réglée avec trois guides, dont deux sont des courbes spatiales et un est une ligne droite, est représenté sur la Fig. 7.21.

Sur la fig. 7.22. on voit un double conoïde oblique, formé en déplaçant la génératrice de la droite (rouge) le long de trois guides dont deux droits. La construction d'une génératrice est représentée comme le résultat de l'intersection d'un plan auxiliaire passant par l'un des guides rectilignes avec deux autres guides.

Riz. 7.21. Cylindre double oblique

Riz. 7.22. Double oblique
conoïde

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INTRODUCTION

Le monde des surfaces est diversifié et illimité. On trouve dans la nature des surfaces d’une forme et d’une résistance étonnantes. Faisons attention à l'aile et au corps de l'oiseau : ils ont des formes de surface développées par la nature, dont l'ensemble présente d'excellentes caractéristiques aérodynamiques.

Carrosseries d'avions, navires de mer, automobiles, coques aériennes et structures souterraines- ce sont tous des complexes de surfaces de diverses lois de formation très complexes. En examinant les surfaces réglées, on peut révéler qu'elles sont largement utilisées en technologie, ingénierie, dans la plupart des cas utilisé dans la conception de bâtiments, industriels et gouvernementaux structures architecturales, autoroutes.

La pertinence est due à la demande de règles surfaces de vis V architecture moderne et la technologie, ainsi que la recherche de nouvelles formes de surfaces à règles hélicoïdales applicables à la construction, combinant des qualités telles que la beauté, la fiabilité et la fabricabilité.

L'objet d'étude est la formation et la conception de surfaces courbes complexes.

Le sujet de l'étude est la formation de coques composites réglées dans l'architecture des bâtiments et des structures.

Le but de ce travail est d'étudier les surfaces réglées et d'étudier les possibilités de leur utilisation dans l'architecture des bâtiments et des structures.

Au cours de la recherche, les tâches suivantes sont définies :

1. Analyser fondements théoriques surfaces réglées.

2. Construire une surface composite réglée applicable à l'architecture des bâtiments et des structures.

3. Réalisez une maquette de la structure développée.

Méthodes utilisées pour mener la recherche :

Théorique:

Monographique - synthèse analytique et systématisation d'informations provenant de sources littéraires et autres ;

Analyse - analyse des informations à chaque étape du travail ;

Synthèse - collecte et synthèse d'informations.

Praxéologique :

Graphique - modélisation géométrique et exécution de documentation graphique ;

Méthode de mise en page.

SURFACES DOUBLÉES

Une surface réglée est une surface formée en déplaçant une ligne droite dans l’espace selon une certaine loi. La nature du mouvement de la génératrice rectiligne détermine le type de surface réglée. Habituellement, la loi du mouvement de la génératrice est spécifiée à l'aide de lignes directrices. En général, trois lignes directrices sont nécessaires pour définir une surface réglée. La nature du mouvement de la génératrice rectiligne détermine le type de surface réglée.

Les surfaces réglées sont divisées en deux types :

1. développer des surfaces ;

2. surfaces non développées ou obliques.

SURFACES DOUBLÉES NON EXPANSIBLES

Les surfaces réglées non développables sont généralement formées par le mouvement d'une génératrice rectiligne selon trois lignes directrices, qui définissent de manière unique la loi de son mouvement. Les variétés de surfaces obliques sont des surfaces réglées avec un plan de guidage et leurs types particuliers sont des surfaces réglées avec un plan de parallélisme (surfaces catalanes). Les surfaces avec un plan de guidage sont appelées cylindres obliques si les deux guides sont des lignes courbes ; conoïdes obliques - si l'un des guides est une ligne droite ; double plan oblique, si les guides croisent des lignes droites (voir Annexe A, Fig. 1). Les surfaces avec un plan de parallélisme sont respectivement appelées cylindres droits, conoïdes droits et plans obliques.

Le concept de surface réglée

Surface lignée est une surface formée en déplaçant une ligne droite dans l’espace selon une certaine loi. La nature du mouvement de la génératrice rectiligne détermine le type de surface réglée. Habituellement, la loi du mouvement de la génératrice est spécifiée à l'aide de lignes directrices. En général, pour définir une surface réglée, il faut trois lignes directrices . Sélectionnez trois lignes sur la surface réglée un , b Et c et prends-les pour guides. Montrons que le mouvement de la génératrice rectiligne je sera déterminé d’une manière unique (Fig. 11.1).

Prenons le guide un un certain point K et tracez à travers lui un tas de lignes droites coupant le guide Avec . Ces lignes droites forment une surface conique dont le sommet est au point K . Guide b coupera la surface conique à un moment donné N . Point construit N et période K déterminer la ligne droite je , coupant le guide c au point M. . Ainsi, chaque point À guide un le seul générateur correspondra. Déplacer un point À le long du guide un , il est possible d'obtenir d'autres positions de la génératrice de la droite, c'est-à-dire construire un cadre d'une surface réglée.

Selon la forme des lignes de guidage, les surfaces réglées à trois guides sont divisées en :

cylindre oblique avec trois guides– les trois lignes courbes principales ;

cône– deux lignes courbes directrices, et la troisième est droite ;

hyperboloïde à feuille unique– toutes les lignes de guidage sont droites.

Pour construire un point sur une surface réglée, vous devez utiliser une ligne auxiliaire, qui peut être une génératrice droite ou une ligne courbe arbitraire.

En plus de ce qui précède méthode générale Pour former une surface réglée à l'aide de trois guides, il existe d'autres méthodes qui, en imposant des restrictions supplémentaires, déterminent la loi du mouvement de la génératrice rectiligne.

Surfaces réglées

Une surface réglée est une surface qui peut être formée par le mouvement d’une ligne droite dans l’espace. Selon la nature du mouvement de la génératrice, on obtient différents types surfaces réglées.

Figure 1.3.37 – Surfaces à facettes réglées

Polyèdres(pyramides, prismes) sont des surfaces fermées formées par un certain nombre de faces. DANS dans ce cas la surface et le corps délimité par cette surface portent le même nom. Les éléments d'un polyèdre sont des sommets, des arêtes et des faces ; l'ensemble de toutes les arêtes d'un polyèdre s'appelle cela engrener. Construire des projections d'un polyèdre revient à construire des projections de son maillage.

Parmi les nombreux polyèdres, il y a correct polyèdres. Dans de tels polyèdres, toutes les arêtes, faces et angles sont égaux les uns aux autres. La figure 1.3.38, par exemple, montre polyèdre régulier, appelé octaèdre.

Figure 1.3.39 – Surfaces coniques et cylindriques

Surface conique formé par une ligne droite je m(guide) et ayant un point fixe S(en haut) conformément à la figure 1.3.39, UN. Déterminant de la surface Q(je,m,S).

Surface cylindrique formé par une ligne droite je(générateur) se déplaçant le long d'une ligne courbe m(guide) et ayant une direction constante s conformément à la figure 1.3.39, b. Déterminant de la surface S(l, m, s).

Puisque toutes les lignes droites ont la même direction, c'est-à-dire parallèles les uns aux autres se croisent en un point infiniment distant (impropre), alors la surface cylindrique peut être considérée comme cas particulier surface conique.

Lorsque vous spécifiez une forme conique et surfaces cylindriques dans un dessin complexe, une ligne est souvent choisie comme guide m intersection de la surface avec l'un des plans de projection.

Ligné est une surface formée en déplaçant une ligne droite (générateur) dans l’espace selon une certaine loi. Selon le type de lignes directrices et la nature du mouvement de la génératrice, on obtient les types de surfaces réglées suivants : déployable et non déployable.

A. Surfaces réglées développables(torse, cylindrique, conique).

1. Torse- une surface avec un bord de retour m, est formée par le mouvement d'une génératrice rectiligne ℓ, touchant dans toutes les positions une certaine courbe spatiale m - bord de retour, (Fig. 45). Donné par le déterminant Ø ( je~m).

2. Surface cylindrique. L'arête de retour est supprimée à l'infini. La surface est formée par le mouvement d'une ligne droite ℓ, qui a une direction construite S le long d'une courbe n (Fig. 46). Déterminant de surface : ∑(S~n).

3. Surface conique. Le bord de la cuspide a dégénéré jusqu'au point S. La surface est formée en déplaçant la droite ℓ passant par le point S le long d'une courbe n et peut avoir deux cavités (Fig. 47). Déterminant de la surface Δ(S~n).

B. Surfaces réglées non développables(cylindroïde, conoïde, plan oblique).

Ce type de surface est formé en déplaçant une droite ℓ se déplaçant le long de deux guides et restant parallèle à un certain plan de parallélisme, qui est généralement considéré comme l'un des plans de projection P 1 ou P 2.

1. Cylindre est formé en déplaçant une ligne droite ℓ le long de deux guides et en restant parallèle à un certain plan de parallélisme (Fig. 48a, b). Le déterminant de la surface Σ (~a, ~b) et Δ est perpendiculaire à P 1.

2. Conoïde est formé en déplaçant la génératrice rectiligne ℓ le long de deux guides : une courbe et une ligne droite, tandis que ℓ reste parallèle à un certain plan de parallélisme. Son déterminant est Ø(b~a,∑) (Fig. 49).

Si la génératrice rectiligne n est perpendiculaire au plan de parallélisme, alors le conoïde appelé directement, et si le guide curviligne m est une hélice cylindrique, le conoïde appelé hélicoïde hélicoïdal.

3. Plan oblique(paraboloïde hyperbolique) est obtenu en déplaçant la ligne ℓ le long de deux lignes obliques et en restant parallèle à un plan de parallélisme. Déterminant de la surface

Р(a b, ∑), (Fig. 50).

Dans la coupe transversale d'un paraboloïde hyperbolique, des hyperboles, des paraboles et des lignes droites peuvent être obtenues (Fig. 51).

B. Surfaces hélicoïdales réglées - hélicoïdes. Une surface hélicoïdale réglée est une surface dans laquelle un guide est une ligne hélicoïdale et l'autre est une ligne droite (l'axe de la ligne hélicoïdale). Les déterminants de la surface sont l'hélice et son axe : Ø (ί, m, ℓ).

L'hélicoïde est dit droit, si la génératrice ℓ est perpendiculaire à l'axe ί de l'hélice et que cet axe ί fait office de guide droit (Fig. 52).

Si la droite n’est pas perpendiculaire à l’axe t, alors l'hélicoïde est dit oblique ou incliné - Vis d'Archimède(Fig. 53). Les hélicoïdes peuvent être fermés ou ouverts. La droite ℓ en traversant l'axe ί de l'hélice, forme fermé hélicoïde, si ℓ ne coupe pas l'axe ί, alors un hélicoïde ouvert. Dans le processus de formation de la surface d'un hélicoïde incliné, les génératrices sont situées parallèlement aux génératrices de la surface d'un certain cône de rotation, dont l'axe ί coïncide avec l'axe ί de l'hélice, et les génératrices ont le même inclinaison sur l'axe ί de l'hélice que les génératrices de l'hélicoïde. Ce cône appelé un guide. Ainsi, le déterminant d'un hélicoïde incliné est constitué de guides : l'hélice m(m 1, m 2, l'axe de l'hélice ί (ί 1, ί 2) et génératrice ℓ(ℓ 1, ℓ 2), qui est située à un angle α par rapport à l'axe de l'hélice. En plaçant un repère de génératrices ℓ et en traçant l'enveloppe de la famille des projections frontales de génératrices ℓ, sur P 2 on obtient le contour d'un hélicoïde incliné. La section de l'hélicoïde par le plan Σ (Σ 2) perpendiculaire à l'axe de l'hélicoïde (section normale) est une spirale d'Archimède et nécessite une construction particulière (voir Fig. 53).

Intersection de surfaces avec un plan et une droite.

Lorsqu'un plan coupe une surface, une figure plate est obtenue, appelée section. Si le plan de coupe est un plan de projection, la construction d'une section n'est pas difficile. Puisque l'une des projections du plan de coupe dégénère en ligne droite, alors, sur la base de la propriété collective des plans en projection, cette projection inclut tous les points du plan, y compris la section. Ainsi, la tâche revient à construire une autre projection de la section. Les points communs appartenant à la fois au plan et à la surface sécante sont identifiés. Ensuite, sur la base de l'appartenance de ces points à la figure, leurs projections manquantes sont construites.

Lorsqu'un plan coupe un polyèdre en section, on obtient un polygone (délimité par une ligne brisée fermée). Le nombre de ses côtés et de ses sommets est égal au nombre de faces et d'arêtes du polyèdre coupé par le plan coupant.

La construction d'une section d'un polyèdre peut se faire de deux manières :

Trouver les sommets d'un polygone de section - la méthode des bords. Dans ce cas, la construction revient à résoudre le problème de trouver plusieurs fois le point d'intersection d'une droite (arête) avec un plan (plan de coupe). premier problème de position

Trouver les côtés d'un polygone de section - la méthode des arêtes. Dans ce cas, le problème est résolu plusieurs fois - trouver la ligne d'intersection de deux plans (face et plan de coupe) - le deuxième problème de position.

Lorsqu'un plan coupe des surfaces courbes, la section donne lieu à des lignes courbes plates. Comme déjà mentionné, si le plan de coupe est projeté sur une ligne droite, le second peut être construit à partir de points individuels (Fig. 54).

Parmi les points de la courbe d'intersection, il y a ceux qui sont particulièrement situés par rapport aux plans de projection ou occupent des places particulières sur la courbe. Ces points sont appelés points de référence et lors de la construction d'une section, ces points sont déterminés en premier. Les points de contrôle comprennent les points extrêmes, les points de contour et les points de changement de visibilité.

Points extrêmes- c'est le point le plus haut et le plus bas de la coupe, le plus proche et le plus éloigné par rapport au plan de projection P 2, le plus à gauche et le plus à droite par rapport à P 3.

Ocherkovykh sont appelés points dont les projections se situent sur les contours de la surface.

Points de changement de visibilité délimiter la projection de la ligne d'intersection dans les parties visibles et invisibles. Les points de changement de visibilité sont toujours sélectionnés à partir des points d'esquisse. Il arrive souvent qu'un même point soit à la fois un point extrême, un point contour et un point de changement de visibilité.

Après avoir déterminé les points de référence lors de la construction d'une ligne courbe, afin de déterminer plus précisément sa nature, un certain nombre de points aléatoires sont déterminés.

Points aléatoires– ce sont des points qui sont pris arbitrairement. Souvent, le type de section est connu à l'avance. Considérons quelles sections sont obtenues dans les surfaces les plus courantes.

Cône– une surface dans laquelle cinq types de sections différentes sont obtenues :

Si le plan de coupe passe par le sommet du cône, alors la section transversale donne la forme d'un triangle (toutes les lignes sont droites). Si le plan de coupe ne passe pas par un sommet, la section produira des lignes courbes.

Si le plan de coupe est situé à un angle indirect par rapport à la base et n'est parallèle à aucune des génératrices, alors une ellipse (m) est obtenue dans la section.

Si le plan de coupe est parallèle à l'une quelconque des génératrices du cône, la section produit une parabole (n).

Si le plan de coupe est parallèle à deux génératrices, la section produit une hyperbole (k).

Si le plan de coupe est parallèle à la base et cône droit perpendiculairement à l'axe, un cercle (e) est obtenu en coupe transversale, le rayon du cercle est mesuré de l'axe au contour (Fig. 55).

Cylindre- une surface dans la section transversale de laquelle trois types de figures plates sont obtenus :

Si le plan de coupe est parallèle à la base et perpendiculaire à l'axe, on obtient un cercle dans la section dont le rayon du cercle coïncide avec le rayon de la base ;

Si le plan de coupe est parallèle à l'axe, la section donne la forme d'un rectangle.

Si le plan de coupe est situé à un angle par rapport à la base et coupe toutes les lignes de formation, une ellipse est obtenue dans la section (Fig. 56).

Sphère- une surface dans la section transversale de laquelle on obtient toujours un cercle, quel que soit le positionnement du plan de coupe. Le rayon du cercle est déterminé comme suit : une perpendiculaire est abaissée du centre de la sphère sur le plan coupant, et le rayon du cercle est mesuré à partir du point d'intersection de la perpendiculaire avec le plan jusqu'au contour de la sphère (Fig. 57) pour (2), pour (2) le rayon est pris des sphères d'axe à l'essai.

Si le plan de coupe est général, alors pour résoudre un tel problème, il convient de transformer dessin complexe de sorte que le plan de coupe devienne saillant, puis continuez la solution selon le schéma décrit ci-dessus (Fig. 58).

Lorsqu'une surface coupe une ligne droite, il est nécessaire de déterminer deux points d'intersection, appelés points d'entrée et de sortie de la ligne.

Le problème est résolu selon le schéma suivant :

L'une des projections de la droite est placée dans le plan de projection, puis le problème de la construction d'une section de surface par le plan de projection est résolu. Une fois la section construite, on trouve les points communs de la section avec la projection de la droite.

Les projections manquantes des points d'intersection sont construites sur la base de leur appartenance à une droite utilisant des lignes de communication.

La visibilité est déterminée (sans déterminer la visibilité, le problème est considéré comme non résolu) (Fig. 59).

Lors de la résolution du problème de l'intersection d'une ligne droite avec une surface, les méthodes de transformation d'un dessin complexe peuvent être largement utilisées, en particulier la méthode de remplacement des plans (Fig. 60).

Intersection mutuelle de deux surfaces.

Lorsque deux surfaces se croisent, une ou deux lignes spatiales fermées (lignes de transition) se forment, qui appartiennent simultanément à chacune des surfaces qui se croisent. Ces lignes sont construites à l'aide de points individuels. Une ligne est obtenue dans le cas de l'insertion, c'est-à-dire lorsque les deux surfaces sont partiellement impliquées dans l'intersection. Deux lignes sont obtenues en cas de pénétration, c'est-à-dire lorsqu'au moins une des surfaces est complètement impliquée dans l'intersection.

Si deux polyèdres sont impliqués dans l'intersection, alors la ligne d'intersection s'avère être une ligne brisée, constituée d'un certain nombre de segments droits. Si un polyèdre et une surface courbe se coupent, alors la ligne d'intersection est une courbe brisée. Si deux surfaces courbes se croisent, le résultat est une ligne courbe lisse. Il existe une séquence pour déterminer les points de la ligne d'intersection. Tout d'abord, les points de référence sont déterminés. Il s'agit notamment des extrêmes, du contour (déterminé sur chaque contour de chaque surface), des points de changement de visibilité (sélectionnés parmi le contour). Si un polyèdre est impliqué dans l'intersection, alors les points d'intersection de ses arêtes avec une autre surface appartiennent également aux points de référence.

Une fois les points de référence trouvés, points aléatoires. De tels points sont nécessaires si une surface courbe est impliquée dans l'intersection, car si au moins une des surfaces est courbe, alors le résultat est une ligne courbe. Plus les points sont pris au hasard, plus la ligne courbe est construite avec précision.

Les problèmes impliquant l'intersection mutuelle de deux surfaces sont divisés en trois groupes de difficulté:

Premier groupe de difficulté– les deux surfaces sont en saillie. Dans ce cas, deux projections de l'élément commun (c'est-à-dire les lignes d'intersection) sont spécifiées dans le dessin complexe original - elles coïncident avec les projections principales (dégénérées) des surfaces en saillie. Il vous suffit de les désigner. Il devient parfois nécessaire de construire une troisième projection manquante. Dans ce cas, l'une des projections données des lignes d'intersection est divisée en points, sur la deuxième projection de la ligne donnée se trouvent les projections des points désignés, puis une troisième projection est construite à partir des deux projections des points en utilisant la communication. lignes (Fig. 61).

Deuxième groupe de difficulté– une surface est en saillie, l'autre est de position générale. Une projection de l'élément commun est spécifiée dans le dessin original - elle coïncide avec la projection principale (dégénérée) de la surface en saillie. Il faut le désigner. La deuxième projection d'un élément général est déterminée à partir de la condition de son appartenance à une surface générique. Pour ce faire, il faut diviser la projection existante de la ligne d'intersection en points (de référence et aléatoires), puis construire les projections manquantes de ces points à partir de la condition qu'ils appartiennent à une surface générale. Si le cône est une surface en position générale (Fig. 62a) et que le prisme est une surface en saillie, alors la projection frontale de la ligne d'intersection, coïncidant avec projection frontale Le prisme est divisé en points et des parallèles sont tracés à travers eux. Ensuite, le rayon du parallèle est mesuré (de l'axe au contour) et un cercle de ce rayon est tracé sur une autre projection, après quoi, à l'aide de lignes de communication, les projections manquantes des points de la ligne d'intersection sont trouvées. Lorsque tous les points sont trouvés, ils sont reliés par une courbe lisse.

Le problème est résolu de la même manière si la figure générale est une sphère (Fig. 62b).

Troisième groupe de complexité– les deux surfaces sécantes en position générale. Dans ce cas, aucune des projections de la ligne d'intersection de surface dans le dessin complexe d'origine n'est spécifiée. De tels problèmes sont résolus en introduisant des intermédiaires, ce qui réduit la solution de chaque problème à l'intersection de deux lignes obtenues à partir de l'intersection de l'intermédiaire avec des surfaces données.

Il existe deux manières de résoudre ce type de problème : la méthode des plans de coupe auxiliaires et la méthode des sphères.

Méthode des plans de coupe auxiliaires est utilisé si la section transversale des deux surfaces donne un résultat simple construction graphique lignes (cercles ou lignes droites). Des plans de coupe sont nécessaires situation privée, dans la plupart des cas, sont choisis comme médiateurs de plan de niveau. Examinons cette méthode de résolution du problème à l'aide d'un exemple.

Exemple:

Construisez la ligne d'intersection de l'hémisphère P et de la pyramide Q (Fig. 63).

a) L'analyse du dessin montre qu'il s'agit d'un problème du troisième groupe de complexité (la pyramide et l'hémisphère sont des figures de position générale). Le problème est résolu avec l'aide d'intermédiaires. Nous sélectionnons les plans horizontaux du niveau comme intermédiaires. Ils coupent P le long de parallèles et Q par des triangles - des lignes graphiquement simples.

b) Déterminez les points de référence sur la ligne d'intersection m. On retrouve les points d'intersection des arêtes de la pyramide avec l'hémisphère : M 1, F 1 et E 1. Le point М=SBP est trouvé à l'aide du plan ( 1) – le plan du méridien principal de l'hémisphère P. Les points E et F sont obtenus à la suite de l'intersection des bords AS et SC et de l'hémisphère P. , les points sont trouvés en utilisant le plan ( 2) – plan équateur de l’hémisphère. Les points M, E, F sont des points extrêmes, ainsi que des points d'esquisse sur P 2, les points E et F sont des points d'esquisse sur P 1, et ce sont également des points de changement de visibilité sur P 1.

c) Les points aléatoires sont déterminés à l'aide des plans de niveau ( 2) et Г(Г 2) ; P=n(n 2 ,n 1) - parallèle à l'hémisphère Q= je(je 2 ,je 1) – le triangle DTS ; nL=points 1 et 2. De même, en utilisant le plan Г(Г 2), on trouve les points 3 et 4.

d) Reliez les points trouvés de la ligne m, en tenant compte de la visibilité.

e) Déterminer la visibilité mutuelle de P et Q.

Méthode des sphères auxiliaires est basé sur une propriété de la surface de révolution : si le centre surface sphérique est situé sur l'axe de la surface de révolution (la sphère et la surface de révolution dans ce cas sont dites coaxiales), puis lorsqu'elles se croisent, un cercle se forme. De plus, les plans de ces cercles sont situés perpendiculairement à l'axe de la surface de rotation (Fig. 64a, b).

Grâce à cette propriété, les surfaces sphériques sont utilisées comme surfaces auxiliaires pour déterminer les points d'intersection entre les surfaces de deux corps de révolution dont les axes se croisent. La méthode où la sphère est prise comme intermédiaire s'appelle méthode des sphères concentriques auxiliaires. Elle ne s’applique que si trois conditions sont remplies :

Les deux surfaces doivent être des surfaces de révolution.

Les deux surfaces doivent avoir un axe de symétrie commun (c'est-à-dire qu'elles doivent être coaxiales).

Les axes de symétrie des surfaces qui se croisent doivent être des lignes droites, et ces axes doivent se croiser.

Considérez l'application de cette méthode à l'aide d'un exemple pratique.

Exemple:

Construisez une ligne d'intersection entre les surfaces du cylindre et du cône dont les axes se coupent selon un angle (Fig. 65). Le plan de symétrie commun des deux corps P(P 1) est parallèle au plan P 2.

Par conséquent, le plus haut et point le plus bas les lignes d'intersection M(M 1, M 2) et N(N 1, N 2) sont obtenues à l'intersection des générateurs de contour. Tous les autres points de la ligne d'intersection sont trouvés à l'aide de sphères auxiliaires, tirées du point d'intersection des axes du cône et du cylindre O(O 1, O 2). Sphère plus petit rayon est une sphère inscrite dans la surface de l’un des corps qui se croisent. Une telle sphère doit croiser la surface d’un autre corps. Afin de déterminer laquelle des figures qui se croisent rentre dans la plus petite sphère et les points d'intersection des axes O(O 2), on abaisse les perpendiculaires sur les contours génératrices des figures ; la perpendiculaire la plus grande sera le rayon de la plus petite sphère (R min =O 2 K 2). La sphère Ф(Ф 2) tirée du centre O(O 2) inscrite à la surface du cône touche la surface du cône le long du cercle m(m 2,m 1) et coupe la surface du cylindre le long du cercle n(n 2). Ces deux cercles sont projetés sur P 2 sous la forme de segments droits K 2 K` 2 et A 2 A` 2. Puisque les cercles construits appartiennent à la même sphère Ф, ils se coupent en deux points E(E 1, E 2) et F(F 1, F 2), qui sont communs aux surfaces du cône et du cylindre, et, par conséquent, sont situés sur la ligne de leur intersection.

Les points arbitraires 1, 2, 3, 4 sont définis à l'aide d'une sphère concentrique ( 2) avec un rayon arbitrairement légèrement plus grand que le rayon de la sphère inscrite. Une fois tous les points trouvés dans deux projections, ils sont reliés par une ligne lisse sur P 2 et sur P 1, en tenant compte de la visibilité.

Si deux surfaces qui se croisent sont des figures de révolution et ont un plan de symétrie commun, mais que les axes de ces plans ne se coupent pas, alors dans ce cas, il est appliqué méthode de la sphère excentrique. Dans cette méthode, les points de la ligne d'intersection entre deux surfaces sont déterminés à l'aide de sphères tirées de centres différents.

Regardons l'application de cette méthode à l'aide d'un exemple.

Exemple:

Construisez une ligne d'intersection entre les surfaces du cône et du tore (Fig. 66).

Nous déterminons d’abord les points de référence. Le plan de symétrie commun aux deux corps est parallèle au plan P2. C'est pourquoi point culminant la ligne d'intersection M(M 1, M 2) est obtenue à l'intersection des génératrices de contour. Le plan de base des deux figures est également confondu et parallèle à P1. Sur P 1, les deux bases sont projetées à partir du dessin du plan ( 2) en forme de cercles et leur intersection donne les deux points inférieurs de la ligne d'intersection E(E 1, E 2) et F(F 1, F 2 ). Pour déterminer points arbitraires 1, 2 tracent par l'axe du tore un plan auxiliaire en projection frontale, qui coupe le tore en un cercle de centre A(A 2) ce cercle est projeté sur P 2 sous la forme d'un segment B 2 B' ; 2. à partir du centre de ce cercle (A 2) une perpendiculaire est tracée au segment B 2 B` 2. Coupant l'axe du cône, il détermine le centre de la sphère O(O 2). A partir du centre O(O 2) une sphère auxiliaire Ф(Ф 2) est dessinée d'un rayon tel qu'elle coupe le tore le long du cercle ВВ`(В 2 В` 2). Cette sphère coupe le cône le long du cercle CC`(C 2 C` 2). Les deux cercles trouvés se couperont en deux points 1(1 2 ,1 1) et 2(2 2 ,2 1), situés sur la ligne d'intersection des surfaces du cône et du tore.

Les points 3 et 4 sont déterminés à l'aide de la sphère auxiliaire ( 2) à partir du centre O`(O` 2), trouvée par une construction similaire à l'aide du plan auxiliaire Q(Q 2). Une fois que tous les points ont été trouvés, dans deux projections, ils sont reliés par une ligne courbe lisse sur P 2 et P 1. Enfin, la visibilité mutuelle du cône et du tore est déterminée.

DANS Dans certains cas, la courbe obtenue en croisant des surfaces de révolution se divise en deux courbes plates, c'est-à-dire aux courbes du second ordre. Les conditions dans lesquelles la ligne d'intersection se divise en deux courbes planes sont spécifiées dans trois théorèmes :

Théorème 1. Si deux surfaces de révolution (deuxième ordre) se coupent le long d'une courbe plane, alors elles se coupent le long d'une autre courbe plane (Fig. 67a, b).

Théorème 2. Si deux surfaces de révolution se touchent en deux points (Fig. 68 N et M), alors la ligne de leur intersection se divise en deux courbes plates. Les plans de ces courbes se coupent selon une ligne droite (Fig. 68 MN) reliant les points de contact des surfaces.

Théorème 3.(Théorème de G. Monge) Si des surfaces de révolution du deuxième ordre sont inscrites ou décrites autour de la troisième surface de révolution du deuxième ordre (sphère), alors du fait de leur intersection deux courbes planes du deuxième ordre se forment (Fig. .69).

Développement des surfaces.

Ils appellent ça un balayage silhouette plate, obtenu en combinant la surface développable avec le plan.

Les surfaces pouvant être alignées avec un plan sans cassures ni plis sont dites développables.

Examinons différents types d'analyses :

a) Développements de précision (surfaces facettées, cône et cylindre) (Fig. 70).

b) approché (surfaces développables courbes). La surface courbe est remplacée par une surface à facettes. La précision du scan dépend de la taille des coupes de la surface facettée, et donc de leur nombre (Fig. 71). Pour obtenir la surface souhaitée à partir d'un développement approximatif, il suffit de plier la fine feuille sur laquelle est dessiné le développement.

c) Approximativement - développements conditionnels (surfaces courbes non développables).

Théoriquement, les surfaces non développables ne peuvent pas avoir de développements. Un développement est obtenu conditionnellement si cette surface est remplacée par des surfaces développables aussi simples que des cylindres et des cônes. Ces dernières, à leur tour, sont remplacées par des surfaces multifacettes qui se déploient.

Il existe plusieurs manières de réaliser des aménagements de surface :

Méthode triangulaire (triangulation). Cette méthode est utilisée pour construire des développements de surfaces à facettes et de toutes surfaces réglées. La surface réglée incurvée est remplacée par une surface à facettes inscrite (Fig. 70, 71).

Méthode de coupe normale(Fig. 72).

Méthode de roulement.

Méthode du cylindre et du cône auxiliaires(pour construire des analyses conditionnellement approximatives).

Regardons quelques exemples de construction d'aménagements en surface :

Exemple 1. Construire un développement de la surface de la pyramide (Fig. 70). Puisque les faces latérales de la pyramide sont des triangles, la construction de son développement se résume à la construction des valeurs naturelles de ces triangles et des valeurs naturelles de la base. Les dimensions naturelles des nervures sont déterminées par la méthode du mouvement plan-parallèle. Le développement d’une pyramide est une série de faces et d’une base attachées les unes aux autres.

Exemple 2. Construire un développement de la surface latérale d'un cône tronqué (Fig. 71). On remplace la surface du cône par une pyramide octogonale inscrite dans le cône. La taille naturelle des génératrices est déterminée par la méthode du mouvement plan-parallèle.

Cette construction peut être réalisée sur le dessin original en déplaçant toutes les génératrices et segments sur celles-ci vers la position de la génératrice la plus extérieure, qui est parallèle à P 2. Nous remplaçons les arcs de la base du cône par une série de cordes et construisons le développement de la même manière que le développement d'une pyramide (une série de triangles). Ensuite, nous connectons les points résultants avec une ligne courbe lisse.

Exemple 3. Construire un balayage prisme incliné(Fig. 72). Pour déterminer la distance entre les nervures du prisme, il faut construire la valeur naturelle de la section normale par plan P(P 2), perpendiculaire aux nervures latérales. La taille réelle d'une section normale est déterminée en remplaçant les plans de projection ou le mouvement plan-parallèle. Sur un développement, la figure d'une section normale est une droite dont la longueur est égale à la somme des côtés de la section normale. Les tailles réelles des côtes AA`, BB`, CC`, DD` sont supprimées de P 2, car les bords de ce prisme sont parallèles à P 2, alors leur taille réelle se lit en P 2. Si les bords du prisme sont des lignes droites de position générale, alors vous devez d'abord déterminer leur taille naturelle, puis la nature de la section normale et construire un développement selon la recommandation décrite ci-dessus.