Quelle équation est appelée l’équation exponentielle la plus simple. Résolution d'équations de puissance exponentielle, d'algorithmes et d'exemples

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Résolution de tout type d'équations en ligne sur le site destiné aux étudiants et écoliers pour consolider la matière étudiée.. Résolution d'équations en ligne. Équations en ligne. Il existe des types d'équations algébriques, paramétriques, transcendantales, fonctionnelles, différentielles et autres. Certaines classes d'équations ont des solutions analytiques, qui sont pratiques car elles ne donnent pas seulement. valeur exacte root, mais vous permettent d'écrire la solution sous la forme d'une formule, qui peut inclure des paramètres. Expressions analytiques permettent non seulement de calculer les racines, mais aussi d'analyser leur existence et leur quantité en fonction des valeurs des paramètres, ce qui est souvent encore plus important pour application pratique, comment valeurs spécifiques racines Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Résoudre une équation consiste à trouver les valeurs des arguments pour lesquelles cette égalité est atteinte. Sur valeurs possibles des arguments peuvent être imposés conditions additionnelles(entier, réel, etc.). Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Vous pouvez résoudre l'équation en ligne instantanément et avec une grande précision du résultat. Les arguments des fonctions spécifiées (parfois appelés « variables ») sont appelés « inconnues » dans le cas d'une équation. Les valeurs des inconnues auxquelles cette égalité est atteinte sont appelées solutions ou racines de cette équation. Ils disent des racines qu'ils satisfont cette équation. Résoudre une équation en ligne, c'est trouver l'ensemble de toutes ses solutions (racines) ou prouver qu'il n'y a pas de racines. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Les équations dont les ensembles de racines coïncident sont appelées équivalentes ou égales. Les équations qui n’ont pas de racines sont également considérées comme équivalentes. L'équivalence des équations a la propriété de symétrie : si une équation est équivalente à une autre, alors la deuxième équation est équivalente à la première. L'équivalence des équations a la propriété de transitivité : si une équation est équivalente à une autre, et la seconde est équivalente à une troisième, alors la première équation est équivalente à la troisième. La propriété d'équivalence des équations permet d'effectuer avec elles des transformations, sur lesquelles reposent les méthodes pour les résoudre. Résolution d'équations en ligne.. Équations en ligne. Le site vous permettra de résoudre l'équation en ligne. Les équations pour lesquelles des solutions analytiques sont connues comprennent les équations algébriques ne dépassant pas le quatrième degré : équation linéaire, équation quadratique, équation cubique et une équation du quatrième degré. Équations algébriques diplômes supérieurs en cas général solution analytique n'en ont pas, bien que certaines d'entre elles puissent être réduites à des équations de degrés inférieurs. Les équations qui incluent des fonctions transcendantales sont appelées transcendantales. Parmi eux, les solutions analytiques sont connues pour certains équations trigonométriques, puisque les zéros fonctions trigonométriques bien connu. Dans le cas général, lorsqu'une solution analytique ne peut être trouvée, des méthodes numériques sont utilisées. Méthodes numériques ne donne pas de solution exacte, mais permet seulement de réduire l'intervalle dans lequel se trouve la racine à un intervalle prédéterminé valeur définie. Résoudre des équations en ligne.. Équations en ligne.. Au lieu d'une équation en ligne, nous imaginerons comment se forme la même expression dépendance linéaire et pas seulement le long d'une droite tangente, mais aussi au point même d'inflexion du graphique. Cette méthode est indispensable à tout moment dans l’étude du sujet. Il arrive souvent que la solution des équations se rapproche de la valeur finale par nombres infinis et enregistrements vectoriels. Il est nécessaire de vérifier les données initiales et c'est l'essence de la tâche. Sinon condition locale converti en formule. Inversion le long d'une droite de fonction donnée, que le calculateur d'équation calculera sans trop de retard dans l'exécution, le décalage sera servi par le privilège de l'espace. Nous parlerons de la réussite des étudiants dans le milieu scientifique. Cependant, comme tout ce qui précède, cela nous aidera dans le processus de recherche et lorsque vous résoudrez complètement l'équation, stockerez la réponse résultante aux extrémités du segment de droite. Les lignes dans l'espace se coupent en un point et ce point est appelé coupé par les lignes. L'intervalle sur la ligne est indiqué comme spécifié précédemment. Le poste le plus élevé pour l'étude des mathématiques sera publié. Attribuer une valeur d'argument de manière paramétrique surface donnée et résoudre l'équation en ligne sera en mesure d'exposer les principes d'un accès productif à la fonction. La bande de Möbius, ou l'infini comme on l'appelle, ressemble à un huit. Il s’agit d’une surface à un côté et non à deux côtés. Selon le principe généralement connu de tous, nous accepterons objectivement équations linéaires pour le titre de base tel quel et dans le domaine d'études. Seules deux valeurs d'arguments donnés séquentiellement sont capables de révéler la direction du vecteur. Supposer qu'une autre solution aux équations en ligne est bien plus que simplement la résoudre, cela signifie obtenir une version à part entière de l'invariant. Sans approche intégrée Il est difficile pour les étudiants d'apprendre cette matière. Comme auparavant, pour chaque cas particulier, notre calculateur d'équations en ligne pratique et intelligent aidera tout le monde dans les moments difficiles, car il vous suffit de spécifier les paramètres d'entrée et le système lui-même calculera la réponse. Avant de commencer à saisir des données, nous aurons besoin d’un outil de saisie, ce qui peut être réalisé sans trop de difficulté. Le nombre de chaque estimation de réponse conduira à une équation quadratique pour nos conclusions, mais ce n'est pas si facile à faire, car il est facile de prouver le contraire. La théorie, en raison de ses caractéristiques, n'est pas soutenue connaissance pratique. Voir un calculateur de fractions au stade de la publication de la réponse n'est pas une tâche facile en mathématiques, car l'alternative consistant à écrire un nombre sur un ensemble contribue à augmenter la croissance de la fonction. Cependant, il serait inexact de ne pas parler de la formation des étudiants, c'est pourquoi nous dirons chacun ce qu'il faut faire. L'équation cubique trouvée précédemment appartiendra de plein droit au domaine de définition et contiendra l'espace valeurs numériques, ainsi que des variables symboliques. Ayant appris ou mémorisé le théorème, nos étudiants ne feront leurs preuves qu'avec le meilleur côté, et nous serons heureux pour eux. Contrairement aux intersections de champs multiples, nos équations en ligne sont décrites par un plan de mouvement en multipliant deux et trois lignes numériques combinées. Un ensemble en mathématiques n’est pas défini de manière unique. La meilleure solution, selon les étudiants, est un enregistrement complet de l'expression. Comme on l'a dit langage scientifique, l'abstraction des expressions symboliques n'entre pas dans l'état des choses, mais la résolution des équations donne un résultat sans ambiguïté dans tous cas connus. La durée du cours de l'enseignant dépend des besoins de cette proposition. L'analyse a montré la nécessité de toutes les techniques informatiques dans de nombreux domaines, et il est absolument clair qu'un calculateur d'équations est un outil indispensable entre les mains douées d'un étudiant. Une approche loyale de l’étude des mathématiques détermine l’importance des points de vue provenant de différentes directions. Vous souhaitez identifier l'un des théorèmes clés et résoudre l'équation de telle manière, en fonction de la réponse dont il sera nécessaire de l'appliquer ultérieurement. L'analyse dans ce domaine prend de l'ampleur. Commençons par le début et dérivons la formule. Après avoir dépassé le niveau d'augmentation de la fonction, la ligne le long de la tangente au point d'inflexion conduira certainement au fait que la résolution de l'équation en ligne sera l'un des aspects principaux de la construction de ce même graphique à partir de l'argument de la fonction. Une approche amateur a le droit d'être appliquée si cette condition ne contredit pas les conclusions des étudiants. La sous-tâche qui pose l'analyse est mise en arrière-plan. conditions mathématiques comme équations linéaires dans le domaine existant de définition de l'objet. Le décalage dans le sens de l'orthogonalité réduit mutuellement l'avantage du solitaire valeur absolue. La résolution modulo d'équations en ligne donne le même nombre de solutions si vous ouvrez d'abord les parenthèses avec un signe plus puis avec un signe moins. Dans ce cas, il y aura deux fois plus de solutions et le résultat sera plus précis. Un calculateur d'équations en ligne stable et correct est la réussite dans la réalisation de l'objectif visé dans la tâche définie par l'enseignant. Il semble possible de choisir la bonne méthode en raison des différences significatives entre les points de vue des grands scientifiques. L'équation quadratique résultante décrit la courbe des lignes, appelée parabole, et le signe déterminera sa convexité en système carré coordonnées De l’équation, nous obtenons à la fois le discriminant et les racines elles-mêmes selon le théorème de Vieta. La première étape consiste à représenter l’expression comme une fraction propre ou impropre et à utiliser un calculateur de fraction. En fonction de cela, le plan de nos calculs ultérieurs sera formé. Les mathématiques avec une approche théorique seront utiles à chaque étape. Nous présenterons certainement le résultat sous la forme d'une équation cubique, car nous cacherons ses racines dans cette expression afin de simplifier la tâche d'un étudiant universitaire. Toutes les méthodes sont bonnes si elles conviennent à une analyse superficielle. Supplémentaire opérations arithmétiques n'entraînera pas d'erreurs de calcul. Détermine la réponse avec une précision donnée. En utilisant la solution d'équations, soyons réalistes : trouver la variable indépendante d'une fonction donnée n'est pas si facile, surtout pendant la période d'étude des droites parallèles à l'infini. Compte tenu de l’exception, la nécessité est très évidente. La différence de polarité est claire. De l'expérience de l'enseignement dans les instituts, notre professeur a appris la leçon principale dans laquelle les équations en ligne étaient étudiées au sens mathématique complet. Ici, nous parlions d’efforts plus importants et de compétences particulières dans l’application de la théorie. Il ne faut pas regarder à travers un prisme pour parvenir à nos conclusions. Jusqu'à récemment, on croyait que ensemble fermé augmente rapidement dans la zone telle qu'elle est et la solution des équations doit simplement être étudiée. Dans un premier temps, nous n'avons pas tout considéré options possibles, mais cette approche est plus que jamais justifiée. Actions inutiles entre parenthèses justifient certaines avancées le long des axes des ordonnées et des abscisses, qui ne peuvent être négligées à l'œil nu. Dans le sens d’une augmentation proportionnelle étendue de la fonction, il existe un point d’inflexion. Une fois de plus, nous prouverons comment condition nécessaire sera appliqué pendant tout l'intervalle de diminution de l'une ou l'autre position descendante du vecteur. Dans des conditions espace confiné nous sélectionnerons une variable dans le bloc initial de notre script. Un système construit à partir de trois vecteurs est responsable de l'absence du moment de force principal. Cependant, le calculateur d'équation a généré et aidé à trouver tous les termes de l'équation construite, à la fois au-dessus de la surface et le long de lignes parallèles. Autour point de départ Décrivons un certain cercle. Ainsi, nous commencerons à remonter le long des lignes de coupe et la tangente décrira le cercle sur toute sa longueur, ce qui donnera une courbe appelée développante. Au fait, racontons un peu l'histoire de cette courbe. Le fait est qu’historiquement, en mathématiques, il n’existait pas de concept des mathématiques elles-mêmes dans leur compréhension pure comme c’est le cas aujourd’hui. Auparavant, tous les scientifiques faisaient une chose cause commune, c'est-à-dire la science. Plus tard, plusieurs siècles plus tard, lorsque monde scientifique Remplie d'une quantité colossale d'informations, l'humanité identifiait encore de nombreuses disciplines. Ils restent toujours inchangés. Et pourtant, chaque année, des scientifiques du monde entier tentent de prouver que la science est illimitée et que l’on ne résoudra l’équation que si l’on possède des connaissances dans le domaine. sciences naturelles. Il n’est peut-être pas possible d’y mettre définitivement un terme. Y penser est aussi inutile que de réchauffer l’air extérieur. Trouvons l'intervalle auquel l'argument, si sa valeur est positive, déterminera le module de la valeur dans une direction fortement croissante. La réaction vous aidera à trouver au moins trois solutions, mais vous devrez les vérifier. Commençons par le fait que nous devons résoudre l'équation en ligne en utilisant le service unique de notre site Web. Présentons les deux parties équation donnée, cliquez sur le bouton « RÉSOLU » et obtenez la réponse exacte en quelques secondes seulement. DANS cas spéciaux Prenons un livre de mathématiques et vérifions notre réponse, c'est-à-dire qu'il suffit de regarder la réponse et tout deviendra clair. Le même projet de parallélépipède artificiel redondant verra le jour. Il existe un parallélogramme avec son côtés parallèles, et il explique de nombreux principes et approches pour étudier la relation spatiale du processus d'accumulation d'espace creux ascendant dans les équations. aspect naturel. Des équations linéaires ambiguës montrent la dépendance de la variable souhaitée par rapport à notre commun ce moment décision de temps et vous devez d'une manière ou d'une autre dériver et apporter fraction impropreà un cas non trivial. Marquez dix points sur la ligne droite et tracez une courbe passant par chaque point dans la direction donnée, avec le point convexe vers le haut. Sans difficultés particulières, notre calculateur d'équations présentera une expression sous une forme telle que sa vérification de la validité des règles sera évidente dès le début de l'enregistrement. Le système de représentations spéciales de la stabilité pour les mathématiciens vient en premier, sauf disposition contraire de la formule. Nous répondrons à cela en présentant un rapport détaillé sur le thème de l'état isomorphe d'un système plastique de corps et en résolvant des équations en ligne décrirons le mouvement de chaque point matériel dans ce système. Au niveau des recherches approfondies, il faudra clarifier en détail la question des inversions au moins de la couche inférieure de l’espace. Par ordre croissant sur la section de discontinuité de la fonction, nous appliquerons méthode générale un excellent chercheur, d'ailleurs, notre compatriote, et nous parlerons ci-dessous du comportement de l'avion. En vertu de fortes caractéristiques fonction analytiquement donnée, nous utilisons le calculateur d'équations en ligne uniquement aux fins prévues dans les limites d'autorité dérivées. En raisonnant plus loin, nous concentrerons notre examen sur l'homogénéité de l'équation elle-même, c'est-à-dire que son côté droit est égal à zéro. Assurons-nous encore une fois que notre décision en mathématiques est correcte. Pour éviter d'obtenir une solution triviale, apportons quelques ajustements à conditions initiales sur le problème de la stabilité conditionnelle du système. Créons une équation quadratique, pour laquelle nous écrivons deux entrées en utilisant la formule bien connue et trouvons racines négatives. Si une racine est supérieure de cinq unités aux deuxième et troisième racines, alors en apportant des modifications à argument principal nous déformons ainsi les conditions initiales de la sous-tâche. De par sa nature même, quelque chose d’inhabituel en mathématiques peut toujours être décrit au centième près. nombre positif. Le calculateur de fractions est plusieurs fois supérieur à ses analogues sur des ressources similaires au meilleur moment de charge du serveur. Sur la surface du vecteur vitesse croissant le long de l'axe des ordonnées, nous traçons sept lignes courbées dans des directions opposées les unes aux autres. La commensurabilité de l'argument de fonction attribué est en avance sur les lectures du compteur de solde de récupération. En mathématiques, on peut représenter ce phénomène à travers une équation cubique à coefficients imaginaires, ainsi que dans la progression bipolaire de droites décroissantes. Points critiques les différences de température décrivent à bien des égards le processus de décomposition d'un complexe fonction fractionnaire par des multiplicateurs. Si on vous demande de résoudre une équation, ne vous précipitez pas pour le faire tout de suite, évaluez d'abord l'ensemble du plan d'action, puis adoptez la bonne approche. Il y aura certainement des avantages. La facilité de travail est évidente, et il en va de même en mathématiques. Résolvez l'équation en ligne. Toutes les équations en ligne sont certain type un enregistrement de nombres ou de paramètres et une variable à définir. Calculez cette même variable, c'est-à-dire trouvez des valeurs ou des intervalles spécifiques d'un ensemble de valeurs auxquels l'identité sera maintenue. Les conditions initiales et finales en dépendent directement. DANS décision commune Les équations incluent généralement certaines variables et constantes, grâce auxquelles nous obtiendrons des familles entières de solutions pour un énoncé de problème donné. En général, cela justifie les efforts investis pour augmenter la fonctionnalité d'un cube spatial d'un côté égal à 100 centimètres. Vous pouvez appliquer un théorème ou un lemme à n’importe quelle étape de la construction d’une réponse. Le site produit progressivement un calculateur d'équation s'il est nécessaire d'afficher la plus petite valeur à n'importe quel intervalle de sommation des produits. Dans la moitié des cas, une telle boule est creuse, non dans une plus grande mesure répond aux exigences pour définir une réponse intermédiaire. Au moins sur l'axe des ordonnées dans le sens de la représentation vectorielle décroissante, cette proportion sera sans doute plus optimale que l'expression précédente. A l'heure où fonctions linéaires complet analyse ponctuelle, nous rassemblerons essentiellement tous nos nombres complexes et les espaces planaires bipolaires. En remplaçant une variable dans l'expression résultante, vous résoudrez l'équation étape par étape et donnerez la réponse la plus détaillée avec une grande précision. Il serait de bon ton de la part d'un élève de vérifier à nouveau ses actions en mathématiques. La proportion dans le rapport des fractions a enregistré l'intégrité du résultat pour tous domaines importants activités vecteur zéro. La trivialité se confirme à la fin des actions réalisées. Avec une tâche simple, les étudiants n'auront peut-être aucune difficulté s'ils résolvent l'équation en ligne dans les plus brefs délais, mais n'oublient pas toutes sortes de règles. Un ensemble de sous-ensembles se croisent dans une région de notation convergente. DANS différents cas le produit n’est pas factorisé par erreur. Vous serez aidé à résoudre l'équation en ligne dans notre première section, dédiée aux bases des techniques mathématiques pour les sections importantes pour les étudiants des universités et des écoles techniques. Les exemples de réponses ne nous feront pas attendre plusieurs jours, puisque le processus de la meilleure interaction de l'analyse vectorielle avec découverte séquentielle solutions a été brevetée au début du siècle dernier. Il s’avère que les efforts pour établir des relations avec l’équipe environnante n’ont pas été vains ; il fallait évidemment autre chose en premier. Plusieurs générations plus tard, les scientifiques du monde entier ont fait croire que les mathématiques étaient la reine des sciences. Qu'il s'agisse de la réponse de gauche ou de la bonne, les termes exhaustifs doivent tout de même être écrits sur trois lignes, puisque dans notre cas nous ne parlerons certainement que d'analyse vectorielle des propriétés de la matrice. Équations non linéaires et linéaires, ainsi que équations biquadratiques, a pris une place particulière dans notre livre sur les meilleures pratiques calculer la trajectoire du mouvement dans l'espace de tous points matériels systeme ferme. Aidez-nous à donner vie à votre idée analyse linéaire produit scalaire trois vecteurs consécutifs. A la fin de chaque production, la tâche est facilitée par la mise en œuvre d'exceptions numériques optimisées sur les superpositions réalisées. espaces numériques. Un jugement différent ne contrastera pas avec la réponse trouvée dans forme libre triangle dans un cercle. L'angle entre deux vecteurs contient le pourcentage de marge requis et la résolution d'équations en ligne révèle souvent un certain racine communeéquations par opposition aux conditions initiales. L'exception joue le rôle de catalyseur dans tout le processus inévitable de recherche d'une solution positive dans le domaine de la définition d'une fonction. S'il n'est pas dit que vous ne pouvez pas utiliser d'ordinateur, alors le calculateur d'équations en ligne est parfaitement adapté à vos besoins. tâches difficiles. Il vous suffit d'entrer format correct vos données conditionnelles et notre serveur fournira une réponse complète dans les plus brefs délais. Une fonction exponentielle augmente beaucoup plus vite qu'une fonction linéaire. Les Talmuds en témoignent littérature de bibliothèque. Effectuera le calcul dans dans un sens général comme le ferait une équation quadratique donnée avec trois coefficients complexes. La parabole dans la partie supérieure du demi-plan caractérise un mouvement parallèle rectiligne le long des axes du point. Il convient ici de mentionner la différence potentielle dans l’espace de travail du corps. En échange d'un résultat sous-optimal, notre calculateur de fractions occupe à juste titre la première position dans l'évaluation mathématique de l'examen des programmes fonctionnels côté serveur. La simplicité d'utilisation de ce service sera appréciée par des millions d'internautes. Si vous ne savez pas comment l'utiliser, nous serons heureux de vous aider. Nous aimerions aussi particulièrement noter et mettre en évidence l'équation cubique issue d'un certain nombre de problèmes de l'école primaire, lorsqu'il faut trouver rapidement ses racines et construire un graphique de la fonction sur un plan. Diplômes supérieurs la reproduction est l'une des difficultés problèmes mathématiquesà l'institut et alloué à son étude quantité suffisante heures. Comme toutes les équations linéaires, les nôtres ne font pas exception selon de nombreuses règles objectives, regardez sous différents points vision, et il sera simple et suffisant de poser les conditions initiales. L'intervalle d'augmentation coïncide avec l'intervalle de convexité de la fonction. Résoudre des équations en ligne. L'étude de la théorie est basée sur des équations en ligne provenant de nombreuses sections de l'étude de la discipline principale. Dans le cas de cette approche des problèmes incertains, il est très simple de présenter la solution des équations sous une forme prédéterminée et non seulement de tirer des conclusions, mais également de prédire le résultat d'une telle solution positive. Apprendre Domaine le service nous aidera le plus meilleures traditions mathématiques, exactement comme c'est l'usage en Orient. DANS meilleurs moments intervalle de temps, tâches similaires multipliées par multiplicateur commun dix fois. L'abondance de multiplications de plusieurs variables dans le calculateur d'équations a commencé à se multiplier par des variables qualitatives plutôt que quantitatives telles que la masse ou le poids corporel. Pour éviter les cas de déséquilibre système matériel, la dérivation d'un convertisseur tridimensionnel basé sur la convergence triviale des éléments non dégénérés matrices mathématiques. Terminez la tâche et résolvez l'équation dans coordonnées données, puisque la sortie est inconnue à l'avance, tout comme toutes les variables incluses dans le temps post-spatial. Sur court terme pousser le multiplicateur global au-delà des limites parenthèses et diviser par le plus grand diviseur commun les deux parties à l'avance. À partir du sous-ensemble de nombres couvert résultant, extrayez de manière détaillée trente-trois points d'affilée sur une courte période. À tel point que de la meilleure façon possible Résoudre une équation en ligne est possible pour chaque étudiant. Pour l’avenir, disons une chose importante mais essentielle, sans laquelle il sera difficile de vivre dans le futur. Au siècle dernier, le grand scientifique a remarqué un certain nombre de tendances dans la théorie des mathématiques. Dans la pratique, le résultat n’a pas été tout à fait l’impression attendue des événements. Cependant, en principe, cette solution même d'équations en ligne contribue à améliorer la compréhension et la perception. approche holistiqueà l'étude et à la consolidation pratique des acquis matériel théorique parmi les étudiants. Il est beaucoup plus facile de le faire pendant votre temps d'étude.

Au stade de la préparation au test final, les lycéens doivent améliorer leurs connaissances sur le thème « Équations exponentielles ». L'expérience des années passées indique que de telles tâches posent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les lycéens, quel que soit leur niveau de préparation, doivent maîtriser parfaitement la théorie, mémoriser les formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de tâches, les diplômés pourront compter sur scores élevés lors de la réussite de l'examen d'État unifié en mathématiques.

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En examinant les matières qu'ils ont couvertes, de nombreux étudiants sont confrontés au problème de trouver les formules nécessaires pour résoudre des équations. Manuel scolaire n'est pas toujours à portée de main, et la sélection information nécessaire sur le sujet sur Internet prend beaucoup de temps.

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Les définitions et formules de base sont présentées dans la section « Contexte théorique ».

Pour mieux comprendre la matière, nous vous recommandons de vous entraîner à réaliser les devoirs. Examinez attentivement les exemples d'équations exponentielles avec solutions présentés sur cette page pour comprendre l'algorithme de calcul. Après cela, procédez à l'exécution des tâches dans la section « Répertoires ». Vous pouvez commencer par les problèmes les plus simples ou passer directement à la résolution d'équations exponentielles complexes à plusieurs inconnues ou . La base de données d'exercices sur notre site Internet est constamment complétée et mise à jour.

Les exemples avec des indicateurs qui vous ont posé des difficultés peuvent être ajoutés aux « Favoris ». De cette façon, vous pourrez les trouver rapidement et discuter de la solution avec votre professeur.

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Les équations exponentielles sont celles dans lesquelles l'inconnue est contenue dans l'exposant. L'équation exponentielle la plus simple a la forme : a x = a b, où a> 0, a 1, x est inconnu.

Les principales propriétés des puissances par lesquelles les équations exponentielles sont transformées : a>0, b>0.

Lors de la résolution d'équations exponentielles, ils utilisent également les propriétés suivantes fonction exponentielle: y = une x , une > 0, une1 :

Pour représenter un nombre sous forme de puissance, utilisez la formule de base identité logarithmique: b = , a > 0, a1, b > 0.

Problèmes et tests sur le thème "Équations exponentielles"

Équations exponentielles
Leçons : 4 Devoirs : 21 Tests : 1
Équations exponentielles - Sujets importants pour la révision de l'examen d'État unifié en mathématiques
Tâches : 14
Systèmes d'équations exponentielles et logarithmiques - Démonstratif et fonction logarithmique 11e année
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§2.1. Résoudre des équations exponentielles
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§7 Équations et inégalités exponentielles et logarithmiques - Section 5. Fonctions exponentielles et logarithmiques, 10e année
Leçons : 1 Tâches : 17

Pour résoudre avec succès des équations exponentielles, vous devez connaître les propriétés de base des puissances, les propriétés de la fonction exponentielle et l'identité logarithmique de base.

Lors de la résolution d'équations exponentielles, deux méthodes principales sont utilisées :

transition de l'équation a f(x) = a g(x) à l'équation f(x) = g(x) ;
introduction de nouvelles lignes.

Exemples.

1. Équations réduites au plus simple. Ils sont résolus en réduisant les deux côtés de l’équation à une puissance de même base.

3x = 9x – 2.

Solution:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4 ;
x = 4.

Répondre: 4.

2. Équations résolues en retirant le facteur commun des parenthèses.

Solution:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Répondre: 3.

3. Équations résolues par changement de variable.

Solution:

2 2x + 2x – 12 = 0
On note 2 x = y.
oui 2 + oui – 12 = 0
oui 1 = - 4 ; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. L'équation n'a pas de solution, car 2x> 0.
b) 2 x = 3 ; 2 x = 2 log 2 3 ; x = journal 2 3.

Répondre: journal 2 3.

4. Équations contenant des puissances avec deux bases différentes (non réductibles l'une à l'autre).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Répondre: 2.

5. Équations homogènes par rapport à a x et b x.

Forme générale: .

9x + 4x = 2,5 × 6x.

Solution:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 | : 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Notons (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
oui 1 = 2 ; oui 2 = ½.

Répondre: journal 3/2 2 ; - bûche 3/2 2.

1º. Équations exponentielles sont appelées équations contenant une variable dans un exposant.

La résolution d’équations exponentielles repose sur la propriété des puissances : deux puissances de même base sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux.

2º. Méthodes de base pour résoudre des équations exponentielles:

1) l'équation la plus simple a une solution ;

2) une équation de la forme logarithmique à la base un réduire en forme;

3) une équation de la forme est équivalente à l'équation ;

4) équation de la forme est équivalent à l’équation.

5) une équation de la forme est réduite par substitution à une équation, puis un ensemble d'équations exponentielles simples est résolu ;

6) équation avec réciproque réciproques par substitution, ils se réduisent à une équation, puis résolvent un ensemble d'équations ;

7) équations homogènes par rapport à un g(x) Et bg(x)étant donné que gentil par remplacement, ils sont réduits à une équation, puis un ensemble d'équations est résolu.

Classification des équations exponentielles.

1. Équations résolues en allant à une base.

Exemple 18. Résoudre l'équation .

Solution : Profitons du fait que toutes les bases de puissances sont des puissances du nombre 5 : .

2. Équations résolues en passant à un exposant.

Ces équations sont résolues en transformant l'équation originale sous la forme , qui est réduit à sa plus simple expression en utilisant la propriété de proportion.

Exemple 19. Résolvez l'équation :

3. Équations résolues en retirant le facteur commun des parenthèses.

Si dans une équation chaque exposant diffère de l'autre d'un certain nombre, alors les équations sont résolues en mettant l'exposant c entre parenthèses. le taux le plus bas.

Exemple 20. Résolvez l'équation.

Solution : Prenons le degré avec le plus petit exposant entre parenthèses sur le côté gauche de l’équation :

Exemple 21. Résoudre l'équation

Solution : Regroupons séparément sur le côté gauche de l'équation les termes contenant des puissances de base 4, sur le côté droit - avec la base 3, puis mettons entre parenthèses les puissances de plus petit exposant :

4. Équations qui se réduisent à des équations quadratiques (ou cubiques).

Les équations suivantes se réduisent à une équation quadratique pour la nouvelle variable y :

a) type de substitution, dans ce cas ;

b) le type de substitution , et .

Exemple 22. Résoudre l'équation .

Solution : Faisons un changement de variable et résolvons l'équation quadratique :

Réponse : 0 ; 1.

5. Équations homogènes par rapport aux fonctions exponentielles.

Une équation de la forme est équation homogène deuxième degré par rapport aux inconnues un x Et bx. De telles équations sont réduites en divisant d'abord les deux côtés, puis en les substituant dans des équations quadratiques.

Exemple 23. Résolvez l'équation.

Solution : Divisez les deux côtés de l’équation par :

En mettant , nous obtenons une équation quadratique avec racines .

Le problème se résume maintenant à résoudre un ensemble d’équations . A partir de la première équation, nous trouvons que . La deuxième équation n'a pas de racines, puisque pour toute valeur X.

Réponse : -1/2.

6. Équations rationnelles par rapport aux fonctions exponentielles.

Exemple 24. Résolvez l'équation.

Solution : Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par 3x et au lieu de deux nous obtenons une fonction exponentielle :

7. Équations de la forme .

De telles équations avec un ensemble valeurs acceptables(ODZ), déterminé par la condition, en prenant le logarithme des deux côtés de l'équation sont réduits à une équation équivalente, qui à son tour est équivalente à un ensemble de deux équations ou.

Exemple 25. Résolvez l'équation : .

Matériel didactique.

Résolvez les équations :

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Trouver le produit des racines de l'équation .

27. Trouvez la somme des racines de l'équation .

Trouvez le sens de l’expression :

28. , où x0- racine de l'équation ;

29. , où x0 – racine entièreéquations .

Résous l'équation:

31. ; 32. .

Réponses: dix; 2.-2/9 ; 3. 1/36 ; 4. 0, 0,5 ; 50 ; 6,0 ; 7.-2 ; 8.2 ; 9. 1, 3 ; 10. 8 ; 11,5 ; 12.1 ; 13, ¼ ; 14.2 ; 15. -2, -1 ; 16.-2, 1 ; 17,0 ; 18.1 ; 19,0 ; 20. -1, 0 ; 21.-2, 2 ; 22.-2, 2; 23.4 ; 24.-1, 2; 25. -2, -1, 3 ; 26. -0,3 ; 27.3 ; 28.11 ; 29.54 ; 30. -1, 0, 2, 3 ; 31. ; 32. .

Thème n°8.

Inégalités exponentielles.

1º. Une inégalité contenant une variable dans l'exposant est appelée inégalité exponentielle.

2º. Solution inégalités exponentielles type basé sur les déclarations suivantes:

si , alors l'inégalité est équivalente à ;

si , alors l'inégalité est équivalente à .

Lors de la résolution d'inégalités exponentielles, les mêmes techniques sont utilisées que lors de la résolution d'équations exponentielles.

Exemple 26. Résoudre l'inégalité (méthode de transition vers une base).

Solution : Depuis , Puis pour cette inégalité peut s'écrire sous la forme : . Puisque , alors cette inégalité est équivalente à l'inégalité .

En résolvant la dernière inéquation, nous obtenons .

Exemple 27. Résoudre l'inégalité : ( en retirant le facteur commun des parenthèses).

Solution : Retirons entre parenthèses le côté gauche de l'inégalité, le côté droit de l'inégalité et divisons les deux côtés de l'inégalité par (-2), en changeant le signe de l'inégalité par l'opposé :

Depuis , alors en passant à l'inégalité des indicateurs, le signe de l'inégalité change à nouveau à l'opposé. On a. Ainsi, l’ensemble de toutes les solutions de cette inégalité est l’intervalle.

Exemple 28. Résoudre l'inégalité ( en introduisant une nouvelle variable).

Solution : Laissez . Cette inégalité prendra alors la forme : ou , dont la solution est l'intervalle .

D'ici. Puisque la fonction augmente, alors .

Matériel didactique.

Spécifiez l'ensemble des solutions à l'inégalité :

1. ; 2. ; 3. ;

6. À quelles valeurs X Les points sur le graphique de fonction se trouvent-ils en dessous de la ligne droite ?

7. À quelles valeurs X Les points sur le graphique de la fonction se situent-ils au moins aussi loin que la droite ?

Résoudre l'inégalité :

8. ; 9. ; 10. ;

13. Spécifiez la plus grande solution entière de l’inégalité .

14. Trouver le produit du plus grand entier et du plus petit entier solutions à l'inégalité .

Résoudre l'inégalité :

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Trouvez le domaine de la fonction :

27. ; 28. .

29. Trouvez l'ensemble des valeurs d'arguments pour lesquelles les valeurs de chaque fonction sont supérieures à 3 :

Et .

Réponses: 11.3 ; 12.3 ; 13.-3 ; 14.1 ; 15. (0 ; 0,5 ); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0 ; 1 ); 21. (3 ; +∞) ; 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0 ; 1 ); 24. (-1 ; 1) ; 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28.

Certains d’entre eux peuvent vous paraître plus complexes, tandis que d’autres, au contraire, sont trop simples. Mais ils ont tous une caractéristique importante en commun : leur notation contient la fonction exponentielle $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Ainsi, introduisons la définition :

Une équation exponentielle est toute équation contenant une fonction exponentielle, c'est-à-dire expression de la forme $((a)^(x))$. En plus de la fonction indiquée, ces équations peuvent contenir toute autre construction algébrique - polynômes, racines, trigonométrie, logarithmes, etc.

Alors ok. Nous avons réglé la définition. Maintenant la question est : comment résoudre toutes ces conneries ? La réponse est à la fois simple et complexe.

Commençons par la bonne nouvelle : d'après mon expérience d'enseignement à de nombreux étudiants, je peux dire que la plupart d'entre eux trouvent les équations exponentielles beaucoup plus faciles que les mêmes logarithmes, et encore plus la trigonométrie.

Mais il y a de mauvaises nouvelles : parfois, les rédacteurs de problèmes pour toutes sortes de manuels et d'examens sont frappés par « l'inspiration », et leur cerveau enflammé par la drogue commence à produire des équations si brutales que leur résolution devient problématique non seulement pour les étudiants, mais aussi pour de nombreux enseignants. rester coincé sur de tels problèmes.

Cependant, ne parlons pas de choses tristes. Et revenons à ces trois équations données au tout début de l'histoire. Essayons de résoudre chacun d'eux.

Première équation : $((2)^(x))=4$. Eh bien, à quelle puissance faut-il élever le chiffre 2 pour obtenir le chiffre 4 ? Probablement le deuxième ? Après tout, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - et nous avons obtenu l'égalité numérique correcte, c'est-à-dire en effet $x=2$. Eh bien, merci Cap, mais cette équation était si simple que même mon chat pouvait la résoudre :)

Regardons l'équation suivante :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mais ici, c'est un peu plus compliqué. De nombreux étudiants savent que $((5)^(2))=25$ est la table de multiplication. Certains soupçonnent également que $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ est essentiellement la définition des puissances négatives (similaire à la formule $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Finalement, seuls quelques privilégiés réalisent que ces faits peuvent être combinés et donner le résultat suivant :

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Ainsi notre équation originale sera réécrit comme suit :

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Mais c'est déjà tout à fait résoluble ! À gauche dans l'équation il y a une fonction exponentielle, à droite dans l'équation il y a une fonction exponentielle, il n'y a rien d'autre nulle part à part elles. On peut donc « rejeter » les bases et assimiler bêtement les indicateurs :

Nous avons obtenu l’équation linéaire la plus simple qu’un étudiant puisse résoudre en quelques lignes seulement. Bon, en quatre lignes :

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Si vous ne comprenez pas ce qui s'est passé dans les quatre dernières lignes, assurez-vous de revenir au sujet « équations linéaires » et répétez-le. Car sans une compréhension claire de ce sujet, il est trop tôt pour aborder les équations exponentielles.

\[((9)^(x))=-3\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Première pensée : $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, donc l'équation originale peut être réécrite comme suit :

\[((\gauche(((3)^(2)) \droite))^(x))=-3\]

On rappelle ensuite que lorsqu'on élève une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Et pour une telle décision, nous en recevrons deux honnêtement mérités. Car, avec la sérénité d'un Pokémon, nous avons envoyé le signe moins devant le trois à la puissance de ce même trois. Mais vous ne pouvez pas faire ça. Et c'est pourquoi. Jeter un coup d'œil à différents degrés triplés:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

En compilant cette tablette, je n'ai rien perverti : j'ai regardé les puissances positives, et négatives, et même fractionnaires... eh bien, où est au moins un nombre négatif ici ? Il est parti! Et cela ne peut pas être le cas, car la fonction exponentielle $y=((a)^(x))$, premièrement, ne prend toujours que des valeurs positives (peu importe combien un est multiplié ou divisé par deux, ce sera toujours un nombre positif), et d'autre part, la base d'une telle fonction - le nombre $a$ - est par définition un nombre positif !

Eh bien, comment alors résoudre l'équation $((9)^(x))=-3$ ? Mais pas question : il n’y a pas de racines. Et en ce sens, les équations exponentielles sont très similaires aux équations quadratiques : il se peut également qu'il n'y ait pas de racines. Mais si dans les équations quadratiques le nombre de racines est déterminé par le discriminant (discriminant positif - 2 racines, négatif - pas de racines), alors dans les équations exponentielles tout dépend de ce qui se trouve à droite du signe égal.

Formulons donc la conclusion clé : l'équation exponentielle la plus simple de la forme $((a)^(x))=b$ a une racine si et seulement si $b>0$. Connaissant ce simple fait, vous pouvez facilement déterminer si l'équation qui vous est proposée a des racines ou non. Ceux. Vaut-il la peine de le résoudre ou d'écrire immédiatement qu'il n'y a pas de racines.

Cette connaissance nous aidera à plusieurs reprises lorsque nous devrons décider davantage tâches complexes. Pour l'instant, assez de paroles - il est temps d'étudier l'algorithme de base pour résoudre les équations exponentielles.

Comment résoudre des équations exponentielles

Alors, formulons le problème. Il faut résoudre l'équation exponentielle :

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Selon l'algorithme « naïf » que nous avons utilisé précédemment, il faut représenter le nombre $b$ comme une puissance du nombre $a$ :

De plus, si au lieu de la variable $x$ il y a une expression, nous obtiendrons une nouvelle équation qui peut déjà être résolue. Par exemple:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\fin (aligner)\]

Et curieusement, ce système fonctionne dans environ 90 % des cas. Qu’en est-il alors des 10 % restants ? Les 10 % restants sont des équations exponentielles légèrement « schizophréniques » de la forme :

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Eh bien, à quelle puissance faut-il augmenter 2 pour obtenir 3 ? D'abord? Mais non : $((2)^(1))=2$ ne suffit pas. Deuxième? Non non plus : $((2)^(2))=4$, c'est trop. Lequel alors ?

Les étudiants avertis l'ont probablement déjà deviné : dans de tels cas, lorsqu'il n'est pas possible de résoudre « magnifiquement », l'« artillerie lourde » - les logarithmes - entre en jeu. Permettez-moi de vous rappeler qu'en utilisant les logarithmes, tout nombre positif peut être représenté comme une puissance de n'importe quel autre nombre positif (sauf un) :

Vous vous souvenez de cette formule ? Quand je parle des logarithmes à mes élèves, je préviens toujours : cette formule (c'est aussi la principale identité logarithmique ou, si l'on veut, la définition d'un logarithme) vous hantera très longtemps et « surgira » dans la plupart des cas. des endroits inattendus. Eh bien, elle a refait surface. Regardons notre équation et cette formule :

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Si l'on suppose que $a=3$ est notre nombre d'origine à droite, et $b=2$ est la base même de la fonction exponentielle à laquelle nous voulons tant conduire côté droit, alors on obtient ce qui suit :

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\fin (aligner)\]

Nous avons reçu une réponse légèrement étrange : $x=((\log )_(2))3$. Dans une autre tâche, beaucoup auraient des doutes sur une telle réponse et commenceraient à revérifier leur solution : et si une erreur s'était glissée quelque part ? Je m'empresse de vous faire plaisir : il n'y a pas d'erreur ici, et les logarithmes des racines des équations exponentielles sont assez situation typique. Alors habituez-vous :)

Résolvons maintenant les deux équations restantes par analogie :

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! D'ailleurs, la dernière réponse peut s'écrire différemment :

Nous avons introduit un facteur dans l'argument du logarithme. Mais personne ne nous empêche d’ajouter ce facteur à la base :

De plus, les trois options sont correctes - c'est simple formes différentes enregistrements du même numéro. C'est à vous de décider lequel choisir et noter dans cette solution.

Ainsi, nous avons appris à résoudre toutes les équations exponentielles de la forme $((a)^(x))=b$, où les nombres $a$ et $b$ sont strictement positifs. Cependant dure réalité notre monde est tel que tel tâches simples vous vous rencontrerez très, très rarement. Le plus souvent, vous rencontrerez quelque chose comme ceci :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fin (aligner)\]

Alors, comment pouvons-nous résoudre ce problème ? Est-ce que cela peut être résolu ? Et si oui, comment ?

Ne pas paniquer. Toutes ces équations peuvent être rapidement et facilement réduites à formules simples que nous avons déjà envisagé. Vous avez juste besoin de vous rappeler quelques astuces du cours d'algèbre. Et bien sûr, il n’y a pas de règles pour travailler avec des diplômes. Je vais vous parler de tout ça maintenant :)

Conversion d'équations exponentielles

La première chose à retenir : toute équation exponentielle, aussi complexe soit-elle, doit d'une manière ou d'une autre être réduite aux équations les plus simples - celles que nous avons déjà considérées et que nous savons résoudre. En d'autres termes, le schéma de résolution de toute équation exponentielle ressemble à ceci :

Écrivez l’équation originale. Par exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Fais des conneries bizarres. Ou même des conneries appelées « convertir une équation » ;
En sortie, obtenez les expressions les plus simples de la forme $((4)^(x))=4$ ou quelque chose d'autre comme ça. De plus, une équation initiale peut donner plusieurs expressions de ce type à la fois.

Tout est clair avec le premier point : même mon chat peut écrire l'équation sur un morceau de papier. Le troisième point semble également plus ou moins clair - nous avons déjà résolu tout un tas de ces équations ci-dessus.

Mais qu’en est-il du deuxième point ? Quel genre de transformations ? Transformer quoi en quoi ? Et comment?

Eh bien, découvrons-le. Tout d’abord, je voudrais noter ce qui suit. Toutes les équations exponentielles sont divisées en deux types :

L'équation est composée de fonctions exponentielles de même base. Exemple : $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
La formule contient des fonctions exponentielles avec différentes bases. Exemples : $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ et $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Commençons par les équations du premier type : ce sont les plus faciles à résoudre. Et pour les résoudre, nous serons aidés par une technique telle que la mise en évidence d'expressions stables.

Isoler une expression stable

Regardons à nouveau cette équation :

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Que voit-on ? Les quatre sont élevés à des degrés différents. Mais tous ces diplômes - sommes simples variable $x$ avec d'autres nombres. Par conséquent, il est nécessaire de rappeler les règles pour travailler avec des diplômes :

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fin (aligner)\]

En termes simples, l’addition peut être convertie en produit de puissances et la soustraction peut facilement être convertie en division. Essayons d'appliquer ces formules aux degrés de notre équation :

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\fin (aligner)\]

Réécrivons l'équation originale en tenant compte de ce fait, puis rassemblons tous les termes à gauche :

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onze; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fin (aligner)\]

Les quatre premiers termes contiennent l'élément $((4)^(x))$ - retirons-le des parenthèses :

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fin (aligner)\]

Il reste à diviser les deux côtés de l'équation par la fraction $-\frac(11)(4)$, c'est-à-dire multiplier essentiellement par la fraction inversée - $-\frac(4)(11)$. On a:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! Nous avons réduit l’équation originale à sa forme la plus simple et obtenu la réponse finale.

En même temps, au cours du processus de résolution, nous avons découvert (et même retiré du support) le facteur commun $((4)^(x))$ - c'est une expression stable. Elle peut être désignée comme une nouvelle variable, ou vous pouvez simplement l'exprimer avec soin et obtenir la réponse. Dans tous les cas, le principe clé de la solution est le suivant :

Trouvez dans l'équation originale une expression stable contenant une variable qui se distingue facilement de toutes les fonctions exponentielles.

La bonne nouvelle est que presque toutes les équations exponentielles vous permettent d’isoler une expression aussi stable.

Mais il y a aussi de mauvaises nouvelles : expressions similaires peut être assez délicat et assez difficile à identifier. Examinons donc un autre problème :

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Peut-être que quelqu'un aura maintenant une question : « Pacha, es-tu défoncé ? Il y a différentes bases ici – 5 et 0,2. Mais essayons de convertir la puissance en base 0,2. Par exemple, débarrassons-nous de la fraction décimale en la réduisant à une fraction régulière :

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Comme vous pouvez le constater, le chiffre 5 apparaissait toujours, bien qu'au dénominateur. Dans le même temps, l’indicateur a été réécrit en négatif. Et maintenant rappelons-nous l'un des les règles les plus importantes travailler avec des diplômes :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Ici, bien sûr, je mentais un peu. Car pour bien comprendre la formule pour s’en débarrasser indicateurs négatifs aurait dû être écrit ainsi :

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ à droite))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

En revanche, rien ne nous empêchait de travailler uniquement avec des fractions :

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ droite))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mais dans ce cas, il faut pouvoir élever une puissance à une autre puissance (je vous le rappelle : dans ce cas, les indicateurs s'additionnent). Mais je n'ai pas eu à "inverser" les fractions - ce sera peut-être plus facile pour certains :)

Dans tous les cas, l’équation exponentielle originale sera réécrite comme suit :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fin (aligner)\]

Il s'avère donc que l'équation originale peut être résolue encore plus simplement que celle considérée précédemment : ici, vous n'avez même pas besoin de sélectionner une expression stable - tout a été réduit de lui-même. Il ne reste plus qu'à rappeler que $1=((5)^(0))$, d'où on obtient :

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\fin (aligner)\]

C'est la solution ! Nous avons obtenu la réponse finale : $x=-2$. En parallèle, je voudrais souligner une technique qui nous a grandement simplifié tous les calculs :

Dans les équations exponentielles, assurez-vous de vous débarrasser de décimales, convertissez-les en fichiers normaux. Cela vous permettra de voir les mêmes bases de diplômes et de simplifier grandement la solution.

Passons maintenant à plus équations complexes, dans lequel il existe différentes bases qui ne sont pas du tout réductibles les unes aux autres à l'aide de degrés.

Utilisation de la propriété Degrees

Permettez-moi de vous rappeler que nous avons deux équations plus particulièrement dures :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fin (aligner)\]

La principale difficulté ici est qu’il n’est pas clair quoi donner et sur quelle base. Où définir des expressions? Où sont les mêmes motifs ? Il n’y a rien de tout cela.

Mais essayons d'emprunter une voie différente. S'il n'y a pas de prêt motifs identiques, vous pouvez essayer de les retrouver en factorisant les bases existantes.

Commençons par la première équation :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\fin (aligner)\]

Mais vous pouvez faire l'inverse : former le nombre 21 à partir des nombres 7 et 3. C'est particulièrement facile à faire à gauche, puisque les indicateurs des deux degrés sont les mêmes :

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\fin (aligner)\]

C'est tout! Vous avez sorti l'exposant du produit et obtenu immédiatement une belle équation qui peut être résolue en quelques lignes.

Examinons maintenant la deuxième équation. Tout est beaucoup plus compliqué ici :

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

DANS dans ce cas les fractions se sont avérées irréductibles, mais si quelque chose pouvait être réduit, assurez-vous de le réduire. Il y aura souvent raisons intéressantes, avec lequel vous pouvez déjà travailler.

Malheureusement, rien de spécial ne nous est apparu. Mais on voit que les exposants de gauche dans le produit sont opposés :

Je vous le rappelle : pour supprimer le signe moins dans l'indicateur, il suffit de « retourner » la fraction. Eh bien, réécrivons l'équation originale :

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fin (aligner)\]

En deuxième ligne, nous avons simplement effectué indicateur général du produit hors parenthèses selon la règle $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, et dans ce dernier, il suffit de multiplier le nombre 100 par une fraction.

Notez maintenant que les chiffres à gauche (à la base) et à droite sont quelque peu similaires. Comment? Oui, c’est évident : ce sont des puissances du même nombre ! Nous avons:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \droite))^(2)). \\\fin (aligner)\]

Ainsi, notre équation sera réécrite comme suit :

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\droite))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Dans ce cas, à droite vous pouvez également obtenir un diplôme avec la même base, pour lequel il suffit simplement de « retourner » la fraction :

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Notre équation prendra finalement la forme :

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\fin (aligner)\]

C'est la solution. Son idée principale se résume au fait que même avec pour des raisons différentes nous essayons, par crochet ou par escroc, de réduire ces bases à la même chose. Ils nous aident avec ça transformations élémentaireséquations et règles pour travailler avec les puissances.

Mais quelles règles et quand l’utiliser ? Comment comprenez-vous que dans une équation, vous devez diviser les deux côtés par quelque chose, et dans une autre, vous devez factoriser la base de la fonction exponentielle ?

La réponse à cette question viendra avec l’expérience. Essayez-vous d'abord à des équations simples, puis compliquez progressivement les problèmes - et très bientôt, vos compétences seront suffisantes pour résoudre n'importe quelle équation exponentielle du même examen d'État unifié ou de tout travail indépendant/test.

Et pour vous aider dans cette tâche difficile, je vous propose de télécharger sur mon site un ensemble d'équations pour la résoudre vous-même. Toutes les équations ont des réponses, vous pouvez donc toujours vous tester.