Équations qui se réduisent au quadratique. Équations rationnelles

Propriétés équations, schéma solutions équations, réunissant... À carré équations, fractionnaire rationnel, méthode graphique solutions équations. ... . Solution: Considérons fonction y=x2- 16 , y=(x-4)(x+4). Des zéros les fonctions x1 = ... quadratique fonction? Quel est le calendrier ? les fonctions ...

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Une équation quadratique est l’équation ax²+bx+c=0, où a, b, c – nombres donnés, a0, x est inconnu. Les coefficients a, b, c d'une équation quadratique sont généralement appelés comme suit : a – le premier coefficient ou coefficient dominant, b – le deuxième coefficient, c – le terme libre. Par exemple, dans l'équation 3x²-x+2=0, le coefficient senior (premier) est a=3, le deuxième coefficient est b=-1 et le terme libre est c=2. La solution à de nombreux problèmes en mathématiques, en physique et en technologie consiste à résoudre équations du second degré: 2x²+x-1=0, x²-25=0, 4x²=0, 5t²-10t+3=0. Lors de la résolution de nombreux problèmes, on obtient des équations qui, en utilisant transformations algébriques sont réduits à des carrés. Par exemple, l'équation 2x²+3x=x²+2x+2 après avoir déplacé tous ses termes vers la gauche et ramené membres similaires se réduit à l’équation quadratique x²+x-2=0.

Considérons l'équation vue générale: ax²+bx+c=0, où a0. Les racines de l'équation se trouvent à l'aide de la formule : L'expression est appelée le discriminant d'une équation quadratique. Si D 0, alors l'équation a deux racines réelles. Dans le cas où D=0, on dit parfois que l'équation quadratique a deux racines identiques.

Équations quadratiques incomplètes. Si dans une équation quadratique ax²+bx+c=0 le deuxième coefficient b ou le terme libre c sont égaux à zéro, alors l'équation quadratique est dite incomplète. Une équation quadratique incomplète peut avoir l'une des formes suivantes : Équations incomplètes sont isolés car pour trouver leurs racines, vous n'avez pas besoin d'utiliser la formule des racines d'une équation quadratique - il est plus facile de résoudre l'équation en factorisant son côté gauche.

Une équation quadratique de la forme x 2 +px+q=0 est dite réduite. Dans cette équation, le coefficient dominant égal à un: a=1. Les racines de l’équation quadratique ci-dessus sont trouvées par la formule : Cette formule est pratique à utiliser lorsque p – nombre pair. Exemple : Résolvez l'équation x 2 -14x-15=0. En utilisant la formule, nous trouvons : Réponse : x 1 =15, x 2 =-1.

François Viet ? Théorème de Vieta. Si l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 a des racines réelles, alors leur somme est égale à -p et le produit est égal à q, c'est-à-dire x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (la somme des racines de l'équation carrée réduite est égale au deuxième coefficient tiré de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre). Etude de la relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique.

Énoncé 1 : Soit x 1 et x 2 les racines de l'équation x 2 +pх+q=0. Alors les nombres x 1, x 2, p, q sont liés par les égalités : x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 =q Énoncé 2 : Laissez les nombres x 1, x 2, p, q être liés par les égalités x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 =q. Alors x 1 et x 2 sont les racines de l'équation x 2 +pх+q=0 Corollaire : x 2 +pх+q=(x-x 1)(x-x 2). Situations dans lesquelles le théorème de Vieta peut être utilisé. Vérification de l'exactitude des racines trouvées. Déterminer les signes des racines d'une équation quadratique. Trouver oralement les racines entières d'une équation quadratique donnée. Élaboration d'équations quadratiques avec des racines données. Factoriser un trinôme quadratique.

Équations biquadratiques Une équation biquadratique est une équation de la forme où a 0. Équation biquadratique est résolu en introduisant une nouvelle variable : en mettant, on obtient une équation quadratique Exemple : Résoudre l'équation x 4 +4x 2 -21=0 En mettant x 2 =t, on obtient une équation quadratique t 2 +4t -21=0, de où l'on trouve t 1 = -7, t 2 =3. Maintenant, le problème revient à résoudre les équations x 2 = -7, x 2 =3. La première équation n'a pas de racines réelles ; à partir de la seconde on trouve : qui sont les racines de l'équation biquadratique donnée.

Résoudre des problèmes à l'aide d'équations quadratiques Problème 1 : Le bus est parti de la gare routière pour l'aéroport, situé à 40 km. 10 minutes plus tard, un passager a quitté le bus dans un taxi. La vitesse d'un taxi est 20 km/h plus rapide que celle d'un bus. Trouvez la vitesse du taxi et du bus s'ils arrivent à l'aéroport en même temps. Vitesse V (km/h) Temps t (h) Chemin S (km) Busx40 TaxiX+2040 Pendant 10 min 10 min = h Créons et résolvons l'équation :

En multipliant les deux côtés de l'équation par 6x(x+20), on obtient : Les racines de cette équation : Pour ces valeurs de x, les dénominateurs des fractions incluses dans l'équation ne sont pas égaux à 0, ce sont donc les racines de l’équation. Puisque la vitesse du bus est positive, une seule racine satisfait aux conditions du problème : x=60. La vitesse de roulage est donc de 80 km/h. Réponse : La vitesse d'un bus est de 60 km/h, celle d'un taxi est de 80 km/h.

Problème 2 : Le premier dactylographe passe 3 heures de moins à retaper le manuscrit que le second. Travaillant simultanément, ils ont achevé de retaper l’intégralité du manuscrit en 6 heures et 40 minutes. Combien de temps faudrait-il à chacun pour retaper l’intégralité du manuscrit ? Quantité de travail par heure Temps t (h) Quantité de travail Premier dactylographe x1 Deuxième dactylo x+31 Ensemble en 6 heures 40 minutes 6 heures 40 minutes = 6 heures Créons et résolvons l'équation :

Cette équation peut s'écrire ainsi : En multipliant les deux côtés de l'équation par 20x(x+3), on obtient : Les racines de cette équation : Pour ces valeurs de x, les dénominateurs des fractions incluses dans l'équation ne sont pas égal à 0, donc - les racines de l'équation. Puisque le temps est positif, alors x=12h. Ainsi, la première dactylo passe 12 heures au travail, la seconde - 12 heures + 3 heures = 15 heures Réponse : 12 heures et 15 heures 15

François Viet François Viet est né en 1540 en France. Le père de Viet était procureur. Le fils choisit le métier de son père et devient avocat, diplômé de l'université du Poitou. En 1563, il abandonne la jurisprudence et devient professeur dans une famille noble. C’est l’enseignement qui suscite l’intérêt du jeune avocat pour les mathématiques. Viet s'installe à Paris, où il est plus facile de se renseigner sur les réalisations des plus grands mathématiciens européens. Depuis 1571, Viet occupait des postes gouvernementaux importants, mais en 1584, il fut démis de ses fonctions et expulsé de Paris. Il avait désormais l’opportunité de prendre les mathématiques au sérieux. En 1591, il publie le traité « Introduction à l'art analytique », où il montre qu'en opérant avec des symboles, on peut obtenir un résultat applicable à toutes quantités correspondantes. Le célèbre théorème fut publié la même année. Il acquit une grande renommée sous Henri III lors de la guerre franco-espagnole. En deux semaines, travaillant jour et nuit, il trouva la clé du chiffre espagnol. Mort à Paris en 1603, on soupçonne qu'il a été assassiné.

Types standard d'équations et méthodes pour les résoudre

1. Équation de la forme
= b↔ f(x) = b 2, pour b ≥ 0 ; n'a pas de solutions pour b

Règle d'or. Pour résoudre le problème, il faut isoler la racine.

Exemples.

1)

2)

3)
. Il n'y a pas de solutions, parce que...

2. Équation de la forme

Exemples.

Réponse : x = - 1

2) Dans des exemples qui se résument à cette espèceéquations, lors de l'utilisation de transitions équivalentes, il est nécessaire de trouver la plage de valeurs admissibles.

Exemple.

Répondre

3. Équation de la forme


ou

Choisissez l'inégalité la plus simple.

Exemples.

1)

, sinх = t, |t| ≤ 1, t ≥ 0, 0 ≤ t ≤ 1

2t 2 + t – 1 = 0

t = -1 , t = ½ Sous réserve de restrictions t = ½

Répondre:

4. Équations se réduisant au quadratique

De telles équations contiennent des racines avec des expressions radicales identiques, dont les degrés diffèrent d'un facteur deux (
). Résolu en remplaçant la racine
, sous réserve de restrictions.

Exemples.

1)

= t, où t ≥ 0

t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1, t = 3, en tenant compte du fait que t ≥ 0, t = 3

= 3

Réponse : x = ± 7

2)

= t, alors

= 2 ou = ½

= 32 = 1/32

16z =32 16·32z – z = - 1

z = 2 z = - 1/511
5. Équations contenant plus d'une racine sous forme de termes

Dans les équations de ce type, il faut se débarrasser des racines. Le plus souvent, cela se fait en équarrissant les deux parties. Il convient de noter que lors de la mise au carré de l'ODZ de l'inconnu, elle se dilate, ce qui peut conduire à racines étrangèreséquations. La mise au carré ne fournit pas une transition équivalente, les valeurs résultantes de l'inconnue doivent donc être vérifiées.

Lors de la prise de décision, les règles suivantes doivent être respectées :

1. 
   Répartissez les racines à travers différents côtés, puisque les transformations dans ce cas sont plus simples ;
2. 
   Trouver l'ensemble de valeurs pour lesquelles les racines existent ;
3. 
   Équerrez les deux parties ;
4. 
   Amener l'équation sous forme standard ;
5. 
   Résolvez selon les types 1 à 3 ;
6. 
   Éliminer les racines étrangères ;
7. 
   Vérifiez les racines restantes.

1)

résoudre en effectuant l'étape 5 (équation de la forme)

Vérification de x = 3

L'égalité est vraie.

Réponse : x = 3.
2)

3x-4-2
= x – 2

2x – 2 = (1)x – 1 =

Notez que, sur la base de l'équivalence, nous résolvons uniquement l'équation (1), et non celle d'origine, nous devons donc vérifier.

Vous pouvez résoudre sans prendre en compte l'ODZ et ne pas utiliser l'équivalence, mais dans ce cas, toutes les valeurs de x obtenues doivent être vérifiées. Dans certaines équations, c'est assez compliqué.

Examen. x = 3

L'égalité est vraie.

Réponse : x = 3
6. Équations résolues en changeant les variables.

6.1 Remplacements évidents.

Si l'exemple contient des termes avec des expressions répétées, il est alors conseillé de remplacer les variables, ce qui n'est essentiellement pas une solution directe, mais simplifie considérablement la transformation des expressions et amène l'équation à une forme standard.

règle d'or . Effectué un remplacement - déterminez la zone de changement de la nouvelle variable. (mettre des restrictions sur la nouvelle variable)

Exemples.

1)

Soit = ​​t, où t ≥ 0, puisque la racine est arithmétique.

On obtient : t 2 – 2t – 3 = 0

t = - 1, t = 3

Parce que t ≥ 0, t = 3

Passons à x

= 3 x 2 + 32 = 81, x = ± 7.

Réponse : x = ± 7.


Parce que
Et
mutuellement expressions inverses, puis si
=t,

= , où t > 0.

On obtient t + = , 2t 2 – 5t + 2 = 0,

t = ½, t = 2,

= ou = 2

8x = 1+2x, 2x = 4 + 8x

x = 1/6. x = - 2/3

La plus grande racine x = 1/6.

3)

= t, t ≥ 0 Remplacez la racine et exprimez le membre de droite par t.

= t 2,
t 2 – 20

t = - (t 2 – 20), t 2 + t – 20 = 0. t = - 5 ou t = 4.

Parce que t ≥ 0, alors t = 4

= 4,

x2 + 2x + 8 = 16,

x 2 + 2x - 8 = 0, x = - 4 ou x = 2.

Réponse : x = - 4, x = 2.

4)
. Nous produirons double remplacement:

t =
, où t ≥ 0, d =
, où d ≥ 0.

Exprimons x à partir de chacun : x = 5 - t 2 ou x = d 2 + 3. Prenons le système:

. t = 0 ou d = 0

= 0 ou = 0

x = 5 ou x = 3

Réponse : x = 5 ; x = 3.

6.2 Remplacement non évident

Le remplacement d'une variable ne peut pas avoir lieu immédiatement, mais après que les transformations ont été effectuées.

Exemples.

1)

ODZ : - 1 ≤ x ≤ 3

Reprogrammons
c'est vrai pour en savoir plus expression complexe
il reste une chose.

Mettons les deux côtés au carré, en espérant obtenir les mêmes expressions :

Les attentes étaient justifiées.

= t, t ≥0
= t 2 + 4

4t = t 2 + 4, t 2 – 4t + 4 = 0, (t – 2) 2 = 0, t = 2

= 2,
= 4,

x = 1 racine de l'équation, puisque la somme des coefficients et Membre gratuitégal à zéro.

divisons
sur x – 1. On obtient x 2 – 2x + 1 = 0. x = 1 ±
.

Les trois racines sont des solutions car elles satisfont à la condition - 1 ≤ x ≤ 3.

Réponse : x = 1, x = 1 ±
7. Les équations de la forme produit est égale à zéro.

Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro et que l'autre ne perd pas son sens.

f(x) g(x) = 0

Exemples.

1)

= 0

pas de solutions x = - 1, x = 2.

Réponse : x = - 1, x = 2.

Les inégalités incluses dans le système ne peuvent pas être résolues immédiatement, mais la racine qui en résulte peut être substituée à l’inégalité.

2) Il faut factoriser.

= 4

pas de solutions x = 0, x = 5.

Réponse : x = 0, x = 5.

1. 
   Équations contenant des racines carrées et cubiques.

Exemples.

1)

=t,
= d, où d ≥ 0

x = 2 - t 3 , x = d 2 + 1. Créons un système :

Parce que pour toutes les valeurs trouvées t d ≥ 0, alors d ne peut pas être trouvé à partir du système, mais x peut être trouvé à partir de la condition x = 2 - t 3 .

x = 2, x = 10, x = 1

Réponse : x = 2, x = 10, x = 1

2)
.

1 façon. Résolvez comme l’équation précédente.

Méthode 2. remarquerez que côté gauche L'équation représente une fonction croissante, puisqu'elle est constituée de la somme de deux fonctions croissantes sur le domaine de définition : x ≥ - 1. Partie droite- constante. Les graphiques de ces fonctions se coupent en un point dont l'abscisse sera une solution de cette équation, c'est-à-dire l'équation a une solution. Essayons de le récupérer.

Bien entendu, la sélection doit être effectuée dans équations ODZ. Il faut supposer qu'il faut enlever les racines, car... la somme est 3.

On s'assure que x = 3 est la racine de l'équation.

Réponse : x = 3.

3)
.

Parce que
Réduisons les racines dans la même mesure.

, x = - 1

(x + 1)(x2 – 4x + 4)

x2 – 4x + 4 =0 x = 2.

Les deux racines satisfont l’ODZ.

Réponse : x = - 1, x = 2

1. 
   Une équation contenant la somme (différence) de deux racines tierces.

(une + b) 3 = une 3 + b 3 + 3ab(une + b),

(une - b) 3 = une 3 - b 3 - 3ab(une - b) .

Notez que la parenthèse (a ± b) =

Exemples.

1)
. Découpons les deux parties en cubes :

Mais
= 2, donc remplacez la dernière parenthèse par 2.

On a

x = 0

réponse : x = 0.

2)

Notez que les expressions 2 – x et 7 + x sont répétées. Faisons un remplacement :

t =
, ré =
. Où est-ce que x = 2 - t 3 ou x = d 3 – 7

Vous n'êtes pas obligé de trouver t et d, mais utilisez le fait que td = 2

= 2

- x 2 – 5x + 14 = 8, x 2 + 5x - 6 = 0, x = - 6, x = 1.

Réponse : x = - 6, x = 1.

1. 
   Équations contenant des radicaux complexes.

1. 
   Déterminez si l’expression radicale est un carré parfait ;
2. 
   Sélectionner un carré parfait;
3. 
   En l'absence du paragraphe 1, appliquer les formules de radicaux complexes ;
4. 
   En l'absence des éléments 1 à 3, appliquer les transformations standards (remplacement, factorisation, exponentiation, etc.)

1)

Essayons de trouver un carré parfait. (une ± b) 2 = une 2 ± 2ab + b 2. Dans ce cas, il faut raisonner comme suit :

Laisser
- produit double, 2ab.

Laisser
- premier numéro a.

Alors le deuxième nombre b = 1. Par conséquent, la somme des carrés du premier et du deuxième nombre est x – 3. L'expression radicale est un carré complet.

Laisser
- double produit.

Soit le premier nombre a.

Alors le deuxième nombre b = 2. Par conséquent, la somme des carrés du premier et du deuxième nombre est égale à x. L'expression radicale est un carré complet.

+ = 1

Parce que
│a│, alors on obtient l'équation :
│
│ + │
│ = 1

Faisons maintenant le remplacement = t , = t – 1

│t │ + │t – 1 │ = 1

Trouvons les zéros des modules : t = 0, t = 1

│t │

- │ + │ +

│t – 1 │- 0 - 1 + x

aucune solution
aucune solution

0 ≤ ≤ 1

1 ≤ ≤ 2 Parce que Mettons au carré toutes les parties de l'inégalité.

1 ≤ x – 4 ≤ 4, 5 ≤ x ≤ 8.

Répondre:

Méthodes de résolution d'équations irrationnelles

1. 
   Utiliser les propriétés de monotonie des fonctions.

Il faut garder à l’esprit les éléments suivants :

1. 
   La somme de deux fonctions croissantes (décroissantes) est une fonction croissante (décroissante).
2. 
   L'augmentation et la diminution d'une fonction peuvent être déterminées par sa dérivée.

1)
.

Soit f(x) =
. f(x) – diminue de D(f) = (-∞; 3]

g(x) = 6 – constante. Les graphiques des fonctions se croisent en un point. L'équation a une solution.

On sélectionne parmi D(f) = (-∞; 3], en tenant compte du fait que les racines doivent être extraites.

x = - 1.

Examen.

, 4 + 2 = 6, l'égalité est vraie.

Réponse : x = - 1.

2)

Soit f(x) =
. La fonction est décroissante.

Prouvons-le. ré(f) =

f′(x) =

f ′(x) = 0, = 0, x = 2 D(f)

f(1) =
, f(2) = 3, f(3) =

E(f) = [; 3]

g(x) =
, ré(g) =

g′(x) =

g ′(x) = 0 = 0, x = 1 D(g)

g(0) = 3, g(1) = 4, g(2) = 3

E(g) =

remarquerez que même valeur fonctions que nous obtenons uniquement pour x = 2

Vous pouvez également raisonner ainsi : valeur la plus élevée une fonction est égale à valeur la plus basse une autre fonction pour les mêmes valeurs de x. Par conséquent, la solution de l’équation f(x) = g(x) correspond à ces valeurs de x.

max f = 3, min g = 3, max f = min g = 3 à x = 2

Réponse : x = 2

1 façon.

Soit f(x) =
, D(F) = R..

f ′ (x) = 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4

f ′(x) = 0 4х 3 + 12х 2 + 12х + 4 = 0,

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0, (x + 1) 3 = 0

x = - 1
f ′ (x) - │ +

f(x)-1
f min = f(-1) = - 1 E(f) = [ - 1; ∞)
g(x) =
D(g) = R.

g′(x) =
, g ′ (x) = 0 x = - 1

g′(x) + -

g(x) │- 1

g max = g(-1) = - 1 E(g) =(- ∞; - 1]
min f = max g = - 1 à x = -1.

Réponse : x = - 1.

Méthode 2.

Sélectionnez le carré parfait d'un polynôme :

(x 2 + 2x) 2 + 2x 2 + 4x. On a:

(X 2 +2x) 2 + 2(x 2 +2x) +
.

Vous pouvez maintenant effectuer un remplacement :

x2 + 2x = t

t 2 + 2 t +
= 2

Il est possible qu'en équation donnée La méthode 2 est préférable. Mais il est nécessaire de bien maîtriser la méthode d'estimation, car de nombreuses équations, systèmes et inégalités sont résolus précisément de cette manière.

1. 
   Utilisation de DZ