Prouver une affirmation signifie montrer que cette affirmation découle logiquement d’un système d’énoncés vrais et apparentés.

En logique, on pense que si la déclaration en question découle logiquement de déclarations déjà prouvées, alors elle est justifiée et aussi vraie que cette dernière.

Ainsi, la base de la preuve mathématique est méthode déductive. La preuve est la totalité techniques logiques justifier la véracité d'une déclaration à l'aide d'autres déclarations vraies et connexes.

Une preuve mathématique n’est pas seulement un ensemble de conclusions, ce sont des conclusions disposées dans un certain ordre.

Les preuves font la distinction entre direct et indirect.

Preuve directe.

1) Sur la base de quelques phrases vraies et des conditions du théorème, une chaîne d'inférences déductives est construite qui mène à une vraie conclusion.

Exemple. Prouvons que angles verticaux sont égaux. Les angles 1 et 2 sont adjacents, donc 1 +2 = 180 o. Les angles 2 et 3 sont adjacents, donc 2 + 3 = 180 o. On a :1 = 180 o –23 = 180 o –21 =2.

2) Méthode d'induction mathématique. L'affirmation est vraie pour tout nombre naturel n, si : c'est vrai pour n= 1 et de la validité de la déclaration pour tout naturel arbitraire n=k suit sa justice pour n=k+ 1. (Sera discuté plus en détail dans les cours seniors.)

3) Intégration complète(voir plus haut).

Preuve indirecte.

1) Méthode par contradiction. Qu'il soit nécessaire de prouver un théorème UNDANS. On suppose que sa conclusion est fausse, et donc sa négation vrai. En joignant une phrase à l'ensemble des prémisses vraies utilisées dans le processus de preuve (parmi lesquelles se trouve la condition UN), construire une chaîne d'inférences déductives jusqu'à obtenir une affirmation qui contredit l'une des prémisses. La contradiction qui en résulte prouve le théorème.

Exemple. Si deux droites sont parallèles à la même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Donné: X Avec,à Avec. Prouvez que X à.

Preuve. Que ce soit direct X pas parallèle à la ligne à, c'est-à-dire les lignes se croisent à un moment donné UN. Par conséquent, à travers le point UN il y a deux droites parallèles à la droite Avec, ce qui est impossible selon l'axiome du parallélisme.

2) Preuve basée sur la loi de contraposition : au lieu d'un théorème UNDANS prouver un théorème équivalent
. Si c’est vrai, alors le théorème original est également vrai.

Exemple. Si X 2 – nombre pair, Que X– un nombre pair.

Preuve. Supposons que X– un nombre impair, c'est-à-dire X= 2k+ 1X 2 = (2k+ 1) 2 = = 4k 2 + 4k+ 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 – impair.

Questions de sécurité

Qu’appelle-t-on inférence ?

Quelle conclusion est dite déductive ?

Définir l'induction incomplète et complète.

Définir l'inférence par analogie.

Écrivez les schémas d'inférences déductives et prouvez la vérité identique des formules qui sous-tendent ces règles.

Comment vérifier l'exactitude des conclusions à l'aide des cercles d'Euler ? Quelles autres méthodes sont connues pour vérifier l’exactitude des inférences ?

Quelle conclusion s’appelle du sophisme ?

Que signifie prouver une affirmation ?

Quelles preuves se distinguent par la méthode de présentation ?

Décrire les manières de raisonner lorsque diverses formes preuves directes et indirectes.

Prouver une affirmation signifie montrer que cette affirmation découle logiquement d’un système d’énoncés vrais et apparentés.

En logique, on pense que si la déclaration en question découle logiquement de déclarations déjà prouvées, alors elle est justifiée et aussi vraie que cette dernière.

Ainsi, la base de la preuve mathématique est la méthode déductive. Une preuve est un ensemble de techniques logiques permettant de justifier la véracité d'une affirmation à l'aide d'autres affirmations vraies et connexes.

Une preuve mathématique n’est pas seulement un ensemble de conclusions, ce sont des conclusions disposées dans un certain ordre.

Les preuves font la distinction entre direct et indirect.

Preuve directe.

1) Sur la base de quelques phrases vraies et des conditions du théorème, une chaîne d'inférences déductives est construite qui mène à une vraie conclusion.

Exemple. Montrons que les angles verticaux sont égaux. Les angles 1 et 2 sont adjacents, donc
Р 1 + Р 2 = 180 о. Les angles 2 et 3 sont adjacents, donc Р 2 + Р 3 = 180 о. Nous avons : Ð 1 = 180 o – Ð 2 Ð 3 = 180 o – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.

2

2) Méthode induction mathématique. L'affirmation est vraie pour tout nombre naturel n, si : c'est vrai pour n= 1 et de la validité de la déclaration pour tout naturel arbitraire n = k suit sa justice pour n = k+ 1. (Sera discuté plus en détail dans les cours seniors.)

3) Induction complète (voir plus haut).

Preuve indirecte.

1) Méthode par contradiction. Qu'il soit nécessaire de prouver un théorème UN Þ DANS. On suppose que sa conclusion est fausse et que sa négation est donc vraie. En attachant une phrase à un ensemble de prémisses vraies utilisées dans le processus de preuve (parmi lesquelles il y a une condition UN), construire une chaîne d'inférences déductives jusqu'à obtenir une affirmation qui contredit l'une des prémisses. La contradiction qui en résulte prouve le théorème.

Exemple. Si deux droites sont parallèles à la même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Donné: Xúú Avec, àúú Avec. Prouvez que Xúú à.

Preuve. Que ce soit direct X pas parallèle à la ligne à, c'est-à-dire les lignes se croisent à un moment donné UN. Par conséquent, à travers le point UN il y a deux droites parallèles à la droite Avec, ce qui est impossible selon l'axiome du parallélisme.

2) Preuve basée sur la loi de contraposition : au lieu d'un théorème UN Þ DANS prouver un théorème équivalent. Si c’est vrai, alors le théorème original est également vrai.

Exemple. Si X 2 est un nombre pair, alors X– un nombre pair.

Preuve. Supposons que X– un nombre impair, c'est-à-dire X = 2k+ 1Þ X 2 = (2k + 1) 2 =
= 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 – impair.

Questions de sécurité

1. Qu’appelle-t-on inférence ?

2. Quelle conclusion est dite déductive ?

3. Définir l'induction incomplète et complète.

4. Définissez l'inférence par analogie.

5. Écrivez les schémas d'inférences déductives et prouvez la vérité identique des formules qui sous-tendent ces règles.

6. Comment vérifier l'exactitude des conclusions à l'aide des cercles d'Euler ? Quelles autres méthodes sont connues pour vérifier l’exactitude des inférences ?

7. Quelle conclusion est appelée sophisme ?

8. Que signifie prouver une déclaration ?

9. Quelles preuves se distinguent par la méthode de présentation ?

10. Décrire les méthodes de raisonnement dans diverses formes de preuves directes et indirectes.

Donnons un exemple d'utilisation de l'induction incomplète dans le travail avec des enfants d'âge préscolaire : utiliser le jeu " Magnifique pochette» avec des formes géométriques tridimensionnelles, nous aboyons la tâche à l'enfant : « Sortez la figure et nommez-la. » Après plusieurs tentatives, l'enfant devine :

Balle. Balle. Balle. Toutes les balles sont probablement là.

Tâche 14

Proposer un raisonnement supplémentaire afin de vérifier la véracité (ou la fausseté) de la déclaration reçue.

Il est impossible de surestimer l’importance des preuves dans nos vies et en particulier dans la science. Tout le monde a recours aux preuves, mais ne réfléchit pas toujours à ce que signifie « prouver* ». Des compétences pratiques en matière de preuve et des idées intuitives à ce sujet sont suffisantes pour de nombreux objectifs quotidiens, mais pas pour les objectifs scientifiques.

Prouver un énoncé, c'est montrer que cet énoncé logique découle logiquement d'un système d'énoncés vrais et apparentés.

La preuve est opération logique justifier la véracité d'une déclaration à l'aide d'autres déclarations vraies et connexes.

La preuve identifie trois éléments structurels:

1) la déclaration à prouver ;

2) système déclarations vraies, à l'aide duquel la vérité de ce qui est prouvé est justifiée ;

3) lien logique entre les paragraphes. 1 et 2.

La principale méthode de preuve mathématique est inférence déductive.

Selon sa forme preuve- il s'agit d'une inférence déductive ou d'une chaîne d'inférences déductives menant de prémisses vraies à un énoncé prouvé.

Dans une preuve mathématique, l’ordre des conclusions est important. Selon le mode d'administration, ils distinguent preuves directes et indirectes. Les preuves directes incluent l'induction complète, qui a été discutée au paragraphe 1.6.

Intégration complète- une méthode de preuve dans laquelle la vérité d'une affirmation découle de sa vérité dans tous les cas particuliers.

Intégration complète souvent utilisé dans les jeux avec les enfants d'âge préscolaire comme : « Dites-le en un mot. »

Un exemple de preuve directe de l’affirmation « La somme des angles de tout quadrilatère est 360° » :

« Considérons un quadrilatère arbitraire. En y traçant une diagonale, nous obtenons 2 triangles. La somme des angles du quadrilatère sera égale à la somme des angles des deux triangles résultants. Puisque la somme des angles dans n'importe quel triangle est de 180°, alors en additionnant 180° et 180°, on obtient la somme des angles dans deux triangles, ce sera 360°. Par conséquent, la somme des angles dans n’importe quel quadrilatère est de 360", ce qui devait être prouvé. »

Les conclusions suivantes peuvent être tirées de la preuve ci-dessus :

1. Si la figure est un quadrilatère, vous pouvez alors y tracer une diagonale qui divisera le quadrilatère en 2 triangles. Cette figure est un quadrilatère. On peut donc le diviser en 2 triangles en construisant une diagonale.

2. Dans tout triangle, la somme des angles est ISO." Ces figures sont des triangles. Par conséquent, la somme des angles de chacun d'eux est de 180°.

3. Si un quadrilatère est composé de deux triangles, alors la somme de ses angles est égale à la somme des angles de ces triangles. Ce quadrilatère est composé de deux triangles dont la somme des angles est de 180°. 180o+180o=360°. La somme des angles de ce quadrilatère est donc de 360°.

Toutes les inférences ci-dessus sont faites selon la règle d’inférence et sont donc déductives.

Un exemple de preuve indirecte est la preuve par contradiction. DANS dans ce cas, c'est autorisé que la conclusion est fausse, donc sa négation est vraie. Après avoir rattaché cette phrase à un ensemble de prémisses vraies, ils raisonnent jusqu'à obtenir une contradiction.

Donnons un exemple de preuve par contradiction du théorème : « Si deux droites UN Et b parallèles à la troisième droite c, alors ils sont parallèles entre eux » :

« Supposons que les lignes droites UN Et b ne sont pas parallèles, alors ils se couperont en un point A qui n’appartient pas à la droite c. Nous constatons alors que passant par le point A, nous pouvons tracer deux droites a et b, parallèles à c. Cela contredit l'axiome du parallélisme : « Par un point

8. Établissez des règles définition explicite par la différence des genres et des espèces.

9. Quelle définition s'appelle :

Contextuel;

Ostensive ?

10. Qu'est-ce qu'une déclaration et qu'est-ce qu'une forme expressive ?

11. Quand les phrases des types « A et B », « A ou B », « Pas A » sont-elles vraies et quand sont-elles fausses ?

12. Énumérez les quantificateurs généraux et les quantificateurs d’existence. Comment établir la valeur de vérité de phrases avec différents quantificateurs ?

13. Quand y a-t-il une relation de conséquence entre les phrases, et quand y a-t-il une relation d'équivalence ? Comment sont-ils désignés ?

14. Qu'est-ce que l'inférence ? Quelle conclusion est dite déductive ?

15. Écrivez les règles de conclusion, la règle de négation, la règle de syllogisme à l'aide de symboles.

16. Quelles inférences sont appelées induction incomplète, et quelles inférences par analogie ?

17. Que signifie prouver une déclaration ?

18. Qu'est-ce qu'une preuve mathématique ?

19. Définir l'induction complète.

20. Qu'est-ce que le sophisme ?

Le concept d'heuristique en mathématiques

1.1. Concept de preuve en mathématiques

La théorie de la preuve est développée en logique et comprend trois composants structurels: thèse (ce qui est censé être prouvé), arguments (un ensemble de faits, des concepts généralement acceptés, des lois, etc. de la science correspondante) et démonstration (la procédure de développement de la preuve elle-même ; une chaîne séquentielle d'inférences, lorsque le la nième inférence devient l'une des prémisses n+ 1ère conclusion). Les règles de preuve sont mises en évidence et les erreurs logiques possibles sont indiquées.

La preuve mathématique a beaucoup de points communs avec les principes établis logique formelle. De plus, règles mathématiques le raisonnement et les opérations ont évidemment servi de fondement au développement de la procédure de preuve en logique. En particulier, les chercheurs sur l'histoire de la formation de la logique formelle estiment qu'à une époque, lorsqu'Aristote faisait les premiers pas pour créer des lois et des règles de logique, il se tourna vers les mathématiques et la pratique de l'activité juridique. Dans ces sources, il trouva matière à la construction logique de sa théorie projetée.

Au 20ème siècle la notion de preuve a perdu son sens strict, ce qui s'est produit à l'occasion de la découverte paradoxes logiques, caché dans la théorie des ensembles et surtout en lien avec les résultats apportés par les théorèmes de K. Gödel sur l’incomplétude de la formalisation. Serebryanikov O.F. Principes heuristiques et pensée logique. M. : 1979. - p. 111

Tout d'abord, cela concernait les mathématiques elles-mêmes, à propos desquelles on pensait que le terme « preuve » n'avait pas d'importance. définition précise. Mais si une telle opinion (qui existe encore aujourd'hui) affecte les mathématiques elles-mêmes, alors ils arrivent à la conclusion que la preuve doit être acceptée non pas dans le sens logico-mathématique, mais dans le sens logique-mathématique. sens psychologique. De plus, un point de vue similaire se retrouve chez Aristote lui-même, qui croyait que prouver signifie mener un raisonnement qui nous convaincra à tel point qu'en l'utilisant, nous convainquons les autres de la justesse de quelque chose. Certaines ombres approche psychologique trouvé dans A.E. Yesenin-Volpina. Il s’oppose catégoriquement à l’acceptation de la vérité sans preuve, la reliant à un acte de foi et écrit en outre : « La preuve d’un jugement est une réception honnête qui rend ce jugement indéniable. » Yesenin rapporte que sa définition doit encore être clarifiée. En même temps, la qualification même des preuves de « réception honnête » ne révèle-t-elle pas un appel à une évaluation morale et psychologique ?

Parallèlement, la découverte des paradoxes de la théorie des ensembles et l'apparition des théorèmes de Gödel ont contribué au développement de la théorie de la preuve mathématique entreprise par les intuitionnistes, notamment de tendance constructiviste, et D. Hilbert.

On croit parfois qu'une preuve mathématique est de nature universelle et représente option idéale preuve scientifique. Cependant, ce n'est pas la seule méthode, il existe d'autres moyens de procédures et d'opérations fondées sur des preuves. La seule chose qui est vraie est qu'une preuve mathématique présente de nombreuses similitudes avec la preuve formelle-logique mise en œuvre dans les sciences naturelles, et qu'une preuve mathématique a une certaine spécificité, ainsi qu'un ensemble de techniques et d'opérations. Nous nous arrêterons là, en omettant les caractéristiques communes qui la rendent similaire aux autres formes de preuve, c'est-à-dire sans développer l'algorithme, les règles, les erreurs, etc. dans toutes les étapes (même les principales). processus de preuve.

Une preuve mathématique est un raisonnement dont la tâche est de justifier la vérité (bien sûr, dans un sens mathématique, c'est-à-dire déductible) de toute affirmation.

L'ensemble des règles utilisées dans la preuve s'est formé avec l'avènement de constructions axiomatiques théorie mathématique. Cela s'est réalisé de la manière la plus claire et la plus complète dans la géométrie d'Euclide. Ses « Principes » sont devenus une sorte de modèle standard d'organisation axiomatique. connaissances mathématiques Et pendant longtemps le restait pour les mathématiciens.

Les déclarations présentées sous la forme d'une certaine séquence doivent garantir une conclusion qui, sous réserve des règles du fonctionnement logique, est considérée comme prouvée. Il faut souligner qu'un certain raisonnement n'est une preuve que par rapport à un certain système axiomatique.

Lors de la caractérisation d'une preuve mathématique, deux caractéristiques principales se distinguent. Tout d’abord, la preuve mathématique exclut toute référence à des preuves empiriques. L'ensemble de la procédure de justification de la véracité d'une conclusion s'effectue dans le cadre des axiomatiques acceptées. L'académicien A.D. Alexandrov souligne à cet égard. Vous pouvez mesurer les angles d'un triangle des milliers de fois et vous assurer qu'ils sont égaux à 2d Serebryanikov O.F. Principes heuristiques et pensée logique. M. : 1979. - p. 48-49. . Mais on ne peut rien prouver avec les mathématiques. Vous pouvez le lui prouver si vous déduisez l’énoncé ci-dessus des axiomes. Ici, les mathématiques sont proches des méthodes de la scolastique, qui rejette également fondamentalement l'argumentation basée sur des faits expérimentalement donnés.

Par exemple, lorsque l'on a découvert l'incommensurabilité des segments, pour prouver ce théorème, on a eu recours à expérience physique, puisque, d’une part, le concept même d’« incommensurabilité » est dépourvu de signification physique et, deuxièmement, les mathématiciens ne pouvaient pas, lorsqu'ils traitaient d'abstraction, faire appel à des extensions matériellement concrètes, mesurables par des méthodes sensorielles et visuelles. L'incommensurabilité, en particulier, des côtés et des diagonales d'un carré est prouvée à partir de la propriété des nombres entiers en utilisant le théorème de Pythagore sur l'égalité du carré de l'hypoténuse (respectivement la diagonale) à la somme des carrés des jambes (deux côtés triangle rectangle). Ou bien, lorsque Lobatchevski cherchait une confirmation de sa géométrie, en se tournant vers les résultats d'observations astronomiques, cette confirmation était réalisée par lui au moyen d'un caractère purement spéculatif. Les interprétations de la géométrie non euclidienne réalisées par Cayley-Klein et Beltrami présentaient également des caractéristiques typiquement mathématiques plutôt que mathématiques. objets physiques Lakatos I. Preuves et réfutations. M., 1967. - p. 84. .

La deuxième caractéristique de la preuve mathématique est son caractère abstrait le plus élevé, dans lequel elle diffère des procédures de preuve des autres sciences. Et encore, comme dans le cas du concept d'objet mathématique, nous parlons de pas seulement sur le degré d'abstraction, mais sur sa nature. Le fait est que haut niveau la preuve atteint également l'abstraction dans un certain nombre d'autres sciences, par exemple en physique, en cosmologie et, bien sûr, en philosophie, puisque cette dernière a pour sujet les problèmes ultimes de l'être et de la pensée. Les mathématiques se distinguent par le fait que des variables fonctionnent ici, dont la signification fait abstraction de toute propriété spécifique. Rappelons que, par définition, les variables sont des signes qui en eux-mêmes n'ont pas de signification et n'acquièrent cette dernière que lorsqu'on leur substitue des noms. certains articles(variables individuelles) ou lors de l'indication de propriétés et de relations spécifiques (variables de prédicat), ou, enfin, en cas de remplacement d'une variable par une instruction significative (variable propositionnelle).

Cette caractéristique détermine la nature de l'abstraction extrême des signes utilisés dans la preuve mathématique, ainsi que des énoncés qui, en raison de l'inclusion de variables dans leur structure, se transforment en fonctions d'énoncés.

Ainsi, les conclusions suivantes peuvent être tirées.

Une preuve mathématique est un argument visant à prouver la véracité d’un énoncé.

Lors de la caractérisation d'une preuve mathématique, deux caractéristiques principales se distinguent. Tout d’abord, la preuve mathématique exclut toute référence à des preuves empiriques. La deuxième caractéristique de la preuve mathématique est son caractère abstrait le plus élevé, dans lequel elle diffère des procédures de preuve des autres sciences.

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1. Méthodes de preuve mathématique

2. Preuves directes et indirectes. Preuve par contradiction.

3. Principales conclusions

Méthodes de preuve mathématique

DANS la vie quotidienne Souvent, lorsqu’ils parlent de preuve, ils entendent simplement vérifier la déclaration faite. En mathématiques, la vérification et la preuve sont des choses différentes, bien qu’elles soient liées. Supposons, par exemple, que vous vouliez prouver que si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle.

Si nous prenons un quadrilatère dont les trois angles sont droits, et qu’en mesurant le quatrième, nous sommes convaincus qu’il est effectivement juste, alors cette vérification rendra cette affirmation plus plausible, mais pas encore prouvée.

Pour prouver cette affirmation, considérons un quadrilatère arbitraire dans lequel trois angles sont droits. Puisque dans tout quadrilatère convexe la somme des angles est de 360⁰, alors dans celui-ci elle est de 360⁰. La somme de trois angles droits est de 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), et donc le quatrième a une valeur de 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Si tous les angles d’un quadrilatère sont droits, alors c’est un rectangle donc ce quadrilatère sera un rectangle. Q.E.D.

Notez que l’essence de la preuve est de construire une séquence d’énoncés vrais (théorèmes, axiomes, définitions), à partir de laquelle découle logiquement l’énoncé à prouver.

Du tout prouver une affirmation signifie montrer que cette affirmation découle logiquement d'un système d'énoncés vrais et apparentés.

En logique, on pense que si la déclaration en question découle logiquement de déclarations déjà prouvées, alors elle est justifiée et aussi vraie que cette dernière.

Ainsi, la base de la preuve mathématique est l’inférence déductive. Et la preuve elle-même est une chaîne d'inférences, et la conclusion de chacune d'elles (sauf la dernière) est une prémisse dans l'une des inférences ultérieures.

Par exemple, dans la preuve ci-dessus, les conclusions suivantes peuvent être distinguées :

1. Dans tout quadrilatère convexe, la somme des angles est de 360⁰ ; ce chiffre – quadrilatère convexe, par conséquent, la somme des angles est de 360⁰.

2. Si la somme de tous les angles d'un quadrilatère et la somme de trois d'entre eux sont connues, alors par soustraction vous pouvez trouver la valeur du quatrième ; la somme de tous les angles d'un quadrilatère donné est 360⁰, la somme de trois est 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), puis la valeur du quatrième est 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Si tous les angles d’un quadrilatère sont droits, alors ce quadrilatère est un rectangle ; Dans un quadrilatère donné, tous les angles sont droits, c’est donc un rectangle.

Toutes les inférences ci-dessus sont faites selon la règle d’inférence et sont donc déductives.

La preuve la plus simple consiste en une seule inférence. Ceci, par exemple, est la preuve de l'affirmation selon laquelle 6< 8.

Ainsi, en parlant de la structure d'une preuve mathématique, nous devons comprendre qu'elle comprend tout d'abord l'énoncé qui est prouvé et le système d'énoncés vrais à l'aide duquel la preuve est effectuée.

Il convient également de noter qu’une preuve mathématique n’est pas simplement un ensemble de conclusions, ce sont des conclusions disposées dans un certain ordre.

Selon le mode d'administration (forme), ils distinguent direct et indirect preuve. La preuve considérée plus tôt était directe - dans celle-ci, basée sur une phrase vraie et tenant compte des conditions du théorème, une chaîne d'inférences déductives a été construite qui a conduit à une vraie conclusion.

Un exemple de preuve indirecte est la preuve par contradiction . Son essence est la suivante. Qu'il soit nécessaire de prouver un théorème

A ⇒ B. Lors de la démonstration par contradiction, on suppose que la conclusion du théorème (B) est fausse et, par conséquent, sa négation est vraie. En attachant la phrase « non B » à l'ensemble des prémisses vraies utilisées dans le processus de preuve (parmi lesquelles se trouve la condition A), ils construisent une chaîne de conclusions déductives jusqu'à obtenir un énoncé qui contredit l'une des prémisses et, en particulier, condition A. Comment seule une telle contradiction est établie, le processus de preuve est terminé et on dit que la contradiction résultante prouve la vérité du théorème

Problème 1. Montrer que si a + 3 > 10, alors a ≠ 7. Méthode par contradiction.

Problème 2. Montrer que si x² est un nombre pair, alors x est pair. La méthode inverse.

Problème 3. Étant donné quatre nombres naturels consécutifs. Est-il vrai que le produit des nombres moyens de cette séquence plus de travail les extrêmes par 2 ? Méthode d'induction incomplète.

Intégration complète- il s'agit d'une méthode de preuve dans laquelle la vérité d'une affirmation découle de sa vérité dans tous les cas particuliers.

Problème 4. Prouver que chaque composant nombre naturel, supérieur à 4 mais inférieur à 20, peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers.

Problème 5. Est-il vrai que si l'entier naturel n n'est pas un multiple de 3, alors la valeur de l'expression n² + 2 est un multiple de 3 ? Méthode d'induction complète.

Principales conclusions

À ce stade, nous nous sommes familiarisés avec les concepts : inférence, prémisse et conclusion, inférences déductives (correctes), induction incomplète, analogie, preuve directe, preuve indirecte, induction complète.

Nous avons découvert que l'induction et l'analogie incomplètes sont étroitement liées à la déduction : les conclusions obtenues en utilisant l'induction et l'analogie incomplètes doivent être soit prouvées, soit infirmées. En revanche, la déduction ne s'applique pas espace vide, mais est le résultat d’une étude inductive préalable du matériau.

Le raisonnement déductif permet d'obtenir de nouvelles vérités à partir des connaissances existantes, et de plus, à l'aide du raisonnement, sans recourir à l'expérience, à l'intuition, etc.

Nous avons découvert qu'une preuve mathématique est une chaîne d'inférences déductives effectuées selon certaines règles. Nous avons fait connaissance avec les plus simples d'entre elles : la règle de conclusion, la règle de négation, la règle du syllogisme. Nous avons appris que vous pouvez vérifier l'exactitude de vos conclusions à l'aide des cercles d'Euler.

PROBLÈME DE TEXTE ET SON PROCESSUS DE SOLUTION

Conférence 11. Problème de mots et le processus de résolution

1. Structure d'un problème de mots

2. Méthodes et méthodes pour résoudre les problèmes de mots

3. Étapes de résolution du problème et modalités de leur mise en œuvre

Sauf diverses notions, propositions, preuves dans tout cours de mathématiques il y a des tâches. Dans l'enseignement des mathématiques collégiens les prédominants sont ceux appelés arithmétique, textuel, intrigue. Ces tâches sont formulées en langage naturel (on les appelle texte): ils décrivent généralement le côté quantitatif de certains phénomènes ou événements (c'est pourquoi ils sont souvent appelés arithmétique ou parcelle); ils représentent des problèmes pour trouver ce qui est recherché et se résument au calcul de la valeur inconnue d'une certaine quantité (c'est pourquoi on les appelle parfois informatique).

Dans ce manuel, nous utiliserons le terme « problèmes de mots », car il est le plus souvent utilisé dans la méthodologie d'enseignement des mathématiques aux élèves du primaire.

Résoudre des problèmes de mots quand enseignement primaire une grande attention est portée. Cela est dû au fait que ces tâches ne sont souvent pas seulement un moyen de former de nombreux concepts mathématiques, mais surtout - un moyen de développer des compétences pour construire modèles mathématiques phénomènes réels, ainsi qu'un moyen de développer la réflexion des enfants.

Il existe divers approches méthodologiques pour apprendre aux enfants à résoudre des problèmes de mots. Mais quelle que soit la méthode d'enseignement choisie par l'enseignant, il doit savoir comment fonctionnent ces problèmes et être capable de les résoudre. diverses méthodes et les moyens.

Structure d'un problème de mots

Comme mentionné ci-dessus, toute tâche textuelle est une description d'un phénomène (situation, processus). De ce point de vue, un problème textuel est un modèle verbal d'un phénomène (situation, processus). Et, comme dans tout modèle, le problème du texte ne décrit pas l'ensemble du phénomène dans son ensemble, mais seulement certains de ses aspects, principalement ses caractéristiques quantitatives. Prenons par exemple le problème suivant : « La voiture a quitté le point A à une vitesse de 60 km/h. Au bout de 2 heures, une deuxième voiture l'a suivi à une vitesse de 90 km/h. A quelle distance de A la deuxième voiture dépassera-t-elle la première ?

Le problème décrit le mouvement de deux voitures. Comme vous le savez, tout mouvement est caractérisé par trois grandeurs : la distance parcourue, la vitesse et le temps de déplacement. Dans ce problème, on connaît les vitesses des première et deuxième voitures (60 km/h et 90 km/h), on sait qu'elles ont parcouru la même distance du point A au lieu de rendez-vous dont il faut connaître les caractéristiques quantitatives. trouvé. De plus, on sait que la première voiture a roulé 2 heures de plus que la seconde.

Pour résumer, nous pouvons dire qu'un problème de mots est une description de langage naturel un phénomène (situation, processus) avec l'exigence de donner une caractéristique quantitative de toute composante de ce phénomène, d'établir la présence ou l'absence d'une certaine relation entre les composantes, ou de déterminer le type de cette relation.

Considérons un autre problème de cours initial mathématiciens : « Un pull, un bonnet et une écharpe ont été tricotés à partir de 1 kg 200 g de laine. L'écharpe nécessitait 100 g de laine de plus que le bonnet, et 400 g de moins que le pull. Quelle quantité de laine avez-vous utilisée pour chaque article ?

Le problème concerne le fait de dépenser de la laine pour un pull, un bonnet et une écharpe. Concernant ces objets, il existe certains déclarations Et exigences.

Déclarations :

1. Le pull, le bonnet et l'écharpe sont tricotés à partir de 1200 g de laine.

2. Nous avons dépensé 100 g de plus pour l'écharpe que pour le bonnet.

3. Nous avons dépensé 400 g de moins pour l'écharpe que pour le pull.

Exigences:

1. Quelle quantité de laine avez-vous utilisée pour le pull ?

2. Quelle quantité de laine avez-vous utilisée pour le chapeau ?

3. Quelle quantité de laine avez-vous utilisée pour l’écharpe ?

Les énoncés du problème sont appelés conditions(ou condition, comme à l'école primaire). Un problème contient généralement non pas une condition, mais plusieurs conditions élémentaires. Ils représentent les caractéristiques quantitatives ou qualitatives des objets de tâche et les relations entre eux. Il peut y avoir plusieurs exigences dans une tâche. Ils peuvent être formulés à la fois de manière interrogative et forme affirmative. Les conditions et les exigences sont interdépendantes.

Un système de conditions et d’exigences interconnectées est appelé modèle expressif d’une tâche.

Ainsi, pour comprendre quelle est la structure d'un problème, il est nécessaire d'identifier ses conditions et ses exigences, en éliminant tout ce qui est inutile, secondaire et n'affectant pas sa structure. En d’autres termes, il est nécessaire de construire un modèle expressif du problème.

Pour obtenir ce modèle, vous devez développer le texte de la tâche (cela peut être fait par écrit ou oralement), car le texte de la tâche est généralement donné sous une forme abrégée et réduite. Pour ce faire, vous pouvez reformuler le problème, en construire un modèle graphique, introduire une notation, etc.

De plus, l’isolement des conditions problématiques peut être effectué à différentes profondeurs. La profondeur de l'analyse des conditions et des exigences d'une tâche dépend principalement de notre connaissance du type de problèmes auquel appartient la tâche donnée et de notre capacité à résoudre ces problèmes.

Exemple 1. Formuler les conditions et exigences de la tâche :

Deux filles ont couru simultanément l'une vers l'autre le long d'une piste de sport longue de 420 m. Lorsqu'elles se sont rencontrées, la première a couru 60 m de plus que la seconde. À quelle vitesse chaque fille courait-elle si elles se rencontraient après 30 secondes ?

Le problème concerne le mouvement de deux filles l'une vers l'autre. Comme vous le savez, le mouvement est caractérisé par trois grandeurs : la distance, la vitesse et le temps.

Conditions problématiques :

1. Deux filles courent l’une vers l’autre.

2. Ils ont commencé à bouger en même temps.

3. La distance parcourue est de 420 m.

4. Une fille a couru 60 m de plus que l’autre.

5. Les filles se sont rencontrées au bout de 30 secondes.

6. La vitesse d’une fille est supérieure à la vitesse de déplacement.
un autre.

Exigences de la tâche :

1. À quelle vitesse la 1ère fille a-t-elle couru ?

2. À quelle vitesse la 2ème fille a-t-elle couru ?

En ce qui concerne les conditions et exigences, il y a :

UN) certaines tâches - en eux conditions données autant que
nécessaire et suffisant pour répondre aux exigences ;

b) tâches sous-définies - les conditions qui y sont contenues ne sont pas suffisantes pour obtenir une réponse ;

V) tâches redéfinies - ils contiennent des conditions inutiles.

DANS école primaire les tâches sous-déterminées sont considérées comme des tâches avec des données manquantes, et les tâches surdéterminées sont considérées comme des tâches avec des données redondantes.

Par exemple, la tâche « Près de la maison il y avait 5 pommiers, 2 cerisiers et 3 bouleaux. Combien d’arbres fruitiers poussaient près de la maison ? est remplacé car il contient une condition supplémentaire.

Problème « D'abord, 12 chaises ont été retirées de la salle, puis 5 autres. Combien de chaises sont restées dans la salle ? » est sous-déterminée – ses conditions ne suffisent pas à répondre à la question posée.

Précisons maintenant le sens du terme « solution à un problème ». Il se trouve que ce terme désigne différentes notions:

1) la solution au problème est le résultat, c'est-à-dire réponse à la demande
tâches ;

2) résoudre un problème est le processus permettant de trouver ce résultat, et ce processus est considéré de deux manières : et comme méthode pour trouver le résultat (par exemple, ils parlent de résoudre un problème méthode arithmétique) et comme une séquence de ces actions que le décideur effectue, en utilisant l'une ou l'autre méthode (c'est-à-dire dans dans ce cas sous
la solution d'un problème s'entend comme l'ensemble des activités de la personne qui résout le problème).

Exercices

1. Dans les tâches suivantes, mettez en évidence les conditions et exigences :

a) Deux bus sont partis simultanément de la ville vers le village, dont la distance est de 72 km. Le premier bus est arrivé au village 15 minutes plus tôt que le second. À quelle vitesse circulait chaque bus si la vitesse de l’un d’eux était supérieure de 4 km/h à celle de l’autre ?

b) La somme de deux nombres est 199. Trouvez ces nombres si l'un d'eux est 61 de plus que l'autre.

2. Formulez les problèmes de l'exercice 1 de telle sorte que la phrase contenant l'exigence ne contienne pas de conditions.

3. Dans les problèmes de l'exercice 1 forme impérative Remplacez les exigences par un interrogatif, l'interrogatif par un impératif.

4. Résolvez les problèmes de l’exercice I.

5. Les conditions de la tâche sont données : « Nous avons collecté 42 kg de concombres et 5/7 de tous les concombres ont été marinés. »

Dans la liste ci-dessous, sélectionnez les exigences pour cette condition et résolvez le problème qui en résulte :

a) Combien de kilogrammes de concombres restent-ils non salés ?

b) Combien de kilogrammes de tomates ont été laissés non salés ?

c) Qu'est-ce qui est plus grand : la masse de concombres qui ont été salés ou la masse de concombres qui sont restés non salés ?

6. Formuler les exigences possibles pour les conditions problématiques :

a) Nous avons acheté 12 m de tissu et avons utilisé un tiers du tissu pour une robe.

b) Un piéton a quitté le village, et 2 heures plus tard un cycliste l'a laissé derrière lui. La vitesse d’un cycliste est de 10 km/h et celle d’un piéton de 5 km/h.

7. Quelles données sont nécessaires pour répondre à l’exigence suivante ?
tâches :

a) Quelle partie de la leçon a été utilisée pour résoudre le problème ?

b) Combien de robes ont été confectionnées à partir du tissu acheté ?

c) Trouvez le périmètre du rectangle.

8. L'élève s'est vu confier une tâche : « Le cycliste a roulé 2 heures avec
une certaine vitesse. Après avoir parcouru 60 km avec le même
vitesse, son trajet sera de 48 km. À quelle vitesse ça allait ?
cycliste?" Il l'a résolu comme ceci :

1)60-48= 12 (km)

2) 12:2 = 6 (km/h)

Répondre: 6 km/h est la vitesse du cycliste.

Êtes-vous d’accord avec cette solution à ce problème ?

9. Pouvez-vous donner une réponse à l’exigence du problème suivant :

a) Pour 3 m de tissu, ils ont payé 60 000 roubles. La deuxième fois, nous avons acheté 6 m de tissu. Combien d’argent avez-vous payé pour le tissu que vous avez acheté la deuxième fois ?

b) Deux motocyclistes se dirigent l'un vers l'autre. La vitesse de l’un d’eux est de 62 km/h et celle de l’autre de 54 km/h. Dans combien d’heures les motards se retrouveront-ils ?

S'il est impossible de répondre aux exigences du problème, complétez son état et résolvez le problème.

10. Y a-t-il des les tâches ci-dessous avec des données supplémentaires :

a) Le volume de la pièce est de 72 m³. La hauteur de la pièce est de 3 m. Trouvez la superficie au sol de la pièce si sa longueur est de 6 m.

5) Un terrain de 300 hectares a été alloué à la plantation forestière. Des du6s ont été plantés sur 7/10 de la parcelle, et des pins sur 3/10 de la parcelle. Combien d'hectares sont occupés par des chênes et des pins ?

Si le problème contient des données inutiles, éliminez-les et résolvez le problème.