Équation d'un plan qu'est-ce que d. Équation d'un plan, types d'équation d'un plan

1. Il est possible de prouver l'affirmation selon laquelle si l'espace est donné système rectangulaire coordonnées OXYZ, alors toute équation du premier degré à trois inconnu x,y,z nécessaire et définit suffisamment un certain plan par rapport à ce système R.. Cette équation est appelée équation générale du plan et a la forme suivante :

UN X+B à+C z+ D= 0 (17)

(à comparer avec l'équation générale (15) d'une droite sur un plan, qui en découle en z = 0) et définit le plan R., perpendiculaire au vecteur(ABC).

Banque d'images - Vecteur normal de l'avion R..

L'équation (17) est équivalente aux équations suivantes.

2. Équation d'un plan passant par ce point M( x 0, y 0, z 0):

UN( X- X 0) + B( à-à 0) + C( z-z 0) = 0.

3. Équation d'un plan en segments

,

Où ; ; .

4. L'équation d'un plan passant par trois points donnés qui ne se trouvent pas sur la même droite s'écrit comme un déterminant

,

Où ( X 1 , oui 1 , z 1), (X 2 , oui 2 , z 2), (X 3 , oui 3 , z 3) - coordonnées des points donnés.

L'angle entre deux plans est défini comme l'angle entre leurs vecteurs normaux n 1 et n 2. D'où la condition des plans parallèles

R. 1 et R. 2:

et la condition de perpendiculaire de deux plans :

UN 1 UN 2 +B 1 DANS 2 +C 1 AVEC 2 = 0 .

Exemple 29. À travers le point À(1, -3, 2) tracer un plan parallèle aux vecteurs

une =(1, 2, -3) et b =(2,-1,-1) .

Solution. Laisse moi ( X, à, z) – un point arbitraire du plan souhaité. Vecteur

KM = (X- 1, à+ 3, z- 2) se situe dans ce plan, et les vecteurs UN Et b parallèlement à celui-ci. Donc les vecteurs KM , a et b sont coplanaires. Puis leur travail mixte est égal à zéro :

.

Donc -(x –1) - (y + 3) – 5(z – 2) = 0 ou x+ 7oui + 5z + 10 = 0. C'est l'équation souhaitée du plan.

Différents types d'équation d'une droite dans l'espace

Une ligne droite dans l’espace peut être spécifiée comme suit :

1) la ligne d'intersection de deux plans non coïncidents et non parallèles R. 1 et R. 2:

;

2) équations d'une droite passant par un point donné M.(X 0 , à 0 , z 0) dans la direction spécifiée par le vecteur L = (m, n, p):

,

qui est appelée équation canonique de la droite dans l'espace;

3) équations d'une droite passant par deux points donnés M.(X 1 , à 1 , z 1)

Et M.(X 2 , oui 2 , z 2):

;

4) équations paramétriques :

.

Exemple 30. Réduire à canonique et vues paramétriqueséquation d'une droite

.

Solution. Une ligne droite est définie comme la ligne d'intersection de deux plans. Vecteurs normaux de ces avions n 1 = (3,1,-2) et n 2 = (4,-7,-1) sont perpendiculaires à la droite souhaitée, donc leur produit vectoriel [n 1 , n 2 ] = L parallèlement à lui se trouve le vecteur [ n 1 , n 2 ] (ou n’importe quel vecteur colinéaire) peut être pris comme vecteur directeur L la ligne droite souhaitée.

[n 1 , n 2 ] =
.

Prenons-le comme L = 3je + j + 5k. Reste à trouver un point sur une ligne donnée. Pour cela on pose par exemple z = 0. On obtient

.

Après avoir résolu ce système, nous trouvons X = 1, à= - 2. Ainsi, le point À(1, -2, 0) appartient à une droite donnée, et son équation canonique a la forme

1. Types d'équations d'une droite sur un plan

2. Problèmes fondamentaux sur une ligne droite dans l'espace

3. Types d'équations planes dans l'espace

4. Problèmes de base sur un avion dans l'espace

5. Types d'équations d'une droite dans l'espace

6. Problèmes fondamentaux sur une ligne droite dans l'espace

7. Problèmes de base sur un plan et une ligne dans l'espace

8. Courbes du second ordre

9. Surfaces du deuxième ordre

Dans ce module, l'étudiant doit étudier du matériel théorique sur le sujet proposé. éléments pédagogiques. (cm. Matériel théorique Par mathématiques supérieures: matériel pédagogique et méthodologique pour un étudiant. Partie I. Compilé par : Kalukova O.M., Kosheleva N.N., Nikitina M.G., Pavlova E.S., Emelyanova S.G. - Tolyatti : TSU, 2005 et supplémentaires. littérature)

Le tableau 7 présente un calendrier d'étude du matériel théorique pour le module « Géométrie analytique »

Tableau 7

Pour toute question, contactez un consultant académique en posant vos questions sur le forum du portail pédagogique.

L'étudiant doit également se familiariser avec tâches typiques et des exercices de modules pour compléter votre version de l'IPD (voir Guide de résolution de problèmes : aide pédagogique pour les étudiants Partie I. Compilé par : Nikitina M.G., Pavlova E.S., - Tolyatti : TSU, 2008.)

Le tableau 8 montre le calendrier des études questions pratiques module "Géométrie analytique"

Tableau 8

Pour toute question, contactez un conseiller pédagogique en posant des questions sur le forum du portail pédagogique ou pendant les horaires consultations individuelles(le planning des consultations individuelles est présenté sur portail éducatif).

L'étudiant doit compléter son option devoirs(voir Devoirs individuels pour les étudiants étudiant en technologie 30/70. Partie I. Compilé par : Kalukova O.M., Kosheleva N.N., Nikitina M.G., Pavlova E.S., Emelyanova S.G., - Tolyatti : TSU, 2005).

Le calendrier de mise en œuvre est présenté par l’IDZ dans le tableau 9.

Tableau 9

A la fin de la 12ème semaine, passez l'IDD à un consultant académique et soyez admis aux tests sur le portail pédagogique

Sur treizième semaine Au cours de la formation, les étudiants subissent des tests de modules, définis dans le planning.

Vous pouvez définir différentes façons(un point et un vecteur, deux points et un vecteur, trois points, etc.). C'est dans cette optique que l'équation du plan peut avoir différentes sortes. Aussi, sous certaines conditions, les plans peuvent être parallèles, perpendiculaires, sécants, etc. Nous en parlerons dans cet article. Nous apprendrons comment créer une équation plane générale et plus encore.

Forme normale de l'équation

Disons qu'il existe un espace R 3 qui a un système de coordonnées XYZ rectangulaire. Définissons le vecteur α, qui sera libéré de point de départ O. Par l’extrémité du vecteur α, nous traçons un plan P qui lui sera perpendiculaire.

Notons un point arbitraire sur P comme Q = (x, y, z). Signons le rayon vecteur du point Q avec la lettre p. Dans ce cas, la longueur du vecteur α est égale à р=IαI et Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ce vecteur unitaire, qui est dirigé vers le côté, comme le vecteur α. α, β et γ sont les angles formés respectivement entre le vecteur Ʋ et les directions positives des axes spatiaux x, y, z. La projection de tout point QϵП sur le vecteur Ʋ est valeur constante, qui est égal à p : (p,Ʋ) = p(p≥0).

L’équation ci-dessus a du sens lorsque p=0. La seule chose est que le plan P dans ce cas coupera le point O (α=0), qui est l'origine des coordonnées, et le vecteur unitaire Ʋ issu du point O sera perpendiculaire à P, malgré sa direction, ce qui signifie que le vecteur Ʋ est déterminé au signe près. L'équation précédente est l'équation de notre plan P, exprimée sous forme vectorielle. Mais en coordonnées, cela ressemblera à ceci :

P est ici supérieur ou égal à 0. Nous avons trouvé l'équation du plan dans l'espace sous forme normale.

Équation générale

Si nous multiplions l’équation en coordonnées par n’importe quel nombre différent de zéro, nous obtenons une équation équivalente à celle-ci, définissant ce même plan. Il ressemblera à ceci:

Ici, A, B, C sont des nombres simultanément différents de zéro. Cette équation est appelée équation générale du plan.

Équations d'avions. Cas spéciaux

Équation dans vue générale peut être modifié si disponible conditions additionnelles. Examinons quelques-uns d'entre eux.

Supposons que le coefficient A soit égal à 0. Cela signifie que avion donné parallèle à l'axe donné Ox. Dans ce cas, la forme de l’équation changera : Ву+Cz+D=0.

De même, la forme de l’équation changera dans les conditions suivantes :

• Premièrement, si B = 0, alors l'équation deviendra Ax + Cz + D = 0, ce qui indiquera le parallélisme avec l'axe Oy.
• Deuxièmement, si C=0, alors l'équation sera transformée en Ax+By+D=0, ce qui indiquera le parallélisme avec l'axe Oz donné.
• Troisièmement, si D=0, l’équation ressemblera à Ax+By+Cz=0, ce qui signifie que le plan coupe O (l’origine).
• Quatrièmement, si A=B=0, alors l'équation deviendra Cz+D=0, ce qui se révélera parallèle à Oxy.
• Cinquièmement, si B=C=0, alors l'équation devient Ax+D=0, ce qui signifie que le plan à Oyz est parallèle.
• Sixièmement, si A=C=0, alors l’équation prendra la forme Ву+D=0, c’est-à-dire qu’elle rapportera le parallélisme à Oxz.

Type d'équation en segments

Dans le cas où les nombres A, B, C, D sont différents de zéro, la forme de l'équation (0) peut être la suivante :

x/a + y/b + z/c = 1,

dans laquelle a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Nous obtenons le résultat. Il convient de noter que ce plan coupera l'axe Ox en un point de coordonnées (a,0,0), Oy - (0,b,0) et Oz - (0,0,c). ).

Compte tenu de l'équation x/a + y/b + z/c = 1, il n'est pas difficile d'imaginer visuellement le placement du plan par rapport à un système de coordonnées donné.

Coordonnées vectorielles normales

Le vecteur normal n au plan P a des coordonnées qui sont des coefficients équation générale d'un plan donné, c'est-à-dire n (A, B, C).

Pour déterminer les coordonnées de la normale n, il suffit de connaître l'équation générale d'un plan donné.

Lorsque vous utilisez une équation en segments, qui a la forme x/a + y/b + z/c = 1, ainsi que lorsque vous utilisez une équation générale, vous pouvez écrire les coordonnées de n'importe quel vecteur normal d'un plan donné : (1 /a + 1/b + 1/ Avec).

Il convient de noter que le vecteur normal aide à résoudre divers problèmes. Les plus courants incluent les problèmes qui consistent à prouver la perpendiculaire ou le parallélisme des plans, les problèmes de recherche d'angles entre plans ou d'angles entre plans et lignes droites.

Type d'équation plane selon les coordonnées du point et du vecteur normal

Un vecteur n non nul perpendiculaire à un plan donné est appelé normal pour un plan donné.

Supposons que dans l'espace de coordonnées (rectangulaire système de coordonnées) Oxyz étant donné :

• point Mₒ de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ) ;
• vecteur zéro n=A*i+B*j+C*k.

Il faut créer une équation pour un plan qui passera par le point Mₒ perpendiculaire à la normale n.

Nous choisissons n'importe quel point arbitraire dans l'espace et le notons M (x y, z). Soit le rayon vecteur de n'importe quel point M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, et le rayon vecteur du point Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* je+yₒ *j+zₒ*k. Le point M appartiendra à un plan donné si le vecteur MₒM est perpendiculaire au vecteur n. Écrivons la condition d'orthogonalité en utilisant le produit scalaire :

[MₒM, n] = 0.

Puisque MₒM = r-rₒ, l'équation vectorielle du plan ressemblera à ceci :

Cette équation peut avoir une autre forme. Pour ce faire, les propriétés du produit scalaire sont utilisées, et la transformation est côté gaucheéquations = - . Si on le note c, on obtient l'équation suivante: - c = 0 ou = c, qui exprime la constance des projections sur le vecteur normal des rayons vecteurs de points donnés appartenant au plan.

Vous pouvez maintenant obtenir la vue coordonnée de l'enregistrement équation vectorielle notre plan = 0. Puisque r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, et n = A*i+B*j+C*k, nous nous avons:

Il s'avère que nous avons une équation pour un plan passant par un point perpendiculaire à la normale n :

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Type d'équation plane selon les coordonnées de deux points et d'un vecteur colinéaire au plan

Définissons deux points arbitraires M′ (x′,y′,z′) et M″ (x″,y″,z″), ainsi qu'un vecteur a (a′,a″,a‴).

Nous pouvons maintenant créer une équation pour un plan donné, qui passera par les points existants M′ et M″, ainsi que par tout point M de coordonnées (x, y, z) en parallèle. vecteur donné UN.

Dans ce cas, les vecteurs M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) et M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) doivent être coplanaires avec le vecteur a=(a′,a″,a‴), ce qui signifie que (M′M, M″M, a)=0.

Ainsi, notre équation plane dans l’espace ressemblera à ceci :

Type d'équation d'un plan coupant trois points

Disons que nous avons trois points : (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), qui n'appartiennent pas à la même droite. Il faut écrire l’équation d’un plan passant par trois points donnés. La théorie de la géométrie prétend que ce type de plan existe réellement, mais qu’il est le seul et unique. Puisque ce plan coupe le point (x′,y′,z′), la forme de son équation sera la suivante :

Ici A, B, C sont différents de zéro en même temps. De plus, le plan donné coupe deux autres points : (x″,y″,z″) et (x‴,y‴,z‴). À cet égard, les conditions suivantes doivent être remplies :

Maintenant nous pouvons composer système homogène avec inconnu u, v, w :

Dans notre cas x,y ou z dépasse point arbitraire, qui satisfait l’équation (1). Étant donné l'équation (1) et le système d'équations (2) et (3), le système d'équations indiqué dans la figure ci-dessus est satisfait par le vecteur N (A,B,C), qui est non trivial. C'est pourquoi le déterminant de ce système est égal à zéro.

L'équation (1) que nous avons obtenue est l'équation du plan. Il passe par 3 points exactement, et cela est facile à vérifier. Pour ce faire, nous devons étendre notre déterminant aux éléments de la première ligne. Des propriétés existantes du déterminant, il s'ensuit que notre plan coupe simultanément trois points initialement donnés (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Autrement dit, nous avons résolu la tâche qui nous était assignée.

Angle dièdre entre les plans

Un angle dièdre représente un espace figure géométrique, formé de deux demi-plans issus d’une même ligne droite. Autrement dit, c’est la partie de l’espace qui est limitée par ces demi-plans.

Disons que nous avons deux plans avec les équations suivantes :

On sait que les vecteurs N=(A,B,C) et N¹=(A¹,B¹,C¹) sont perpendiculaires selon avions donnés. A cet égard, l'angle φ entre les vecteurs N et N¹ est égal à l'angle (dièdre) qui se situe entre ces plans. Produit scalaire a la forme :

NN¹=|N||N¹|cosφ,

précisément parce que

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Il suffit de prendre en compte que 0≤φ≤π.

En fait, deux plans qui se coupent forment deux angles (dièdres) : φ 1 et φ 2. Leur somme est égale à π (φ 1 + φ 2 = π). Quant à leurs cosinus, leurs valeurs absolues sont égales, mais elles diffèrent par leur signe, c'est-à-dire cos φ 1 = -cos φ 2. Si dans l'équation (0) nous remplaçons A, B et C par les nombres -A, -B et -C, respectivement, alors l'équation que nous obtiendrons déterminera le même plan, le seul, l'angle φ dans équation du cosφ = NN 1 /|N||N 1 | sera remplacé par π-φ.

Équation d'un plan perpendiculaire

Les plans entre lesquels l'angle est de 90 degrés sont appelés perpendiculaires. En utilisant le matériel présenté ci-dessus, nous pouvons trouver l’équation d’un plan perpendiculaire à un autre. Disons que nous avons deux plans : Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D=0. On peut dire qu'ils seront perpendiculaires si cosφ=0. Cela signifie que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Équation du plan parallèle

Deux plans qui ne contiennent pas de points communs sont dits parallèles.

La condition (leurs équations sont les mêmes que dans le paragraphe précédent) est que les vecteurs N et N¹, qui leur sont perpendiculaires, soient colinéaires. Et cela signifie qu'ils sont comblés conditions suivantes proportionnalité:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Si les conditions de proportionnalité sont étendues - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

cela indique que ces plans coïncident. Cela signifie que les équations Ax+By+Cz+D=0 et A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 décrivent un plan.

Distance au plan depuis le point

Disons que nous avons un plan P, donné par l'équation (0). Il est nécessaire de trouver la distance à partir d'un point de coordonnées (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pour ce faire, il faut mettre l'équation du plan P sous forme normale :

(ρ,v)=р (р≥0).

DANS dans ce casρ (x,y,z) est le rayon vecteur de notre point Q situé sur P, p est la longueur de la perpendiculaire P qui a été dégagée de zéro point, v est le vecteur unitaire situé dans la direction a.

La différence ρ-ρº rayon vecteur d'un point Q = (x, y, z), appartenant à P, ainsi que le rayon vecteur d'un point donné Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) est un tel vecteur, valeur absolue dont la projection sur v est égale à la distance d, qu'il faut trouver de Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) à P :

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mais

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Il s'avère donc

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Nous trouverons donc valeur absolue l'expression résultante, c'est-à-dire le d souhaité.

En utilisant le langage des paramètres, nous obtenons l’évidence :

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Si point de consigne Q 0 est de l'autre côté du plan P, comme l'origine des coordonnées, alors entre le vecteur ρ-ρ 0 et v se situe donc :

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Dans le cas où le point Q 0, ainsi que l'origine des coordonnées, sont situés du même côté de P, alors l'angle créé est aigu, c'est-à-dire :

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

En conséquence, il s'avère que dans le premier cas (ρ 0 ,v)>р, dans le second (ρ 0 ,v)<р.

Plan tangent et son équation

Le plan tangent à la surface au point de contact Mº est un plan contenant toutes les tangentes possibles aux courbes passant par ce point de la surface.

Avec ce type d'équation de surface F(x,y,z)=0, l'équation du plan tangent au point tangent Mº(xº,yº,zº) ressemblera à ceci :

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Si vous spécifiez la surface sous forme explicite z=f (x,y), alors le plan tangent sera décrit par l'équation :

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Intersection de deux plans

Dans le système de coordonnées (rectangulaire) Oxyz se trouve, deux plans П′ et П″ sont donnés, qui se coupent et ne coïncident pas. Puisque tout plan situé dans un repère rectangulaire est déterminé par une équation générale, nous supposerons que P′ et P″ sont donnés par les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x +B″y+ С″z+D″=0. Dans ce cas, on a la normale n′ (A′,B′,C′) du plan P′ et la normale n″ (A″,B″,C″) du plan P″. Puisque nos plans ne sont pas parallèles et ne coïncident pas, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. En utilisant le langage mathématique, nous pouvons écrire cette condition comme suit : n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Soit la ligne droite qui se trouve à l'intersection de P′ et P″ soit désignée par la lettre a, dans ce cas a = P′ ∩ P″.

a est une droite constituée de l’ensemble de tous les points des plans (communs) P′ et P″. Cela signifie que les coordonnées de tout point appartenant à la droite a doivent simultanément satisfaire les équations A′x+B′y+C′z+D′=0 et A″x+B″y+C″z+D″=0 . Cela signifie que les coordonnées du point seront une solution partielle du système d’équations suivant :

De ce fait, il s’avère que la solution (générale) de ce système d’équations déterminera les coordonnées de chacun des points de la droite, qui fera office de point d’intersection de P′ et P″, et déterminera la droite a dans le système de coordonnées Oxyz (rectangulaire) dans l'espace.

Équation d'un plan, types d'équation d'un plan.

Dans le plan de coupe dans l’espace, nous avons examiné le plan d’un point de vue géométrique. Dans cet article, nous examinerons le plan du point de vue de l'algèbre, c'est-à-dire que nous passerons à la description du plan en utilisant l'équation du plan.

Tout d'abord, regardons la question : « Quelle est l'équation d'un plan » ? Après cela, nous considérerons les principaux types d'équations planes dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz plan tridimensionnel.

Navigation dans les pages.

• Équation d'un plan - définition.
• Équation générale du plan.
• Équation d'un plan en segments.
• Équation du plan normal.

Équation d'un plan - définition.

Supposons qu'un système de coordonnées rectangulaires soit fixé dans un espace tridimensionnel Oxyz et un avion donné.

Un plan, comme toute autre figure géométrique, est constitué de points. Dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz Chaque point correspond à un triplet ordonné de nombres - les coordonnées du point. Une relation peut être établie entre les coordonnées de chaque point du plan à l’aide d’une équation appelée équation du plan.

Équation plane dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz dans un espace tridimensionnel est une équation à trois variables X, oui Et z, qui est satisfait par les coordonnées de n'importe quel point dans un plan donné et n'est pas satisfait par les coordonnées de points situés en dehors du plan donné.

Ainsi, l'équation du plan devient une identité lorsque les coordonnées de n'importe quel point du plan y sont substituées. Si vous substituez les coordonnées d'un point qui ne se trouve pas dans ce plan dans l'équation d'un plan, cela se transformera en une égalité incorrecte.

Reste à savoir quelle forme a l'équation du plan. La réponse à cette question se trouve dans le paragraphe suivant de cet article. Pour l’avenir, nous notons que l’équation plane peut être écrite de différentes manières. L'existence de différents types d'équations planes est due aux spécificités des problèmes à résoudre.

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Équation générale du plan.

Présentons la formulation du théorème, qui nous donne la forme de l'équation plane.

Théorème.

Toute équation de la forme , où UN, B, C Et D– quelques nombres réels, et UN, DANS Et C ne sont pas égaux à zéro en même temps, définit un plan dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz dans un espace tridimensionnel et chaque plan dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz dans l'espace tridimensionnel peut être donné par une équation de la forme .

L'équation s'appelle équation générale du plan dans l'espace. Si vous ne joignez pas de chiffres UN, DANS, AVEC Et D valeurs spécifiques, alors l'équation générale du plan est appelée équation plane sous forme générale.

Il convient de noter qu'une équation de la forme , où est un nombre réel autre que zéro, définira le même plan, puisque les égalités et sont équivalentes. Par exemple, les équations générales du plan et spécifient le même plan, puisqu'ils sont satisfaits par les coordonnées des mêmes points dans l'espace tridimensionnel.

Expliquons un peu le sens du théorème énoncé. Dans un système de coordonnées rectangulaires Oxyz chaque plan correspond à son équation générale, et chaque équation correspond à un plan dans un système de coordonnées rectangulaires donné d'un espace tridimensionnel. Autrement dit, le plan et son équation générale sont indissociables.

Si tous les coefficients UN, DANS, AVEC Et D dans l'équation générale les plans sont non nuls, alors on l'appelle complet. Sinon, l'équation générale du plan s'appelle incomplet.

Les équations incomplètes spécifient des plans parallèles aux axes de coordonnées, passant par les axes de coordonnées, parallèles aux plans de coordonnées, perpendiculaires aux plans de coordonnées, coïncidant avec les plans de coordonnées, ainsi que des plans passant par l'origine des coordonnées.

Par exemple, un avion parallèle à l'axe des x et perpendiculaire au plan de coordonnées Oyz, l'équation z = 0 définit le plan de coordonnées Oxy, et l'équation générale du plan est de la forme correspond au plan passant par l’origine.

Notons également que les coefficients UN, B Et C dans l'équation générale, les plans représentent les coordonnées du vecteur normal du plan.

Toutes les équations du plan, qui sont discutées dans les paragraphes suivants, peuvent être obtenues à partir de l'équation générale du plan, et également réduites à l'équation générale du plan. Ainsi, lorsqu’ils parlent de l’équation d’un plan, ils entendent l’équation générale d’un plan, sauf indication contraire.

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