Assurez-vous que le triangle qui vous est donné est un triangle rectangle, car le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles.

• Dans un triangle rectangle, l’un des trois angles est toujours de 90 degrés.

Un angle droit dans un triangle rectangle est indiqué par un symbole carré plutôt que par le symbole courbe qui représente les angles obliques.Étiquetez les côtés du triangle. Étiquetez les jambes comme « a » et « b » (les jambes sont des côtés se coupant à angle droit) et l'hypoténuse comme « c » (l'hypoténuse est la plus grand côté triangle rectangle, ci-contre).

c = 20,6. Ainsi, la longueur approximative de l'escalier est de 20,6 mètres. Quand avez-vous commencé à découvrir les racines carrées et comment les résoudre ?équations irrationnelles (égalités contenant une inconnue sous le signe racine), vous en avez probablement eu la première idée utilisation pratique

. La capacité de calculer la racine carrée des nombres est également nécessaire pour résoudre des problèmes utilisant le théorème de Pythagore. Ce théorème relie les longueurs des côtés de tout triangle rectangle.

Soit les longueurs des branches d'un triangle rectangle (ces deux côtés qui se rencontrent à angle droit) soient désignées par les lettres et, et la longueur de l'hypoténuse (le côté le plus long du triangle situé à l'opposé de l'angle droit) sera désignée par la lettre. Alors les longueurs correspondantes sont liées par la relation suivante : Cette équation permet de trouver la longueur d'un côté d'un triangle rectangle lorsque la longueur de ses deux autres côtés est connue. De plus, il permet de déterminer si le triangle en question est rectangle, à condition que les longueurs de tous trois côtés

connue à l'avance.

Résoudre des problèmes en utilisant le théorème de Pythagore

Pour consolider le matériel, nous résoudrons les problèmes suivants en utilisant le théorème de Pythagore.

1. Donc, étant donné :
2. La longueur d'une des jambes est de 48, l'hypoténuse est de 80.

La longueur de la jambe est de 84, l'hypoténuse est de 91.

Passons à la solution :

48 2 + a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : 2 = 80 2

2304 + a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : 2 = 6400

a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : 2 = 4096

a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : b a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : = -64

Puisque la longueur d'un côté d'un triangle ne peut pas être exprimée nombre négatif, la deuxième option est automatiquement rejetée.

Réponse à la première photo : a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : = 64.

b) La longueur de la branche du deuxième triangle se trouve de la même manière :

84 2 + a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : 2 = 91 2

7056 + a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : 2 = 8281

a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : 2 = 1225

a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants := 35 ou a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : = -35

Comme dans le cas précédent, décision négativeécarté.

Réponse à la deuxième photo : a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : = 35

On nous donne :

1. Les longueurs des plus petits côtés du triangle sont respectivement de 45 et 55, et les plus grands côtés sont de 75.
2. Les longueurs des plus petits côtés du triangle sont respectivement de 28 et 45, et les plus grands côtés sont de 53.

Résolvons le problème :

a) Il faut vérifier si la somme des carrés des longueurs des côtés les plus courts est égale triangle donné le carré de plus grande longueur :

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Le premier triangle n’est donc pas un triangle rectangle.

b) La même opération est effectuée :

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Le deuxième triangle est donc un triangle rectangle.

Tout d'abord, trouvons la longueur du plus grand segment formé par des points de coordonnées (-2, -3) et (5, -2). Pour cela nous utilisons formule bien connue pour trouver la distance entre les points dans système rectangulaire coordonnées :

De même, on retrouve la longueur du segment compris entre les points de coordonnées (-2, -3) et (2, 1) :

Enfin, on détermine la longueur du segment entre les points de coordonnées (2, 1) et (5, -2) :

Puisque l’égalité est vraie :

alors le triangle correspondant est rectangle.

Ainsi, on peut formuler la réponse au problème : puisque la somme des carrés des côtés de plus petite longueur est égale au carré du côté de la plus longue longueur, les points sont les sommets d'un triangle rectangle.

La base (située strictement horizontalement), le montant (situé strictement verticalement) et le câble (étiré en diagonale) forment respectivement un triangle rectangle, pour trouver la longueur du câble le théorème de Pythagore peut être utilisé :

Ainsi, la longueur du câble sera d'environ 3,6 mètres.

Étant donné : la distance du point R au point P (la jambe du triangle) est de 24, du point R au point Q (l'hypoténuse) est de 26.

Alors aidons Vita à résoudre le problème. Puisque les côtés du triangle montré sur la figure sont censés former un triangle rectangle, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur du troisième côté :

Ainsi, la largeur de l'étang est de 10 mètres.

Sergueï Valérievitch

Niveau intermédiaire

Triangle rectangle. Le guide illustré complet (2019)

TRIANGLE RECTANGULAIRE. NIVEAU D'ENTRÉE.

Dans les problèmes, l'angle droit n'est pas du tout nécessaire - le coin inférieur gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,

et en cela

et en cela

Qu'est-ce qu'il y a de bien dans un triangle rectangle ? Eh bien... tout d'abord, il y a des spéciaux beaux noms pour ses côtés.

Attention au dessin !

Rappelez-vous et ne confondez pas : il y a deux jambes et il n'y a qu'une seule hypoténuse(un et unique, unique et le plus long) !

Eh bien, nous avons discuté des noms, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore.

Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Pythagore l'a complètement prouvé des temps immémoriaux, et depuis, elle a apporté beaucoup de bénéfices à ceux qui la connaissent. Et le meilleur, c’est que c’est simple.

Donc, Théorème de Pythagore :

Vous souvenez-vous de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous côtés ! » ?

Dessinons ces mêmes Pantalon pythagoricien et regardons-les.

Cela ne ressemble-t-il pas à une sorte de short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux ? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette plaisanterie est précisément liée au théorème de Pythagore, ou plus précisément à la façon dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé ainsi :

"Somme superficies de carrés, construit sur les jambes, est égal à surface carrée, construit sur l'hypoténuse."

Cela semble-t-il vraiment un peu différent ? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l’énoncé de son théorème, c’est exactement l’image qui en est ressortie.

Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit a inventé cette blague sur le pantalon pythagoricien.

Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore ?

Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?

Vous voyez, dans les temps anciens, il n’y avait pas… d’algèbre ! Il n'y avait aucun signe, etc. Il n'y avait aucune inscription. Pouvez-vous imaginer à quel point il était terrible pour les pauvres anciens étudiants de se souvenir de tout avec des mots ??! Et nous pouvons être heureux d'avoir formulation simple Théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux nous en souvenir :

Cela devrait être facile maintenant :

Eh bien, le voici théorème principal discuté du triangle rectangle. Si vous êtes intéressé par la façon dont cela est prouvé, lisez les niveaux de théorie suivants, et passons maintenant à... forêt sombre... la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.

En fait, tout n'est pas si effrayant du tout. Bien entendu, la « vraie » définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente devrait être examinée dans l’article. Mais je n’en ai vraiment pas envie, n’est-ce pas ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes concernant un triangle rectangle, vous pouvez simplement remplir les choses simples suivantes :

Pourquoi tout se passe-t-il au coin de la rue ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les déclarations 1 à 4 sont écrites avec des mots. Regardez, comprenez et souvenez-vous !

1.
En fait, cela ressemble à ceci :

Et l'angle ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c’est-à-dire une jambe opposée (pour un angle) ? Bien sûr qu'il y en a ! C'est une jambe !

Et l'angle ? Regardez attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, la jambe. Cela signifie que pour l'angle la jambe est adjacente, et

Maintenant, faites attention ! Regardez ce que nous avons :

Voyez comme c'est cool :

Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.

Comment puis-je écrire cela avec des mots maintenant ? Quelle est la jambe par rapport à l’angle ? En face, bien sûr, il « se trouve » en face du coin. Et la jambe ? Adjacent au coin. Alors qu’avons-nous ?

Voyez-vous comment le numérateur et le dénominateur ont changé de place ?

Et maintenant les coins à nouveau et fait un échange :

CV

Écrivons brièvement tout ce que nous avons appris.

Théorème de Pythagore :

Le théorème principal sur les triangles rectangles est le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas très bon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Il est fort possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.

Voyez avec quelle habileté nous avons divisé ses côtés en segments de longueurs et !

Maintenant, connectons les points marqués

Ici, nous avons cependant noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et vous demandez pourquoi il en est ainsi.

Quelle est l'aire du plus grand carré ? Droite, . Qu'en est-il d'une zone plus petite ? Certainement, . La superficie totale des quatre coins demeure. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et que nous les appuyions l'un contre l'autre avec leurs hypoténuses. Ce qui s'est passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des « coupes » est égale.

Rassemblons tout cela maintenant.

Transformons :

Nous avons donc visité Pythagore et prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont vraies :

Sinus d'un angle aigu égal au rapport jambe opposéeà l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent.

La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté adjacent au côté opposé.

Et encore une fois tout cela sous forme de tablette :

C'est très pratique !

Signes d'égalité des triangles rectangles

I. Des deux côtés

II. Par jambe et hypoténuse

III. Par hypoténuse et angle aigu

IV. Le long de la jambe et de l'angle aigu

un)

b)

Attention! Il est très important ici que les jambes soient « appropriées ». Par exemple, si cela se passe comme ceci :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.

Il faut que dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, elle était opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ? Regardez le sujet « et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles « ordinaires », trois de leurs éléments doivent être égaux : deux côtés et l'angle qui les sépare, deux angles et le côté qui les sépare, ou trois côtés. Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, non ?

La situation est à peu près la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

I. Selon un angle aigu

II. Des deux côtés

III. Par jambe et hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Pourquoi est-ce ainsi ?

Au lieu d’un triangle rectangle, considérons un rectangle entier.

Traçons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que savez-vous des diagonales d’un rectangle ?

Et qu’est-ce qui en découle ?

Il s'est donc avéré que

1. - médiane :

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c’est que le contraire soit également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse soit égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons la photo

Regardez attentivement. Nous avons : , c'est-à-dire que les distances du point aux trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais il n'y a qu'un seul point dans le triangle, dont les distances des trois sommets du triangle sont égales, et c'est le CENTRE DU CERCLE. Alors que s'est-il passé ?

Alors commençons par ce « en plus… ».

Regardons et.

Mais triangles similaires tous les angles sont égaux !

On peut dire la même chose de et

Maintenant, dessinons-le ensemble :

Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similarité ?

Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

Écrivons les relations des parties correspondantes :

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons la première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Alors, appliquons la similarité : .

Que va-t-il se passer maintenant ?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :

Vous devez très bien vous souvenir de ces deux formules et utiliser celle qui est la plus pratique. Écrivons-les à nouveau

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des pattes : .

Signes d'égalité des triangles rectangles :

• sur deux côtés :
• par jambe et hypoténuse : ou
• le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
• le long de la jambe et l'angle aigu opposé : ou
• par hypoténuse et angle aigu : ou.

Signes de similitude des triangles rectangles :

• un coin aigu : ou
• de la proportionnalité de deux jambes :
• de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle

• Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
• Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
• La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :
• La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé : .

Hauteur d'un triangle rectangle : ou.

Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse : .

Aire d'un triangle rectangle :

• via les jambes :

Théorème de Pythagore

Preuve

Sur à l'heure actuelle V littérature scientifique 367 preuves de ce théorème ont été enregistrées. Le théorème de Pythagore est probablement le seul théorème avec un nombre de preuves aussi impressionnant. Une telle diversité ne peut s’expliquer que par l’importance fondamentale du théorème pour la géométrie.
Bien entendu, conceptuellement, ils peuvent tous être divisés en un petit nombre de classes. Les plus connues d'entre elles : les preuves par la méthode des aires, les preuves axiomatiques et exotiques (par exemple, à l'aide d'équations différentielles).

À travers des triangles similaires

La preuve suivante de la formulation algébrique est la plus simple des preuves, construite directement à partir des axiomes. En particulier, il n'utilise pas la notion d'aire d'une figure.
Soit ABC un triangle rectangle d'angle droit C. Tracez l'altitude de C et notez sa base par H. Le triangle ACH est semblable au triangle ABC à deux angles.
De même, le triangle CBH est similaire au triangle ABC. En introduisant la notation

nous obtenons

Qu'est-ce qui est équivalent

En additionnant, nous obtenons

ou

Preuves utilisant la méthode des aires

Les preuves ci-dessous, malgré leur apparente simplicité, ne sont pas du tout si simples. Ils utilisent tous des propriétés d’aire dont la preuve est plus complexe que la preuve du théorème de Pythagore lui-même.

Preuve via l'équicomplémentarité

Preuves par équivalence

Un exemple d'une telle preuve est montré dans le dessin de droite, où un carré construit sur l'hypoténuse est réorganisé en deux carrés construits sur les jambes.

La preuve d'Euclide

Preuve de Léonard de Vinci

Les principaux éléments de la preuve sont la symétrie et le mouvement.

Considérons le dessin, comme le montre la symétrie, le segment CI coupe le carré ABHJ en deux parties identiques (puisque triangles ABC et JHI sont égaux en construction). En utilisant une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous constatons l’égalité des chiffres ombrés CAJI et GDAB. Il est maintenant clair que l'aire de la figure que nous avons ombrée est égale à la somme de la moitié des aires des carrés construits sur les jambes et de l'aire du triangle d'origine. En revanche, elle est égale à la moitié de l'aire du carré construit sur l'hypoténuse, plus l'aire du triangle d'origine. La dernière étape de la preuve est laissée au lecteur.

Théorème de Pythagore- un des théorèmes fondamentaux de la géométrie euclidienne, établissant la relation

entre les côtés d'un triangle rectangle.

On pense que cela a été prouvé par le mathématicien grec Pythagore, qui lui a donné son nom.

Formulation géométrique du théorème de Pythagore.

Le théorème était initialement formulé comme suit :

Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés,

construit sur pieds.

Formulation algébrique du théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des jambes.

Autrement dit, désignant la longueur de l'hypoténuse du triangle par c, et les longueurs des jambes à travers un Et a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants ::

Les deux formulations Théorème de Pythagore sont équivalents, mais la seconde formulation est plus élémentaire, elle ne

nécessite la notion de zone. Autrement dit, la deuxième affirmation peut être vérifiée sans rien savoir de la zone et

en mesurant uniquement les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.

Théorème de Pythagore inverse.

Si le carré d’un côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors

triangle rectangle.

Ou, en d'autres termes :

Pour chaque triple de nombres positifs un, a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : Et c, tel que

il y a un triangle rectangle avec des jambes un Et a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : et l'hypoténuse c.

Théorème de Pythagore pour un triangle isocèle.

Théorème de Pythagore pour un triangle équilatéral.

Preuves du théorème de Pythagore.

Actuellement, 367 preuves de ce théorème ont été enregistrées dans la littérature scientifique. Probablement le théorème

Pythagore est le seul théorème avec un nombre de preuves aussi impressionnant. Une telle diversité

ne peut s'expliquer que par la signification fondamentale du théorème pour la géométrie.

Bien entendu, conceptuellement, ils peuvent tous être divisés en un petit nombre de classes. Les plus célèbres d'entre eux :

preuve méthode de zone, axiomatique Et preuve exotique(Par exemple,

en utilisant équations différentielles).

1. Preuve du théorème de Pythagore en utilisant des triangles similaires.

La preuve suivante de la formulation algébrique est la plus simple des preuves construites

directement à partir des axiomes. En particulier, il n'utilise pas la notion d'aire d'une figure.

Laisser abc il y a un triangle rectangle avec un angle droit C. Tirons la hauteur de C et désigne

sa fondation à travers H.

Triangle ACH semblable à un triangle AB C aux deux coins. De même, le triangle CBH similaire abc.

En introduisant la notation :

on obtient :

,

ce qui correspond à -

Plié un 2 et a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants : 2, on obtient :

ou , ce qui devait être prouvé.

2. Preuve du théorème de Pythagore par la méthode des aires.

Les preuves ci-dessous, malgré leur apparente simplicité, ne sont pas du tout si simples. Tous

utiliser des propriétés d'aire dont les preuves sont plus complexes que la preuve du théorème de Pythagore lui-même.

• Preuve par équicomplémentarité.

Disposons quatre rectangles égaux

triangle comme indiqué sur la figure

droite.

Quadrangle à côtés c- carré,

puisque la somme de deux angles aigus est de 90°, et

angle déplié - 180°.

L'aire de la figure entière est, d'une part,

aire d'un carré de côté ( a+b), et d'autre part, le montant quatre carrés des triangles et

Q.E.D.

3. Preuve du théorème de Pythagore par la méthode infinitésimale.

​

En regardant le dessin montré sur la figure et

je regarde le changement de côtéun, nous pouvons

écrire la relation suivante pour l'infini

petit incréments latérauxAvec Et un(en utilisant la similarité

triangles) :

En utilisant la méthode de séparation des variables, on trouve :

Plus expression générale pour changer l'hypoténuse en cas d'incréments des deux jambes :

Intégration équation donnée et en utilisant conditions initiales, on obtient :

On arrive ainsi à la réponse souhaitée :

Comme il est facile de le constater, la dépendance quadratique dans la formule finale apparaît en raison de la relation linéaire

proportionnalité entre les côtés du triangle et les incréments, tandis que la somme est liée aux indépendants

contributions provenant de l'augmentation des différentes jambes.

Une preuve plus simple peut être obtenue si l’on suppose que l’une des jambes ne subit pas d’augmentation

(V. dans ce cas jambe a) La substitution des données dans l'équation ci-dessus donne les résultats suivants :). Alors pour la constante d’intégration on obtient :